MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO

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Matema´tica 1
e
Matema´tica para Administrac¸a˜o
Prof. Wallisom Rosa
2o Semestre 2005
.
Suma´rio
Prefa´cio 6
1 Revisa˜o 10
1.1 Nu´meros Inteiros, Racionais e Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 O Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Distaˆncia no Plano e Equac¸a˜o de uma Circunfereˆncia . . . . . . . . . 18
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 23
2.1 Conceito e Notac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Func¸o˜es Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Func¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Func¸o˜es Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Func¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.5 Func¸o˜es Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
Suma´rio 3
2.2.6 Func¸o˜es Inversas e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 A A´lgebra das Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Combinac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Equac¸o˜es de Oferta e de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Limite e Continuidade 61
3.1 O Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Limites no Infinito; Ass´ıntotas Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.1 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 Ass´ıntotas. Custo Total Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 A Derivada 102
4.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Taxas de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 A Derivada de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Regras de Diferenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Novas Derivadas a partir das Antigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 Regra do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Suma´rio 4
4.6 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.7 Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8 Derivadas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.9 Aproximac¸o˜es Lineares* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9.1 Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 Aplicac¸o˜es da Derivada 136
5.1 Valores Ma´ximo e Mı´nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2 Aplicac¸o˜es da Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Aplicac¸o˜es da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Esboc¸o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6 Aplicac¸o˜es em Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7 Exerc´ıcios (Cap. 4 e 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Avaliac¸o˜es 179
Bibliografia 210
.
Prefa´cio
Essa apostila se destina aos alunos dos cursos de Administrac¸a˜o, Cieˆncias Conta´beis
e Economia que cursam Matema´tica para Administrac¸a˜o ou Matema´tica 1 na Uni-
versidade Federal de Pernambuco. Seu conteu´do visa atender a ementa desses cursos
e sa˜o, na verdade, as minhas notas de aula das vezes que ministrei esse curso nos
semestres anteriores. Quero deixar meus agradecimentos aos meus ex-alunos desses
cursos que contribuiram dando sugesto˜es e cr´ıticas para a melhoria desse texto.
Sera˜o abordados aqui noc¸o˜es introduto´rias dos conceitos do Ca´lculo Di-
ferencial e suas aplicac¸o˜es a`s Cieˆncias Econoˆmicas e Sociais. Fiz o poss´ıvel para
na˜o deixar o texto muito voltado para a abordagem matema´tica ja´ que se destina a
alunos de outras a´reas. Deixei alguns teoremas sem demonstrac¸a˜o pois e´ necessa´rio
uma teoria mais avanc¸ada para demonstra´-los. Tive o cuidado de escolher exemplos
bastante aplica´veis. E´ importante entendeˆ-los bem ja´ que fornecem as ide´ias para a
resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios. E, por falar nisso, na˜o se preocupe se na˜o conseguir fazer
um exerc´ıcio de imediato, as vezes e´ mais conveniente voltar a pensar nele em um
outro momento, com mais maturidade. E´ importante ressaltar que os exerc´ıcios
esta˜o dispostos aleatoriamente e na˜o seguem nenhum padra˜o quanto ao grau de
dificuldade. Tente fazer o maior nu´mero poss´ıvel deles! As respostas na˜o foram
incluidas por va´rios motivos, um deles e´ para obriga´-lo a discutir com seus colegas
as resoluc¸o˜es. Matema´tica tambe´m tem seu lado social!
Tambe´m na˜o se preocupe se precisar ler por mais de uma vez algum
trecho do texto para entendeˆ-lo. Isso e´ absolutamente normal quando se estuda
qualquer teoria matema´tica. E´ preciso muita atenc¸a˜o e concentrac¸a˜o para na˜o se
perder diante de tantas informac¸o˜es. Tenha pacieˆncia e na˜o desista na primeira
tentativa!
6
Prefa´cio 7
O primeiro cap´ıtulo se destina a uma revisa˜o dos conceitos ba´sicos de
nu´meros reais e potenciac¸a˜o e, como e´ uma revisa˜o, deixo a cargo do leitor a decisa˜o
de leˆ-lo.
Espero que degustem esse conteu´do com o prazer que ele merece.
Quaisquer erros de portugueˆs, matema´ticos ou de digitac¸a˜o que encon-
trarem no texto pec¸o encarecidamente que me avisem para que possa corrigi-los o
mais ra´pido poss´ıvel. Desde ja´ agradec¸o!
Ituiutaba, 7 de marc¸o de 2007.
Wallisom Rosa
Graduac¸a˜o em Matema´tica - Universidade Federal de Vic¸osa (2003)
Mestrado em Matema´tica - Universidade Federal de Pernambuco
(2005)
Professor Assistente da UFU, Campus do Pontal (desde 2006)
E-mail: wallisom@pontal.ufu.br
Telefone: (34)3269-2389 ou (34)3268-9827
Os Nu´meros
Meus amigos essa noite eu tive uma alucinac¸a˜o
Sonhei com um bando de nu´mero invadindo o meu serta˜o
Vi tanta coincideˆncia que eu fiz essa canc¸a˜o
Falar do nu´mero 1:
Falar do nu´mero um na˜o e´ preciso muito estudo
So´ se casa uma vez e foi um Deus que criou tudo
Uma vida so´ se vive, so´ se usa um sobretudo.
Agora o 12:
E´ so´ de pensar no doze que enta˜o quase desisto
Sa˜o doze meses do ano, doze apo´stolos de Cristo
Doze horas e´ meio-dia, haja dito haja visto.
Agora o 7:
Sete dias da semana, sete notas musicais,
Sete cores do arco-´ıris, das regio˜es divinais
E se pintar tanto sete, eu ja´ na˜o agu¨ento mais.
Dois:
E no dois o homem luta entre coisas diferentes,
Bem e mal, amor e guerra, preto e branco, bicho e gente
Rico e pobre, claro e escuro, noite e dia, corpo e mente.
Agora o 4:
E o quatro e´ importante,quatro pontos cardeais
Quatro estac¸o˜es do ano, quatro pe´s tem o animal
Quatro pernas tem a mesa, quatro dias o Carnaval.
Pra encerrar
Eu falei de tantos nu´meros, talvez esqueci algum
Mas as coisas que eu disse na˜o sa˜o la´ muito comuns
Quem souber que conte outra ou que fique sem nenhum
Quem souber da histo´ria que me conte outra.....
Raul Seixas e Paulo Coelho
Cap´ıtulo 1
Revisa˜o
Faremos aqui uma breve revisa˜o de certos conceitos sobre nu´meros. Certamente, o
que esta´ feito neste cap´ıtulo na˜o deve ser nenhuma novidade para o leitor, mas e´
muito importante para nivelar nossos conhecimentos sobre os nu´meros reais e suas
propriedades. Esse conteu´do pode ser enconrtrado em qualquer uma das refereˆncias
citadas.
1.1 Nu´meros Inteiros, Racionais e Reais
Os nu´meros mais usuais no dia a dia sa˜o os nu´meros 1, 2, 3, ..., chamados inteiros
positivos (ou, simplesmente naturais). Geralmente os utilizamos para enumerar ou
contar. Usaremos a seguinte notac¸a˜o para esse conjunto
Notac¸~ao: N = {1, 2, 3, ...}
Os nu´meros −1,−2,−3,−4, ... sa˜o chamados inteiros negativos. Quando
nos referirmos aos inteiros positivos juntamente com os inteiros negativos e o 0, no´s os
chamaremos simplesmente inteiros. Portanto, os inteiros sa˜o 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ....
Notac¸~ao Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
A soma e o produto de dois nu´meros inteiros sa˜o ainda inteiros. Ademais, dados
a, b e c inteiros quaisquer, esta soma obedece a`s seguintes propriedades:
S1. Comutativa. a+ b = b+ a;
10
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 11
S2. Associativa. (a+ b) + c = a+ (b+ c);
S3. Elemento Neutro. a+ 0 = a para todo a ∈ Z e, ale´m disso, 0 e´ o
u´nico inteiro com esta propriedade;
S4. Inverso Aditivo. Para cada a ∈ Z existe um u´nico −a ∈ Z tal que
a+ (−a) = 0.
Note que a propriedade comutativa tambe´m garante que 0+ a = a e que
(−a) + a = 0. O conjunto Z munido com esta soma e´ um exemplo de um grupo
abeliano1 (ou comutativo).
Ale´m dos inteiros temos as frac¸o˜es, como 3
4
, 5
7
,−1
9
,−10
29
, ..., que podem
ser positivas ou negativas, e que podem ser escritas como quocientes m/n, onde
m,n sa˜o inteiros e n 6= 0. Muito utilizadas em processos de divisa˜o. Tais frac¸o˜es
sa˜o chamadas nu´meros racionais. Todo inteiro m e´ um nu´mero racional, porque
pode ser escrito na forma m/1, mas e´ claro que nem todo nu´mero racional e´ um
inteiro (Contra-exemplo: 1
2
na˜o e´ um nu´mero inteiro!). Para os racionais, usaremos
a seguinte notac¸a˜o:
Notac¸~ao: Q = {p
q
/ p, q ∈ Z e q 6= 0}.
Observe que a soma e o produto de dois nu´meros racionais sa˜o ainda
nu´meros racionais. Se a/b e m/n sa˜o dois nu´meros racionais quaisquer (a, b,m, n
inteiros e b, n 6= 0), a soma e o produto destes sa˜o da seguinte forma:
a
b
.
m
n
=
a.m
b.n
(1.1)
a
b
+
m
n
=
a.n+ b.m
b.n
. (1.2)
Se p, q e w sa˜o racionais quaisquer, enta˜o este produto definido em (1.2)
satisfaz as seguintes propriedades:
P1. Comutativa. p.q = q.p ;
P2. Associativa. (a.b).c = a.(b.c);
P3. Elemento Neutro.2 p.1 = p para todo p ∈ Q. E 1 e´ o u´nico
racional com tal propriedade.
1Em homenagem ao matema´tico noruegueˆs Niels Abel.
2Tambe´m chamado unidade.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 12
Se pensarmos em + e · como operac¸o˜es, as propriedades acima e as treˆs
primeiras propriedades da soma sa˜o ana´logas. Poder´ıamos enta˜o nos perguntar:
“Para cada racional p existe um inverso multiplicativo q tal que p.q = 1?”
A resposta e´ na˜o. O contra-exemplo e´ o´bvio: Na˜o existe nenhum racional
tal que seu produto por 0 seja igual a 1. Entretanto, se olharmos para o conjunto
Q−{0} = {q ∈ Q / q 6= 0} a resposta agora e´ sim. Todo nu´mero racional na˜o nulo
possui um inverso multiplicativo e ale´m disso, se a/b e´ um racional na˜o nulo enta˜o
b/a e´ seu inverso multiplicativo, ou seja,
a
b
.
b
a
= 1.
Finalmente, temos os nu´meros que podem ser representados por deci-
mais infinitas, como 3
9
= 0, 3333...,−978
990
= −0, 9878787...,√2 = 1, 41421356..., pi =
3, 141592.... Quando a representac¸a˜o decimal infinita de um nu´mero apresenta uma
parte perio´dica este nu´mero e´ racional; caso contra´rio ele e´ chamado irracional. En-
tretanto, este na˜o e´ um bom teste para verificar se um determinado nu´mero e´ ou na˜o
racional pois esta parte perio´dica pode na˜o ser facilmente identificada. Os nu´meros
racionais e irracionais sa˜o chamados nu´meros reais, ou simplesmente nu´meros (ou
ainda, reais).
Notac¸~ao: R = Q ∪ Irracionais.
Observac¸a˜o 1.1.1 Note que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (“ ⊂ ” significa “esta´ contido em”!).
