Relações métricas nos triângulos retângulos

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Exercícios de Geometria Plana. 
Relações métricas nos triângulos 
retângulos. 
 
QUESTÃO 1 
As medidas dos lados de um triângulo retângulo 
estão em progressão aritmética, quando 
consideradas da menor para a maior. O perímetro 
do triângulo vale 24. A projeção ortogonal do lado 
de menor medida sobre a hipotenusa mede 
 
A. 3,2 
B. 3,6 
C. 4,0 
D. 4,4 
E. 4,8 
QUESTÃO 2 
Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos 
e medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. 
Se D é um ponto sobre AB e o triângulo ADC é 
isósceles, a medida do segmento , em cm, é 
igual a 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
QUESTÃO 3 
Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um 
ponto na base de um bloco de madeira a uma polia 
localizada no alto de uma elevação, conforme o 
esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto 
dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse 
bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na 
direção indicada abaixo, a distância x que o bloco 
deslizará será de: 
 
 
 
a) 1,0 m. 
b) 1,3 m. 
c) 1,6 m. 
d) 1,9 m. 
e) 2,1 m. 
QUESTÃO 4 
Uma escada de 60 dm de comprimento está 
completamente encostada em uma parede. Se a 
escada deslizar e a extremidade superior descer 10 
dm, o pé da escada se afastará da parede em X dm. 
O valor de X é: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 10 
QUESTÃO 5 
Considere o triângulo XOZ, retângulo em X, onde a 
medida do cateto XO é 1 m. Acoplado a este 
triângulo construímos outro triângulo OZW, 
retângulo em Z, de tal modo que o seu cateto OZ é 
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a hipotenusa do triângulo XOZ. Observe que a 
hipotenusa do triângulo OZW é exterior ao triângulo 
XOZ. Se nestes triângulos os ângulos ZÔX e ZÔW 
são congruentes com medida y, então a medida, em 
metro, da hipotenusa OW é 
 
A) . 
B) cos 2y. 
C) . 
D) tg
2 
y – 1. 
QUESTÃO 6 
Duas vilas da zona rural de um município localizam-
se na mesma margem de um trecho retilíneo de um 
rio. Devido a problemas de abastecimento de água, 
os moradores fizeram várias reivindicações à 
prefeitura, solicitando a construção de uma estação 
de bombeamento de água para sanar esses 
problemas. Um desenho do projeto, proposto pela 
prefeitura para a construção da estação, está 
mostrado na figura a seguir. No projeto, estão 
destacados: 
 
• Os pontos R1 e R2, representando os 
reservatórios de água de cada vila, e as distâncias 
desses reservatórios ao rio. 
• Os pontos A e B, localizados na margem do rio, 
respectivamente, mais próximos dos reservatórios 
R1 e R2. 
• O ponto S, localizado na margem do rio, entre os 
pontos A e B, onde deverá ser construída a estação 
de bombeamento. 
 
 
 
Com base nesses dados, para que a estação de 
bombeamento fique a uma mesma distância dos 
dois reservatórios de água das vilas, a distância 
entre os pontos A e S deverá ser de: 
 
a) 3.775 m 
b) 3.825 m 
c) 3.875 m 
d) 3.925 m 
e) 3.975 m 
QUESTÃO 7 
Na figura abaixo, encontra-se um triângulo inscrito 
em uma semicircunferência de centro O e raio 1. 
 
 
 
O ponto H é o pé da altura do triângulo em relação 
ao lado , e mede 1 – cos , 
sendo . A altura mede: 
 
a) sen 
b) 1 – sen 
c) 1 + sen 
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d) cos + sen 
e) 1 + cos 
QUESTÃO 8 
No sistema de coordenadas cartesianas usual, 
considere os pontos P = (0,1), E = (1,0) e R = ( , 
0). Se S é o ponto onde a reta perpendicular a PR 
passando por E intercepta PR, então a medida do 
ângulo PÊS é 
 
A) 30°. 
B) 45°. 
C) 60°. 
D) 75°. 
QUESTÃO 9 
Um retângulo de 40 metros de perímetro tem sua 
diagonal medindo d metros. Então, a área deste 
retângulo, em função do comprimento de sua 
diagonal, em metros quadrados, é: 
 
A) 200 – d
2 
 
B) 800 – 
C) 1600 – 
D) 200 – 
E) 400 – 
QUESTÃO 10 
 
 
 
 
A figura I ilustra as seis primeiras camadas de uma 
pirâmide de blocos cúbicos. Todos os blocos da 
pirâmide são constituídos de um mesmo material, a 
medida das arestas de cada bloco é h, e o número 
de blocos na camada k é k
2
, 1 ≤ k ≤ N. A força peso 
exercida por cada bloco de determinada camada 
está uniformemente distribuída entre os 4 blocos da 
camada seguinte que estão em contato com a base 
do bloco. As forças sobre cada bloco de uma 
camada k são representadas pelos elementos pij (k) 
de uma matriz P[k], quadrada, de ordem k, i = 1, ..., 
k e j = 1, ..., k. A rampa mostrada na figura II vai até 
o solo. 
 
A partir das informações dadas, julgue os itens 
(certo ou errado). 
 
• O comprimento mínimo da rampa mostrada na 
figura II é igual a . 
• Para cada k, P[k] é uma matriz simétrica. 
 
• É correto afirmar que p21(3) > 2 · p11(2). 
• O determinante da matriz P[2] é menor que o 
determinante da matriz P[4]. 
QUESTÃO 11 
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Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 
34 u.a. 
A área do quadrado maior é igual a 
 
01) 13 
02) 14 
03) 17 
04) 18 
05) 20 
QUESTÃO 12 
A Universidade Federal do Tocantins possui 7 
Campi espalhados pelo Estado, conforme indicados 
no mapa a seguir: 
 
 
 
Estes Campi possuem localização aproximada, 
conforme indicação no mapa, em que a fixação 
pontual de um Campus está relacionada com a 
malha quadriculada de coordenadas indicadas neste 
mapa, onde cada quadrado unitário desta malha 
tem 212 km de perímetro. 
 
Baseando-se nas informações apresentadas pode-
se afirmar que: 
 
I. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas 
até o Campus de Araguaína é de aproximadamente 
371 km. 
 
II. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas 
até o Campus de Miracema é de aproximadamente 
km. 
 
III. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas 
até o Campus de Araguaína é de aproximadamente 
318 km. 
 
IV. a distância (em linha reta) do Campus de Palmas 
até o Campus de Miracema é de aproximadamente 
km. 
 
Assim, conclui-se que: 
 
(A) apenas III e IV são corretas 
(B) apenas I e IV são corretas 
(C) apenas I e II são corretas 
(D) apenas II e III são corretas 
(E) todas são afirmações falsas 
QUESTÃO 13 
Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma 
superfície plana de uma mesma praia e, num dado 
instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 
45°, um pássaro (P) voando, conforme é 
representado na planificação a seguir. 
 
