Raizes de um polinômio e relações de Girard

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Exercícios de Polinômios. 
Raizes de um polinômio e relações 
de Girard. 
 
QUESTÃO 1 
A equação 3x
3
 – 13x
3
 + mx – 3 = 0, na incógnita x , 
tem três raízes reais que formam uma progressão 
geométrica, quando colocadas em ordem crescente. 
A maior raiz da equação é: 
 
A. 2 
B. 3 
C. 1 
D. 
E. 
QUESTÃO 2 
A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz 
da 
equação 
 é igual 
a 
a) 
b) 
c) 0 
d) 
e) 
QUESTÃO 3 
Com respeito à equação polinomial 2x
4 
− 3x
3
 − 3x
2
 
+ 6x − 2 = 0 é correto afirmar que 
 
A) todas as raízes estão em Q. 
B) uma única raiz está em Z e as demais estão em 
Q \ Z. 
C) duas raízes estão em Q e as demais têm parte 
imaginária não-nula. 
D) não é divisível por 2x − 1. 
E) uma única raiz está em Q \ Z e pelo menos uma 
das demais está em R \ Q. 
QUESTÃO 4 
Em relação às raízes da equação x
3
 – 4x
2
 + 3x = 0, 
podemos afirmar, corretamente, que 
 
A) uma delas é um número negativo. 
B) uma delas é um número irracional. 
C) uma delas é um número primo. 
D) o produto de todas elas é igual a 3. 
QUESTÃO 5 
Mestre Laureano, técnico e professor de Eletrônica, 
em uma das suas aulas práticas, escolheu três 
resistores e propôs aos seus alunos que 
calculassem o valor da resistência do resistor 
equivalente aos três resistores escolhidos, 
associados em paralelo. Para isso ele informou aos 
alunos que: 
 
• os valores R1, R2 e R3 das resistências dos três 
resistores escolhidos, medidas em ohms, são raízes 
do polinômio p(x) = x
3
 – 7x
2 
+ 16x – 12. 
 
• o valor R da resistência, medida em ohms, do 
resistor equivalente aos três resistores escolhidos, 
associados em paralelo, satisfaz a relação 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que o valor de R, em ohms, é igual a: 
 
a) 0,55 
b) 0,65 
c) 0,75 
d) 0,85 
e) 0,95 
QUESTÃO 6 
O polinômio P(x) = x
3 
+ ax
2
 + bx + c, é tal que o 
polinômio Q(x) = P(x) + P(–x) se anula em x = 2 e 
Q(1) = 2. Podemos afirmar corretamente que o 
produto das raízes de P(x) é: 
 
A) 
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B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 7 
Os números reais p e –p, com p > 0, são raízes da 
equação 4x
3
+ kx
2
 – 9x – 9i = 0, na qual i é o 
número complexo tal que i
2
 = –1. O valor do produto 
p · k · i é 
 
A) –9 
B) 9 
C) –6 
D) 6 
QUESTÃO 8 
Qual das afirmações a seguir, acerca do número 
real , é incorreta? 
A) α é raiz da equação x
3
 + 6x – 20 = 0. 
B) α = 2. 
C) α não é raiz da equação x
2
 + 2x + 10 = 0. 
D) As raízes de x
2
 + 2x + 10 = 0 são complexas e 
não reais. 
E) x
3
 + 6x – 20 = (x + 2)(x
2
+ 2x + 10). 
QUESTÃO 9 
Sabendo-se que x = 2 é um zero do 
polinômio , é 
correto afirmar que a soma das outras duas raízes é 
igual a: 
 
a) 1/3. 
b) 3/7. 
c) 1. 
d) 4/21. 
e) 4/9. 
QUESTÃO 10 
Se m, n e p são raízes distintas da equação 
algébrica x
3
 – x
2
 + x – 2 = 0, então m
3
 + n
3
 + p
3
 é 
igual a 
 
(A) –1. 
(B) 1. 
(C) 3. 
(D) 4. 
(E) 5. 
QUESTÃO 11 
Sejam f e g funções reais de variável real 
definidas por f(x) = e g(x) = x
4
 – 10x
2
 + 9. 
Podemos afirmar corretamente que a interseção 
entre o gráfico de f e o gráfico de g é constituído 
exatamente por 
 
A) 4 pontos. 
B) 3 pontos. 
C) 2 pontos. 
D) 1 ponto. 
QUESTÃO 12 
Terminou a colheita. Os grãos de soja, arroz, milho 
e trigo já estão a caminho do mercado. É a hora de 
pensar na próxima safra. O primeiro passo é reunir 
todos os restos que ficaram no chão, na estrada e 
nos terreiros e espalhar sobre os campos a fim de 
reter as águas da chuva, proteger o solo e liberar 
nutrientes, mantendo as boas condições para o 
novo plantio. 
 
A tabela a seguir apresenta as porcentagens de N, 
P e K por hectare de palhadas dos cereais 
indicados. 
 
Nutriente Milho Arroz Soja Trigo 
N 1,0 0,5 2,0 0,5 
P 0,2 0,1 0,2 0,1 
K 1,5 1,0 1,0 1,0 
 
(Adaptado de Globo Rural. Fevereiro 1989. p. 49 a 
51) 
 
As porcentagens de N, P e K por hectare de 
palhada de trigo são, respectivamente, os 
coeficientes a, b e c do polinômio y = ax
3
 + bx
2
 + 
cx. Esse polinômio admite 
 
(A) três raízes reais não inteiras. 
(B) duas raízes reais e uma não real. 
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(C) uma raiz real nula e duas positivas. 
(D) uma raiz real nula e duas não reais. 
(E) uma raiz real nula, uma positiva e uma negativa. 
QUESTÃO 13 
Uma das raízes da equação x
3
 + . . . – 64 = 0 é 
igual a 2. Se as raízes estão em progressão 
geométrica crescente, a soma das raízes é igual a 
 
A) 12 
B) 20 
C) 16 
D) 14 
E) 10 
QUESTÃO 14 
A figura indica a representação gráfica, no plano 
cartesiano ortogonal xOy, das funções y = x
2
 + 2x – 
5 e xy = 6. 
 
 
 
Sendo P, Q e R os pontos de intersecção das 
curvas, e p, q e r as respectivas abscissas dos 
pares ordenados que representam esses pontos, 
então p + q + r é igual a 
 
(A) . 
 
(B) −1. 
 
(C) . 
 
(D) −2. 
 
(E) −3. 
QUESTÃO 15 
A soma dos quadrados das raízes da equação x
2 
+ 
(p – 5)x – (p + 4) = 0 depende do número real p. O 
menor valor que esta soma pode assumir é 
 
A) 11. 
B) 17. 
C) 33. 
D) 37. 
QUESTÃO 16 
Considere a equação p(z + 1) · q(z + 1) = 0, em que 
os polinômios p(z) e q(z) são definidos por p(z) = z
4
 
+ 3z
2
 + 2 e q(z) = z
3 – 1. 
Pode-se afirmar que a quantidade de raízes 
complexas, não reais, dessa equação é igual a 
 
A) 7. 
B) 6. 
C) 4. 
D) 3. 
QUESTÃO 17 
Considere o 
polinômio 
 , em 
que uma das raízes é . Sabendo-se 
que e são reais e formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética 
com , então p( -2 ) é igual a 
 
A) –25 
B) –27 
C) –36 
D) –39 
E) –40 
QUESTÃO 18 
O polinômio de grau 
4 
 
com , é uma função par. Então, a soma 
dos módulos de suas raízes é igual a 
 
A ( ) . 
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B ( ) . 
C ( ) . 
D ( ) . 
E ( ) . 
QUESTÃO 19 
Observe o gráfico da função polinomial 
de em definida por P(x) = 2x
3
 - 6x
2
 + 3x + 2. 
 
 
 
Determine o conjunto solução da inequação P(x) > 
0. 
QUESTÃO 20 
Se na divisão do polinômio P(x) por x
2
 – 4 o resto é 
x + 22 e o quociente é x
2
 + 25 e se p é o produto e 
q a soma das raízes da equação P(x) = 0, então a 
potência p
q
 é igual a 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) 4. 
D) 8. 
QUESTÃO 21 
Seja f : IR → IR uma função polinomial do 2º grau 
definida por f(x) = x
2
 + mx + 8 – m, com m > 0. 
Sabendo que a função f possui uma única raiz real, 
qual é o valor de m? 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
QUESTÃO 22 
Se três das raízes da equação polinomial x
4
 + mx
2
 
+ nx + p = 0 na incógnita x são 1, 2 e 3, então, m + p 
é igual a 
 
(A) 35. 
(B) 24. 
(C) –12. 
(D) –61. 
(E) –63. 
QUESTÃO 23 
Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x3– 2x2+ 
x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é 
igual a 
 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 9. 
QUESTÃO 24 
A equação polinomial x
3
 − x
2
 − 16x − 20 = 0 tem 
raízes x1, x2 e x3. O valor da 
expressão é: 
A) 1 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 25 
A função polinomial P(x) = x³ + ax² + bx + c tem a 
propriedade de que a média aritmética dos seus 
zeros, o produto dos seus zerose a soma dos seus 
coeficientes são todos iguais. Se o intercepto do 
gráfico de y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de 
coordenadas (0, 2), b é igual a 
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(A) 5. 
(B) 1. 
(C) –9. 
(D) –10. 
(E) –11. 
QUESTÃO 26 
As raízes x1, x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax – 
(4 + )x
2
 + x
3
 estão relacionadas pelas 
equações: 
 
e 
 
Então, o coeficiente a é igual a 
A) . 
B) 
C) . 
D) . 
E) . 
 
QUESTÃO 27 
Considerando o polinômio P(x) = x
3
 – ax
2
 + bx – 1, 
em que a e b são números inteiros, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. Se a = b = 3, então P(x) = (x – 1)
3
. 
 
