MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO

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Matema´tica 1
e
Matema´tica para Administrac¸a˜o
Prof. Wallisom Rosa
2o Semestre 2005
.
Suma´rio
Prefa´cio 6
1 Revisa˜o 10
1.1 Nu´meros Inteiros, Racionais e Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 O Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Distaˆncia no Plano e Equac¸a˜o de uma Circunfereˆncia . . . . . . . . . 18
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 23
2.1 Conceito e Notac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Func¸o˜es Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Func¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Func¸o˜es Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Func¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.5 Func¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
Suma´rio 3
2.2.6 Func¸o˜es Inversas e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 A A´lgebra das Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Combinac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Equac¸o˜es de Oferta e de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Limite e Continuidade 61
3.1 O Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Limites no Infinito; Ass´ıntotas Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.1 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 Ass´ıntotas. Custo Total Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 A Derivada 102
4.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Taxas de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 A Derivada de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Regras de Diferenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Novas Derivadas a partir das Antigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 Regra do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Suma´rio 4
4.6 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.7 Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8 Derivadas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.9 Aproximac¸o˜es Lineares* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9.1 Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 Aplicac¸o˜es da Derivada 136
5.1 Valores Ma´ximo e Mı´nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2 Aplicac¸o˜es da Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Aplicac¸o˜es da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Esboc¸o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6 Aplicac¸o˜es em Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7 Exerc´ıcios (Cap. 4 e 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Avaliac¸o˜es 179
Bibliografia 210
.
Prefa´cio
Essa apostila se destina aos alunos dos cursos de Administrac¸a˜o, Cieˆncias Conta´beis
e Economia que cursam Matema´tica para Administrac¸a˜o ou Matema´tica 1 na Uni-
versidade Federal de Pernambuco. Seu conteu´do visa atender a ementa desses cursos
e sa˜o, na verdade, as minhas notas de aula das vezes que ministrei esse curso nos
semestres anteriores. Quero deixar meus agradecimentos aos meus ex-alunos desses
cursos que contribuiram dando sugesto˜es e cr´ıticas para a melhoria desse texto.
Sera˜o abordados aqui noc¸o˜es introduto´rias dos conceitos do Ca´lculo Di-
ferencial e suas aplicac¸o˜es a`s Cieˆncias Econoˆmicas e Sociais. Fiz o poss´ıvel para
na˜o deixar o texto muito voltado para a abordagem matema´tica ja´ que se destina a
alunos de outras a´reas. Deixei alguns teoremas sem demonstrac¸a˜o pois e´ necessa´rio
uma teoria mais avanc¸ada para demonstra´-los. Tive o cuidado de escolher exemplos
bastante aplica´veis. E´ importante entendeˆ-los bem ja´ que fornecem as ide´ias para a
resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios. E, por falar nisso, na˜o se preocupe se na˜o conseguir fazer
um exerc´ıcio de imediato, as vezes e´ mais conveniente voltar a pensar nele em um
outro momento, com mais maturidade. E´ importante ressaltar que os exerc´ıcios
esta˜o dispostos aleatoriamente e na˜o seguem nenhum padra˜o quanto ao grau de
dificuldade. Tente fazer o maior nu´mero poss´ıvel deles! As respostas na˜o foram
incluidas por va´rios motivos, um deles e´ para obriga´-lo a discutir com seus colegas
as resoluc¸o˜es. Matema´tica tambe´m tem seu lado social!
Tambe´m na˜o se preocupe se precisar ler por mais de uma vez algum
trecho do texto para entendeˆ-lo. Isso e´ absolutamente normal quando se estuda
qualquer teoria matema´tica. E´ preciso muita atenc¸a˜o e concentrac¸a˜o para na˜o se
perder diante de tantas informac¸o˜es. Tenha pacieˆncia e na˜o desista na primeira
tentativa!
6
Prefa´cio 7
O primeiro cap´ıtulo se destina a uma revisa˜o dos conceitos ba´sicos de
nu´meros reais e potenciac¸a˜o e, como e´ uma revisa˜o, deixo a cargo do leitor a decisa˜o
de leˆ-lo.
Espero que degustem esse conteu´do com o prazer que ele merece.
Quaisquer erros de portugueˆs, matema´ticos ou de digitac¸a˜o que encon-
trarem no texto pec¸o encarecidamente que me avisem para que possa corrigi-los o
mais ra´pido poss´ıvel. Desde ja´ agradec¸o!
Ituiutaba, 7 de marc¸o de 2007.
Wallisom Rosa
Graduac¸a˜o em Matema´tica - Universidade Federal de Vic¸osa (2003)
Mestrado em Matema´tica - Universidade Federal de Pernambuco
(2005)
Professor Assistente da UFU, Campus do Pontal (desde 2006)
E-mail: wallisom@pontal.ufu.br
Telefone: (34)3269-2389 ou (34)3268-9827
Os Nu´meros
Meus amigos essa noite eu tive uma alucinac¸a˜o
Sonhei com um bando de nu´mero invadindo o meu serta˜o
Vi tanta coincideˆncia que eu fiz essa canc¸a˜o
Falar do nu´mero 1:
Falar do nu´mero um na˜o e´ preciso muito estudo
So´ se casa uma vez e foi um Deus que criou tudo
Uma vida so´ se vive, so´ se usa um sobretudo.
Agora o 12:
E´ so´ de pensar no doze que enta˜o quase desisto
Sa˜o doze meses do ano, doze apo´stolos de Cristo
Doze horas e´ meio-dia, haja dito haja visto.
Agora o 7:
Sete dias da semana, sete notas musicais,
Sete cores do arco-´ıris, das regio˜es divinais
E se pintar tanto sete, eu ja´ na˜o agu¨ento mais.
Dois:
E no dois o homem luta entre coisas diferentes,
Bem e mal, amor e guerra, preto e branco, bicho e gente
Rico e pobre, claro e escuro, noite e dia, corpo e mente.
Agora o 4:
E o quatro e´ importante,quatro pontos cardeais
Quatro estac¸o˜es do ano, quatro pe´s tem o animal
Quatro pernas tem a mesa, quatro dias o Carnaval.
Pra encerrar
Eu falei de tantos nu´meros, talvez esqueci algum
Mas as coisas que eu disse na˜o sa˜o la´ muito comuns
Quem souber que conte outra ou que fique sem nenhum
Quem souber da histo´ria que me conte outra.....
Raul Seixas e Paulo Coelho
Cap´ıtulo 1
Revisa˜o
Faremos aqui uma breve revisa˜o de certos conceitos sobre nu´meros. Certamente, o
que esta´ feito neste cap´ıtulo na˜o deve ser nenhuma novidade para o leitor, mas e´
muito importante para nivelar nossos conhecimentos sobre os nu´meros reais e suas
propriedades. Esse conteu´do pode ser enconrtrado em qualquer uma das refereˆncias
citadas.
1.1 Nu´meros Inteiros, Racionais e Reais
Os nu´meros mais usuais no dia a dia sa˜o os nu´meros 1, 2, 3, ..., chamados inteiros
positivos (ou, simplesmente naturais). Geralmente os utilizamos para enumerar ou
contar. Usaremos a seguinte notac¸a˜o para esse conjunto
Notac¸~ao: N = {1, 2, 3, ...}
Os nu´meros −1,−2,−3,−4, ... sa˜o chamados inteiros negativos. Quando
nos referirmos aos inteiros positivos juntamente com os inteiros negativos e o 0, no´s os
chamaremos simplesmente inteiros. Portanto, os inteiros sa˜o 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ....
Notac¸~ao Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
A soma e o produto de dois nu´meros inteiros sa˜o ainda inteiros. Ademais, dados
a, b e c inteiros quaisquer, esta soma obedece a`s seguintes propriedades:
S1. Comutativa. a+ b = b+ a;
10
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 11
S2. Associativa. (a+ b) + c = a+ (b+ c);
S3. Elemento Neutro. a+ 0 = a para todo a ∈ Z e, ale´m disso, 0 e´ o
u´nico inteiro com esta propriedade;
S4. Inverso Aditivo. Para cada a ∈ Z existe um u´nico −a ∈ Z tal que
a+ (−a) = 0.
Note que a propriedade comutativa tambe´m garante que 0+ a = a e que
(−a) + a = 0. O conjunto Z munido com esta soma e´ um exemplo de um grupo
abeliano1 (ou comutativo).
Ale´m dos inteiros temos as frac¸o˜es, como 3
4
, 5
7
,−1
9
,−10
29
, ..., que podem
ser positivas ou negativas, e que podem ser escritas como quocientes m/n, onde
m,n sa˜o inteiros e n 6= 0. Muito utilizadas em processos de divisa˜o. Tais frac¸o˜es
sa˜o chamadas nu´meros racionais. Todo inteiro m e´ um nu´mero racional, porque
pode ser escrito na forma m/1, mas e´ claro que nem todo nu´mero racional e´ um
inteiro (Contra-exemplo: 1
2
na˜o e´ um nu´mero inteiro!). Para os racionais, usaremos
a seguinte notac¸a˜o:
Notac¸~ao: Q = {p
q
/ p, q ∈ Z e q 6= 0}.
Observe que a soma e o produto de dois nu´meros racionais sa˜o ainda
nu´meros racionais. Se a/b e m/n sa˜o dois nu´meros racionais quaisquer (a, b,m, n
inteiros e b, n 6= 0), a soma e o produto destes sa˜o da seguinte forma:
a
b
.
m
n
=
a.m
b.n
(1.1)
a
b
+
m
n
=
a.n+ b.m
b.n
. (1.2)
Se p, q e w sa˜o racionais quaisquer, enta˜o este produto definido em (1.2)
satisfaz as seguintes propriedades:
P1. Comutativa. p.q = q.p ;
P2. Associativa. (a.b).c = a.(b.c);
P3. Elemento Neutro.2 p.1 = p para todo p ∈ Q. E 1 e´ o u´nico
racional com tal propriedade.
1Em homenagem ao matema´tico noruegueˆs Niels Abel.
2Tambe´m chamado unidade.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 12
Se pensarmos em + e · como operac¸o˜es, as propriedades acima e as treˆs
primeiras propriedades da soma sa˜o ana´logas. Poder´ıamos enta˜o nos perguntar:
“Para cada racional p existe um inverso multiplicativo q tal que p.q = 1?”
A resposta e´ na˜o. O contra-exemplo e´ o´bvio: Na˜o existe nenhum racional
tal que seu produto por 0 seja igual a 1. Entretanto, se olharmos para o conjunto
Q−{0} = {q ∈ Q / q 6= 0} a resposta agora e´ sim. Todo nu´mero racional na˜o nulo
possui um inverso multiplicativo e ale´m disso, se a/b e´ um racional na˜o nulo enta˜o
b/a e´ seu inverso multiplicativo, ou seja,
a
b
.
b
a
= 1.
Finalmente, temos os nu´meros que podem ser representados por deci-
mais infinitas, como 3
9
= 0, 3333...,−978
990
= −0, 9878787...,√2 = 1, 41421356..., pi =
3, 141592.... Quando a representac¸a˜o decimal infinita de um nu´mero apresenta uma
parte perio´dica este nu´mero e´ racional; caso contra´rio ele e´ chamado irracional. En-
tretanto, este na˜o e´ um bom teste para verificar se um determinado nu´mero e´ ou na˜o
racional pois esta parte perio´dica pode na˜o ser facilmente identificada. Os nu´meros
racionais e irracionais sa˜o chamados nu´meros reais, ou simplesmente nu´meros (ou
ainda, reais).
Notac¸~ao: R = Q ∪ Irracionais.
Observac¸a˜o 1.1.1 Note que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (“ ⊂ ” significa “esta´ contido em”!).
Observac¸a˜o 1.1.2 Mais ainda, R = Q ∪ Irracionais e Q ∩ Irracionais = ∅. Isto
e´, todo nu´mero real ou e´ racional ou e´ irracional, sa˜o caracter´ısticas mutuamente
exclusivas (“ ∪ ” significa “unia˜o com”enquanto “ ∩ ” significa “intersec¸a˜o com”!).
Observac¸a˜o 1.1.3 Na˜o existe uma lei de fomac¸a˜o que sirva para identificar todos
os nu´meros irracionais, ao contra´rio do que acontece com os racionais.
Observac¸a˜o 1.1.4 Ha´ muito mais irracionais que racionais entre os nu´meros reais
(Apenas uma curiosidade!). Grosseiramente, se consegu´ıssemos colocar todos os
nu´meros reais em uma caixa e escolheˆssemos aleatoriamente um deles, a probabili-
dade desse nu´mero ser um racional e´ zero!
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 13
A soma e o produto de dois nu´meros reais ainda e´ um nu´mero real. A
soma satisfaz as propriedades S1, S2, S3 e S4 e o produto satisfaz as propriedades
P1, P2 e P3. Ademais, todo nu´mero real na˜o nulo possui um inverso multiplicativo
e se x ∈ R e x 6= 0 enta˜o representaremos seu inverso multiplicativo por x−1 e
x−1 =
1
x
.
Enfatizamos que a expressa˜o
1/0 ou 0−1
na˜o e´ definida.
Em outras palavras, na˜o podemos dividir por 0, e na˜o atribuimos nenhum
significado aos s´ımbolos 1/0 ou 0−1.
Entretanto, se x e´ um nu´mero enta˜o o produto x.0 e´ definido e e´ igual a
0. O produto de qualquer nu´mero por 0 e´ 0. Ale´m disso, se x e´ qualquer nu´mero
diferente de 0, enta˜o 0/x e´ definido e igual a 0, e pode ser escrito como 0.( 1
x
).
Observac¸a˜o 1.1.5 Note que um nu´mero racional q = m
n
, m, n ∈ Z e n 6= 0, e´
zero se, e somente se, m = 0.
R munido com a soma e o produto e´ um exemplo do que na A´lgebra se
chama corpo.
Existe em R uma ordem natural segundo a qual dados dois nu´meros
quaisquer x e y em R tem-se:
ou x > y, ou x = y ou y > x.
Chamamos esta propriedade dos reais de Tricotomia. Assim R e´ o que chamamos
um corpo ordenado.
Munidos com esta ordem podemos representar o conjunto R geometrica-
mente da seguinte maneira:
1. Trac¸amos uma reta e marcamos nela uma origem que sera´ ocupada pelo nu´mero
0.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 14
2. Os pontos da reta que estiverem a` direta de 0 sera˜o os nu´meros positivos e os
que estiverem a` esquerda de 0, os negativos.
3. Resta apenas definir uma unidade de medida para que possamos identificar
qualquer nu´mero real como um ponto da reta, o ponto da reta que dista x de 0, se
x e´ positivo e −x de 0 se x for negativo.
0
0
0 1
PositivosNegativos
1.
2.
3.
Por exemplo o nu´mero −3 e´ negativo e se situa a` esquerda de 0 a uma
distaˆncia de 3 unidades. Sua representac¸a˜o na reta e´ dada por
0 1-3
3
Esta ide´ia motiva a definic¸a˜o do valor absoluto de um nu´mero.
Definic¸a˜o 1.1.1 O Valor Absoluto de um nu´mero, representado por |x|, e´ a distaˆncia
deste nu´mero a` origem 0, e e´ dado por
|x| =
{
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
Note que a distaˆncia entre dois nu´meros reais x e y e´ igual a |x− y|. Por
exemplo, a distaˆncia entre 3 e −5 e´ |3− (−5)| = |8| = 8. (Veja a figura 1.1)
Frequentemente, iremos nos valer desta bijec¸a˜o entre os nu´meros reais e
os pontos de uma reta para confundirestas definic¸o˜es. Diremos reta real ou R para
nos referirmos a` mesma coisa.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 15
0 1-5
8unidades
3
Figura 1.1:
Com a relac¸a˜o de ordem citada anteriormente, obtemos alguns subcon-
juntos de R que sera˜o importantes para o nosso estudo futuro: os intervalos. Por
exemplo o conjunto dos nu´meros reais que sa˜o maiores que a e menores que b e´
chamado um intervalo aberto. Denotaremos este conjunto por (a, b). Isto e´,
(a, b) = {x ∈ R / a < x < b}.
Temos tambe´m os intervalos fechados, denotados por [a, b] e tais que
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
e os intervalos que na˜o sa˜o nem abertos nem fechados – os semi-abertos ou semi-
fechados – denotados por
[a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}
e
(a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}.
Ale´m destes intervalos temos tambe´m os intervalos que sa˜o ilimitados.
Utilizaremos os s´ımbolos∞ e −∞ para indicar que determinado intervalo se estende
indefinidamente para a direita ou para a esquerda. Por exemplo,
(a,∞) = {x ∈ R / x > a}
e
(−∞, b] = {x ∈ R / x ≤ b}.
Observe que o intervalo sera´ sempre aberto nesses s´ımbolos.
A maioria dos resultados que veremos nesta apostila fara˜o uso destes
intervalos da reta, bem como a unia˜o e ou intersec¸a˜o deles.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 16
1.2 Poteˆncias
Seja n um inteiro maior ou igual que 1 (≥ 1) e seja a um nu´mero qualquer. Enta˜o,
an e´ o produto de a por si mesmo n vezes. Por exemplo, se a = 2 e n = 3 enta˜o,
a3 = 2.2.2 = 8.
Uma propriedade elementar da potenciac¸a˜o e´
xm+n = xm.xn (1.3)
onde x e´ um nu´mero qualquer e m,n sa˜o inteiros positivos (m,n ∈ Z e m, n > 0.)
Sejam n ∈ Z, n ≥ 1 e a ∈ R, a > 0. Definimos a 1n como sendo o u´nico
nu´mero positivo b tal que bn = a. (Admitimos, como parte das propriedades dos
nu´meros, que tal nu´mero b, u´nico, exista).
Pergunta: Se n e´ um inteiro ı´mpar, como 1, 3, 5, 7, ..., podemos definir b
1
n para
todo nu´mero b?
Se a, b sa˜o dois nu´meros maiores ou iguais a 0 e n um inteiro maior ou
igual a 1 enta˜o
(ab)
1
n = a
1
n b
1
n . (1.4)
Existe outra regra elementar u´til. Sejam m,n inteiros maiores ou iguais
a 1 e a um nu´mero maior ou igual a 0. Definimos3 a
m
n como sendo (a
1
n )m, que e´
tambe´m igual a (am)
1
n (Verifique! ).
Vejamos agora poteˆncias com expoentes negativos ou 0. Queremos definir
xa quando a e´ um nu´mero racional negativo ou 0 e x > 0. Queremos que seja va´lida
a regra fundamental
xa+b = xaxb.
Isto significa que precisamos definir x0 como sendo 1. Por exemplo, como
23 = 23+0 = 2320,
vemos que esta equac¸a˜o so´ e´ verificada se 20 = 1. Analogamente se, para x > 0, a
relac¸a˜o
xa = xa+0 = xax0
3Com isso definimos poteˆncia de um nu´mero com expoente racional positivo.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 17
e´ verdadeira, enta˜o x0 precisa ser igual a 1.
Suponhamos, finalmente que a seja um nu´mero racional positivo, e seja
x um nu´mero maior que 0. Definimos x−a como sendo
1
xa
.
Assim,
2−3 =
1
23
=
1
8
, e 4−
2
3 =
1
4
2
3
.
Observamos que neste caso especial,
(4−
2
3 )(4
2
3 ) = 40 = 1.
Em geral,
xax−a = 1. (1.5)
Com isso, terminamos nossa revisa˜o sobre nu´meros e regras ba´sicas de
suas operac¸o˜es.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 18
1.3 O Plano Cartesiano
Um produto cartesiano entre dois subconjuntos A e B da reta real R e´ denotado
por A×B e definido da seguinte maneira:
A×B = {(a, b) / a ∈ A e b ∈ B}.
O Plano Cartesiano4 e´ o produto cartesiano de R por R. A`s vezes uti-
lizaremos R2 ao inve´s de R× R e chamaremos simplesmente plano real. O nu´mero
a e´ chamado de abscissa de (a, b) e b a ordenada. A representac¸a˜o gra´fica e´ a que
esta´ na figura 1.2.
0 x
y
a
b
P=(a,b)
o
rd
en
a
d
a
abscissa
d
Figura 1.2: Plano Cartesiano. Pelo “Teorema de Pita´goras”, d =
√
a2 + b2.
1.4 Distaˆncia no Plano e Equac¸a˜o de uma Circun-
fereˆncia
Observe a figura 1.2.
4Em homenagem ao seu criador, o matema´tico franceˆs Rene´ Descartes (1596-1650).
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 19
Pelo “Teorema de Pita´goras”, a dista˜ncia d entre o ponto P e a origem
e´ dada por
d2 = a2 + b2,
o que inplica5
d =
√
a2 + b2.
Dados A = (a, b) e B = (c, d) a distaˆncia d entre A e B e´ dada por:
d =
√
(a− c)2 + (b− d)2.
x
y
a
b
c
d
B=(c,d)
A=(a,b)
d
Figura 1.3: d¯ e´ a distaˆncia entre os pontos A = (a, b) e B = (c, d) no plano.
Uma circunfereˆncia e´ o conjunto de todos os pontos do plano que esta˜o
situados a uma distaˆncia r de um ponto fixo P . P e r sa˜o chamados o centro e o
raio, respectivamente, da circunfereˆncia.
Dados P = (x0, y0) e r um nu´mero positivo dado, se (x, y) pertence a
circunfereˆncia de raio r e centro em P enta˜o
r =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2,
5Note que distaˆncia e´ sempre positiva (ou zero!).
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 20
ou seja,
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2. (1.6)
A equac¸a˜o (1.6) e´ chamada equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro em P e
raio r.
0 x0
y0
P
r
x
y
Figura 1.4: Circunfereˆncia de centro em P = (x0, y0) e raio r.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 21
1.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Estenda as fo´rmulas (1.1) e (1.2) para todos os reais. Simplifique as expresso˜es
abaixo, sabendo que a, b 6= 0:
a.
(
1
a
+ 1
b
)
.
(
a
2b
− 2
)
b.
1
a
1
b
+ 3
5a
.
Exerc´ıcio 2
Novamente usando as fo´rmulas (1.1) e (1.2) e lembrando que duas frac¸o˜es a
c
e b
c
com o mesmo denominador c 6= 0 sa˜o iguais se a = b, encontre A e B para que as
seguintes igualdades ocorram
a. 1
x2−1 =
A
x−1 +
B
x+1
, onde x e´ um nu´mero real diferente de 1 e −1.
b. 1
6
= A
2
+ B
3
. Sa˜o u´nicos os valores de A e B? Se A = 1 quanto deve ser B?
Exerc´ıcio 3
Determine que valores um nu´mero real x pode assumir para que seja poss´ıvel efetuar
os seguintes ca´lculos6:
a. 1
x2−1 (isto e´, dividir 1 por x
2 − 1.)
b. 21
(x−1)(x+2)(x+ 2
3
)
.
Exerc´ıcio 4
Use as fo´rmulas acima para simplificar as expresso˜es abaixo.
a. [(x− 2)−2 + (x− 1)−1].(x− 1) 23 , onde x e´ um nu´mero diferente de 1 e 2.
b. Seja h > 0. Calcule (h+ 1)−1 − h−1.
6Lembre que o produto de dois nu´meros e´ zero se, e somente se, um deles e´ zero.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 22
c. (x−1)
3(x−1)−2
(x−2)−2 , onde x 6= 2.
d.
(
(x−1)2(x−2)5
(x−2)3
) 1
2
, onde x 6= 2.
Exerc´ıcio 5
Encontre os valores de x para os quais e´ poss´ıvel determinar os quocientes abaixo.
a. 1
x2+x+1
b. x−1
x2−2x+1
c. 1
(x−1)2(x−2)13(x−5)−1 .
Exerc´ıcio 6
Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro em (7, 5) e raio 3.
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es
Um dos conceitos fundamentais em Matema´tica e´ o de func¸a˜o. Nesse cap´ıtulo estu-
daremos as func¸o˜es de uma varia´vel e suas aplicac¸o˜es a`s cieˆncias econoˆmicas como,
por exemplo, a ana´lise de equil´ıbrio e as func¸o˜es oferta/demanda.
2.1 Conceito e Notac¸a˜o
Seja D ⊂ R um subconjunto na˜o-vazio dos nu´meros reais.
Uma func¸a˜o f de D em R e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
elemento x de D um u´nico nu´mero, que denotaremos por f(x), em R. Em resumo:
f : D → R
x 7→ f(x).
Podemos pensar em uma func¸a˜o como uma ma´quina que recebe como
mate´ria-prima os elementos x de D, os processa e devolve na sa´ıda nu´meros reais
do tipo f(x). E´ o que esta´ ilustrado a seguir:
x f(x)Função
Entrada Saída
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 24
O nu´mero x e´ tambe´m chamado varia´vel independente (ou simplesmente
varia´vel). O conjunto D, formado por todas as entradas poss´ıveis, e´ chamado
domı´nio de f .
D = {x ∈ R / ∃f(x) ∈ R}.
f(x) e´ chamado imagem de x por f . O conjunto formado pelos nu´meros
f(x) com x ∈ D, dado por
{f(x) / x ∈ D}
e´ chamadode conjunto imagem de f . A notac¸a˜o para o conjunto imagem e´ Im(f).
Assim,
Im(f) = {f(x) / x ∈ D}.
As seguintes notac¸o˜es para uma func¸a˜o f podem ser encontradas na
literatura: f , f(x), y = f(x). Usaremos sempre uma letra, maiu´scula ou minu´scula,
para representar as func¸o˜es. As varia´veis sera˜o representadas por letras minu´sculas.
Existem diferentes maneiras de representar uma func¸a˜o:
1. Descric¸~ao Verbal.
Por exemplo, podemos pensar em uma func¸a˜o que fornec¸a a soma de um
nu´mero, diferente de zero, com seu inverso multiplicativo.
2. Express~ao ou Fo´rmula.
f(x) = x2, S(x) = x+
1
x
.
3. Tabela de Valores.
x 10 15 20 25 ...
f(x) 450 600 750 900 ...
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 25
4. Gra´fico.
f
x
y
a
f(a)
5. Diagrama de setas.
0
1
p
f
f(0)=3
f(1)=0
f( )=-1p
Exemplo 2.1.1 Seja f(x) = x2. Calcule f(1), f(−2), f(a+h), f(a+h)− f(a)
e f(a+h)−f(a)
h
.
Soluc¸a˜o:
f(1) = 12 = 1,
f(−2) = (−2)2 = 4,
f(a+ h) = (a+ h)2 = a2 + 2ah+ h2,
f(a+ h)− f(a) = a2 + 2ah+ h2 − a2 = 2ah+ h2,
f(a+ h)− f(a)
h
=
2ah+ h2
h
= 2a+ h. ¤
Exemplo 2.1.2 Seja f(t) = t − 1
t
. Encontre o domı´nio de f e os valores f(−1) e
f(z − 1).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 26
Soluc¸a˜o: D = {t ∈ R / t 6= 0} = R− {0}.
f(−1) = 0,
f(z − 1) = z − 1− 1
z−1 = z − 2, desde que z 6= 1. ¤
Exemplo 2.1.3 A Func¸a˜o Valor Absoluto. Vimos anteriormente a definic¸a˜o de
valor absoluto1 de um nu´mero. O valor absoluto de um nu´mero pode ser visto como
uma func¸a˜o que associa a cada nu´mero real x sua distaˆncia a` origem. Esta func¸a˜o
e´ sempre positiva e como a forma de calcular a imagem de cada real depende de seu
sinal, esta func¸a˜o e´ o primeiro exemplo de uma func¸a˜o enunciada por sentenc¸as.
Exemplo 2.1.4 Suponha que um comerciante de cadeiras tenha um custo de R$30, 00
por cadeira produzida, ale´m de um custo mensal fixo de R$150, 00. Enta˜o, se x
unidades de cadeiras forem produzidas, podemos escrever o custo total como func¸a˜o
do nu´mero de cadeiras produzidas da seguinte maneira:
C(x) = 30x+ 150.
A tabela que ilustramos anteriormente fornece alguns valores desta func¸a˜o.
Exemplo 2.1.5 Um comerciante deseja fazer caixas de papela˜o sem tampa uti-
lizando pedac¸os quadrados de papela˜o com 30cm de lado, cortando quadrados iguais
dos quatro cantos e virando para cima os lados que sobraram. Se x cm e´ o compri-
mento do lado do quadrado a ser cortado, o volume V da caixa pode ser expresso
como uma func¸a˜o de x da seguinte maneira:
V (x) = (30− 2x)2.x = 900x− 120x2 + 4x3.
Mais adiante estaremos interessados em saber qual o valor de x que fornecera´ o
maior volume poss´ıvel a` caixa. Observe tambe´m que as limitac¸o˜es f´ısicas do problema
fazem com que o domı´nio de V seja dado pelo intervalo aberto (0, 15). (Veja a figura
2.1)
1Recorde a definic¸a˜o 1.1.1.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 27
30cm
30-2x
x
xcm
Figura 2.1:
O gra´fico de uma func¸a˜o f : D → R e´ o conjunto dos pares ordenados
(x, f(x)) com x ∈ D. O gra´fico de f e´ um subconjunto do plano cartesiano e o
denotaremos por Graf(f). Assim,
Graf(f) = {(x, f(x)) / x ∈ D}
e podemos representa´-lo no plano cartesiano da seguinte maneira.
f
x
y
a
f(a)
(a,f(a))
Uma curva no plano e´ o gra´fico de uma func¸a˜o se toda reta verical a
intercepta uma u´nica vez. Na figura 2.2 damos exemplos de curvas no plano que
representam e que na˜o representam gra´fico de uma func¸a˜o. Para a primeira curva,
toda reta vertical a intercepta uma u´nica vez, logo, ela representa o gra´fico de uma
func¸a˜o. Ja´ na segunda curva, existem retas verticais que a interceptam em treˆs
lugares. Portanto, esta na˜o representa o gra´fico de uma func¸a˜o.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 28
x
y
x
y
Figura 2.2:
2.1.1 Simetrias
Algumas func¸o˜es apresentam simetrias que facilitam o trac¸ado de seus gra´ficos.
Seja D um conjunto sime´trico em relac¸a˜o a 0, isto e´, se x pertence a D
enta˜o seu oposto aditivo −x tambe´m pertence a D.
Uma func¸a˜o f : D → R e´ par se f(−x) = f(x) para todo x ∈ D.
O gra´fico de uma func¸a˜o par apresenta uma simetria com relac¸a˜o ao eixo-y. Isso
significa que se fizermos o gra´fico de f para x ≥ 0, para obter o gra´fico inteiro basta
refletir o que temos em torno do eixo-y.
y
-x x0
Por exemplo, f(x) = x2 e´ uma func¸a˜o par pois
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x), ∀x ∈ D.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 29
Uma func¸a˜o f : D → R e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x), para todo x ∈ D.
Por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3 e´ ı´mpar pois
f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x), ∀x ∈ D.
O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem. Logo,
se tivermos o gra´fico de f para x ≥ 0, podemos obter o gra´fico inteiro girando o que
ja´ temos em 180o em torno da origem.
y
-x
x
0
Exemplo 2.1.6 Determine se a func¸a˜o e´ par, ı´mpar ou nenhum dos dois.
a. f(x) = x5 + x; b. g(x) = 2x− x4.
Soluc¸a˜o: a. A func¸a˜o f e´ ı´mpar pois
f(−x) = (−x)5 − x = −x5 − x = −(x5 + x) = −f(x),
para todo x ∈ R. ¤
b. Ja´ a func¸a˜o g na˜o e´ nem par nem ı´mpar pois
g(−x) = −2x− x4
que e´ diferente de g(x) e de −g(x). ¤
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 30
Como acabamos de ver, existem func¸o˜es que nem sa˜o pares nem ı´mpares.
Contudo, existe um fato curioso:
“Toda func¸a˜o definida em um conjunto D, sime´trico em relac¸a˜o a origem,
pode ser escrita como a soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.”
Com efeito, seja f uma func¸a˜o de D em R. Da´ı, se x ∈ D enta˜o
f(x) =
f(x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)− f(−x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
.
Afirmamos que g(x) = f(x)+f(−x)
2
e´ par e h(x) = f(x)−f(−x)
2
e´ ı´mpar. Se
provamos esta afirmac¸a˜o concluimos a demonstrac¸a˜o. De fato,
g(−x) = f(−x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)
2
= g(x)
para todo x ∈ D e
h(−x) = f(−x)− f(x)
2
= −
[f(x)− f(−x)
2
]
= −h(x)
para todo x ∈ D. Logo, g e´ par e h e´ ı´mpar.
Esta demonstrac¸a˜o e´ de existeˆncia. Provamos que existem uma func¸a˜o
par g e uma func¸a˜o ı´mpar h tais que f(x) = g(x) + h(x), para todo x ∈ D. Ale´m
disso, demos uma fo´rmula para se encontrar as func¸o˜es g e h em termos de f .
2.1.2 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se
f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I.
f e´ decrescente em I se
f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 31
y
x0 x1 x2
f(x )2
f(x )1
y
x0 x1 x2
f(x )2
f(x )1
fcrescente fdecrescente
Nestas definic¸o˜es e´ importante salientar que, por exemplo, uma func¸a˜o
e´ crescente em um intervalo I se a desigualdade f(x1) < f(x2) se mante´m para
quaisquer x1 e x2 em I com x1 < x2.
Por exemplo, pelo gra´fico de f(x) = x2, podemos observar que esta e´
decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0,∞).
y
x0
crescentedecrescente
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 32
2.2 Func¸o˜es Importantes
Nesta sec¸a˜o veremos algumas das principais func¸o˜es do ca´lculo.
2.2.1 Func¸a˜o Linear
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o linear 2 de x quando o gra´fico de f e´ uma
reta. Assim, a forma mais geral poss´ıvel para uma func¸a˜o linear e´
f(x) = mx+ b
onde m, b ∈ R.
y
x0
y=mx+b
a
m=tanab
As constantesm e b recebem o nome de coeficiente angular(ou inclinac¸a˜o)
e coeficiente linear, respectivamente. Se m = 0, f(x) = b e´ uma func¸a˜o constante e
se m = 1 e b = 0, f(x) = x e´ a func¸a˜o identidade.
Uma caracter´ıstica peculiar das func¸o˜es lineares e´ que elas crescem ou
decrescem a uma taxa constante.
O exemplo 2.1.4 e´ um exemplo de uma func¸a˜o linear. Note que a cada 5unidades a mais produzidas o custo total da produc¸a˜o aumenta em R$150, 00. Isso
fornece uma taxa crescimento de R$30, 00 por unidade produzida. Esse resultado
na˜o e´ nenhuma novidade ja´ que o pro´prio exemplo ja´ fornece esta informac¸a˜o.