 
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Considerando desprezíveis as medidas das alturas 
de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele 
instante, a distância entre A e G era de 240 m, 
então a quantos metros de altura o pássaro distava 
da superfície da praia? 
a) 60( + 1) 
b) 120( – 1) 
c) 120( + 1) 
d) 180( – 1) 
e) 180( + 1) 
QUESTÃO 14 
Considere, no plano, duas retas paralelas r e s cuja 
distância que as separa é 3 cm. Tome em s um 
segmento de reta cuja medida é 1 cm e em r um 
ponto X tal que a distância de X a um dos extremos 
do segmento de reta considerado é 5 cm. As 
possíveis distâncias de X ao outro extremo do 
segmento são 
 
A) cm e cm. 
B) cm e cm. 
C) cm e cm. 
D) cm e cm. 
QUESTÃO 15 
Dois móveis, A e B, estão se deslocando por duas 
estradas retilíneas que se cruzam no ponto P 
(conforme a figura a seguir) e formam entre elas umângulo reto. 
 
 
 
No exato momento em que o móvel A está a 6 km 
de distância do ponto de cruzamento P, o móvel B 
está exatamente a 8 km de P. Portanto, a distância 
(em linha reta) entre A e B é: 
 
a) 14 km 
b) 6 km 
c) 8 km 
d) 10 km 
e) 15 km 
QUESTÃO 16 
Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro 
externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de 
uma superfície, como ilustra a figura. Que porção x 
da altura do cano permanecerá acima da superfície? 
 
 
 
a) cm. 
b) 1 cm. 
c) cm. 
d) cm. 
e) 2 cm. 
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QUESTÃO 17 
Numa escola, o acesso entre dois pisos 
desnivelados é feito por uma escada que tem quatro 
degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento 
por 12 cm de altura. Para atender à política de 
acessibilidade do governo federal, foi construída 
uma rampa, ao lado da escada, com mesma 
inclinação, conforme mostra a foto a seguir. 
 
 
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz 
com o solo. 
O valor encontrado pelo fiscal 
 
A) estava entre 30º e 45º. 
B) era menor que 30º. 
C) foi exatamente 45º. 
D) era maior que 45º. 
QUESTÃO 18 
O proprietário de um terreno precisa construir um 
caminho de acesso pelo qual se estabelece ligação 
entre três pontos de sua propriedade, A, P e X. 
Necessitando que o transporte entre P e X fosse 
feito mais rapidamente possível, construirrá uma 
entrada reta entre esses dois pontos e uma segunda 
via, também reta, para ligar o ponto A à primeira 
estrada, chegando a esta perpendicularmente, 
conforme a figura a seguir: 
 
 
 
O comprimento total das duas vias a serem 
construídas, em unidades de comprimento, é igual 
a: 
 
A) 11 
B) 22 
C) 10 + 
D) 
E) 
QUESTÃO 19 
O sistema de posicionamento global (GPS) 
funciona, utilizando-se uma rede de satélites 
distribuídos em torno da Terra. Ao receber os sinais 
dos satélites, o aparelho receptor GPS calcula sua 
posição P = (a, b, c) com relação a um certo sistema 
ortogonal de coordenadas cartesianas em IR
3
 e, 
depois, converte essas coordenadas cartesianas 
para coordenadas geográficas: latitude , longitude 
 e elevação . Se a > 0, b > 0 e c > 0, então é o 
ângulo entre os vetores (a, b, c) e (a, b, 0), é o 
ângulo entre os vetores (a, b, 0) e (1, 0, 0) e é a 
distância da origem do sistema de coordenadas ao 
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ponto P, conforme a figura a seguir. 
 
Para a > 0, b > 0 e c > 0, assinale a alternativa 
correta. 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
QUESTÃO 20 
Um cilindro tem o eixo horizontal como representado 
na figura a seguir. Nessa posição, sua altura é de 2 
m e seu comprimento, de 5 m. 
 
 
 
A região sombreada representa a seção do cilindro 
por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A 
área dessa superfície é 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 21 
Uma passarela construída em uma BR no Pará tem 
um vão livre de comprimento 4 L. A sustentação da 
passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos 
em uma coluna à esquerda a uma altura D da 
passarela. Esta coluna, por sua vez, é presa por um 
cabo de aço que está preso a um ponto na mesma 
altura da passarela, e a uma distância L da 
passarela, conforme representa a figura a seguir. 
 
Supondo L = 9 m e D = 12 m, o comprimento total 
dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros 
(A) 57 
(B) 111 
(C) 21 + 
(D) 30 + + 
(E) 30 + + 
QUESTÃO 22 
A casa central de uma fazenda situa-se a 9 km, 
contados ao longo de um caminho perpendicular à 
estrada reta que limita a fazenda. Na beira da 
estrada e a uma distância de 15 km da casa central, 
o fazendeiro construiu uma casa para seu filho. O 
fazendeiro agora quer construir, na beira da mesma 
estrada, um escritório que fique igualmente 
distanciado da casa do filho e da casa central. 
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A distância comum deverá ser: 
 
A) entre 8 e 9 km 
B) entre 11 e 12 km 
C) entre 12 e 13 km 
D) entre 9 e 10 km 
QUESTÃO 23 
A figura a seguir representa uma praça circular, com 
centro no ponto O, na escala de 1:1.000 O triângulo 
ADC é retângulo em D e mostra a área construída 
em que funcionam uma pequena academia de 
ginástica, sanitários e salão de dança. Se o 
diâmetro AB mede 13 cm, e o segmento CD mede 6 
cm, qual é, em metros quadrados, a medida da área 
construída? 
 
 
 
a) 800 
b) 1.000 
c) 1.100 
d) 1.200 
e) 1.400 
QUESTÃO 24 
A figura a seguir representa uma torre de altura H 
equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e 
L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente. 
 
 
 
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a 
medição das distâncias entre esses pontos. Apenas 
com as medidas dos ângulos C e D e a distância 
entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade 
de cabo (L1+ L2) que usou para fixar a torre. 
O valor encontrado, usando = 1,73 e = 10 
m, é 
A) 54,6 m. 
B) 44,8 m. 
C) 62,5 m. 
D) 48,6 m. 
QUESTÃO 25 
Ao meio dia, a formiga A está 3 km a oeste da 
formiga B. A formiga A está se movendo para o 
oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para 
o norte com a mesma velocidade. Qual a distância 
entre as duas formigas às 14h? 
 
(A) km 
(B) 17 km 
(C) km 
(D) km 
(E) 117 km 
QUESTÃO 26 
As medidas dos lados de um triângulo são números 
em progressão aritmética de razão 2. Nesse 
triângulo, a altura relativa ao lado, cuja medida é o 
2º termo da progressão, divide esse lado em dois 
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segmentos de comprimentos m e n . O valor 
absoluto |n − m| é: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
QUESTÃO 27 
Considere o triângulo ABC retângulo em A. 
Sejam e a altura e a mediana relativa à 
hipotenusa , respectivamente. Se a medida 
de é cm e a medida de é 1 cm, 
então mede, em centímetros, 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 28 
De um ponto A, situado no mesmo nível da base de 
uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é 
de 20
o
. De um ponto B, situado na mesma vertical 
de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da 
torre é de 18
o
. 
Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações 
tg 20
o
 ≈ 0,36 e tg 18
o
 ≈ 0,32. 
 