Observac¸a˜o 1.1.2 Mais ainda, R = Q ∪ Irracionais e Q ∩ Irracionais = ∅. Isto
e´, todo nu´mero real ou e´ racional ou e´ irracional, sa˜o caracter´ısticas mutuamente
exclusivas (“ ∪ ” significa “unia˜o com”enquanto “ ∩ ” significa “intersec¸a˜o com”!).
Observac¸a˜o 1.1.3 Na˜o existe uma lei de fomac¸a˜o que sirva para identificar todos
os nu´meros irracionais, ao contra´rio do que acontece com os racionais.
Observac¸a˜o 1.1.4 Ha´ muito mais irracionais que racionais entre os nu´meros reais
(Apenas uma curiosidade!). Grosseiramente, se consegu´ıssemos colocar todos os
nu´meros reais em uma caixa e escolheˆssemos aleatoriamente um deles, a probabili-
dade desse nu´mero ser um racional e´ zero!
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 13
A soma e o produto de dois nu´meros reais ainda e´ um nu´mero real. A
soma satisfaz as propriedades S1, S2, S3 e S4 e o produto satisfaz as propriedades
P1, P2 e P3. Ademais, todo nu´mero real na˜o nulo possui um inverso multiplicativo
e se x ∈ R e x 6= 0 enta˜o representaremos seu inverso multiplicativo por x−1 e
x−1 =
1
x
.
Enfatizamos que a expressa˜o
1/0 ou 0−1
na˜o e´ definida.
Em outras palavras, na˜o podemos dividir por 0, e na˜o atribuimos nenhum
significado aos s´ımbolos 1/0 ou 0−1.
Entretanto, se x e´ um nu´mero enta˜o o produto x.0 e´ definido e e´ igual a
0. O produto de qualquer nu´mero por 0 e´ 0. Ale´m disso, se x e´ qualquer nu´mero
diferente de 0, enta˜o 0/x e´ definido e igual a 0, e pode ser escrito como 0.( 1
x
).
Observac¸a˜o 1.1.5 Note que um nu´mero racional q = m
n
, m, n ∈ Z e n 6= 0, e´
zero se, e somente se, m = 0.
R munido com a soma e o produto e´ um exemplo do que na A´lgebra se
chama corpo.
Existe em R uma ordem natural segundo a qual dados dois nu´meros
quaisquer x e y em R tem-se:
ou x > y, ou x = y ou y > x.
Chamamos esta propriedade dos reais de Tricotomia. Assim R e´ o que chamamos
um corpo ordenado.
Munidos com esta ordem podemos representar o conjunto R geometrica-
mente da seguinte maneira:
1. Trac¸amos uma reta e marcamos nela uma origem que sera´ ocupada pelo nu´mero
0.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 14
2. Os pontos da reta que estiverem a` direta de 0 sera˜o os nu´meros positivos e os
que estiverem a` esquerda de 0, os negativos.
3. Resta apenas definir uma unidade de medida para que possamos identificar
qualquer nu´mero real como um ponto da reta, o ponto da reta que dista x de 0, se
x e´ positivo e −x de 0 se x for negativo.
0
0
0 1
PositivosNegativos
1.
2.
3.
Por exemplo o nu´mero −3 e´ negativo e se situa a` esquerda de 0 a uma
distaˆncia de 3 unidades. Sua representac¸a˜o na reta e´ dada por
0 1-3
3
Esta ide´ia motiva a definic¸a˜o do valor absoluto de um nu´mero.
Definic¸a˜o 1.1.1 O Valor Absoluto de um nu´mero, representado por |x|, e´ a distaˆncia
deste nu´mero a` origem 0, e e´ dado por
|x| =
{
x, se x ≥ 0;
−x, se x < 0.
Note que a distaˆncia entre dois nu´meros reais x e y e´ igual a |x− y|. Por
exemplo, a distaˆncia entre 3 e −5 e´ |3− (−5)| = |8| = 8. (Veja a figura 1.1)
Frequentemente, iremos nos valer desta bijec¸a˜o entre os nu´meros reais e
os pontos de uma reta para confundirestas definic¸o˜es. Diremos reta real ou R para
nos referirmos a` mesma coisa.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 15
0 1-5
8unidades
3
Figura 1.1:
Com a relac¸a˜o de ordem citada anteriormente, obtemos alguns subcon-
juntos de R que sera˜o importantes para o nosso estudo futuro: os intervalos. Por
exemplo o conjunto dos nu´meros reais que sa˜o maiores que a e menores que b e´
chamado um intervalo aberto. Denotaremos este conjunto por (a, b). Isto e´,
(a, b) = {x ∈ R / a < x < b}.
Temos tambe´m os intervalos fechados, denotados por [a, b] e tais que
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
e os intervalos que na˜o sa˜o nem abertos nem fechados – os semi-abertos ou semi-
fechados – denotados por
[a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}
e
(a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}.
Ale´m destes intervalos temos tambe´m os intervalos que sa˜o ilimitados.
Utilizaremos os s´ımbolos∞ e −∞ para indicar que determinado intervalo se estende
indefinidamente para a direita ou para a esquerda. Por exemplo,
(a,∞) = {x ∈ R / x > a}
e
(−∞, b] = {x ∈ R / x ≤ b}.
Observe que o intervalo sera´ sempre aberto nesses s´ımbolos.
A maioria dos resultados que veremos nesta apostila fara˜o uso destes
intervalos da reta, bem como a unia˜o e ou intersec¸a˜o deles.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 16
1.2 Poteˆncias
Seja n um inteiro maior ou igual que 1 (≥ 1) e seja a um nu´mero qualquer. Enta˜o,
an e´ o produto de a por si mesmo n vezes. Por exemplo, se a = 2 e n = 3 enta˜o,
a3 = 2.2.2 = 8.
Uma propriedade elementar da potenciac¸a˜o e´
xm+n = xm.xn (1.3)
onde x e´ um nu´mero qualquer e m,n sa˜o inteiros positivos (m,n ∈ Z e m, n > 0.)
Sejam n ∈ Z, n ≥ 1 e a ∈ R, a > 0. Definimos a 1n como sendo o u´nico
nu´mero positivo b tal que bn = a. (Admitimos, como parte das propriedades dos
nu´meros, que tal nu´mero b, u´nico, exista).
Pergunta: Se n e´ um inteiro ı´mpar, como 1, 3, 5, 7, ..., podemos definir b
1
n para
todo nu´mero b?
Se a, b sa˜o dois nu´meros maiores ou iguais a 0 e n um inteiro maior ou
igual a 1 enta˜o
(ab)
1
n = a
1
n b
1
n . (1.4)
Existe outra regra elementar u´til. Sejam m,n inteiros maiores ou iguais
a 1 e a um nu´mero maior ou igual a 0. Definimos3 a
m
n como sendo (a
1
n )m, que e´
tambe´m igual a (am)
1
n (Verifique! ).
Vejamos agora poteˆncias com expoentes negativos ou 0. Queremos definir
xa quando a e´ um nu´mero racional negativo ou 0 e x > 0. Queremos que seja va´lida
a regra fundamental
xa+b = xaxb.
Isto significa que precisamos definir x0 como sendo 1. Por exemplo, como
23 = 23+0 = 2320,
vemos que esta equac¸a˜o so´ e´ verificada se 20 = 1. Analogamente se, para x > 0, a
relac¸a˜o
xa = xa+0 = xax0
3Com isso definimos poteˆncia de um nu´mero com expoente racional positivo.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 17
e´ verdadeira, enta˜o x0 precisa ser igual a 1.
Suponhamos, finalmente que a seja um nu´mero racional positivo, e seja
x um nu´mero maior que 0. Definimos x−a como sendo
1
xa
.
Assim,
2−3 =
1
23
=
1
8
, e 4−
2
3 =
1
4
2
3
.
Observamos que neste caso especial,
(4−
2
3 )(4
2
3 ) = 40 = 1.
Em geral,
xax−a = 1. (1.5)
Com isso, terminamos nossa revisa˜o sobre nu´meros e regras ba´sicas de
suas operac¸o˜es.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 18
1.3 O Plano Cartesiano
Um produto cartesiano entre dois subconjuntos A e B da reta real R e´ denotado
por A×B e definido da seguinte maneira:
A×B = {(a, b) / a ∈ A e b ∈ B}.
O Plano Cartesiano4 e´ o produto cartesiano de R por R. A`s vezes uti-
lizaremos R2 ao inve´s de R× R e chamaremos simplesmente plano real. O nu´mero
a e´ chamado de abscissa de (a, b) e b a ordenada. A representac¸a˜o gra´fica e´ a que
esta´ na figura 1.2.
0 x
y
a
b
P=(a,b)
o
rd
en
a
d
a
abscissa
d
Figura 1.2: Plano Cartesiano. Pelo “Teorema de Pita´goras”, d =
√
a2 + b2.
1.4 Distaˆncia no Plano e Equac¸a˜o de uma Circun-
fereˆncia
Observe a figura 1.2.
4Em homenagem ao seu criador, o matema´tico franceˆs Rene´ Descartes (1596-1650).
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 19
Pelo “Teorema de Pita´goras”, a dista˜ncia d entre o ponto P e a origem
e´ dada por
d2 = a2 + b2,
o que inplica5
d =
√
a2 + b2.
Dados A = (a, b) e B = (c, d) a distaˆncia d entre A e B e´ dada por:
d =
√
(a− c)2 + (b− d)2.
x
y
a
b
c
d
B=(c,d)
A=(a,b)
d
Figura 1.3: d¯ e´ a distaˆncia entre os pontos A = (a, b) e B = (c, d) no plano.
Uma circunfereˆncia e´ o conjunto de todos os pontos do plano que esta˜o
situados a uma distaˆncia r de um ponto fixo P . P e r sa˜o chamados o centro e o
raio, respectivamente, da circunfereˆncia.
Dados P = (x0, y0) e r um nu´mero positivo dado, se (x, y) pertence a
circunfereˆncia de raio r e centro em P enta˜o
r =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2,
5Note que distaˆncia e´ sempre positiva (ou zero!).
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 20
ou seja,
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2. (1.6)
A equac¸a˜o (1.6) e´ chamada equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro em P e
raio r.
0 x0
y0
P
r
x
y
Figura 1.4: Circunfereˆncia de centro em P = (x0, y0) e raio r.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 21
1.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Estenda as fo´rmulas (1.1) e (1.2) para todos os reais. Simplifique as expresso˜es
abaixo, sabendo que a, b 6= 0:
a.
(
1
a
+ 1
b
)
.
(
a
2b
− 2
)
b.
1
a
1
b
+ 3
5a
.
Exerc´ıcio 2
Novamente usando as fo´rmulas (1.1) e (1.2) e lembrando que duas frac¸o˜es a
c
e b
c
com o mesmo denominador c 6= 0 sa˜o iguais se a = b, encontre A e B para que as
seguintes igualdades ocorram
a. 1
x2−1 =
A
x−1 +
B
x+1
, onde x e´ um nu´mero real diferente de 1 e −1.
b. 1
6
= A
2
+ B
3
. Sa˜o u´nicos os valores de A e B? Se A = 1 quanto deve ser B?
Exerc´ıcio 3
Determine que valores um nu´mero real x pode assumir para que seja poss´ıvel efetuar
os seguintes ca´lculos6:
a. 1
x2−1 (isto e´, dividir 1 por x
2 − 1.)
b. 21
(x−1)(x+2)(x+ 2
3
)
.
Exerc´ıcio 4
Use as fo´rmulas acima para simplificar as expresso˜es abaixo.
a. [(x− 2)−2 + (x− 1)−1].(x− 1) 23 , onde x e´ um nu´mero diferente de 1 e 2.
b. Seja h > 0. Calcule (h+ 1)−1 − h−1.