II. Se o polinômio admite a raiz 1, então a = b. 
 
III. Qualquer número inteiro pode ser raiz do 
polinômio, desde que a e b sejam escolhidos 
adequadamente. 
 
IV. A equação P(x) = 0 tem, pelo menos, uma raiz 
real, quaisquer que sejam a e b. 
 
V. Quaisquer que sejam a e b, o produto das raízes 
do polinômio é 1. 
 
Estão CORRETAS 
 
A) I, II e III 
B) I, III e V 
C) II, III e IV 
D) I, II, III e IV 
E) I, II, IV e V 
QUESTÃO 28 
Considere a 
equação de incógnita x 
e sendo m um coeficiente real. Sabendo que as 
raízes da equação formam uma progressão 
aritmética, o valor de m é: 
 
A) –5 
B) –3 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
QUESTÃO 29 
O conjunto solução da equação 1 + = x, com 
x ≠ 0 e x ≠ –1, é igual ao conjunto solução da 
equação: 
 
A) x
2
 – x – 1 = 0 
B) x
2
 + x – 1 = 0 
C) –x
2
 – x + 1 = 0 
D) x
2
 + x + 1 = 0 
E) –x
2
 + x –1 = 0 
QUESTÃO 30 
O governo de um município pretende construir 
cisternas para armazenamento de água, em formato 
de um paralelepípedo reto-retângulo, cujo volume é 
de 40 m
3
 e cuja base tem seu lado menor medindo 
2 m a mais que a profundidade dessa cisterna, e o 
lado maior, 3 m a mais que essa mesma 
profundidade. 
Considerando essas informações, a medida da 
profundidade da cisterna, em metros, pertence ao 
intervalo: 
 
a) . 
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b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 31 
Seja p(x) = x
5 
+ a4x
4
 + a3x
3
 + a2x
2
 + a1x + 
a0, sendo a0, a1, a2, a3, a4 números inteiros. É 
CORRETO afirmar que: 
 
a) o polinômio p(x) possui apenas 3 raízes 
complexas não reais. 
 
b) as possíveis raízes inteiras de p(x) pertencem ao 
conjunto dos divisores de a0. 
 
c) o polinômio p(x) possui 4 raízes reais. 
 
d) se 1 é raiz de p(x), então 1 + a4 + a3 + a2 + a1 + 
a0 0. 
 
e) se 2 é raiz de p(x), então p(x) é divisível por d(x) 
= x + 2. 
QUESTÃO 32 
Sejam f(x) = x
2
 + 1 e g(x) = x
2
 − 1. Então a equação 
f(g(x)) − g(f(x)) = −2 tem duas soluções reais. O 
produto das duas soluções é igual a: 
 
(A) −2 
(B) −1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) 2 
QUESTÃO 33 
A figura a seguir ilustra parte do gráfico de um 
polinômio p(x), com coeficientes reais, de grau 
quatro e com coeficiente dominante igual a 1. O 
gráfico passa pelos pontos (–2, 0), (2, 0), (0, –4) e 
(1, –6). Admitindo estas informações, assinale a 
alternativa incorreta. 
 
 
 
a) p(x) é divisível por x
2
 – 4. 
b) O coeficiente constante de p(x) é igual a –4. 
c) p(x) admite três raízes reais. 
d) p(x) = x
4
 – 3x
2
 –4. 
e) p(–x) = p(x), para todo x real. 
QUESTÃO 34 
A função polinomial P(x) 
= é 
crescente em todo o conjunto dos números reais. 
 
Podemos afirmar que: 
 
A O polinômio tem uma única raiz real negativa. 
B A soma das raízes vale 
C O polinômio tem três raízes complexas não reais. 
D O produto das raízes vale 
E O polinômio tem três raízes reais distintas. 
QUESTÃO 35 
A interseção do gráfico da função f: R →R, definida 
por f(x) = x
3
 – 3x
2
 – 6x + 8, com o eixo dos x (eixo 
horizontal no sistema de coordenadas cartesiano 
usual), são pontos da forma (x, 0). Os valores de x 
correspondentes a tais pontos estão no intervalo 
 
a) . 
b) . 
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c) . 
d) . 
QUESTÃO 36 
A soma entre o cubo de um número irracional 
positivo N e o triplo do quadrado do antecessor 
desse número N é igual a 21. Então é correto 
afirmar que 
 
(A) 0 < N < 1,5 
(B) 1,5 < N < 2 
(C) 2 < N < 2,5 
(D) 2,5 < N < 3 
(E) N > 3 
QUESTÃO 37 
Ao desmontar um cubo de Rubik (cubo mágico), 
uma criança percebeu que ele era formado por vinte 
e sete cubinhos menores e que dentre esses 
existiam oito cubinhos com três faces pintadas, doze 
com apenas duas faces pintadas, seis com apenas 
uma das faces pintadas e apenas um cubinho não 
possuía nenhuma das faces pintadas. 
A tabela a seguir mostra o número de cubinhos de 
cada tipo, que podem ser obtidos ao dividir a aresta 
de um cubo de madeira pintado em partes iguais. 
 
Número 
de 
divisões 
de cada 
aresta 
Cubinhos 
com três 
faces 
pintadas 
Cubinhos 
com 
apenas 
duas 
faces 
pintadas 
Cubinhos 
com 
apenas 
uma face 
pintada 
Cubinhos 
sem 
nenhuma 
face 
pintada 
Total 
de 
cubi
nhos 
3 8 12 6 1 27 
4 8 24 24 8 64 
5 8 36 54 27 125 
6 8 48 96 64 216 
7 8 60 150 125 343 
: : : : : : 
n 8 P1(n) P2(n) p3(n) n3 
 
Nessas condições, pode-se afirmar que, em R, a 
soma dos inversos das raízes do polinômio P(x) = 
P3(x) − P1(x) + P2(x) é igual a 
 
01) 
02) 
03) 
04) 
05) 
QUESTÃO 38 
As raízes do polinômio p(x) = x
3
 + 5x
2
 + 4x são 
 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1. 
c) –4, 0 e 4. 
d) –1, 0 e 1. 
e) 0, 1 e 4. 
QUESTÃO 39 
Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, 
na coluna II, as falsas. 
Considerando o polinômio q(x) = 9x
4
 + 18x
3
 – 
19x
2
 – 28x + 20, analise as afirmativas e conclua. 
 
I II 
0 0 Ao menos, uma de suas raízes será um 
número racional. 
1 1 Considerando S a soma de suas raízes 
e P o produto destas, então P + 9S 
será igual ao 
dobro do coeficiente do termo de mais 
alto grau de q(x). 
2 2 Considerando S a soma de suas raízes 
e P o produto destas, então 9P + S 
será igual ao 
dobro do coeficiente do termo de mais 
alto grau de q(x). 
3 3 A soma das suas raízes será um 
número inteiro. 
4 4 O produto das suas raízes será um 
número inteiro. 
QUESTÃO 40 
Considere os polinômios em da 
forma . 
As raízes de constituem uma progressão 
aritmética de razão quando (a1, a2, a3) é igual a 
 
a) . 
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b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 41 
Considere os polinômios p(x) = x
3
 e q(x) = x
2
 + x. O 
número de soluções da equação p(x) = q(x), no 
conjunto dos números reais, é 
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
QUESTÃO 42 
Dado o polinômio: 
, 
cujas raízes reais e positivas são x1, x2 e x3, 
podemos afirmar que o valor de k, que faz com que 
, é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 43 
O polinômio p(x) = x
3
 + x
2
 + x +1 possui: 
 
a. 2 raízes reais e 2 raízes complexas 
b. 3 raízes reais 
c. 1 raiz real e 2 raízes complexas 
d. 2 raízes reais e 1 raiz complexa 
e. 3 raízes complexas 
QUESTÃO 44 
O produto das raízes reais da equação polinomial 
 é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 45 
Os números –2, –1, 0, 1 e 2 são as soluções da 
equação polinomial p(x) = 0, as quais são todas 
simples. Se o polinômio p(x) é tal que p( ) = 
2 , entãoo valor de p( ) é igual a 
 
A) 2 . 
B) 3 . 
C) 3 . 
D) 6 . 
QUESTÃO 46 
Para que o polinômio 6x
3
 – 4x
2
 + 2mx – (m + 1) 
seja divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do 
módulo de m deve ser igual a 
 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 5 
QUESTÃO 47 
Sabendo que a, b e c são números inteiros e que o 
número complexo 2 + i é zero (raiz) do polinômio x
3
 
+ ax
2
 + bx + c , assinale o que for correto. 
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01) Esse polinômio possui outra raiz complexa, cujo 
módulo é . 
02) O argumento de 2 + i é superior a rad. 
04) Todas as raízes reais desse polinômio são 
inteiras. 
08) Se 1 é raiz desse polinômio, então a = c. 
16) É possível escolher os inteiros a, b e c , de 
modo que o polinômio não possua raízes reais. 
QUESTÃO 48 
Sabendo que x1, x2 e x3 são raízes do polinômio 
p(x) = 5x
3
 + x
2
 – 14x + 8, o valor de 
é igual a: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 49 
Sabendo-se que os números reais não nulos, a e -a, 
são soluções da equação 3x
3
 – 2x
2
 + px + 1 =0, 
então, pode-se afirmar que: 
 
A) 
B) < 1 
C) < 0 
D) p < – 1 
QUESTÃO 50 
Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 
satisfaz p(1) = –1, p(2) = –2 e p(3) = –1, é correto 
afirmar que a soma de suas raízes é: 
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
QUESTÃO 51 
Se n é o número de soluções da equação cos
4 
x – 4 
cos
3 
x + 6 cos
2 
x – 4 cos x + 1 = 0, no intervalo [ 0, 
2 ] , então o valor de n é 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) 3. 
D) 4. 
QUESTÃO 52 
Se os números m, p e q são as soluções da 
equação x
3
 – 7x
2
 + 14x – 8 = 0 então o valor da 
soma log2m + log2p + log2q é 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) 3. 
D) 4. 
QUESTÃO 53 
Se os números naturais n, n
2
 e n
3
 são as raízes da 
equação x
3
+ px
2
 + qx – 64 = 0, então, a soma p + 
q é igual a 
 
A) 30. 
B) 36. 
C) 42. 
D) 48. 
QUESTÃO 54 
Sejam r, s e t as raízes do polinômio 
, em que a e b são 
constantes reais não nulas. Se s
2
 = rt, então a soma 
de r + t é igual a 
 
a) . 
b) . 
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c) . 
d) . 
QUESTÃO 55 
Sendo a, b, c, d, e, f, g constantes reais, o gráfico da 
função polinomial P(x) = x
5
 + ax
4
 + bx
3
 + cx
2
 + dx + 
, com f ≠ g, tem 5 intersectos reais distintos 
com o eixo x, sendo um deles (0, 0). Nessas 
condições, necessariamente 
 
a) a ≠ 0. 
b) b ≠ 0. 
c) d ≠ 0. 
d) e ≠ 0. 
e) f ≠ 0. 
QUESTÃO 56 
Sobre as raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0, em 
que a, b e c são números inteiros ímpares, é correto 
afirmar: 
 
A) Sempre são irracionais. 
B) Sempre são racionais. 
C) Nunca são irracionais. 
D) Sempre são inteiras. 
E) Nunca são racionais. 
QUESTÃO 57 
Três das raízes da equação x
7
 – x
5
 + x
3
 – x = 0 são 
os números –1, 0, 1. Em relação às outras raízes, 
podemos afirmar, corretamente, que 
 
A) são raízes da equação x
4
 – 1 = 0 e seu produto é 
igual a –1. 
B) são raízes da equação x
4
 + 3x + 1 = 0 e seu 
produto é igual a –1. 
C) são raízes da equação x
4
 + 1 = 0 e seu produto é 
igual a 1. 
D) são raízes da equação x
4
 + 3x – 1 = 0 e seu 
produto é igual a 1. 
QUESTÃO 58 
Um romance realista foi escrito no século XIX, 
completando x anos em 2011. Se x
2 
– 135x + 1.800 
= 0, a soma dos algarismos do ano em que ele foi 
escrito é igual a 
 
(A) 15 
(B) 16 
(C) 17 
(D) 18 
(E) 19 
QUESTÃO 59 
Uma das raízes da equação 5x
3
 - 20x
2
 - 55x + 150 
= 0 é igual a 2. É CORRETO afirmar que 
 
A) a soma das outras duas raízes é igual a 8. 
B) o produto das outras duas raízes é igual a 15. 
C) a raiz quadrada da soma das três raízes é igual a 
2. 
D) a equação possui raízes repetidas. 
E) não existem outras raízes para a equação. 
QUESTÃO 60 
Uma organização não governamental desenvolveu 
um projeto de reciclagem de papel em um bairro 
popular de uma cidade, com o objetivo de contribuir 
com a política ambiental e gerar renda para as 
famílias carentes do bairro. A partir da catação do 
papel e utilizando um processo artesanal, as 
famílias produzem folhas de papelão em formato 
retangular medindo 21 cm x 42 cm. Um empresário 
local propôs comprar toda a produção mensal da 
comunidade para produzir caixas de papelão, em 
formato de paralelepípedo reto-retângulo, com 
volume igual a 810 cm
3
. Cada caixa é construída 
recortando-se quadrados em dois dos vértices da 
folha e retângulos nos outros dois vértices. Em 
seguida, as abas resultantes dos recortes são 
dobradas nas linhas tracejadas na folha, obtendo-se 
dessa forma a caixa, conforme representação nas 
figuras a seguir. 
 