 
 
A) 42 m 
B) 43 m 
C) 44 m 
D) 45 m 
E) 46 m 
QUESTÃO 29 
Deseja-se construir uma rampa com ângulo de 
elevação em relação ao solo de 5% (isto significa 
que a tangente do ângulo é 0,05) e altura de 1,0 
metro. Logo, o comprimento aproximado dessa 
rampa será igual a: 
 
a. 20,02 m 
b. 2,02 m 
c. 200,2 m 
d. 2,002 m 
e. 2002 m 
QUESTÃO 30 
Em um bairro de certa cidade há uma praça 
retangular, bastante frequentada pela população, 
medindo 150 m de comprimento e 80 m de largura. 
Em um momento em que várias pessoas estão 
nessa praça, a distância entre duas dessas pessoas 
pode ser, no máximo, de: 
 
a) 150 m 
b) 170 m 
c) 200 m 
d) 283 m 
e) 125 m 
QUESTÃO 31 
João saiu de um ponto A, andou 5 m para leste, 3 m 
para o norte, 1 m para oeste e 5 m para o sul, 
chegando a um ponto B. A distância, em metros, 
entre os pontos A e B é: 
 
A) 2 
B) 3 
C) 3 
D) 4 
E) 4 
QUESTÃO 32 
Na figura a seguir, temos representado um triânguloisósceles ABC, retângulo em C. Os lados a, b e c 
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(opostos aos vértices A, B e C, respectivamente) 
desse triângulo são diâmetros de semicírculos S1, 
S2 e S3, respectivamente. 
 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
I. O valor da área de (S1 ∪ S2) é maior do que o 
valor da área de S3. 
II. O quadrado da soma das áreas de S1 e S2 é 
igual ao quadrado da área de S3. 
III. A razão tem o mesmo valor 
da razão . 
 
É correto afirmar que: 
 
a) somente I é verdadeira. 
b) somente II é verdadeira. 
c) somente III é verdadeira. 
d) somente I e II são verdadeiras. 
e) somente II e III são verdadeiras. 
QUESTÃO 33 
Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M 
é ponto médio de . Sabe-se ainda que é 
arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e 
 é arco de circunferência de centro M e raio 2 
cm, sendo P e D pontos de intersecção desses 
arcos. 
 
 
 
A distância de P até , em centímetros, é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 34 
No triângulo retângulo ABC, retângulo em C, tem-se 
que AB = . Sendo P um ponto de tal que 
PC = 2 e perpendicular a , a maior medida 
possível de é igual a 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 35 
Nos modelos de estruturas moleculares de alguns 
compostos químicos, os átomos se colocam como 
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vértices de poliedros ou de polígonos. 
No modelo molecular do composto químico SO3 
(trióxido de enxofre), por exemplo, os três átomos 
de oxigênio (O) formam um triângulo equilátero e o 
átomo de enxofre (S) se localiza no centro desse 
triângulo. Nesse exemplo, a distância entre os 
átomos de oxigênio é de 248 picômetros (pm), 
sendo que 1pm = 10
−12
 m. A distância entre o 
núcleo de enxofre (S) e qualquer um dos núcleos de 
oxigênio é chamada comprimento da ligação. 
Considerando-se essas informações, pode-se 
afirmar que o comprimento da ligação do SO3 é 
igual a 
 
01) pm 
02) pm 
03) pm 
04) pm 
05) pm 
QUESTÃO 36 
Num triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é 
o triplo da medida de um dos catetos. A razão entre 
a medida da hipotenusa e a medida do outro cateto 
é igual a: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 37 
Numa região plana e horizontal, um jovem encontra-
se em um ponto J distante 30 metros de um cavalo 
que está em um ponto C. Um fumante encontra-se 
em um ponto F distante 20 metros do ponto C. A 
distância do ponto J à reta que passa pelos pontos 
C e F mede metros. A distância, em metros, 
entre o jovem e o fumante é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 38 
O monitor de um notebook tem formato retangular 
com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo 
mede do outro. A área do monitor é dada por: 
 
A 0,44d
2
 
B 0,46d
2 
C 0,48d
2
 
D 0,50d
2
 
E 0,52d
2 
QUESTÃO 39 
Os lados do retângulo ABCD medem AB = 4 e BC 
=12. O ponto P do lado AD está mais próximo de A 
do que de D e é tal que o ângulo é reto. 
A distância de P ao vértice A é: 
 
Use, se necessário, , , 
, 
 
a) 1,52 
b) 3,10 
c) 2,84 
d) 2,35 
e) 1,96 
 
QUESTÃO 40 
Problemas matemáticos encontrados em diversas 
tábuas da Antiga Babilônia, sobretudo as 
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registradas no texto cuneiforme intitulado Plimpton 
322 (por volta de 1800 a.C.), mostram que essa 
civilização já conhecia o Teorema de Pitágoras e o 
utilizava para estudar os lados, a e b, de um 
retângulo, a sua área, A, e sua diagonal, d. 
 
 
Uma instrução encontrada nesse texto cuneiforme é 
a seguinte: 
 
I. Multiplique a área por dois. 
II. Eleve ao quadrado a diagonal. 
III. Subtraia, do valor encontrado em II, o encontrado 
em I. 
IV. Extraia a raiz quadrada desse resultado e o 
divida por dois. 
V. Ache a quarta parte do valor encontrado em III, 
adicione a área e extraia a raiz quadrada do 
resultado. 
VI. Some o valor encontrado em IV com o 
encontrado em V. 
 
Efetuando o processo descrito acima, encontra-se 
uma expressão que pode ser escrita, em função de 
a e b, como: 
 
(A) a 
(B) ab 
(C) a
2 
+ b
2 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 41 
Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da 
posição P1, um barco ancorado no horizonte norte 
na posição B. Nesta posição P1, o ângulo de visão 
do barco, em relação à praia, é de 90°, como 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Ele corre aproximadamente 1.000 metros na direção 
oeste e observa novamente o barco a partir da 
posição P2. Neste novo ponto de observação P2, o 
ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 
45°. 
 
Qual a distância P2B aproximadamente? 
 
a) 1.000 metros 
b) 1.014 metros 
c) 1.414 metros 
d) 1.714 metros 
e) 2.414 metros 
QUESTÃO 42 
Um terreno formado por três triângulos retângulos 
está localizado na esquina da rua das Rosas com a 
rua das Violetas, conforme representado na figura a 
seguir: 
 
 
 
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Quanto mede o lado AE do terreno? 
 
a) 10 m. 
b) 15 m. 
c) 21 m. 
d) 20 m. 
e) 30 m. 
QUESTÃO 43 
Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 2,5 
cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. 
O valor de h
2
 expresso em cm
2
 é, 
aproximadamente, igual a 
 
a) 0,54 
b) 0,56 
c) 0,58 
d) 0,60 
e) 0,62 
QUESTÃO 44 
Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 
metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na 
direção norte e parou. 
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante 
passou a ser: 
 
a) 8 metros 
b) 10 metros 
c) 12 metros 
d) 14 metros 
e) 16 metros 
QUESTÃO 45 
Uma pessoa está sentada em uma sala de projeção, 
na cadeira central de uma fileira. De um plano 
horizontal, na altura de seus olhos, ela vê a tela 
plana sob um ângulo de 60º, como mostra a figura a 
seguir. 
 
