Relatorio Experimento4 Fisexp

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Experimento 4: Sistema de Partículas
 Colisão Elástica e Inelástica
Aluna: Aryane barros Maciel da silva 
Turma: EL1
RESUMO
O experimento IV teve como objetivo estudar as colisões elástica e inelástica em uma só dimensão. Foram utilizados: um trilho de ar sem inclinação com atrito desprezível, dois carrinhos para colidirem, massinha infantil para igualar a massa dos carrinhos, uma câmera digital com um suporte numa altura próxima à do trilho e o programa ImageJ para auxiliar no levantamento de dados, como tempo e posição. A turma foi dividida por tipos de colisão, permutadas por colisões entre corpos de massas iguais ou diferentes. No experimento em questão, foi estudada a colisão elástica entre dois corpos de massas iguais.
Experimentalmente, a partir dos dados coletados referentes ao tempo e às posições de cada um dos carrinhos, foi possível comparar as velocidades do carrinho em movimento antes da colisão e do outro carrinho após esse fenômeno. Assim, foram observadas as conservações de energia mecânica e do momento linear na colisão elástica entre carrinhos de mesma massa. Estando um parado e o outro possuindo velocidade, verificou-se que, após a colisão, eles “trocam” de velocidade, de modo que o carrinho que estava inicialmente com velocidade para após a colisão, e o que estava parado passa a ter a velocidade inicial do outro carrinho. 
INTRODUÇÃO
Neste experimento, pôs-se em análise as conservações de momento linear e energia mecânica de um sistema unidimensional de dois carrinhos que colidem elasticamente entre si em um trilho de ar com atrito desprezível. 
Define-se colisão como uma interação vigorosa entre dois corpos em um intervalo de tempo relativamente curto, de modo que, para efeitos de cálculo e estudos experimentais e teóricos, consideramos instantâneo. Em geral, consideramos os corpos como um sistema isolado, visto que, na maior parte das colisões, as forças entre os corpos são majoritariamente superiores que as forças externas que atuam sobre eles. 
Quando há “choque” unidimensional entre dois corpos isolados, podem ocorrer dois tipos de colisão: elástica ou inelástica. Estas podem ser diferidas pela Energia Cinética (K) do sistema, definida pela equação:
 (1)
 Na colisão elástica, a energia cinética inicial do sistema é igual à final, como representado abaixo:
 (1.2)
Para o experimento, o método utilizado foi:
Um trilho de ar de 2m de comprimento para tornar o atrito do carrinho desprezível,
Dois carrinhos para deslizarem sobre o plano,
Massinha infantil para um dos carrinhos, modificando sua massa,
Balança para medir a massa de cada um dos corpos,
Tripé e câmera digital para filmar, estando o trilho alinhado com a parede e a câmera alinhada com o trilho para facilitar a análise dos vídeos.
Dadas as condições de montagem do sistema dos carrinhos com o trilho sem inclinação e com atrito desprezível, tanto o carrinho em movimento antes da colisão, quanto o outro carrinho após esse processo, realizam Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) sobre o plano. Dado que todo corpo que possui uma massa m e uma velocidade v possui Momento Linear (P), este momento é uma grandeza vetorial de mesma direção e mesmo sentido do vetor velocidade, como representado pela fórmula abaixo:
 (2)
Desenvolvendo as expressões para conservação de momento linear e energia mecânica desse sistema para os dois tipos de colisão (elástica e inelástica):
 Figura 1: Disposição dos corpos antes da colisão.
Como o sistema está em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), temos que: 
 (3)
A 2ª Lei de Newton nos diz que:
 (4)
Ademais, com relação à :
 (5)
Logo:
			 	 (6) 
Que é o mesmo que: 
				 (6.1) 
Portanto:
 (7) 
Conforme apresentado acima (3), 
				 (3) 
Então, 
				 (8)
Como sabido, a derivada de uma constante é 0, logo, temos que é constante, comprovando a Conservação do Momento Linear.
Ilustrando a colisão elástica estudada no experimento em questão (carrinhos com massas iguais):
 	