2Esta e´ a definic¸a˜o dada em [2]. Em [5], define-se func¸a˜o linear como as func¸o˜es do tipo
f(x) = ax, e as da forma g(x) = ax+ b, b 6= 0, sa˜o chamadas func¸o˜es afim.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 33
2.2.2 Polinoˆmios
Uma func¸a˜o P e´ chamada um polinoˆmio(ou func¸a˜o polinomial) se e´ da forma
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
onde n e´ um inteiro na˜o negativo. Os nu´meros a0, a1, a2, ..., an sa˜o constantes
chamadas coeficientes do polinoˆmio. O grau de P e´ o maior inteiro n tal que an 6= 0
e o grau de P (x) = 0 (chamado de polinoˆmio nulo) e´ zero.
O domı´nio de qualquer polinoˆmio e´ R.
Por exemplo, a func¸a˜o
P (x) = 7x5 +
√
3x3 + pix2 − x+ 1
3
e´ um polinoˆmio de grau 5. A func¸a˜o V do exemplo 2.1.5 e´ um polinoˆmio de grau 3.
Um polinoˆmio de grau 1 e´ da forma P (x) = mx + b e, portanto, e´ uma
func¸a˜o linear. Um polinoˆmio de grau 2 e´ da forma P (x) = ax2+ bx+ c e e´ chamado
de func¸a˜o quadra´tica. O gra´fico de P nesse caso e´ sempre uma para´bola.
Um polinoˆmio de grau 3 e´ chamado de func¸a˜o cu´bica e tem a forma
P (x) = ax3 + bx2 + cx+ d.
Na figura 2.3 ilustramos os gra´ficos de polinoˆmios de graus 2,3,4 e 5.
Os economistas frequentemente utilizam um polinoˆmio P (x) para repre-
sentar o custo na produc¸a˜o de x unidades de um certo produto.
2.2.3 Func¸o˜es Racionais
Uma func¸a˜o racional f e´ o quociente de dois polinoˆmios. Isto e´,
f(x) =
P (x)
Q(x)
onde P e Q sa˜o polinoˆmios. O domı´nio consiste de todos os valores de x tais que
Q(x) 6= 0. Um exemplo ja´ conhecido de func¸a˜o racional e´ a func¸a˜o f(x) = 1
x
que
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 34
grau2 grau3
grau4 grau5
Figura 2.3: Gra´ficos de polinoˆmios de graus 2,3,4 e 5.
associa a cada nu´mero real na˜o nulo seu inverso multiplicativo. Seu domı´nio e´
R− {0}. A func¸a˜o
f(x) =
x− 1
x2 − 2x+ 1
e´ uma func¸a˜o racional cujo domı´nio e´ {x ∈ R / x 6= 1}.
2.2.4 Func¸o˜es Alge´bricas
Uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o alge´brica se puder ser constru´ıda a partir de um nu´mero
finito de operac¸o˜es alge´bricas (tais como adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o, extrac¸a˜o de ra´ızes)
comec¸ando com polinoˆmios. Em particular, toda func¸a˜o racional e´ uma func¸a˜o
alge´brica. Alguns exemplos:
f(x) =
√
x3 + 1 e g(x) =
x4 − 16x2
x+
√
x
+ x
1
3 .
O gra´fico de uma func¸a˜o alge´brica, como veremos mais adiante, pode
assumir uma variedade de formas.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 35
2.2.5 Func¸o˜es Exponenciais
Uma func¸a˜o exponencial e´ uma func¸a˜o da forma
f(x) = ax
onde a e´ uma constante positiva. Por exemplo
f(x) = 2x, g(x) = pix e h(x) =
(1
2
)x
sa˜o exemplos de func¸o˜es exponenciais.
Os gra´ficos dos membros da famı´lia de func¸o˜es y = ax esta˜o na figura
abaixo para valores diferentes da base a. Note que todos estes gra´ficos passam pelo
ponto (0, 1), pois a0 = 1 para a 6= 0 (Veja a sec¸a˜o 1.2.).
0
a>1
a=1
0<a<1
Se 0 < a < 1, enta˜o ax aproxima-se de 0 a` medida que x cresce. Se a > 1,
enta˜o ax tende a 0 a` medida que x decresce por valores negativos.
Pela figura anterior, percebemos que existem treˆs tipos de func¸a˜o expo-
nencial y = ax. Se 0 < a < 1, a func¸a˜o exponencial e´ sempre decrescente; se a = 1,
ela e´ uma constante; e se a > 1, ela e´ crescente. Observe que o domı´nio de uma
func¸a˜o exponencial e´ R e em qualquer caso ax > 0, para todo x. Ou seja, o conjunto
imagem de uma func¸a˜o exponencial e´ o intervalo (0,∞). Ale´m disso, uma vez que
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 36
(1/a)x = 1/ax = a−x, o gra´fico de y = (1/a)x e´ a reflexa˜o do gra´fico de y = ax em
torno do eixo-y.
Dentre todas as bases poss´ıveis para uma func¸a˜o exponencial, ha´ uma
que e´ mais conveniente. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a func¸a˜o
y = ax corta o eixo-y. As figuras a seguir mostram as retas tangentes ao gra´fico de
y = 2x e y = 3x (retas tangentes sera˜o definidas precisamente nos cap´ıtulos 3 e 4;
por ora vamos pensar na reta tangente ao gra´fico exponencial em um ponto como a
reta que toca o gra´fico em um u´nico ponto.) Se medirmos as inclinac¸o˜es das retas
tangentes encontraremos m ≈ 0, 7 para y = 2x e m ≈ 1, 1 para y = 3x.0
1
y
x
a=3
a=2
m=1,1
m=0,7
Figura 2.4: y = ax, a = 2, 3 e suas respectivas retas tangentes em (0, 1).
O nu´mero e e´ a base para a qual resulta uma reta tangente a y = ax
no ponto (0, 1) com uma inclinac¸a˜o de exatamente 1. Ele foi descoberto pelo
matema´tico su´ıc¸o Leonhard Euler em 1727.
Analisando os gra´ficos acima na˜o nos surpreende que o nu´mero e esteja
entre 2 e 3 e o gra´fico de y = ex entre os gra´ficos de y = 2x e y = 3x. O nu´mero e e´
um nu´mero irracional e seu valor3 ate´ a quinta casa decimal e´ dado por
e ≈ 2, 71828.
3Na˜o entraremos em detalhes de como encontrar tal valor para e. Na˜o e´ o objetivo deste texto!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 37
0
1
y
x
Figura 2.5: Gra´fico de y = ex e sua reta tangente em (0, 1) cuja inclinac¸a˜o e´ 1.
2.2.6 Func¸o˜es Inversas e Logaritmos
Uma func¸a˜o f e´ chamada um a um (ou injetora) se nunca assume o mesmo valor
duas vezes, isto e´,
f(x1) 6= f(x2) sempre que x1 6= x2.
Por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3 e´ um a um pois se x1 6= x2 enta˜o
x31 6= x32 (dois nu´meros diferentes na˜o podem ter o mesmo cubo!).
Pore´m, a func¸a˜o f(x) = x2 na˜o e´ um a um pois, por exemplo, se x1 = −1
e x2 = 1 enta˜o x1 6= x2 e, no entanto, f(x1) = 1 = f(x2).
Se conhecemos o gra´fico de uma dada func¸a˜o f , para sabermos se ela e´
injetora basta verificar se toda reta horizontal intercepta seu gra´fico em apenas um
ponto. Ou seja, uma func¸a˜o e´ um a um se toda reta vertical intercepta seu gra´fico
uma u´nica vez (Veja a figura 2.6).
O conjunto imagem de uma func¸a˜o f : D → R, denotado por Im(f) e´
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 38
x
y
Figura 2.6: Gra´fico de uma func¸a˜o um a um.
dado por
Im(f) = {f(x) / x ∈ D}.
Claramente, Im(f) e´ um subconjunto de R. O conjunto R, por sua vez,
e´ chamado o contra-domı´nio de f . Sendo o mais geral poss´ıvel, se f e´ uma func¸a˜o
de um conjunto A em um conjunto B (f : A→ B), enta˜o A e´ o domı´nio de f , B e´
o contra-domı´nio e o conjunto imagem Im(f) e´ um subconjunto de B.
Diremos que uma func¸a˜o f : A → B e´ sobrejetora se Im(f) = B. Lem-
bramos que esta igualdade e´ entre dois subconjuntos de R, isto e´,
Im(f) = B se, e somente se, Im(f) ⊂ B e B ⊂ Im(f).
Como a inclusa˜o Im(f) ⊂ B e´ sempre satisfeita enta˜o, para verificar que
uma dada func¸a˜o e´ sobrejetora basta verificar se B ⊂ Im(f).
Observe que qualquer func¸a˜o f : D → Im(f) e´ sempre sobrejetora. Ou
seja, toda func¸a˜o e´ sobrejetora sobre o seu conjunto imagem.
Uma func¸a˜o f : A → B e´ invert´ıvel (ou bijetora) se e´ injetora e sobre-
jetora. Em particular, se B = Im(f) enta˜o f e´ invert´ıvel se e´ um a um. Tambe´m
diremos, se f e´ invert´ıvel, que f possui uma inversa, a qual chamaremos de f−1,
que esta´ definida em B e assume valores em A, ou seja, f−1 : B → A, e e´ definida
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 39
por
f−1(y) = x⇔ f(x) = y
para todo y ∈ B.
Esta definic¸a˜o estabelece: se f transforma x em y, enta˜o f−1 transforma
de volta y em x. Da´ı a necessidade de f ser um a um pois, caso contra´rio, f−1 na˜o
seria uma func¸a˜o. Note que:
Domı´nio de f = Im(f−1)
Domı´nio de f−1 = Im(f).
Por exemplo, a func¸a˜o inversa de f(x) = x3 e´ f−1(x) = x
1
3 pois se y = x3,
enta˜o
f−1(y) = f−1(x3)= (x3)
1
3 = x.
Observac¸a˜o 2.2.1 Na˜o confundir o −1 de f−1 com um expoente. Assim,
f−1(x) na˜o significa 1
f(x)
!
Poder´ıamos modelar, por exemplo, o nu´mero de a´rvores y, em uma flo-
resta, em func¸a˜o do tempo t, ou seja, y = f(t).
Raciocinando inversamente, poderiamos estar interessados em saber quanto
tempo demoraria para existir uma floresta com um determinado nu´mero de a´rvores.
Agora, o tempo t e´ uma func¸a˜o do nu´mero de a´rvores y na floresta, e e´ expresso por
t = f−1(y).
Como Achar a Inversa de uma Func¸a˜o Invert´ıvel f :
Passo 1. Escreva y = f(x);
Passo 2. Resolva essa equac¸a˜o para x em termos de y (se poss´ıvel);
Passo 3. Para expressar f−1 como uma func¸a˜o de x, troque x por y. A equac¸a˜o
resultante e´ y = f−1(x).
Vale tambe´m:
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 40
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Por exemplo, se quisermos encontrar uma func¸a˜o inversa para
f(x) =
1 + 3x
5− 2x,
de acordo com os passos acima temos, para todo x 6= 5/2:
y =
1 + 3x
5− 2x ⇔ 5y − 2xy = 1 + 3x
⇔ 2xy + 3x = 5y − 1
⇔ x(2y + 3) = 5y − 1
⇔ x = 5y − 1
2y + 3
.
Finalmente, f−1(x) = 5x−1
2x+3
.
Observe que o domı´nio de f e´ R − {5
2
}, que e´ exatamente o conjunto
imagem de f−1. Assim como R − {−3
2
} e´ o domı´nio de f−1 e a imagem de f . A
seguir temos o gra´fico de f e de f−1.
0
y
x
y=-3/2
x=5/2
0
y
x
y=5/2
x=-3/2
Figura 2.7: y = 1+3x
5−2x e y =
5x−1
2x+3
.
Deixo a cargo do leitor a verificac¸a˜o de que para f e f−1 dadas anterior-
mente temos:
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 41
O princ´ıpio de trocar x por y para encontrar a func¸a˜o inversa tambe´m
nos da´ um me´todo para se obter o gra´fico da inversa f−1 a partir de f . Uma vez
que f(a) = b se, e somente se, f−1(b) = a, o ponto (a, b) pertence ao gra´fico de f se,
e somente se, o ponto (b, a) pertence ao gra´fico de f−1. Mas obtemos o ponto (b, a)
refletindo (a, b) em torno da reta y = x (Veja a figura abaixo).
y
x
y=x
(a,b)
(b,a)
ab
b
a
0
Figura 2.8: f(a) = b se, e somente se, f−1(b) = a.
Logo, o gra´fico de f−1 e´ a reflexa˜o do gra´fico de f em torno da reta y = x.
Func¸o˜es Logar´ıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a func¸a˜o exponencial f(x) = ax e´ ou crescente (se a > 1)
ou decrescente (se 0 < a < 1), e portanto injetora. Sabemos que Im(f) = (0,∞)
(Recorde a sec¸a˜o 2.2.5). Da´ı, a func¸a˜o exponencial f : R → (0,∞) admite uma
inversa f−1 : (0,∞) → R, a qual chamaremos de func¸a˜o logar´ıtmica com base a e
denotaremos por loga. Assim,
loga x = y ⇔ ay = x.
Logo, se x > 0, enta˜o loga x e´ o expoente ao qual deve se elevar a base a para se
obter x. Por exemplo, log10 0, 0001 = −4 porque 10−4 = 0, 0001.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 42
A seguir esta˜o os gra´ficos de ax e loga x para a > 1. O fato de a
x crescer
muito ra´pido reflete o fato de loga x crescer devagar.
y=a
y= xlog
y=xy
x
0
1
1
x
a
Propriedades dos Logaritmos
Se x e y forem nu´meros reais positivos (maiores que 0) enta˜o:
1. loga(xy) = loga x+ loga y (O logaritmo transforma produto em soma)
2. loga
(
x
y
)
= loga x− loga y (O logaritmo transforma quociente em diferenc¸a)
3. loga(x
r) = r loga x, onde r e´ qualquer nu´mero real. (O logaritmo transforma uma
poteˆncia no produto do expoente pelo logaritmo da base)
Usando estas propriedades podemos calcular, por exemplo, log2 80 −
log2 5. Basta aplicar 2:
log2 80− log2 5 = log2
(80
5
)
= log2 16 = 4
pois 24 = 16.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 43
Logaritmos Naturais
Os logaritmos na base e sa˜o chamados de logaritmos naturais e teˆm uma
notac¸a˜o especial:
loge x = ln x.
Logo,
ln x = y ⇔ ey = x
Assim
lnx = y ⇔ ey = x,
ln(ex) = x, ∀x ∈ R
e
elnx = x, ∀x ∈ (0,∞).
Em particular, se x = 1 temos
ln e = 1.
Observac¸a˜o 2.2.2 Os logaritmos em qualquer base podem ser representados em
termos dos logaritmos naturais da seguinte forma: se a > 0 e a 6= 1, enta˜o
loga x =
ln x
ln a
.
Com efeito, seja y = loga x. Enta˜o, a
y = x. Tomando o logaritmo
natural em ambos os lados da igualdade obtemos y ln a = ln x. Portanto,
y =
ln x
ln a
.
Na figura 2.9 esta˜o os gra´ficos de ln x e ex.
2.3 A A´lgebra das Func¸o˜es
Veremos aqui como construir novas func¸o˜es a partir das que ja´ definimos.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 44
y=e
y= xln
y=xy
x
0
1
1
x
Figura 2.9: y = ex e sua inversa y = ln x.
2.3.1 Combinac¸o˜es
Seja c uma constante real e sejam f e g func¸o˜es com domı´nios A e B, respectiva-
mente. Enta˜o definimos as func¸o˜es cf , f + g, fg e f
g
da seguinte forma:
(cf)(x) = c.f(x) e o domı´nio de cf e´ A;
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e o domı´nio de f + g e´ A ∩B;
(fg)(x) = f(x).g(x) e o domı´nio de fg e´ A ∩B;(
f
g
)
(x) = f(x)
g(x)
e o domı´nio de f
g
e´ {x ∈ A ∩B / g(x) 6= 0}.
Exemplo 2.3.1 Se f(x) =
√
4− x e g(x) = 1
x−1 , encontre as func¸o˜es f + g e fg.
Soluc¸a˜o: O domı´nio de f e´ (−∞, 4] e o de g e´ R − {1}. A intersec¸a˜o dos domı´nios
de f e g e´ o conjunto
W = {x ∈ R / x ≤ 4 e x 6= 1}.
De acordo com as definic¸o˜es temos
(f + g)(x) =
√
4− x+ 1
x− 1
(fg)(x) =
√
4− x
x− 1 ,
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 45
para todo x ∈W . ¤
O gra´fico da func¸a˜o f + g e´ obtido a partir dos gra´ficos de f e g por
adic¸a˜o gra´fica. Isto significa que somamos as coordenadas y como na figura abaixo.
y
x0
f
g
f+g
a
f(a)+g(a)
f(a)
g(a)
Figura 2.10: (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x.
2.3.2 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Suponha que y e´ uma func¸a˜o da varia´vel u, como por exemplo y = f(u) =
√
u.
Suponha tambe´m que u = g(x) = x2+1. Uma vez que y e´ uma func¸a˜o de u que por
sua vez e´ uma func¸a˜o de x, segue que podemos expressar y como func¸a˜o de x por
substituic¸a˜o direta:
y = f(u) = f(g(x)) = f(x2 + 1) =
√
x2 + 1.
Esse processo chama-se composic¸a˜o de func¸o˜es, pois a func¸a˜o obtida e´
composta de duas func¸o˜es dadas f e g.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 46
Assim, dadas duas func¸o˜es f e g, a func¸a˜o composta, denotada por f ◦ g,
e´ definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
e o domı´nio de f ◦ g, denotado por Df◦g, e´ o conjunto de todos os nu´meros x no
domı´nio de g, tais que g(x) esteja no domı´nio de f . Logo,
Df◦g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df},
onde Df e Dg sa˜o os domı´nios de f e g, respectivamente.
O diagrama abaixo explica o funcionamento da composic¸a˜o f ◦ g:
x f(x)Função
Entrada Saída
x f(x)Função
Entrada Saída
g g(x) f f(g(x))
Máquina Máquina
Figura 2.11: (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Exemplo 2.3.2 Se f(x) =
√
x e g(x) = 2x− 3, determine f ◦ g e g ◦ f assim como
o domı´nio de cada uma.
Soluc¸a˜o:
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(2x− 3)
=
√
2x− 3.
O domı´nio de f e´ Df = [0,∞) enquanto o de g e´ Dg = R. Assim, pela definic¸a˜o
Df◦g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}
= {x ∈ R | g(x) ∈ [0,∞)}
= {x ∈ R | 2x− 3 ≥ 0}
=
[3
2
,∞).
Isto e´, Df◦g =
[
3
2
,∞).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 47
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(
√
x)
= 2
√
x− 3
e seu domı´nio e´
Dg◦f = {x ∈ Df | g(x) ∈ Dg}
= {x ∈ [0,∞) | f(x) ∈ R}
= [0,∞),
isto e´, Dg◦f = [0,∞). ¤
Exemplo 2.3.3 Seja f(x) = 1
x
. Sabemos que Df = R− {0} e que
(f ◦ f)(x) = x.
Note que a expressa˜o de (f ◦ f)(x) esa´ definida para todo x ∈ R. Pore´m, pela
definic¸a˜o do domı´nio de uma func¸a˜o composta, temos que
Df◦f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Df}
= {x ∈ R− {0} | 1
x
∈ R− {0}}
= R− {0}. ¤
O exemplo anterior mostra que na˜o devemos calcular o domı´nio de umfunc¸a˜o composta f ◦ g julgando apenas sua expressa˜o final. Devemos aplicar a
definic¸a˜o, e, para isso, e´ necessa´rio conhecer os domı´nios de f e g.
Na sec¸a˜o 2.2.6, definimos a func¸a˜o inversa e comentamos que uma de
suas propriedades era
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Se denotamos a func¸a˜o identidade pela letra I, isto e´, I(x) = x, enta˜o as
propriedades acima podem ser escritas como composic¸o˜es da seguinte maneira:
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 48
f−1 ◦ f = I : Df → Df
e
f ◦ f−1 = I : Df−1 → Df−1 .
Ou seja, a composic¸a˜o de f−1 com f e´ a identidade que leva elementos
do domı´nio de f em elementos do domı´nio de f . E a composic¸a˜o de f com f−1 e´ a
identidade definida no domı´nio de f−1.
2.4 Equac¸o˜es de Oferta e de Demanda
Faremos aqui um resumo do que esta´ feito na sec¸a˜o 1.6 de [1].
Considere as circunstaˆncias relativas a um fabricante, nas quais as u´nicas
varia´veis sa˜o o prec¸o e a quantidade de mercadoria demandada (procurada). Sejam
p o prec¸o de uma unidade de mercadoria e x o nu´mero de unidades demandadas.
Parece razoa´vel que a quantidade de mercadoria demandada no mercado
pelos consumidores dependera´ do prec¸o da mesma. Quando o prec¸o diminui ha´ um
aumento na procura pela mercadoria e caso o prec¸o aumente, ocorrera´ o contra´rio:
a procura ira´ diminuir.
Uma equac¸a˜o que relaciona a quantidade x de mercadoria demandada e
o prec¸o p de uma unidade da mesma, e´ chamada equac¸a˜o de demanda. Chega-se
a tal equac¸a˜o atrave´s da aplicac¸a˜o de me´todos estat´ısticos aos dados econoˆmicos.
Uma equac¸a˜o de demanda pode ter uma das formas:
p = f(x) (2.1)
x = g(p). (2.2)
A func¸a˜o f em (2.1) e´ chamada func¸a˜o prec¸o, e f(x) e´ o prec¸o de uma
unidade de mercadoria quando x unidades sa˜o demandadas. A func¸a˜o g em (2.2)
e´ chamada func¸a˜o de demanda, e g(p) e´ o nu´mero de unidades da mercadoria que
sera˜o demandadas se p for o prec¸o por unidade. Em situac¸o˜es econoˆmicas normais
os domı´nios das func¸o˜es prec¸o e de demanda consistem, como e´ de se esperar, de
nu´meros na˜o-negativos.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 49
p
x0
CurvadeDemanda
a
b
p=f(x)
Figura 2.12: Uma curva de demanda e´ sempre decrescente.
O gra´fico de uma equac¸a˜o de demanda e´ chamado curva de demanda. Em
economia, e´ comum representarmos a varia´vel p no eixo vertical e a varia´vel x no
eixo horizontal. Como a equac¸a˜o de demanda pode ser aplicada somente para alguns
valores de x e de p, e´ muitas vezes necessa´rio restringi-los a intervalos fechados; isto
e´, x ∈ [0, a] e p ∈ [0, b]. Mesmo que na pra´tica as quantidades e prec¸os, em geral,
assumam valores racionais, permitiremos que x e p sejam quaisquer nu´meros reais
dentro destes intervalos.
Exemplo 2.4.1 Considere a equac¸a˜o de demanda:
p2 + 2x− 16 = 0. (2.3)
Como em situac¸o˜es econoˆmicas normais as varia´veis x e p sa˜o na˜o negativas, quando
(2.3) e´ resolvida para p em func¸a˜o de x, rejeitamos os valores negativos de p, obtendo
p =
√
16− 2x (2.4)
que e´ do tipo (2.1). Assim a func¸a˜o prec¸o para a equac¸a˜o de demanda (2.3) e´ a
func¸a˜o f para a qual f(x) =
√
16− 2x.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 50
Agora, se resolvermos (2.3) para x como func¸a˜o de p, obtemos
x = 8− 1
2
p2. (2.5)
Assim, a func¸a˜o de demanda e´ a func¸a˜o g para a qual g(p) = 8 − 1
2
p2. Um esboc¸o
da curva de demanda esta´ na figura abaixo.
p
x0
CurvadeDemanda:
2
p+2x-16=0
4
8
Figura 2.13: Equac¸a˜o de Demanda: p2 + 2x− 16.
O gra´fico esta´ restrito ao primeiro quadrante ja´ que x e p sa˜o na˜o nega-
tivas. De (2.4) obtemos que p ≤ 4 e x ≤ 8. Logo, x ∈ [0, 8] e p ∈ [0, 4]. ¤
A forma mais geral poss´ıvel de uma curva de demanda e´ a ilustrada na
figura 2.12. Note que, ale´m de pertencer ao 1o quadrante, a func¸a˜o que descreve o
gra´fico e´ sempre decrescente.
Suponha agora que x seja o nu´mero de unidades de uma certa mercadoria
a ser ofertada por um produtor e, assim como antes, p seja o prec¸o de uma unidade da
mercadoria. Suponha tambe´m que estas sa˜o as u´nicas varia´veis. Uma equac¸a˜o envol-
vendo estas duas varia´veis e´ chamada equac¸a˜o de oferta. Numa situac¸a˜o econoˆmica
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 51
normal temos que as varia´veis x e p sa˜o na˜o negativas e x2 > x1 se, e somente se,
p2 > p1; isto e´, quando o prec¸o da mercadoria aumenta, o produtor naturalmente
aumentara´ a oferta para tirar vantagem dos prec¸os mais altos. Da mesma forma
havera´ uma tendeˆncia em diminuir a quantidade ofertada quando o prec¸o diminui.
O caso trivial quando a oferta e´ constante qualquer que seja o prec¸o, e´ uma excec¸a˜o
a esta afirmac¸a˜o. O gra´fico de uma equac¸a˜o de oferta e´ chamado curva de oferta.
A figura abaixo e´ um exemplo.
p
x0
CurvadeOferta
p
0
Figura 2.14: Uma curva de oferta e´ sempre crescente.
Quando x = 0, p(0) = p0 e´ o prec¸o segundo o qual nenhuma mercadoria
estara´ dispon´ıvel no mercado. Quando o prec¸o unita´rio e´ grande, o produtor oferta
uma grande quantidade de mercadoria ao mercado. Note que a func¸a˜o que fornece
a curva de oferta e´ sempre crescente.
Exemplo 2.4.2 A na˜o ser que o prec¸o de uma guitarra Fender supere R$500, 00,
nenhuma guitarra estara´ dispon´ıvel no mercado. Entretanto, quando o prec¸o atingir
R$700, 00, 100 unidades desta guitarra estara˜o dispon´ıveis no mercado. Supondo
que a equac¸a˜o de oferta e´ linear, encontre-a e esboce a curva de oferta.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 52
Soluc¸a˜o: Como a equac¸a˜o de oferta e´ linear, a curva de oferta e´ uma reta e os pontos
(x1, p1) = (0, 500) e (x2, p2) = (100, 700) pertencem a ela. Da´ı, a inclinac¸a˜o desta
reta e´ dada por
m =
p2 − p1
x2 − x1 =
200
100
= 2.
Portanto, a equac¸a˜o de oferta e´ dada por
p− 500 = 2(x− 0) ⇔ p− 2x− 500 = 0
ou seja,
p− 2x− 500 = 0.
A curva de oferta e´:
0
100
200
300
400
500
600
700
p
20 40 60 80 100
x
EquaçãodeOferta:
p-2x-500=0
Figura 2.15: Curva de Oferta: p− 2x− 500 = 0.
Chamaremos o conjunto das empresas que produzem uma certa mer-
cadoria de indu´stria. O mercado para uma certa mercadoria consta da indu´stria e
dos consumidores da mercadoria. A equac¸a˜o de oferta do mercado e´ determinada a
partir das equac¸o˜es de oferta das companhias integrantes da indu´stria, e a equac¸a˜o
de demanda do mercado e´ determinada atrave´s das equac¸o˜es de demanda de todos
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 53
os consumidores. Mostraremos agora como determinar o prec¸o de equil´ıbrio e a
quantidade de equil´ıbrio de um mercado.
O equil´ıbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria de-
mandada, a um dado prec¸o, e´ igual a` quantidade de mercadoria oferecida a`quele
prec¸o. Isto e´, o equil´ıbrio de mercado ocorre quando todas as mercadorias colocadas
a venda a um dado prec¸o sa˜o vendidas. Quando ocorre o equil´ıbrio de mercado, a
quantidade de mercadoria produzida e´ chamada quantidade de equil´ıbrio e o prec¸o da
mercadoria e´ chamado prec¸o de equil´ıbrio. A quantidade de equil´ıbrio e o prec¸o de
equil´ıbrio sa˜o determinados resolvendo simultaneamente as equac¸o˜es de demanda
e oferta do mercado. Na figura a seguir temos esboc¸os das curvas de demanda e
oferta, indicadas por D e S, respectivamente.
p
x0 x
p
E
E
D
S
E
Figura 2.16: O ponto E = (xE, pE) e´ o ponto de equil´ıbrio e suas coordenadas sa˜o a
quantidade de equil´ıbrio xE e o prec¸o de equil´ıbrio pE.
Exemplo 2.4.3 As equac¸o˜es de demanda e oferta do mercado sa˜o, respectivamente,
x2 + p2 = 25 e x2 − 8p+ 8 = 0
onde p e´ o prec¸o e x unidades a quantidade. Determine aquantidade e o prec¸o de
equil´ıbrio. Trace esboc¸os das curvas de oferta e demanda no mesmo conjunto de
eixos, e mostre o ponto de equil´ıbrio.
Soluc¸a˜o: Para encontrarmos o ponto de equil´ıbrio resolvemos simultaneamente as
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 54
equac¸o˜es. Isolando x2 em ambas as equac¸o˜es temos
x2 = 25− p2
x2 = 8p− 8.
Igualando, encontramos uma equac¸a˜o para o prec¸o de equil´ıbrio:
25− p2 = 8p− 8⇔ p2 + 8p− 33 = 0.
Esta equac¸a˜o tem como ra´ızes 3 e −11. Como as varia´veis sa˜o todas na˜o negativas,
enta˜o o prec¸o de equil´ıbrio e´ pE = 3. Substituindo em qualquer uma das equac¸o˜es
dadas encontramos a quantidade de equil´ıbrio. Assim,
x2 + 32 = 25⇒ x2 = 16⇒ x = 4.
Logo, a quantidade de equil´ıbrio e´ xE = 4.
A seguir temos o gra´fico desejado. ¤
0
1
2
3
4
5
p
1 2 3 4 5
x
S
D
E
x
p
E
E
Terminamos assim este cap´ıtulo sobre func¸o˜es. Nos pro´ximos cap´ıtulos
desenvolveremos a teoria necessa´ria para esboc¸armos o gra´fico de uma func¸a˜o de uma
varia´vel e solucionarmos problemas pra´ticos de otimizac¸a˜o. Ate´ enta˜o, nos limitamos
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 55
a trac¸ar gra´ficos de equac¸o˜es de curvas familiares, tais como retas, semi-c´ırculos e
para´bolas. Uma pergunta surge:
“O que nos garante o formato desses gra´ficos?”
Esperamos ser capazes de responder a tal pergunta com o estudo do
limite e da derivada de uma func¸a˜o. Ate´ o pro´ximo cap´ıtulo!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 56
2.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1 Ache a inclinac¸a˜o da reta 3x− 4y = 12.
Exerc´ıcio 2 Mostre que as retas 2x− 3y + 8 = 0 e 4x− 6y + 5 = 0 sa˜o paralelas.
Exerc´ıcio 3 Ache a inclinac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (4,−5) e (−2, 7). Es-
creva uma equac¸a˜o desta reta.
Exerc´ıcio 4 Nos exerc´ıcios a seguir considere uma func¸a˜o f : Df → R cuja expressa˜o
e´ dada em cada caso. Determine o Domı´nio D de cada uma.
(a) f(x) =
√
2x+ 5;
(b) f(x) = x
2−16
x+4
;
(c) f(x) = x
2+x−6
x−2 ;
(d) f(x) =
{
x2 − 1, se x < 1;
x− 1, se 1 ≤ x. ;
(e) f(x) = x+ |x|;
(f) f(x) = 1|x−1| ;
(g) f(x) = ln(x2 − 1);
(h) f(x) = ex
2
.
Exerc´ıcio 5 Seja f : R→ R dada por f(x) = 3x2− x+ 5. Ache (a) f(1); (b) f(−3);
(c) f(−x2); (d) −[f(x)]2; (e) f(x+h)−f(x)
h
, se h 6= 0.
Exerc´ıcio 6 Seja g : [−3,∞) → R dada por g(x) = √x+ 3. Ache (a) g(−3); (b)
g(1); (c) g(x2); (d) [g(x)]2; (e) g(x+h)−g(x)
h
, se h 6= 0.
Nos exerc´ıcios de 7 a 10 defina as seguintes func¸o˜es e determine o domı´nio da func¸a˜o
resultante: (a) f ◦ g; (b) g ◦ f ; (c) f ◦ f ; (d) g ◦ g.
Exerc´ıcio 7 f(x) = x2 − 4; g(x) = 4x− 3;
Exerc´ıcio 8 f(x) =
√
x+ 2; g(x) = x2 + 4;
Exerc´ıcio 9 f(x) = x2 − 9; g(x) = √x+ 5;
Exerc´ıcio 10 f(x) =
√
x− 1; g(x) = ln x.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 57
Exerc´ıcio 11 Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
a. f(x) = 5− 4x3;
b. f(x) =
√
2 + 5x;
c. f(x) = ln(x+ 3);
d. f(x) = 1+e
x
1−ex ;
e. f(x) = 1− 2
x2
.
Exerc´ıcio 12 Se a populac¸a˜o de bacte´rias comec¸a com 100 e dobra a cada treˆs horas,
enta˜o o nu´mero de bacte´rias apo´s t horas e´ n = f(t) = 100.2
t
3 .
a. Encontre a func¸a˜o inversa e explique seu significado.
b. Quando a populac¸a˜o atingira´ 50.000 bacte´rias?
Exerc´ıcio 13 A equac¸a˜o de demanda para um produto e´ p2 + 2p + 2x − 24 = 0. (a)
Fac¸a um esboc¸o da curva de demanda, (b) ache o prec¸o mais alto que qualquer
pessoa pagaria pelo produto, e (c) ache a demanda se o produto fosse gra´tis.
Exerc´ıcio 14 A equac¸a˜o de oferta de um produto e´ x2+4x−4p+20 = 0. (a) Fac¸a um
esboc¸o da curva de oferta e (b) ache o prec¸o mais baixo pelo qual o produto seria
fornecido.
Nos exerc´ıcios 15 e 16 sa˜o dadas as equac¸o˜es de oferta e demanda. (a) Determine
a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio, e (b) fac¸a o esboc¸o das curvas de oferta e
demanda no mesmo conjunto de eixos, e mostre o ponto de equil´ıbrio.
Exerc´ıcio 15 2x+ p− 12 = 0; x2 − p+ 4 = 0.
Exerc´ıcio 16 x2 + p = 169; p− 2x = 2.
Exerc´ıcio 17 Um equipamento foi comprado por 20.000 reais, e espera-se que o seu
valor final apo´s 10 anos de uso seja 1.500 reais. Se o me´todo da linha reta for usado
para depreciar o equipamento de 20.000 a 1.500 reais em 10 anos, qual o valor l´ıquido
do equipamento apo´s 5 anos.