 
 
Se, nesse plano, as distâncias do observador às 
extremidades da tela são iguais a 12 m, então a 
distância dele à tela, em metros, é igual a 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 46 
A figura plana apresentada a seguir representa um 
boiadeiro no ponto B que decide cavalgar até um 
ponto P, localizado na margem de uma represa, 
para deixar seu cavalo beber água, antes de ir até o 
curral, no ponto C. 
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Em cada um dos percursos retilíneos BP e PC, o 
boiadeiro consegue manter uma velocidade 
constante de cavalgada, porém, depois de beber 
água, o cavalo fica mais lento, e a velocidade no 
percurso PC é a metade da velocidade no percurso 
BP. 
Considerando que o ponto P pertence ao segmento 
AD, qual deve ser a medida de AP para que o 
tempo gasto em cada um dos dois percursos seja o 
mesmo? 
QUESTÃO 47 
Dados experimentais indicam que a dilatação linear 
experimentada por um objeto material é 
proporcional ao seu comprimento inicial (L0) e à 
variação da temperatura a que é submetido (ΔT), 
sendo que a constante de proporcionalidade, 
denominada de coeficiente de dilatação linear (α) , 
depende do material utilizado. 
 
Um fio de alumínio (α = 25 × 10
−6 
ºC
−1
) de 10 m de 
comprimento está a uma temperatura de 20 ºC, e é 
fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja 
distância é de 10 m .Um peso é colocado em seu 
ponto médio, de modo que o fio possa ser 
considerado reto entre o ponto médio e cada 
extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo 
uma temperatura de 40 ºC, ele sofrerá uma 
dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma 
distância H da horizontal, como mostrado na figura. 
Nessa situação, qual é o valor de H em 
centímetros? 
 
 
QUESTÃO 48 
Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 1, 
e BCG é um triângulo equilátero. 
 
 
 
0-0) O ângulo DEC mede 45º. 
1-1) O segmento ED mede . 
2-2) A tangente do ângulo AEB é . 
3-3) O triângulo EBC é isósceles. 
4-4) O segmento EB mede . 
QUESTÃO 49 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante 
dos três vértices. 
 
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02. Resolvendo o sistema 
matricial obtém-
se . 
 
04. A razão da progressão aritmética (log 10, log 
100 e log 1000) é igual a 10. 
 
08. O valor numérico de t na figura a seguir 
é . 
 
 
 
16. Sendo e , então o 
produto entre a matriz inversa de A e a matriz 
transposta de B é a matriz . 
QUESTÃO 50 
Sabendo que , para 
algum , determine sen . 
QUESTÃO 51 
Se r e s são as retas perpendiculares, conforme 
esboçadas abaixo, determine a ordenada do ponto 
P, que é a interseção de r e s. 
 
 
QUESTÃO 52 
Um triângulo retângulo tem área 6 cm
2 
e perímetro 
12 cm. Quanto mede a hipotenusa? 
QUESTÃO 53 
Uma prateleira de um metro de comprimento e 4,4 
cm de espessura deve ser encaixada entre duas 
paredes planas e paralelas. Por razões 
operacionais, a prateleira deve ser colocada 
enviesada (inclinada), para depois ser girada até a 
posição final, como indica a figura. 
 
 
 
Se a distância entre as paredes é de um metro e 
um milímetro, é possível encaixar a prateleira? 
QUESTÃO 54 
Considere o triângulo acutângulo ABC. Sabemos 
que o segmento mede 13 e que o 
segmento mede 10. Seja a altura relativa 
ao vértice B, isto é, Epertence ao segmento 
e é perpendicular a , conforme a figura. 
Sabemos que mede 12. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a) Calcule quanto mede o lado . 
b) Seja a altura relativa ao vértice C. Calcule o 
comprimento de . 
c) Seja X um ponto sobre o lado . Os pontos Y e 
Z pertencem aos lados e , respectivamente. 
Sabemos que é perpendicular a , que 
é perpendicular a e que = 5. Calcule o 
comprimento do segmento . 
QUESTÃO 55 
Na figura a seguir, considere o retângulo ABDG. 
Sejam C e E pontos dos segmentos e , 
respectivamente, e F um ponto do segmento . 
 
 
 
Sabendo que AB = 3 cm, BC = 1 cm, BÂF = 45º 
e = 30º, determine a medida do comprimento 
do segmento . 
QUESTÃO 56 
No quadrilátero ABCD mostrado na figura 
abaixo, e são ângulos retos, BC = x, CD = 2x, 
AD = 3x e . Determine: 
A) o comprimento dos segmentos AC e AB em 
função de x. 
B) o valor de . 
 
QUESTÃO 57 
A tela de uma TV está no formato widescreen, no 
qual a largura e a altura estão na proporção de 16 
para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 
polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em 
centímetros? 
(Para simplificar os cálculos, use as aproximações 
 ≈ 18,5 e 1 polegada ≈ 2,5 cm) 
QUESTÃO 58 
Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte 
trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km 
no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, 
depois 1 km no sentido norte novamente, e então 
caminhou 2 km no sentido oeste. 
Após esse percurso, a que distância a pessoa se 
encontra do ponto de onde iniciou o trajeto? 
QUESTÃO 59 
Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 
15 m e o lado AE medindo 6 m. A distância entre A 
e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto 
A ao ponto D passando por B. Veja a figura a seguir. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 
100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D 
custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca? 
 
b) Calcule a área da região hachurada ABDE. 
 
c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura 
a seguir. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui 
cateto BB’ = 2BC, calcule a área do triângulo BB’D’. 
 
QUESTÃO 60 
Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos 
anos 1980, envolveu-se com o estudo dos 
misteriosos círculos que apareceram em plantações 
na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos 
seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, 
três círculos congruentes, com centros nos vértices 
de um triângulo equilátero, tinham uma reta 
tangente comum. 
 
 
 
Nestas condições, e considerando-se uma 
circunferência maior que passe pelos centros dos 
três círculos congruentes, calcule a razão entre o 
raio da circunferência maior e o raio dos círculos 
menores. 
QUESTÃO 61 
Na figura a seguir AB = AD = 25, BC = 15 e DE = 7. 
Os ângulos DÊA, e são retos. Determine 
e assinale AF. 
 
 
QUESTÃO 62 
Num triângulo, a base mede b cm, os outros dois 
lados medem 10 cm cada um e a altura mede a cm, 
onde 0 < a < 10. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a) Determine b em função de a. 
b) Dado que os dois números a e b são números 
inteiros, mostre que b é par e ache os possíveis 
valores de b. 
QUESTÃO 63 
Um recipiente, com formato esférico, foi seccionado 
em sua parte superior, determinando um círculo de 
raio OP, hachurado na figura a seguir. 
 
 
 
Considerando que = 0,5 m e = 1,2 m, 
calcule a área do círculo de raio OP. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 1 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Representando os lados desse triângulo retângulo 
pelos elementos da PA. (x – r, x, x + r), temos que: 
 
Utilizando seu 
perímetro, 
e pelo Teorema de 
Pitágoras, 
 
. 
Logo, os lados do triângulo são 6, 8 e 10. 
 
Como o menor lado mede 6, temos que sua 
projeção ortogonal sobre a hipotenusa será igual a: 
 
 
 
QUESTÃO 2 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações do enunciado, podemos 
construir o seguinte triângulo retângulo ABC: 
 
 
 
Utilizando o triângulo retângulo CBD e aplicando o 
Teorema de Pitágoras, temos que: 
 
 
 
QUESTÃO 3 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a corda for puxada 1,4 m, restam 3,9 – 1,4 = 2,5 
m, e teremos a seguinte figura: 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo menor, 
encontramos y: 
 
Agora, ainda utilizando o Teorema de Pitágoras, no 
triângulo maior, encontramos x: 
 
 
Como x é positivo, temos x = 1,6 m. 
 