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Considerando que uma possibilidade para a medida 
x do lado do quadrado a ser recortado é 3 cm, é 
correto afirmar que outro valor possível, em 
centímetros, para a medida x, pertence ao intervalo: 
 
a) (1,3) 
b) (3,5) 
c) (5,7) 
d) (7,9) 
e) (9,11) 
QUESTÃO 61 
A distorção do som da guitarra elétrica pode ser 
obtida por meio de dispositivos à válvula, como o 
pedal valvulado, gerando o som distorcido pelo 
processo de waveshaping, que consiste em 
transformar um sinal sonoro por meio de uma 
função não linear. Existem várias funções que 
podem ser utilizadas nesse processo, dentre elas 
estão os polinômios de Chebyshev de grau n, para n 
= 0, 1, 2, ..., 
definidos pela relação: 
Tn(x) = cos [n · arccos (x)], com x∈[−1, 1]. 
 
Considerando a relação que define os polinômios de 
Chebyshev, 
 
a) escreva a expressão que representa o polinômio 
T0(x) e esboce o seu gráfico. 
b) calcule os valores de x para os quais T2(x) = 0. 
QUESTÃO 62 
Considere os números complexos z = 1+ i e = 1− i 
, sendo i = a unidade imaginária. 
a) Escreva os números e na forma x + iy. 
b) Sabendo que z, e 2 são raízes do polinômio 
P(x) = x³ + ax² + bx + c, calcule os valores de a, b e 
c. 
QUESTÃO 63 
Considere um polígono H com os cinco vértices z1, 
z2, z3, z4 e z5. 
Sabe-se que esses vértices são, respectivamente, 
as raízes dos polinômios p(z) = (z
2
 + b
2
) · (z – a) e 
q(z) = z
2
 + 2az + a
2
 + b
2
, em que a e b são 
números reais positivos. 
 
Expresse, por meio de uma fórmula, a área de H em 
função de a e b. 
 
Sugestão: esboce graficamente H de forma a obter 
os seus vértices em função de a e b. 
QUESTÃO 64 
Seja . Elevando ambos 
os termos ao cubo, teremos x
3
 = 4 – 3x. Seja p(x) = 
x
3
 + 3x – 4. 
 
Como p(1) = 0, p(x) é divisível por x – 1 e, então, 
p(x) = (x – 1) · q(x), onde q é um polinômio. 
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a) Mostre que q(x) possui como zeros somente 
números complexos não reais e, portanto, que o 
número x = 1 é o único zero real de p(x). 
b) Mostre que é um número 
inteiro. 
QUESTÃO 65 
A ilustração a seguir é parte do gráfico de um 
polinômio p(x), de grau três e com coeficientes 
reais. O gráfico passa pelos pontos (–3, 0), (–1, 0), 
(2, 0) e (0, –1). 
 
 
 
Indique o valor de p(6). 
QUESTÃO 66 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. O ponto Q(1,0) está na região exterior à 
circunferência de equação x
2
 + y
2
 – 4x + 2y – 4 = 
0. 
 
02. As dimensões, em metros, de um 
paralelepípedo retângulosão dadas pelas raízes do 
polinômio p(x) = x
3
 – 10x
2
 + 31x – 30. Com base 
nestas informações, pode-se afirmar que a área 
total do paralelepípedo é de 62 m
2
. 
04. A figura a seguir mostra parte do gráfico da 
função f, de þ em þ, dada 
por . 
 
 
08. O cometa mais conhecido e mais famoso de 
todos os tempos, chamado Halley, cuja última 
aparição ocorreu em 1986, pode ser visto da Terra 
de 76 em 76 anos. Supondo que estas condições 
sejam mantidas, então, depois do ano 3000, o 
cometa fará sua primeira aparição no ano de 3054. 
16. O resto da divisão do polinômio p(x) = 2x
3
 – x
2
 + 
5x – 3 por x – 4 é igual a 135. 
QUESTÃO 67 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. Seja S o conjunto solução da 
equação em , então S está 
contido no intervalo [–2, 1]. 
 
02. Um polinômio p(x), dividido por x – 3, dá resto 5 
e, dividido por x + 1, dá resto 2. Então o resto da 
divisão de p(x) por (x – 3)(x + 1) é . 
 
04. Se a, b e c são as raízes da equação x
3
 – 7x + 6 
= 0 , então . 
 
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08. Se duas das raízes da equação 2x
4
 + 5x
3
 – 
35x
2
 – 80x + 48 = 0 são –3 e –4, então o produto 
entre as outras duas raízes é 4. 
 
16. O valor de M para que o polinômio 3x
3
 + x
2
 – 
7x – M seja divisível por (x + 2) é –8. 
QUESTÃO 68 
Considere os polinômios p(x) = 2x
5 
− 7x
4 
+ 15x
3 
+ 
ax
2 
+ bx − 8 e q(x) = x
2
 + 4 na variável x, com 
coeficientes inteiros. Sabe-se que eles têm pelo 
menos uma raiz em comum. 
 
a) Determine os valores de a e b. 
b) Encontre todas as raízes de p(x). 
QUESTÃO 69 
Determine todos os valores tais que a 
equação (em x) 
 
 
 
admita apenas raízes reais simples. 
QUESTÃO 70 
 
 
O gráfico representa uma função polinomial P de 
variável real, que possui duas raízes inteiras e é 
definida por: 
P(x) = x
4
 – 3x
3
 + 2x
2
 + 16x + m 
Determine o valor da constante representada por m 
e as quatro raízes desse polinômio. 
QUESTÃO 71 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. A 
tabela abaixo mostra a relação entre a posição de u
ma figura e a quantidade de elementos que ela 
possui: 
Posição 1 2 3 4 5 
Número de 
elementos 
4 7 10 13 16 
 
Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-
se afirmar que na centésima posição haverá uma 
figura com 301 elementos. 
 
02. Os lados de um triângulo estão em progressão 
aritmética de razão dois. Se o perímetro do triângulo 
é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 
19 cm. 
 
04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-
vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto para 
consumo de metade da massa radioativa dessa 
substância. Se após 2 horas a massa desta 
substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial 
da amostra era de 64 g. 
 
08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a 
doze badaladas e a cada meia hora bate uma 
badalada. O número de badaladas que esse relógio 
dá em um dia é 179. 
 
16. Na sequência de triângulos equiláteros, 
representada nas figuras a seguir, cada novo 
triângulo equilátero tem seus vértices nos pontos 
médios dos lados do triângulo equilátero que o 
antecede. Se a área do primeiro triângulo equilátero 
é A e supondo que essa sequência continue 
indefinidamente, então a soma de todas as áreas 
dos triângulos assim obtidas é . 
 
 
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32. A soma das raízes da 
equação , sabendo-
se que estão em progressão aritmética, é 12. 
QUESTÃO 72 
Considere a equação: 
 
a) Quantas raízes reais a equação admite para m = 
1? 
 
b) Para quais valores reais de m a equação admite 
pelo menos uma raiz real? 
QUESTÃO 73 
Decomponha o polinômio p(x) = x
7
 – x em p(x) = 
p1(x) p2(x) p3(x) p4(x) p5(x), de forma que 
p1(x), p2(x), p3(x) tenham grau 1 e p4(x), p5(x) 
tenham grau 2 e não possuam raízes reais. 
QUESTÃO 74 
Considere o polinômio de 3º grau p(x) = 2x
3
 + kx
2
 + 
2x, onde k é uma constante. Determine: 
 
a) o valor de k, sabendo que p(−1) = −9. 
b) as raízes do polinômio p(x). 
c) o valor da expressão , 
sendo r a menor raiz positiva de p(x). 
QUESTÃO 75 
Considere o polinômio P(m) = am
2
 – 3m – 18, em 
que é tal que a soma das raízes de P é igual 
a 3. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas 
duas, soluções da equação em x, x
3
 + mx
2
 + (m + 
4)x + 5 = 0, estejam no intervalo ]−2, 2[. 
QUESTÃO 76 
Considere o sistema na variável real x: 
 
 
a) Determine os números reais e para que o 
sistema admita somente soluções reais. 
 
b) Para cada valor de encontrado em A, 
determine todas as soluções da equação 
. 
QUESTÃO 77 
O polinômio P(x) = x
3
 – 2x
2
 – 5x + 6 tem três raízes 
reais: x1, x2 e x3. Calcule x1
2
 + x2
2
 + x3
2
. 
QUESTÃO 78 
O polinômio p(x) = x
3
 – 2x
2
 – 9x + 18 tem três 
raízes: r, –r e s. 
 
a) Determine os valores de r e s. 
 
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
QUESTÃO 79 
O polinômio p(x) = x
3
 – 2x
2
 – 5x + d, é divisível por 
(x – 2). 
 
a) Determine d. 
b) Calcule as raízes de p(x) = 10. 
QUESTÃO 80 
O polinômio p(x) = x
3
 - 2x
2
 - 5x + d, é divisível por (x 
- 2). 
 
a) Determine d. 
b) Calcule as raízes de p(x) = 10. 
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QUESTÃO 81 
Sabendo-se que o número complexo (1 – i) é raiz do 
polinômio P(x) dado por P(x) = x
3
 + ax
2
 + 8x + b, 
então a soma do(s) valor(es) da(s) raiz(es) real(is) 
do referido polinômio é: 
QUESTÃO 82 
Seja p(x)= ax
2 
– 2x – (3a + 2) sendo a 0. 
 
a) Mostre que p(x) tem duas raízes distintas. 
 
b) Suponha que as raízes x1 e x2 de p(x) satisfaçam 
x1 < 1 < x2. Mostre que a · p(1) < 0. 
 
c) Calcule os valores de a para que as raízes x1 e 
x2 do polinômio p(x) satisfaçam a relação x1 < 1 < 
x2. 
QUESTÃO 83 
Uma raiz da equação x
3
 – (2a – 1)x
2
 – a(a + 1)x + 
2a
2
(a – 1) = 0 é (a – 1). Quais são as outras duas 
raízes dessa equação? 
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QUESTÃO 1 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações do enunciado, temos que a 
PG é formada pelas raízes da 
equação 3x
2
 – 13x
3
 + mx – 3 = 0. 
 