Exerc´ıcio 18 A “Lei de Boyle”afirma que a uma temperatura constante o volume
de um ga´s e´ inversamente proporcional a` pressa˜o do ga´s, e um ga´s ocupa 100m3 a
uma pressa˜o de 24Kg por cent´ımetro quadrado. (a) Expresse o nu´mero de metros
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 58
cu´bicos ocupados por um ga´s como func¸a˜o do nu´mero de quilogramas por cent´ımetro
quadrado em sua pressa˜o. (b) Qual e´ o volume de um ga´s quando sua pressa˜o e´
16Kg por cent´ımetro quadrado.
Exerc´ıcio 19 Pedac¸os quadrados de metal com 51 cent´ımetros de lado sa˜o usados para
construir caixas abertas, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e levantando
para cima os lados. (a) Se x cm e´ o comprimento do lado do quadrado cortado,
expresse o nu´mero de cent´ımetros cu´bicos do volume da caixa como func¸a˜o de x.
(b) Qual o domı´nio da func¸a˜o resultante?
Exerc´ıcio 20 Um atacadista oferece entregar a um comerciante 300 cadeiras ao prec¸o
unita´rio de 90 reais e reduzir o prec¸o de cada cadeira em toda encomenda em 0.25
reais (25 centavos) para cada unidade adicional acima de 300. (a) Se x cadeiras
forem encomendadas , expresse o custo do comerciante como func¸a˜o de x. (b) Qual
o domı´nio da func¸a˜o resultante?
Exerc´ıcio 21 Uma excursa˜o patrocinada por uma escola pode acomodar ate´ 350 estu-
dantes e custara´ 15 reais por estudante, se o nu´mero de estudantes na˜o exceder 150;
contudo o custo por estudante sera´ reduzido em 5 centavos para cada estudante que
passar de 150 ate´ o custo atingir 10 reais por estudante. (a) Se x estudantes fazem
a excursa˜o, expresse a receita total em func¸a˜o de x. (b) Qual o domı´nio da func¸a˜o
resultante? Sugesta˜o: Siga a ide´ia do exerc´ıcio anterior!
Exerc´ıcio 22 Quando o prec¸o e´ de 140 reais, existem 6.000 ra´dios dispon´ıveis no
mercado. A cada aumento de 20 reais no prec¸o, outros 3.000 ra´dios esta˜o dispon´ıveis
no mercado. Supondo linear a equac¸a˜o de oferta, encontre-a e fac¸a um esboc¸o da
curva de oferta.4
Exerc´ıcio 23 Uma empresa pode vender 10.000 unidades de um dado produto quando o
prec¸o unita´rio e´ 30 reais, e a empresa estimou que pode vender mais 1.000 unidades a
cada reduc¸a˜o de 2 reais no prec¸o. Supondo linear a equac¸a˜o de demanda, encontre-a
e fac¸a um esboc¸o da curva de demanda.
Exerc´ıcio 24 As equac¸o˜es de demanda e oferta de um mercado sa˜o dadas, respectiva-
mente, abaixo. Em cada caso, determine a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio, trace
esboc¸os das curvas de demanda e oferta no mesmo conjunto de eixos, e mostre o
4Fac¸a apenas um esboc¸o!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 59
ponto de equil´ıbrio.
(a) x+ 2p− 15 = 0; x− 3p+ 3 = 0;
(b) 3x2 − 6x+ p− 8 = 0; x2 − p+ 4 = 0;
(c) p2 + p+ x− 12 = 0; 2p2 − 2p− x− 4 = 0.
Exerc´ıcio 25
Considere as seguintes varia´veis de mercado
Qd ≡ Quantidade procurada de mercadorias (Unidades por semana)
Qd ≡ Quantidade ofertada de mercadorias (Unidades por semana)
P ≡ Prec¸o (Reais).
Funcionamento do mercado:
(i) Condic¸a˜o de Equil´ıbrio: O equil´ıbrio ocorre no mercado se, e somente se, o
excesso de demanda e´ zero (Qd −Qs = 0).
(ii) Demanda versus Prec¸o: Suponha que Qd seja uma func¸a˜o linear decrescente
de P (quando P aumenta Qd diminui).
(iii) Oferta versus Prec¸o: Suponha que Qs seja uma func¸a˜o linear crescente de
P (quando P aumenta, Qs tambe´m aumenta), com a condic¸a˜o de que a quantidade
ofertada seja nula a na˜o ser que o prec¸o excedaum valor positivo espec´ıfico.
Ao todo, o modelo contera´ uma condic¸a˜o de equil´ıbrio mais duas equac¸o˜es de
comportamento que governam os lados da demanda e da oferta no mercado,
respectivamente.
Traduzindo em termos matema´ticos, o modelo acima pode ser apresentado como:
Qd = Qs (Equil´ıbrio de Mercado)
Qd = a− bP onde a, b > 0 (Equac¸a˜o de Demanda)
Qs = −c+ dP onde c, d > 0 (Equac¸a˜o de Oferta)
(2.6)
a. Associando ao eixo-y as quantidades e ao eixo-x o prec¸o, trace num mesmo
gra´fico as curvas de oferta e de demanda para o modelo acima e identifique nele
o equil´ıbrio de mercado (P¯ , Q¯).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 60
b. Resolva o modelo de mercado (5.5) com
a = 15, b = 4, c = 1 e d = 6.
c. Se b+ d = 0 no modelo linear de mercado (5.5), na˜o se pode achar uma soluc¸a˜o
de equil´ıbrio para o mesmo. Oferec¸a uma explicac¸a˜o matema´tica assim como uma
explicac¸a˜o econoˆmica para este fato. (Sugesta˜o 1: Trace e estude o gra´fico para
esta situac¸a˜o! Sugesta˜o 2: Enunciado longo implica em soluc¸a˜o fa´cil!!!)
Exerc´ıcio 26 Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condic¸o˜es: uma taxa
fixa de R$50, 00 e mais R$0, 30 por quiloˆmetro (km) rodado. Expresse o custo da
locac¸a˜o em func¸a˜o dos quiloˆmetros rodados.
Exerc´ıcio 27 Continuando o exerc´ıcio anterior, suponha que uma outra locadora B
alugue, tambe´m, carro popular nas seguintes condic¸o˜es: uma taxa fixa de R$20, 00 e
R$0, 35 por quiloˆmetro rodado. Qual a locadora que voceˆ escolheria para alugar um
carro?
Exerc´ıcio 28 Deseja-se construir uma caixa de forma cil´ındrica de 1m3 de volume.
Nas laterais e no fundo sera´ utilizado um material que custa R$10, 00 o metro
quadrado (m2) e, na tampa, material que custa R$20, 00 o m2. Expresse o custo
C em func¸a˜o do raio da base. (Lembre-se: a a´rea de um c´ırculo de raio r e´ pir2,
o comprimento da circunfereˆncia de raio r e´ 2pir e o volume do cilindro e´ o produto
da a´rea da base pela altura.)
Exerc´ıcio 29 Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, em forma de um paralelep´ı-
pedo retaˆngulo, de volume 70cm3, e sabe-se que o prec¸o do material a ser utilizado
no fundo e´ o dobro do prec¸o daquele a ser utilizado nas laterais. Estabelec¸a uma
fo´rmula para o ca´lculo do custo do material sabendo que o custo do material a ser
utilizado nas laterais e´ de R$1, 00 por cm2.
Exerc´ıcio 30 Considere as func¸o˜es lineares f(x) = x+ 6 e g(x) = 4x.
a. Para que valores de x tem-se f(x) > g(x)?
b. Para que valores de x tem-se f(x) < g(x)?
c. Para que valores de x tem-se f(x) = g(x)?
d. Interprete graficamente.
Cap´ıtulo 3
Limite e Continuidade
O conceito de limite e´ o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do
ca´lculo, como continuidade e derivadas. Neste cap´ıtulo vamos discutir a definic¸a˜o
de limite e os me´todos utilizados para calcula´-lo. Tambe´m veremos o importante
conceito de continuidade.
3.1 O Limite de uma Func¸a˜o
Comec¸aremos tentando esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o racional
f(x) =
x2 − x− 2
x− 2 (3.1)
cujo domı´nio e´ formado por todos os nu´meros reais com excec¸a˜o de 2. Na˜o pode-
mos calcular a imagem de 2 pela func¸a˜o pois isso levaria a uma divisa˜o por zero.
Entretanto, e´ interessante estudar o comportamento desta func¸a˜o nas proximidades
do ponto exclu´ıdo. Para isso, observe a tabela a seguir:
x 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05
f(x) 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99 ? 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05
Examinando esta tabela, podemos perceber um certo padra˜o. Em primeiro
lugar, f(x) se aproxima de 3 quando x se aproxima de 2. Matematicamente, dizemos
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 62
que f(x) tende a 3 quando x tende a 2. Ale´m disso, os valores de f(x) tendem a 3
regularmente. Note que a cada variac¸a˜o de ±0, 01 em x corresponde uma variac¸a˜o
de ±0, 01 em f(x), o que sugere que f(x) se comporta como uma func¸a˜o linear de
inclinac¸a˜o 1. Este e´ realmente o caso, como podemos ver fatorando o numerador
x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1),
e cancelando um dos fatores com o denominador. Assim, para todo x 6= 2, temos:
f(x) =
x2 − x− 2
x− 2 =
(x− 2)(x+ 1)
x− 2 = x+ 1.
Note que ao simplificarmos a func¸a˜o racional f encontramos uma func¸a˜o
que lhe e´ equivalente em todos os pontos do seu domı´nio (x 6= 2). O gra´fico da
func¸a˜o racional (3.1) e´, portanto, a reta de equac¸a˜o y = x+1 com excec¸a˜o do ponto
(2, 3) visto que f na˜o esta´ definida em 2. Ou seja, o gra´fico de f coincide com esta
reta para todos os valores de x exceto 2, o que explica a regularidade que observamos
na tabela.
1
0 0
1
-1-1 2
3
y
x x
yy=x+1 y=f(x)
Figura 3.1: O gra´fico de f coincide com a reta y = x + 1 para todos os valores de x
exceto 2.
Resumindo: embora a func¸a˜o f na˜o esteja definida em x = 2, conhecemos
seu comportamento nas proximidades de x = 2. Especificamente, sabemos:
(i) os valores da func¸a˜o se aproximam de 3 quando x se aproxima de 2;
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 63
(ii) podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de 2.
Esta relac¸a˜o pode ser expressa pela seguinte expressa˜o matema´tica:
lim
x→2
f(x) = 3. (3.2)
A expressa˜o (3.2) diz:
o limite de f(x) quando x tende a 2 e´ igual a 3.
No caso geral, escrevemos
lim
x→a
f(x) = L (3.3)
para indicar que os valores f(x) tendem para o nu´mero real1 L quando x tende para
o nu´mero a, e dizemos que
o limite de f(x) quando x tende para a e´ igual a L.
Observe que ao discutirmos limites so´ estamos interessados nos valores
de f(x) nas proximidades de x = a. Isto significa que a func¸a˜o f nem precisa estar
definida no ponto a, como e´, inclusive, a func¸a˜o racional dada por (3.1).
Uma definic¸a˜o precisa de limite pode ser encontrada em [2] ou [5]. A
definic¸a˜o informal apresentada a seguir e´ suficiente para nossos propo´sitos. Nela
utilizaremos o s´ımbolo ≈, que significa “e´ aproximadamente igual a”.
Definic¸a˜o 3.1.1 Sejam a e L nu´meros reais dados.
lim
x→a
f(x) = L
significa dizer que
1. f(x) ≈ L para todos os valores de x pro´ximos de a;
2. podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de a.
Conve´m salientar que este L, quando existe, e´ u´nico. Ademais, como se
pode ver, a definic¸a˜o na˜o diz o que acontece para x = a. Ja´ comentamos que a
1Aqui L e a sa˜o nu´meros reais!
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 64
func¸a˜o nem precisa estar definida no ponto a; mesmo que esteja definida, seu valor
neste ponto, f(a), pode ser diferente do limite quando x→ a. Repetindo:
o limite limx→a f(x) na˜o depende do valor da func¸a˜o no ponto x = a.
A func¸a˜o nem precisa estar definida em a, contanto que esteja definida nos pontos
pro´ximos de a.
Por exemplo, as func¸o˜es (3.1), g(x) = x+ 1 e
h(x) =
{
x2−x−2
x−2 , se x 6= 2;
2, se x = 2
possuem o mesmo limite, L = 3, quando x → 2 ja´ que se x 6= 2 temos que f(x) =
g(x) = h(x) = x + 1. Entretanto, f na˜o esta´ definida em 2 e h(2) = 2 6= 3. g e´ a
u´nica delas que, ale´m de estar definida em 2, g(2) = 3 que coincide com o valor de
L. Veremos a seguir que isso na˜o e´ mera coincideˆncia.
1
0 0
1
-1-1 2
3
y
x x
yy=g(x) y=f(x)
0
1
-1 2
3
x
y y=h(x)
2
Figura 3.2: Os gra´ficos de f , g e h so´ diferem em x = 2.
3.2 Limites Laterais
Considere a func¸a˜o de Heaviside2 que e´ definda por
H(t) =
{
0, se t < 0;
1, se t ≥ 0.
2Essa func¸a˜o, cujo nome homenagea o engenheiro ele´trico Oliver Heaviside (1850-1925), pode
ser usada para descrever uma corrente ele´trica que e´ estabelecida quando t = 0.
Cap´ıtulo3 - Limite e Continuidade 65
Quando t tende a 0 por valores negativos, H(t) tende a 0. Quando t
tende a 0 por valores positivos, H(t) tende a 1. Na˜o existe um nu´mero u´nico para o
qual H(t) tende quando t tende a 0. Portanto, limx→0H(t) na˜o existe. Entretanto
faz sentido pensarmos na ide´ia dos limites laterais de f quando x tende a zero.
y
x0
1
Figura 3.3: Func¸a˜o de Heaviside.
Definic¸a˜o 3.2.1 Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e´ L se podemos
obter valores de f(x) ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos bastando para isso tomar
valores de x suficientemente pro´ximos de a e menores que a.
O que acabamos de definir e´ o limite lateral a` esquerda de f(x) quando
x tende para a. Analogamente, definimos o limite lateral a` direita de f(x) quando
x tende para a substituindo na definic¸a˜o 3.2.1 a expressa˜o x → a− por x → a+ e
lembrando que agora tomamos valores de x pro´ximos de a e maiores que a.
Munidos com estas definic¸o˜es podemos dizer enta˜o
lim
t→0−
H(t) = 0 e lim
t→0+
H(t) = 1.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 66
Portanto, parece o´bvio das definic¸o˜es 3.1.1 e 3.2.1 que
limx→a f(x) = L se, e somente se, limx→a− f(x) = L e limx→a+ f(x) = L.
Ou seja, existe o limite de uma func¸a˜o f(x) quando x tende para a se, e
somente se, existem os limites laterais de f(x) quando x tende para a.
3.3 Limites Infinitos
Vejamos um exemplo:
Exemplo 3.3.1 O objetivo e´ encontrar o limx→0 1x2 , se existir.
Observe que a` medida que x se aproxima de 0, x2 tambe´m se aproxima
de 0, e 1/x2 fica muito grande, como mostra a tabela a seguir:
x ±1 ±0,5 ±0,2 ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,001
1
x2
1 4 25 100 400 10.000 1.000.000
De fato, isso fica evidente se olhamos para o gra´fico de f(x) = 1
x2
(Veja
a figura 3.4). Note que os valores de 1/x2 podem se tornar arbitrariamente grandes
ao tomarmos valores de x pro´ximos de 0.
Assim, os valores de f(x) na˜o tendem a um nu´mero e, portanto, na˜o
existe limx→0 1x2 .
Para indicar o comportamento da func¸a˜o do exemplo 3.3.1 usaremos a
notac¸a˜o
lim
x→0
1
x2
=∞.
Alertamos que isso na˜o significa considerar ∞ como um nu´mero! Ta˜o
pouco significa que o limite exista!!! E´ apenas uma notac¸a˜o para indicar que os
valores de 1/x2 crescem de forma indeterminada quando tomamos valores de x
suficientemente pro´ximos de 0. Assim ∞ e´ uma forma particular de na˜o existeˆncia
de um limite.
A definic¸a˜o geral e´:
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 67
0
20
40
60
80
100
y
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Figura 3.4: Gra´fico da curva y = 1
x2
.
Definic¸a˜o 3.3.1 Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) =∞
significa dizer que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes
(ta˜o grandes quanto quisermos) escolhendo x adequadamente nas proximidades de
a, mas na˜o igual a a. Leˆ-se:
“o limite de f(x), quando x tende para a, e´ infinito”.
Um outro tipo de limite infinito ocorre quando a func¸a˜o torna-se grande
em valor absoluto, pore´m e´ negativa quando x se apoxima de a.
Definic¸a˜o 3.3.2 Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) = −∞
significa dizer que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes,
pore´m negativos, escolhendo-se valores de x pro´ximos de a, mas diferentes do pro´prio
a. Leˆ-se:
“o limite de f(x), quando x tende para a, e´ menos infinito”.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 68
Por exemplo
lim
x→0
(
− 1
x2
)
= −∞.
Definic¸o˜es similares podem ser dadas no caso de limites laterais
lim
x→a−
f(x) =∞ lim
x→a−
f(x) = −∞
lim
x→a+
f(x) =∞ lim
x→a+
f(x) = −∞.
Definic¸a˜o 3.3.3 A reta vertical x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva
y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es for satisfeita:
lim
x→a
f(x) =∞ lim
x→a−
f(x) =∞ lim
x→a+
f(x) =∞
lim
x→a
f(x) = −∞ lim
x→a−
f(x) = −∞ lim
x→a+
f(x) = −∞.
Por exemplo o eixo y e´ uma ass´ıntota vertical da curva y = 1/x2, pois
como vimos,
lim
x→0
1
x2
=∞.
Exemplo 3.3.2 Encontre
lim
x→1−
3
1− x e limx→1+
3
1− x.
Soluc¸a˜o: Para valores de x menores que 1 e pro´ximos de 1, o denominador 1 − x e´
um nu´mero positivo e pequeno e, portanto, 3/(1−x) e´ um nu´mero positivo grande.
Enta˜o, intuitivamente vemos que
lim
x→1−
3
1− x =∞.
Da mesma forma, para valores de x maiores que 1 e pro´ximos de 1, 1−x
e´ um nu´mero negativo e com um valor absoluto pequeno. Portanto, 3/(1− x) e´ um
nu´mero com valor absoluto grande e negativo. Logo
lim
x→1+
3
1− x = −∞.
O gra´fico da curva y = 3/(1− x) e´ mostrado na figura 3.5.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 69
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
Figura 3.5: Gra´fico da curva y = 3
1−x .
A reta x = 1 e´ uma ass´ıntota vertical da curva y = 3/(1− x). ¤
Um outro exemplo de uma func¸a˜o cujo gra´fico tem uma ass´ıntota vertical
e´ a func¸a˜o logaritmo natural y = ln x. Da figura 3.6 vemos que
lim
x→0+
lnx = −∞
e assim a reta x = 0 (eixo y) e´ uma ass´ıntota vertical.
Na realidade, isso e´ verdadeiro para y = loga x desde que a > 1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
Figura 3.6: O eixo y e´ uma ass´ıntota vertical da func¸a˜o logaritmo natural.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 70
3.4 Propriedades dos Limites
Enunciaremos nesta sec¸a˜o algumas propriedades dos limites que sa˜o de grande uti-
lidade no ca´lculo dos mesmos. O teorema a seguir lista quatro destas propriedades.
Teorema 3.4.1 (Leis do Limite) Seja c uma constante real e suponha que existam
os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x).
Enta˜o
1. (Lei da Soma)
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x)
2. (Lei do Mu´ltiplo Constante)
lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x)
3. (Lei do Produto)
lim
x→a
[f(x).g(x)] = lim
x→a
f(x). lim
x→a
g(x)
4. (Lei do Quociente)
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
limx→a f(x)
limx→a g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) 6= 0.
Estas propriedades podem ser enunciadas da seguinte maneira:
1. Lei da Soma. O limite da soma e´ a soma dos limites, desde que cada limite
exista.
2. Lei do Mu´ltiplo Constante. O limite de uma constante vezes uma func¸a˜o e´
a constante vezes o limite da func¸a˜o, desde que o limite da func¸a˜o exista.
3. Lei do Produto. O limite do produto e´ o produto dos limites, desde que cada
limite exista.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 71
4. Lei do Quociente. O limite do quociente e´ o quociente dos limites, desde que
cada limite exista e o limite do denominador seja diferente de zero.
Intuitivamente, se f(x) esta´ pro´ximo de L e g(x) esta´ pro´ximo de M , e´
razoa´vel concluir que f(x) + g(x) esta´ pro´ximo de L +M . Isso nos faz acreditar
na varacidade da propriedade 1. Volto a enfatizar que na˜o e´ o objetivo deste texto
demonstrar os teoremas. O leitor interessado pode consultar a sec¸a˜o 2.4 de [2], assim
como o apeˆndice do mesmo.
Podemos aplicar a propriedade 3 repetidamente com f(x) = g(x) para
obter a propriedade 5:
5.
lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
,
onde n e´ um inteiro positivo.
Propriedades triviais sa˜o as 6 e 7:
6.
lim
x→a
c = c.
7.
lim
x→a
x = a.
Se pusermos f(x) = x nas propriedades 5 e 7, obtemos um limite u´til:
8. Lei da Poteˆncia.
lim
x→a
xn = an,
onde n e´ um inteiro positivo.
Existe um resultado similar para ra´ızes:
9. Lei da Raiz.
lim
x→a
n
√
x = n
√
a,
onde n e´ um inteiropositivo e se n for par, supomos que a > 0.
E, finalmente, temos que
10.
lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x)
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 72
onde n e´ um inteiro positivo e, se n e´ par, supomos que limx→a f(x) > 0.
Vejamos um exemplo:
Exemplo 3.4.1 Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
a. limx→3(2x2 − 2x+ 1)
b. limx→1 x
3−2
x+1
Soluc¸a˜o: a.
lim
x→3
(2x2 − 2x+ 1) = lim
x→3
(2x2) + lim
x→3
(−2x) + lim
x→3
1
= 2 lim
x→3
x2 − 2 lim
x→3
x+ lim
x→3
1
= 2.(3)2 − 2.3 + 1
= 13.
b.
lim
x→1
x3 − 2
x+ 1
=
limx→1(x3 − 2)
limx→1(x+ 1)
=
limx→1 x3 − limx→1 2
limx→1 x+ limx→1 1
=
13 − 2
1 + 1
= −1
2
. ¤
Observac¸a˜o 3.4.1 Se, no exemplo anterior, tive´ssemos substituido o valor de x
diretamente na expressa˜o das func¸o˜es ter´ıamos encontrado exatamente os mesmos
valores encontrados para os limites. Isto e´, se f(x) = 2x2 − 2x + 1 e g(x) = x3−2
x+1
enta˜o f(3) = 13 e g(1) = −1
2
. As func¸o˜es do exemplo sa˜o polinimial e racional,
respectivamente, e o uso das propriedades do limite prova que a substituic¸a˜o direta
e´ sempre poss´ıvel para tais func¸o˜es. Enunciamos esse fato a seguir.
Teorema 3.4.2 Se f for uma func¸a˜o polinomial ou racional e a estiver no domı´nio
de f , enta˜o
lim
x→a
f(x) = f(a).
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 73
Adiante, chamaremos de cont´ınuas as func¸o˜es com tal propriedade de
substiuic¸a˜o direta. Entretanto, nem todos os limites podem ser facilmente calculados
como mostram os exemplos a seguir.
Exemplo 3.4.2 Encontre
lim
x→3
x2 − 9
x− 3 .
Soluc¸a˜o: Se f(x) = x
2−9
x−3 , seu domı´nio e´ R − {3} e, portanto, na˜o podemos aplicar
o teorema 3.4.2 pois f na˜o esta´ definida em x = 3. Nem podemos aplicar a lei do
quociente pois o denominador tende a 0. Faremos, enta˜o, algumas manipulac¸o˜es
alge´bricas para melhorar nossa compreensa˜o. Fatorando o numerador como uma
diferenc¸a de quadrados
x2 − 9
x− 3 =
(x+ 3)(x− 3)
x− 3
observe que o numerador e o denominador teˆm um fator comum, x − 3. Quando
tomamos o limite x → 3, temos que x 6= 3 e, portanto, podemos cancelar o fator
comum e da´ı
lim
x→3
x2 − 9
x− 3 = limx→3
(x+ 3)(x− 3)
x− 3
= lim
x→3
(x+ 3)
= 6. ¤
Exemplo 3.4.3 Calcule
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
.
Soluc¸a˜o: Assim como no exemplo anterior, na˜o podemos calcular o limite acima
por substituic¸a˜o direta nem aplicar a lei do quociente. Mas podemos simplificar a
expressa˜o da seguinte maneira:
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= lim
h→0
(9 + 6h+ h2)− 9
h
= lim
h→0
6h− h2
h
= lim
h→0
(6 + h)
= 6. ¤
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 74
Exemplo 3.4.4 Encontre
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
Soluc¸a˜o: Mais uma vez na˜o podemos aplicar a lei do quociente pois o denominador
tende a 0. O caminho aqui e´ racionalizar o numerador assim:
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
= lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
√
t2 + 9 + 3√
t2 + 9 + 3
= lim
t→0
(t2 + 9)− 9
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
t2
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
1√
t2 + 9 + 3
=
1
3 + 3
=
1
6
. ¤
Para alguns limites recomenda-se calcular os limites laterais e aplicar o
teorema a seguir que ja´ enunciamos anteriormente.
Teorema 3.4.3
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a−
f(x) = L e lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 3.4.5 Mostre que
lim
x→0
|x| = 0.
Soluc¸a˜o: Lembre que
|x| =
{
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
Uma vez que |x| = x para x > 0, temos que
lim
x→0+
|x| = lim
x→0+
x = 0.
Ja´ para x < 0 temos que |x| = −x, e assim
lim
x→0−
|x| = lim
x→0−
(−x) = 0.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 75
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
-2 -1 1 2
x
Figura 3.7: Func¸a˜o Valor Absoluto.
Logo, pelo teorema 3.4.3,
lim
x→0
|x| = 0. ¤
Exemplo 3.4.6 Prove que limx→0
|x|
x
na˜o existe.
Soluc¸a˜o: Note que
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1
e
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
(−1) = −1.
Uma vez que os limites laterais a` esquerda e a` direita sa˜o diferentes, segue
do teorema 3.4.3 que
lim
x→0
|x|
x
na˜o existe. O gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x|
x
pode ser visto na figura 3.8. ¤
Exemplo 3.4.7 Se
f(x) =
{ √
x− 4, se x > 4
8− 2x, se x ≤ 4
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 76
-2
-1
0
1
2
y
-2 -1 1 2
x
Figura 3.8: Gra´fico de f(x) = |x|
x
.
determine se existe limx→4 f(x).
Soluc¸a˜o: Como f(x) =
√
x− 4 se x > 4, temos que
lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
√
x− 4 = √4− 4 = 0
e como f(x) = 8− 2x se x < 4, temos que
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(8− 2x) = 8− 2.4 = 0.
Logo, pelo teorema 3.4.3,
lim
x→4
f(x) = 0. ¤
3.5 Continuidade
Na sec¸a˜o 3.4 vimos que as func¸o˜es racionais e polinomiais possuem a propriedade da
subsituic¸a˜o direta, ou seja, se f e´ racional ou polinomial e esta´ definida em a enta˜o
lim
x→a
f(x) = f(a).
Func¸o˜es com esta propriedade sa˜o chamadas de cont´ınuas em a.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 77
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
2 4 6 8 10 12 14
x
Figura 3.9: Gra´fico da func¸a˜o do exemplo 3.4.7.
Definic¸a˜o 3.5.1 Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um nu´mero a se
lim
x→a
f(x) = f(a).
Se f na˜o e´ cont´ınua em a diremos que f e´ descont´ınua em a, ou que f
tem uma descontinuidade em a. Na definic¸a˜o 3.5.1 esta´ impl´ıcito treˆs exigeˆncias
sobre a func¸a˜o f :
1. f esta´ definida em a, ou seja, existe f(a) (a ∈ Df ).
2. Existe o limx→a f(x);
3. limx→a f(x) = f(a).
Uma func¸a˜o cont´ınua f tem a propriedade que uma pequena variac¸a˜o em
x produz uma pequena variac¸a˜o em f(x).
Exemplo 3.5.1 Onde cada uma das seguintes func¸o˜es e´ descont´ınua?
a. f(x) = x
2−x−2
x−2
b. g(x) =
{
1
x2
, se x 6= 0;
1, se x = 0.
c. h(x) =
{
x2−x−2
x−2 , se x 6= 2;
pi, se x = 2.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 78
d. A func¸a˜o de Heaviside:
H(t) =
{
0, se t < 0;
1, se t ≥ 0.
Soluc¸a˜o: a. Note que f na˜o esta´ definida em 2, logo, como na˜o existe f(2), f
e´ descont´ınua em 2. Esta e´ o u´nica descontinuidade de f ja´ que e´ uma func¸a˜o
racional.
b. Aqui g esta´ definida em 0 e g(0) = 1. Pore´m na˜o existe limx→0 g(x) pois este,
como ja´ vimos, e´ ∞.
c. Agora h(2) = pi e existe o limite de h(x) quando x → 2 que vale, como ja´ foi
visto,
lim
x→2
h(x) = 3.
Pore´m,
lim
x→2
h(x) = 3 6= pi = h(2).
d. Sabemos que na˜o existe o limt→0H(t) pois os limites laterais sa˜o diferentes.
Portanto, H na˜o e´ cont´ınua em 0. ¤
Motivados pela func¸a˜o de Heaviside definimos continuidade a` direita e a`
esquerda em um nu´mero.
Definic¸a˜o 3.5.2 Uma func¸a˜o e´ cont´ınua a` direita em um nu´mero a se
lim
x→a+
f(x) = f(a)
e e´ cont´ınua a` esquerda em a se
lim
x→a−
f(x) = f(a).
Assim, a func¸a˜o de Heaviside e´ cont´ınua a direita de 0 pois
lim
t→0+
H(t) = 1 = H(0)
e na˜o e´ cont´ınua a` esquerda de 0 pois
lim
t→0−
H(t) = 0.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 79
Definic¸a˜o 3.5.3 Uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um intervalo se for cont´ınua
em todos os nu´meros do intervalo. (Se f for definida somente em um dos extremos
do intervalo, entendemo continuidade no extemo como continuidade a` direita ou a`
esquerda.)
Exemplo 3.5.2 Mostre que a func¸a˜o f(x) = 1 −√1− x2 e´ cont´ınua no intervalo
[−1, 1].
Soluc¸a˜o: Se −1 < a < 1 enta˜o, usando as propriedades dos limites:
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
(1−
√
1− x2)
= 1− lim
x→a
√
1− x2
= 1−
√
lim
x→a
(1− x2)
= 1−
√
1− a2
= f(a).
Assim, da definic¸a˜o 3.5.3, f e´ cont´ınua em a se −1 < a < 1.
Agora,se a = 1 enta˜o
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(1−
√
1− x2)
= 1− lim
x→1
√
1− x2
= 1−
√
lim
x→1
(1− x2)
= 1−
√
1− 12
= 1
= f(1)
e assim f e´ cont´ınua a` esquerda em 1. Analogamente, mostramos que f e´ cont´ınua
a` direita em −1.
Consequentemente, de acordo com a definic¸a˜o 3.5.3, f e´ cont´ınua em
[−1, 1].
O gra´fico de f esta´ na figura 3.10. E´ a metade inferior do c´ırculo
x2 + (y − 1)2 = 1. ¤
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
y
-1 -0.5 0.5 1x
Figura 3.10: Gra´fico da func¸a˜o y = 1−√1− x2.
O teorema a seguir nos fornece um me´todo para verificar a continuidade
de uma func¸a˜o sem precisar aplicar diretamente as definic¸o˜es, como fizemos no
exemplo enterior.
Teorema 3.5.1 Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em a e c uma constante real. Enta˜o
as seguintes func¸o˜es tambe´m sa˜o cont´ınuas em a:
(i) f + g (ii) cf
(iii) fg (iv) f
g
se g(a) 6= 0.
Os teoremas enunciados a seguir tratam da continuidade de algumas
func¸o˜es importantes, como as polinomiais, racionais, exponenciais e logaritmicas.
Teorema 3.5.2 a. Qualquer polinoˆmio e´ cont´ınuo em toda parte; ou seja, e´ cont´ınuo
em R.
b. Qualquer func¸a˜o racional e´ cont´ınua aonde estiver definida; ou seja, e´ cont´ınua
em seu domı´nio.
c. Func¸o˜es ra´ızes, exponenciais e logar´ıtmicas sa˜o cont´ınuas em seus respectivos
domı´nios.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 81
Com o aux´ılio destes teoremas podemos calcular facilmente alguns limites.
Exemplo 3.5.3 Encontre
lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x .
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) = x
3+2x2−1
5−3x e´ uma func¸a˜o racional e esta´ definida no conjunto
{x ∈ R | x 6= 5
3
}
.
Portanto, pelo teorema 3.5.2, f e´ cont´ınua nesse conjunto, em particular, f e´
cont´ınua em −2. Da´ı,
lim
x→−2
f(x) = f(−2) = (−2)
3 + 2.(−2)2 − 1
5− 3.(−2) = −
1
11
. ¤
Exemplo 3.5.4 Onde a func¸a˜o g(x) = lnx
1−x2 e´ cont´ınua?
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o g e´ o quociente de um logaritmo natural por um polinoˆmio de
grau 2. ln x, segundo o teorema 3.5.2, e´ cont´ınua em (0,∞). Como o denominador
na˜o pode se anular, temos que x 6= ±1. Portanto, g e´ cont´ınua no conjunto
{x ∈ R | x > 0 e x 6= ±1} = {x ∈ R | x > 0 e x 6= 1}
que pode ser escrito como uma unia˜o de intervalos da seguinte forma
(0, 1) ∪ (1,∞). ¤
Uma outra forma de combinar func¸o˜es cont´ınuas f e g para obter novas
func¸o˜es cont´ınuas e´ compor f com g obtendo f ◦ g. Esse fato e´ uma consequeˆncia
do seguinte teoerma:
Teorema 3.5.3 Seja f cont´ınua em b e limx→a g(x) = b, enta˜o limx→a f(g(x)) =
f(b). Em outras palavras,
lim
x→a
f(g(x)) = f
(
lim
x→a
g(x)
)
.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 82
Esse teorema afirma que podemos passar o limite para dentro da func¸a˜o
f se ela for cont´ınua e se o limite existir. Intuitivamente, se x estiver pro´ximo de a,
enta˜o g(x) estara´ pro´ximo de b; e, como f e´ cont´ınua em b, se g(x) estiver pro´ximo
de b, enta˜o f(g(x)) estara´ pro´ximo de f(b).