QUESTÃO 4 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que, mesmo após deslizar, o comprimento da 
escada (representada pelo tracejado da figura) 
continua sendo de 60 dm. Aplicando o Teorema de 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Pitágoras no triângulo desenhado, temos, em dm: 
 
 
 
QUESTÃO 5 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com o enunciado, o cosseno de y em 
cada um dos triângulos é dado por: 
XOZ: cos y = 
OZ = (I) 
OZW: cos y = 
OZ = OW cos y (II) 
Igualando (I) e (II), obtemos: 
 
 
 
Assim, a hipotenusa OW mede, em metros, 
. 
 
QUESTÃO 6 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Chamando a distância AS de x, temos que a 
distância SB será 4 – x. As distâncias entre S e R1 e 
S e entre R2 devem ser iguais, assim, aplicando 
Pitágoras,temos: 
 
 
QUESTÃO 7 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
BC = 2, logo: 
BH = 2 − HC 
BH = 2 – (1 − cos x) 
BH = 2 – 1 + cos x 
BH = 1 + cos x 
 
 
 
QUESTÃO 8 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Como pode ser visto na figura a seguir, dado que a 
distância de P e de E em relação à origem é igual, 
temos um triângulo que é retângulo e isósceles 
simultaneamente, o que produz dois ângulos de 45°. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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O seno do ângulo é dado por: 
 
sen = 
sen = 
 = 30°. 
 
Dado que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180°, temos: 
 
180° = 90° + 30° + x 
y = 75°. 
 
De acordo com a figura, o ângulo PÊS (x) deve ser, 
portanto, igual a: 
 
180° = 45° + y + 60° 
x = 60°. 
 
QUESTÃO 9 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja a e b, respectivamente, a largura e o 
comprimento deste retângulo. 
Como seu perímetro mede 40 metros, concluímos 
que 2a + 2b = 40 ⇒ a + b = 20 (I). 
Do teorema de Pitágoras, temos que: 
d
2
 = a
2
 + b
2
 ⇒ d2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab ⇒ d2 + 2ab 
= (a + b)
2 
 
Como desejamos obter a área do retângulo, ou seja, 
a × b, devemos isolá-lo na relação anterior: 
d
2
 + 2ab = (a + b)
2
 ⇒ 2ab = (a + b)2 – d2 ⇒ ab 
= 
 
De (I), concluímos que ab = ab 
= ab= 200 – m
2
. 
 
QUESTÃO 10 
C C C E 
 
RESOLUÇÃO: 
• C – Cada camada forma com a seguinte e com um 
trecho da rampa um triângulo retângulo de catetos h 
e , e hipotenusa que chamaremos de x, onde 
x(N – 1) completa a rampa inteira: 
 
Logo, a rampa mede . 
 
• C – De fato, P[k] é quadrada, e Pij = Pji (pois a 
força está uniformemente distribuída), então P[k] é 
simétrica. 
 
• C – A força p21 (da camada k = 3) é a força de 2/4 
= 1/2 do bloco da camada 2, acrescentado de uma 
força p referente ao bloco da camada k = 1. 
A força p11 (da camada k = 2) é a força de 1/4 do 
bloco da camada 1. 
 
Assim, 
p21(3) = 1/2 + p 
p11(2) = 1/4 e 2p21(3) = 1/2 
 
Logo, 
p21(3) > 2p11(2). 
 
• E – Como os blocos e suas respectivas forças 
peso são uniforme e simetricamente distribuídos, 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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temos que a primeira e a última linha (ou coluna) de 
cada matriz P[k] são iguais. Portanto os 
determinantes são iguais a zero. 
 
QUESTÃO 11 
03 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b e c as medidas dos lados dos 
quadrados, e c o lado do quadrado maior. Temos: 
 
 
 
Logo, a área do quadrado maior mede 17 u.a. 
 
QUESTÃO 12 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
I. Correta e III. Incorreta. Distância (em linha reta) do 
Campus de Palmas até o Campus de Araguaína: 
 
7(53) = 371 
 
II. Incorreta e IV. Correta. Distância (em linha reta) 
do Campus de Palmas até 
o Campus de Miracema: 
 
A distancia de Palmas até Miracema é de 
, que é a diagonal de um quadrado de lado 53km 
 
 
QUESTÃO 13 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
O triângulo APG pode ser subdivido em dois outros 
triângulos, como pode ser visto na figura a seguir: 
 
A partir desses dois triângulos, obtemos a seguinte 
relação: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 14 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Observando as figuras a seguir, temos as seguintes 
relações: 
 
d
2
 = 3
2
 + 3
2
 → d
2
 = 18 → d = 3 . 
 
d
2
 = 5
2 
+ 3
2
 → d
2
 = 34 → d = . 
 
 
 
QUESTÃO 15 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A distância do ponto A ao ponto B, em linha reta, 
pode ser calculada com base na figura a seguir. 
 
 
 
x
2
 = 6
2 
+ 8
2 
x
2
 = 36+ 64 
x
2
 = 100 
x = 
x = 10 km 
 
QUESTÃO 16 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura: 
 
o triângulo AOT é retângulo em T e = 30º 
Logo sen30º = 
Assim: 
AO + OC = 8 + x 
6 + 3 = 8 + x 
x = 1 cm 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 17 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A tangente do ângulo em questão é dada por: 
 
tgθ = 
tgθ = 0,5 
 
Esse valor indica que o ângulo que a rampa faz com 
o solo é menor que 30°. 
 
QUESTÃO 18 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura fornecida no enunciado e a 
figura a seguir, os triângulos ABC e QPX são 
retângulos e isósceles. Temos, portanto: 
 
 
 
(AC)
2
 = (AB)
2
 + (BC)
2 
(AC)
2
 = (6)
2
 + (6)
2 
AC = 6 
(PX)
2
 = (QX)
2
 + (QP)
2 
(PX)
2
 = (4)
2
 + (4)
2 
AC = 4 

O triângulo CNX também é isósceles e retângulo. 
Uma vez que os catetos CN e NX são iguais, 
obtemos: 
 
(CX)
2
 = (CN)
2
 + (NX)
2 
(CX)
2
 = (CN)
2
 + (CN)
2 
(2)
2
 = 2(CN)
2 
CN = 

A distância AN é dada pela soma entre os 
segmentos AC e CN, ou seja: 
 
AN = AC + NC 
AN = 6 + 
AN = 7 

O exercício pede a soma dos segmentos PX e AN. 
Temos, portanto: 
 
PX + AN = 4 + 7 
PX + AN = 11 . 
 
QUESTÃO 19 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura fornecida, temos as 
seguintes relações: 
I) 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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II) . 
III) . 
 