Utilizando as relações de Girard, obtemos: 
 
. 
 
 
 
Como a PG é crescente, utilizaremos q = 3 e a PG 
será representada por . 
Portanto, a maior raiz será igual a 3. 
 
QUESTÃO 2 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que x=1 seja solução da equação, temos: 
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau em m 
temos: 
 
 
 
A soma pedida é, portanto: 
 
 
 
QUESTÃO 3 
E 
RESOLUÇÃO: 
Ao analisarmos a equação 2x
4
 – 3x
3
 – 3x
2
 + 6x – 2 
= 0, temos que ao substituirmos x = 1, P(1) = 
0. Então x = 1 é raiz desta equação. 
 
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
 
Assim, 2x
4
 – 3x
3
 – 3x
2
 + 6x – 2 = (x – 1)(2x
3 
– x
2
 – 
4x + 2). 
Fatorando por agrupamento, 2x
3 
– x
2
 – 4x + 2 = 
x
2
(2x – 1) – 2(2x – 1) = (x
2 
– 2)(2x – 1). 
 
Então, 2x
4
 – 3x
3
 – 3x
2
 + 6x – 2 = (x – 1)(2x
3 
– x
2
 – 
4x + 2) = (x – 1)(x
2
 – 2)(2x – 1). 
 
Logo, suas raízes 
são 
 
QUESTÃO 4 
C 
 
RESOLUÇÃO:x
3
 – 4x
2
 + 3x = 0 x · (x
2
 – 4x + 3) = 0 
Resolvendo a equação do 2
o
 grau x
2
 – 4x + 3 = 0, 
temos x = 3 e x = 1. 
Logo, as raízes são 0, 1 e 3, e uma delas é um 
número primo. 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Comop(2) = 0, temos que R1 = 2 é raiz do 
polinômio. Assim, efetuando a divisão de p(x) por 
(x – 2), temos: 
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Logo, p(x) = (x – 2)(x
2
 – 5x + 6). 
Fazendo (x – 2)(x
2
 – 5x + 6) = 0, encontramos as 
outras duas raízes R2 = 2 e R3 = 3. 
 
Portanto, o valor da resistência procurada é: 
 
 
QUESTÃO 6 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O polinômio Q(x) é dado por: 
 
Sabe-se que: 
 
Subtraindo a segunda equação da primeira, 
encontramos e . 
Portanto, pelas relações de Girard, o produto das 
raízes de P(x) é . 
 
QUESTÃO 7 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelas relações de Girard, tem-se: 
 
 
 
 
E ainda, a soma e o produto das raízes: 
 
 
 
Assim, 
 
. 
 
QUESTÃO 8 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
Temos α 
3
 = 10 + 6 + 10 - 6 
+ = 20 - 6 α e α é raiz da equação 
x
3
 + 6x – 20 = 0. 2 é raiz de x
3
 + 6x – 20 = 0 e 
dividindo o polinômio x
3
 + 6x – 20 por x – 2 obtemos 
x
3 
+ 6x – 20 = (x – 2)(x
2
+ 2x + 10) e o item E é 
incorreto. Como α é real e o discriminante de x
2
 + 
2x +10 é negativo (-36), ou seja, esta equação não 
admite raízes reais, temos que α não é raiz de x
2
 + 
2x + 10 = 0. Como α é raiz de x
3
 + 6x - 20 e não é 
raiz de x
2
 + 2x + 10 temos que α = 2. 
 
QUESTÃO 9 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como p(x) é um polinômio de grau 3, ele possui, 
no máximo, três raízes distintas; x = 2 é uma raiz e, 
sendo assim, das relações de Girard temos: 
 
 
Ou seja, a soma das demais raízes é . 
 
QUESTÃO 10 
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D 
 
RESOLUÇÃO: 
aSe m, n e p são raízes, 
 
 
 
Somando as três equações, tem-se: 
 
 
 
Pelas Relações de Girard, tem-se: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
QUESTÃO 11 
GABARITO: 
C 
RESOLUÇÃO: 
Os pontos de interseção dos gráficos de f e g são 
encontrados quando f(x) = g(x). Ou seja: 
 
 
Uma raiz da equação é x = –3. 
Quando x ≠ –3, temos: 
 
Esboçando no mesmo plano o gráfico de x
3
 e 3x
2
 + 
x + , podemos observar se há outras raízes: 
 
Logo, há somente dois pontos de interseção entre 
os gráficos de f e g. 
 
QUESTÃO 12 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com as informações, a equação fica: 
 
0,5x
3
 + 0,1x
2
 + 1,0x = 0 
5x
3
 + x
2
 + 10x = 0 
x(5x
2
 + x + 10) = 0 
 
Assim, x = 0 ou 5x
2
 + x + 10 = 0. 
 
Como, na segunda equação, Δ < 0, suas raízes não 
são reais. 
 
Portanto, o polinômio admite uma raiz real nula e 
duas não reais. 
 
QUESTÃO 13 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelas Relações de Girard, temos que o produto das 
raízes é: 
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Como as raízes estão em P.G., podemos dizer que: 
 
Assim, 
 
A soma das raízes é: 
2 + 4 + 8 = 14. 
 
QUESTÃO 14 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Substituindo-se II em I: 
 
 
 
Se p, q e r são as raízes dessa equação, então: 
 
 
QUESTÃO 15 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Aplicando-se as relações de Girard à equação dada, 
obtemos: 
 
x1 + x2 = 
x1 + x2 = 
x1 + x2 = –p + 5 (I) 
 
x1 ·x2 = 
x1 ·x2 = 
x1 ·x2 = –p – 4 (II) 
 
Elevando-se os dois lados da equação (I) ao 
quadrado, obtemos: 
 
(x1 + x2)
2
 = (–p + 5)
2 
(x1)
2
 + 2x1x2 + (x2)
2
 = p
2
 – 10p + p
2 
(x1)
2
 + (x2)
2
 = p
2
 – 10p + 25 + 2x1x2 (III) 
 
Substituindo (II) em (III): 
 
(x1)
2
 + (x2)
2
 = p
2
 – 10p + 25 – 2x1x2 
(x1)
2
 + (x2)
2
 = p
2
 – 10p + 25 – [2(–p – 4)] 
(x1)
2
 + (x2)
2
 = p
2
 – 10p + 25 + 2p + 8 
(x1)
2
 + (x2)
2
 = p
2
 – 8p + 33 (IV) 
 
O menor valor que a soma dos quadrados das 
raízes da equação pode assumir corresponde ao 
vértice yV para a equação (IV), que é dado por: 
 
 
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QUESTÃO 16 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Fatorando p(z) temos: 
p(z) = z
4
 + 3z
2
 + 2 = (z
2
 + 2) • (z
2
 + 1) 
 
Os dois termos obtidos não tem raízes reais. 
 
O mesmo vale para p(z + 1), pois ((z + 1)
2
 + 2) • ((z 
+ 1)
2
 + 1) também não tem raízes reais. 
 
Fatorando q(z) temos:. 
q(z) = z
3 – 1 = (z – 1)(z2 + z + 1) 
 
A única raiz real de q(z) é z = 1. 
 
O mesmo vale para q(z + 1) = ((z + 1) –1)((z + 1)
2 
+ 
(z + 1) + 1) = (z)((z + 1)
2 
+ (z + 1) + 1) 
 
Nesse caso a única raiz real de q(z + 1) é z = 0. 
 
Assim, a equação p(z + 1) • q(z + 1) = 0 é de grau 
sete e tem apenas uma raiz real, portanto, 6 raízes 
complexas. 
 
QUESTÃO 17 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se (a1, a2, a3, a4, a5) é uma progressão aritmética, 
então a1 + a5 = a2 + a4. 
Como x = –1 é uma das raízes de p(x), então p(–1) 
= 0, ou seja: 
–a5 + a4 – a3 + a2 – a1 = 0 ⇒ a4 + a2 – (a1 + a5) – 
a3 = 0 ⇒ a3 = 0 
Dessa forma, fazendo a4 – a3 = – 0 
= obtemos a razão da PA. 
Sendo assim, a PA é , e 
consequentemente, p(x) = x
5
 + – – 1. 
Portanto, p(–2) = (–2)
5
 + – + 1 = –32 
+ 8 – 2 + 1 = –25. 
 
QUESTÃO 18 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
P(x) = (a + 2b + c)x
4
 + (a + b + c)x
3
 – (a – b)x2 + 
(2a – b + c)x + 2(a + c) é um polinômio de grau 4 e é 
uma função par. Dessa forma: 
 
 
 
Se b 0, a + c = –b e a = 2b, então: 
 
P(x) = bx
4 – (2b – b)x2 + 2(–b) ⇒ P(x) = bx4 – bx2 – 
2b 
 
Resolvendo a equação P(x) = 0, temos: 
bx
4
 – bx2 – 2b = 0 ⇒ b(x2 + 1)(x2 – 2) ⇒ x2 = – 1 ou 
x
2
 = 2 
 
Portanto, x1= i; x2 = – i; x3 = ; ou x4 = – . 
 
Sendo assim, o conjunto solução da equação P(x) = 
0 é S = {i; – i; ; – }. 
 
A soma dos módulos das raízes dada por 1 + 1 
+ + = 2 + 2 . 
 
 
QUESTÃO 19 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Como se observa, o gráfico de P(x) passa pelo 
ponto (2,0), portanto 2 é uma raiz da equação P(x) = 
0. 
 
 
 
Logo, P(x) = (x 2) · Q(x), ou seja, P(x) é divisível 
por x - 2. Resolvendo a divisão, obtém-se: 
 
 
 
 
 Q(x) = 2x
2
 2x 1 
Resolvendo a equação Q(x) = 0, determinam-se as 
outras duas raízes do polinômio P(x). 
2x
2
 2x 1 = 0 
 
Para resolver a inequação P(x) > 0, determinam-se 
as abscissas de todos os pontos do gráfico que 
possuem ordenadas positivas, isto é, que estão 
acima do eixo x. 
 
 
Assim, a solução S da inequação consiste na união 
dos intervalos reais ] x1, x2 [ e ] 2, [: 
 
 
U = 2, [ 
 
QUESTÃO 20 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com o enunciado, temos que P(x) 
dividido por (x
2
 – 4) é igual ao quociente (x
2
 + 25) + 
o resto 22. Isso pode escrito da seguinte forma: 
 
P(x) = [(x
2
 – 4) · (x
2
 + 25)] + 22 
P(x) = x
4
 + 25x
2
 – 4x
2
 – 100 + 22 
P(x) = x
4
 + 21x
2
 – 78. 
 
Por meio das relações de Girard, podemos obter a 
soma q e o produto p das raízes dessa equação: 
 
q = 
q = = 0 
p = 
p = = –78. 
 