6Lembre que o produto de dois nu´meros e´ zero se, e somente se, um deles e´ zero.
Cap´ıtulo 1 - Revisa˜o 22
c. (x−1)
3(x−1)−2
(x−2)−2 , onde x 6= 2.
d.
(
(x−1)2(x−2)5
(x−2)3
) 1
2
, onde x 6= 2.
Exerc´ıcio 5
Encontre os valores de x para os quais e´ poss´ıvel determinar os quocientes abaixo.
a. 1
x2+x+1
b. x−1
x2−2x+1
c. 1
(x−1)2(x−2)13(x−5)−1 .
Exerc´ıcio 6
Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro em (7, 5) e raio 3.
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es
Um dos conceitos fundamentais em Matema´tica e´ o de func¸a˜o. Nesse cap´ıtulo estu-
daremos as func¸o˜es de uma varia´vel e suas aplicac¸o˜es a`s cieˆncias econoˆmicas como,
por exemplo, a ana´lise de equil´ıbrio e as func¸o˜es oferta/demanda.
2.1 Conceito e Notac¸a˜o
Seja D ⊂ R um subconjunto na˜o-vazio dos nu´meros reais.
Uma func¸a˜o f de D em R e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
elemento x de D um u´nico nu´mero, que denotaremos por f(x), em R. Em resumo:
f : D → R
x 7→ f(x).
Podemos pensar em uma func¸a˜o como uma ma´quina que recebe como
mate´ria-prima os elementos x de D, os processa e devolve na sa´ıda nu´meros reais
do tipo f(x). E´ o que esta´ ilustrado a seguir:
x f(x)Função
Entrada Saída
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 24
O nu´mero x e´ tambe´m chamado varia´vel independente (ou simplesmente
varia´vel). O conjunto D, formado por todas as entradas poss´ıveis, e´ chamado
domı´nio de f .
D = {x ∈ R / ∃f(x) ∈ R}.
f(x) e´ chamado imagem de x por f . O conjunto formado pelos nu´meros
f(x) com x ∈ D, dado por
{f(x) / x ∈ D}
e´ chamadode conjunto imagem de f . A notac¸a˜o para o conjunto imagem e´ Im(f).
Assim,
Im(f) = {f(x) / x ∈ D}.
As seguintes notac¸o˜es para uma func¸a˜o f podem ser encontradas na
literatura: f , f(x), y = f(x). Usaremos sempre uma letra, maiu´scula ou minu´scula,
para representar as func¸o˜es. As varia´veis sera˜o representadas por letras minu´sculas.
Existem diferentes maneiras de representar uma func¸a˜o:
1. Descric¸~ao Verbal.
Por exemplo, podemos pensar em uma func¸a˜o que fornec¸a a soma de um
nu´mero, diferente de zero, com seu inverso multiplicativo.
2. Express~ao ou Fo´rmula.
f(x) = x2, S(x) = x+
1
x
.
3. Tabela de Valores.
x 10 15 20 25 ...
f(x) 450 600 750 900 ...
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 25
4. Gra´fico.
f
x
y
a
f(a)
5. Diagrama de setas.
0
1
p
f
f(0)=3
f(1)=0
f( )=-1p
Exemplo 2.1.1 Seja f(x) = x2. Calcule f(1), f(−2), f(a+h), f(a+h)− f(a)
e f(a+h)−f(a)
h
.
Soluc¸a˜o:
f(1) = 12 = 1,
f(−2) = (−2)2 = 4,
f(a+ h) = (a+ h)2 = a2 + 2ah+ h2,
f(a+ h)− f(a) = a2 + 2ah+ h2 − a2 = 2ah+ h2,
f(a+ h)− f(a)
h
=
2ah+ h2
h
= 2a+ h. ¤
Exemplo 2.1.2 Seja f(t) = t − 1
t
. Encontre o domı´nio de f e os valores f(−1) e
f(z − 1).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 26
Soluc¸a˜o: D = {t ∈ R / t 6= 0} = R− {0}.
f(−1) = 0,
f(z − 1) = z − 1− 1
z−1 = z − 2, desde que z 6= 1. ¤
Exemplo 2.1.3 A Func¸a˜o Valor Absoluto. Vimos anteriormente a definic¸a˜o de
valor absoluto1 de um nu´mero. O valor absoluto de um nu´mero pode ser visto como
uma func¸a˜o que associa a cada nu´mero real x sua distaˆncia a` origem. Esta func¸a˜o
e´ sempre positiva e como a forma de calcular a imagem de cada real depende de seu
sinal, esta func¸a˜o e´ o primeiro exemplo de uma func¸a˜o enunciada por sentenc¸as.
Exemplo 2.1.4 Suponha que um comerciante de cadeiras tenha um custo de R$30, 00
por cadeira produzida, ale´m de um custo mensal fixo de R$150, 00. Enta˜o, se x
unidades de cadeiras forem produzidas, podemos escrever o custo total como func¸a˜o
do nu´mero de cadeiras produzidas da seguinte maneira:
C(x) = 30x+ 150.
A tabela que ilustramos anteriormente fornece alguns valores desta func¸a˜o.
Exemplo 2.1.5 Um comerciante deseja fazer caixas de papela˜o sem tampa uti-
lizando pedac¸os quadrados de papela˜o com 30cm de lado, cortando quadrados iguais
dos quatro cantos e virando para cima os lados que sobraram. Se x cm e´ o compri-
mento do lado do quadrado a ser cortado, o volume V da caixa pode ser expresso
como uma func¸a˜o de x da seguinte maneira:
V (x) = (30− 2x)2.x = 900x− 120x2 + 4x3.
Mais adiante estaremos interessados em saber qual o valor de x que fornecera´ o
maior volume poss´ıvel a` caixa. Observe tambe´m que as limitac¸o˜es f´ısicas do problema
fazem com que o domı´nio de V seja dado pelo intervalo aberto (0, 15). (Veja a figura
2.1)
1Recorde a definic¸a˜o 1.1.1.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 27
30cm
30-2x
x
xcm
Figura 2.1:
O gra´fico de uma func¸a˜o f : D → R e´ o conjunto dos pares ordenados
(x, f(x)) com x ∈ D. O gra´fico de f e´ um subconjunto do plano cartesiano e o
denotaremos por Graf(f). Assim,
Graf(f) = {(x, f(x)) / x ∈ D}
e podemos representa´-lo no plano cartesiano da seguinte maneira.
f
x
y
a
f(a)
(a,f(a))
Uma curva no plano e´ o gra´fico de uma func¸a˜o se toda reta verical a
intercepta uma u´nica vez. Na figura 2.2 damos exemplos de curvas no plano que
representam e que na˜o representam gra´fico de uma func¸a˜o. Para a primeira curva,
toda reta vertical a intercepta uma u´nica vez, logo, ela representa o gra´fico de uma
func¸a˜o. Ja´ na segunda curva, existem retas verticais que a interceptam em treˆs
lugares. Portanto, esta na˜o representa o gra´fico de uma func¸a˜o.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 28
x
y
x
y
Figura 2.2:
2.1.1 Simetrias
Algumas func¸o˜es apresentam simetrias que facilitam o trac¸ado de seus gra´ficos.
Seja D um conjunto sime´trico em relac¸a˜o a 0, isto e´, se x pertence a D
enta˜o seu oposto aditivo −x tambe´m pertence a D.
Uma func¸a˜o f : D → R e´ par se f(−x) = f(x) para todo x ∈ D.
O gra´fico de uma func¸a˜o par apresenta uma simetria com relac¸a˜o ao eixo-y. Isso
significa que se fizermos o gra´fico de f para x ≥ 0, para obter o gra´fico inteiro basta
refletir o que temos em torno do eixo-y.
y
-x x0
Por exemplo, f(x) = x2 e´ uma func¸a˜o par pois
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x), ∀x ∈ D.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 29
Uma func¸a˜o f : D → R e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x), para todo x ∈ D.
Por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3 e´ ı´mpar pois
f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x), ∀x ∈ D.
O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem. Logo,
se tivermos o gra´fico de f para x ≥ 0, podemos obter o gra´fico inteiro girando o que
ja´ temos em 180o em torno da origem.
y
-x
x
0
Exemplo 2.1.6 Determine se a func¸a˜o e´ par, ı´mpar ou nenhum dos dois.
a. f(x) = x5 + x; b. g(x) = 2x− x4.
Soluc¸a˜o: a. A func¸a˜o f e´ ı´mpar pois
f(−x) = (−x)5 − x = −x5 − x = −(x5 + x) = −f(x),
para todo x ∈ R. ¤
b. Ja´ a func¸a˜o g na˜o e´ nem par nem ı´mpar pois
g(−x) = −2x− x4
que e´ diferente de g(x) e de −g(x). ¤
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 30
Como acabamos de ver, existem func¸o˜es que nem sa˜o pares nem ı´mpares.
Contudo, existe um fato curioso:
“Toda func¸a˜o definida em um conjunto D, sime´trico em relac¸a˜o a origem,
pode ser escrita como a soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.”
Com efeito, seja f uma func¸a˜o de D em R. Da´ı, se x ∈ D enta˜o
f(x) =
f(x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)− f(−x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
.
Afirmamos que g(x) = f(x)+f(−x)
2
e´ par e h(x) = f(x)−f(−x)
2
e´ ı´mpar. Se
provamos esta afirmac¸a˜o concluimos a demonstrac¸a˜o. De fato,
g(−x) = f(−x) + f(x)
2
=
f(x) + f(−x)
2
= g(x)
para todo x ∈ D e
h(−x) = f(−x)− f(x)
2
= −
[f(x)− f(−x)
2
]
= −h(x)
para todo x ∈ D. Logo, g e´ par e h e´ ı´mpar.
Esta demonstrac¸a˜o e´ de existeˆncia. Provamos que existem uma func¸a˜o
par g e uma func¸a˜o ı´mpar h tais que f(x) = g(x) + h(x), para todo x ∈ D. Ale´m
disso, demos uma fo´rmula para se encontrar as func¸o˜es g e h em termos de f .
2.1.2 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se
f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I.
f e´ decrescente em I se
f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 31
y
x0 x1 x2
f(x )2
f(x )1
y
x0 x1 x2
f(x )2
f(x )1
fcrescente fdecrescente
Nestas definic¸o˜es e´ importante salientar que, por exemplo, uma func¸a˜o
e´ crescente em um intervalo I se a desigualdade f(x1) < f(x2) se mante´m para
quaisquer x1 e x2 em I com x1 < x2.
Por exemplo, pelo gra´fico de f(x) = x2, podemos observar que esta e´
decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0,∞).
y
x0
crescentedecrescente
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 32
2.2 Func¸o˜es Importantes
Nesta sec¸a˜o veremos algumas das principais func¸o˜es do ca´lculo.
2.2.1 Func¸a˜o Linear
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o linear 2 de x quando o gra´fico de f e´ uma
reta. Assim, a forma mais geral poss´ıvel para uma func¸a˜o linear e´
f(x) = mx+ b
onde m, b ∈ R.
y
x0
y=mx+b
a
m=tanab
As constantesm e b recebem o nome de coeficiente angular(ou inclinac¸a˜o)
e coeficiente linear, respectivamente. Se m = 0, f(x) = b e´ uma func¸a˜o constante e
se m = 1 e b = 0, f(x) = x e´ a func¸a˜o identidade.
Uma caracter´ıstica peculiar das func¸o˜es lineares e´ que elas crescem ou
decrescem a uma taxa constante.