 
QUESTÃO 20 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura abaixo, que mostra o tubo 
visto frontalmente, temos; 
 
 
 
h
2
 = c
2
 + c
2 
1
2
 = 0,5
2
 + 
(1 = 0,25 + ) · 4 
4 = 1 + x
2 
x
2
 = 3 
x = 
Assim, a área da superfície em questão é dada por: 
Asuperfície = lado · lado 
Asuperfície = 5 · 
 
QUESTÃO 21 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Conforme o enunciado, a sustentação da passarela 
é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma 
coluna. Chamaremos de x, y e z o comprimento de 
cada cabo de aço representado na figura a seguir. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Utilizando o teorema de Pitágoras, vamos calcular o 
comprimento x, y e z de cada cabo de aço, sabendo 
que L = 9 e D = 12. 
x
2
 = D
2
 + L
2
 ⇒ x2 = 122 + 92 ⇒ x = 15. 
 
y
2
 = D
2
 + 18
2
 ⇒ y2 = 122 + 182 ⇒ y2 = 468 ⇒ y = 
. 
 
z
2
 = D
2
 + 27
2
 ⇒ z2 = 122 + 272 ⇒ z2 = 873 ⇒ z = 
. 
 
O comprimento total dos quatro cabos de aço 
utilizados é, portanto, igual a: 
x + x + y + z = 15 + 15 + 
. 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando-se a figura, em que x é a distância 
procurada: 
 
 
 
No triângulo ABC: 
 
 
 
Assim, AD = AC – DC = 12 – x. 
 
No triângulo ABD: 
 
BD
2
 = AB
2
 + AD
2 
x
2
 = 9
2
 + (12 – x)
2 
x
2
 = 81 + 144 – 24x + x
2 
24x = 225 
x ≈ 9,4 km 
 
Portanto, a distância comum aos dois pontos está 
entre 9 e 10 km. 
 
QUESTÃO 23 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que, por estar inscrito em uma 
semicircunferência, o triângulo ACB é retângulo em 
C. 
Sendo x a medida de AD e aplicando relações 
métricas do triângulo retângulo, temos: 
CD
2
 = AD · DB 
6
2
 = (x) · (13 – x) 
36 = 13x – x
2 
x
2
 – 13x + 36 = 0 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Por soma e produto, temos x = 4 ou x = 9. 
Como a medida de AD deve ser menor que o raio 
(13 : 2 = 6,5), então x = 4. 
 
A área do triângulo pode ser calculada pela metade 
do produto dos catetos. Usando a escala dada, os 
catetos da região construída medem 4.000 cm e 
6.000 cm, ou seja, 40 e 60 metros. 
A área construída será: = 1.200 m2
. 
 
QUESTÃO 24 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela soma dos ângulos internos do triângulo, 
conclui-se que o triângulo formado por CD, L1 e L2 
é retângulo de hipotenusa CD. Aplicando 
trigonometria, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 25 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Como cada formiga anda 3 km/h, passadas duas 
horas do meio dia, cada formiga vai ter andado 6 km 
e a distância entre elas, às 14 horas, é a hipotenusa 
de um triângulo retângulo com um cateto medido 6 
km (distância percorrida pela formiga B) e o outro 
cateto medindo 9 km (distância percorrida pela 
formiga A + 3 km). Logo a distância entre elas, às 
14h, é km = km. 
 
QUESTÃO 26 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Por conveniência, adotaremos as seguintes 
convenções: 
Os lados do triângulo serão x – 2, x e x + 2. 
As projeções de x – 2 e x + 2 sobre x serão, 
respectivamente, m e n (de modo que n > m e n – m 
> 0). 
A altura será h. 
 
Separando o triângulo original em dois triângulos 
retângulos, temos: 
h² + n² = (x + 2)² = x² + 4x + 4 (equação I) 
h² + m² = (x – 2)² = x² – 4x + 4 (equação II) 
 
Fazendo I – II: 
n² – m² = 8x 
(n – m)(n + m) = 8x 
 
Lembrando que m e n são as projeções sobre o lado 
x, temos que n + m = x: 
(n – m) · x = 8x 
n – m = 8. 
 
QUESTÃO 27 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações dadas, constrói-se a 
seguinte figura: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Como o triângulo ABC é retângulo, a mediana 
 relativa à hipotenusa é igual à metade da 
hipotenusa. Ou seja, como D é ponto médio de , 
temos . 
Além disso, 
. 
Assim, pelas relações métricas no triângulo 
retângulo, 
temos
. 
 
QUESTÃO 28 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se h é a altura da torre e x a distância de A à torre, 
temos que tg 20º = e tg 18º = . Segue 
que 
e 
 
. 
 
QUESTÃO 29 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura, construída a partir das 
informações do enunciado: 
 
 
. 
Pelo teorema de Pitágoras, temos: 
 
. 
O comprimento da rampa é de aproximadamente 
20,02 metros. 
 
QUESTÃO 30 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A distância máxima D entre duas pessoas é dada 
quando elas estão situadas em vértices não 
consecutivos do retângulo, conforme a figura a 
seguir: 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, 
 
 
QUESTÃO 31 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Na no triângulo da figura, aplica-se o Teorema de 
Pitágoras: 
 
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Assim, 
 
 
QUESTÃO 32 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o triângulo é isósceles, a área de S1 é igual à 
área de S2. 
Uma decorrência direta do Teorema de Pitágoras é 
que qualquer área de figura regular sobre o lado c é 
igual à soma das áreas de figuras semelhantes 
sobre os lados b e c. 
Logo, podemos analisar as alternativas: 
 
I. Incorreta. A união das áreas de S1 e S2 é igual á 
área de S3. 
II. Correta. Se a união das áreas de S1 e S2 é igual 
á área de S3, então o quadrado dessa união é igual 
ao quadrado de S3. 
III. Correta. Como a área de S3 é equivalente à 
soma das áreas de S1 e S2, então a primeira fração 
é equivalente a 1. Como a área de S1 é 
equivalente à área de S2, então a segunda fração 
também é equivalente a 1. Logo, as duas frações 
são equivalentes entre si. 
 
QUESTÃO 33 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Veja as imagens a seguir: 
 
 
Na figura da esquerda, vemos que a distância 
procurada (x) é a projeção do cateto PC sobre a 
hipotenusa CD do triângulo PCD, que sabemos ser 
retângulo por estar inscrito em uma 
semicircunferência. 
Para encontrar o valor de x, precisamos primeiro 
descobrir o valor de y, que, como vemos na figura 
da esquerda, é a altura do triângulo retângulo AMD. 
 
Descobrindo a hipotenusa AM (por Pitágoras): 
AM² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 
AM = 
 
Descobrindo a altura y, por relação métrica (cateto · 
cateto = hipotenusa · altura): 
4 · 2 = AM · y = · y 
y = 
 
Descobrindo x, por relação métrica (cateto² = 
hipotenusa · projeção): 
(2y)² = 4 · (4 – x) 
4y² = 4 · (4 – x) 
y² = 4 – x 
 
 
 
QUESTÃO 34 
A 
 
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RESOLUÇÃO: 
Sabendo que é perpendicular a , 
concluimos que é altura do triângulo retângulo 
ABC. Costruindo o triângulo ABC, chegamos à 
seguinte figura: 
 
 
 
Sendo assim, utilizando as relações métricas no 
triângulo retângulo, temos que: 
 
 
Portanto, resolvendo esta equação do 2º grau, a 
maior medida possível de será . 
 
