doc logica 2041993377

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Ensino Superior
5 – Sistemas de Numeração
Amintas Paiva Afonso
Lógica Matemática e Computacional
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Conseqüência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele com o menor número de símbolos (dígitos).
Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1).
 
 
 
Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de um único dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de presença (1) e ausência (0).
Sistemas de Numeração
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Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal. 
 
 
 Quatro em decimal é representado como 4. Sua representação em binário é 100. 
Conseqüência: o computador binário seria mais preciso porém muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais tempo.
(2)10 número de animais representado em decimal
(10)2 número de animais representado em binário
Sistemas de Numeração
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Uma solução: o uso de dispositivos eletrônicos baseados na tecnologia dos semicondutores, como os transistores.
O transistor: é um dispositivo usado para controlar o fluxo de corrente. Ele tem duas características importantes: 
 1- é capaz de amplificar um sinal elétrico.
 2- é capaz de chavear (comutar) entre ligado e desligado (ou fechado e aberto), deixando corrente passar através dele ou bloqueando-a. Essas condições são também denominadas “saturação” e “corte”, respectivamente.
 
O transistor pode mudar da condição de saturação para o corte em velocidades acima de um milionésimo de segundo. Ele pode ser usado para caracterizar a presença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou 1) e pode tomar decisões desse tipo a uma taxa superior a um milhão de decisões por segundo.
Sistemas de Numeração
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O primeiro Transistor 
Um Transistor moderno 
Sistemas de Numeração
Transistor: inventado nos Laboratórios da Bell Telephone em 12/1947 por John Bardeen, Walter Brattain e William Shockley – Prêmio Nobel de física de 1956. O transistor é capaz de comutar em um milionésimo de segundo entre o corte e a saturação.
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 Sistemas de Numeração Posicionais
 Sistemas de Numeração Não Posicionais
Sistemas de Numeração
Classificação
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Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número. 
 1989 = 1000+900+80+9
 1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100
Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária 
 1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1
Sistemas Posicionais
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A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos. 
O sistema decimal tem:
 Base R=10
 Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso deles. 
Sistemas Posicionais
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Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
Sistema posicional binário
	base R = 2
	alfabeto {0, 1}
Sistema posicional octal
	base R = 8
	alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Sistema posicional hexadecimal
	base R = 16
	alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Posicionais
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Sistemas Não Posicionais
Sistema de Numeração Romano
 No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa. 
M = 1000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor. 
D = 500 
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes. 
D – C = 500 – 100 = 400 
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois de M. 
M + CD = 1000 + 400 = 1400 
Sobrava apenas o V. Então: 
MCDV = 1400 + 5= 1405
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Geração de Inteiros
Algoritmo de avanço de dígitos:
	Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de maior valor do conjunto é sempre avançado para o aquele de menor valor na hierarquia. 
	0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0
Algoritmo de geração de inteiros:
	a) o primeiro inteiro é o zero
	b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste dígito avançar para zero, avança-se, então, o dígito adjacente à esquerda.
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Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema decimal.
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25
Observe que o nove avança para o zero, logo o dígito mais à esquerda (o zero, não mostrado explicitamente no número) é avançado para 1 gerando o próximo número na lista, o 10.
Geração de Inteiros
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Passagem de uma base R para a base 10
converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal.
decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se as operações de produtos e somas.
	Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R.
	(1101)2=1x23+1x22+0x21+1x20=8+4+0+1=13
	(2B0)16=2x162+(11)x161+0x160= 512+176+0=688
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Passagem de uma base 10 para a base R
Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida
	Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R. 
 (341)10 = (2331)5
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Passagem de uma base 10 para a base R
Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida
	A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente. 
	As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado.
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Passagem de uma base 10 para a base R
	Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida. 
	Exemplo:
	Então (0,4375)10 = (0,0111)2 
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Mudança de base entre base binária e base de potência de 2
A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n . Se essa base for R=8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23. Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.
	transformação para a base hexadecimal.
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Exemplos:
	(25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23) a partir da direita do número binário para transformação para a base octal.
	(25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24)
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Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na base R (explicar com exemplos no quadro)
Complemento de 1: O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do número entre parêntesis.
Complemento de 2: O complemento de 2 de um número binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e vice-versa. Após isso adiciona-se 1 ao númeroobtido. Notação C2(...)
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Subtração por complemento de 1: Soma-se o minuendo ao complemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga após a última coluna da adição é somado de volta ao bit menos significativo do resultado.
	(resolver exemplo no quadro)
Subtração por complemento de 2: Soma-se o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga após a ultima coluna da adição é desprezado.
	(resolver exemplo no quadro)
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George Simon Boole (1815-1864)
O criador da álgebra dos circuitos digitais
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	1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia.
	2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione". 
	3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”
	4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
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Definição da Álgebra de Boole:
	1- A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. 
	2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). 
	3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos. 
	
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Operadores da Álgebra Booleana
	As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
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Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador AND (interseção)
	1- Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador OR (união)
	1- Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador NOT (inversor)
	1- Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Secundários
	Operador NAND
	1- Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais 
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Secundários
	Operador NOR
	1- Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 	
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Secundários
	Operador EXOR (OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Operadores Booleanos Secundários
	Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.	
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
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Postulados da Álgebra de Boole
	
	O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos 
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Teoremas da Álgebra de Boole
	
	
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