Exemplo 3.5.5 Vamos aplicar o teorema anterior para o caso em que f(x) = n
√
x,
onde n e´ um inteiro positivo. Assim
f(g(x)) = n
√
g(x)
e
f
(
lim
x→a
g(x)
)
= n
√
lim
x→a
g(x).
Da´ı, pelo teorema anterior, temos que
lim
x→a
n
√
g(x) = n
√
lim
x→a
g(x)
e assim a propriedade 10 do limite esta´ provada.
Teorema 3.5.4 Se g e´ cont´ınua em a e f em g(a), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g
dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x)) e´ cont´ınua em a.
Demo: Basta aplicar o teorema anterior com b = g(a).
Exemplo 3.5.6 Onde a func¸a˜o h(x) = ln(1− x2) e´ cont´ınua?
Soluc¸a˜o: Temos que h(x) = f(g(x)), onde
f(x) = ln x e g(x) = 1− x2.
g e´ cont´ınua em R e f e´ cont´ınua em (0,∞). Portanto, h = f ◦ g e´
cont´ınua no conjunto
{x ∈ R | g(x) ∈ (0,∞)} = {x ∈ R | x2 < 1}
que e´ igual ao intervalo (−1, 1). ¤
Uma propriedade importante das func¸o˜es cont´ınuas esta´ no teorema a
seguir cuja prova pode ser encontrada em textos mais avanc¸ados de ca´lculo.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 83
Teorema 3.5.5 (Teorema do Valor Intermedia´rio) Suponha que f e´ uma func¸a˜o
cont´ınua em un intervalo fechado [a, b] e seja N um nu´mero qualquer entre f(a) e
f(b). Enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = N .
O Teorema do Valor Intermedia´rio estabelece que uma func¸a˜o cont´ınua
assume todos os valores intermedia´rios entre f(a) e f(b). Geometricamente, ele
estabelece que se for dada uma reta horizontal qualquer y = N entre y = f(a)
e y = f(b), enta˜o o gra´fico de f na˜o podera´ pular sobre a reta. Necessariamente, o
gra´fico interceptara´ a reta y = N em algum ponto.
O Teorema do Valor Intermedia´rio possui algumas aplicac¸o˜es interes-
santes. Uma delas e´ a localizac¸a˜o das ra´ızes de equac¸o˜es, como veremos no pro´ximo
exemplo.
Exemplo 3.5.7 Mostre que existe uma raiz da equac¸a˜o 4x3−6x2+3x−2 = 0 entre
1 e 2.
Soluc¸a˜o: Seja f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x− 2. Sabemos que f e´ cont´ınua em R, ja´ que e´
um polinoˆmio. Queremos encontrar um nu´mero c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0.
Note que
f(1) = 4− 6 + 3− 2 = −1 < 0
e
f(2) = 32− 24 + 6− 2 = 12 > 0.
Portanto, N = 0 e´ um nu´mero entre f(1) e f(2) e podemos aplicar o
Teorema do Valor Intermedia´rio para f no intervalo fechado [1, 2]. Assim, o teorema
garante a existeˆncia de um nu´mero c no intervalo (1, 2) tal que f(c) = N = 0. Ou
seja, existe uma raiz da equac¸a˜o 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 entre 1 e 2. ¤
3.6 Limites no Infinito; Ass´ıntotas Horizontais
O objetivo principal desta sec¸a˜o e´ estudar o comportamento de uma func¸a˜o no
infinito, quando a mesma esta´ definida em um intervalo do tipo (a,∞) ou (−∞, b).
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 84
Vamos comec¸ar analisando o comportamento da func¸a˜o
f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
quando x cresce. A tabela 3.1 nos fornece valores desta func¸a˜o com cinco casas
decimais e o gra´fico de f pode ser visto na figura 3.11.
x 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±10 ±50 ±100 ±1000
f(x) −1 0 0, 6 0, 8 0, 88235 0, 92307 0, 98019 0, 99920 0, 99980 0, 99999
Tabela 3.1: Valores de f(x) = x
2−1
x2+1
.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
x
Figura 3.11: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = x
2−1
x2+1
.
Quanto maior o valor de x, mais pro´ximo de 1 ficam os valores de f(x).
De fato, temos a impressa˜o de que podemos tornar os valores de f(x) ta˜o pro´ximos
de 1 quanto quisermos tomando x suficientemente grande. Isso pode ser expresso
em termos de limites da seguinte maneira:
lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 85
Em geral, usamos a notac¸a˜o
lim
x→∞
f(x) = L
para indicar que os valores de f(x) ficam cada vez mais pro´ximos de L a` medida
que x cresce.
Definic¸a˜o 3.6.1 Seja f uma func¸a˜o definida em algum intervalo (a,∞). Enta˜o
lim
x→∞
f(x) = L
significa dizer que os valores de f(x) ficam arbitrariamente pro´ximos de L tomando
x suficientemente grande.
Analogamente, temos
Definic¸a˜o 3.6.2 Seja f uma func¸a˜o definida em algum intervalo (−∞, b). Enta˜o
lim
x→−∞
f(x) = L
significa dizer que os valores de f(x) ficam arbitrariamente pro´ximos de L tomando
x suficientemente grande em valor absoluto, pore´m negativo.
Assim, para o nosso exemplo inicial, podemos verificar que
lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1 e lim
x→−∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1.
Definic¸a˜o 3.6.3 A reta y = L e´ chamada de ass´ıntota horizontal da curva
y = f(x) se
lim
x→∞
f(x) = L ou lim
x→−∞
f(x) = L.
Por exemplo, na figura 3.11 vemos que a reta y = 1 e´ uma ass´ıntota
horizontal da curva y = x
2−1
x2+1
.
Exemplo 3.6.1 Encontre
lim
x→∞
1
x
e lim
x→−∞
1
x
.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 86
Soluc¸a˜o: Observeque se x e´ grande, 1
x
torna-se muito pequeno. Por exemplo,
1
100
= 0, 01
1
10.000
= 0, 0001
1
1.000.000
= 0, 000001
De fato, tomando x suficientemente grande podemos tornar 1
x
ta˜o pro´ximo
de 0 quanto quisermos. Portanto,
lim
x→∞
1
x
= 0.
Analogamente, concluimos que quando x e´ grande em valor absoluto,
pore´m negativo, 1
x
e´ pequeno em valor absoluto, pore´m negativo. Logo,
lim
x→−∞
1
x
= 0.
Segue que a reta y = 0 (eixo x) e´ uma ass´ıntota horizontal da curva
y = 1
x
. (veja a figura 3.12) ¤
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
Figura 3.12: O eixo x e´ uma ass´ıntota horizontal para a curva y = 1
x
.
Muitas das propriedades vistas na sec¸a˜o 3.4 tambe´m sa˜o verdadeiras
para limites no infinito. Com excec¸a˜o das leis 8 e 9, as Leis do Limite listadas na
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 87
sec¸a˜o 3.4 sa˜o ainda verdadeiras se trocarmos x → a por x → ∞ ou x → −∞.
Em particular, se combinarmos as leis 5 e 10 com o resultado do exemplo anterior,
obteremos a seguinte regra importante no ca´lculo de limites.
Teorema 3.6.1 Se r > 0 e´ um nu´mero racional, enta˜o
lim
x→∞
1
xr
= 0.
Se r > 0 e´ um nu´mero racional tal que xr esta´ definida para todo x, enta˜o
lim
x→−∞
1
xr
= 0.
Exemplo 3.6.2 Calcule
lim
x→∞
3x3 − 10x− 2
5x3 + x+ 13
.
Soluc¸a˜o: Para calcular o limite infinito de uma func¸a˜o racional, primeiro dividimos
o nu´merador e o denominador pela maior poteˆncia de x que ocorre no denominador
(Como x tende a ∞, estamos assumindo que x 6= 0). Nesse caso, a maior poteˆncia
de x no denominador e´ x3. Enta˜o
lim
x→∞
3x3 − 10x− 2
5x3 + x+ 13
= lim
x→∞
3− 10
x2
− 2
x3
5 + 1
x2
+ 13
x3
=
limx→∞
(
3− 10
x2
− 2
x3
)
limx→∞
(
5 + 1
x2
+ 13
x3
)
=
limx→∞ 3− 10 limx→∞ 1x2 − 2 limx→∞ 1x3
limx→∞ 5 + limx→∞ 1x2 + 13 limx→∞
1
x3
=
3− 0− 0
5 + 0 + 0
=
3
5
.
Um ca´lculo ana´logo mostra que o limite quando x → −∞ tambe´m e´ 3
5
.
Portanto, a reta y = 3
5
e´ uma ass´ıntota horizontal para o gra´fico da func¸a˜o racional
deste exemplo, como mostra a figura 3.13. ¤
Exemplo 3.6.3 Determine as ass´ıntotas vertical e horizontal do gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
√
2x2 + 1
3x− 5 .
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 88
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-4 -2 2 4
x
Figura 3.13: A reta y = 3
5
e´ uma ass´ıntota horizontal para a curva y = 3x
3−10x−2
5x3+x+13
.
Soluc¸a˜o: Dividindo o numerador e o denominador por x e usando as propriedades
do limite, temos
lim
x→∞
√
2x2 + 1
3x− 5 = limx→∞
√
2 + 1
x2
3− 5
x
=
limx→∞
√
2 + 1
x2
limx→∞
(
3− 5
x
)
=
√
limx→∞ 2 + limx→∞ 1x2
limx→∞ 3− 5 limx→∞ 1x
=
√
2 + 0
3− 5.0 =
√
2
3
.
Portanto, a reta y =
√
2
3
e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
Calculando o limite quando x→ −∞, devemos lembrar que, para x < 0,
temos
√
x2 = |x| = −x. Logo, quando dividimos o numerador por x, para x < 0,
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 89
obtemos
1
x
√
2x2 + 1 = − 1√
x2
√
2x2 + 1 = −
√
2 +
1
x2
.
Logo,
lim
x→−∞
√
2x2 + 1
3x− 5 = limx→∞−
√
2 + 1
x2
3− 5
x
= −
√
2
3
.
Assim, a reta y = −
√
2
3
e´ tambe´m uma ass´ıntota horizontal para o gra´fico
de f .
Uma ass´ıntota vertical provavelmente ocorre quando o denominador 3x−
5 tende a zero. Ou seja, quando x → 5
3
. Quando x → 5
3
+
enta˜o tanto o numerador
quanto o denominador sa˜o positivos e da´ı
lim
x→ 5
3
+
√
2x2 + 1
3x− 5 =∞.
Agora, se x→ 5
3
−
enta˜o o numerador e´ sempre positivo e o denominador
e´ negativo, portanto
lim
x→ 5
3
−
√
2x2 + 1
3x− 5 = −∞.
Logo, a reta x = 5
3
e´ uma ass´ıntota vertical para o gra´fico de f (Veja a
figura 3.14). ¤
A seguir, temos um exemplo interessante.
Exemplo 3.6.4 Calcule limx→∞(
√
x2 + 1− x).
Soluc¸a˜o: Note que na˜o podemos aplicar as leis do limite, ja´ que tanto
√
x2 + 1 quanto
x tendem a infinito quando x tende a infinito (veremos isso precisamente na pro´xima
sec¸a˜o). Logo, reescreveremos a func¸a˜o de uma maneira mais conveniente, fazendo
algumas manipulac¸o˜es alge´bricas. Multiplicando o numerador e o denominador por
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 90
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-4 -2 2 4 6 8
x
Figura 3.14: Gra´fico de y =
√
2x2+1
3x−5 .
√
x2 + 1 + x, temos que
lim
x→∞
(
√
x2 + 1− x) = lim
x→∞
(
√
x2 + 1− x)
(√x2 + 1 + x√
x2 + 1 + x
)
= lim
x→∞
(x2 + 1)− x2√
x2 + 1 + x
= lim
x→∞
1√
x2 + 1 + x
.
Agora, para continuar nossos ca´lculos, dividimos o numerador e o de-
nominador por x:
lim
x→∞
1√
x2 + 1 + x
= lim
x→∞
1
x√
1 + 1
x2
+ 1
=
0√
1 + 0 + 1
= 0.
A figura 3.15 ilustra nossos ca´lculos. ¤
O gra´fico da func¸a˜o exponencial tem a reta y = 0 (eixo x) como ass´ıntota
horizontal (O mesmo acontece para qualquer func¸a˜o exponencial com base a 6= 1).
Podemos ver isso no gra´fico de y = ex na figura 3.16.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 91
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
2 4 6 8 10
x
Figura 3.15: Gra´fico de y =
√
x2 + 1− x.
Note que os valores de ex tendem a zero muito rapidamente quando
x→ −∞. Ou seja,
lim
x→−∞
ex = 0.
3.6.1 Limites Infinitos no Infinito
Finalmente, a notac¸a˜o
lim
x→∞
f(x) =∞
e´ usada para indicar que os valores de f(x) tornam-se ta˜o grandes quanto x. Sig-
nificados ana´logos atribuimos aos s´ımbolos:
lim
x→∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) =∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Exemplo 3.6.5 Encontre
lim
x→∞
x3 e lim
x→−∞
x3.
Soluc¸a˜o: Quando x e´ grande o mesmo acontece com x3 como podemos ver calculando
alguns valores de x3:
103 = 1.000, 1003 = 1.000.000, e 1.0003 = 1.000.000.000.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 92
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
-4 -3 -2 -1 1
x
y=e x
Figura 3.16: O eixo x e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de y = ex.
Podemos tornar x3 ta˜o grande quanto quisermos bastando para isso
tomar x suficientemente grande. Portanto,
lim
x→∞
x3 =∞.
Analogamente, quando x e´ muito grande em valor absoluto, pore´m ne-
gativo, x3 tambe´m e´ muito grande em valor absoluto e negativo. Portanto,
lim
x→−∞
x3 = −∞.
A figura 3.17 ilustra esse fato. ¤
Observando a figura 3.16 podemos verificar que
lim
x→∞
ex =∞.
Ademais, os valores de ex crescem mais rapidamente que os valores de
x3, quando x e´ muito grande, como podemos ver na figura 3.18.
Exemplo 3.6.6 Encontre
lim
x→∞
(x2 − x).
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 93
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
Figura 3.17: Gra´fico de y = x3.
Soluc¸a˜o: Note que na˜o podemos escrever
lim
x→∞
(x2 − x) = lim
x→∞
x2 − lim
x→∞
x =∞−∞
pois as leis do limite na˜o podem ser aplicadas para limites infinitos (∞ na˜o e´ um
nu´mero!!!). Contudo, podemos escrever
lim
x→∞
(x2 − x) = lim
x→∞
x(x− 1) =∞
pois, como x e x − 1 tendem a infinito quando x tende a infinito, enta˜o o mesmo
acontece com seu produto. ¤
Exemplo 3.6.7 Encontre
lim
x→∞
x2 + x
3− x .
Soluc¸a˜o: Como fizemos anteriormente, vamos dividir o numerador e o denominador
pela maior poteˆncia de x no denominador, que no caso e´ x. Assim
lim
x→∞
x2 + x
3− x = limx→∞
x+ 1
3
x
− 1 = −∞
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 94
0
50
100
150
200
250
300
y
1 2 3 4 5 6
x
Figura 3.18: O gra´fico de y = x3 e´ o pontilhado, enquanto o cont´ınuo e´ o gra´fico de
y = ex. Para valores grandes dex, ex e´ muito maior que x3.
pois x+ 1 tende a ∞ e 3
x
− 1 tende a −1 quando x→∞. ¤
3.7 Ass´ıntotas. Custo Total Me´dio
Nessa sec¸a˜o veremos uma aplicac¸a˜o da teoria assinto´tica na economia.
Considere a func¸a˜o y = f(x) e a reta y = mx+ n. Dizemos que a reta e´
uma ass´ıntota, em ∞, do gra´fico de f se
lim
x→∞
[f(x)− (mx− n)] = 0.
Sera´ uma ass´ıntota, em −∞, se esse limite for zero para x → −∞.
Intuitivamente, dizer que a reta y = mx + n e´ uma ass´ıntota, em ∞, do gra´fico
de f significa que o gra´fico de f vai encostando cada vez mais no gra´fico da reta.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 95
Significa que para valores grandes de x
f(x) ≈ mx+ n.
Note que estamos generalizando a definic¸a˜o de ass´ıntota. Um bom exer-
c´ıcio para o leitor e´ verificar que, como era de se esperar, se m = 0 esta definic¸a˜o
coincide com a definic¸a˜o de uma ass´ıntota horizontal.
Considere a func¸a˜o custo total C(x), x ≥ 0. Por definic¸a˜o, o custo total
me´dio C(x) e´ o quanto custara´, em me´dia, cada uma das x unidades produzidas, ou
seja, e´ a raza˜o entre o custo total C(x) e a quantidade x produzida. Isto e´, se x > 0
enta˜o
C(x) =
C(x)
x
.
Exemplo 3.7.1 Considere a func¸a˜o custo total C(x) = 2x2 + x+ 30, x ≥ 0.
a. Qual o custo total me´dio?
b. Qual o custo total (em reais) da produc¸a˜o de 5 unidades? Em me´dia, quanto
custara´ para a empresa cada uma destas 5 unidades?
c. O custo total me´dio admite ass´ıntota em ∞? Qual?
d. Admite ass´ıntota vertical? Qual?
Soluc¸a˜o: a. Se x > 0, o custo total me´dio e´ dado por
C(x) =
C(x)
x
=
2x2 + x+ 30
x
= 2x+ 1 +
30
x
.
b. O custo total para a produc¸a˜o de 5 unidades e´ C(5) = 85 reais. Em me´dia, cada
uma dessas 5 unidades custara´ C(5) = 85
5
= 17 reais.
c. Como
lim
x→∞
30
x
= 0,
para valores grandes de x teremos
C(x) ≈ 2x+ 1
sendo a aproximac¸a˜o tanto melhor quanto maiores forem os valores de x.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 96
d. A reta x = 0 e´ uma ass´ıntota vertical pois
lim
x→0+
C(x) = lim
x→0+
[
2x+ 1 +
30
x
]
=∞.
Podemos visualizar estas informac¸o˜es no gra´fico do custo total me´dio, na
figura 3.19. ¤
0
10
20
30
40
50
60
70
80
y
5 10 15 20 25 30
x
CustoTotalMédio
y=C(x)
Assíntota
y=2x+1
Figura 3.19: O custo total me´dio assintota a reta y = 2x+ 1.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 97
3.8 Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Teo´ricos
T1 Explique o significado de cada um dos limites a seguir e ilustre com um esboc¸o.
a) limx→a f(x) = L; b) limx→a+ f(x) = L; c) limx→a− f(x) = L;
d) limx→a f(x) =∞; e) limx→∞ f(x) = L.
T2 Enuncie cada uma das seguintes Leis do Limite (ou Propriedades do Limite).
a) Lei da Soma;
b) Lei do Mu´ltiplo Constante;
c) Lei do Produto;
d) Lei do Quociente;
e) Lei da Poteˆncia;
f) Lei da Raiz;
T3 a) O que significa dizer que uma reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical da curva
y = f(x)? Trace curvas que ilustrem cada uma das va´rias possibilidades.
b) O que significa dizer que uma reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal da curva
y = f(x)? Trace curvas que ilustrem algumas das possibilidades.
T4 Quais das curvas a seguir teˆm ass´ıntotas verticais? E horizontais?
a) y = x4; b) y = 1
x
; c) y = x−2
x+3
;
T5 a)Qual o significado de f ser cont´ınua em a?
b) Qual o significado de f ser cont´ınua em R? Nesse caso, o que se pode dizer sobre
o gra´fico de f?
T6 O que afirma o Teorema do Valor Interme´dia´rio? Cite uma de suas aplicac¸o˜es.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 98
Exerc´ıcios de V ou F
Determine se o que esta´ estabelecido e´ verdadeiro ou falso. Se verdadeiro, justi-
fique e se falso, deˆ um contra-exemplo do que esta´ estabelecido. SEJA CLARO EM
SUAS AFIRMAC¸O˜ES!!!
VF1 limx→4
(
2x
x−4 − 8x−4
)
= limx→4 2xx−4 − limx→4 8x−4
VF2 limx→1 x
2+6x−7
x2+5x−6 =
limx→1(x2+6x−7)
limx→1(x2+5x−6)
VF3 limx→1 x−3x2+2x−4 =
limx→1(x−3)
limx→1(x2+2x−4)
VF4 Se limx→1 f(x) = 2 e limx→1 g(x) = 0, enta˜o limx→1
f(x)
g(x)
na˜o existe.
VF5 Se limx→1 f(x) = 0 e limx→1 g(x) = 0, enta˜o limx→1
f(x)
g(x)
na˜o existe.
VF6 Se limx→2 f(x)g(x) existe, enta˜o o limite deve ser f(2)g(2).
VF7 Se p for um polinoˆmio enta˜o limx→b = p(b).
VF8 Se limx→0 f(x) =∞ e limx→0 g(x) =∞ enta˜o limx→0[f(x)− g(x)] = 0.
VF9 Se a reta x = 1 for uma ass´ıntota vertical de y = f(x), enta˜o f na˜o esta´
definida em 1.
VF10 Se f(1) > 0 e f(3) < 0, enta˜o existe um nu´mero c entre 1 e 3 tal que f(c) = 0.
VF11 Se f for cont´ınua em 5 e, f(5) = 2 e f(4) = 3, enta˜o limx→2 f(4x2−11) = 2.
VF12 Se f e´ descont´ınua em a enta˜o na˜o existe limx→a f(x).
Exerc´ıcios
E1 Esboce um gra´fico de um exemplo de func¸a˜o que satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
lim
x→0+
f(x) = −2, lim
x→0−
f(x) = 1,
f(0) = −1, lim
x→2−
f(x) =∞,
lim
x→2+
f(x) = −∞, lim
x→∞
f(x) = 3,
lim
x→−∞
f(x) = 4.
E2 Encontre o limite.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 99
a) limt→4 t−4t2−3t−4
b) limh→0
(1+h)2−1
h
c) limh→0
(1+h)−2−1
h
d) limx→−1 x
2−x−2
x2+3x−2
e) limx→−1 x
2−x−2
x2+3x+2
f) limt→6 17(t−6)2
g) limx→−6+ xx+6
h) lims→16
4−√s
s−16
i) limv→2 v
2+2v−8
v4−16
j) limx→8−
|x−8|
x−8
k) limx→0 1−
√
1−x2
x
l) limx→2
√
x+2−√2x
x2−2x
m) limx→∞ 1+2x−x
2
1−x+2x2
n) limx→−∞ 5x
3−x2+2
2x3+x−3
o) limx→∞
√
x2−9
2x−6
E3 Seja
f(x) =

√−x, se x < 0;
3− x, se 0 ≤ x < 3;
(x− 3)2, se x > 3.
a) Calcule cada limite, se existir.
(i) lim
x→0+
f(x) (ii) lim
x→0−
f(x)
(iii) lim
x→0
f(x) (iv) lim
x→3−
f(x)
(v) lim
x→3+
f(x) (vi) lim
x→3
f(x)
b) Onde f e´ descont´ınua?
c) Esboce o gra´fico de f .
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 100
E4 Seja
g(x) =

2x− x2, se 0 ≤ x ≤ 2;
2− x, se 2 < x ≤ 3;
x− 4, se 3 < x < 4;
pi, se x ≥ 4.
a) Para cada um dos nu´meros 2, 3 e 4, descubra se g e´ cont´ınua a` esquerda, e´
cont´ınua a` direita ou cont´ınua no nu´mero.
b) Esboce o gra´fico de g.
E5 Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que existe uma raiz da
equac¸a˜o 2x3 + x2 + 2 = 0 no intervalo (−2,−1).
E6 Determine L (caso exista) para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado.
Justifique.
a) f(x) =
{
x2−4
x−2 , se x 6= 2;
L, se x = 2.
no ponto p = 2.
b) g(x) =
{
x2−x
x
, se x 6= 0;
L, se x = 0.
no ponto p = 0.
c) h(x) =
{ |x|
x
, se x 6= 0;
L, se x = 0.
no ponto p = 0.
E7) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R e que seja cont´ınua em todos os
pontos, exceto em −1, 0, 1.
E8 Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que limx→∞ f(x) = ∞, limx→∞ g(x) = ∞ e
limx→∞[f(x)− g(x)] 6= 0.
E9 Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que limx→∞ f(x) = ∞, limx→∞ g(x) = ∞ e
limx→∞
f(x)
g(x)
6= 1.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 101
E10 Considere a func¸a˜o custo total C(x) = x2 + 3x+ 25, x ≥ 0.
a. Qual a func¸a˜o custo total me´dio correspondente a uma produc¸a˜o de x unidades?
Tal func¸a˜o admite ass´ıntota? Qual? (ou quais?)
b. Esboce o gra´fico da func¸a˜o custo total e de suas poss´ıveis ass´ıntotas.
Exerc´ıcio Extra: Suponha que o custo total seja dado por
C(x) = x3 + 2x+ 54, x ≥ 0.
a. Qual o custo total me´dio? Tal func¸a˜o admite ass´ıntota? E´ assinto´tica a alguma
func¸a˜o quando x→∞? Qual?
b. Calcule o limite em ∞ e em 0+ da func¸a˜o custo total me´dio.
c. Esboce o gra´fico da func¸a˜o custo total me´dio.
Cap´ıtulo 4
A Derivada
A invenc¸a˜o do ca´lculo foi motivada, em grande parte, por dois problemas geome´tricos:
• determinar a a´rea de uma superf´ıcie limitada por curvas;
• determinar a reta tangente a uma curva.
Como veremos mais adiante, estes problemas teˆm aplicac¸o˜es importantes,
que va˜o muito ale´mdo interesse puramente matema´tico que despertam.
Neste cap´ıtulo, vamos tratar do segundo destes problemas, cuja soluc¸a˜o
leva ao conceito fundamental de derivada de uma func¸a˜o. Vamos tambe´m discutir os
me´todos usados para calcular derivadas e apresentar algumas grandezas que podem
ser expressas atrave´s de uma derivada: taxa de variac¸a˜o, velocidade e custo marginal.
4.1 Tangentes
Considere uma curva C dada pela equac¸a˜o y = f(x). Estamos interessados em
encontrar uma equac¸a˜o, se poss´ıvel, para a reta tangente a C no ponto P = (a, f(a)).
Acompanhe a figura 4.1.
Se Q = (x, f(x)) e´ um ponto suficientemente pro´ximo de P , pore´m di-
ferente de P , enta˜o a inclinac¸a˜o da secante a curva C passando por P e Q e´ dada
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 103
P
Q
a x
f(a)
f(x)
a
retatangente
C
Figura 4.1: A reta secante passando por P e Q tem inclinac¸a˜o dada pormPQ = tanα =
f(x)−f(a)
x−a .
por
mPQ =
f(x)− f(a)
x− a .
A ide´ia para se encontrar a inclinac¸a˜o da reta tangente a C no ponto P e´
tomar Q cada vez mais pro´ximo de P , fazendo x→ a. Isso significa que a tangente
e´ a posic¸a˜o limite da reta secante PQ quando Q tende a P .
Definic¸a˜o 4.1.1 A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P = (a, f(a))
e´ a reta que passa por P e tem inclinac¸a˜o dada por
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a (4.1)
se esse limite existir.
Caso
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a =∞
ou −∞, a reta tangente e´ a reta vertical x = a.
O seguinte exemplo ilustra como encontrar uma equac¸a˜o para essa reta
tangente no caso no caso de existeˆncia do limite.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 104
Exemplo 4.1.1 Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola y = x2 no
ponto P = (1, 1).
Soluc¸a˜o: Aqui a = 1 e f(x) = x2.
Substiuindo esses valores em (4.1) inclinac¸a˜o e´ dada por
m = lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= lim
x→1
(x+ 1) = 2.
Usando a forma ponto-inclinac¸a˜o1 da equac¸a˜o da reta temos que uma
equac¸a˜o da reta tangente a y = x2 no ponto (1, 1) e´
y − 1 = 2(x− 1)⇔ y = 2x− 1. ¤
Existe uma outra fo´rmula para a inclinac¸a˜o da reta tangente, a`s vezes
mais fa´cil de ser usada. Tome x = a+ h. Enta˜o x− a = h e
x→ a⇔ h→ 0.
Logo, substiuindo esses resultados em (4.1), a inclinac¸a˜om pode ser dada
tambe´m por
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
. (4.2)
Exemplo 4.1.2 Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x) = 3
x
no ponto (3, 1).
Soluc¸a˜o: Usando a equac¸a˜o (4.2), temos que
m = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
3
3+h
− 1
h
1A reta que passa por (x0, y0) e tem inclinac¸a˜o dada porm tem como equac¸a˜o y−y0 = m(x−x0).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 105
= lim
h→0
3−(3+h)
3+h
h
= lim
h→0
−h
h(3 + h)
= lim
h→0
(
− 1
3 + h
)
= −1
3
.
Portanto, uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva y = 3/x no ponto
(3, 1) e´ dada por
y − 1 = −1
3
(x− 3)⇔ x+ 3y − 6 = 0. ¤
Sabemos que a inclinac¸a˜o m pode ser dada por
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
desde que esse limite exista!
O que ocorre quando na˜o existe o limite em (4.1) ou (4.2)?
Lembre-se que esse limite pode na˜o existir por dois motivos:
(i) limites laterais diferentes, ou seja:
lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a 6= limx→a+
f(x)− f(a)
x− a ;
(ii) ou
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a =∞ ou −∞.
O caso (ii) caracteriza uma tangente vertical a` curva C no ponto
(a, f(a)): a reta vertical x = a (como foi dado na definic¸a˜o).
Ja´ no caso (i) dizemos que a curva C na˜o possui reta tangente no
ponto (a, f(a)). Essa situac¸a˜o caracteriza uma cu´spide. Veja a figura 4.2.
Exemplo 4.1.3 Encontre a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
x no ponto
(0, 0).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 106
f(a)
C
a
y
x
Cúspide
Figura 4.2: Ponto de cu´spide.
Soluc¸a˜o: Nesse caso, como f esta´ definida somente no intervalo [0,∞), as equac¸o˜es
(4.1) e (4.2) so´ fazem sentido tomando o limite lateral a` direita. Isto e´, devemos
calcular
lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0+
√
x
x
= lim
x→0+
√
x
x
√
x√
x
= lim
x→0+
x
x
√
x
= lim
x→0+
1√
x
=∞.
Logo, a reta vertical x = 0 (eixo - y) e´ a reta tangente a` curva y =
√
x
no ponto (0, 0). (Veja a figura 4.3) ¤
Quando existe a reta tangente a uma curva y = f(x) no ponto (a, f(a))
e esta na˜o e´ vertical, enta˜o a equac¸a˜o desta reta e´ dada por
y = f(a) +m(x− a).
Se olharmos para a curva y = f(x) e sua reta tangente, temos que numa vizinhanc¸a
de (a, f(a)) a curva e a reta tangente sa˜o praticamente indistingu´ıveis. Ou seja, se
x esta´ pro´ximo de a, enta˜o
f(x) ≈ f(a) +m(x− a).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 107
0
1
2
3
4
5
y
5 10 15 20 25
x
Figura 4.3: y =
√
x tem uma reta tangente vertical em x = 0.
Essa ide´ia sera´ retomada adiante para motivar a definic¸a˜o de diferencia-
bilidade.
4.2 Taxas de Variac¸a˜o
Suponha que y e´ uma quantidade que depende de uma outra quantidade x. Assim,
y e´ uma func¸a˜o de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de x1 para x2, enta˜o a
variac¸a˜o de x (tambe´m chamada de incremento de x) e´
4x = x2 − x1
e a variac¸a˜o correspondente de y e´
4y = f(x2)− f(x1).
O quociente de diferenc¸as
4y
4x =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 (4.3)
e´ chamado de taxa me´dia de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x no intervalo
[x1, x2] e pode ser interpretada como a inclinac¸a˜o da reta secante que passa por
P = (x1, f(x1)) e Q = (x2, f(x2)).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 108
Fazendo x2 → x1, temos que 4x→ 0 e o limite
lim
4x→0
4y
4x = limx2→x1
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
e´ chamado de taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x em x = x1,
que, geometricamente, e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a curva y = f(x) no ponto
(x1, f(x1)).
Exemplo 4.2.1 (Velocidade) Considere um objeto movendo-se com uma func¸a˜o
posic¸a˜o dada por s = f(t). Uma expressa˜o para a velocidade me´dia desse objeto
no intervalo desde t = a ate´ t = a + h e´ dada pela taxa me´dia de variac¸a˜o de
s em relac¸a˜o a t:
4s
4t =
f(a+ h)− f(a)
h
.
Ja´ a velocidade instantaˆnea do objeto em t = a e´ dada pela taxa
(instantaˆnea) de variac¸a˜o de s em relac¸a˜o a t em t = a e e´ dada por:
v(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
4.3 A Derivada de uma Func¸a˜o
Definic¸a˜o 4.3.1 A derivada de uma func¸a˜o f em um nu´mero a, denotada
por f ′(a), e´
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
se esse limite existir.
Dizemos que f e´ diferencia´vel (deriva´vel) em a se existe f ′(a). E´ dife-
rencia´vel em D se e´ diferencia´vel em todos os pontos de D.
Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada
A reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) e´ a reta dada pela equac¸a˜o
y = f(a) + f ′(a)(x− a) (4.4)
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 109
se f for diferencia´vel em a e; a reta tangente e´ a reta vertical x = a se
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
=∞ ou −∞.
A Derivada como Func¸a˜o
Podemos, tambe´m, pensar na derivada como uma func¸a˜o f ′ cujo valor num dado
ponto x e´ dado por
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
(4.5)
desde que esse limite exista.
Interpretac¸a˜o da Derivada como Taxa de Variac¸a˜o
f ′(a) e´ a taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o da varia´vel y = f(x) em relac¸a˜o a` varia´vel x
em x = a. Na sec¸a˜o anterior vimos que a velocidade e´ um exemplo de aplicac¸a˜o da
derivada como uma taxa de variac¸a˜o. A seguir veremos um exemplo mais aplica´vel
aos nossos propo´sitos.
Exemplo 4.3.1 (Custo Marginal) Suponha que C(x) e´ o custo total que uma
companhia incorre na produc¸a˜o de x unidades de um certo produto. A func¸a˜o C e´
chamada uma func¸a˜o custo. Se o nu´mero de itens produzidos estiver crescendode
x1 para x2, o custo adicional sera´ 4C = C(x2)−C(x1), e a taxa me´dia de variac¸a˜o
do custo sera´
∆C
∆x
=
C(x2)− C(x1)
x2 − x1 =
C(x1 +∆x)
∆x
.