Chamaremos de m1 a massa do carrinho em movimento antes da colisão, e, de m2, a massa do outro carrinho, o qual sai em movimento após a colisão.
		Equação da Conservação do Momento Linear:
 (9)
Como o carrinho de massa m2 encontra-se parado antes da colisão e, após esta, a energia mecânica do carrinho 1, que, nessa situação, é composta somente pela energia cinética, é transferida quase que integralmente para o 2 (parte é dissipada na forma de som e calor no mundo real), a nossa equação da conservação do momento linear é, na verdade:
		 (9.1)
Portanto, como as massas são iguais no nosso sistema estudado, as velocidades também devem ser iguais.
			 	 (10)
Com relação à Lei de Conservação de Energia Mecânica, temos que:
					 (11)
Como no nosso sistema não temos energia potencial nem gravitacional e nem elástica, a nossa equação fica:
		 (11.1)
Estendendo a equação (11.1):
				 (11.2)
Ilustrando uma colisão inelástica com as mesmas configurações do sistema estudado, porém massas diferentes (carrinhos com m1 >> m2):
Na colisão inelástica, vamos considerar:
		 
 (12)
Nas colisões inelásticas, apenas o momento linear é conservado. Diferentemente da anterior, numa colisão completamente inelástica, os carrinhos não trocam de velocidade, mas ambos assumem uma velocidade e saem juntos, como se fossem um só corpo. Então, temos a seguinte equação:
 (13)
Como:
 (14)
Podemos concluir que:
			 (15)
	Além disso, uma colisão é tida como inelástica quando a energia cinética total do sistema depois da colisão é menor que a energia cinética inicial, visto que a velocidade diminui. Assim, temos:
						 (16)
Com os dados obtidos neste experimento, é possível, também, conseguir indiretamente a posição do centro de massa do sistema dos dois carrinhos durante todo o processo, antes, durante e depois, da colisão. Este resultado é obtido pela fórmula da posição do centro de massa (17) a seguir:
 (17)
 (18)
 
 (18.1)
 (18.2)
Nas configurações do nosso sistema, temos que o centro de massa é exatamente o ponto médio entre os dois carrinhos a cada instante de tempo. Em termos do centro de massa, o momento linear do sistema pode ser definido como:
 (19)
Quando a força externa resultante sobre um sistema é igual a zero, a velocidade do centro de massa () é constante. Assim, o nosso momento linear total ( do sistema também será constante, confirmando a Lei de Conservação do Momento Linear. 
Poderíamos nesse experimento, também, descobrirmos a velocidade do centro de massa () com base num gráfico da posiçãodo centro de massa (cm) x tempo (s) e, a partir disso, calcularmos o momento linear do centro de massa antes e após a colisão, porém, como estamos trabalhando com massas iguais e com uma colisão elástica, sabemos que o momento linear do centro de massa será conservado e que a velocidade deste é:
 (20) 
Sendo as massas iguais:
Antes da colisão:
 (21) 
Depois da colisão:
 (22)
Como as velocidades também são iguais, temos que:
 = (23) 
Neste experimento, não analisaremos, portanto, a velocidade do centro de massa.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O trilho de ar é um sistema que permite estudar movimentos unidimensionais, reduzindo demasiadamente as forças de atrito habitualmente presentes, através da injeção de ar comprimido pelos pequenos orifícios regularmente espaçados nas faces laterais. Forma-se, então, um colchão de ar entre o trilho e o carrinho, fazendo com que esse “flutue”, provocando uma grande redução do atrito. 
O tripé com a câmera digital deve estar adequadamente posicionado de forma que todo o trilho esteja compreendido no campo de visão e a câmera alinhada com a horizontal. Para isso, antes de colocar carrinhos sobre o trilho, verificamos se este estava bem posicionado de acordo com as linhas de enquadramento da câmera.
Para gerar o fenômeno da colisão, foi preciso manter um dos carrinhos em repouso e empurrar o outro carrinho em sentido contrário, de modo a colidir com o para-choque fixado ao trilho na sua extremidade e voltar com uma velocidade (). Como o experimento foi realizado de maneira individual, o professor ficou segurando o carrinho 2 e empurrou o 1 para que a aluna iniciasse a gravação do vídeo. A fim de evitar deformações nos carrinhos por choques mecânicos fortes, foram utilizados para-choques em cada um deles formados por um suporte com elásticos.
Obs.: Como a balança utilizada tinha sua mínima divisão como sendo 100 mg, a incerteza de cada massa foi estimada como ± 0,1 g.
 