QUESTÃO 35 
01 
 
RESOLUÇÃO: 
A altura de um triângulo equilátero é dada por: 
 
h = . 
Considerando o valor do lado como sendo a 
distância entre dois átomos de oxigênio: 
 
h = 
h = pm. 
A distância entre um átomo de oxigênio e o átomo 
de enxofre equivale a da mediana (que 
corresponde à própria altura por se tratar de um 
triângulo equilátero). Assim, temos: 
 
 
 
d = 
d = pm. 
 
QUESTÃO 36 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b e 3a as medidas dos catetos e da 
hipotenusa, respectivamente. Então, pelo Teorema 
de Pitágoras: 
 
Deseja-se o valor da razão . Logo: 
 
 
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QUESTÃO 37 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações do enunciado, constrói-se a 
seguinte figura: 
 
Deseja-se encontrar a medida do segmento . 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
 
 
Assim, FP = 20 – 15 = 5 m. Portanto, 
 
 
 
QUESTÃO 38 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja x a medida do lado maior do retângulo. Assim, 
o outro lado mede e a área do retângulo 
mede . 
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se: 
 
 
Logo, a área do retângulo mede: 
 
 
QUESTÃO 39 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos 
ABP, CDP e BCP, temos: 
 
 
 
Como o ponto P, do lado AD, está mais próximo de 
A do que de P, temos que AP = (6 – ) cm 1, 
52 cm. 
 
QUESTÃO 40 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
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QUESTÃO 41 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Como a distância pedida é a hipotenusa do triângulo 
retângulo P1P2B e conhecemos o valor do cateto 
adjacente ao ângulo de 45°, concluímos que: 
 
 
 
QUESTÃO 42 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Aplicando Pitágoras em cada triângulo e utilizando o 
resultado no triângulo seguinte, temos: 
 
AC
2
 = AB
2
 + BC
2 
AC
2
 = 10
2
 + 10
2 
AC
2
 = 100 + 100 
AC
2
 = 200 
 
AD
2
 = AC
2
 + CD
2 
AD
2
 = 200 + 10
2 
AD
2
 = 200 + 100 
AD
2
 = 300 
 
AE
2
 = AD
2
 + DE
2 
AE
2
 = 300 + 10
2 
AE
2
 = 300 + 100 
AE
2
 = 400 
AE = 20 m 
 
QUESTÃO 43 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Essa altura irá dividir a base em duas partes, as 
quais chamaremos de x e (2,5 – x); sendo x a 
projeção do lado menor (1 cm) sobre a base e (2,5 – 
x) a projeção do outro lado (2 cm) também sobre a 
base. 
Desse modo podemos dividir esse triângulo em dois 
triângulos retângulos, em que os ângulos retos 
serão o encontro da altura h com a base e as 
respectivas hipotenusas serão os lados de 1 cm e 2 
cm. Aplicando o teorema de Pitágoras nos dois 
triângulos, temos: 
(I) h² + x² = 1 
(II) h² + (2,5 – x)² = 4 
 
Isolando h² na equação I e substituindo em II, 
temos: 
(I) h² = 1 – x² 
(II) 1 – x² + (2,5 – x)² = 41 – x² + 6,25 – 5x + x² = 4 
 1 + 6,25 – 5x = 4 
 5x = 7,25 – 4 = 3,25 
 x = 0,65 
 
Substituindo x em I, temos: 
h² = 1 – x² 
h² = 1 – 0,65² = 1 – 0,4225 = 0,5775 
O valor mais aproximado para esse resultado será 
h² = 0,58. 
 
QUESTÃO 44 
B 
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RESOLUÇÃO: 
A distância pedida é a hipotenusa de um triangulo 
retângulo de lados 8 m e 6 m. Temos portanto que o 
valor pedido é . 
 
QUESTÃO 45 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura, o ângulo é de 60 e os 
lados têm 12 m, ou seja, trata-se de um triângulo 
equilátero e, portanto, sua altura, que também 
representa sua distância à tela, é determinada por: 
 
h = 
h = 
h = m. 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
Sendo v a velocidade do cavalo no percurso CP e t 
o tempo gasto em cada um dos percursos, tem-se 
que 
 
E, no percurso CP, 
 
Assim, dessas duas equações, obtém-se 
 
Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos 
ABP e CDP, pode-se escrever a relação anterior em 
função de AP: 
 
De onde obtém-se a seguinte equação do 2
o
 grau: 
 
que tem como soluções: 
 
Como o ponto P está entre A e D e AD = 4 km, tem-
se 
 
 
QUESTÃO 47 
GABARITO: 
A dilatação do fio é dada por ΔL = α × ΔT × L0 = 25 
× 10
−6 
× 10 × 20 = m. 
Utilizando o Teorema de Pitágoras, H deve 
satisfazer a equação 
 
 
 
Substituindo o valor de ΔL obtido, obtém-se que 
 
 
Assim, H ≈ ≈ 0,158 m, ou H ≈ 15,8 cm. 
 
QUESTÃO 48 
FVVFF 
 
RESOLUÇÃO: 
 
ECB = CED = 60, ECD = 30º e tg30º = 
. Então e . Portanto, a 
tangente do ângulo AEB é . O ângulo EBC 
é maior que 60 e o ângulo BEC é o menor que 60º. 
 
Temos: 
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 e . 
 
QUESTÃO 49 
24 
 
RESOLUÇÃO: 
08 + 16 = 24 
 
01. Falsa 
O ortocentro é o encontro das alturas do triângulo. 
Na figura, os segmentos OA, OB e OC não têm a 
mesma medida, portanto o ponto O (ortocentro) não 
é equidistante dos vértices A, B e C. 
 
 
02. Falsa 
Multiplicando a primeira equação por (-2) e 
somando com a segunda, temos: 
 
04. Falsa 
log10 = 1 
log100 = log10
2
 = 2 log10 = 2 
log1000 = log10
3
 = 3 log10 = 3 
A razão é 1. 
 
08. Verdadeira 
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 
 
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, 
temos que . 
 
16. Verdadeira 
Cálculo da inversa de A: 
 
Transposta de B: 
 
Logo: 
. 
 
QUESTÃO 50 
GABARITO: 
 , 
pois . 
 
Assim, 
 
 
 
 
Como 0 < x < , podemos então montar o seguinte 
triângulo retângulo: 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Do qual podemos concluir 
que 
 
Resposta: 
 
QUESTÃO 51 
GABARITO: 
 
Temos que 
Se r é perpendicular a s, o triângulo APB é 
retângulo. 
 
Além disso, = 90° – 60° = 30°. 
 
Como , é 
retângulo, . 
Logo, 
E 
 
Ou ainda 
 
O coeficiente angular da reta r é k1 = tag 60° = . 
 
Se r é perpendicular a s, então o coeficiente angular 
de s é . 
 
Ou seja, s passa pelo ponto 
 
Logo, a equação de s é: . 
 
Como a abscissa de P é x = , a coordenada de 
P 
é 
 
 
QUESTÃO 52 
GABARITO: 
 
Sendo a e b os catetos e h a hipotenusa, temos que: 
 e a + b + h = 12 . 
Por Pitágoras, a
2
 + b
2
 = h
2
. 
Logo, h
2
 + 24 = (a + b)
2
 = (12 − h)
2
 = 144 − 24h + 
h
2
. 
Donde h = 5. 
 