O exemplo 2.1.4 e´ um exemplo de uma func¸a˜o linear. Note que a cada 5unidades a mais produzidas o custo total da produc¸a˜o aumenta em R$150, 00. Isso
fornece uma taxa crescimento de R$30, 00 por unidade produzida. Esse resultado
na˜o e´ nenhuma novidade ja´ que o pro´prio exemplo ja´ fornece esta informac¸a˜o.
2Esta e´ a definic¸a˜o dada em [2]. Em [5], define-se func¸a˜o linear como as func¸o˜es do tipo
f(x) = ax, e as da forma g(x) = ax+ b, b 6= 0, sa˜o chamadas func¸o˜es afim.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 33
2.2.2 Polinoˆmios
Uma func¸a˜o P e´ chamada um polinoˆmio(ou func¸a˜o polinomial) se e´ da forma
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
onde n e´ um inteiro na˜o negativo. Os nu´meros a0, a1, a2, ..., an sa˜o constantes
chamadas coeficientes do polinoˆmio. O grau de P e´ o maior inteiro n tal que an 6= 0
e o grau de P (x) = 0 (chamado de polinoˆmio nulo) e´ zero.
O domı´nio de qualquer polinoˆmio e´ R.
Por exemplo, a func¸a˜o
P (x) = 7x5 +
√
3x3 + pix2 − x+ 1
3
e´ um polinoˆmio de grau 5. A func¸a˜o V do exemplo 2.1.5 e´ um polinoˆmio de grau 3.
Um polinoˆmio de grau 1 e´ da forma P (x) = mx + b e, portanto, e´ uma
func¸a˜o linear. Um polinoˆmio de grau 2 e´ da forma P (x) = ax2+ bx+ c e e´ chamado
de func¸a˜o quadra´tica. O gra´fico de P nesse caso e´ sempre uma para´bola.
Um polinoˆmio de grau 3 e´ chamado de func¸a˜o cu´bica e tem a forma
P (x) = ax3 + bx2 + cx+ d.
Na figura 2.3 ilustramos os gra´ficos de polinoˆmios de graus 2,3,4 e 5.
Os economistas frequentemente utilizam um polinoˆmio P (x) para repre-
sentar o custo na produc¸a˜o de x unidades de um certo produto.
2.2.3 Func¸o˜es Racionais
Uma func¸a˜o racional f e´ o quociente de dois polinoˆmios. Isto e´,
f(x) =
P (x)
Q(x)
onde P e Q sa˜o polinoˆmios. O domı´nio consiste de todos os valores de x tais que
Q(x) 6= 0. Um exemplo ja´ conhecido de func¸a˜o racional e´ a func¸a˜o f(x) = 1
x
que
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 34
grau2 grau3
grau4 grau5
Figura 2.3: Gra´ficos de polinoˆmios de graus 2,3,4 e 5.
associa a cada nu´mero real na˜o nulo seu inverso multiplicativo. Seu domı´nio e´
R− {0}. A func¸a˜o
f(x) =
x− 1
x2 − 2x+ 1
e´ uma func¸a˜o racional cujo domı´nio e´ {x ∈ R / x 6= 1}.
2.2.4 Func¸o˜es Alge´bricas
Uma func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o alge´brica se puder ser constru´ıda a partir de um nu´mero
finito de operac¸o˜es alge´bricas (tais como adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o, extrac¸a˜o de ra´ızes)
comec¸ando com polinoˆmios. Em particular, toda func¸a˜o racional e´ uma func¸a˜o
alge´brica. Alguns exemplos:
f(x) =
√
x3 + 1 e g(x) =
x4 − 16x2
x+
√
x
+ x
1
3 .
O gra´fico de uma func¸a˜o alge´brica, como veremos mais adiante, pode
assumir uma variedade de formas.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 35
2.2.5 Func¸o˜es Exponenciais
Uma func¸a˜o exponencial e´ uma func¸a˜o da forma
f(x) = ax
onde a e´ uma constante positiva. Por exemplo
f(x) = 2x, g(x) = pix e h(x) =
(1
2
)x
sa˜o exemplos de func¸o˜es exponenciais.
Os gra´ficos dos membros da famı´lia de func¸o˜es y = ax esta˜o na figura
abaixo para valores diferentes da base a. Note que todos estes gra´ficos passam pelo
ponto (0, 1), pois a0 = 1 para a 6= 0 (Veja a sec¸a˜o 1.2.).
0
a>1
a=1
0<a<1
Se 0 < a < 1, enta˜o ax aproxima-se de 0 a` medida que x cresce. Se a > 1,
enta˜o ax tende a 0 a` medida que x decresce por valores negativos.
Pela figura anterior, percebemos que existem treˆs tipos de func¸a˜o expo-
nencial y = ax. Se 0 < a < 1, a func¸a˜o exponencial e´ sempre decrescente; se a = 1,
ela e´ uma constante; e se a > 1, ela e´ crescente. Observe que o domı´nio de uma
func¸a˜o exponencial e´ R e em qualquer caso ax > 0, para todo x. Ou seja, o conjunto
imagem de uma func¸a˜o exponencial e´ o intervalo (0,∞). Ale´m disso, uma vez que
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 36
(1/a)x = 1/ax = a−x, o gra´fico de y = (1/a)x e´ a reflexa˜o do gra´fico de y = ax em
torno do eixo-y.
Dentre todas as bases poss´ıveis para uma func¸a˜o exponencial, ha´ uma
que e´ mais conveniente. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a func¸a˜o
y = ax corta o eixo-y. As figuras a seguir mostram as retas tangentes ao gra´fico de
y = 2x e y = 3x (retas tangentes sera˜o definidas precisamente nos cap´ıtulos 3 e 4;
por ora vamos pensar na reta tangente ao gra´fico exponencial em um ponto como a
reta que toca o gra´fico em um u´nico ponto.) Se medirmos as inclinac¸o˜es das retas
tangentes encontraremos m ≈ 0, 7 para y = 2x e m ≈ 1, 1 para y = 3x.0
1
y
x
a=3
a=2
m=1,1
m=0,7
Figura 2.4: y = ax, a = 2, 3 e suas respectivas retas tangentes em (0, 1).
O nu´mero e e´ a base para a qual resulta uma reta tangente a y = ax
no ponto (0, 1) com uma inclinac¸a˜o de exatamente 1. Ele foi descoberto pelo
matema´tico su´ıc¸o Leonhard Euler em 1727.
Analisando os gra´ficos acima na˜o nos surpreende que o nu´mero e esteja
entre 2 e 3 e o gra´fico de y = ex entre os gra´ficos de y = 2x e y = 3x. O nu´mero e e´
um nu´mero irracional e seu valor3 ate´ a quinta casa decimal e´ dado por
e ≈ 2, 71828.
3Na˜o entraremos em detalhes de como encontrar tal valor para e. Na˜o e´ o objetivo deste texto!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 37
0
1
y
x
Figura 2.5: Gra´fico de y = ex e sua reta tangente em (0, 1) cuja inclinac¸a˜o e´ 1.
2.2.6 Func¸o˜es Inversas e Logaritmos
Uma func¸a˜o f e´ chamada um a um (ou injetora) se nunca assume o mesmo valor
duas vezes, isto e´,
f(x1) 6= f(x2) sempre que x1 6= x2.
Por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3 e´ um a um pois se x1 6= x2 enta˜o
x31 6= x32 (dois nu´meros diferentes na˜o podem ter o mesmo cubo!).
Pore´m, a func¸a˜o f(x) = x2 na˜o e´ um a um pois, por exemplo, se x1 = −1
e x2 = 1 enta˜o x1 6= x2 e, no entanto, f(x1) = 1 = f(x2).
Se conhecemos o gra´fico de uma dada func¸a˜o f , para sabermos se ela e´
injetora basta verificar se toda reta horizontal intercepta seu gra´fico em apenas um
ponto. Ou seja, uma func¸a˜o e´ um a um se toda reta vertical intercepta seu gra´fico
uma u´nica vez (Veja a figura 2.6).
O conjunto imagem de uma func¸a˜o f : D → R, denotado por Im(f) e´
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 38
x
y
Figura 2.6: Gra´fico de uma func¸a˜o um a um.
dado por
Im(f) = {f(x) / x ∈ D}.
Claramente, Im(f) e´ um subconjunto de R. O conjunto R, por sua vez,
e´ chamado o contra-domı´nio de f . Sendo o mais geral poss´ıvel, se f e´ uma func¸a˜o
de um conjunto A em um conjunto B (f : A→ B), enta˜o A e´ o domı´nio de f , B e´
o contra-domı´nio e o conjunto imagem Im(f) e´ um subconjunto de B.
Diremos que uma func¸a˜o f : A → B e´ sobrejetora se Im(f) = B. Lem-
bramos que esta igualdade e´ entre dois subconjuntos de R, isto e´,
Im(f) = B se, e somente se, Im(f) ⊂ B e B ⊂ Im(f).
Como a inclusa˜o Im(f) ⊂ B e´ sempre satisfeita enta˜o, para verificar que
uma dada func¸a˜o e´ sobrejetora basta verificar se B ⊂ Im(f).
Observe que qualquer func¸a˜o f : D → Im(f) e´ sempre sobrejetora. Ou
seja, toda func¸a˜o e´ sobrejetora sobre o seu conjunto imagem.
Uma func¸a˜o f : A → B e´ invert´ıvel (ou bijetora) se e´ injetora e sobre-
jetora. Em particular, se B = Im(f) enta˜o f e´ invert´ıvel se e´ um a um. Tambe´m
diremos, se f e´ invert´ıvel, que f possui uma inversa, a qual chamaremos de f−1,
que esta´ definida em B e assume valores em A, ou seja, f−1 : B → A, e e´ definida
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 39
por
f−1(y) = x⇔ f(x) = y
para todo y ∈ B.
Esta definic¸a˜o estabelece: se f transforma x em y, enta˜o f−1 transforma
de volta y em x. Da´ı a necessidade de f ser um a um pois, caso contra´rio, f−1 na˜o
seria uma func¸a˜o. Note que:
Domı´nio de f = Im(f−1)
Domı´nio de f−1 = Im(f).
Por exemplo, a func¸a˜o inversa de f(x) = x3 e´ f−1(x) = x
1
3 pois se y = x3,
enta˜o
f−1(y) = f−1(x3)= (x3)
1
3 = x.
Observac¸a˜o 2.2.1 Na˜o confundir o −1 de f−1 com um expoente. Assim,
f−1(x) na˜o significa 1
f(x)
!
Poder´ıamos modelar, por exemplo, o nu´mero de a´rvores y, em uma flo-
resta, em func¸a˜o do tempo t, ou seja, y = f(t).
Raciocinando inversamente, poderiamos estar interessados em saber quanto
tempo demoraria para existir uma floresta com um determinado nu´mero de a´rvores.
Agora, o tempo t e´ uma func¸a˜o do nu´mero de a´rvores y na floresta, e e´ expresso por
t = f−1(y).
Como Achar a Inversa de uma Func¸a˜o Invert´ıvel f :
Passo 1. Escreva y = f(x);
Passo 2. Resolva essa equac¸a˜o para x em termos de y (se poss´ıvel);
Passo 3. Para expressar f−1 como uma func¸a˜o de x, troque x por y. A equac¸a˜o
resultante e´ y = f−1(x).
Vale tambe´m:
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 40
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Por exemplo, se quisermos encontrar uma func¸a˜o inversa para
f(x) =
1 + 3x
5− 2x,
de acordo com os passos acima temos, para todo x 6= 5/2:
y =
1 + 3x
5− 2x ⇔ 5y − 2xy = 1 + 3x
⇔ 2xy + 3x = 5y − 1
⇔ x(2y + 3) = 5y − 1
⇔ x = 5y − 1
2y + 3
.