 
 Tabela 1: Massas dos carrinhos medidas.
Para que os carrinhos tivessem exatamente a mesma massa, foi necessário utilizar massinha infantil em um dos carrinhos para complementar sua massa.
Após a gravação dos filmes, os arquivos de vídeo foram salvos e deu-se início ao processamento do mesmo pelo programa ImageJ. A análise do filme permitiu a obtenção de outras medidas necessárias para as análises do dado experimento, no caso, da posição dos carrinhos em cada instante t de tempo.
Experimentalmente, foi observado, exatamente, o que discutimos na introdução, após a colisão, o carrinho que estava inicialmente em movimento transfere integralmente (assim considerado para efeitos de estudos e cálculos) sua energia cinética para o carrinho 2, o qual estava parado, e este sai com a velocidade inicial do carrinho 1, ao passo, que o 1, para.
ANÁLISE DE DADOS
As posições coletadas nos vídeos estavam em pixels, logo, para podermos prosseguir com o experimento, foi necessário converter esses valores para cm. Para isso, utilizamos um fatore de conversão (Z), conforme a quantidade de pixels do trilho de ar no vídeo feito.
Definimos Z como:
 (24) 
, medido com uma régua milimétrica.
 , (24.1)
 a diferença entre o pixel final do trilho no vídeo e o pixel inicial.
 
 
Propagando as incertezas:
 (24.2)
 (24.3) 
Encontramos:
 .
Como cada valor em pixel da posição precisa ser encontrado em cm, temos ainda que:
 , (25)
onde X é a medida final em cm, e P é a posição em pixel.
Propagando a incerteza de X:
 (25.1)
A partir das conversões feitas, obtivemos as posições dos carrinhos em cada instante de tempo. Como o vídeo gravado ficou extenso, foi escolhido um intervalo de 39 frames antes e depois do fenômeno da colisão. O vídeo foi feito com uma velocidade de captura de 30 frames por segundo, logo, optamos por analisar a posição do carrinho a cada 0,1s, ou seja, 3 frames. 
 
 Tabela 2: Tabela da posição do carrinho 1 com relação ao tempo.
 Tabela 3: Tabela da posição do carrinho 2 com relação ao tempo.
As linhas das tabelas grifadas com a cor rosa representam, exatamente, o instante de colisão dos carrinhos. Podemos obter esse instante, também, a partir do gráfico da posição em função do tempo.
Com base nas tabelas 2 e 3, foi possível traçar dois gráficos da posição do carrinho em função do tempo, a fim de verificar se a curva formada é condizente com a curva esperada, dado o tipo de movimento que ele realiza. Os gráficos estão representados abaixo e foram traçados usando o software “QtiPlot”. 
 
Gráfico 1: posição em função do tempo para o carrinho 1.
 