E a potência p
q
 é igual a: p
q
 = –78
0
 = 1. 
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QUESTÃO 21D 
 
RESOLUÇÃO: 
Uma vez que a função f apresenta uma única raiz 
real, temos: 
 
Δ = b
2
 – 4ac = 0 
m
2
 – [4 · 1 · (8 – m)] = 0 
m
2
 – 32 + 4m = 0 (I) 
 
(I) apresenta raízes iguais a 4 e –8; dado que m > 0, 
então m = 4. 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Substituindo as respectivas raízes em x
4
 + mx
2
 + nx 
= p, obtemos: 
x = 1 ⇒ m + n + p = –1 
x = 2 ⇒ 4m + 2n + p = –16 
x = 3 ⇒ 9m + 3n + p = –81. 
 
Assim sendo, formamos o seguinte sistema de 
equações: 
 
m + n + p = –1 
4m + 2n + p = –16 
9m + 3n + p = –81 
 
Resolvendo, temos m = –25, n = 60 e p = –36. 
Portanto, m + p = –61. 
 
QUESTÃO 23 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Logo, as raízes são 2, –i e i. Então: 
 
2
2
 + (–i)
2
 + i
2
 = 4 – 1 – 1 = 2 
 
QUESTÃO 24 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
x
3
 – x
2
 – 16x – 20 = 0 
 + + = z 
Relações de Girard: 
x1 + x2 + x3 = 1 
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –16 
x1 + x2 + x3 = 20 
 
 
QUESTÃO 25 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam r1, r2 e r3 as raízes (ou zeros) da função 
polinomial P(x) = x
3
 + ax
2 
+ bx + c. 
Sabemos que: 
r1 + r2 + r3 = –a 
r1 · r2 · r3 = –c 
A média aritmética de suas raízes 
é: 
Se a média aritmética das raízes, seu produto e a 
soma de seus coeficientes são iguais, então: 
 = –c = a + b + c + 1. 
Assim: a = 3c e a + b + 2c = –1 
Do enunciado, se o diagrama passa pelo ponto (0, 
2) tem-se que 
P(0) = 0
3
 + a · 0
2
 + b · 0 + c = 2 
O que resulta em c = 2. 
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Assim, nas equações acima teremos a = 6 e b = –
11. 
 
QUESTÃO 26 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Relações Girard: 
 (1) 
 (2) 
Somando-se à equação (1) aos dados do 
enunciado, assim formalizamos um sistema: 
 
 
 
Resolvendo pela regra de Cramer teremos para as 
incógnitas: 
 , e . 
Assim, fazendo uso da equação (2) , virá: 
a 
= 
 
. 
 
QUESTÃO 27 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
O polinômio P(x) tem 3 raízes r1, r2 e r3. Sabemos 
que: 
 
r1 + r2 + r3 = a 
r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3 = b 
r1 · r2 · r3 = 1 
 
Se P(x) admite alguma raiz racional, ela deve ser 
um número divisor de 1 (ou seja, 1 ou –1). Se P(x) 
tem alguma raiz complexa, seu conjugado também 
será raiz e apenas uma das raízes será real. 
Analisando as afirmações: 
 
I. Correta. O desenvolvimento de (x – 1)
3
 é x
3
 – 3x
2
 
+ 3x – 1. Comparando esse polinômio com x
3
 – ax
2 
+ bx – 1, temos a = 3 e b = 3. 
 
II. Correta. Se o polinômio admite raiz 1, então P(1) 
= 0. Sendo assim, temos: 
 
1
3
 – a · 1
2
 + b · 1 – 1 = 0 
1 – a + b – 1 = 0 
–a + b = 0 
a = b 
 
III. Incorreta. Os únicos números inteiros que podem 
ser raízes de P(x) são 1 e –1. 
 
IV. Correta. Todo polinômio de grau 3 tem 3 raízes, 
reais ou complexas. Como as complexas acontecem 
em pares, P(x) pode ter uma raiz real e duas 
complexas ou três reais. Ou seja, pelo menos uma 
raiz é real. 
 
V. Correta. Pelas relações de Girard vistas 
anteriormente, r1 · r2 · r3 = 1. 
 
QUESTÃO 28 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Raízes: 
Girard: 
 
 
 
QUESTÃO 29 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
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Desenvolvendo a expressão dada, obtemos: 
 
1 + 2x = x · (x + 1) 
–x
2
 + x + 1 = 0 
x
2
 – x – 1 = 0. 
 
QUESTÃO 30 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Volume: a · b · c = 40 m
3 
a + 2 = c 
b + 3 = c 
 
Então: 
 
a = c – 2 
b = c – 3 
(c – 2) · (c – 3) · c = 40 
c
3
 – 5c
2
 + 6c – 40 = 0 
 
Por tentativa façamos c = 2, como uma provável raiz 
Briot-Rufinni: 
 
 
 
 
Temos, portanto, a seguinte equação: 
 
x
2
 + 7x + 20 = 0 
 
 , que não serão 
raízes reais. 
Portanto a resposta será h = 2, que está no intervalo 
referente ao da alternativa C: . 
 
QUESTÃO 31 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Uma vez que p(x) = x
5
 + a4x
4
 + a3x
3
 + a2x
2
 + a1x + 
a0 é um polinômio de grau 5, com coeficientes 
inteiros e a0 diferente de zero, então se a for raiz de 
P(x), e a for um número inteiro, a será um divisor do 
termo independente a0. Dentro dessas condições, é 
necessário que as possíveis raízes inteiras de P(x) 
pertençam ao conjunto dos divisores de a0. 
 
QUESTÃO 32 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Temos que f(g(x)) – g(f(x)) = ((x
2
 – 1)
2
 + 1) – ((x + 
1)
2
 – 1) = (x
4
 – 2x
2
 + 2) – (x
4
 + 2x
2
) = –4x
2
 + 2, 
logo a equação desejada é: –4x
2
 + 2 = –2, que tem 
as raízes 1 e –1. 
Logo, o produto das raízes é –1. 
 
QUESTÃO 33 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial.) 
p(x) tem –2 e 2 como raízes, logo é divisível por (x + 
2)(x – 2) = x
2
 – 4. O coeficiente constante de p(x) é 
–4 pois p(0) = –4. Temos p(x) = (x
2
 – 4)(ax
2
 + bx + 
c) com a, b e c reais. Considerando que o 
coeficiente dominante de p(x) é 1, temos a = 1. 
Analogamente, como p(0) = –4, temos –4c = –4 e c 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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= 1. Temos p(1) = –3(1 + b + 1) = –6 e daí b = 0. 
Segue que p(x) = (x
2
 – 4)(x
2
 + 1) = x
4
 – 3x
2
 – 4. 
Portanto, p(x) admite duas raízes reais, ±2, e duas 
raízes complexas, ±i, daí C) é incorreta. Temos 
também que p(–x) = p(x). 
 
QUESTÃO 34 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a função é crescente em todo o conjunto dos 
números reais, ela tem no máximo 1 raiz real. 
Como , a raiz do polinômio é negativa. 
 
 
QUESTÃO 35 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O produto das raízes de qualquer equação 
polinomial é igual em módulo ao termo 
independente dividido pelo coeficiente do monômio 
de maior grau. Nesse caso, 8 : 1 = 8. 
 
Assim, se essa função apresentar raízes inteiras, 
essas raízes devem ser divisores de 8. Mesmo que 
as raízes não sejam inteiras, ao testar números 
inteiros na função é possível saber a que intervalos 
as raízes pertencem, já que caso a função seja 
positiva para um número e negativa para o 
consecutivo (ou vice versa), conclui-se que entre 
esses dois números a função é nula para algum 
valor. 
 
Assim, as possíveis raízes inteiras (divisores de 8) 
dessa função são: –4, –2, –1, 1, 2 e 4. 
 
Vamos então analisar os intervalos presentes nas 
alternativas. Os valores aproximados dos irracionais 
apresentados são: 
 
a) –3,14 e 3,16 
b) –1,41 e 4,35 
c) –2,23 e 4,14 
d) –2,44 e 3,14 
Agora, podemos observar que: 
 
O –4 está fora de todos os intervalos, portanto não 
pode ser raiz. 
O –1, o 1 e o 2 estão presentes em todos os 
intervalos, de modo que se forem raízes não 
auxiliarão na eliminação de alternativas. 
Resta testar o –2 e o 4. 
 
Testando o –2: 
f(-2) = – 8 – 12 + 12 + 8 = 0 
 
Uma das raízes é o –2. Como o intervalo presente 
na alternativa B começa em –1,41, a alternativa B 
não pode ser a correta. 
 
Testando o 4: 
f(4) = 64 – 48 – 24 + 8 = 0 
 
Uma das raízes é o 4. Como os intervalos presentes 
nas alternativas A e D terminam 
respectivamente em 3,26 e 3,14, essas alternativas 
também não podem ser a correta. 
 
O único intervalo que engloba o –2 e o 4 
simultaneamente é o apresentado na alternativa C. 
 
QUESTÃO 36 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
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Como N é positivo, tem-se e 2 < N 
< 2,5. 
 
QUESTÃO 37 
03 
 
RESOLUÇÃO: 
Note pela tabela que: 
1) P1(n) + P2(n)+ P3(n) + 8 = total de cubos = n
3 
2) A sequência que gera P1(n) é a tabuada do 12. 
Como n começa a partir do 3, então P1(n) = 12(n − 
2) 
3) Somando 2P1(x) + 8 em ambos os membros da 
equação P(x) = P3(x) − P1(x) + P2(x), temos: 
P(x) + 2P1(x) + 8 = P3(x) − P1(x) + P2(x) + 2P1(x) + 
8 
P(x) + 2P1(x) + 8 = P3(x) + P1(x) + P2(x) + 8 
4) Substituindo x por n, temos: 
P(n) + 2P1(n) + 8 = P3(n) + P1(n) + P2(n) + 8 = n
3 
P(n) = n
3 
− 2P1(n) − 8 = n
3 
− 2[12(n − 2)] − 8 = n
3 
− 
24n + 48 − 8 = n
3 
− 24n + 40 
 
Sendo n1, n2 e n3 as raízes desse polinômio, pelas 
relações de Girard temos: 
 
 
 
Logo, a soma dos inversos das raízes 
será 
 
 
QUESTÃO 38 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Por fatoração, podemos escrever p(x) = x · (x
2
 + 5x 
+ 4). 
Fazendo x · (x
2
 + 5x + 4), temos que ou x = 0 ou x
2
 
+ 5x + 4 = 0 (que, por soma e produto, gera as 
raízes –4 e –1). 
 
 
QUESTÃO 39 
GABARITO: 
I. 0, 2 e 3 
II. 1 e 4 
RESOLUÇÃO: 
 Aplicando-se as relações de Girard, obtemos: 
• soma das raízes: 
x1 + x2 + x3 + x4 = 
x1 + x2 + x3 + x4 = 
x1 + x2 + x3 + x4 = –2 
 
• produto das raízes: 
(x1 · x2 · x3 · x4) = 
(x1 · x2 · x3 · x4) = 
 
Assim, temos: 
Afirmação 1: verdadeira; de acordo com os valores 
calculados anteriormente, é necessário que pelo 
menos uma das raízes seja um número racional. 
 