Finalmente, f−1(x) = 5x−1
2x+3
.
Observe que o domı´nio de f e´ R − {5
2
}, que e´ exatamente o conjunto
imagem de f−1. Assim como R − {−3
2
} e´ o domı´nio de f−1 e a imagem de f . A
seguir temos o gra´fico de f e de f−1.
0
y
x
y=-3/2
x=5/2
0
y
x
y=5/2
x=-3/2
Figura 2.7: y = 1+3x
5−2x e y =
5x−1
2x+3
.
Deixo a cargo do leitor a verificac¸a˜o de que para f e f−1 dadas anterior-
mente temos:
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 41
O princ´ıpio de trocar x por y para encontrar a func¸a˜o inversa tambe´m
nos da´ um me´todo para se obter o gra´fico da inversa f−1 a partir de f . Uma vez
que f(a) = b se, e somente se, f−1(b) = a, o ponto (a, b) pertence ao gra´fico de f se,
e somente se, o ponto (b, a) pertence ao gra´fico de f−1. Mas obtemos o ponto (b, a)
refletindo (a, b) em torno da reta y = x (Veja a figura abaixo).
y
x
y=x
(a,b)
(b,a)
ab
b
a
0
Figura 2.8: f(a) = b se, e somente se, f−1(b) = a.
Logo, o gra´fico de f−1 e´ a reflexa˜o do gra´fico de f em torno da reta y = x.
Func¸o˜es Logar´ıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a func¸a˜o exponencial f(x) = ax e´ ou crescente (se a > 1)
ou decrescente (se 0 < a < 1), e portanto injetora. Sabemos que Im(f) = (0,∞)
(Recorde a sec¸a˜o 2.2.5). Da´ı, a func¸a˜o exponencial f : R → (0,∞) admite uma
inversa f−1 : (0,∞) → R, a qual chamaremos de func¸a˜o logar´ıtmica com base a e
denotaremos por loga. Assim,
loga x = y ⇔ ay = x.
Logo, se x > 0, enta˜o loga x e´ o expoente ao qual deve se elevar a base a para se
obter x. Por exemplo, log10 0, 0001 = −4 porque 10−4 = 0, 0001.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 42
A seguir esta˜o os gra´ficos de ax e loga x para a > 1. O fato de a
x crescer
muito ra´pido reflete o fato de loga x crescer devagar.
y=a
y= xlog
y=xy
x
0
1
1
x
a
Propriedades dos Logaritmos
Se x e y forem nu´meros reais positivos (maiores que 0) enta˜o:
1. loga(xy) = loga x+ loga y (O logaritmo transforma produto em soma)
2. loga
(
x
y
)
= loga x− loga y (O logaritmo transforma quociente em diferenc¸a)
3. loga(x
r) = r loga x, onde r e´ qualquer nu´mero real. (O logaritmo transforma uma
poteˆncia no produto do expoente pelo logaritmo da base)
Usando estas propriedades podemos calcular, por exemplo, log2 80 −
log2 5. Basta aplicar 2:
log2 80− log2 5 = log2
(80
5
)
= log2 16 = 4
pois 24 = 16.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 43
Logaritmos Naturais
Os logaritmos na base e sa˜o chamados de logaritmos naturais e teˆm uma
notac¸a˜o especial:
loge x = ln x.
Logo,
ln x = y ⇔ ey = x
Assim
lnx = y ⇔ ey = x,
ln(ex) = x, ∀x ∈ R
e
elnx = x, ∀x ∈ (0,∞).
Em particular, se x = 1 temos
ln e = 1.
Observac¸a˜o 2.2.2 Os logaritmos em qualquer base podem ser representados em
termos dos logaritmos naturais da seguinte forma: se a > 0 e a 6= 1, enta˜o
loga x =
ln x
ln a
.
Com efeito, seja y = loga x. Enta˜o, a
y = x. Tomando o logaritmo
natural em ambos os lados da igualdade obtemos y ln a = ln x. Portanto,
y =
ln x
ln a
.
Na figura 2.9 esta˜o os gra´ficos de ln x e ex.
2.3 A A´lgebra das Func¸o˜es
Veremos aqui como construir novas func¸o˜es a partir das que ja´ definimos.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 44
y=e
y= xln
y=xy
x
0
1
1
x
Figura 2.9: y = ex e sua inversa y = ln x.
2.3.1 Combinac¸o˜es
Seja c uma constante real e sejam f e g func¸o˜es com domı´nios A e B, respectiva-
mente. Enta˜o definimos as func¸o˜es cf , f + g, fg e f
g
da seguinte forma:
(cf)(x) = c.f(x) e o domı´nio de cf e´ A;
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e o domı´nio de f + g e´ A ∩B;
(fg)(x) = f(x).g(x) e o domı´nio de fg e´ A ∩B;(
f
g
)
(x) = f(x)
g(x)
e o domı´nio de f
g
e´ {x ∈ A ∩B / g(x) 6= 0}.
Exemplo 2.3.1 Se f(x) =
√
4− x e g(x) = 1
x−1 , encontre as func¸o˜es f + g e fg.
Soluc¸a˜o: O domı´nio de f e´ (−∞, 4] e o de g e´ R − {1}. A intersec¸a˜o dos domı´nios
de f e g e´ o conjunto
W = {x ∈ R / x ≤ 4 e x 6= 1}.
De acordo com as definic¸o˜es temos
(f + g)(x) =
√
4− x+ 1
x− 1
(fg)(x) =
√
4− x
x− 1 ,
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 45
para todo x ∈W . ¤
O gra´fico da func¸a˜o f + g e´ obtido a partir dos gra´ficos de f e g por
adic¸a˜o gra´fica. Isto significa que somamos as coordenadas y como na figura abaixo.
y
x0
f
g
f+g
a
f(a)+g(a)
f(a)
g(a)
Figura 2.10: (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x.
2.3.2 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Suponha que y e´ uma func¸a˜o da varia´vel u, como por exemplo y = f(u) =
√
u.
Suponha tambe´m que u = g(x) = x2+1. Uma vez que y e´ uma func¸a˜o de u que por
sua vez e´ uma func¸a˜o de x, segue que podemos expressar y como func¸a˜o de x por
substituic¸a˜o direta:
y = f(u) = f(g(x)) = f(x2 + 1) =
√
x2 + 1.
Esse processo chama-se composic¸a˜o de func¸o˜es, pois a func¸a˜o obtida e´
composta de duas func¸o˜es dadas f e g.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 46
Assim, dadas duas func¸o˜es f e g, a func¸a˜o composta, denotada por f ◦ g,
e´ definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
e o domı´nio de f ◦ g, denotado por Df◦g, e´ o conjunto de todos os nu´meros x no
domı´nio de g, tais que g(x) esteja no domı´nio de f . Logo,
Df◦g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df},
onde Df e Dg sa˜o os domı´nios de f e g, respectivamente.
O diagrama abaixo explica o funcionamento da composic¸a˜o f ◦ g:
x f(x)Função
Entrada Saída
x f(x)Função
Entrada Saída
g g(x) f f(g(x))
Máquina Máquina
Figura 2.11: (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Exemplo 2.3.2 Se f(x) =
√
x e g(x) = 2x− 3, determine f ◦ g e g ◦ f assim como
o domı´nio de cada uma.
Soluc¸a˜o:
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(2x− 3)
=
√
2x− 3.
O domı´nio de f e´ Df = [0,∞) enquanto o de g e´ Dg = R. Assim, pela definic¸a˜o
Df◦g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}
= {x ∈ R | g(x) ∈ [0,∞)}
= {x ∈ R | 2x− 3 ≥ 0}
=
[3
2
,∞).
Isto e´, Df◦g =
[
3
2
,∞).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 47
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(
√
x)
= 2
√
x− 3
e seu domı´nio e´
Dg◦f = {x ∈ Df | g(x) ∈ Dg}
= {x ∈ [0,∞) | f(x) ∈ R}
= [0,∞),
isto e´, Dg◦f = [0,∞). ¤
Exemplo 2.3.3 Seja f(x) = 1
x
. Sabemos que Df = R− {0} e que
(f ◦ f)(x) = x.
Note que a expressa˜o de (f ◦ f)(x) esa´ definida para todo x ∈ R. Pore´m, pela
definic¸a˜o do domı´nio de uma func¸a˜o composta, temos que
Df◦f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Df}
= {x ∈ R− {0} | 1
x
∈ R− {0}}
= R− {0}. ¤
O exemplo anterior mostra que na˜o devemos calcular o domı´nio de umfunc¸a˜o composta f ◦ g julgando apenas sua expressa˜o final. Devemos aplicar a
definic¸a˜o, e, para isso, e´ necessa´rio conhecer os domı´nios de f e g.
Na sec¸a˜o 2.2.6, definimos a func¸a˜o inversa e comentamos que uma de
suas propriedades era
f−1(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f ,
e f(f−1(x)) = x para todo x no domı´nio de f−1.
Se denotamos a func¸a˜o identidade pela letra I, isto e´, I(x) = x, enta˜o as
propriedades acima podem ser escritas como composic¸o˜es da seguinte maneira:
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 48
f−1 ◦ f = I : Df → Df
e
f ◦ f−1 = I : Df−1 → Df−1 .
Ou seja, a composic¸a˜o de f−1 com f e´ a identidade que leva elementos
do domı´nio de f em elementos do domı´nio de f . E a composic¸a˜o de f com f−1 e´ a
identidade definida no domı´nio de f−1.
2.4 Equac¸o˜es de Oferta e de Demanda
Faremos aqui um resumo do que esta´ feito na sec¸a˜o 1.6 de [1].
Considere as circunstaˆncias relativas a um fabricante, nas quais as u´nicas
varia´veis sa˜o o prec¸o e a quantidade de mercadoria demandada (procurada). Sejam
p o prec¸o de uma unidade de mercadoria e x o nu´mero de unidades demandadas.
Parece razoa´vel que a quantidade de mercadoria demandada no mercado
pelos consumidores dependera´ do prec¸o da mesma. Quando o prec¸o diminui ha´ um
aumento na procura pela mercadoria e caso o prec¸o aumente, ocorrera´ o contra´rio:
a procura ira´ diminuir.
Uma equac¸a˜o que relaciona a quantidade x de mercadoria demandada e
o prec¸o p de uma unidade da mesma, e´ chamada equac¸a˜o de demanda. Chega-se
a tal equac¸a˜o atrave´s da aplicac¸a˜o de me´todos estat´ısticos aos dados econoˆmicos.
Uma equac¸a˜o de demanda pode ter uma das formas:
p = f(x) (2.1)
x = g(p). (2.2)
A func¸a˜o f em (2.1) e´ chamada func¸a˜o prec¸o, e f(x) e´ o prec¸o de uma
unidade de mercadoria quando x unidades sa˜o demandadas. A func¸a˜o g em (2.2)
e´ chamada func¸a˜o de demanda, e g(p) e´ o nu´mero de unidades da mercadoria que
sera˜o demandadas se p for o prec¸o por unidade. Em situac¸o˜es econoˆmicas normais
os domı´nios das func¸o˜es prec¸o e de demanda consistem, como e´ de se esperar, de
nu´meros na˜o-negativos.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 49
p
x0
CurvadeDemanda
a
b
p=f(x)
Figura 2.12: Uma curva de demanda e´ sempre decrescente.