O limite dessa grandeza quando ∆x → 0, isto e´, a taxa de variac¸a˜o
instantaˆnea do custo em relac¸a˜o ao nu´mero de itens produzidos, e´ chamado de custo
marginal pelos economistas:
custo marginal = lim
∆x→0
∆C
∆x
.
Um vez que x pode usualmente assumir somente valores inteiros, pode
na˜o fazer sentido tomar ∆x suficientemente pro´ximo de 0.
Fazendo ∆x = 1 e n muito grande (tal que ∆x e´ pequeno comparado com
n), temos
C ′(n) ≈ C(n+ 1)− C(n).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 110
Assim, o custo marginal de produc¸a˜o de n unidades e´ aproximadamente
igual ao custo da produc¸a˜o de mais uma unidade (a (n+ 1)−e´sima unidade).
Em geral e´ apropriado representar uma func¸a˜o custo por um polinoˆmio
C(x) = a+ bx+ cx2 + dx3
onde a representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manutenc¸a˜o),
e os outros coeficientes representam o custo das mate´rias-primas, ma˜o-de-obra e
assim por diante. (O custo das mate´rias-primas pode ser proporcional a x, mas o
custo de ma˜o-de-obra poderia depender parcialmente de poteˆncias mais altas de x,
devido aos custos de horas extras e ineficieˆncias envolvidas em operac¸o˜es de larga
escala.)
Por exemplo, suponha que uma companhia produza brinquedos a um custo
total, em reais, de
C(x) = 110 + 4x+ 0, 02x2.
A func¸a˜o custo marginal e´ C ′ e
C ′(x) = 4 + 0, 04x.
O custo marginal quando x = 50 e´ dado por
C ′(50) = 4 + 0, 04.50 = 6.
Assim, a taxa de variac¸a˜o do custo total, quando 50 brinquedos sa˜o fa-
bricados e´ 6 reais por brinquedo.
O custo real de fabricac¸a˜o do qu¨inquage´simo primeiro brinquedo e´ C(51)−
C(50), e
C(51)− C(50) = [110 + 4.51 + 0, 02.(51)2]− [110 + 4.50 + 0, 02.(50)2]
= 366, 02− 360 = 6, 02.
Economistas tambe´m estudam demanda marginal, renda marginal e lucro
marginal, que sa˜o as derivadas das func¸o˜es demanda, renda e lucro.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 111
Diferenciabilidade × Continuidade
Podemos perguntar:
Que relac¸a˜o subsiste entre diferenciabilidade e continuidade?
A resposta e´ dada no teorema a seguir que garante que diferenciabilidade
implica em continuidade. Ou seja, toda func¸a˜o diferencia´vel e´ cont´ınua.
Teorema 4.3.1 (Diferenciabilidade ⇒ Continuidade) Se f e´ diferencia´vel em
a enta˜o f e´ cont´ınua em a.
Demo: Por hipo´tese, existe f ′(a) e
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
e queremos mostrar que
lim
x→a
f(x) = f(a).
Sabemos que isso e´ equivalente a demonstrar que
lim
x→a
[f(x)− f(a)] = 0.
Pois enta˜o, temos que
lim
x→a
[f(x)− f(a)] = lim
x→a
[f(x)− f(a)
x− a
]
(x− a)
e como o primeiro fator tende a f ′(a) e o segundo tende a 0, podemos aplicar a Lei
do Produto:
lim
x→a
[f(x)− f(a)] =
[
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
][
lim
x→a
(x− a)
]
= f ′(a).0 = 0.
Logo,
lim
x→a
f(x) = f(a),
o que mostra que f e´ cont´ınua em a.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 112
Entretanto, a rec´ıproca desse teorema e´ falsa! Ou seja,
Continuidade ; Diferenciabilidade.
Um contra-exemplo cla´ssico e´ a func¸a˜o valor absoluto de x, dada por
f(x) = |x|.
f e´ cont´ınua em 0 ja´ que
lim
x→0
|x| = 0 = |0|.
Pore´m f na˜o e´ diferencia´vel em 0 visto que na˜o existe o limite
lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0
|x|
x
.
Como Pode uma Func¸a˜o Deixar de ser Diferencia´vel?
Existem treˆs situac¸o˜es em que uma func¸a˜o f deixa de ser diferencia´vel em um ponto
a. Sa˜o elas:
(i) Quando
lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a 6= limx→a+
f(x)− f(a)
x− a .
O gra´fico de f , nessa situac¸a˜o, apresenta uma cu´spide em (a, f(a)). Veja a figura
4.2.
(ii) Quando f e´ descont´ınua em a. Isso se da´ pelo teorema anterior.
(iii) Quando
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a =∞ ou −∞.
Esse caso representa uma tangente vertical ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
“O gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel e´ uma curva suave, na˜o apresenta
quebras, buracos ou bicos (cu´spides).”
Notac¸o˜es de Derivada
Existem va´rias notac¸o˜es para a derivada de uma func¸a˜o f . Sa˜o elas:
f ′(x),
dy
dx
,
d
dx
[f(x)], y′.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 113
O s´ımbolo d
dx
representa o operador diferenciac¸a˜o e as notac¸o˜es envol-
vendo esse s´ımbolo devem-se a Gottfried Leibniz (1646-1716).
4.4 Regras de Diferenciac¸a˜o
Derivada de uma Func¸a˜o Constante
“A derivada de uma func¸a˜o constante e´ zero.”
Teorema 4.4.1 (Derivada de uma Func¸a˜o Constante) Se f(x) = c, c ∈ R,
enta˜o
d
dx
[c] = 0. (4.6)
Demo: De fato,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
se esse limite existir. Mas
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0 = 0.
Logo, f ′(x) = 0 para todo x.
Func¸a˜o Poteˆncia
Teorema 4.4.2 (Regra da Poteˆncia) Se f(x) = xn, n ∈ R, enta˜o
d
dx
[xn] = nxn−1. (4.7)
Demo: Faremos a demonstrac¸a˜o para n inteiro positivo.
1a demonstrac¸~ao. Faremos uso do seguinte resultado
xn − an = (x− a)(xn−1 + xn−2a+ ...+ xan−2 + an−1)
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 114
que pode ser verificado multiplicando-se o lado direito. Enta˜o, temos que
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
xn − an
x− a
= lim
x→a
(xn−1 + xn−2a+ ...+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a+ ...+ aan−2 + an−1
= nan−1. ¤
2a demonstrac¸~ao. Usaremos a expressa˜o
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)n − xn
h
.
Sabemos, pelo teorema binomial, que
(x+ h)n = xn + nxn−1h+ ...+
(
n
k
)
xn−khk + ...+ nxhn−1 + hn
onde
(
n
k
)
= n(n−1)...(n−k+1)
1.2.3...k
.
Assim
f ′(x) = lim
h→0
[
xn + nxn−1h+ n(n−1)
2
xn−2h2 + ...nxhn−1 + hn
]
− xn
h
= lim
h→0
nxn−1h+ n(n−1)
2
xn−2h2 + ...nxhn−1 + hn
h
= lim
h→0
[
nxn−1 +
n(n− 1)
2
xn−2h+ ...+ nxhn−2 + hn−1
]
= nxn−1. ¤
Exemplo 4.4.1 Derive as func¸o˜es: (a) f(x) = x6; (b) g(x) =
√
x; (c) h(x) = 1
x2
.
Soluc¸a˜o: (a) Pela equac¸a˜o (4.7), temos
f ′(x) = 6x6−1 = 6x5.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 115
(b) Note que g(x) = x
1
2 . Assim
g′(x) =
1
2
x
1
2
−1 =
1
2
√
x
.
(c) Note que h(x) = x−2. Logo
h′(x) = −2x−2−1 = −2x−3 = − 2
x3
. ¤
4.5 Novas Derivadas a partir das Antigas
Regra do Mu´ltiplo Constante
Teorema 4.5.1 (Regra do Mu´ltiplo Constante) Seja c ∈ R uma constante. Se
f e´ diferencia´vel enta˜o cf e´ diferencia´vel e
d
dx
[cf(x)] = c
d
dx
[f(x)]. (4.8)
Demo: Seja F (x) = cf(x). Queremos mostrar que F e´ diferencia´vel e que
F ′(x) = cf ′(x).
De fato,
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
h→0
cf(x+ h)− cf(x)
h
= lim
h→0
c
[f(x+ h)− f(x)
h
]
= c lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= cf ′(x).
Regra da Soma
O teorema a seguir estabelece:
“A derivada da soma e´ a soma das derivadas, desde que cada parcela da
soma seja diferencia´vel.”
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 116
Teorema 4.5.2 (Regra da Soma) Se f e g sa˜o ambas diferencia´veis enta˜o a
func¸a˜o soma f + g e´ diferencia´vel e
d
dx
[f(x) + g(x)] =
d
dx
[f(x)] +
d
dx
[g(x)]. (4.9)
Demo: Seja F (x) = f(x) + g(x). Queremos mostrar que F e´ diferencia´vel e que
F ′(x) = f ′(x) + g′(x).
Com efeito,
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
h→0
f(x+ h) + g(x+ h)− f(x)− g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x) + g(x+ h)− g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
+ lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= f ′(x) + g′(x).
Podemos estender o resultado do teorema 4.5.2 para um nu´mero finito
de func¸o˜es f1, f2, ..., fn. Isto e´,
“Se f1, f2, ..., fn sa˜o n func¸o˜es diferencia´veis enta˜o a func¸a˜o soma f1 +
f2 + ...+ fn e´ diferencia´vel e
d
dx
[f1(x) + f2(x) + ...+ fn(x)] =
d
dx[f1(x)] + ...+
d
dx
[fn(x)].”
A demonstrac¸a˜o desse fato e´ usar repetidas vezes o teorema 4.5.2. A
seguir temos um exemplo.
Exemplo 4.5.1 Encontre a derivada da func¸a˜o f(x) = x7 + 3x2 −√x.
Soluc¸a˜o: Note que f e´ soma das func¸o˜es x7, 3x2 e −√x. Estas treˆs parcelas sa˜o di-
ferencia´veis pelos teoremas 4.4.2 e 4.5.1 (Regras da Poteˆncia e Mu´ltiplo Constante).
Aplicando o teorema 4.5.2 (Regra da Soma) temos que f e´ diferencia´vel e
f ′(x) =
d
dx
[x7] +
d
dx
[3x2] +
d
dx
[−√x]
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 117
= 7x6 + 3
d
dx
[x2]− d
dx
[
√
x]
= 7x6 + 3.2x− 1
2
√
x
= 7x6 + 6x− 1
2
√
x
. ¤
Derivada de Polinoˆmios
Com os resultados que conseguimos ate´ aqui podemos demonstrar que polinoˆmios
sa˜o diferencia´veis em toda parte. A demonstrac¸a˜o utiliza os teoremas 4.4.2, 4.5.1 e
4.5.2.
Teorema 4.5.3 Polinoˆmios sa˜o diferencia´veis em R.
Demo: Seja
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
um polinoˆmio, onde ai ∈ R, i = 0, 1, ..., n.
Observe que p(x) e´ a soma de n+1 parcelas cada uma do tipo aix
i, com
i = 0, 1, ..., n. E cada uma destas parcelas e´ diferencia´vel pois e´ uma constante ai
multiplicada por uma poteˆncia xi.
A derivada de cada parcela e´ dada por
d
dx
[aix
i] = iaix
i−1.
Logo, a derivada p′(x) e´ dada por
p′(x) = nanxn−1 + (n− 1)an−1xn−2 + ...+ 2a2x+ a1.
Note que a derivada de um polinoˆmio de grau n e´ um polinoˆmio de grau
n− 1.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 118
Derivada de Func¸o˜es Exponenciais
O objetivo aqui e´ encontrar condic¸o˜es para que uma func¸a˜o exponencial f(x) = ax
seja diferencia´vel. Lembre, da sec¸a˜o 2.2.5, que a > 0.
Aplicando a definic¸a˜o 4.3.1, temos que se o limite
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
existir, enta˜o f e´ diferencia´vel e o valor limite e´ o que chamamos de f ′(x).
Assim,
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax
(ah − 1
h
)
= ax. lim
h→0
ah − 1
h
.
Logo, o limite existe se, e somente se, existe o limite
lim
h→0
ah − 1
h
= lim
h→0
a0+h − a0
h
= lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= f ′(0).
Ou seja, se uma func¸a˜o exponencial f(x) = ax e´ diferencia´vel em 0 enta˜o
e´ diferencia´vel em toda parte e
f ′(x) = f ′(0)ax = f ′(0).f(x).
“A taxa de variac¸a˜o de qualquer func¸a˜o exponencial e´ proporcional a`
pro´pria func¸a˜o.”
A fo´rmula de diferenciac¸a˜o mais simples ocorre quando f ′(0) = 1. Foi
assim que definimos o nu´mero e (Veja a sec¸a˜o 2.2.5).
Definic¸a˜o 4.5.1 e e´ o nu´mero real tal que
lim
h→0
eh − 1
h
= 1.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 119
Geometricamente, isso significa que de todas as poss´ıveis exponenciais
y = ax, a func¸a˜o exponencial de base e, f(x) = ex, e´ aquela cuja tangente em (0, 1)
tem inclinac¸a˜o f ′(0) = 1.
Teorema 4.5.4 (Derivada da Func¸a˜o Exponencial Natural)
d
dx
[ex] = ex. (4.10)
“A derivada de ex e´ ela mesma.”
Exemplo 4.5.2 Se f(x) = ex − x, encontre f ′(x).
Soluc¸a˜o: f e´ diferencia´vel pois e´ soma de func¸o˜es diferencia´veis, ex e −x. Logo,
f ′(x) =
d
dx
[ex] +
d
dx
[−x] = ex − 1. ¤
Adiante veremos como e´ a derivada de uma func¸a˜o exponencial de base
qualquer.
As pro´ximas regras de diferenciac¸a˜o dizem respeito ao produto e ao quo-
ciente de func¸o˜es.
4.5.1 Regra do Produto e do Quociente
Se fizermos uma analogia com as leis do limite, poderiamos conjecturar que
“A derivada do produto e´ o produto das derivadas”
e que
“A derivada do quociente e´ o quociente das derivadas”.
Entretanto, isso NA˜O E´ VERDADE! Mas na˜o se assuste! Na˜o e´
ta˜o complicado assim. Os teoremas a seguir fornecem as fo´rmulas para se derivar
produtos e quocientes de func¸o˜es diferencia´veis.
Regra do Produto
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 120
Teorema 4.5.5 (Regra do Produto) Se f e g sa˜o ambas diferencia´veis enta˜o a
func¸a˜o produto fg e´ diferencia´vel e
d
dx
[f(x)g(x)] = g(x)
d
dx
[f(x)] + f(x)
d
dx
[g(x)]. (4.11)
Demo: Seja F (x) = f(x)g(x). Queremos mostrar que F e´ diferencia´vel e que
F ′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
Com efeito,
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
{
g(x+ h)
[f(x+ h)− f(x)
h
]
+ f(x)
[g(x+ h)− g(x)
h
]}
Observe agora que
lim
h→0
g(x+ h) = g(x)
pois, como g e´ diferencia´vel, e´ tambe´m cont´ınua.
Note tambe´m que, por serem f e g ambas diferencia´veis,
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(x) e lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= g′(x)
e, portanto, existem.
Podemos, enfim, aplicar as leis do limite ao limite acima e da´ı
F ′(x) = lim
h→0
g(x+ h). lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
+ f(x) lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= g(x)f ′(x) + f(x)g′(x).
Logo,
F ′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 121
Regra do Quociente
Aqui tambe´m NA˜O E´ VERDADE que “a derivada do quociente e´ o quociente
das derivadas.”
O teorema a seguir fornece a fo´rmula para a derivada de um quociente
de func¸o˜es diferencia´veis.
Teorema 4.5.6 (Regra do Quociente) Se f e g sa˜o ambas diferencia´veis e
g(x) 6= 0 enta˜o a func¸a˜o quociente f
g
e´ diferencia´vel e
d
dx
[f(x)
g(x)
]
=
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
. (4.12)
Demo: Seja F (x) = f(x)
g(x)
. Assim
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
h→0
f(x+h)
g(x+h)
− f(x)
g(x)
h
= lim
h→0
f(x+h)
g(x+h)
− f(x)
g(x+h)
+ f(x)
g(x+h)
− f(x)
g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)
h[g(x+ h).g(x)]
= lim
h→0
1
g(x+ h)g(x)
.
{[f(x+ h)− f(x)
h
]
g(x)− f(x)
[g(x+ h)− g(x)
h
]}
= lim
h→0
1
g(x+ h)g(x)
.
{
g(x) lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
− f(x) lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
}
=
1
[g(x)]2
.[f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)]
Logo,
F ′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
e o teorema esta´ provado.
Exemplo 4.5.3 Encontre a derivada das func¸o˜es
f(x) = 2ex(x3 + 1) e g(x) =
√
x
x2 + 1
.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 122
Soluc¸a˜o: Note que f e´ o produto de uma func¸a˜o exponencial natural por um
polinoˆmio de grau 3, ambas func¸o˜es diferencia´veis. Podemos enta˜o aplicar a re-
gra do produto:
f ′(x) = (x3 + 1).
d
dx
[2ex] + 2ex.
d
dx
[x3 + 1]
= (x3 + 1).2ex + 2ex.(3x2)
= 2ex.(x3 + 3x2 + 1).
Quanto a g, e´ o quociente de
√
x por x2 + 1. Ambas diferencia´veis em
(0,∞). Assim, pela regra do quociente
g′(x) =
(x2 + 1). d
dx
[
√
x]−√x. d
dx
[x2 + 1]
(x2 + 1)2
=
(x2 + 1). 1
2
√
x
−√x.2x
(x2 + 1)2
=
x2+1+4x2
2
√
x
(x2 + 1)2
=
5x2 + 1
2
√
x(x2 + 1)2
para x ∈ (0,∞). ¤
4.6 Regra da Cadeia
Veremos aqui como derivar func¸o˜es compostas.
Regra da Cadeia
Teorema 4.6.1 (Regra da Cadeia) Sejam f e g ambas diferencia´veis e F = f ◦g
a func¸a˜o composta, definida por F (x) = f(g(x)). Enta˜o F e´ diferencia´vel e
F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x). (4.13)
Utilizando a notac¸a˜o de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) sa˜o func¸o˜es
diferencia´veis, enta˜o
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
. (4.14)
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 123
Podemos tambe´m escrever a Regra da Cadeia na notac¸a˜o “linha”:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x). (4.15)
Exemplo 4.6.1 Encontre F ′(x) se F (x) =
√
x2 + 1.
Soluc¸a˜o: Note que F = f ◦ g onde
f(u) =
√
u e g(x) = x2 + 1.
Da´ı,
f ′(u) =
1
2
√
u
e g′(x) = 2x.
Assim, usando a equac¸a˜o (4.13), temos que
F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x) =
1
2
√
g(x)
.g′(x) =
x√
x2 + 1
. ¤
Exemplo 4.6.2 Encontre a derivada da func¸a˜o
g(t) =
( t− 2
2t+ 1
)9
.
Soluc¸a˜o: Combinando a Regra da Poteˆncia, da Cadeia e do Quociente, obtemos
g′(t) = 9
( t− 22t+ 1
)8
.
d
dt
( t− 2
2t+ 1
)
= 9
( t− 2
2t+ 1
)8
.
(2t+ 1).1− 2(t− 2)
(2t+ 1)2
=
45(t− 2)8
(2t+ 1)10
. ¤
Exemplo 4.6.3 Diferencie y = (2x+ 1)5(x3 − x+ 1)4.
Soluc¸a˜o: Neste exemplo devemos usar a Regra do Produto antes de usar a Regra da
Cadeia:
dy
dx
= (2x+ 1)5
d
dx
[(x3 − x+ 1)4] + (x3 − x+ 1)4 d
dx
[(2x+ 1)5]
= (2x+ 1)5.4(x3 − x+ 1)3. d
dx
[x3 − x+ 1] + (x3 − x+ 1)4.5(2x+ 1)4. d
dx
[2x+ 1]
= 4(2x+ 1)5(x3 − x+ 1)3(3x2 − 1) + 5(x3 − x+ 1)4(2x+ 1)4.2.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 124
Notando que cada parcela tem um fator comum 2(2x+ 1)4(x3− x+ 1)3,
podemos fatora´-lo e escrever a resposta como
dy
dx
= 2(2x+ 1)4(x3 − x+ 1)3(17x3 + 6x2 − 9x+ 3). ¤
Derivada de uma Func¸a˜o Exponencial de Base a > 0
Podemos usar a Regra da Cadeia para diferenciar uma func¸a˜o exponencial com
qualquer base a > 0. Usaremos a identidade a = eln a (Recorde a sec¸a˜o 2.2.6). Logo,
ax = (eln a)x = e(ln a)x
e a Regra da Cadeia da´
d
dx
[ax] =
d
dx
[e(ln a)x] = e(ln a)x.
d
dx
[(ln a)x]
= e(ln a)x. ln a = ax ln a
pois ln a e´ constante. Logo temos a fo´rmula
d
dx
[ax] = ax ln a. (4.16)
Lembre que vimos anteriormente que
d
dx
[ax] = f ′(0).ax.
O que mostra que se f(x) = ax enta˜o f ′(0) = ln a.
Enta˜o, se a = 2 temos que
d
dx
[2x] = 2x ln 2.
4.7 Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita
As func¸o˜es encontradas ate´ agora podem ser descritas expressando-se uma varia´vel
explicitamente em func¸a˜o da outra; por exemplo
y =
√
x3 + 1 ou y = xex
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 125
ou, em geral, y = f(x). Algumas func¸o˜es, entretanto, sa˜o definidas implicitamente
por uma equac¸a˜o envolvendo x e y, tais como
x2 + y2 = 25 (4.17)
ou
x3 + y3 = 6xy. (4.18)
Em alguns casos e´ poss´ıvel resolver uma equac¸a˜o para y como uma func¸a˜o
expl´ıcita (ou va´rias func¸o˜es) de x. Por exemplo, se resolvermos (5.1) para y, obte-
remos
y = ±
√
25− x2,
logo, duas func¸o˜es determinadas pela equac¸a˜o impl´ıcita (5.1) sa˜o
f(x) =
√
25− x2 e g(x) = −
√
25− x2.
Os gra´ficos de f e g sa˜o os semic´ırculos superior e inferior do c´ırculo x2 + y2 = 25.
Quanto a equac¸a˜o (5.2), e´ de uma curva chamada fo´lio de Descartes,
mostrada na figura ?, e implicitamente define y como va´rias func¸o˜es de x. Func¸o˜es
estas que na˜o sa˜o simples de serem encontradas.
Felizmente na˜o precisamos resolver uma equac¸a˜o para y em termos de x
para encontrar a derivada de y. Em vez disso, utilizamos o me´todo da diferenciac¸a˜o
impl´ıcita que consiste em diferenciar ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x e
enta˜o resolver a equac¸a˜o resultante para y′. Nos exemplos desta sec¸a˜o assuma sempre
que a equac¸a˜o dada determina y implicitamente como uma func¸a˜o diferencia´vel de
x de forma que o me´todo da diferenciac¸a˜o impl´ıcita possa ser aplicado.
Exemplo 4.7.1 (a) Se x2 + y2 = 25, encontre dy
dx
.
(b) Encontre uma equac¸a˜o para a tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4).
Soluc¸a˜o: (a) Diferencie ambos os lados da equac¸a˜o x2 + y2 = 25 :
d
dx
[x2 + y2] =
d
dx
[25]
⇔ d
dx
[x2] +
d
dx
[y2] = 0
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 126
Desde que y e´ uma func¸a˜o de x, aplicamos a Regra da Cadeia e
d
dx
[y2] =
d
dy
[y2].
dy
dx
= 2y.
dy
dx
.
Da´ı,
2x+ 2y
dy
dx
= 0.
Resolvendo essa equac¸a˜o para dy
dx
:
dy
dx
= −x
y
.
(b) No ponto (3, 4) temos que
dy
dx
= −3
4
.
Uma reta tangente ao c´ırculo de raio 5 e centro em (0, 0) no ponto (3, 4)
e´, portanto:
y − 4 = −3
4
(x− 3) ou 3x+ 4y = 25. ¤
Exemplo 4.7.2 (a) Se x3 + y3 = 6xy, encontre dy
dx
.
(b) Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente ao fo´lio de Descartes x3+ y3 = 6xy
no ponto (3, 3).
Soluc¸a˜o: Diferenciando ambos os lados da equac¸a˜o
x3 + y3 = 6xy,
considerando y como uma func¸a˜o de x e usando a Regra da Cadeia na parcela y3 e,
a Regra do Produto no termo 6xy, obtemos
3x2 + 3y2y′ = 6y + 6xy′
ou
x2 + y2y′ = 2y + 2xy′.
Resolvendo para y′ :
(y2 − 2x)y′ = 2y − x2
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 127
y′ =
2y − x2
y2 − 2x.
(b) Quando x = y = 3, temos
y′ =
2.3− 32
32 − 2.3 = −1.
Logo, uma equac¸a˜o da tangente ao fo´lio de Descartes em (3, 3) e´
y − 3 = −1(x− 3) ou x+ y = 6. ¤
Derivadas de Func¸o˜es Logar´ıtmicas
Vamos utilizar a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para encontrar a derivada das func¸o˜es
logar´ıtmicas y = loga x e, em particular, da func¸a˜o logar´ıtmica natural y = ln x.
Teorema 4.7.1 (Derivada de Func¸o˜es Logar´ıtmicas)
d
dx
[loga x] =
1
x ln a
. (4.19)
Demo: Seja y = loga x. Enta˜o
ay = x.
Diferenciando esta equac¸a˜o implicitamente em relac¸a˜o a x, usando a
fo´rmula (4.10), obtemos
ay(ln a)
dy
dx
= 1
e, logo
dy
dx
=
1
ay ln a
=
1
x ln a
.
Derivada da Func¸a˜o Logaritmo Natural
Se pusermos a = e na fo´rmula (4.19), enta˜o o fator ln a no lado direito torna-se
ln e = 1, e obtemos a fo´rmula para a derivada da func¸a˜o logar´ıtmica natiral y = ln x :
d
dx
[ln x] =
1
x
. (4.20)
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 128
Exemplo 4.7.3 Diferencie y = ln(x3 + 1).
Soluc¸a˜o: Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x3+1. Enta˜o y = lnu; logo:
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
=
1
u
.
du
dx
=
1
x3 + 1
.(3x2) =
3x2
x3 + 1
. ¤
Exemplo 4.7.4 Encontre d
dx
ln x+1√
x−2 .
Soluc¸a˜o:
d
dx
ln
x+ 1√
x− 2 =
1
x+1√
x−2
d
dx
x+ 1√
x− 2
=
√
x− 2
x− 1 .
√
x− 2.1− (x+ 1)
(
1
2
)
(x− 2)−1/2
x− 2
=
x− 2− 1
2
(x+ 1)
(x+ 1)(x− 2) =
x− 5
2(x+ 1)(x− 2) . ¤
4.8 Derivadas Superiores
Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel enta˜o sua derivada f ′ e´ tambe´m uma func¸a˜o. Logo,
f ′ pode tambe´m ter sua pro´pria derivada, denotada por (f ′)′ = f ′′. Essa nova
func¸a˜o f ′′ e´ chamada de derivada segunda de f , pois e´ a derivada da derivada de
f . Usando a notac¸a˜o de Leibniz, escrevemos a derivada segunda de y = f(x) como
d
dx
[dy
dx
]
=
d2y
dx2
.
Exemplo 4.8.1 Se f(x) = xex encontre f ′′.
Soluc¸a˜o: Usando a Regra do Produto, temos que
f ′(x) = 1.ex + xex = (x+ 1)ex.
Logo,
f ′′(x) =
d
dx
[f ′(x)] = 1.ex + (x+ 1)ex = (x+ 2)ex. ¤
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 129
Interpretac¸a˜o da Derivada Segunda
Podemos interpretar f ′′(x) como a inclinac¸a˜o da curva y = f ′(x) no ponto (x, f ′(x)).
Em outras palavras, e´ a taxa de variac¸a˜o da inclinac¸a˜o da curva original y = f(x).
Em geral, podemos interpretar uma derivada segunda como uma taxa
de variac¸a˜o da taxa de variac¸a˜o. O exemplo disso e´ a acelerac¸a˜o, que definimos a
seguir:
v(t) = s′(t) =
ds
dt
.
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da velocidade em relac¸a˜o ao tempo e´
chamada de acelerac¸a˜o a(t) do objeto. Assim, a func¸a˜o acelerac¸a˜o e´ a derivada da
func¸a˜o velocidade e e´, portanto, a derivada segunda da func¸a˜o posic¸a˜o:
a(t) = v′(t) = s′′(t)
ou, na notac¸a˜o de Leibniz:
a =
dv
dt
=
d2s
dt2
.
A derivada terceira f ′′′ e´ a derivada da derivada segunda: f ′′′ = (f ′′)′.
Logo, f ′′′(x) pode ser interpretada como a inclinac¸a˜o da curva y = f ′′(x), ou como a
taxa de variac¸a˜o de f ′′(x). Se y = f(x), enta˜o notac¸o˜es alternativas para a derivada
tercaira sa˜o
y′′′ = f ′′′(x) =
d
dx
[d2y
dx2
]
=
d3y
dx3
.
O processo pode ser continuado, desde que seja poss´ıvel encontrar as
derivadas superiores a esta. A derivada quarta f ′′′′ e´ usualmente denotada por f (4).
Em geral, a derivada n-e´sima de f , denotada por f (n) e´ dada por
y(n) = f (n)(x) =
dny
dxn
.
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso em que a
func¸a˜o e´ a func¸a˜o posic¸a˜o s = s(t) de um objeto que se move ao longo deuma reta.
Como s′′′ = (s′′)′ = a′, a derivada terceira da func¸a˜o posic¸a˜o e´ a derivada da func¸a˜o
acelerac¸a˜o e e´ chamada de arranco:
j =
da
dt
=
d3s
dt3
.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 130
Logo, o arranco e´ a taxa de variac¸a˜o da acelerac¸a˜o. E´ assim chamado
porque um grande arranco significa um movimento ra´pido na acelerac¸a˜o, que causa
um movimento movimento ra´pido em um ve´ıculo.
Exemplo 4.8.2 Se y = x3 − 6x2 − 5x+ 3 enta˜o
y′ = 3x2 − 12x− 5
y′′ = 6x− 12
y′′′ = 6
y(4) = 0
e, de fato, y(n) = 0 para todo n ≥ 4. ¤
Exemplo 4.8.3 Se f(x) = 1
x
, encontre f (n)(x).
Soluc¸a˜o:
f(x) =
1
x
= x−1
f ′(x) = −x−2 = −1
x2
f ′′(x) = (−2)(−1)x−3 = 2
x3
f ′′′(x) = −3.2.1.x−4
f (4)(x) = 4.3.2.1.x−5
f (5)(x) = −5.4.3.2.1.x−6 = −(5!)x−6
...
f (n)(x) = (−1)nn(n− 1)(n− 2)...2.1.x−(n+1)
ou
f (n)(x) =
(−1)nn!
xn+1
.
O s´ımbolo n! representa o produto dos n primeiros inteiros positivos:
n! = 1.2.3...(n− 1)n. ¤
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 131
4.9 Aproximac¸o˜es Lineares*
Essa sec¸a˜o pode ser evitada numa primeira leitura.
Comentamos anteriormente, na sec¸a˜o 4.3, que se uma func¸a˜o f e´ difer-
encia´vel em um nu´mero a, enta˜o nunha vizinhanc¸a de (a, f(a)) o gra´fico de f se
confunde com sua reta tangente nesse ponto. Em outras palavras, o que fazemos e´
utilizar a reta tangente em (a, f(a)) como uma aproximac¸a˜o para a curva y = f(x)
quando x esta´ pro´ximo de a. Uma equac¸a˜o dessa reta tangente, como sabemos, e´
y = f(a) + f ′(a)(x− a)
e a aproximac¸a˜o
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x− a) (4.21)
e´ a aproximac¸a˜o linear ou aproximac¸a˜o pela reta tangente de f em a. A
func¸a˜o linear cujo gra´fico e´ essa reta tangente, isto e´,
L(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) (4.22)
e´ a linearizac¸a˜o de f em a.
a
f(a)
y
x
y=f(x)
y=L(x)
Figura 4.4: O gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel em a se confunde com sua reta
tangente em (a, f(a)) nas proximidades deste ponto.
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 132
Exemplo 4.9.1 Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o f(x) =
√
x+ 3 em a = 1 e
use-a para aproximar os nu´meros
√
3, 98 e
√
4, 05.
Soluc¸a˜o: A derivada de f e´ dada por
f ′(x) =
1
2
√
x+ 3
e assim f(1) = 2 e f ′(1) = 1
4
.
Logo, segundo a equac¸a˜o (4.22) a linearizac¸a˜o de f e´ dada por
L(x) = f(1) + f ′(1)(x− 1) = 2 + 1
4
(x− 1) = 7
4
+
x
4
.
A aproximac¸a˜o linear correspondente, segundo a equac¸a˜o (4.21), e´
√
x+ 3 ≈ 7
4
+
x
4
para valores de x pro´ximos de 1.
Da´ı, temos que√
3, 98 =
√
0, 98 + 3 ≈ 7
4
+
0, 98
4
= 1, 995√
4, 05 =
√
1, 05 + 3 ≈ 7
4
+
1, 05
4
= 2, 0125. ¤
4.9.1 Polinoˆmios de Taylor
A aproximac¸a˜o pela reta tangente e´ a melhor aproximac¸a˜o de primeiro grau (linear)
para f(x) pro´ximo de x = a, pois f(x) e L(x) teˆm a mesma taxa de variac¸a˜o
(derivada) em a. Vejamos quando e´ poss´ıvel encontrar uma aproximac¸a˜o melhor do
que a linear.
Para comec¸ar, vamos tentar uma aproximac¸a˜o de segundo grau (quadra´tica)
P (x). Em outras palavras, aproximaremos uma curva por uma para´bola em vez de
uma reta. Para nos assegurar que a aproximac¸a˜o sera´ boa devemos exigir que f e
P possuam derivadas ate´ segunda ordem em a e que
(i) P (a) = f(a) (P e f tenham o mesmo valor em a.)
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 133
(ii) P ′(a) = f ′(a) (P e f tenham a mesma taxa de variac¸a˜o em a.)
(iii) P ′′(a) = f ′′(a) (As inclinac¸o˜es de P e f variem segundo a mesma taxa.)
Exemplo 4.9.2 Encontre a aproximac¸a˜o quadra´tica P (x) = Ax2 +Bx+ C para a
func¸a˜o f(x) = ex que satisfac¸a as condic¸o˜es (i), (ii) e (iii) em a = 0.