 Gráfico 2: posição em função do tempo para o carrinho 2.
Com os gráficos de Posição x Tempo de ambos corpos, nota-se a mudança das velocidades no segundo 6,6, marcado de amarelo nos gráficos. Com isso, é necessário ser separado em duas partes os gráficos: antes e depois da colisão para obter o ajuste linear e, como consequência, a velocidade de cada carrinho nas duas etapas da filmagem. 
 Gráfico 3: Ajuste linear da velocidade inicial do carrinho 1 antes da colisão.
Linear Regression of dataset: Table1_1, using function: A*x+B
Weighting Method: Instrumental, using error bars dataset: Table1_2
From x = 5,300000000000000e+00 to x = 6,600000000000000e+00
B (y-intercept) = -8,200000000000001e+01 +/- 3,953854705596430e+00
A (slope) = 2,571428571428572e+01 +/- 6,629935441317959e-01
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 1,428571428571434e-01
R^2 = 0,998861696072851
Adjusted R^2 = 0,998654731722461
RMSE (Root Mean Squared Error) = 0,377964473009228
RSS (Residual Sum of Squares) = 1,71428571428572
---------------------------------------------------------------------------------------
Obtemos do QtiPlot, assim:
B = Posição inicial = (-82 ± 4) cm
A = Velocidade = (25,7 ± 0,7) cm/s
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 1,42
Alta correlação linear entre y e x (R^2) = 0,99
 Gráfico 4: Ajuste linear da velocidade final do carrinho 1 depois da colisão.
Linear Regression of dataset: Table1_1, using function: A*x+B
Weighting Method: Instrumental, using error bars dataset: Table1_2
From x = 6,600000000000000e+00 to x = 7,900000000000000e+00
B (y-intercept) = 8,800000000000000e+01 +/- 4,814127561233102e+00
A (slope) = 0,000000000000000e+00 +/- 6,629935441317958e-01
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 0,000000000000000e+00
R^2 = nan
Adjusted R^2 = nan
RMSE (Root Mean Squared Error) = 0
RSS (Residual Sum of Squares) = 0
---------------------------------------------------------------------------------------
Obtemos do QtiPlot, assim:
B = Posição inicial = (88± 4) cm
A = Velocidade = (0 ± 0,6) cm/s
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 0
 Gráfico 5: Ajuste linear da velocidade inicial do carrinho 2 antes da colisão.
Linear Regression of dataset: Table1_3, using function: A*x+B
Weighting Method: Instrumental, using error bars dataset: Table1_4
From x = 5,300000000000000e+00 to x = 6,600000000000000e+00
B (y-intercept) = 1,120000000000000e+02 +/- 3,953854705596430e+00
A (slope) = 0,000000000000000e+00 +/- 6,629935441317959e-01
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 0,000000000000000e+00
R^2 = nan
Adjusted R^2 = nan
RMSE (Root Mean Squared Error) = 0
RSS (Residual Sum of Squares) = 0
---------------------------------------------------------------------------------------
Obtemos do QtiPlot, assim:
B = Posição inicial = (112 ± 3) cm
A = Velocidade = (0 ± 0,6) cm/s
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 0
 Gráfico 6: Ajuste linear da velocidade final do carrinho 2 após a colisão.
Linear Regression of dataset: Table1_3, using function: A*x+B
Weighting Method: Instrumental, using error bars dataset: Table1_4
From x = 6,600000000000000e+00 to x = 7,900000000000000e+00
B (y-intercept) = -4,046153846153844e+01 +/- 4,814127561233102e+00
A (slope) = 2,318681318681318e+01 +/- 6,629935441317958e-01
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 3,424908424908423e-01
R^2 = 0,996651041176971
Adjusted R^2 = 0,996042139572784
RMSE (Root Mean Squared Error) = 0,585227171695609
RSS (Residual Sum of Squares) = 4,10989010989011
---------------------------------------------------------------------------------------
Obtemos do QtiPlot, assim:
B = Posição inicial = (-40 ± 4) cm
A = Velocidade = (23,9 ± 0,7) cm/s
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 3,42
Alta correlação linear entre y e x (R^2) = 0,99
O método gráfico foi feito manualmente para o gráfico 6 e encontra-se em anexo a esse relatório.
Depois dos ajustes lineares obtidos, foram encontradas as velocidades iniciais e finais de cada corpo, de acordo com a tabela abaixo:
 Tabela 4: Tabela das velocidades iniciais e finais de cada carrinho.
De acordo com a tabela (4) acima, observamos que a velocidade que o carrinho 2 adquire após o choque, é quase igual à velocidade do carrinho 1 antes do choque. Como já previsto, a energia cinética do sistema, considerando um sistema isolado, seria constante, entretanto, no experimento em laboratório, os carrinhos dissipam energia na colisão na forma de calor e de som, portanto, não é estranho que o carrinho 2 obtenha uma velocidade ligeiramente menor que a velocidade inicial do carrinho 1. Dessa forma, não é absurdo pressupormos que houve conservação da energia mecânica do sistema.
Dado que temos velocidades próximas para 1 e 2, podemos desprezar as perdas e considerar, também, que tivemos conservação do momento linear, pelas mesmas razões acima.
CONCLUSÕES
Esse experimento foi essencial para o aprofundamento do estudo de colisões e conservações de momento linear e energia mecânica em um sistema unidimensional incluindo dois objetos de massas iguais em um plano horizontal com atrito desprezível. 
Os resultados obtidos com o experimento foram razoavelmente satisfatórios em relação à energia cinética, que deveria, mas não se conservou no sistema de colisão elástica. Alguns possíveis erros sistemáticos podem ser considerados para a não conservação da energia cinética do sistema, como: o atrito do carrinho no trilho de ar não é exatamente nulo, erros nos cálculos com os dados do experimento, erros na análise dos vídeos, entre outros. Além disso, conforme já mencionado, no mundo real, temos dissipação de energia na forma de som e calor no momento da colisão, o que corrobora para as velocidades diferentes observada e a consequente, não conservação prática da energia cinética do sistema.
REFERÊNCIAS
Apostila Física Experimental I, IF-UFRJ, 02/2018.
Física I – Mecânica, Sears & Zemansky / Young & Freedman – 12a. Edição, Pearson.
APÊNDICE A: (PROPAGAÇÕES DE INCERTEZAS)
 (18)
 (18.1)
 (18.2)
 (24.2)
 (24.3)
 (25.1)