Cisalhamento em Resistência dos Materiais

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CISALHAMENTO
Resistência dos Materiais I
Prof. Francisco Diniz Bezerra
• Analisar o comportamento de barras sujeitas a cisalhamento puro:
• Definição de cisalhamento puro;
• Ligações com conectores;
• Ligações coladas;
• Ligações de peças metálicas com solda de filete;
• Aplicações e exercícios.
CISALHAMENTO
CONTEÚDO A SER APRESENTADO
CISALHAMENTO PURO
A
B
e
P
M = P.e
Quando ‘e’ é muito pequeno (ou 
seja, quando e → 0), temos que:
M → 0
A
B
P
M
No cisalhamento puro considera-se apenas a força cortante.
Análise de peças submetidas exclusivamente a tensões de cisalhamento.
APLICAÇÕES
Ligações com conectores (parafusos, rebites, pinos etc.)
PP
d
P
P
APLICAÇÕES
Peças coladas
F
F
s
d
APLICAÇÕES
Ligações com soldas de filete
F
F
F
F
Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos sabendo que seu 
diâmetro é de 12,7 mm.
EXEMPLO 1
LIGAÇÕES COM CONECTORES
Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos sabendo que seu 
diâmetro é de 12,7 mm.
EXEMPLO 1
LIGAÇÕES COM CONECTORES
Caso a ligação do exemplo anterior fosse feita com rebites, determine 
o número de rebites necessário, considerando que cada rebite tivesse 
uma força admissível ao cisalhamento de 1.500 N.
EXEMPLO 2
LIGAÇÕES COM CONECTORES
Caso a ligação do exemplo anterior fosse feita com rebites, determine 
o número de rebites necessário, considerando que cada rebite tivesse 
uma força admissível ao cisalhamento de 1.500 N.
Cada rebite suporta uma força admissível ao cisalhamento de 1.500 N.
A força total a ser suportada é de 50.000 N.
Portanto:
Número de rebites = 50.000N / (1.500N/rebite) = 33,3 rebites
Usar 34 rebites 
EXEMPLO 2
LIGAÇÕES COM CONECTORES
EXEMPLO 3
LIGAÇÕES COLADAS
Qual a tensão de cisalhamento na cola da peça abaixo?
Qual a tensão de cisalhamento na cola da peça abaixo?
EXEMPLO 3
LIGAÇÕES COLADAS
Emprega-se um parafuso para ligar duas barras de aço, como se 
indica na Figura. Se o parafuso tem diâmetro igual a 1 cm e a carga 
F é de 3 kN, qual a tensão de cisalhamento no parafuso?
EXERCÍCIO
LIGAÇÕES COM CONECTORES
F
F
Emprega-se um parafuso para ligar duas barras de aço, como se indica na 
Figura. Se o parafuso tem diâmetro igual a 1 cm e a carga F é de 3 kN, qual 
a tensão de cisalhamento no parafuso?
τ = 
�
�
=
�
�
�
��
= 
�.
�
�
�
(
,
��)�
= 38,2 MPa.
EXERCÍCIO
LIGAÇÕES COM CONECTORES
F
F
Resolva o problema anterior considerando a figura abaixo. 
Neste caso, qual a tensão de cisalhamento no parafuso?
EXERCÍCIO
LIGAÇÕES COM CONECTORES
F/2
F
F/2
Resolva o problema anterior considerando a figura abaixo. 
Neste caso, qual a tensão de cisalhamento no parafuso?
EXERCÍCIO
LIGAÇÕES COLADAS
F/2
F
F/2
τ = 
�
��
=
�
�.
�
�
��
= 
�.
�
�.
�
�
(
,
��)�
= 19,1 MPa.
sen45o = 
�
�
t = b . sen45o
t = 0,707b
b
b
t
L
A = L . t
LIGAÇÕES COM SOLDAS DE FILETE
45o45o
F
Verifique se a solda abaixo pode suportar uma força de 45 kN. Adote: 
ττττadm = 150 MPa, b = 6,0 mm.
EXEMPLO 1
Verifique se a solda abaixo pode suportar uma força de 45 kN. Adote: 
ττττadm = 150 MPa, b = 6,0 mm.
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
Dimensione o comprimento, s, das soldas laterais para suportar uma força de 
400 kN. Adote ττττadm = 150 MPa, b = 8,0 mm
EXEMPLO 2 (SOLUÇÃO)
Dimensione o comprimento, s, das soldas laterais para suportar uma força de 
400 kN. Adote ττττadm = 150 MPa, b = 8,0 mm
LEI DE HOOKE PARA O CISALHAMENTO
De forma análoga ao que foi visto para a relação tensão X deformação normal, ou seja: 
σ = E . ε , onde E = módulo de elasticidade longitudinal (ou módulo de Young),
temos que:
τ = = = = G . G . G . G . γγγγ
Onde G = módulo de elasticidade transversal (ou módulo de cisalhamento) e
γγγγ = deformação angular ou deformação por cisalhamento. 