Soluc¸a˜o: Temos que
f ′(x) = f ′′(x) = ex.
Assim,
f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = 1
e
P (0) = C
P ′(0) = B
P ′′(0) = 2A.
Logo,
B = C = 1 e A =
1
2
e
P (x) =
1
2
x2 + x+ 1
e´ a aproximac¸a˜o quadra´tica de f(x) = ex em a = 0. (Veja na figura 4.5 os gra´ficos
de y = ex e de suas aproximac¸o˜es linear e quadra´tica em x = 0.) ¤
Para aproximar uma func¸a˜o f por uma func¸a˜o quadra´tica P nas proxi-
midades de um nu´mero a, e´ melhor escrever P na forma
P (x) = A(x− a)2 +B(x− a) + C.
Ja´ que P deve satisfazer as propriedades (i), (ii) e (iii), temos que a
func¸a˜o quadra´tica que aproxima f nas proximidades de a e´ dada por
P (x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + 1
2
f ′′(a)(x− a).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 134
y=e
Aprox.Quadrática
Aprox.Linear
x
Figura 4.5: Graficos de y = ex, de sua aproximac¸a˜o linear y = x+1 em x = 0 e de sua
aproximac¸a˜o quadra´tica y = 1
2
x2 + x+ 1 em x = 0.
Exemplo 4.9.3 Encontre a aproximac¸a˜o quadra´tica para f(x) =
√
x+ 3 nas pro-
ximidades de a = 1.
Soluc¸a˜o: Temos que
f ′(x) =
1
2
√
x+ 3
e
f ′′(x) =
d
dx
[ 1
2
√
x+ 3
]
=
1
2
d
dx
[(x+ 3)−
1
2 ]
= −1
4
(x+ 3)−
3
2 = − 1
4(x+ 3)
3
2
.
Da´ı,
f(1) = 2, f ′(1) =
1
4
e f ′′(1) = − 1
32
.
Assim, a aproximac¸a˜o quadra´tica de f e´ dada por
P (x) = 2 +
1
4
(x− 1)− 1
64
(x− 1)2,
ou seja
P (x) =
1
64
(111 + 18x− x2).
Cap´ıtulo 4 - A Derivada 135
y=f(x)
y=P(x)
Figura 4.6: Aproximac¸a˜o quadra´tica para f(x) =
√
x+ 3 nas proximidades de a = 1.
Veja na figura 4.6 os gra´ficos de f e de sua aproximac¸a˜o quadra´tica. ¤
Vamos agora tentar encontrar aproximac¸o˜es melhores com polinoˆmios de
graus mais altos. Procuramos por um polinoˆmio de grau n:
Pn(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ...+ cn(x− a)n
tal que Pn e suas n primeiras derivadas tenham os mesmos valores em x = a que
f e suas n primeiras derivadas. Diferenciando repetidamente e fazendo x = a, e´
poss´ıvel mostrar (Fac¸a isso!) que essas condic¸o˜es sa˜o satisfeitas se c0 = f(a), c1 =
f ′(a), c2 = 12f
′′(a), e em geral
ck =
f (k)(a)
k!
onde k! = 1.2.3....k. O polinoˆmio resultante
Pn(x) = f(a) + f
′(a)(x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + ...+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n
e´ chamado de polinoˆmio de Taylor de grau n de f centrado em a.
Exerc´ıcio: Encontre o polinoˆmio de Taylor de grau 8 centrado em a = 0 para a
func¸a˜o f(x) = ex.
Cap´ıtulo 5
Aplicac¸o˜es da Derivada
Nesse cap´ıtulo aprenderemos como as derivadas afetam o formato do gra´fico de uma
func¸a˜o. Veremos tambe´m como resolver problemas de otimizac¸a˜o com o aux´ılio das
derivadas.
5.1 Valores Ma´ximo e Mı´nimo
Recorde o exemplo 2.1.5.
Lembre-se que o volume da caixa era dado em func¸a˜o da quantidade a
ser cortada da seguinte maneira:
V (x) = (30− 2x)2.x.
Poderemos responder, ao final desta sec¸a˜o, a seguinte pergunta:
“Qual o comprimento a ser cortado de forma a obtermos uma caixa com o maior
volume poss´ıvel?”
Inicialmente, vamos dar algumas definic¸o˜es ba´sicas.
136
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 137
Valores Extremos
Definic¸a˜o 5.1.1 Uma func¸a˜o f tem um ma´ximo absoluto (ou ma´ximo global)
em c se f(c) ≥ f(x) para todo x em D, onde D e´ o domı´nio de f . O nu´mero
f(c) e´ chamado o valor ma´ximo de f em D. Analogamente, f tem um mı´nimo
absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o nu´mero f(c) e´ chamado
de valor mı´nimo de f em D. Os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f sa˜o
chamados de valores extremos de f .
A figura a seguir mostra o gra´fico de uma func¸a˜o f com ma´ximo absoluto
em b e mı´nimo absoluto em c.
y
xa b c d e m
f(c)
f(b)
y=f(x)
Figura 5.1: (b, f(b)) e´ o ponto mais alto no gra´fico, e (c, f(c)) o mais baixo.
Valores Ma´ximo e Mı´nimo Relativos
Nessa mesma figura, se considerarmos somente os valores de x pro´ximos de d (por
exemplo, os valores de x no intervalo (c, e)), enta˜o f(d) e´ a maior das imagens e e´
chamado de valor ma´ximo local de f . Da mesma forma, f(e) e´ chamado de valor
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜esda Derivada 138
mı´nimo local de f pois f(e) ≤ f(x) para x pro´ximo de e (todo x no intervalo (d,m),
por exemplo).
Assim,
Definic¸a˜o 5.1.2 Uma func¸a˜o f tem um ma´ximo local (ou ma´ximo relativo)
em c se f(c) ≥ f(x) para todo x suficientemente pro´ximo de c (Isso significa que
f(c) ≥ f(x) para todo x num intervalo contendo c). Analogamente, f tem um
mı´nimo local em c se f(c) ≤ f(x) para todo x suficientemente pro´ximo de c.
Note que todo valor extremo absoluto e´ tambe´m um extremo relativo
Justifique! Note tambe´m que, pela definic¸a˜o anterior, os valores f(a) e f(m) sa˜o
tambe´m, respectivamente, valor mı´nimo local e valor ma´ximo local de f .
Exemplo 5.1.1 Se f(x) = x2, enta˜o f(x) ≥ f(0), pois x2 ≥ 0 para todo x. Por-
tanto, f(0) = 0 e´ o valor mı´nimo absoluto de f . Na˜o existe um valor ma´ximo
absoluto para f ja´ que
lim
x→∞
x2 =∞. ¤
Exemplo 5.1.2 Se f(x) = x3 enta˜o
lim
x→∞
x3 =∞
e
lim
x→−∞
x3 = −∞.
Logo, f na˜o tem nem um valor ma´ximo absoluto nem um valor mı´nimo absoluto. ¤
Teorema do Valor Extremo
Como acabamos de ver no exemplo anterior, uma func¸a˜o pode na˜o ter seus valores
extremos. O teorema a seguir da´ condic¸o˜es que garantem a existeˆncia dos valores
extremos de uma func¸a˜o.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 139
Teorema 5.1.1 (Teorema do Valor Extremo) Toda func¸a˜o cont´ınua definida
em um intervalo fechado assume seus valores extremos nesse intervalo. Ou seja, se
f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], existem c e d em [a, b] tais
que
f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)
para todo x em [a, b].
“Assumir”, no texto, e´ no sentido de “tomar para si.”Isto significa que
a func¸a˜o toma para si seus valores extremos.
Observac¸a˜o 5.1.1 O intervalo [a, b] deve ser fechado em ambos os lados. Assim,
o teorema NA˜O PODE SER APLICADO em intervalos do tipo (a, b), (a,∞,
(−∞, b), [a, b), etc. Veremos alguns exemplos a seguir.
Observac¸a˜o 5.1.2 O Teorema do Valor Extremo garante que uma func¸a˜o cont´ınua
f assume seus valores extremos em um intervalo fechado, pore´m na˜o fala nada sobre
a unicidade desses valores. Isto significa, por exemplo, que f pode assumir seu valor
ma´ximo (ou mı´nimo) absoluto em dois pontos distintos.
Observac¸a˜o 5.1.3 A figura 5.2 mostra que uma func¸a˜o pode na˜o possuir valores
extremos se for omitida alguma das hipo´teses (continuidade ou intervalo fechado)
do Teorema do Valor Extremo (T.V.E.).
Exemplo 5.1.3 A func¸a˜o cont´ınua f : (−1, 1)→ R, definida por f(x) = 1
1−x2 na˜o
assume valor ma´ximo absoluto pois
lim
x→1−
1
1− x2 =∞.
Isso acontece porque o intervalo (−1, 1) na˜o e´ do tipo [a, b]. ¤
Exemplo 5.1.4 A func¸a˜o h : [0,∞) → R, definida por h(x) = 1
1+x2
, e´ cont´ınua
e assume seu valor ma´ximo absoluto em x = 0 e na˜o assume seu valor mı´nimo
absoluto ja´ que 1
1+x2
> 0 e
lim
x→∞
1
1 + x2
= 0. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 140
y
x40
1
2
4
2
fdescontínuaem2
y y
x20
1
intervaloaberto
f g
Figura 5.2: f assume seu valor m´ınimo absoluto f(4) = 0 pore´m na˜o assume seu valor
ma´ximo absoluto. g na˜o assume valores extremos, mesmo sendo cont´ınua.
Teorema de Fermat
O T.V.E. afirma que uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado assume seu valor
ma´ximo e seu valor mı´nimo absolutos, mais na˜o diz como encontrar esses valores
extremos. Vamos comec¸ar por examinar valores extremos locais.
y
x0a b c d
f ’(b)=0
f ’(c)=0
Obseve a figura acima. Note que os valores f(a) e f(c) sa˜o valores
mı´nimos locais e os valores f(b) e f(d) sa˜o valores ma´ximos locais. Entre todos
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 141
esses valores extremos locais, os valores f(b) e f(c) teˆm uma caracter´ıstica comum.
E´ que a inclinac¸a˜o a reta tangente ao gra´fico de f nos pontos (b, f(b)) e (c, f(c)) e´
horizontal. Ou seja, f ′(b) = f ′(c) = 0. Como veremos no teorema a seguir, de Pierre
Fermat1 (1601-1665), isso na˜o e´ mera coincideˆncia.
Teorema 5.1.2 (Teorema de Fermat) Seja f definida em um intervalo aberto
contendo c. Se f tem um ma´ximo ou mı´nimo local em c e e´ diferencia´vel em c enta˜o
f ′(c) = 0.
Observe que o teorema de Fermat diz que se f e´ diferencia´vel em um
ponto de ma´ximo ou mı´nimo local c no interior de um intervalo (a, b) enta˜o f ′(c) = 0.
A rec´ıproca, entretanto, NA˜O E´ VERDADEIRA. Ou seja, se f ′(c) = 0 NA˜O
SIGNIFICA que c e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo local para f . Vejamos o
exemplo a seguir.
Exemplo 5.1.5 Seja f(x) = x3. Enta˜o f ′(x) = 3x2 e assim f ′(0) = 0. Mas f na˜o
tem ma´ximo nem mı´nimo local em 0, pois x3 > 0 para todo x > 0 e x3 < 0 para todo
x < 0. Nesse caso, f ′(0) = 0 significa simplesmente que a curva y = x3 tem uma
tangente horizontal em (0, 0). Em vez de ter ma´ximo ou mı´nimo local em (0, 0), a
curva cruza sua reta tangente a´ı. (Veja a figura 5.3) ¤
Exemplo 5.1.6 A func¸a˜o f(x) = |x| tem seu valor mı´nimo absoluto (e local) em 0,
mas esse valor na˜o pode ser encontrado resolvendo f ′(x) = 0 para x pois, conforme
foi visto no cap´ıtulo anterior, f ′(0) na˜o existe. ¤
Observac¸a˜o 5.1.4 Os dois exemplos anteriores mostram que devemos ter cuidado
ao utilizar o Teorema de Fermat. Mesmo quando f ′(c) = 0 na˜o e´ necessa´rio existir
o ma´ximo ou o mı´nimo em c (como vimos no exemplo 5.1.5). Ademais, pode existir
um valor extremo mesmo quando f ′(c) na˜o existe (como vimos no exemplo 5.1.2).
1Pierre Fermat era um advogado franceˆs e matema´tico amador no sentido literal da palavra.
Deixou inu´meras anotac¸o˜es onde enunciou va´rios teoremas sem demonstrac¸a˜o. O mais famoso deles,
da Teoria dos Nu´meros, foi demonstrado somente em 1994, por Andrew Wiles, da Universidade
de Princeton. No rascunho onde foi encontrado o enunciado desse famoso teorema, Fermat dizia
que a demonstrac¸a˜o era simples pore´m longa e na˜o caberia naquele rascunho. O fato e´ que esta
demonstrac¸a˜o de Fermat nunca foi encontrada.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 142
y
x0
y=x3
Figura 5.3: f(x) = x3 e´ tal que f ′(0) = 0, pore´m na˜o possui nem ma´ximo nem m´ınimo
local em 0.
Pontos Cr´ıticos
O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos comec¸ar procurando por por
valores extremos de f nos nu´meros c onde f ′(c) = 0 ou onde f ′(c) na˜o existe. Tais
nu´meros nos chamaremos de pontos cr´ıticos.
Definic¸a˜o 5.1.3 (Ponto Cr´ıtico) Um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f e´ um
nu´mero c no domı´nio de f onde f ′(c) = 0 ou na˜o existe f ′(c).
Ponto Cr´ıtico × Teorema de Fermat
Usando a definic¸a˜o de ponto cr´ıtico podemos reescrever o Teorema de Fermat da
seguinte maneira:
Teorema 5.1.3 (Teorema de Fermat) Se f tem um ma´ximo ou mı´nimo local
em c ∈ (a, b), enta˜o c e´ um ponto cr´ıtico de f .
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 143
Me´todo do Intervalo Fechado
Para encontrar os valores extremos absolutos de uma func¸a˜o f em um intervalo
fechado [a, b] devemos encontrar todos os valores extremos locais e compara´-los. O
me´todo e´ o que se segue:
(Me´todo do Intervalo Fechado) Para encontrar os valores ma´ximo e mı´nimo
absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f em um intervalo fechado [a, b]:
1. Encontre os pontos cr´ıticos de f em (a, b) e os valores de f nestes.
2. Encontre f(a) e f(b).
3. O maior valor das etapas 1 e 2 e´ o valor ma´ximo absoluto, e o menor desses
valores e´ o valor mı´nimo absoluto.
Exemplo 5.1.7 Encontre os valores extremos de f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo
fechado [−1
2
, 4].
Soluc¸a˜o: Uma vez que f e´ um polinoˆmio de grau 3, e´ uma func¸a˜o cont´ınua em
[−1
2
, 4]. Assim, podemos usar o Me´todo do Intervalo Fechado:
f(x) = x3 − 3x2 + 1 ⇒ f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2).
Logo, f ′(x) existe para todo x em [−1
2
, 4] e os u´nicos pontos cr´ıticosde
f ocorrem quando f ′(x) = 0, isto e´, x = 0 ou x = 2. Observe que cada um desses
pontos cr´ıticos pertence a (−1
2
, 4). Os valores de f nesses pontos cr´ıticos sa˜o
f(0) = 1 e f(2) = −3.
Os valores de f em −1
2
e 4 sa˜o
f(−1
2
) =
1
8
e f(4) = 17.
Comparando esses quatro valores, temos que o valor ma´ximo absoluto e´
f(4) = 17 e o valor mı´nimo absoluto e´ f(2) = −3. ¤
Exemplo 5.1.8 Voltemos enta˜o ao exemplo 2.1.5. Lembre que o objetivo agora e´
encontrar o valor x a ser cortado de forma a obter uma caixa com o maior volume
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 144
poss´ıvel e que, o volume da caixa esta´ dado em func¸a˜o de x pela expressa˜o
V (x) = (30− 2x)2x,
cujo domı´nio e´ dado por (0, 15).
O problema enta˜o e´ maximizar a func¸a˜o volume no intervalo (0, 15). Em
outras palavras, encontrar, se poss´ıvel, o valor ma´ximo absoluto da func¸a˜o V no
intervalo (0, 15).
Notando que V (0) = V (15) = 0 e que V e´ um polinoˆmio de grau 3
(cont´ınuo em R), o problema e´ equivalente a encontrar o valor ma´ximo absoluto de
V no intervalo fechado [0, 15]. Estamos, enta˜o, com o problema formulado.
O problema tem soluc¸a˜o garantida pelo Teorema do Valor Eextremo, ja´
que V e´ cont´ınua no intervalo fechado [0, 15]. Assim, existe o valor de c em [0, 15] tal
que V (c) e´ ma´ximo absoluto. Como volumes sa˜o sempre positivos e V (0) = V (15) =
0, temos, pelo Me´todo do Intervalo Fechado, que c deve estar no intervalo aberto
(0, 15).
V (x) = (30− 2x)2x = 900x− 120x2 + 4x3 ⇒
V ′(x) = 900− 240x+ 12x2 = 12(x2 − 20x+ 75)
Assim, V ′(x) existe para todo x ∈ [0, 15] e V ′(x) = 0 se x = 5 ou x = 15.
V (5) = (30− 2.5)2.5 = 2000.
Logo, comparando os valores de V (0), V (5) e V (15), temos que o valor a
ser cortado de forma a obtermos uma caixa com o maior volume poss´ıvel, 2000cm3,
e´ x = 5. ¤
5.2 Aplicac¸o˜es da Derivada Primeira
Veremos aqui como tirar informac¸o˜es a respeito da func¸a˜o atrave´s do estudo de suas
derivadas. Como f ′(x)representa a inclinac¸a˜o da curva y = f(x) no ponto (x, f(x)),
ela nos informa a direc¸a˜o segundo a qual a curva segue em cada ponto.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 145
Teste Crescente/Decrescente
Observe a figura 5.4.
Note que de A ate´ B, assim como de C ate´ D, f ′ > 0 e f e´ crescente
nesses intervalos. Entre B e C temos que f ′ < 0 e f e´ decrescente.
f ’>0
f’=0
f’<0
f’=0
f’>0
y
x0
A
B
C
D
Figura 5.4: f e´ crescente nos intervalos de A ate´ B e de C ate´ D. Entre B e C f e´
decrescente.
Teorema 5.2.1 (Teste Crescente/Decrescente ou Teste C/D)
(a) Se f ′(x) > 0 em um intervalo I, enta˜o f e´ crescente em I.
(b) Se f ′(x) < 0 em um intervalo I, enta˜o f e´ decrescente em I.
Exemplo 5.2.1 Encontre o intervalo onde a func¸a˜o f(x) = 3x4− 4x3− 12x2+5 e´
crescente e o intervalo onde ela e´ decrescente.
Soluc¸a˜o: Temos que
f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x− 2) = 12x(x+ 1)(x− 2).
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 146
Queremos saber onde f ′(x) > 0 e onde f ′(x) < 0. Isso dependera´ dos
sinais dos fatores 12x, x+ 1 e x− 2.
Vamos dividir a reta real em intervalos cujos extremos sa˜o os pontos
cr´ıticos −1, 0 e 2. A ana´lise esta´ feita abaixo:
(i) No intervalo (−∞,−1) temos que
12x < 0, x+ 1 < 0 e x− 2 < 0.
Logo, o produto 12x.(x + 1).(x− 2) e´ negativo, ou seja, f ′(x) < 0. Por-
tanto, f e´ decrescente em (−∞,−1).
(ii) No intervalo (−1, 0) temos que
12x < 0, x+ 1 > 0 e x− 2 < 0.
Logo, o produto 12x.(x+1).(x−2) e´ positivo, ou seja, f ′(x) > 0. Portanto,
f e´ crescente em (−1, 0).
(iii) No intervalo (0, 2) temos que
12x > 0, x+ 1 > 0 e x− 2 < 0.
Logo, o produto 12x.(x + 1).(x− 2) e´ negativo, ou seja, f ′(x) < 0. Por-
tanto, f e´ decrescente em (0, 2).
(iv) No intervalo (2,∞) temos que
12x > 0, x+ 1 > 0 e x− 2 > 0.
Logo, o produto 12x.(x+1).(x−2) e´ positivo, ou seja, f ′(x) > 0. Portanto,
f e´ crescente em (2,∞).
¤
Teste da Primeira Derivada
Observe que no intervalo (−∞,−1) a func¸a˜o do exemplo anterior e´ decrescente e
a seguir, no intervalo (−1, 0) ela comec¸a a crescer. Isso significa que, em todo o
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 147
intervalo (−∞, 0), f(−1) e´ a menor das imagens e, portanto, e´ um valor mı´nimo
local de f . De fato esse e´ um bom me´todo para se encontrar valores extremos locais.
Teorema 5.2.2 (Teste da Primeira Derivada, para Valores Extremos Lo-
cais) Suponha que c seja um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o cont´ınua f .
(a) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c, enta˜o f tem um ma´ximo
local em c.
(b) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c, enta˜o f tem um mı´nimo
local em c.
(c) Se f ′ na˜o mudar de sinal em c, enta˜o f na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo local em
c.
O Teste da Primeira Derivada e´ uma consequeˆncia do Teste Crescente/Decrescente.
Na parte (a), por exemplo, uma vez que o sinal de f ′ muda de positivo para negativo
em c, isso significa que f e´ crescente antes de c e decrescente apo´s c. Logo, f tem
um ma´ximo local em c.
A figura a seguir ilustra bem o resultado do Teste da Primeira Derivada.
Exemplo 5.2.2 Encontre os valores extremos locais da func¸a˜o do exemplo 5.2.1.
(Fac¸a como exerc´ıcio!)
5.3 Aplicac¸o˜es da Derivada Segunda
Teste da Concavidade
Inicialmente, vamos discutir um me´todo para determinar se a concavidade do
gra´fico de uma func¸a˜o e´ para cima ou para baixo. Para ter uma ide´ia do que isto
significa, considere os gra´ficos de duas func¸o˜es diferentes, f e g, que aparecem na
figura 5.5.
Como se pode ver, ambas as func¸o˜es f e g sa˜o crescentes. Entretanto,
existe uma diferenc¸a entre as func¸o˜es: as inclinac¸o˜es do gra´fico de f aumentam
quando x aumenta e com g ocorre o contra´rio, as inclinac¸o˜es diminuem.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 148
y
xc
f’<0 f’>0
MínimoLocal
f ’<0f’>0
x
y
0
0
MáximoLocal
c
f ’>0 f’>0
0 c x
y
NemMáx.nemMín.
f ’<0 f’<0
c x
y
0
NemMáx.nemMín.
Logo, podemos concluir que:
• f e´ crescente e f ′ e´ crescente;
• g e´ crescente e g′ e´ decrescente.
Dizemos que a concavidade do gra´fico de f e´ para cima e a do gra´fico
de g e´ para baixo.
Teorema 5.3.1 (Teste da Derivada Segunda para Concavidade) Seja f uma
func¸a˜o duas vezes diferencia´vel em um intervalo I (existe f ′′ em I). Enta˜o
(a) a concavidade do gra´fico e´ para cima em I se f ′′(x) > 0 em I;
(b) a concavidade do gra´fico e´ para baixo em I se f ′′(x) < 0 em I.
Exemplo 5.3.1 (A Para´bola) Um excelente exemplo para fixar as ide´ias do Teste
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 149
y
x0
y
0 x
f’crescente
g’decrescente
y=f(x) y=g(x)
Figura 5.5: f ′ e´ crescente e g′ e´ decrescente.
da Concavidade e´ analisar a concavidade de uma para´bola y = ax2 + bx+ c.
Soluc¸a˜o: Para f(x) = ax2 + bx+ c temos que
f ′(x) = 2ax+ b.
Da´ı
f ′′(x) = 2a.
Portanto, pelo Teste da Concavidade, a concavidade da para´bola y =
ax2+ bx+ c depende do sinal de a (como ja´ sab´ıamos desde o ensino fundamental).
Se a < 0 enta˜o f ′′(x) < 0 para todo x,o que implica que a concavidade e´ para baixo.
Se a > 0 enta˜o f ′′(x) > 0 para todo x o que implica que a concavidade e´ para cima.
¤
Exemplo 5.3.2 Seja f(x) = x3+x−1. Determine aonde a concavidade do gra´fico
desta func¸a˜o e´ para cima e para baixo.
Soluc¸a˜o: Para estudar a concavidade precisamos da derivada segunda que e´
f ′′(x) = 6x.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 150
E´ fa´cil ver que f ′′(x) e´ positiva no intervalo (0,∞) e negativa no intervalo
(−∞, 0). Assim, a concavidade do gra´fico da func¸a˜o e´ para cima no intervalo (0,∞)
e para baixo no intervalo (−∞, 0). ¤
Pontos de Inflexa˜o
No exemplo anterior, vimos que em x = 0 ogra´fico da func¸a˜o f muda de coˆncava para
baixo pra coˆncava para cima. Esses pontos sa˜o chamados de pontos de inflexa˜o.
Definic¸a˜o 5.3.1 (Ponto de Inflexa˜o) Um ponto P sobre uma curva e´ chamado
de ponto de inflexa˜o se a curva mudar de coˆncava para cima para coˆncava para
baixo ou vice-versa em P .
Se (c, f(c)) e´ um ponto de inflexa˜o, f ′′(c) = 0 ou f ′′(c) na˜o existe.
ATENC¸A˜O: Os pontos c pertencentes ao domı´nio de f nos quais f ′′(c) = 0 ou f ′′(c)
na˜o existe podem ser pontos de inflexa˜o. Uma func¸a˜o na˜o apresenta necessariamente
um ponto de inflexa˜o em um ponto deste tipo. Um exemplo e´ a func¸a˜o f(x) = x4.
Como f ′′(x) = 12x2, temos que f ′′(0) = 0. Entretanto, a func¸a˜o f(x) = x4 na˜o
possui um ponto de inflexa˜o em (0, 0), ja´ que f ′′(x) > 0 para todo x 6= 0 e, portanto,
a concavidade da func¸a˜o e´ sempre para cima.
Teste da Derivada Segunda para Ma´ximos e Mı´nimos
O sinal de f ′′ tambe´m pode ser usado para identificar ma´ximos e mı´nimos locais.
Teorema 5.3.2 (Teste da Derivada Segunda para Ma´ximos e Mı´nimos)
Suponha que f seja duas vezes diferencia´vel em c e que a derivada segunda f ′′ seja
cont´ınua em c. Ale´m disso, suponha que f ′(c) = 0. Enta˜o
(a) se f ′′(c) < 0, existe um ma´ximo local em x = c;
(b) se f ′′(c) > 0, existe um mı´nimo local em x = c;
(c) se f ′′(c) = 0 nada podemos afirmar.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 151
c x
y y
xc
f’(c)=0
f’(c)=0
f’’(c)<0
Máximolocal
f ’’(c)>0
Mínimolocal
ConcavidadeparaBaixo ConcavidadeparaCima
A figura acima ajuda na compreensa˜o do Teste da Derivada Segunda
para Ma´ximos e Mı´nimos.
Exemplo 5.3.3 Determine os ma´ximos e mı´nimos locais da func¸a˜o
f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 7.
Soluc¸a˜o: Comec¸amos por determinar a derivada primeira:
f ′(x) = 3x2 − 6x− 9 = 3(x− 3)(x+ 1).
As soluc¸o˜es da equac¸a˜o f ′(x) = 0 sa˜o x = 3 e x = −1. Ou seja, os pontos
cr´ıticos de f sa˜o 3 e −1. Para verificar se esses pontos correspondem a um ma´ximo
ou a um mı´nimo local, determinamos a derivada segunda
f ′′(x) = 6x− 6.
e calculamos seu valor nos pontos x = 3 e x = −1.
Como f ′′(3) = 12 > 0, concluimos que f possui um mı´nimo local em
x = 3. O valor mı´nimo local e´ f(3) = −20.
Como f ′′(−1) = −12 < 0, concluimos que f tem um ma´ximo local em
x = −1. O valor ma´ximo local e´ f(−1) = 12. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 152
Observac¸a˜o 5.3.1 Para aplicar corretamente o teste da derivada segunda, pode ser
u´til ter em mente as situac¸o˜es mais simples:
• f(x) = x2 tem um mı´nimo em 0 e f ′′(x) = 2 > 0.
• f(x) = −x2 tem um ma´ximo em 0 e f ′′(x) = −2 < 0.
5.4 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hoˆpital
Esta sec¸a˜o se destina ao ca´lculo de limites indeterminados como
lim
x→1
lnx
x− 1 ou limx→∞
ex
x2
onde na˜o podemos aplicar as Leis do Limite diretamente.
Quocientes Indeterminados
Teorema 5.4.1 (Regra de L’Hoˆpital2) Suponha que f e g sejam diferencia´veis
e g′(x) 6= 0 pro´ximo de a (exceto possivelmente em a). Suponha que
lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0
ou que
lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = ±∞.
(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 0
0
ou ∞∞ .) Enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
se o limite do lado direito existir (ou e´ ∞ ou −∞).
Observac¸a˜o 5.4.1 A Regra de L’Hoˆpital diz que o limite de uma func¸a˜o quociente
e´ igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condic¸o˜es este-
jam satisfeitas. E´ especialmente importante verificar as condic¸o˜es com respeito aos
limites f e g antes de usar a Regra de L’Hoˆpital.
2A Regra de L’Hoˆpital e´ assim chamada em homenagem ao nobre franceˆs marqueˆs de L’Hoˆpital
(1661-1704), mas foi descoberta pelo matema´tico su´ıc¸o John Bernoulli (1667-1748).
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 153
Observac¸a˜o 5.4.2 A Regra de L’Hoˆpital e´ va´lida tambe´m para limites laterais e
para limites no infinito ou infinito negativo. Isto e´, “x→ a”pode ser substitu´ıdo por
qualquer dos s´ımbolos a seguir: x→ a+, x→ a−, x→∞, x→ −∞.
Exemplo 5.4.1 Encontre
lim
x→1
ln x
x− 1 .
Soluc¸a˜o: Uma vez que
lim
x→1
lnx = ln 1 = 0 e lim
x→1
(x− 1) = 0
podemos aplicar a Regra de L’Hoˆpital:
lim
x→1
lnx
x− 1 = limx→1
d
dx
(lnx)
d
dx
(x− 1)
= lim
x→1
1/x
1
= lim
x→1
1
x
= 1. ¤
Exemplo 5.4.2 Encontre
lim
x→∞
ex
x2
.
Soluc¸a˜o: Temos
lim
x→∞
ex =∞ e lim
x→∞
x2 =∞;
logo, a Regra de L’Hoˆpital fornece
lim
x→∞
ex
x2
= lim
x→∞
ex
2x
.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, o limite sobre o lado
direito e´ indeterminado tambe´m, mas uma segunda aplicac¸a˜o da Regra de L’Hoˆpital
fornece
lim
x→∞
ex
x2
= lim
x→∞
ex
2x
= lim
x→∞
ex
2
=∞. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 154
Produtos Indeterminados
Se limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) =∞ (ou −∞), enta˜o na˜o e´ claro qual sera´ o valor
de
lim
x→a
f(x).g(x).
Esse tipo de limite e´ chamado de uma forma indeterminada do tipo
0.∞. Podemos contorna´-la escrevendo o produto f.g como um quociente:
f.g =
f
1/g
ou
g
1/f
.
Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo 0
0
ou ∞/∞
de tal forma que podemos usar a Regra de L’Hoˆpital.
Exemplo 5.4.3 Calcule
lim
x→0+
x lnx.
Soluc¸a˜o: O limite dado e´ indeterminado (Isso JAMAIS deve ser confundido
com inexistente!!!) pois, como x → 0+, o primeiro fator tende a 0, enquanto o
segundo fator tende a −∞. Escrevendo x = 1/(1/x), temos que 1/x → ∞ quando
x→ 0+; logo, a Regra de L’Hoˆpital fornece
lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
lnx
1/x
= lim
x→0+
1/x
−1/x2
= lim
x→0+
(−x) = 0. ¤
Observac¸a˜o 5.4.3 Ao resolvermos o exemplo anterior uma outra opc¸a˜o poderia ser
escrever
lim
x→0+
x lnx = lim
x→0+
x
1/ lnx
.
Isso da´ uma forma indeterminada do tipo 0
0
.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 155
Poteˆncias Indeterminadas
Va´rias formas indeterminadas surgem do limite
lim
x→a
[f(x)]g(x).
•
lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0 tipo 00.
•
lim
x→a
f(x) =∞ e lim
x→a
g(x) = 0 tipo ∞0.
•
lim
x→a
f(x) = 1 e lim
x→a
g(x) =∞ tipo 1∞.
Cada um dos treˆs casos pode ser tratado tanto por tomar o logaritmo
natural:
seja y = [f(x)]g(x), enta˜o ln y = g(x) ln f(x)
quanto por escrever a func¸a˜o como uma exponencial:
[f(x)]g(x) = eg(x) ln f(x).
Em ambos os casos somos levados a um produto indeterminado g(x) ln f(x),
que e´ do tipo 0.∞.
Exemplo 5.4.4 Calcule
lim
x→0+
xx.
Soluc¸a˜o: Note que esse limite e´ indeterminado, pois 0x = 0 para todo x > 0 mas
x0 = 1 para todo x 6= 0. Podemos escrever a func¸a˜o como uma exponencial:
xx = (elnx)x = ex lnx.
No exemplo 5.4.3 usamos a Regra de L’Hoˆpital para mostrar que
lim
x→0+
x ln x = 0.
Portanto,
lim
x→0+
xx = lim
x→0+
ex lnx = e0 = 1. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 156
5.5 Esboc¸o de Gra´ficos
Nesta sec¸a˜o vamos combinar todas as ide´ias e te´cnicas que foram discutidas ate´
agora (tanto neste cap´ıtulo como em cap´ıtulos anteriores) para fazer um esboc¸o do
gra´fico de uma func¸a˜o. Observar o gra´fico de uma func¸a˜o (sua forma geome´trica)
nos ajuda a compreendeˆ-la melhor.
Para desenhar o gra´fico, precisamos examinar cuidadosamente a expressa˜o
matema´tica em busca de informac¸o˜es quanto a` continuidade da func¸a˜o, comporta-
mento assinto´tico, simetrias, pontos de intersec¸a˜o com os eixos, regio˜es nas quais
e´ crescente ou decrescente, diferenciabilidade, ma´ximos e mı´nimos, concavidade e
outras propriedades especiais.