QUESTÃO 53 
GABARITO: 
Sejam d o comprimento da diagonal AB e h a 
distância entre as paredes. 
 
Então, a condição para que a prateleira seja 
encaixada corretamente é: d h. 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que d
2
 = 1 + 
(0,044)
2
 = 1,001936. 
 
Como h
2
 = (1,001)
2
 = 1,002001, concluímos que d 
< h 
 
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Portanto, é possível colocar a prateleira 
corretamente. 
 
QUESTÃO 54 
GABARITO: 
 
 
 
a) Calculando o valor do segmento , 
temos . Logo, o valor 
de , portanto o triângulo é isósceles 
com . 
b) Sabemos que . Logo 
. 
c) , 
então e temos que 
 
 
QUESTÃO 55 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Na figura a seguir, considere M e N os pés das 
perpendiculares do ponto nos segmentos e 
, respectivamente. 
 
 
 
No triângulo retângulo CMF, obtemos: 
 
(I) sen(30º) = 
(II) cos(30º) 
= 
Note que NF = BC + CM = 1 + CM e AN = AB – NB 
= 3 – FM. Então, no triângulo retângulo ANF, 
obtemos 
 
(III) tg(45º) 
= 
 
Substituindo (I) e (II) em (III), obtemos: 
. 
Portanto, 
. 
 
QUESTÃO 56 
GABARITO: 
A) 
 
 
 
 
 
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B) 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 57 
GABARITO: 
(resolução oficial) 
 
Colocamos x: altura e y: largura. 
 
Tem-se . Por outro lado, pelo Teorema de 
Pitágoras, x
2 
+ y
2 
= 37
2
. Logo, y = e x
2 
+ = 37
2 
de onde se obtém 81x
2 
+ 256x
2 
= 
9
2 ·
 37
2
. Logo, 337x
2 
= 9
2 ·
 37
2
, e portanto: 
18,5x = 9 · 37 (só tomamos valores positivos) 
x = 18 pol = 18 · 2,5 = 45 cm 
y = 32 pol = 32 · 2,5 = 80 cm 
 
QUESTÃO 58 
GABARITO: 
Como as direções norte e oeste são ortogonais, 
formam os catetos de um triângulo retângulo que 
medem 3 + 1 = 4 km para norte e 4 + 2 = 6 km para 
oeste. A distância entre o ponto de partida e o de 
chegada será a hipotenusa desse triângulo: 
 
x
2
 = 4
2
 + 6
2 
x
2
 = 16 + 36 
x
2
 = 52 
. 
 
A distância é de aproximadamente 7,2 km. 
 
QUESTÃO 59 
GABARITO: 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
a) O preço da cerca é: AB = 7, logo BC = 8. 
Temos que BD
2
 = BC
2
 + CD
2
 ↔ BD = = 
10 = 100 × 7 + 200 × 10 = 700 + 2.000 = 2.700 
reais. 
 
b) A área é: 6 × 7 + (6 × 8) = 66. 
 
c) Temos: BC = CB' = 8, logo a área 
será: = 48. 
 
QUESTÃO 60 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
O triângulo equilátero com vértices nos centros dos 
círculos tem altura h = 2r, onde r é o raio dos 
círculos menores. Além disso, o raio R da 
circunferência circunscrita ao triângulo equilátero é 
da altura do triângulo. Logo, 
 
 
QUESTÃO 61 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Temos AC = = 20 e AE = 
= 24. Seja G o ponto de interseção de AC e BF. São 
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semelhantes os triângulos , e DÊA. 
Então, CG = e BG = ; portanto, AG = AC –
 = 20 – = = BG e AF = BC = 15. 
 
QUESTÃO 62 
GABARITO: 
(Resolução oficial.) 
 
a) Por Pitágoras, , logo b
2
 = 400 
– 4a
2
, onde . 
b) Por Pitágoras, logo b
2
 = 
400 – 4a
2
, donde b
2
 é par. Assim, b é par. 
As alternativas são: = 99, 96, 91, 84, 75, 64, 
51, 36, 19. Logo, , ou seja, b = 
16 ou 12. 
 
QUESTÃO 63 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Como o triângulo ABP é inscrito na esfera, ele é um 
triângulo retângulo em P. Assim, tem-se: 
 
 = 0,5
2
 + 1,2
2
 = 1,69 = 
1,3 m. 
No triângulo retângulo ABP, também vale a seguinte 
relação métrica: 
 
 0,5 × 1,2 = 1,3 
× 0,46 m. 
Assim, a área do círculo de raio é: 
π = π0,46
2
 = π0,2116 ≈ 0,664424 m
2
. 
	Exercíciosde Geometria Plana.
	Relações métricas nos triângulos retângulos.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 59
	Questão 60
	Questão 61
	Questão 62
	Questão 63
	Questão 1
	B
	Resolução:
	Questão 2
	D
	Resolução:
	Questão 3
	C
	Resolução:
	Questão 4
	A
	Resolução:
	Questão 5
	A
	Resolução:
	Questão 6
	C
	Resolução:
	Questão 7
	A
	Resolução:
	Questão 8
	D
	Resolução:
	Questão 9
	D
	Resolução:
	Questão 10
	C C C E
	Resolução:
	Questão 11
	03
	Resolução:
	Questão 12
	B
	Resolução:
	Questão 13
	B
	Resolução:
	Questão 14
	A
	Resolução:
	Questão 15
	D
	Resolução:
	Questão 16
	B
	Resolução:
	Questão 17
	B
	Resolução:
	Questão 18
	D
	Resolução:
	Questão 19
	E
	Resolução:
	Questão 20
	E
	Resolução:
	Questão 21
	D
	Resolução:
	Questão 22
	D
	Resolução:
	Questão 23
	D
	Resolução:
	Questão 24
	A
	Resolução:
	Questão 25
	D
	Resolução:
	Questão 26
	D
	Resolução:
	Questão 27
	C
	Resolução:
	Questão 28
	D
	Resolução:
	Questão 29
	A
	Resolução:
	Questão 30
	B
	Resolução:
	Questão 31
	A
	Resolução:
	Questão 32
	E
	Resolução:
	Questão 33
	A
	Resolução:
	Questão 34
	A
	Resolução:
	Questão 35
	01
	Resolução:
	Questão 36
	B
	Resolução:
	Questão 37
	E
	Resolução:
	Questão 38
	C
	Resolução:
	Questão 39
	A
	Resolução:
	Questão 40
	A
	Resolução:
	Questão 41
	C
	Resolução:
	Questão 42
	D
	Resolução:
	Questão 43
	C
	Resolução:
	Questão 44
	B
	Resolução:
	Questão 45
	D
	Resolução:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	Gabarito:
	Questão 48
	FVVFF
	Resolução:
	Questão 49
	24
	Resolução:
	Questão 50
	Gabarito:
	Questão 51
	Gabarito:
	Questão 52
	Gabarito:
	Questão 53
	Gabarito:
	Questão 54
	Gabarito:
	Questão 55
	Gabarito:
	Questão 56
	Gabarito:
	Questão 57
	Gabarito:
	Questão 58
	Gabarito:
	Questão 59
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 60
	Gabarito:
	Questão 61
	Gabarito:
	Questão 62
	Gabarito:
	Questão 63
	Gabarito: