exerciciosresolvidos-aulas Alglinear

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UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE – UFS 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR À DISTÂNCIA – CESAD 
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 
PROFESSORA: MARTA ÉLID 
TUTORES: JOSEFA RAFAELA DE ANDRADE 
 LUCIENE CUNHA 
MARIANO NUNES DOS SANTOS 
PAULA CARVALHO 
 PAULA REGINA DOS SANTOS MATOS 
 
CONTEÚDOS: AULAS 01 e 02 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – AULAS 01 e 02 
 
1) Calcular o módulo (ou comprimento) do vetor v = (2, 4). Em seguida, responda os itens 
abaixo. 
 
Dica: Para calcular o módulo de um vetor, você deve aplicar a seguinte fórmula: 
22a|| bv +=== |b a,| , onde “a” e “b” são as coordenadas do vetor. Fazendo a 
substituição de a = 2 e b = 4, teremos: 52201644422|| ==+=+=v 
 52|| =v (Lê–se: Módulo do vetor v ) 
 
a) o vetor v é unitário? 
 
Obs.: Se o módulo deste vetor fosse igual a 1, ele seria unitário! O que não aconteceu! 
 
Resp: Não, pois | v | = 152 ≠ . 
 
b) Explicite um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor v e comprimento igual a 1. 
 
Dica: Para que dois vetores u e v tenham mesma direção e sentido é necessário que v = 
λ. u , com λ > 0. 
 
Lembre–se que todo vetor possui um versor. E o versor do vetor v , é o vetor unitário de 
mesma direção e mesmo sentido de v e é dado pela fórmula || v
v
w = . 
Logo, podemos escrever um vetor que tenha as mesmas características de v e ainda possua 
o comprimento igual a 1. 
Assim, ( ) 






=





===
5
52
,
5
5
5
2
,
5
1
52
4,2
|| v
v
w , 







=
5
52
,
5
5
w é o vetor unitário que 
estávamos procurando. Se calcularmos o módulo de w teremos 1=w . 
c) O vetor v é paralelo ao vetor 





=
2
3
,1u ? Justifique sua resposta. 
 
Dica: Verifique se é possível escrever vu .λ= ou seja, ( )4,2.
2
3
,1 λ=





. 
Veja no livro texto a condição de paralelismo de dois vetores. 
 
 
2) Escreva o vetor ( )3,5=u como combinação linear dos vetores 1v = (1, 1) e 
2v = (0, 2). 
Solução: 
(5, 3) = a.(1, 1) + b.(0, 2) ⇒ 



=+
=+
32
50
ba
a
 ⇒ Resolvendo o sistema de equações com duas 
variáveis, obtemos a = 5 e b = – 1. Logo, podemos escrever: (5, 3) = 5.(1, 1) + (– 1).(0, 2) 
 
 
3) Determine os valores de m e n para que os vetores ( )4 3, 1,mu += e 
( )5nm 4,n 10,v ++= sejam iguais. 
 
Solução: 
Igualando as coordenadas temos: 
♦ m + 1 = 10 � m = 9. 
♦ 3 = n + 4 � n = – 1. 
 
 
4) Defina Base de um Espaço Vetorial e dê exemplos. 
 
Solução: Veja a definição que está no “Livro texto”. 
 
 
5) Calcule a projeção do vetor ( )1 ,2=u sobre o vetor ( )1- 4,v = . 
 
Solução: Veja a fórmula do “Livro texto”, para substituir os valores. 
 
 
6) Dados os pontos A(–3, 1, –2), B(4, –2, 5) e C(2, 0, 2), determine o vetor 
ACBCABu +−= 34 . 
Solução: Vamos definir cada um dos vetores AB , BC e AC . 
)7,3,7()2,1,3()5,2,4( −=−−−−=−= ABAB 
)0,5,2()2,5,4()2,0,2( −=−−=−= BCBC 
)4,1,5()2,1,3()2,0,2( −=−−−=−= ACAC 
 
Agora, fazendo as devidas substituições, temos: 
ACBCABu +−= 34 
)4028 ,11512 ,5628( )4,1,5()0,15,6()28,12,28()4,1,5()0,5,2.(3)7,3,7.(4 ++−−−++=−+−−−=−+−−−=u
32) 28,- ,39(=u 
 
 
7) Determine os valores de x e y para que os vetores )2-3y ,12( += xu e )43x ,3( ++= yv 
sejam iguais. 
 
Solução: Considerando que os vetores são iguais, temos: 
 
 temos então que e . 
Fazendo as devidas adequações chegaremos ao sisteminha: 
Resolvendo o sistema encontraremos e . 
 
 
8) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir:(Livro – 1ª, pág. 27) 
 
a) ( V ) Se vu = , então |||| vu = . Just: Dois vetores só são iguais se tiverem mesmo 
módulo, direção e sentido. 
b) ( F ) Se |||| vu = , então vu = . Just: Ter o mesmo módulo não implica em possuir 
mesma direção e sentido, então não podemos afirmar que são iguais. 
c) ( F ) Se vu || , então vu = . Just: Quando vu || , eles têm apenas a mesma direção, e 
não necessariamente mesmo sentido e mesmo módulo. 
d) ( V ) Se vu = , então vu || . Just: Para serem iguais, eles têm que ter mesma direção, 
sentido e módulo e, possuindo mesma direção, satisfaz a condição para serem paralelos. 
 
 
9) Determine o vetor x em função de u e v nas figuras a seguir. (Livro – 3ª, pág. 27–28) 
 
Solução: 
a) vu − b) vu −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) vu + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dados os vetores u , v e w , de acordo com a figura, construir o vetor s 
2
1
 v 3 - 2 =+ wu . 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos 
médios dos lados DC e AB, respectivamente. Completar convenientemente: 
 
a) AD + AB 
b) BA + DA 
c) AC – BC 
d) AN + BC 
e) MD + MB 
f) BM – DC
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Dados os vetores u e v da figura, mostrar um representante do vetor através de um 
gráfico. (Livro – 2ª, Pág. 27) – (Gráfico feito no “Geogebra”) 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d)