Afirmação 2: falsa; 
P + 9S = + (9 · –2) 
 + (9 · –2)¹ (2 · 9). 
Afirmação 3: verdadeira; 9P + S = 9 · + (–2) 
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 9 · ( ) + (–2) = 2 ·9 
Afirmação 4: falsa; o produto de suas raízes não é 
um número inteiro. 
 
QUESTÃO 40 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se as raízes estão em PA, vamos chamá-la de: 
. 
De acordo com as relações de Girard, a soma das 
raízes é . Então: 
 
. 
 
As raízes são e o polinômio 
pode ser escrito como: 
 
 
QUESTÃO 41 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A única maneira de saber se as raízes de um 
polinômio são reais ou complexas é encontrando-as. 
Assim, temos: 
x
3 
= x
2
 + x 
x
3 
– x
2
 – x = 0 
x (x
2
 – x – 1) = 0 
x = 0 é uma das raízes. As outras duas estão 
em x
2
 – x – 1 = 0. 
O discriminante dessa equação quadrática é (–1)
2
 –
 4 · 1 · (–1) = 1 + 5 = 6. 
Como o discriminante é positivo, teremos mais duas 
raízes reais. 
Assim, o número de raízes reais é 3. 
 
QUESTÃO 42 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelas relações de Girard, temos: 
I) x1 + x2 + x3 = 6 : 2 = 3 
II) x1x2+ x2 x3 + x1x3 = –4 : 2 = –2 
III) x1x2x3 = –k : 2 = 
Elevando (I) ao quadrado, temos: 
(x1 + x2 + x3)
2
 = 3
2 
x1
2
+ x2
2
 + x3
2
 + 2(x1x2+ x2 x3 + x1x3) = 9 
 
Sabendo que x1
2
+ x2
2
 = x3
2
 e usando (II), 
podemos fazer algumas substituições na expressão 
dada: 
x1
2
+ x2
2
 + x3
2
 + 2(x1x2+ x2 x3 + x1x3) = 9 
 
x3
2 
+ x3
2 
+ 2(–2) = 9 
2x3
2
 – 4 = 9 
x3
2 
= 
x3 = 
Isolando x3 em (I) e em (III), temos: 
IV) x1 + x2 = 3 – x3 
V) x1x2 = 
Elevando (IV) ao quadrado, temos: 
(x1 + x2)
2
 = (3 – x3)
2 
x1
2 
+ x2
2
 + 2x1x2 = 9 – 6x3 + x3
2 
 
Sabendo que x1
2
+ x2
2
 = x3
2
 e usando (V), 
podemos fazer algumas substituições na expressão 
dada: 
x1
2 
+ x2
2
 + 2x1x2 = 9 – 6x3 + x3
2 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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x3
2 
– = 9 – 6x3 + x3
2 
= 9 – 6x3 
 k = 6x3
2 
– 9x3 = 
 
QUESTÃO 43 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O polinômio possui uma raiz real e duas raízes 
complexas. 
 
QUESTÃO 44 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A fim de que a equação polinomial dada seja 
verdadeira, calcula-se as seguintes raízes: 
 
(1) 
4x
2
 – 2 = 0 
x
2
 = 
x1 = e x2 = 
 
(2) 
x
2
 – x + 1 = 0 
x = 
x = 
x3 = e x4 = 
Como estas raízes não são reais, não serão 
incluídas no cálculo do produto. 
 
(3) 
 
x5 = 
 
Fazendo-se o produto das raízes reais dessa 
equação polinomial, obtemos: 
 
P = x
1
 · x
2
 · x
5 
P = 
P = 
 
QUESTÃO 45 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 46 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o polinômio é divisível por x – 3, a substituição 
de x pela raiz 3 faz com que o polinômio tenha valor 
igual a zero. Temos, portanto: 
6x
3
 – 4x
2
 + 2mx – (m + 1) 
6(3)
3
 – 4(3)
2
 + 2m × 3 – (m + 1) = 0 
(6 × 27) – 36 + 6m – m – 1 = 0 
m = 25 
Assim, o valor da raiz quadrada do módulo de m 
deve ser igual a 5. 
 
QUESTÃO 47 
01 + 04 + 08 = 13 
 
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RESOLUÇÃO: 
Se 2 + i é raiz do polinômio, então seu conjugado 
2 – i também é. 
Como o polinômio é de grau 3, então tem 3 raízes, 
sendo as duas complexas já citadas e a terceira 
real. 
 
Analisando as afirmações: 
01) Correto. Como visto acima, o conjugado do 
complexo dado também será raiz do polinômio. Seu 
módulo é . 
02) Incorreto. O argumento x de 2 + i é tal que sen x 
= e cos x = (primeiro quadrante). 
Como a função seno é crescente no primeiro 
quadrante e esse seno é menor que o seno de 45°, 
então x > 45°. 
04) Correto. Como a, b e c são inteiros e o 
coeficiente de x³ é 1, então, pelas Relações de 
Girard, a soma e o produto das raízes desse 
polinômio são números inteiros. Como a raiz real é 
única, ela só pode ser um número inteiro. 
08) Correto. Pelas Relações de Girard, temos: 
2 + i + 2 – i + 1 = a 
5 = a 
 
(2 + i)(2 – i)1 = c 
4 – i² = c 
4 + 1 = c 
5 = c 
 
Logo, a = c 
16) Incorreto. Como vimos, o polinômio deve ter 3 
raízes. As complexas aparecem aos pares. Como 
ele já possui um par de complexas, a terceira tem 
de ser real. 
 
QUESTÃO 48 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que (x1 + x2 + x3)
2 
= x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
+ 2(x1x2 
+ x1x3+ x2x3) 
 
Logo, x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
= (x1 + x2 + x3)
2 
– 2(x1x2 
+ x1x3+ x2x3) 
 
Pelas relações de Girard, temos: 
I) x1 + x2 + x3 = 
II) x1x2 + x1x3+ x2x3 = 
III) x1x2x3 = 
 
Substituindo I e II na primeira expressão, temos: 
x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
= (x1 + x2 + x3)
2 
– 2(x1x2 
+ x1x3+ x2x3) 
x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
= – 
x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
= + 
x1
2 
+ x2
2
 + x3
2 
= + = 
 
QUESTÃO 49 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se duas raízes são reais, a terceira também é. 
Então, sejam a, –a e b as raízes da equação. Pelas 
Relações de Girard (soma das raízes), temos: 
 
Pelo dispositivo de Briott-Ruffini, divide-se o 
polinômio por : 
 
Assim, 
 
Portanto, p < –1. 
 
QUESTÃO 50 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se p(x) tem grau 2, ele é da forma ax
2
 + bx + c, e a 
soma de suas raízes é . 
 
p(1) = –1 ⇒ a + b + c = –1 
p(3) = –1 ⇒ 9a + 3b + c = –1 
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos 
que 8a + 2b = 0 ⇒ –b = 4a. 
 
Portanto, a soma das raízes é . 
 
QUESTÃO 51 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Fazendo y = cos x, temos: 
 
 
Assim, 
 
Portanto, n = 2. 
 
QUESTÃO 52 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Como a soma dos coeficientes é igual a 1, temos 
que uma das soluções da equação é x = 1. 
Dividindo o polinômio por x - 1, temos: 
 
 
 
Podemos escrever a equação como (x –1)(x
2
 – 6x + 
8) = 0, ou ainda (x – 1)(x – 2)(x – 4) = 0. Assim, as 
três raízes são 1, 2 e 4. Então: 
 
 
QUESTÃO 53C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelas relações de Girard, temos: 
 
 
De (III), temos que: 
, pois n é natural. 
Assim, as raízes são n = 2, n
2
 = 4 e n
3
 = 8. 
Substituindo em (I) e (II), encontramos p e q: 
p= –(2 + 4 + 8) = –14 
q = 2 · 4 + 2 · 8 + 4 · 8 = 56 
Logo, p + q = –14 + 56 = 42. 
 
QUESTÃO 54 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelas relações de Girard e substituindo as 
informações dadas, temos: 
 
 
QUESTÃO 55 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se (0, 0) é uma das raízes de P(x), temos que P(0) 
= 0 
 
Assim, temos: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Logo, P(x) pode ser escrito como: 
P(x) = x · (x
4
 + ax
3
 + bx
2
 + cx + d), sendo que o 
polinômio P'(x) = (x
4
 + ax
3
 + bx
2
 + cx + d) deve ter 4 
raízes reais distintas e diferentes de 0. 
 
Assim, P'(0) = 0 + d não pode ser 0. 
Logo, d 0. 
 
QUESTÃO 56 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Considere as observações: 
 
• Se b é ímpar, pode ser escrito como b = 2n + 1, n 
inteiro. Assim, 
Δ = b2 - 4ac = (2n + 1)2 - 4ac = 4n2 + 4n + 1 - 4ac = 
4(n
2
 + n - ac) + 1 
 
• n
2
 + n = n(n + 1) é par (pois o produto de dois 
inteiros consecutivos é par). 
 
• ac é ímpar (pois o produto de dois ímpares é 
ímpar) 
 
• n
2
 + n - ac é ímpar (pois a subtração de um par 
por um ímpar é ímpar) 
 
• Δ é ímpar, pois (a partir da observação (i)) pode 
ser escrito como Δ = 4p + 1, onde p = n2 + n - ac é 
ímpar. 
 
Para que as raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0 
sejam racionais, Δ deve ser um quadrado perfeito. 
Suponha, então, que existe um inteiro q tal que q
2
 
= Δ ou q2 = 4p + 1. Como é ímpar, q2 também é. 
E q também é. Pode ser escrito, portanto, como q = 
2m + 1: 
 
4p + 1 = q
2 
4p + 1 = (2m + 1)
2 
4p + 1 = 4m
2 
+ 4m + 1 
p = m
2 
+ m 
p = m(m + 1) 
 
Mas p é ímpar, e m(m + 1) é par. Portanto, prova-
se que Δ não é um quadrado perfeito e, portanto, as 
raízes da equação não são racionais. 
 
QUESTÃO 57 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Fatorando a equação, obtém-se: 
 
x
7
 – x
5
 + x
3
 – x = 0 
x
5
(x
2
 – 1) + x(x
2
 – 1) = 0 
(x
2
 – 1) (x
5
 + x) = 0 
x(x + 1) (x – 1) (x
4
 + 1) = 0 
 
Logo, as outras raízes são raízes da equação x
4
 + 1 
= 0, cujo produto, pelas relações de Girard, é igual a 
1. 
 
QUESTÃO 58 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que seja determinada a soma dos algarismos 
do ano em que o romance foi escrito, é necessário 
que as raízes da equação a seguir sejam 
calculadas: 
 
Δ = b
2
 – 4ac 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Δ = (–135)
2
 – (4 · 1 · 1.800) 
Δ = 11.025 
 
x = 
x = 
x1 = 15 e x2 = 120 
 
Uma vez que o romance foi escrito no século XIX e 
completa x anos em 2011, apenas x2 é conveniente 
e, portanto, o ano em que foi escrito é dado por: 
2011 – 120 = 1891, cuja soma de algarismos é igual 
a: 1 + 8 + 9 + 1 = 19. 
 