LEI DE HOOKE PARA O CISALHAMENTO
Módulo de Elasticidade: E = �
�
Módulo de cisalhamento : GGGG = ττττ
γγγγ
ττττpppp ---- Tensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidade
ττττrrrr ---- Tensão limite Tensão limite Tensão limite Tensão limite de resistênciade resistênciade resistênciade resistência
σσσσpppp ---- Tensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidadeTensão limite de proporcionalidade
σσσσrrrr ---- Tensão Tensão Tensão Tensão limite de resistêncialimite de resistêncialimite de resistêncialimite de resistência
ττττpppp
σσσσpppp
σσσσrrrr
ττττrrrr ≈ 0,6 ≈ 0,6 ≈ 0,6 ≈ 0,6 σσσσrrrr
ττττpppp ≈ 0,6 ≈ 0,6 ≈ 0,6 ≈ 0,6 σσσσpppp
ττττrrrr
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
=> Trab(D) = U = �
�
-./0γ
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
EXEMPLO
Determine a energia de deformação de cisalhamento da viga em balanço abaixo, 
seção retangular. Considere que a tensão de cisalhamento fica distribuída de 
maneira uniforme na viga.
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
EXEMPLO
Determine a energia de deformação de cisalhamento da viga em balanço abaixo, 
seção retangular. Considere que a tensão de cisalhamento fica distribuída de 
maneira uniforme (posteriormente, veremos que esta hipótese não é correta).
ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
Energia de deformação no estado de cisalhamento puro.
V
RELAÇÃO ENTRE E, G E v
RELAÇÃO ENTRE E, G E v
RELAÇÃO ENTRE E, G E v
EXEMPLO
Ligações com conectores
Parafusos
Rebites
Conector
P
P
P
P
LIGAÇÕES COM CONECTORES
CISALHAMENTO SIMPLES (LIGAÇÃO DE 2 PEÇAS)
Neste caso, considera-se a área total da seção 
transversal ao cisalhamento = 4A, onde A é a 
seção transversal do conector.
LIGAÇÕES COM CONECTORES
CISALHAMENTO DUPLO (LIGAÇÃO DE 3 PEÇAS)
Conectores
P/2
P
P
P/2
P/2
P/2
Neste caso, considera-se a área total da seção 
transversal ao cisalhamento = 8A, onde A é a 
seção transversal do conector.
LIGAÇÕES COM CONECTORES
LIGAÇÃO CONCÊNTRICA
P
.CG
P
Em ligações concêntricas, a força P passa pelo centro de gravidade da ligação.
Hipótese: Na ligação concêntrica, a força P se 
distribui equitativamente entre os conectores.
R1R2
R4 R3
R1= R2 = R3 = R4 = P/4
Para n conectores:
Rn = P/n
EXERCÍCIO PROPOSTO 1
Considere o pino de 1,5 cm de diâmetro da figura abaixo. A força P é igual a 
10 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o 
valor dessas tensões, em qualquer um dos planos m-n e p-q? (Resp.: ττττ = 28,3 
MPa).
EXERCÍCIO PROPOSTO 2
30 cm
20 cm
45o
P
a
a
A peça A está colada sobre a peça B segundo o plano a – a. Qual é a máxima 
força P que se pode aplicar à ligação, considerando a tensão admissível de 
cisalhamento da cola igual a 1 MPa? (Resp.: P = 84,85 kN).
A
B
EXERCÍCIO PROPOSTO 3
Em estruturas de aço, é comum empregar-se o dispositivo da figura, com a 
finalidade de transmitir as cargas das vigas para os pilares. Se a reação da 
viga é de 100 kN e os dois rebites empregados são de 2 cm de diâmetro, 
qual a tensão de cisalhamento nos rebites? Se a tensão admissível de 
cisalhamento do aço do rebite é de 200 MPa, a estrutura estará segura com 
este carregamento? (Resp.: ττττ = 159,2 MPa < ττττadm = 200 MPa => Segura).
100kN
EXERCÍCIO PROPOSTO 4
P P
PP
Duas placas de aço estrutural de 130 x 18 mm são emendadascom placas 
de cobertura de 12 mm e parafusos de 20 mm de diâmetro. Determinar a 
máxima carga que pode ser aplicada à ligação. Considerar tensão admissível 
ττττadm igual a 1050 kgf/cm2. (Resp.: P = 39,6 kN).
Filetes de solda
15 cm
18 cm
P P
P
P
Duas chapas são soldadas por intermédio de cordões laterais de solda, 
como indicado na figura. As chapas têm 1cm de espessura. Considerando 
que a tensão admissível ao cisalhamento na solda é de 790 kgf/cm2, 
determine a força admissível P. (Resp.: P = 20.107 kgf).
EXERCÍCIO PROPOSTO 5