Os passos a seguir servem como uma receita para esboc¸ar o gra´fico da
func¸a˜o y = f(x) a ma˜o. Nem todos os itens sa˜o relevantespara cada func¸a˜o. Mas o
roteiro fornece todas as informac¸o˜es necessa´rias para fazer o esboc¸o que mostre os
aspectos mais importantes da func¸a˜o.
A. Dom´ınio – Determine o domı´nio D da func¸a˜o f . Isto e´, o conjunto dos nu´meros
x para os quais f(x) esta´ definida.
B. Interceptos – O intercepto y e´ f(0) e nos diz onde a curva intercepta o eixo-y.
Para achar o intercepto x, fazemos y = 0 e resolvemos para x. (Voceˆ pode omitir
esta etapa se a equac¸a˜o for dif´ıcil de resolver.)
C. Simetrias – Verifique se f e´ par ou ı´mpar ou nenhum dos dois. Isso facilita a
ana´lise pois se f for par ou ı´mpar basta conhecermos o seu gra´fico para x ≥ 0. A
simetria do gra´fico de func¸o˜es pares e ı´mpares fornece o restante do gra´fico. (Reveja
a sec¸a˜o 2.1.1).
D. Ass´ıntotas – Verifique se a curva y = f(x) admite ass´ıntotas horizontais, verti-
cais ou qualquer outra ass´ıntota.
E. Intervalos de Crescimento e Decrescimento – Use o teste Crescente/Decrescente
(teste C/D). Calcule f ′(x) e encontre os intervalos nos quais ela e´ positiva (f cres-
cente) e os intervalos onde ela e´ negativa (f decrescente).
F. Valores Ma´ximos e M´ınimos Locais – Encontre os pontos cr´ıticos de f (os nu´meros
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 157
onde f ′(c) = 0 ou onde f ′(c) na˜o existe.) Use enta˜o o teste da Derivada Primeira
para Ma´ximos e Mı´nimos Locais: Se f ′ mudar de positiva para negativa em um
ponto cr´ıtico c enta˜o f(c) e´ um valor ma´ximo local. Se f ′ mudar de negativa para
positiva em c enta˜o f(c) e´ um valor mı´nimo local. Embora seja prefer´ıvel usar o
teste da Derivada Primeira, voceˆ pode usar o Teste da Derivada Segunda para
Ma´ximos e Mı´nimos Locais se c for um ponto cr´ıtico no qual f ′′(c) 6= 0 : Enta˜o
f ′′(c) > 0 implica que f(c) e´ um valor mı´nimo local, enquanto que f ′′(c) < 0 implica
que f(c) e´ um valor ma´ximo local.
G. Concavidade e Ponto de Inflexa˜o – Calcule f ′′(x) e use o Teste da Derivada
Segunda para Concavidade. A curva sera´ coˆncava para cima se f ′′(x) > 0, e
coˆncava para baixo se f ′′(x) < 0. Os pontos de inflexa˜o ocorrem quando muda a
concavidade da curva.
H. Esboc¸o da Curva – Usando as informac¸o˜es nos itens A a G, fac¸a o gra´fico. Coloque
as ass´ıntotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos, pontos de ma´ximo e de
mı´nimo, e pontos de inflexa˜o. Enta˜o fac¸a a curva passar por esses pontos, subindo
ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo a`s
ass´ıntotas. Se uma precisa˜o adicional for desejada pro´ximo de algum ponto, calcule
a derivada a´ı. A tangente indica a direc¸a˜o na qual a curva segue.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.5.1 Use os itens de A a H para esboc¸ar a curva y = 2x
2
x2−1 .
Soluc¸a˜o: A. O domı´nio e´
{x ∈ R / x2 − 1 6= 0} = {x ∈ R / x 6= ±1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,∞).
B. Os interceptos x e y sa˜o ambos zero.
C. Uma vez que
f(−x) = 2(−x)
2
(−x)2 − 1 =
2x2
x2 − 1 = f(x)
para todo x no domı´nio de f , f e´ par. Logo, a curva e´ sime´trica em relac¸a˜o ao
eixo-y.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 158
D.
lim
x→±∞
2x2
x2 − 1 = limx→±∞
2
1− 1/x2 = 2.
Portanto, a reta y = 2 e´ uma ass´ıntota horizontal. O denominador se
anula em x = ±1, logo calculando os limites
lim
x→1+
2x2
x2 − 1 =∞ limx→1−
2x2
x2 − 1 = −∞
lim
x→−1+
2x2
x2 − 1 = −∞ limx→−1−
2x2
x2 − 1 = −∞.
Consequentemente, as retas verticais x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas
verticais. Ja´ sabemos o que acontece com a func¸a˜o nas proximidades de suas des-
continuidades −1 e 1.
E.
f ′(x) =
4x(x2 − 1)− 2x2.2x
(x2 − 1)2 =
−4x
(x2 − 1)2 .
f ′(x) > 0 quando x < 0 (x 6= −1) e f ′(x) < 0 quando x > 0 (x 6= 1).
Logo, f e´ crescente em (−∞,−1) e (−1, 0) e decrescente em (0, 1) e (1,∞).
F. O u´nico ponto cr´ıtico de f e´ x = 0. Desde que f ′ muda de positiva para negativa
em 0, f(0) = 0 e´ um valor ma´ximo local pelo Teste da Derivada Primeira para
Ma´ximos e Mı´nimos Locais.
G.
f ′′(x) =
−4(x2 − 1)2 + 4x.2(x2 − 1)2x
(x2 − 1)4 =
12x2 + 4
(x2 − 1)3
Como 12x2 + 4 > 0 para todo x, temos que
f ′′(x) > 0⇔ x2 − 1 > 0⇔ |x| > 1
e f ′′(x) < 0⇔ |x| < 1. Assim, a curva e´ coˆncava para cima nos intervalos (−∞,−1)
e (1,∞) e coˆncava para baixo em (−1, 1). Na˜o ha´ ponto de inflexa˜o, ja´ que 1 e −1
na˜o esta˜o no domı´nio de f .
H. Veja a figura 5.6. ¤
Exemplo 5.5.2 Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = e−x
2
. Esta func¸a˜o tem aplicac¸o˜es
importantes na probabilidade e na estat´ıstica.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 159
x
y=2
0
x=-1 x=1
y
Figura 5.6: Esboc¸o final da curva do exemplo 5.5.1.
Soluc¸a˜o: A. O domı´nio D de f e´ o conjunto dos nu´meros reais. D = R.
B. O intercepto y e´ f(0) = 1 e a curva na˜o intercepta o eixo-x ja´ que e−x
2
> 0, para
todo x.
C. f e´ par ja´ que
f(−x) = e−(−x)2 = e−x2 = f(x)
para todo x em R.
D. f na˜o admite ass´ıntotas verticais ja´ que e´ cont´ınua em R. A reta horizontal y = 0
(eixo-x) e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f ja´ que
lim
x→±∞
e−x
2
= lim
x→±∞
1
ex2
= 0.
E. f ′(x) = (−2x).e−x2 = −2xe−x2 .
f ′(x) > 0⇔ x < 0, logo f e´ crescente em (−∞, 0);
f ′(x) < 0⇔ x > 0, logo f e´ decrescente em (0,∞).
Observem que e´ suficiente obter informac¸o˜es sobre o gra´fico de f para
x > 0 pois, por C, f e´ par e seu gra´fico e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo-y.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 160
F. O u´nico ponto cr´ıtico de f e´ x = 0 pois −2xe−x2 = 0⇔ x = 0 e f e´ diferencia´vel
em R. Desde que f ′ muda de positiva para negativa em 0, pelo Teste da Derivada
Primeira para Ma´x. e Mı´n. Locais, existe um ma´ximo local em 0. Valor ma´ximo
local: f(0) = 1. Observe que esse valor ma´ximo tambe´m e´ absoluto, pois e−x
2 ≤ 1
para todo x.
G. f ′′(x) = −2e−x2 + (−2x).(−2xe−x2) = 4x2e−x2 − 2e−x2 = 2e−x2(2x2 − 1).
As soluc¸o˜es da equac¸a˜o f ′′(x) = 0 sa˜o x = 1/
√
2 e x = −1/√2.
Dividindo a reta real em intervalos com extremidades nesses pontos e
fazendo a ana´lise do sinal de f ′′ nesses intervalos temos que:
no intervalo (−∞,− 1√
2
), f ′′(x) > 0 e a concavidade da curva e´ para cima;
no intervalo (− 1√
2
, 1√
2
), f ′′(x) < 0 e a concavidade e´ para baixo;
no intervalo ( 1√
2
), f ′′(x) > 0 e a concavidade e´ para cima.
Os pontos de inflexa˜o sa˜o (− 1√
2
, e−
1
2 ) e ( 1√
2
, e−
1
2 ).
H. Em resumo o que conseguimos de informac¸a˜o a respeito do gra´fico ate´ aqui:
• E´ crescente no intervalo (−∞, 0) e decrescente no intervalo (0,∞) e possui um
ma´ximo global de valor 1 em x = 0.
• A concavidade e´ para cima nos intervalos (−∞,− 1√
2
) e ( 1√
2
),∞ e para baixo no
intervalo (− 1√
2
, 1√
2
); existem pontos de inflexa˜o em x = −1/√2 e x = 1/√2.
• Esta´ inteiramente acima do eixo-x e se aproxima assintoticamente do eixo-x para
x→ ±∞.
• E´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo-y.
Veja o gra´fico na figura 5.7. ¤
Exemplo 5.5.3 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x− ln x.
Soluc¸a˜o: A. O domı´nio D de f e´ (0,∞), ja´ que a func¸a˜o logaritmo esta´ definida
apenas para x > 0. D = (0,∞).
B. O gra´fico de f na˜o intercepta o eixo-y ja´ que f na˜o esta´ definida em x = 0. O
gra´fico Tambe´m na˜o intercepta o eixo-x como veremos nos passos a seguir.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 161
y
1
0
x
y=e-x
2
0,707-0,707
Figura 5.7: Esboc¸o final da curva y = e−x
2
, do exemplo 5.5.2. A curva se parece com o
desenho de um sino! Os nu´meros −0, 707 e 0, 707 sa˜o aproximac¸o˜es de −1/√2 e 1/√2
ate´ treˆs casas decimais.
C. O gra´fico na˜o apresenta nenhuma simetria o´bvia ja´ que f na˜o esta´ definida num
intervalo sime´trico em relac¸a˜o a origem.
D. O eixo-y e´ uma ass´ıntota vertical. Temos que
lim
x→0+
(x− lnx) =∞
ja´ queln x tende a −∞ quando x tende a 0 e, portanto, x − lnx → ∞ quando
x→ 0+.
Na˜o existem outras ass´ıntotas pois
lim
x→∞
(x− ln x) =∞
ja´ que x cresce mais rapidamente que ln x quando x → ∞ e, portanto, a diferenc¸a
x− lnx tende a ∞ quando x→∞.
E.
f ′(x) = 1− 1
x
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 162
que e´ negativa no intervalo (0, 1), positiva no intervalo (1,∞) e se anula em x = 1.
Logo, pelo Teste C/D, f e´ decrescente em (0, 1) e crescente em (1,∞).
F. O u´nico ponto cr´ıtico de f e´ x = 1. Ademais, f(1) = 1−ln 1 = 1 e´ o valor mı´nimo
absoluto de f . Isso justifica a afirmac¸a˜o do item B (O gra´fico na˜o intercepta o eixo-
x!).
G.
f ′′(x) =
1
x2
> 0
para todo x ∈ (0,∞). Assim, pelo Teste da Concavidade, a concavidade da curva e´
sempre para cima.
H. Concluso˜es:
• f e´ decrescente no intervalo (0, 1) e crescente no intervalo (1,∞);
• possui um mı´nimo global de valor 1 em x = 1;
• a concavidade e´ para cima em todo o intervalo.
Veja o gra´fico na figura 5.8. ¤
y
x0 1
1
y=x- xln
Figura 5.8: Esboc¸o final da curva y = x− ln x, do exemplo 5.5.3.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 163
Exemplo 5.5.4 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da curva y = 3x
x+2
.
Soluc¸a˜o: A. O domı´nio e´ dado por
D = {x ∈ R / x+ 2 6= 0} = R− {−2}.
B. O intercepto y e´ f(0) = 0 e o intercepto x e´ quando y = 0, o que implica que
x = 0. Logo, a curva passa pela origem.
C. A curva na˜o apresenta nenhuma simetria o´bvia pois f na˜o e´ nem par nem ı´mpar.
D. A reta vertical x = −2 e´ uma ass´ıntota vertical pois
lim
x→−2−
3x
x+ 2
=∞ e lim
x→−2+
3x
x+ 2
= −∞.
Existe tambe´m uma ass´ıntota horizontal, a reta y = 3. Pois
lim
x→∞
3x
x+ 2
= lim
x→∞
3
1 + 2
x
= 3
e
lim
x→−∞
3x
x+ 2
= lim
x→−∞
3
1 + 2
x
= 3.
E. Usando a Regra do Quociente temos
f ′(x) =
6
(x+ 2)2
que e´ sempre positiva para qualquer x em D. Isso significa, pelo Teste C/D, que f
e´ crescente tanto no intervalo (−∞,−2) quanto no intervalo (−2,∞).
F. f na˜o tem pontos cr´ıticos ja´ que f e´ diferencia´vel em D e f ′(x) 6= 0 para todo x
em D.
G.
f ′′(x) = − 12
(x+ 2)3
.
Essa raza˜o e´ positiva no intervalo (−∞,−2) e negativa no intervalo
(−2,∞), o que significa que a concavidade da curva e´ para cima no intervalo
(−∞,−2) e para baixo no intervalo (−2,∞).
H. Veja o gra´fico de f na figura 5.9. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 164
y
x0-2
3
y=3
x=-2
y=3x/(x+2)
Figura 5.9: Esboc¸o da curva y = 3x
x+2
, do exemplo 5.5.4.
Exemplo 5.5.5 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2e−x.
Soluc¸a˜o: A. D = R e f e´ cont´ınua em R pois e´ o produto de func¸o˜es cont´ınuas em
R.
B. O intercepto y e´ f(0) = 0 e o intercepto x, quando y = 0, e´ x = 0. O gra´fico
passa pelo ponto (0, 0) (origem).
C. O gra´fico na˜o possui simetrias o´bvias ja´ que f na˜o e´ nem par nem ı´mpar.
D. Na˜o existem ass´ıntotas verticais ja´ que f e´ cont´ınua em R.
Podemos usar a Regra de L’Hoˆpital duas vezes para verificar se existem
ass´ıntotas horizontais:
lim
x→∞
x2
ex
= lim
x→∞
2x
ex
= lim
x→∞
2
ex
= 0
e
limx→ −∞x
2
ex
= lim
x→−∞
2
ex
=∞.
Logo, o eixo-x e´ uma ass´ıntota horizontal.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 165
E.
f ′(x) = (2x− x2)e−x = x(2− x)e−x.
As soluc¸o˜es de f ′(x) = 0 sa˜o x = 0 e x = 2. Dividindo a reta real em
intervalos com extremidades nesses pontos e analisando o sinal da derivada nesses
intervalos temos que:
no intervalo (−∞, 0), x < 0 e 2 − x > 0, logo f ′(x) < 0. Portanto, f e´
decrescente em (−∞, 0);
no intervalo (0, 2), x > 0 e 2 − x > 0, logo f ′(x) > 0. Portanto, f e´
crescente em (0, 2);
no intervalo (2,∞), x > 0 e 2 − x < 0, logo f ′(x) < 0. Portanto, f e´
decrescente em (2,∞).
F. Os pontos cr´ıticos de f sa˜o x = 0 e x = 2. Pelo Teste da Primeira Derivada para
Ma´x. e Mı´n. Locais temos que f(0) = 0 e´ um Valor Mı´nimo Local e f(2) = 4e−2 e´
um Valor Ma´ximo Local.
G.
f ′′(x) = e−x(x2 − 4x+ 2).
Usando a fo´rmula de Ba´skara para resolver f ′′(x) = 0 obtemos que as
soluc¸o˜es sa˜o x = 2 +
√
2 ≈ 3, 414 e x = 2−√2 ≈ 0, 586.
Estudando o sinal de f ′′(x) nos intervalos de extremos nesses nu´meros e
aplicando o Teste da Concavidade temos que:
a concavidade e´ para cima nos intervalos (−∞, 2−√2) e (2 +√2,∞) e
para baixo no intervalo (2−√2, 2 +√2), com pontos de inflexa˜o em x = 2−√2 e
2 +
√
2.
H. Veja o gra´fico de f na figura 5.10. ¤
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 166
y
x0 2
y=xe2 -x
PontosdeInflexão
Figura 5.10: Esboc¸o da curva y = x2e−x, do exemplo 5.5.5.
5.6 Aplicac¸o˜es em Economia
Lembre-se que se C(x) e´ a func¸a˜o custo total da produc¸a˜o de x unidades de um
certo produto, enta˜o o custo marginal e´ a taxa de variac¸a˜o de C em relac¸a˜o a x.
Em outras palavras, a func¸a˜o custo marginal e´ a derivada, C ′(x), da func¸a˜o custo.
E´ comum, em economia, representar C(x) por um polinoˆmio. Acompanhe a figura
5.11.
A func¸a˜o custo total me´dio
C¯(x) =
C(x)
x
representa o custo por unidade quando x unidades sa˜o produzidas. Em geral, esta
func¸a˜o apresenta um valor mı´nimo absoluto. Note que C(x)/x e´ a inclinac¸a˜o da reta
que liga a origem ao ponto (x,C(x)) enquanto C ′(x) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico no ponto (x,C(x)). (Veja a figura 5.11)
Supondo a existeˆncia de um valor mı´nimo absoluto para o custo total
me´dio, para encontra´-lo localizamos os pontos cr´ıticos de C¯. Usando a Regra do
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 167
y
x0
PontodeInflexão
x
C(x)
C(x)=inclinação
y=C(x)
Figura 5.11: O custo total me´dio C¯(x) e´ a inclinac¸a˜o da reta que passa pela origem e
pelo ponto (x,C(x)).
Quociente:
d
dx
C¯(x) =
xC ′(x)− C(x)
x2
.
Se d
dx
C¯(x) = 0 enta˜o xC ′(x)− C(x) = 0, e temos
C ′(x) =
C(x)
x
= C¯(x).
Portanto:
“Se o custo me´dio for mı´nimo, enta˜o
custo marginal=custo me´dio”
Se o custo marginal for menor que o custo me´dio, enta˜o devemos produzir
mais para que o custo me´dio abaixe. Da mesma forma, se o custo marginal for maior
que o custo me´dio enta˜o devemos produzir menos a fim de abaixar o custo me´dio.
Exemplo 5.6.1 Uma companhia estima que o custo (em reais) na produc¸a˜o de x
unidades e´ C(x) = 2600 + 2x+ 0, 001x2.
a. Encontre o custo, o custo me´dio e o custo marginal da produc¸a˜o de 1000, 2000 e
3000 unidades.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 168
b. A que n´ıvel de produc¸a˜o sera´ mais baixo o custo me´dio? Qual o custo me´dio
mı´nimo?
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o custo total me´dio e´
C¯(x) =
C(x)
x
=
2600
x
+ 2 + 0, 001x.
A func¸a˜o custo marginal e´
C ′(x) = 2 + 0, 002x.
A tabela a seguir fornece o custo, o custo me´dio e o custo marginal (em
reais, arredondados ate´ o centavo mais pro´ximo).
x C(x) C¯(x) C ′(x)
1000 5.600,00 5,60 4,00
2000 10.600,00 5,30 6,00
3000 17.600,00 5,87 8,00
b. Para minimizar o custo me´dio devemos ter
custo marginal = custo me´dio
C ′(x) = C¯(x)
2 + 0, 002x =
2600
x
+ 2 + 0, 001x.
Essa equac¸a˜o simplifica-se para
0, 001x =
2600
x
portanto
x2 =
2600
0, 001
= 2.600.000
e
x =
√
2.600.000 ≈ 1612.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 169
Para verificar que esse n´ıvel de produc¸a˜o realmente da´ o mı´nimo custo
me´dio, observe que
C¯ ′′(x) =
5200
x3
> 0,
para todo x > 0.
Portanto, C¯ e´ coˆncava para cima em todo o seu domı´nio. O custo me´dio
mı´nimo e´:
C¯(1612) = R$5, 22/unidade. ¤
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
500 1000 1500 2000 2500 3000 x
y=C’(x)
y=C(x)
CustoMédioMínimo
Figura 5.12: O custo me´dio m´ınimo ocorre no ponto de intersec¸a˜o do gra´fico do custototal me´dio com o gra´fico do custo marginal.
O exerc´ıcio E19 e´ mais uma aplicac¸a˜o da derivada a` Economia.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 170
5.7 Exerc´ıcios (Cap. 4 e 5)
Exerc´ıcios Teo´ricos
T1. Escreva uma expressa˜o para a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no
ponto (a, f(a)).
T2. a. O que significa f ser diferencia´vel em a?
b. Que relac¸a˜o subsiste entre diferenciabilidade e continuidade de uma func¸a˜o?
T3. Estabelec¸a as seguintes regras da diferenciac¸a˜o em s´ımbolos e palavras.
a. Regra da Poteˆncia
b. Regra do Mu´ltiplo Constante
c. Regra da Soma
d. Regra do Produto
e. Regra do Quociente
f. Regra da Cadeia
T4. Explique a diferenc¸a entre um ma´ximo absoluto e um ma´ximo local. Ilustre
com um esboc¸o.
T5. a. O que diz o Teorema do Valor Extremo?
b. Explique o funcionamento do Me´todo do Intervalo Fechado.
T6. a. Enuncie o Teorema de Fermat.
b. Defina um ponto cr´ıtico de f .
T7. a. Enuncie o Teste Crescente/Decrescente.
b. Enuncie o Teste da Derivada Segunda para Concavidade.
T8. Enuncie o Teste da Derivada Segunda para Ma´ximos e Mı´nimos Locais. Existe
algum outro teste para localizar ma´ximos e mı´nimos locais? Qual a diferenc¸a entre
eles?
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 171
Verdadeiro ou Falso
Se verdadeiro, justifique, e se falso mostre um contra-exemplo.
VF1. Se f for cont´ınua em a, f e´ diferencia´vel em a.
VF2. Se f ′(r) existe, enta˜o limx→r f(x) = f(r).
VF3. Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
VF4. Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
(fg)′(x) = f ′(x)g′(x).
VF5. Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o3
d
dx
[f(g(x))] = f ′(g(x)).g′(x).
VF6. Se f for diferencia´vel, enta˜o
d
dx
√
f(x) =
f ′(x)
2
√
f(x)
.
VF7. Se f for diferencia´vel, enta˜o
d
dx
f(
√
x) =
f ′(x)
2
√
x
.
VF8. Se g(x) = x5 enta˜o limx→2
g(x)−g(2)
x−2 = 80.
VF9. Uma equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto (−2, 4) e´
y − 4 = 2x(x+ 2).
VF10. Se f ′(c) = 0 enta˜o f tem um ma´ximo ou um mı´nimo local em c.
VF11. Se f tiver um valor mı´nimo absoluto em c, enta˜o f ′(c) = 0.
3Lembre que
d
dx
[f(x)] =
dy
dx
=
df(x)
dx
= f ′(x).
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 172
VF12. Se f for cont´ınua em (a, b), enta˜o f atinge um valor ma´ximo absoluto em
f(c) e um valor mı´nimo absoluto f(d) em nu´meros c e d em (a, b).
VF13. Se f ′(x) < 0 para 1 < x < 6, enta˜o f e´ crescente em (1, 6).
VF14. Se f ′′(2) = 0, enta˜o (2, f(2)) e´ um ponto de inflexa˜o da curva y = f(x).
VF15 Se f e g forem crescentes em um intervalo I enta˜o f + g e´ crescente em I.
VF16. Se f for crescente e f(x) > 0 em I enta˜o
g(x) =
1
f(x)
e´ decrescente em I.
VF17. A func¸a˜o f(x) = 1
x2
assume seu valor ma´ximo no intervalo [−1, 1].
Exerc´ıcios
E1. a. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 9− x2 no ponto (2, 5).
b. Encontre a equac¸a˜o dessa reta tangente.
E2. a. Use a definic¸a˜o de derivada4 para encontrar f ′(2) onde f(x) = x3 − 2x.
b. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x3 − 2x no ponto (2, 4).
c. Ilustre a parte (b) fazendo o gra´fico de f e f ′ no mesmo conjunto de eixos.
E3. O custo total de saldar uma d´ıvida a uma taxa de juros de r% ao ano e´
C = f(r).
a. Qual o significado da derivada f ′(r)? Quais as suas unidades?
b. O que significa a afirmativa f ′(10) = 1200?
c. f ′(r) e´ sempre positiva ou muda de sinal?
E4. a. Se f(x) =
√
3− 5x, use a definic¸a˜o de derivada para calcular f ′(x).
b. Encontre os domı´nios de f e f ′.
c. Fac¸a os gra´ficos, no mesmo conjunto de eixos, de f e f ′. Compare os gra´ficos
4f ′(a) = limx→a
f(x)−f(a)
x−a = limh→0
f(a+h)−f(a)
h
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 173
com o resultado da letra (a) para verificar se e´ razoa´vel.
E5. Suponha que o custo, em do´lares, para uma companhia produzir x novas linhas
de “jeans”e´
C(x) = 2000 + 3x+ 0, 01x2 + 0, 0002x3.
a. Encontre a func¸a˜o custo marginal.
b. Encontre C ′(100) e explique seu resultado. O que ele prediz?
c. Compare C ′(100) com o custo de manufaturar os 101 premeiros “jeans”.
E6. A func¸a˜o custo para uma certa mercadoria e´
C(x) = 84 + 0, 16x− 0, 0006x2 + 0, 000003x3.
a. Encontre e interprete C ′(100).
b. Compare C ′(100) com o custo de produzir o 101o item.
E7. Se p(x) for o valor total da produc¸a˜o quando ha´ x trabalhadores em uma
fa´brica, enta˜o a produtividade me´dia da forc¸a de trabalho da fa´brica e´
A(x) =
P (x)
x
.
a. Encontre A′(x). Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se
A′(x) > 0.
b. Mostre que A′(x) > 0 se p′(x) for maior do que a produtividade me´dia.
E8. Calcule y′
a. y = (x+ 2)8(x+ 3)6
b. y = 3
√
x+ 13√x
c. y =
(
x+ 1
x2
)√7
d. y = 1
3
√
x+
√
x
e. x2y3 + 3y2 = x− 4y
f. y =
√
x+1(2−x)5
(x+3)7
g. x
y
+ y
x
= 1
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 174
h. x3 + y3 = 6xy
i. x2 = y(y + 1)
j. y = (1− x−1)−1
k. ex
2+y2 = 2
l. xey = ln y
E9. Encontre uma equac¸a˜o da tangente a` curva no ponto dado.
a. y = x
x2−2 , P = (2, 1)
b.
√
x+
√
y = 3, P = (4, 1)
c. y = x
√
1 + x2, P = (1,
√
2)
E10. Encontre os pontos sobre a elipse x2 + 2y2 = 1 onde a reta tangente tem
inclinac¸a˜o 1.
E11. Encontre f ′ em termos de g e g′.
a. f(x) = x2g(x)
b. f(x) = g(x2)
c. f(x) = [g(x)]2
d. f(x) = g(g(x))
E12. Encontre h′ em termos de f , g e suas derivadas.
a. h(x) = f(x)g(x)
f(x)+g(x)
b. h(x) =
√
f(x)
g(x)
c. h(x) = f(x)−g(x)
f(x)+g(x)
E13. Encontre uma para´bola y = ax2 + bx + c que passe pelo ponto (1, 4) e cujas
retas tangentes em x = −1 e x = 5 tenham inclinac¸o˜es 6 e −2, respectivamente.
E14. Encontre os valores extremos absolutos e locais da func¸a˜o em um intervalo
dado.
a. f(x) = 10 + 27x− x3, [0, 4]
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 175
b. f(x) = x−√x, [0, 4]
c. f(x) = x
x2+x+1
, [−2, 0]
d. f(x) =
√
x2 + 4x+ 8, [−3, 0]
E15. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas.
a.
f(0) = 0, f ′(−2) = f ′(1) = f ′(9) = 0, lim
x→∞
f(x) = 0,
lim
x→6
f(x) = −∞, f ′(x) < 0 em (−∞,−2), (1, 6) e (9,∞),
f ′(x) > 0 em (−2, 1), e (6, 9),
f ′′(x) > 0 em (−∞, 0) e (12,∞),
f ′′(x) < 0 em (0, 6) e (6, 12).
b.
f(0) = 0, f continua e par,
f ′(x) = 2x se 0 < x < 1,
f ′(x) = −1 se 1 < x < 3,
f ′(x) = 1 se x > 3.
E16. Use os exerc´ıcios de T5 a T8 para esboc¸ar as curvas.
a. y = 2− 2x− x3
b. y = 1
1−x2
c. y = x+
√
1− x
d. y = x
√
2 + x
e. y = x
2
x−8
f. y = 1
x(x−3)2
g. y = 1
x
+ 1
x+1
h. y = xex
i. y = ln(x2 + 1)
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 176
j. y = x
2√
x+1
k. y = ln(4− x2)
l. y = x lnx.
E17. Encontre o n´ıvel de produc¸a˜o no qual a func¸a˜o custo marginal comec¸a a
crescer.
a. C(x) = 0, 001x3 − 0, 3x2 + 6x+ 900
b. C(x) = 0, 0002x3 − 0, 25x2 + 4x+ 1500
E18. Uma func¸a˜o custo e´ dada por:
C(x) = 3700 + 5x− 0, 04x2 + 0, 0003x3.
a. Encontre as func¸o˜es custo me´dio5 e custo marginal.
b. Use o ca´lculo para encontrar o custo me´dio mı´nimo.
c. Encontre o valor mı´nimo do custo marginal.
E19. Se p(x) e´ o prec¸o por unidade que uma companhia pode cobrar se ela vende
x unidades enta˜o p e´ chamada func¸a˜o demanda. Se x unidades forem vendidas e o
prec¸o por unidade for p(x), enta˜o o rendimento sera´
R(x) = xp(x) (5.1)
e R e´ chamada func¸a˜o rendimento (ou func¸a˜o renda).
Se x unidades forem vendidas enta˜o o lucro total sera´
P (x) = R(x)− C(x) (5.2)
onde C e´ a func¸a˜o custo total e P e´ chamada func¸a˜o lucro.
Para maximizar o lucro procuramos por pontos cr´ıticos de P , isto e´, os nu´meros
onde o lucro marginal e´ 0. Mas seP ′(x) = R′(x)− C ′(x) = 0
5Se C(x) e´ a func¸a˜o custo total definimos o custo me´dio C¯(x) por
C¯(x) =
C(x)
x
.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 177
enta˜o
R′(x) = C ′(x). (5.3)
Portanto, se o lucro for ma´ximo enta˜o o rendimento marginal e´ igual ao
custo marginal.
Para garantir que esta condic¸a˜o fornece o ma´ximo, podemos usar o Teste da Derivada
Segunda. Note que
P ′′(x) = R′′(x)− C ′′(x) < 0
quando
R′′(x) < C ′′(x)
e essa condic¸a˜o afirma que a taxa de crescimento do rendimento marginal e´
menor do que a taxa de crescimento do custo marginal. Assim, o lucro sera´
ma´ximo quando
R′(x) = C ′(x) e R′′(x) < C ′′(x). (5.4)
Determine o n´ıvel de produc¸a˜o que maximizara´ o lucro para uma companhia com
func¸o˜es custo e demanda:
C(x) = 84 + 1, 26x− 0, 01x2 + 0, 00007x3 e p(x) = 3, 5− 0, 01x.
(Sugesta˜o: Use as equac¸o˜es (5.1), (5.2), (5.3) e (5.4))
E20. Determine em que regia˜o (ou regio˜es) a concavidade da func¸a˜o
f(x) = e−
x2
2
e´ para cima e em que regia˜o (ou regio˜es) a concavidade e´ para baixo e determine os
pontos de inflexa˜o.
E21. Uma lata cil´ındrica e´ feita para receber 1L de o´leo. Encontre as dimenso˜es
que minimizara˜o o custo do metal para produzir a lata.
E22. O custo de uma empresa para produzir x violoˆes por semana e´ dado pela
func¸a˜o
C(x) = −0, 00001x2 + x+ 400, 0 ≤ x ≤ 40.000,
onde C e´ medida em centenas de reais. Mostre que o custo me´dio, definido por
C¯(x) = C(x)/x, e´ uma func¸a˜o decrescente.
Cap´ıtulo 5 - Aplicac¸o˜es da Derivada 178
E23. Uma pequena empresa calcula que o custo para produzir x centenas de caixas
amplificadas pode ser modelado pela func¸a˜o
C(x) = (5x+ 2)
2
5 + 3,
onde C esta´ em milhares de reais. O custo marginal aumenta ou diminui com o
aumento da produc¸a˜o?
E24. Jim Morrison trabalha no setor de montagem de uma fa´brica de componentes
eletroˆnicos. Como o trabalho causa fadiga visual e perda de concentrac¸a˜o, cada turno
tem apenas 6 horas de durac¸a˜o. A produtividade do opera´rio pode ser modelada
pela equac¸a˜o
P (t) = −0, 5t3 + t2 + 12t, 0 ≤ t ≤ 6,
onde t e´ o tempo em horas e P (t) e´ o nu´mero de unidades montadas por hora.
Desenhe o gra´fico de P (t) para ter uma ide´ia de como varia a produtividade de Jim.
Em que hora do turno o opera´rio e´ mais produtivo?
Avaliac¸o˜es
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I e MATEMA´TICA PARA ADMINISTRAC¸A˜O
PROVA FINAL
Prof.WALLISOM ROSA
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
1. (2,0) Calcule a derivada, pela definic¸a˜o, das func¸o˜es abaixo:
a. f(x) = 1
x−2 .
b. g(x) = x2 − 2x+ 13.
2. (2,0) Na questa˜o anterior verifique a continuidade de cada func¸a˜o dada no ponto
x = 2.
3. (3,0) Verifique a veracidade de cada uma das afirmac¸o˜es abaixo (V ou F),
justificando sua resposta.
a. A func¸a˜o f(x) = 1
x−2 e´ cont´ınua no ponto x = 2 e a reta tangente ao seu gra´fico
no ponto (2, f(2)) e´ a reta vertical x = 2.
b. A func¸a˜o w(x) = (x2− 5x)3 possui um ponto de mı´nimo em x = −1 e um ponto
de ma´ximo em x = 2 no intervalo [−1, 2].
c. A derivada da func¸a˜o s(x) =
√(
x−1
x+1
)3
e´ 3
√
x−1
(x+1)5
.