QUESTÃO 59 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam 2, x2 e x3 as três raízes da equação. Pelas 
relações de Girard, a soma das raízes é: 
. 
Portanto, a raiz quadrada da soma das três raízes é 
igual a 2. 
 
QUESTÃO 60 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume da embalagem será dado pela 
multiplicação das três dimensões finais da caixa 
montada. Logo, 
= 810. 
Desenvolvendo a equação, temos: 
 
441x – 42x
2
 – 21x
2
 + 2x
3
 = 810 
2x
3
 – 63x
2
 + 441x – 810 = 0. 
 
Sabe-se que uma das raízes desse polinômio é x = 
3. Dividindo o polinômio por x – 3, temos 2x
2
 – 57x 
+ 270 = 0. 
 
Resolvendo a equação: 
 
 
 
Como x deve ser um número menor que 21 cm, o 
resultado procurado é x = 6 cm, que está no 
intervalo (5,7). 
 
QUESTÃO 61 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) A expressão do polinômio de Chebyshev, para n 
= 0, é dada por: 
 
T0(x)= cos [0 · arccos (x)] = cos0 =1 
 
O gráfico dessa expressão, com x∈[−1,1], é 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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b) Considerando-se k ∈ Z , para T2(x) = 0, tem-se 
que 
 
 
ou 
 
Da definição, 
T2(x) = cos [2 arccos (x)] 
Considerando-se θ = arccos (x), tem-se 
T2(x) = cos 2θ = cos
2 
θ − sen
2 
θ = 2 cos
2
 θ − 1 = 2 
x
2
− 1 
Assim, T2(x) = 0 ⇒ 2 x
2
 − 1 = 0, de onde obtém-se 
 
 
QUESTÃO 62 
GABARITO: 
a) Como z² = (1 + i)² = 1² + 2i + i² = 2i 
e então 
 e
 
 
. 
Outra forma de calcular , sabendo que 
, é usar propriedades da conjugação, 
assim 
b) Como o coeficiente do termo de mais alto grau é 
igual a 1 
então 
 
Segue da identidade de polinômios que a = –4, b = 
6 e c = –4. 
 
 
QUESTÃO 63 
GABARITO: 
Primeiramente, encontram-se as raízes de p(z) e 
q(z): 
 
 
 
 
Portanto, o polígono H é tal como representado na 
figura a seguir: 
 
 
 
Sua área é composta pela área de um retângulo (de 
dimensões a e 2b) e um triângulo (de base 2b e 
altura a): 
 
 
 
QUESTÃO 64 
GABARITO: 
a) Para encontrar q(x), dividimos p(x) por x – 1: 
 
 
Logo, q(x) = x
2
 + x + 4 e suas duas outras raízes 
são imaginárias: 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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b) Como e p(x) = 
x
3
 + 3x – 4 tem uma única raiz real igual a 1, temos 
que x = 1. 
 
QUESTÃO 65 
GABARITO: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 66 
02 + 04 = 06 
 
RESOLUÇÃO: 
01. Incorreta. 
Substituindo o ponto Q(1, 0) na equação da 
circunferência, temos: 
1
2
 + 0
2
 – 4 · 1 + 2.0 – 4 = – 7 
Como –7 < 0, o ponto Q pertence à região interna à 
circunferência. 
 
02. Correta. 
Se a, b e c são as dimensões do paralelepípedo, a 
área total deste será 2.(ac + ab + bc). Pelas 
relações de Girard, temos: 
ac + ab + bc = 31 
Portanto, a área total do paralelepípedo é 2 · (31) = 
62 m
2
. 
 
04. Correta. 
A partir do gráfico, obtém-se a função que o 
determina sabendo que f(x) = a · (x – x1).(x – 
x2).(x – x3).(x – x4), onde a é o coeficiente do 
primeiro termo e x1, x2, x3, x4 são as raízes. Assim, 
f(x) = a · (x + 2) · (x + 1) · (x – 1) · (x – 2) 
f(x) = a · (x
4
 – 5x
2 
+ 4) 
Como f (0) = 4: 
a · (0
4
 – 5 · 0
2 
+ 4) = 4 
a = 1 
Portanto, f(x) = x
4
 – 5x
2 
+ 4 
 
08. Incorreta. 
A sequência de anos em que o Cometa Halley 
aparece forma uma P.A. de primeiro termo a1 = 
1986 e razão r = 76. Assim, 
an = a1 + (n – 1) · r > 3000 
1968 + (n – 1) · 76 > 3000 
n > 14,6 
Para n = 15, temos: 
a15 = 1986 + (15 – 1) · 76 
a15 = 3050. 
 
16. Incorreta. 
Pelo Teorema do Resto, R = P(4): 
R = 2 · 4
3
 – 4
2
 + 5 · 4 – 3 = 129 
 
QUESTÃO 67 
05 
 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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01 + 04 = 05 
 
01. Verdadeira 
 
Como a soma dos coeficientes é igual a 1, temos 
que uma das raízes é x = 1. Assim, dividindo o 
polinômio por x - 1, temos: 
 
Logo, a equação pode ser escrita como (x –1)(x
2
 + 
3x + 2) = 0, de onde saem as outras duas raízes, x 
= –1 e x = –2. Portanto, as três raízes da equação 
pertencem ao intervalo [–2, 1]. 
 
02. Falsa 
Pelo teorema do resto, temos que p(3) = 5 e p(–1) = 
2. Além disso, o resto r(x) da divisão tem grau 1 ou 
0, portanto r(x) = ax + b. Assim, 
 
Resolvendo o sistema, encontramos a = e b 
= . Logo, . 
 
04. Verdadeira 
Das relações de Girard,temos abc = –6 e ab + ac + 
bc = –7. Logo, 
 
 
08. Falsa 
Pelas relações de Girard, 
temos 
 
 
16. Falsa 
Para que o polinômio seja divisível por (x + 2), 
temos p(–2) = 0. Então: 
 
 
QUESTÃO 68 
GABARITO: 
a) As raízes de q(x) = x
2
 + 4 são obtidas fazendo x
2
 
+ 4 = 0 ⇒ x2 = −4 x = ± ⇒ x = ±2i. 
Como p(x) e q(x) têm pelo menos uma raiz em 
comum e como as duas raízes de q(x) são números 
complexos, isso implica que ambas as raízes de 
q(x) devem também ser raízes de p(x), já que se um 
número complexo é raiz de um polinômio, seu 
conjugado também o é. Já que todas as raízes q(x) 
são também raízes de p(x), o polinômio q(x) deve 
dividir o polinômio p(x), ou seja, o resto da divisão 
do polinômio p(x) por q(x) deve ser o polinômio 
identicamente nulo. 
Efetuando essa divisão encontra-se por quociente o 
polinômio p1(x) = 2 − 7x
2
 + 7x+ (a + 28) e por resto 
o polinômio r(x) = (b − 28) x − (4a + 120). Como o 
resto deve ser o polinômio identicamente nulo, 
deve-se ter: 
 
 
b) Como a = −30 e b = 28, tem-se que p(x) = 2x
5
 − 
7x
4
 + 15x
3
 − 30x
2
 + 28x − 8. 
Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio q(x) o 
quociente será o polinômio p1 (x) = 2x
3
 − 7x
2
 + 7x − 
2. 
Como a soma dos coeficientes desse polinômio é 
zero, conclui-se que p1(1) = 0, ou seja, o polinômio 
p1(x) admite o nº real 1 como uma de suas raízes. 
Dividindo então p1(x) por q1(x) = x − 1 o quociente 
será o polinômio p2(x) = 2x
2
 − 5x + 2 e o resto será 
o polinômio identicamente nulo. 
As raízes do polinômio p2(x) podem ser 
encontradas resolvendo a equação quadrática 2x
2
 − 
5x + 2 = 0. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Assim, as raízes do polinômio p(x) são: , 2, 1, 2i, 
−2i. 
 
QUESTÃO 69 
GABARITO: 
Observando a equação x
4
 – 2 × • x
2
 + tg = 0, 
notamos que esta é uma equação biquadrada. 
Fazendo a substituição x
2
 = T temos: 
x
4
 – 2 • • x
2
 + tg = 0 → T
2
 – 2 • • T + tg = 
0 
 
Entende-se por raízes reais simples aquelas que 
são reais, positivas e distintas. Dessa forma, 
devemos ter T > 0, pois do contrário teríamos x
2
 < 0 
e assim poderíamos ter raízes complexas. 
 
Portanto, o produto entre as raízes T1 e T2 deve ser 
positivo: 
T1 • T2 = > 0 ⇒ tg > 0 
Para termos raízes distintas, devemos ter o 
discriminante positivo, portanto: 
 > 0 ⇒ – 4 • tg > 0 ⇒ tg a < 
Nessas condições, 0 < tg < . 
Considerando o intervalo , temos 0 
< < (em rad). 
 
QUESTÃO 70 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
P(1) = 0 P(−2) = 0 
1
4 
– 3 × 1
3
 + 2 × 1
2
 +16 × 1+ m = 0 
m = 16 
x
4
 – 3x
3
 + 2x + 16x – 16 = 0 
(x + 2) (x – 1) (x
2
 – 4x + 8) = 0 
x
2
 – 4x + 8 = 0 
 
S = {–2; 1; 2 + 2i; 2 – 2i} 
 
QUESTÃO 71 
GABARITO: 
33 
RESOLUÇÃO: 
01 + 32 = 33 
 
1. VERDADEIRA 
Os números de elementos mostrados formam uma 
P.A. em que o primeiro termos é 4 (posição 1) e a 
razão é 3. A centésima posição corresponderá ao 
centésimo elemento: 
 
 
2. FALSA 
Chamando os lados do triângulo de a-2, a e a+2, 
temos: 
 
 
O lado maior é a + 2 = 21 
 
4. FALSA 
2h correspondem a 6 meias vidas, de 20 min cada 
uma. Portanto: 
 
 
 
8. FALSA 
O número de badaladas é: 
 
2 . ( 1 + 2 + ... )+24 = 156+24=180 
 
16. FALSA 
Cada triângulo tem as dimensões com metade do 
valor do anterior, portanto, área quatro vezes menor. 
Assim, a soma das áreas de cada triângulo obtido é 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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uma P.G. em que o primeiro termo é A e a razão 
é1/4. Então: 
 
 
 
32. VERDADEIRA 
Pelas relações de Girard, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 72 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) A equação é equivalente a 8x – 1 = x
2
 + x , ou 
seja: x
2
 – 7x + 1 = 0 como Δ = 49 – 4 = 45 > 0 a 
equação admite 2 raízes reais. 
 
b) A equação é equivalente a mx
2
 + (m – 8)x + 1 = 0 
Se m = 0, a equação admite a solução real x = . 
Para m ≠ 0 e Δ ≥ 0 também temos raízes reais. 
Δ = (m – 8)
2
 – 4m = m
2
 – 16m + 64 – 4m = m
2
 – 
20m + 64 
A equação m
2
 – 20m + 64 = 0 tem raízes 4 e 16, 
logo Δ ≥ 0 para m ≤ 4 ou m ≥ 16. 
 