O gra´fico de uma equac¸a˜o de demanda e´ chamado curva de demanda. Em
economia, e´ comum representarmos a varia´vel p no eixo vertical e a varia´vel x no
eixo horizontal. Como a equac¸a˜o de demanda pode ser aplicada somente para alguns
valores de x e de p, e´ muitas vezes necessa´rio restringi-los a intervalos fechados; isto
e´, x ∈ [0, a] e p ∈ [0, b]. Mesmo que na pra´tica as quantidades e prec¸os, em geral,
assumam valores racionais, permitiremos que x e p sejam quaisquer nu´meros reais
dentro destes intervalos.
Exemplo 2.4.1 Considere a equac¸a˜o de demanda:
p2 + 2x− 16 = 0. (2.3)
Como em situac¸o˜es econoˆmicas normais as varia´veis x e p sa˜o na˜o negativas, quando
(2.3) e´ resolvida para p em func¸a˜o de x, rejeitamos os valores negativos de p, obtendo
p =
√
16− 2x (2.4)
que e´ do tipo (2.1). Assim a func¸a˜o prec¸o para a equac¸a˜o de demanda (2.3) e´ a
func¸a˜o f para a qual f(x) =
√
16− 2x.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 50
Agora, se resolvermos (2.3) para x como func¸a˜o de p, obtemos
x = 8− 1
2
p2. (2.5)
Assim, a func¸a˜o de demanda e´ a func¸a˜o g para a qual g(p) = 8 − 1
2
p2. Um esboc¸o
da curva de demanda esta´ na figura abaixo.
p
x0
CurvadeDemanda:
2
p+2x-16=0
4
8
Figura 2.13: Equac¸a˜o de Demanda: p2 + 2x− 16.
O gra´fico esta´ restrito ao primeiro quadrante ja´ que x e p sa˜o na˜o nega-
tivas. De (2.4) obtemos que p ≤ 4 e x ≤ 8. Logo, x ∈ [0, 8] e p ∈ [0, 4]. ¤
A forma mais geral poss´ıvel de uma curva de demanda e´ a ilustrada na
figura 2.12. Note que, ale´m de pertencer ao 1o quadrante, a func¸a˜o que descreve o
gra´fico e´ sempre decrescente.
Suponha agora que x seja o nu´mero de unidades de uma certa mercadoria
a ser ofertada por um produtor e, assim como antes, p seja o prec¸o de uma unidade da
mercadoria. Suponha tambe´m que estas sa˜o as u´nicas varia´veis. Uma equac¸a˜o envol-
vendo estas duas varia´veis e´ chamada equac¸a˜o de oferta. Numa situac¸a˜o econoˆmica
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 51
normal temos que as varia´veis x e p sa˜o na˜o negativas e x2 > x1 se, e somente se,
p2 > p1; isto e´, quando o prec¸o da mercadoria aumenta, o produtor naturalmente
aumentara´ a oferta para tirar vantagem dos prec¸os mais altos. Da mesma forma
havera´ uma tendeˆncia em diminuir a quantidade ofertada quando o prec¸o diminui.
O caso trivial quando a oferta e´ constante qualquer que seja o prec¸o, e´ uma excec¸a˜o
a esta afirmac¸a˜o. O gra´fico de uma equac¸a˜o de oferta e´ chamado curva de oferta.
A figura abaixo e´ um exemplo.
p
x0
CurvadeOferta
p
0
Figura 2.14: Uma curva de oferta e´ sempre crescente.
Quando x = 0, p(0) = p0 e´ o prec¸o segundo o qual nenhuma mercadoria
estara´ dispon´ıvel no mercado. Quando o prec¸o unita´rio e´ grande, o produtor oferta
uma grande quantidade de mercadoria ao mercado. Note que a func¸a˜o que fornece
a curva de oferta e´ sempre crescente.
Exemplo 2.4.2 A na˜o ser que o prec¸o de uma guitarra Fender supere R$500, 00,
nenhuma guitarra estara´ dispon´ıvel no mercado. Entretanto, quando o prec¸o atingir
R$700, 00, 100 unidades desta guitarra estara˜o dispon´ıveis no mercado. Supondo
que a equac¸a˜o de oferta e´ linear, encontre-a e esboce a curva de oferta.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 52
Soluc¸a˜o: Como a equac¸a˜o de oferta e´ linear, a curva de oferta e´ uma reta e os pontos
(x1, p1) = (0, 500) e (x2, p2) = (100, 700) pertencem a ela. Da´ı, a inclinac¸a˜o desta
reta e´ dada por
m =
p2 − p1
x2 − x1 =
200
100
= 2.
Portanto, a equac¸a˜o de oferta e´ dada por
p− 500 = 2(x− 0) ⇔ p− 2x− 500 = 0
ou seja,
p− 2x− 500 = 0.
A curva de oferta e´:
0
100
200
300
400
500
600
700
p
20 40 60 80 100
x
EquaçãodeOferta:
p-2x-500=0
Figura 2.15: Curva de Oferta: p− 2x− 500 = 0.
Chamaremos o conjunto das empresas que produzem uma certa mer-
cadoria de indu´stria. O mercado para uma certa mercadoria consta da indu´stria e
dos consumidores da mercadoria. A equac¸a˜o de oferta do mercado e´ determinada a
partir das equac¸o˜es de oferta das companhias integrantes da indu´stria, e a equac¸a˜o
de demanda do mercado e´ determinada atrave´s das equac¸o˜es de demanda de todos
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 53
os consumidores. Mostraremos agora como determinar o prec¸o de equil´ıbrio e a
quantidade de equil´ıbrio de um mercado.
O equil´ıbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria de-
mandada, a um dado prec¸o, e´ igual a` quantidade de mercadoria oferecida a`quele
prec¸o. Isto e´, o equil´ıbrio de mercado ocorre quando todas as mercadorias colocadas
a venda a um dado prec¸o sa˜o vendidas. Quando ocorre o equil´ıbrio de mercado, a
quantidade de mercadoria produzida e´ chamada quantidade de equil´ıbrio e o prec¸o da
mercadoria e´ chamado prec¸o de equil´ıbrio. A quantidade de equil´ıbrio e o prec¸o de
equil´ıbrio sa˜o determinados resolvendo simultaneamente as equac¸o˜es de demanda
e oferta do mercado. Na figura a seguir temos esboc¸os das curvas de demanda e
oferta, indicadas por D e S, respectivamente.
p
x0 x
p
E
E
D
S
E
Figura 2.16: O ponto E = (xE, pE) e´ o ponto de equil´ıbrio e suas coordenadas sa˜o a
quantidade de equil´ıbrio xE e o prec¸o de equil´ıbrio pE.
Exemplo 2.4.3 As equac¸o˜es de demanda e oferta do mercado sa˜o, respectivamente,
x2 + p2 = 25 e x2 − 8p+ 8 = 0
onde p e´ o prec¸o e x unidades a quantidade. Determine aquantidade e o prec¸o de
equil´ıbrio. Trace esboc¸os das curvas de oferta e demanda no mesmo conjunto de
eixos, e mostre o ponto de equil´ıbrio.
Soluc¸a˜o: Para encontrarmos o ponto de equil´ıbrio resolvemos simultaneamente as
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 54
equac¸o˜es. Isolando x2 em ambas as equac¸o˜es temos
x2 = 25− p2
x2 = 8p− 8.
Igualando, encontramos uma equac¸a˜o para o prec¸o de equil´ıbrio:
25− p2 = 8p− 8⇔ p2 + 8p− 33 = 0.
Esta equac¸a˜o tem como ra´ızes 3 e −11. Como as varia´veis sa˜o todas na˜o negativas,
enta˜o o prec¸o de equil´ıbrio e´ pE = 3. Substituindo em qualquer uma das equac¸o˜es
dadas encontramos a quantidade de equil´ıbrio. Assim,
x2 + 32 = 25⇒ x2 = 16⇒ x = 4.
Logo, a quantidade de equil´ıbrio e´ xE = 4.
A seguir temos o gra´fico desejado. ¤
0
1
2
3
4
5
p
1 2 3 4 5
x
S
D
E
x
p
E
E
Terminamos assim este cap´ıtulo sobre func¸o˜es. Nos pro´ximos cap´ıtulos
desenvolveremos a teoria necessa´ria para esboc¸armos o gra´fico de uma func¸a˜o de uma
varia´vel e solucionarmos problemas pra´ticos de otimizac¸a˜o. Ate´ enta˜o, nos limitamos
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 55
a trac¸ar gra´ficos de equac¸o˜es de curvas familiares, tais como retas, semi-c´ırculos e
para´bolas. Uma pergunta surge:
“O que nos garante o formato desses gra´ficos?”
Esperamos ser capazes de responder a tal pergunta com o estudo do
limite e da derivada de uma func¸a˜o. Ate´ o pro´ximo cap´ıtulo!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 56
2.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1 Ache a inclinac¸a˜o da reta 3x− 4y = 12.
Exerc´ıcio 2 Mostre que as retas 2x− 3y + 8 = 0 e 4x− 6y + 5 = 0 sa˜o paralelas.
Exerc´ıcio 3 Ache a inclinac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (4,−5) e (−2, 7). Es-
creva uma equac¸a˜o desta reta.
Exerc´ıcio 4 Nos exerc´ıcios a seguir considere uma func¸a˜o f : Df → R cuja expressa˜o
e´ dada em cada caso. Determine o Domı´nio D de cada uma.
(a) f(x) =
√
2x+ 5;
(b) f(x) = x
2−16
x+4
;
(c) f(x) = x
2+x−6
x−2 ;
(d) f(x) =
{
x2 − 1, se x < 1;
x− 1, se 1 ≤ x. ;
(e) f(x) = x+ |x|;
(f) f(x) = 1|x−1| ;
(g) f(x) = ln(x2 − 1);
(h) f(x) = ex
2
.
Exerc´ıcio 5 Seja f : R→ R dada por f(x) = 3x2− x+ 5. Ache (a) f(1); (b) f(−3);
(c) f(−x2); (d) −[f(x)]2; (e) f(x+h)−f(x)
h
, se h 6= 0.
Exerc´ıcio 6 Seja g : [−3,∞) → R dada por g(x) = √x+ 3. Ache (a) g(−3); (b)
g(1); (c) g(x2); (d) [g(x)]2; (e) g(x+h)−g(x)
h
, se h 6= 0.
Nos exerc´ıcios de 7 a 10 defina as seguintes func¸o˜es e determine o domı´nio da func¸a˜o
resultante: (a) f ◦ g; (b) g ◦ f ; (c) f ◦ f ; (d) g ◦ g.
Exerc´ıcio 7 f(x) = x2 − 4; g(x) = 4x− 3;
Exerc´ıcio 8 f(x) =
√
x+ 2; g(x) = x2 + 4;
Exerc´ıcio 9 f(x) = x2 − 9; g(x) = √x+ 5;
Exerc´ıcio 10 f(x) =
√
x− 1; g(x) = ln x.
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 57
Exerc´ıcio 11 Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
a. f(x) = 5− 4x3;
b. f(x) =
√
2 + 5x;
c. f(x) = ln(x+ 3);
d. f(x) = 1+e
x
1−ex ;
e. f(x) = 1− 2
x2
.
Exerc´ıcio 12 Se a populac¸a˜o de bacte´rias comec¸a com 100 e dobra a cada treˆs horas,
enta˜o o nu´mero de bacte´rias apo´s t horas e´ n = f(t) = 100.2
t
3 .
a. Encontre a func¸a˜o inversa e explique seu significado.
b. Quando a populac¸a˜o atingira´ 50.000 bacte´rias?
Exerc´ıcio 13 A equac¸a˜o de demanda para um produto e´ p2 + 2p + 2x − 24 = 0. (a)
Fac¸a um esboc¸o da curva de demanda, (b) ache o prec¸o mais alto que qualquer
pessoa pagaria pelo produto, e (c) ache a demanda se o produto fosse gra´tis.
Exerc´ıcio 14 A equac¸a˜o de oferta de um produto e´ x2+4x−4p+20 = 0. (a) Fac¸a um
esboc¸o da curva de oferta e (b) ache o prec¸o mais baixo pelo qual o produto seria
fornecido.
Nos exerc´ıcios 15 e 16 sa˜o dadas as equac¸o˜es de oferta e demanda. (a) Determine
a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio, e (b) fac¸a o esboc¸o das curvas de oferta e
demanda no mesmo conjunto de eixos, e mostre o ponto de equil´ıbrio.
Exerc´ıcio 15 2x+ p− 12 = 0; x2 − p+ 4 = 0.
Exerc´ıcio 16 x2 + p = 169; p− 2x = 2.
Exerc´ıcio 17 Um equipamento foi comprado por 20.000 reais, e espera-se que o seu
valor final apo´s 10 anos de uso seja 1.500 reais. Se o me´todo da linha reta for usado
para depreciar o equipamento de 20.000 a 1.500 reais em 10 anos, qual o valor l´ıquido
do equipamento apo´s 5 anos.
Exerc´ıcio 18 A “Lei de Boyle”afirma que a uma temperatura constante o volume
de um ga´s e´ inversamente proporcional a` pressa˜o do ga´s, e um ga´s ocupa 100m3 a
uma pressa˜o de 24Kg por cent´ımetro quadrado. (a) Expresse o nu´mero de metros
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 58
cu´bicos ocupados por um ga´s como func¸a˜o do nu´mero de quilogramas por cent´ımetro
quadrado em sua pressa˜o. (b) Qual e´ o volume de um ga´s quando sua pressa˜o e´
16Kg por cent´ımetro quadrado.
Exerc´ıcio 19 Pedac¸os quadrados de metal com 51 cent´ımetros de lado sa˜o usados para
construir caixas abertas, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e levantando
para cima os lados. (a) Se x cm e´ o comprimento do lado do quadrado cortado,
expresse o nu´mero de cent´ımetros cu´bicos do volume da caixa como func¸a˜o de x.
(b) Qual o domı´nio da func¸a˜o resultante?
Exerc´ıcio 20 Um atacadista oferece entregar a um comerciante 300 cadeiras ao prec¸o
unita´rio de 90 reais e reduzir o prec¸o de cada cadeira em toda encomenda em 0.25
reais (25 centavos) para cada unidade adicional acima de 300. (a) Se x cadeiras
forem encomendadas , expresse o custo do comerciante como func¸a˜o de x. (b) Qual
o domı´nio da func¸a˜o resultante?
Exerc´ıcio 21 Uma excursa˜o patrocinada por uma escola pode acomodar ate´ 350 estu-
dantes e custara´ 15 reais por estudante, se o nu´mero de estudantes na˜o exceder 150;
contudo o custo por estudante sera´ reduzido em 5 centavos para cada estudante que
passar de 150 ate´ o custo atingir 10 reais por estudante. (a) Se x estudantes fazem
a excursa˜o, expresse a receita total em func¸a˜o de x. (b) Qual o domı´nio da func¸a˜o
resultante? Sugesta˜o: Siga a ide´ia do exerc´ıcio anterior!
Exerc´ıcio 22 Quando o prec¸o e´ de 140 reais, existem 6.000 ra´dios dispon´ıveis no
mercado. A cada aumento de 20 reais no prec¸o, outros 3.000 ra´dios esta˜o dispon´ıveis
no mercado. Supondo linear a equac¸a˜o de oferta, encontre-a e fac¸a um esboc¸o da
curva de oferta.4
Exerc´ıcio 23 Uma empresa pode vender 10.000 unidades de um dado produto quando o
prec¸o unita´rio e´ 30 reais, e a empresa estimou que pode vender mais 1.000 unidades a
cada reduc¸a˜o de 2 reais no prec¸o. Supondo linear a equac¸a˜o de demanda, encontre-a
e fac¸a um esboc¸o da curva de demanda.
Exerc´ıcio 24 As equac¸o˜es de demanda e oferta de um mercado sa˜o dadas, respectiva-
mente, abaixo. Em cada caso, determine a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio, trace
esboc¸os das curvas de demanda e oferta no mesmo conjunto de eixos, e mostre o
4Fac¸a apenas um esboc¸o!
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 59
ponto de equil´ıbrio.
(a) x+ 2p− 15 = 0; x− 3p+ 3 = 0;
(b) 3x2 − 6x+ p− 8 = 0; x2 − p+ 4 = 0;
(c) p2 + p+ x− 12 = 0; 2p2 − 2p− x− 4 = 0.
Exerc´ıcio 25
Considere as seguintes varia´veis de mercado
Qd ≡ Quantidade procurada de mercadorias (Unidades por semana)
Qd ≡ Quantidade ofertada de mercadorias (Unidades por semana)
P ≡ Prec¸o (Reais).
Funcionamento do mercado:
(i) Condic¸a˜o de Equil´ıbrio: O equil´ıbrio ocorre no mercado se, e somente se, o
excesso de demanda e´ zero (Qd −Qs = 0).
(ii) Demanda versus Prec¸o: Suponha que Qd seja uma func¸a˜o linear decrescente
de P (quando P aumenta Qd diminui).
(iii) Oferta versus Prec¸o: Suponha que Qs seja uma func¸a˜o linear crescente de
P (quando P aumenta, Qs tambe´m aumenta), com a condic¸a˜o de que a quantidade
ofertada seja nula a na˜o ser que o prec¸o excedaum valor positivo espec´ıfico.
Ao todo, o modelo contera´ uma condic¸a˜o de equil´ıbrio mais duas equac¸o˜es de
comportamento que governam os lados da demanda e da oferta no mercado,
respectivamente.
Traduzindo em termos matema´ticos, o modelo acima pode ser apresentado como:
Qd = Qs (Equil´ıbrio de Mercado)
Qd = a− bP onde a, b > 0 (Equac¸a˜o de Demanda)
Qs = −c+ dP onde c, d > 0 (Equac¸a˜o de Oferta)
(2.6)
a. Associando ao eixo-y as quantidades e ao eixo-x o prec¸o, trace num mesmo
gra´fico as curvas de oferta e de demanda para o modelo acima e identifique nele
o equil´ıbrio de mercado (P¯ , Q¯).
Cap´ıtulo 2 - Func¸o˜es e Aplicac¸o˜es 60
b. Resolva o modelo de mercado (5.5) com
a = 15, b = 4, c = 1 e d = 6.
c. Se b+ d = 0 no modelo linear de mercado (5.5), na˜o se pode achar uma soluc¸a˜o
de equil´ıbrio para o mesmo. Oferec¸a uma explicac¸a˜o matema´tica assim como uma
explicac¸a˜o econoˆmica para este fato. (Sugesta˜o 1: Trace e estude o gra´fico para
esta situac¸a˜o! Sugesta˜o 2: Enunciado longo implica em soluc¸a˜o fa´cil!!!)
Exerc´ıcio 26 Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condic¸o˜es: uma taxa
fixa de R$50, 00 e mais R$0, 30 por quiloˆmetro (km) rodado. Expresse o custo da
locac¸a˜o em func¸a˜o dos quiloˆmetros rodados.
Exerc´ıcio 27 Continuando o exerc´ıcio anterior, suponha que uma outra locadora B
alugue, tambe´m, carro popular nas seguintes condic¸o˜es: uma taxa fixa de R$20, 00 e
R$0, 35 por quiloˆmetro rodado. Qual a locadora que voceˆ escolheria para alugar um
carro?
Exerc´ıcio 28 Deseja-se construir uma caixa de forma cil´ındrica de 1m3 de volume.
Nas laterais e no fundo sera´ utilizado um material que custa R$10, 00 o metro
quadrado (m2) e, na tampa, material que custa R$20, 00 o m2. Expresse o custo
C em func¸a˜o do raio da base. (Lembre-se: a a´rea de um c´ırculo de raio r e´ pir2,
o comprimento da circunfereˆncia de raio r e´ 2pir e o volume do cilindro e´ o produto
da a´rea da base pela altura.)
Exerc´ıcio 29 Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, em forma de um paralelep´ı-
pedo retaˆngulo, de volume 70cm3, e sabe-se que o prec¸o do material a ser utilizado
no fundo e´ o dobro do prec¸o daquele a ser utilizado nas laterais. Estabelec¸a uma
fo´rmula para o ca´lculo do custo do material sabendo que o custo do material a ser
utilizado nas laterais e´ de R$1, 00 por cm2.
Exerc´ıcio 30 Considere as func¸o˜es lineares f(x) = x+ 6 e g(x) = 4x.
a. Para que valores de x tem-se f(x) > g(x)?
b. Para que valores de x tem-se f(x) < g(x)?
c. Para que valores de x tem-se f(x) = g(x)?
d. Interprete graficamente.
Cap´ıtulo 3
Limite e Continuidade
O conceito de limite e´ o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do
ca´lculo, como continuidade e derivadas. Neste cap´ıtulo vamos discutir a definic¸a˜o
de limite e os me´todos utilizados para calcula´-lo. Tambe´m veremos o importante
conceito de continuidade.
3.1 O Limite de uma Func¸a˜o
Comec¸aremos tentando esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o racional
f(x) =
x2 − x− 2
x− 2 (3.1)
cujo domı´nio e´ formado por todos os nu´meros reais com excec¸a˜o de 2. Na˜o pode-
mos calcular a imagem de 2 pela func¸a˜o pois isso levaria a uma divisa˜o por zero.
Entretanto, e´ interessante estudar o comportamento desta func¸a˜o nas proximidades
do ponto exclu´ıdo. Para isso, observe a tabela a seguir:
x 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05
f(x) 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99 ? 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05
Examinando esta tabela, podemos perceber um certo padra˜o. Em primeiro
lugar, f(x) se aproxima de 3 quando x se aproxima de 2. Matematicamente, dizemos
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 62
que f(x) tende a 3 quando x tende a 2. Ale´m disso, os valores de f(x) tendem a 3
regularmente. Note que a cada variac¸a˜o de ±0, 01 em x corresponde uma variac¸a˜o
de ±0, 01 em f(x), o que sugere que f(x) se comporta como uma func¸a˜o linear de
inclinac¸a˜o 1. Este e´ realmente o caso, como podemos ver fatorando o numerador
x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1),
e cancelando um dos fatores com o denominador. Assim, para todo x 6= 2, temos:
f(x) =
x2 − x− 2
x− 2 =
(x− 2)(x+ 1)
x− 2 = x+ 1.
Note que ao simplificarmos a func¸a˜o racional f encontramos uma func¸a˜o
que lhe e´ equivalente em todos os pontos do seu domı´nio (x 6= 2). O gra´fico da
func¸a˜o racional (3.1) e´, portanto, a reta de equac¸a˜o y = x+1 com excec¸a˜o do ponto
(2, 3) visto que f na˜o esta´ definida em 2. Ou seja, o gra´fico de f coincide com esta
reta para todos os valores de x exceto 2, o que explica a regularidade que observamos
na tabela.
1
0 0
1
-1-1 2
3
y
x x
yy=x+1 y=f(x)
Figura 3.1: O gra´fico de f coincide com a reta y = x + 1 para todos os valores de x
exceto 2.
Resumindo: embora a func¸a˜o f na˜o esteja definida em x = 2, conhecemos
seu comportamento nas proximidades de x = 2. Especificamente, sabemos:
(i) os valores da func¸a˜o se aproximam de 3 quando x se aproxima de 2;
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 63
(ii) podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de 2.
Esta relac¸a˜o pode ser expressa pela seguinte expressa˜o matema´tica:
lim
x→2
f(x) = 3. (3.2)
A expressa˜o (3.2) diz:
o limite de f(x) quando x tende a 2 e´ igual a 3.
No caso geral, escrevemos
lim
x→a
f(x) = L (3.3)
para indicar que os valores f(x) tendem para o nu´mero real1 L quando x tende para
o nu´mero a, e dizemos que
o limite de f(x) quando x tende para a e´ igual a L.
Observe que ao discutirmos limites so´ estamos interessados nos valores
de f(x) nas proximidades de x = a. Isto significa que a func¸a˜o f nem precisa estar
definida no ponto a, como e´, inclusive, a func¸a˜o racional dada por (3.1).
Uma definic¸a˜o precisa de limite pode ser encontrada em [2] ou [5]. A
definic¸a˜o informal apresentada a seguir e´ suficiente para nossos propo´sitos. Nela
utilizaremos o s´ımbolo ≈, que significa “e´ aproximadamente igual a”.
Definic¸a˜o 3.1.1 Sejam a e L nu´meros reais dados.
lim
x→a
f(x) = L
significa dizer que
1. f(x) ≈ L para todos os valores de x pro´ximos de a;
2. podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de a.
Conve´m salientar que este L, quando existe, e´ u´nico. Ademais, como se
pode ver, a definic¸a˜o na˜o diz o que acontece para x = a. Ja´ comentamos que a
1Aqui L e a sa˜o nu´meros reais!
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 64
func¸a˜o nem precisa estar definida no ponto a; mesmo que esteja definida, seu valor
neste ponto, f(a), pode ser diferente do limite quando x→ a. Repetindo:
o limite limx→a f(x) na˜o depende do valor da func¸a˜o no ponto x = a.
A func¸a˜o nem precisa estar definida em a, contanto que esteja definida nos pontos
pro´ximos de a.
Por exemplo, as func¸o˜es (3.1), g(x) = x+ 1 e
h(x) =
{
x2−x−2
x−2 , se x 6= 2;
2, se x = 2
possuem o mesmo limite, L = 3, quando x → 2 ja´ que se x 6= 2 temos que f(x) =
g(x) = h(x) = x + 1. Entretanto, f na˜o esta´ definida em 2 e h(2) = 2 6= 3. g e´ a
u´nica delas que, ale´m de estar definida em 2, g(2) = 3 que coincide com o valor de
L. Veremos a seguir que isso na˜o e´ mera coincideˆncia.
1
0 0
1
-1-1 2
3
y
x x
yy=g(x) y=f(x)
0
1
-1 2
3
x
y y=h(x)
2
Figura 3.2: Os gra´ficos de f , g e h so´ diferem em x = 2.
3.2 Limites Laterais
Considere a func¸a˜o de Heaviside2 que e´ definda por
H(t) =
{
0, se t < 0;
1, se t ≥ 0.
2Essa func¸a˜o, cujo nome homenagea o engenheiro ele´trico Oliver Heaviside (1850-1925), pode
ser usada para descrever uma corrente ele´trica que e´ estabelecida quando t = 0.
Cap´ıtulo3 - Limite e Continuidade 65
Quando t tende a 0 por valores negativos, H(t) tende a 0. Quando t
tende a 0 por valores positivos, H(t) tende a 1. Na˜o existe um nu´mero u´nico para o
qual H(t) tende quando t tende a 0. Portanto, limx→0H(t) na˜o existe. Entretanto
faz sentido pensarmos na ide´ia dos limites laterais de f quando x tende a zero.
y
x0
1
Figura 3.3: Func¸a˜o de Heaviside.
Definic¸a˜o 3.2.1 Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e´ L se podemos
obter valores de f(x) ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos bastando para isso tomar
valores de x suficientemente pro´ximos de a e menores que a.
O que acabamos de definir e´ o limite lateral a` esquerda de f(x) quando
x tende para a. Analogamente, definimos o limite lateral a` direita de f(x) quando
x tende para a substituindo na definic¸a˜o 3.2.1 a expressa˜o x → a− por x → a+ e
lembrando que agora tomamos valores de x pro´ximos de a e maiores que a.
Munidos com estas definic¸o˜es podemos dizer enta˜o
lim
t→0−
H(t) = 0 e lim
t→0+
H(t) = 1.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 66
Portanto, parece o´bvio das definic¸o˜es 3.1.1 e 3.2.1 que
limx→a f(x) = L se, e somente se, limx→a− f(x) = L e limx→a+ f(x) = L.
Ou seja, existe o limite de uma func¸a˜o f(x) quando x tende para a se, e
somente se, existem os limites laterais de f(x) quando x tende para a.
3.3 Limites Infinitos
Vejamos um exemplo:
Exemplo 3.3.1 O objetivo e´ encontrar o limx→0 1x2 , se existir.
Observe que a` medida que x se aproxima de 0, x2 tambe´m se aproxima
de 0, e 1/x2 fica muito grande, como mostra a tabela a seguir:
x ±1 ±0,5 ±0,2 ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,001
1
x2
1 4 25 100 400 10.000 1.000.000
De fato, isso fica evidente se olhamos para o gra´fico de f(x) = 1
x2
(Veja
a figura 3.4). Note que os valores de 1/x2 podem se tornar arbitrariamente grandes
ao tomarmos valores de x pro´ximos de 0.
Assim, os valores de f(x) na˜o tendem a um nu´mero e, portanto, na˜o
existe limx→0 1x2 .
Para indicar o comportamento da func¸a˜o do exemplo 3.3.1 usaremos a
notac¸a˜o
lim
x→0
1
x2
=∞.
Alertamos que isso na˜o significa considerar ∞ como um nu´mero! Ta˜o
pouco significa que o limite exista!!! E´ apenas uma notac¸a˜o para indicar que os
valores de 1/x2 crescem de forma indeterminada quando tomamos valores de x
suficientemente pro´ximos de 0. Assim ∞ e´ uma forma particular de na˜o existeˆncia
de um limite.
A definic¸a˜o geral e´:
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 67
0
20
40
60
80
100
y
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Figura 3.4: Gra´fico da curva y = 1
x2
.
Definic¸a˜o 3.3.1 Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) =∞
significa dizer que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes
(ta˜o grandes quanto quisermos) escolhendo x adequadamente nas proximidades de
a, mas na˜o igual a a. Leˆ-se:
“o limite de f(x), quando x tende para a, e´ infinito”.
Um outro tipo de limite infinito ocorre quando a func¸a˜o torna-se grande
em valor absoluto, pore´m e´ negativa quando x se apoxima de a.
Definic¸a˜o 3.3.2 Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente em a. Enta˜o
lim
x→a
f(x) = −∞
significa dizer que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes,
pore´m negativos, escolhendo-se valores de x pro´ximos de a, mas diferentes do pro´prio
a. Leˆ-se:
“o limite de f(x), quando x tende para a, e´ menos infinito”.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 68
Por exemplo
lim
x→0
(
− 1
x2
)
= −∞.
Definic¸o˜es similares podem ser dadas no caso de limites laterais
lim
x→a−
f(x) =∞ lim
x→a−
f(x) = −∞
lim
x→a+
f(x) =∞ lim
x→a+
f(x) = −∞.
Definic¸a˜o 3.3.3 A reta vertical x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva
y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es for satisfeita:
lim
x→a
f(x) =∞ lim
x→a−
f(x) =∞ lim
x→a+
f(x) =∞
lim
x→a
f(x) = −∞ lim
x→a−
f(x) = −∞ lim
x→a+
f(x) = −∞.
Por exemplo o eixo y e´ uma ass´ıntota vertical da curva y = 1/x2, pois
como vimos,
lim
x→0
1
x2
=∞.
Exemplo 3.3.2 Encontre
lim
x→1−
3
1− x e limx→1+
3
1− x.
Soluc¸a˜o: Para valores de x menores que 1 e pro´ximos de 1, o denominador 1 − x e´
um nu´mero positivo e pequeno e, portanto, 3/(1−x) e´ um nu´mero positivo grande.
Enta˜o, intuitivamente vemos que
lim
x→1−
3
1− x =∞.
Da mesma forma, para valores de x maiores que 1 e pro´ximos de 1, 1−x
e´ um nu´mero negativo e com um valor absoluto pequeno. Portanto, 3/(1− x) e´ um
nu´mero com valor absoluto grande e negativo. Logo
lim
x→1+
3
1− x = −∞.
O gra´fico da curva y = 3/(1− x) e´ mostrado na figura 3.5.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 69
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
Figura 3.5: Gra´fico da curva y = 3
1−x .
A reta x = 1 e´ uma ass´ıntota vertical da curva y = 3/(1− x). ¤
Um outro exemplo de uma func¸a˜o cujo gra´fico tem uma ass´ıntota vertical
e´ a func¸a˜o logaritmo natural y = ln x. Da figura 3.6 vemos que
lim
x→0+
lnx = −∞
e assim a reta x = 0 (eixo y) e´ uma ass´ıntota vertical.
Na realidade, isso e´ verdadeiro para y = loga x desde que a > 1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
1 2 3 4 5 6
x
Figura 3.6: O eixo y e´ uma ass´ıntota vertical da func¸a˜o logaritmo natural.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 70
3.4 Propriedades dos Limites
Enunciaremos nesta sec¸a˜o algumas propriedades dos limites que sa˜o de grande uti-
lidade no ca´lculo dos mesmos. O teorema a seguir lista quatro destas propriedades.
Teorema 3.4.1 (Leis do Limite) Seja c uma constante real e suponha que existam
os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x).
Enta˜o
1. (Lei da Soma)
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x)
2. (Lei do Mu´ltiplo Constante)
lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x)
3. (Lei do Produto)
lim
x→a
[f(x).g(x)] = lim
x→a
f(x). lim
x→a
g(x)
4. (Lei do Quociente)
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
limx→a f(x)
limx→a g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) 6= 0.
Estas propriedades podem ser enunciadas da seguinte maneira:
1. Lei da Soma. O limite da soma e´ a soma dos limites, desde que cada limite
exista.
2. Lei do Mu´ltiplo Constante. O limite de uma constante vezes uma func¸a˜o e´
a constante vezes o limite da func¸a˜o, desde que o limite da func¸a˜o exista.
3. Lei do Produto. O limite do produto e´ o produto dos limites, desde que cada
limite exista.
Cap´ıtulo 3 - Limite e Continuidade 71
4. Lei do Quociente. O limite do quociente e´ o quociente dos limites, desde que
cada limite exista e o limite do denominador seja diferente de zero.
Intuitivamente, se f(x) esta´ pro´ximo de L e g(x) esta´ pro´ximo de M , e´
razoa´vel concluir que f(x) + g(x) esta´ pro´ximo de L +M . Isso nos faz acreditar
na varacidade da propriedade 1. Volto a enfatizar que na˜o e´ o objetivo deste texto
demonstrar os teoremas. O leitor interessado pode consultar a sec¸a˜o 2.4 de [2], assim
como o apeˆndice do mesmo.
Podemos aplicar a propriedade 3 repetidamente com f(x) = g(x) para
obter a propriedade 5:
5.
lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
,
onde n e´ um inteiro positivo.
Propriedades triviais sa˜o as 6 e 7:
6.
lim
x→a
c = c.
7.
lim
x→a
x = a.
Se pusermos f(x) = x nas propriedades 5 e 7, obtemos um limite u´til:
8. Lei da Poteˆncia.
lim
x→a
xn = an,
onde n e´ um inteiro positivo.
Existe um resultado similar para ra´ızes:
9. Lei da Raiz.
lim
x→a
n
√
x = n
√
a,
onde n e´ um inteiro