Avaliac¸o˜es 180
4. (3,0) Encontre os extremos absolutos de cada uma das func¸oˆes abaixo no
intervalo indicado, quando existirem, e ache os pontos nos quais o extremo absoluto
ocorre.
a. f(x) = x3 − 400.000; (−∞,∞);
b. t(u) = 2
u−3 ; [2, 5];
c. w(t) = |3 + t|; [0,∞);
BOA PROVA!!!
Avaliac¸o˜es 181
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I e MATEMA´TICA PARA ADMINISTRAC¸A˜O
AVALIAC¸A˜O DE 2a CHAMADA
Prof.WALLISOM ROSA
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
1. (2,0) Calcule a derivada, pela definic¸a˜o, das func¸o˜es abaixo:
a. f(x) = 1
x−1 .
b. g(x) = x2 − 4x+ 3.
2. (2,0) Em cada letra do item anterior encontre, se existir, a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico das func¸o˜es no ponto x = 1.
3. (3,0) Verifique a veracidade de cada uma das afirmac¸o˜es abaixo (V ou F),
justificando sua resposta.
a. Se a receita total recebida da venda de x estantes e´ R(x) = 150x − x2
4
, enta˜o a
receita marginal quando 25 estantes tiverem sido vendidas e´ R$110, 00.
b. A func¸a˜o w(t) = (x2 − 5x)3 possui um ponto de mı´nimo em x = 0 e um ponto
de ma´ximo em x = 2 no intervalo [−1, 2].
c. A derivada da func¸a˜o s(x) =
√(
x−1
x+1
)3
e´ 3
√
x−1
(x+1)5
.
4. (3,0) Encontre os extremos absolutos de cada uma das func¸oˆes abaixo no
intervalo indicado, quando existirem, e ache os pontos nos quais o extremo absoluto
ocorre.
a. f(x) = x2 − 4; (−∞,∞);
b. t(s) = 4
(s−3)2 ; [2, 5];
c. w(u) = |3 + u|; [−3,∞);
Avaliac¸o˜es 182
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Economia e Cieˆncias Conta´beis
2a CHAMADA
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
1 (3.0) a. Explique o funcionamento do Me´todo do Intervalo Fechado.
b. Defina um ponto cr´ıtico de f .
c. Enuncie o Teste da Concavidade.
2 (2,0). Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas e iden-
tifique nele os pontos cr´ıticos, de inflexa˜o e os pontos de ma´ximos e mı´nimos
locais, caso existam.
a.
f ′(2) = 0, f(2) = −1, f(0) = 0,
f ′(x) < 0 se 0 < x < 2, f ′(x) > 0 se x > 2,
f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou se x > 4,
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4, lim
x→∞
f(x) = 1,
f par.
b.
f ′(−1) = 0, f ′(1) nao existe,
f ′(x) < 0 se − 1 < x < 1, f ′(x) > 0 se |x| > 1,
f(−1) = 4, f(1) = 0, f ′′(x) < 0 se x 6= 1.
3 (3,0). Calcule y′.
a. x2 = y(y + 1)
b. x
y
+ y
x
= 1
Avaliac¸o˜es 183
c. y =
√√
x− 1√
x
4 (2,0). Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado.
a. f(x) =
√
x2 + 4x+ 8, [−3, 0]
b. f(x) = x−√x, [0, 4]
Avaliac¸o˜es 184
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Economia e Cieˆncias Conta´beis
2a CHAMADA
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
1 (3.0) Considere as seguintes varia´veis de mercado
Qd ≡ Quantidade procurada de mercadorias (Unidades por semana)
Qd ≡ Quantidade ofertada de mercadorias (Unidades por semana)
P ≡ Prec¸o (Reais).
Funcionamento do mercado:
(i) Condic¸a˜o de Equil´ıbrio: O equil´ıbrio ocorre no mercado se, e somente se, o
excesso de demanda e´ zero (Qd −Qs = 0).
(ii) Demanda versus Prec¸o: Suponha que Qd seja uma func¸a˜o linear decrescente
de P (quando P aumenta Qd diminui).
(iii) Oferta versus Prec¸o: Suponha que Qs seja uma func¸a˜o linear crescente de
P (quando P aumenta, Qs tambe´m aumenta), com a condic¸a˜o de que a quantidade
ofertada seja nula a na˜o ser que o prec¸o exceda um valor positivo espec´ıfico.
Ao todo, o modelo contera´ uma condic¸a˜o de equil´ıbrio mais duas equac¸o˜es de
comportamento que governam os lados da demanda e da oferta no mercado,
respectivamente.
Traduzindo em termos matema´ticos, o modelo acima pode ser apresentado como:
Qd = Qs (Equil´ıbrio de Mercado)
Qd = a− bP onde a, b > 0 (Equac¸a˜o de Demanda)
Qs = −c+ dP onde c, d > 0 (Equac¸a˜o de Oferta)
(5.5)
a. Associando ao eixo-y as quantidades e ao eixo-x o prec¸o, trace num mesmo
gra´fico as curvas de oferta e de demanda para o modelo acima e identifique nele
Avaliac¸o˜es 185
o equil´ıbrio de mercado (P¯ , Q¯).
b. Resolva o modelo de mercado (5.5) com
a = 15, b = 4, c = 1 e d = 6.
c. Se b+ d = 0 no modelo linear de mercado (5.5), na˜o se pode achar uma soluc¸a˜o
de equil´ıbrio para o mesmo. Oferec¸a uma explicac¸a˜o matema´tica assim como uma
explicac¸a˜o econoˆmica para este fato. (Sugesta˜o 1: Trace e estude o gra´fico para
esta situac¸a˜o! Sugesta˜o 2: Enunciado longo implica em soluc¸a˜o fa´cil!!!)
2 (1.5) Verdadeiroou Falso? Justifique sua resposta6.
a. A func¸a˜o f(x) = x+ 1
x2
e´ cont´ınua em 1.
b. A func¸a˜o f(x) = x5 + x+ 1 possui ao menos uma raiz no intervalo [−1, 0].
c. Se limx→2 f(x) = 0 e limx→2 g(x) = 0 enta˜o limx→2[f(x)/g(x)] na˜o existe.
3 (1.0) Esboce o gra´fico de um exemplo de func¸a˜o f que satisfac¸a a todas as
condic¸o˜es dadas.
a. f(0) = 0, f(1) = 1, limx→∞ f(x) = 0, f e´ ı´mpar;
b. limx→2 f(x) = −∞, limx→∞ f(x) =∞, limx→−∞ f(x) = 0,
limx→0+ f(x) =∞, limx→0− f(x) = −∞.
4 (2.0) Considere a func¸a˜o f(x) = 1 + 1
x4−1 . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre seu domı´nio; b. Descontinuidades; c Ass´ıntotas; d. Trace seu gra´fico.
5 (1.5) Um pequeno fabricante descobre que custa R$9.000, 00 para produzir 1000
torradeiras ele´tricas em uma semana e R$12.000, 00 para produzir 1500 torradeiras
em uma semana.
6Lembre das definic¸o˜es (func¸a˜o cont´ınua, polinoˆmio, func¸a˜o racional, limites, ass´ıntotas, etc.),
dos teoremas (Regras de Limite, Teorema do Valor Intermedia´rio, Continuidade de Polinoˆmios e
Func¸o˜es Racionais, limites infinitos e no infinito, etc.) e dos contra-exemplos.
Avaliac¸o˜es 186
a. Expresse o custo como uma func¸a˜o do nu´mero de torradeiras produzidas,
supondo que ele e´ linear. Enta˜o esboce o gra´fico.
b. Qual a inclinac¸a˜o do gra´fico e o que ele representa?
c. Qual o intercepto y do gra´fico e o que ele representa?
6 (1.0) Determine L (caso exista) para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto
dado. Justifique.
a. f(x) =
{
x3−1
x−1 , se x 6= 1;
L, se x = 1.
no ponto p = 1.
b. h(x) =
{ |x|
x
, se x 6= 0;
L, se x = 0.
no ponto p = 0.
Boa Prova!!!
Avaliac¸o˜es 187
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Economia
1a AVALIAC¸A˜O
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
Escolha uma questa˜o teo´rica (T), um exerc´ıcio (E), e uma aplicac¸a˜o (A).
O V ou F e´ obrigato´rio!!!
Teo´ricos
T1. (3,0) Enuncie cada uma das seguintes Leis do Limite (ou Propriedades do
Limite) e a seguir, deˆ exemplos de situac¸o˜es onde ocorrem.
a) Lei da Soma;
c) Lei do Produto;
d) Lei do Quociente.
T2. (3,0) Qual o significado de f ser cont´ınua em a? E em R? Nesse caso, o que
se pode dizer sobre o gra´fico de f?
Exerc´ıcios
E1. (2,0) Esboce gra´ficos de exemplos de func¸o˜es que satisfac¸am as seguintes
condic¸o˜es:
a.
lim
x→3+
f(x) = 4, lim
x→3−
f(x) = 2,
f(3) = 3, lim
x→−2
f(x) = 2,
f(−2) = 1.
Avaliac¸o˜es 188
b.
lim
x→0+
f(x) =∞, lim
x→0−
f(x) = −∞,
lim
x→∞
f(x) = 1, lim
x→−∞
f(x) = 1.
E2. (2,0) Determine L (caso exista) para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto
dado. Justifique.
a) f(x) =
{
x2−9
x−3 , se x 6= 3;
L, se x = 3.
no ponto p = 3.
b) h(x) =
{ |x−1|
x−1 , se x 6= 1;
L, se x = 1.
no ponto p = 1.
Aplicac¸o˜es
A1. (2,0) Uma caixa fechada com uma base quadrada deve apresentar um volume
de 2000cm3. O material para a tampa e fundo da caixa custa R$ 3, 00 por cm2, e o
material para os lados custa R$ 1, 50 por cm2.
a. Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base, expresse o custo
do material como func¸a˜o de x.
b. Qual o domı´nio da func¸a˜o resultante?
A2. (2,0) Um atacadista oferece entregar a um comerciante 300 cadeiras ao prec¸o
unita´rio de 90 reais e reduzir o prec¸o de cada cadeira em toda encomenda em 0.25
reais (25 centavos) para cada unidade adicional acima de 300. (a) Se x cadeiras
forem encomendadas , expresse o custo do comerciante como func¸a˜o de x. (b) Qual
o domı´nio da func¸a˜o resultante?
Verdadeiro ou Falso
VF. (3,0) Escolha treˆs entre as quatro afirmativas abaixo. Na˜o esquec¸a de justi-
ficar suas afirmativas!!!
a. A func¸a˜o f(x) = x
2−9
x−3 na˜o e´ cont´ınua em x = 3 e a func¸a˜o g(x) = x
5 − 2x4 +
15x3 + 18x2 − 27x− 15 e´ cont´ınua em x = 5.
b. Se a reta y = 3 for uma ass´ıntota horizontal para o gra´fico de y = f(x), enta˜o f
Avaliac¸o˜es 189
na˜o esta´ definida em x = 3.
c. Se limx→2 f(x)g(x) existe enta˜o o limite deve ser f(2)g(2).
d. Seja f(x) = 1
x
. Como f(1) = 1 > 0 e f(−1) = −1 < 0 enta˜o existe um nu´mero
c ∈ (−1, 1) tal que f(c) = 0.
Boa Prova!!!
Avaliac¸o˜es 190
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Cieˆncias Conta´beis
1a AVALIAC¸A˜O
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
Escolha uma questa˜o teo´rica (T), um exerc´ıcio (E), e uma aplicac¸a˜o (A).
O V ou F e´ obrigato´rio!!!
Teo´ricos
T1. (3,0) Quais das curvas a seguir teˆm ass´ıntotas verticais? E horizontais?
a) y = x3; b) y = x
2−1
x3−8 ; c) y =
x2−1
2x2−4 ;
T2. (3,0) a)Qual o significado de f ser cont´ınua em a? b) Qual o significado de f
ser cont´ınua em R? Nesse caso, o que se pode dizer sobre o gra´fico de f?
Exerc´ıcios
E1. (2,0) Seja
g(x) =

2x− x2, se 0 ≤ x ≤ 2;
2− x, se 2 < x ≤ 3;
x− 4, se 3 < x < 4;
pi, se x ≥ 4.
a. Para cada um dos nu´meros 2, 3 e 4, descubra se g e´ cont´ınua a` esquerda, e´
cont´ınua a` direita ou cont´ınua no nu´mero.
b. Esboce o gra´fico de f .
E2. (2,0) Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que existe uma raiz
da equac¸a˜o 2x3 + x2 + 2 = 0 no intervalo (−2,−1).
Avaliac¸o˜es 191
Aplicac¸o˜es
A1. (2,0) Um fabricante de caixas de papela˜o deseja fazer caixas sem tampa de
pedac¸os de papela˜o quadrados com 30cm de lado, cortando quadrados iguais dos 4
cantos e virando para cima os lados.
a. Se x cm e´ o comprimento do lado a ser cortado, expresse o nu´mero de cent´ımetros
cu´bicos do volume da caixa como func¸a˜o de x.
b. Qual o domı´nio da func¸a˜o resultante?
A2. (2,0) A na˜o ser que o prec¸o de uma determinada geladeira supere R$ 550, 00,
nenhuma geladeira estara´ dispon´ıvel no mercado. Contudo, quando o prec¸o e´
R$ 750, 00, 200 geladeiras estara˜o dispon´ıveis no mercado. Ache a equac¸a˜o de oferta,
supondo-a linear, e trace um esboc¸o da curva de oferta.
Verdadeiro ou Falso
VF. (3,0) Escolha treˆs entre as quatro afirmativas abaixo. Na˜o esquec¸a de justi-
ficar suas afirmativas!!!
a. Se limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) = −∞ enta˜o limx→a[f(x) + g(x)] = 0.
b. Se a reta x = 2 for uma ass´ıntota vertical para o gra´fico de y = f(x), enta˜o f
na˜o esta´ definida em x = 2.
c. Se f(x) =
√
x− 2 e g(x) = x2 − 4 enta˜o o domı´nio de g ◦ f e´ R.
d. Se p for um polinoˆmio, enta˜o limx→b p(x) = p(b).
Boa Prova!!!
Avaliac¸o˜es 192
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Cieˆncias Conta´beis
2a AVALIAC¸A˜O
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
Teo´ricos
T1 (3,0). a. Enuncie o Teste Crescente/Decrescente.
b. Enuncie o Teste da Concavidade.
c. Enuncie o Teste da Derivada Segunda.
Exerc´ıcios
E1 (3,0). Calcule y′
a. y = (x+ 2)8(x+ 3)6
b. x2y3 + 3y2 = x− 4y
c. x
y
+ y
x
= 1
E2 (2,0). Esboce as curvas abaixo.
a. y = 1
x
+ 1
x+1
b. y = 1
1−x2
E3 (2,0). Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado.
a. f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]
b. f(x) = x
x2+1
, [0, 2]
Avaliac¸o˜es 193
E4 (2,0). Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas e iden-
tifique nele os pontos cr´ıticos, de inflexa˜o e os pontos de ma´ximos e mı´nimos
locais, caso existam.
a.
f(0) = 0, f ′(−2) = f ′(1) = f ′(9) = 0, lim
x→∞
f(x) = 0,
lim
x→6
f(x) = −∞, f ′(x) < 0 em (−∞,−2), (1, 6) e (9,∞),
f ′(x) > 0 em (−2, 1), e (6, 9),
f ′′(x) > 0 em (−∞, 0) e (12,∞),
f ′′(x) < 0 em (0, 6) e (6, 12).
b.
f ′(2) = 0, f(2) = −1, f(0) = 0,
f ′(x) < 0 se 0 < x < 2, f ′(x) > 0 se x > 2,
f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou se x > 4,
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4, lim
x→∞
f(x) = 1,
f par.
Boa Prova!!!
Avaliac¸o˜es194
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
MATEMA´TICA I
Economia
2a AVALIAC¸A˜O
Prof.Wallisom Rosa
OBSERVAC¸A˜O: Na˜o e´ necessa´rio resolver a prova a` caneta!
Teo´ricos
T1 (2,0). a. O que significa f ser diferencia´vel em a?
b. Que relac¸a˜o subsiste entre diferenciabilidade e continuidade de uma func¸a˜o?
T2 (1,0). Explique o funcionamento do Me´todo do Intervalo Fechado.
Exerc´ıcios
E1 (3,0). Calcule y′.
a. y = 3
√
x+ 13√x
b. x3 + y3 = 6xy
c. y = (1− x−1)−1
E2 (2,0). Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas e iden-
tifique nele os pontos cr´ıticos, de inflexa˜o e os pontos de ma´ximos e mı´nimos
locais, caso existam.
a.
f(0) = 0, f continua e impar,
f ′(x) = 2x se 0 < x < 1,
f ′(x) = −1 se 1 < x < 3,
f ′(x) = 1 se x > 3.
b.
f ′(−1) = 0, f ′(1) nao existe,
Avaliac¸o˜es 195
f ′(x) < 0 se − 1 < x < 1, f ′(x) > 0 se |x| > 1,
f(−1) = 4, f(1) = 0, f ′′(x) < 0 se x 6= 1.
E3 (2,0). Esboce as curvas abaixo.
a. y = x+
√
1− x
b. y = x
2
x−8
Aplicac¸a˜o
A1 (2,0). Um fabricante de caixas de papela˜o deseja fazer caixas sem tampa de
pedac¸os de papela˜o quadrados com 30cm de lado, cortando quadrados iguais dos 4
cantos e virando para cima os lados.
a. Se x cm e´ o comprimento do lado a ser cortado, expresse o nu´mero de cent´ımetros
cu´bicos do volume da caixa como func¸a˜o de x. Encontre o seu domı´nio.
b. Qual o valor de x que fornecera´ o maior volume poss´ıvel a` caixa?
Boa Prova!!!
Avaliac¸o˜es 196
EXAME FINAL
Prof.Wallisom Rosa
1. (2,0) A na˜o ser que o prec¸o de uma determinada geladeira supere R$ 550, 00, nen-
huma geladeira estara´ dispon´ıvel no mercado. Contudo, quando o prec¸o e´ R$ 750, 00,
200 geladeiras estara˜o dispon´ıveis no mercado.
a. Ache a equac¸a˜o de oferta, supondo-a linear;
b. Trace um esboc¸o da curva de oferta.
2. (2.0) Determine L (caso exista) para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto
dado. Justifique.
a. f(x) =
{
x3−8
x−2 , se x 6= 2;
L, se x = 2.
b. g(x) =
{
1
x−1 , se x 6= 1;
L, se x = 1.
3 (3,0). Calcule y′.
a. x2 = y(y + 1)
b. x
y
+ y
x
= 1
c. y =
√√
x− 1√
x
4 (2,0). Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado.
a. f(x) =
√
x2 + 4x+ 8, [−3, 0]
b. f(x) = x−√x, [0, 4]
5. (1,0) Um atacadista oferece entregar a um comerciante 300 cadeiras ao prec¸o
unita´rio de 90 reais e reduzir o prec¸o de cada cadeira em toda encomenda em 25
centavos para cada unidade adicional acima de 300. Se x cadeiras forem encomen-
dadas, expresse o custo do comerciante como func¸a˜o de x. Qual o domı´nio da func¸a˜o
resultante?
Avaliac¸o˜es 197
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Departamento de Matema´tica
Matema´tica p/ Administrac¸a˜o
Prof.: Wallisom Rosa
Exercı´cio 1. (2.0 pts) a. Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes
condic¸o˜es: uma taxa fixa de R$50, 00 e mais R$0, 30 por quiloˆmetro (km) rodado.
Expresse o custo da locac¸a˜o em func¸a˜o dos quiloˆmetros rodados.
b. Suponha que uma outra locadora B alugue, tambe´m, carro popular nas seguintes
condic¸o˜es: uma taxa fixa de R$30, 00 e R$0, 35 por quiloˆmetro rodado. Qual a
locadora que voceˆ escolheria para alugar um carro? (Sugesta˜o: Expresse o custo
da locac¸a˜o como func¸a˜o dos quiloˆmetros rodados e esboce, num mesmo conjunto de
eixos, os gra´ficos das func¸o˜es encontradas em a e b.)
Exercı´cio 2. (2.0 pts) Seja
g(x) =

3x− x2, se 0 ≤ x ≤ 2;
2− x, se 2 < x ≤ 3;
x− 4, se 3 < x < 4;
0, se 4 ≤ x ≤ 5;
x2, se x > 5.
Para cada um dos nu´meros 2, 3, 4 e 5, descubra se g e´ cont´ınua no nu´mero. Se g for
descont´ınua em algum deles, descubra se pelo menos g e´ cont´ınua a` esquerda ou a`
direita neste. Suas afirmac¸o˜es devem vir acompanhadas de justificativas!
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Esboce o gra´fico de um exemplo de uma func¸a˜o f satis-
fazendo todas as condic¸o˜es dadas. Fac¸a um gra´fico (de func¸a˜o!) para cada letra.
a.
lim
x→0−
f(x) = 1, lim
x→0+
f(x) = −1, lim
x→2−
f(x) = 0,
lim
x→2+
f(x) = 1, f(2) = 1 f na˜o esta´ definida em 0.
b.
lim
x→2
g(x) = −∞, lim
x→∞
g(x) =∞, lim
x→−∞
g(x) = 0,
Avaliac¸o˜es 198
lim
x→0−
g(x) = −∞, lim
x→0+
g(x) =∞.
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Seja
f(x) =
x
x+ 4
.
a. f tem ass´ıntotas horizontais? Quais? Justifique.
b. f tem ass´ıntotas verticais? Quais? Justifique.
Exercı´cio 5. (2.0 pts) a. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que
lim
x→∞
f(x) =∞, lim
x→∞
g(x) =∞ e lim
x→∞
[f(x)− g(x)] 6= 0.
b. Deˆ exemplo de func¸o˜es f e g tais que
lim
x→∞
f(x) =∞, lim
x→∞
g(x) =∞ e lim
x→∞
f(x)
g(x)
6= 1.
Exercı´cio 6. (2.0 pts) Considere as equac¸o˜es de oferta e demanda, respectiva-
mente, de um produto:
x2 − p+ 4 = 0; 2x+ p− 12 = 0.
a. Ache a demanda se o produto fosse gra´tis.
b. Determine a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio.
“Somos a resposta exata do que a gente perguntou.”
Raul Seixas (Coisas do Corac¸a˜o)
Avaliac¸o˜es 199
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Prof.: Wallisom Rosa
Exercı´cio 1. (2.0 pts) Uma excursa˜o patrocinada por uma escola pode acomodar
ate´ 350 estudantes e custara´ 15 reais por estudante, se o nu´mero de estudantes na˜o
exceder 150; contudo, o custo por estudante sera´ reduzido em 5 centavos para cada
estudante que passar de 150 ate´ o custo atingir 10 reais por estudante. (a) Se x
estudantes fazem a excursa˜o, expresse a receita total em func¸a˜o de x. (b) Qual o
domı´nio da func¸a˜o resultante?
Exercı´cio 2. (2.0 pts) Esboce gra´ficos de exemplos de func¸o˜es que satisfac¸am as
seguintes condic¸o˜es:
(a)
lim
x→3+
f(x) = 4, lim
x→3−
f(x) = 2,
f(3) = 3, lim
x→−2
f(x) = 2,
f(−2) = 1.
(b)
lim
x→0+
f(x) =∞, lim
x→0−
f(x) = −∞,
lim
x→∞
f(x) = 1, lim
x→−∞
f(x) = 1.
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Considere a func¸a˜o
f(x) =
2x2 + 3
x2 − 1 .
(a) f tem ass´ıntotas horizontais? Quais? Justifique.
(b) f tem ass´ıntotas verticais? Quais? Justifique.
Avaliac¸o˜es 200
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Determine L, caso exista, para que a func¸a˜o dada seja
cont´ınua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =
{ |x−3|
x−3 , se x 6= 3;
L, se x = 3.
no ponto p = 3.
(b) g(x) =
{
x3−x
x
, se x 6= 0;
L, se x = 0.
no ponto p = 0.
Exercı´cio 5. (2.0 pts) Considere a func¸a˜o custo total da produc¸a˜o de x unidades
de uma certa mercadoria, dada por
C(x) = x3 + 2x2 + x+ 100 +
20
x
,
desde que x > 0.
(a) Qual a func¸a˜o custo total me´dio? Qual e´, aproximadamente, o custo total me´dio
da produc¸a˜o de 100 unidades da mercadoria?
(b) A func¸a˜o custo total me´dio admite ass´ıntotas? Quais? Justifique.
Exercı´cio 6. (2.0 pts) Mostre, usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, que
existe uma raiz da equac¸a˜o
5x3 − 3x2 + x− 1 = 0
entre 0 e 1.
“Espere sentado, ou voceˆ se cansa
Esta´ provado: Quem espera nunca alcanc¸a!”
Chico Buarque de Holanda
Avaliac¸o˜es 201
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Departamento de Matema´tica
Matema´tica para Administrac¸a˜o
Prof.: Wallisom Rosa
ATENC¸A˜O: Seja objetivo e na˜o esquec¸a de justificar todas as suas afirmac¸o˜es!
Exercı´cio 1. (2.0 pts) a. A equac¸a˜o x2y + y4 − x = 3 define y implicitamente
como uma func¸a˜o de x. Determine dy/dx em termos de x e y, calcule a inclinac¸a˜o
do gra´fico da func¸a˜o no ponto (2, 1) e deˆ uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva
nesse ponto.
b. Para que valor de x a reta tangente a` curva y = x+ ln x tem inclinac¸a˜o 4.
Exercı´cio 2. (2.0 pts) Esboce gra´ficosde func¸o˜es que satisfac¸am as seguintes
condic¸o˜es:
(a)
f ′(−1) = f ′(1) = 0, f ′(x) < 0 se |x| < 1,
f ′(x) > 0 se |x| > 1, f(−1) = 4, f(1) = 0,
f ′′(x) > 0 se x > 0, f ′′(x) < 0 se x < 0.
(b)
lim
x→3
f(x) = −∞, f ′′(x) < 0 se x 6= 3,
f ′(0) = 0, f ′(x) > 0 se x < 0 ou x > 3,
f ′(x) < 0 se 0 < x < 3.
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Encontre os valores extremos absolutos de cada uma das
seguintes func¸o˜es no intervalo dado:
Avaliac¸o˜es 202
(a) f(x) = x3 − x2 + 1 no intervalo [−1, 1].
(b) g(x) = x+ 3
x
no intervalo [1, 2].
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) = (x2 − 4)12 e
verifique se e´ um ponto de ma´ximo local, ponto de mı´nimo local ou nem ma´ximo
nem mı´nimo local.
Exercı´cio 5. (2.0 pts) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um
volume de 32.000cm3. Encontre as dimenso˜es da caixa que minimizam a quantidade
de material usado. (Atenc¸a˜o: voceˆ deve justificar a existeˆncia desse valor mı´nimo!)
Exercı´cio 6. (2.0 pts) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = ex + e−x identificando
nele, caso existam, os ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de inflexa˜o.
“E depois do comec¸o
O que vier vai comec¸ar a ser o fim ”
Legia˜o Urbana (Depois do Comec¸o)
Avaliac¸o˜es 203
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CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Prof.: Wallisom Rosa
ATENC¸A˜O: Seja objetivo e na˜o esquec¸a de justificar todas as suas afirmac¸o˜es!
Exercı´cio 1. (2.0 pts) a. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = xex
2
no ponto (0, 0).
b. Encontre uma para´bola y = ax2+ bx+ c que passa pelo ponto (0, 4) e cujas retas
tangentes em x = −1 e x = 2 tenham inclinac¸o˜es 1 e 0, respectivamente.
Exercı´cio 2. (2.0 pts) Esboce gra´ficos de func¸o˜es que satisfac¸am as seguintes
condic¸o˜es:
(a)
f ′(−1) = 0, f na˜o e´ diferencia´vel em 1,
f ′(x) < 0 se |x| < 1, f ′(x) > 0 se |x| > 1,
f(−1) = 4, f(1) = 0,
f ′′(x) < 0 se x 6= 1, f e´ cont´ınua em R.
(b)
f ′(2) = 0, f(2) = −1, f(0) = 0,
f ′(x) < 0 se 0 < x < 2, f ′(x) > 0 se x > 2,
f ′′(x) < 0 se 0 ≤ x < 1 ou se x > 4,
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 4, lim
x→∞
f(x) = 1,
f(−x) = f(x) para todo x.
Avaliac¸o˜es 204
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Encontre os valores extremos absolutos de cada uma das
seguintes func¸o˜es no intervalo dado:
(a) f(x) = 3x4 − 4x3 − 8 no intervalo [−1, 2].
(b) g(x) = x
x2+4
no intervalo [1, 3].
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada e classifique-os
em pontos de ma´ximo local, mı´nimo local ou nem ma´ximo nem mı´nimo local.
(a) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4.
(b) g(x) = x
x2+1
.
Exercı´cio 5. (2.0 pts) O custo me´dio para fabricar x unidades de um certo produto
e´ dado pela func¸a˜o
M(x) = 10x+
4.000
x
+ 300.
Quantas unidades devem ser fabricadas para minimizar o custo me´dio?
Qual e´ o valor deste custo? (Atenc¸a˜o: voceˆ deve justificar a existeˆncia desse valor
mı´nimo!)
Exercı´cio 6. (2.0 pts) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = ln(x2 + 4) identificando
nele, caso existam, os ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de inflexa˜o.
“De que vale o seu cabelo liso
e as ide´ias enroladas dentro da sua cabec¸a?”
Ana Carolina (Implicante)
Avaliac¸o˜es 205
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Matema´tica 1 e Matema´tica para Administrac¸a˜o
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ATENC¸A˜O: Seja objetivo e na˜o esquec¸a de justificar todas as suas afirmac¸o˜es!
Exercı´cio 1. (2.0 pts) Quando o prec¸o da pizza me´dia era R$12, 00, um restaurante
vendia 300 pizzas por semana. Quando o prec¸o foi reduzido para R$8, 00, o nu´mero
de pizzas vendidas aumentou para 500 por semana.
a. Determine a func¸a˜o demanda, supondo-a linear.
b. Se a func¸a˜o oferta e´ x = 100p − 600, determine a quantidade e o prec¸o de
equil´ıbrio.
Exercı´cio 2. (2.0 pts) a. O que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em
um ponto a? (Seja claro e objetivo!)
b. Seja
f(x) =

√−x, se x < 0;
3− x, se 0 ≤ x < 3;
(x− 3)2, se x > 3.
Calcule cada limite, se existir.
(i) lim
x→0+
f(x) (ii) lim
x→0−
f(x)
(iii) lim
x→0
f(x) (iv) lim
x→3−
f(x)
(v) lim
x→3+
f(x) (vi) lim
x→3
f(x)
c. Onde f e´ descont´ınua? Por queˆ?
Avaliac¸o˜es 206
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Encontre os valores extremos absolutos de cada uma das
seguintes func¸o˜es no intervalo dado:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo [−1
2
, 4].
(b) g(x) = x−√x no intervalo [0, 4].
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) = (x − 1)4/5 e
verifique se e´ um ponto de ma´ximo local, ponto de mı´nimo local ou nem ma´ximo
nem mı´nimo local.
Exercı´cio 5. (2.0 pts) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x
2
x2−1 identificando nele,
caso existam, os ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de inflexa˜o.
“E´ sempre mais fa´cil achar que a culpa e´ do outro”
Raul Seixas (Por Quem os Sinos Dobram)
Avaliac¸o˜es 207
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Matema´tica 1
Prof.: Wallisom Rosa
Seja claro, objetivo e na˜o esquec¸a de justificar suas afirmac¸o˜es!
1. (2.0 pts) Jim Morrison trabalha no setor de montagem de uma fa´brica de com-
ponentes eletroˆnicos. Como o trabalho causa fadiga visual e perda de concentrac¸a˜o,
cada turno tem apenas 6 horas de durac¸a˜o. A produtividade do opera´rio pode ser
modelada pela equac¸a˜o
P (t) = −0, 5t3 + t2 + 12t, 0 ≤ t ≤ 6,
onde t e´ o tempo em horas e P (t) e´ o nu´mero de unidades montadas por hora.
Desenhe o gra´fico de P (t) para ter uma ide´ia de como varia a produtividade de Jim.
Em que hora do turno o opera´rio e´ mais produtivo?
2. (2.0 pts) a) O que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto a?
b) Que relac¸a˜o subsiste entre diferenciabilidade e continuidade de uma func¸a˜o?
3. (2.0 pts) Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente a`s curvas a seguir no ponto
dado.
a) y = x
x2−2 , P = (2, 1)
(b)
√
x+
√
y = 3, P = (4, 1)
4. (2.0 pts) a) O que diz o Teorema do Valor Extremo?
b) Explique o funcionamento do Me´todo do Intervalo Fechado.
Avaliac¸o˜es 208
c) Encontre os valores extremos da func¸a˜o f(x) =
√
x2 + 4x+ 8 no intervalo [−3, 0].
5. (2.0 pts) Esboce o gra´fico das func¸o˜es:
a. f(x) = ex − e−x.
b. f(x) = x
2√
x+1
.
“Fac¸a as coisas o mais fa´cil que puder, pore´m na˜o as mais fa´ceis”
Isaac Newton
Avaliac¸o˜es 209
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Matema´tica 1 e Matema´tica para Administrac¸a˜o
Prof.: Wallisom Rosa
ATENC¸A˜O: Seja objetivo e na˜o esquec¸a de justificar todas as suas afirmac¸o˜es!
Exercı´cio 1. (2.0 pts) Determine o ma´ximo global e o mı´nimo global da func¸a˜o
f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 2 no intervalo [0, 2].
Exercı´cio 2. (4.0 pts) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x
2
x2+4
.
Exercı´cio 3. (2.0 pts) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x) = x5 − 5x4 + 5x3 − 1
e classifique-os em pontos de ma´ximo local, mı´nimo local ou nem ma´ximo nem
mı´nimo local.
Exercı´cio 4. (2.0 pts) Um caixote de base quadrada, com tampa, deve ter um
volume de 20 metros cu´bicos. O material da base custa R$3, 00 o metro quadrado,
o material da tampa custa R$2, 00 o metro quadrado e o material dos lados custa
R$1, 00 o metro quadrado. Qual e´ o custo mı´nimo do caixote?
“All you need is love
Love is all we need”
Lennon & McCartney
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] LEITHOLD, L.,Matema´tica Aplicada a` Economia e Administrac¸a˜o, HARBRA,
1988.
[2] STEWART, J., Ca´lculo, vol.1, 4a edic¸a˜o, Pioneira Thomson Learning,2002.
[3] HIMONAS, A., HOWARD, A., Ca´lculo: Conceitos e Aplicac¸o˜es, LTC, 2005.
[4] GUIDORIZZI, H.L., Matema´tica para Administrac¸a˜o, LTC, 2002.
[5] GUIDORIZZI, H.L., Um Curso de Ca´lculo, vol.1, 3a edic¸a˜o, LTC, 1997.