QUESTÃO 73 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Temos que p(x) = x
7
 – x = x(x
6
 – 1). Decompondo o 
último fator temos p(x) = x(x
3
 – 1)(x
3
 + 1). 
 
Lembrando que x
3
 – a
3
 = (x – a)(x
2
 + ax + a
2
) 
obtemos p(x) = x(x – 1)(x
2
 + x + 1)(x + 1)(x
2
 – x + 
1). 
 
Sabemos que uma equação quadrática do tipo ax
2
 
+ bx + c = 0, onde a, b, c IR, a 0, é irredutível 
em IR (não possui raízes reais) se ∆ = b
2
 – 4ac < 0. 
 
Assim os polinômios x
2
 + x + 1 e x
2
 – x + 1 são 
irredutíveis, pois ∆ = –3 < 0. 
 
Desta forma, 
 
p(x) = p1(x) p2(x) p3(x) p4(x) p5(x), 
 
com p1(x) = x, p2(x) = x – 1, p3(x) = x + 1, p4(x) = x
2
 
+ x + 1 e p5(x) = x
2
 – x + 1. 
 
QUESTÃO 74 
GABARITO: 
a) p(–1) = –9 
2(–1) + k(1) + 2(–1) = –9 
– 2 + k – 2 = –9 
k = – 9 + 4 = –5. 
 
b) p(x) é fatorável: p(x) = x(2x
2
 + kx + 2). 
Substituindo o valor de k e fazendo p(x) = 0, temos: 
 
x(2x
2
 – 5x + 2)= 0 
x = 0 ou 2x
2
 – 5x + 2 = 0 (Báskara) 
 
 
c) Substituindo r por 0,5: 
 
 
 
QUESTÃO 75 
GABARITO: 
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Se a soma das raízes de P é igual a 3, temos: 
 
Assim, P(m) = m
2
 – 3m – 18, e as raízes de P são 
m = –3 e m = 6. 
 
Para m = –3, temos: x
3
 – 3x
2
 + x + 5 = 0 
 
Como x = –1 é raiz, podemos escrever a equação 
como (x+ 1)(x
2 
– 4x+ 5) = 0, porém a única raiz real 
da equação é x = –1. 
 
Para m = 6, temos: 
x
3
 + 6x
2
 + 10x + 5 = 0 
Como x = –1 é raiz, podemos escrever a equação 
como (x + 1)(x
2 
+ 5x + 5) = 0, e encontramos as 
outras duas raízes e . 
Logo, temos para m = 6, duas raízes no intervalo ]–
2, 2[, ou seja, x = –1 e . 
 
QUESTÃO 76 
GABARITO: 
Trabalhando com as equações dadas, temos: 
 
 
Substituindo o valor de x encontrado na segunda 
equação: 
,
 
 
Resposta para o item A: 
 
O sistema admite somente soluções reais quando 
 para qualquer 
 
Agora suponhamos que seja t uma raiz real da 
equação x – x
3
 = β. Dividindo x3 – x + por (x – t), 
encontramos: 
 
 para a qual x 
= t ou: 
 
Para o item B temos como resposta: 
, 
com 
 
QUESTÃO 77 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Temos x1 + x2 + x3 = 2 e x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = –5, 
onde: 
x1
2
 + x2
2
 + x3
2
 = (x1 + x2 + x3)
2
 –2(x1 x2 + x1 x3 + 
x2 x3) = 14. 
 
2
a
 Solução: Temos que x
3
 – 2x
2
 – 5x + 6 = (x – 1)(x 
– 3)(x + 2), onde, a menos da ordem, x1 = 1, x2 = 3 
e x3 = –2 e portanto x1
2
 + x2
2
 + x3
2
 = 14. 
 
QUESTÃO 78 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Usando as relações de Girard, temos r – r + s = 
2, –r
2
 + rs – rs = –9 e –r
2
s = – 18. Portanto, s = 2 e r 
= 3. 
 
b) Temos que p(z) = p(1 + i) = (1 + i)
3
 – 2(1 + i)
2
 –
 9(1 + i) + 18 = 1 + 3i + 3i
2
 + i
3
 – 2(1 + 2i + i
2
) – 9(1 
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+ i) + 18 = 1 + 3i – 3 – i – 2(1 + 2i – 1) – 9 – 9i + 18 
= 7 – 11i. 
 
QUESTÃO 79 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) p(2) = 0, logo, 2
3
 – 2 · 2
2
 – 5 · 2 +d = 0 d = 
10. 
 
b) x
3
 – 2x
2
 – 5x + 10 = 10 x
3
 – 2x
2
 – 5x = 
0 x (x
2
 – 2x – 5) = 0 x = 0 ou x 
= . 
 
QUESTÃO 80 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) p (2) = 0, logo 2
3
 – 2.2
2
 –5.2 + d = 0 d = 10. 
 
b) x
3
 – 2x
2
 – 5x + 10 = 10 x
3
 –2x
2
 – 5x = 0 
x (x
2
 – 2x – 5) = 0 x = 0 ou x 
= 
 
QUESTÃO 81 
GABARITO: 
(1 – i)
2
 = 1 – 2i – 1 = –2i 
 
P(1 – i) = 0 
(1 – i)
3
 + a(1 – i)
2
 + 8(1 – i)+ b = 0 
–2i (1 – i) + a(–2i) + 8 - 8i + b = 0 
b + 6 + (–2a – 10) = 0 
 
 
Assim, o polinômio é P(x) = x
3
 – 5x
2
 + 8x – 6, cujos 
coeficientes são reais. Pode-se afirmar que (1 + i) 
também é raiz. 
 
Portanto, existe apenas uma raiz real, que 
chamaremos de x3. Pelas relações de Girard: 
 
1 + i + 1 – i + x3 = 5 
1 + 1 + x3 = 5 
x3 = 3 
 
Logo, existe uma única raiz real x3 = 3. 
 
QUESTÃO 82 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Tem-se que 
 
 
Considerando agora o trinômio q(a) = 3a
2
 + 2a + 1, 
tem-se que: 
 < 0 
 
Portanto, q(a) > 0 para todo . 
Consequentemente, > 0 para todo , já 
que . 
Assim, p(x) tem duas raízes distintas, qualquer que 
seja . 
 
b) Há dois casos a serem analisados: 
1º) a > 0. Neste caso a parábola tem concavidade 
voltada para cima e como 1 está entre as raízes x1 
e x2 de p(x), segue que p(1) < 0. Logo, a · p(1) < 0. 
2º) a < 0. Neste caso a parábola tem concavidade 
voltada para baixo e como 1 está entre as raízes x1 
e x2 de p(x), segue que p(1) > 0. Logo, a · p(1) < 0. 
Portanto, a · p(1) < 0. 
 
c) Se as raízes x1 e x2 de p(x) satisfazem x1 < 1 < 
x2, então, do item (b) pode-se afirmar que a · p(1) < 
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0 . 
Mas p(1) = a – 2 – (3a + 2) = – 2a – 4. 
Assim, a(–2a – 4) = –2a
2 
– 4a < 0, donde a
2 
+ 2a > 
0, ou seja, a(a + 2) > 0. 
Daí vem que a < –2 ou a > 0. 
 
QUESTÃO 83 
GABARITO: 
Dividindo o polinômio por x – (a –1), temos: 
 
 
 
As outras duas raízes são raízes da equação 
. Ou seja: 
 
 
Logo, as duas outras raízes são –a e 2a. 
 
 
 
	Exercícios de Polinômios.
	Raizes de um polinômio e relações de Girard.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 59
	Questão 60
	Questão 61
	Questão 62
	Questão 63
	Questão 64
	Questão 65
	Questão 66
	Questão 67
	Questão 68
	Questão 69
	Questão 70
	Questão 71
	Questão 72
	Questão 73
	Questão 74
	Questão 75
	Questão 76
	Questão 77
	Questão 78
	Questão 79
	Questão 80
	Questão 81
	Questão 82
	Questão 83
	Questão 1
	B
	Resolução:
	Questão 2
	A
	Resolução:
	Questão 3
	E
	Resolução:
	Questão 4
	C
	Resolução:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	C
	Resolução:
	Questão 7
	C
	Resolução:
	Questão 8
	E
	Resolução:
	Questão 9
	A
	Resolução:
	Questão 10
	D
	Resolução:
	Questão 11
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 12
	D
	Resolução:
	Questão 13
	D
	Resolução:
	Questão 14
	D
	Resolução:
	Questão 15
	B
	Resolução:
	Questão 16
	B
	Resolução:
	Questão 17
	A
	Resolução:
	Questão 18
	E
	Resolução:
	Questão 19
	Gabarito:
	Questão 20
	A
	Resolução:
	Questão 21
	D
	Resolução:
	Questão 22
	D
	Resolução:
	Questão 23
	B
	Resolução:
	Questão 24
	E
	Resolução:
	Questão 25
	E
	Resolução:
	Questão 26
	C
	Resolução:
	Questão 27
	E
	Resolução:
	Questão 28
	C
	Resolução:
	Questão 29
	A
	Resolução:
	Questão 30
	C
	Resolução:
	Questão 31
	B
	Resolução:
	Questão 32
	B
	Resolução:
	Questão 33
	C
	Resolução:
	Questão 34
	A
	Resolução:
	Questão 35
	C
	Resolução:
	Questão 36
	C
	Resolução:
	Questão 37
	03
	Resolução:
	Questão 38
	A
	Resolução:
	Questão 39
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 40
	C
	Resolução:
	Questão 41
	D
	Resolução:
	Questão 42
	B
	Resolução:
	Questão 43
	C
	Resolução:
	Questão 44
	E
	Resolução:
	Questão 45
	A
	Resolução:
	Questão 46
	E
	Resolução:
	Questão 47
	01 + 04 + 08 = 13
	Resolução:
	Questão 48
	A
	Resolução:
	Questão 49
	D
	Resolução:
	Questão 50
	E
	Resolução:
	Questão 51
	B
	Resolução:
	Questão 52
	C
	Resolução:
	Questão 53
	C
	Resolução:
	Questão 54
	D
	Resolução:
	Questão 55
	C
	Resolução:
	Questão 56
	E
	Resolução:
	Questão 57
	C
	Resolução:
	Questão 58
	E
	Resolução:
	Questão 59
	C
	Resolução:
	Questão 60
	C
	Resolução:
	Questão 61
	Gabarito:
	Questão 62
	Gabarito:
	Questão 63
	Gabarito:
	Questão 64
	Gabarito:
	Questão 65
	Gabarito:
	Questão 66
	02 + 04 = 06
	Resolução:
	Questão 67
	05
	Resolução:
	Questão 68
	Gabarito:
	Questão 69
	Gabarito:
	Questão 70
	Gabarito:
	Questão 71
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 72
	Gabarito:
	Questão 73
	Gabarito:
	Questão 74
	Gabarito:
	Questão 75
	Gabarito:
	Questão 76
	Gabarito:
	Questão 77
	Gabarito:
	Questão 78
	Gabarito:
	Questão 79
	Gabarito:
	Questão 80
	Gabarito:
	Questão 81
	Gabarito:
	Questão 82
	Gabarito:
	Questão 83
	Gabarito: