Analítitica Circunferência.

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Analítica. 
Analítica. 
 
QUESTÃO 1 
A circunferência dada pela 
equação é tangente 
aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, 
conforme a figura. O segmento é paralelo ao 
segmento e contém o centro C da 
circunferência. É correto afirmar que a área da 
região hachurada vale: 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 2 
A circunferência x
2
 + y
2
 + px + qy + m = 0 passa 
pelos pontos (–1,4), (3,4) e (3,0). Se d é a distância 
do centro da circunferência ao ponto K(p,q), então o 
produto m · d é igual a 
 
A) 3 
B) –3 
C) 9 
D) –9 
QUESTÃO 3 
A soma das coordenadas do centro da 
circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está 
situada no primeiro quadrante e que tangencia o 
eixo dos y e a reta 4x – 3y = 0, é 
 
A) 3 u.c. 
B) 5 u.c. 
C) 4 u.c. 
D) 6 u.c. 
QUESTÃO 4 
Analise as assertivas e assinale a CORRETA. 
 
a. As retas de equações y = 3x – 1 e 2x + y = 3 não 
se intersectam. 
 
b. A reta de equação y = x e o círculo definido por x
2
 
+ y
2
 ≤ 1 têm dois e só dois pontos em comum. 
 
c. Uma reta que passa pela origem e tem declive 
pode ser representada pela equação y = x 
 
d. A declividade de uma reta que contém os pontos 
(–1,5) e (–3, 4) é dada pelo número 
 
e. A reta de equação x + y = 3 e o círculo definido 
por x
2
 + y
2
 ≤ 1 têm dois e só dois pontos em 
comum. 
QUESTÃO 5 
Considere as retas r : x + 2y − 4 = 0, s : 2x + y − 5 = 
0 e o círculo x
2
 + 2x + y
2
 − 4y = 0. 
A reta que passa pelo centro do círculo e pela 
interseção das retas r e s é 
 
a) x − 3y − 2 = 0 
b) x − y − 1 = 0 
c) 2x − y − 3 = 0 
d) x + 3y − 7 = 0 
e) x + 3y − 5 = 0 
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QUESTÃO 6 
Considere no plano cartesiano xy, a circunferência 
de equação (x – 2)
2
 + (y + 1)
2
 = 4 e o ponto P dado 
pela interseção das retas L1 : 2x – 3y + 5 = 0 e L2 : 
x – 2y + 4 = 0. Então a distância do ponto P ao 
centro da circunferência é: 
 
(A) o dobro do raio da circunferência. 
(B) igual ao raio da circunferência. 
(C) a metade do raio da circunferência. 
(D) o triplo do raio da circunferência. 
QUESTÃO 7 
Dada a circunferência de equação x
2
 + y
2
 – 6x – 
10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada 
máxima. A soma das coordenadas de P é: 
 
A 10 
B 10,5 
C 11 
D 11,5 
E 1 
QUESTÃO 8 
Dada uma circunferência de centro C(3, 1) e raio r = 
5 e, seja o ponto P(0, a), com a , é correto 
afirmar. 
a. Se –3 < a < 5, então P é externo à circunferência. 
b. Se –3 < a < 5, então P pertence à circunferência. 
c. Se a = 5 ou a = –3, então P é interno à 
circunferência. 
d. Se a < –3 ou a > 5, então P é externo à 
circunferência. 
e. Se a < –3 ou a > 5, então P é interno à 
circunferência. 
QUESTÃO 9 
Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor 
positivo de b tal que a reta y = x + b e tangente ao 
círculo de equação x
2
 + y
2
 = 1 é: 
 
A) 2. 
B) 1. 
C) . 
D) . 
E) 3. 
QUESTÃO 10 
No plano cartesiano, o ponto P(1, ) pertence à 
circunferência de equação x
2
 + y
2
 – 4x = 0. A 
equação da reta que passa por P e tangencia a 
circunferência intercepta o eixo das abscissas no 
ponto 
 
A. 
B. (–3, 0) 
C. (–2, 0) 
D. 
E. 
QUESTÃO 11 
No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (–1,0) 
pertencem à circunferência C. Uma outra 
circunferência, de centro em (– ,4), é tangente a C 
no ponto (0,3). 
Então, o raio de C vale 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 12 
O centro da circunferência x
2
 + 2x + y
2
 = 1 pertence 
à reta r e esta reta é perpendicular à reta x + y = 8. 
Um ponto pertencente à reta r é o ponto 
 
A) (3, 5). 
B) (2, 4). 
C) (3, 4). 
D) (5, -5). 
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QUESTÃO 13 
Obtenha as equações das circunferências 
apresentadas na figura, onde OABC é um retângulo 
de lado AO = 6 e OC = 2, e a circunferência menor 
tangencia os lados do retângulo. 
 
 
 
A) (x – 1)
2
 + (y – 2)
2
 = 1 e (x – 5)
2
 + (y – 1)
2
 = 34 
B) (x – 5)
2
 + (y – 1)
2
 = 1 e (x – 1)
2
 + (y – 3)
2
 = 34 
C) (x – 2)
2
 + (y – 1)
2
 = 3 e (x – 1)
2
 + (y – 6)
2
 = 5 
D) (x – 5)
2
 + (y – 1)
2
 = 1 e (x – 3)
2
 + (y – 1)
2
 = 10 
E) (x – 2)
2
 + (y + 2)
2
 = 1 e (x – 1)
2
 + (y – 3)
2
 = 10 
QUESTÃO 14 
Qual das seguintes retas passa pelo centro da 
circunferência x
2
 + y
2
 + 4y – 3 = 0? 
 
a) x + 2y = 4. 
b) 5x – y = 2. 
c) x + y = 0. 
d) x – 5y = –2. 
e) 2x + y = 7. 
QUESTÃO 15 
Seja C o centro da circunferência de 
equação . Considere A e B 
os pontos de interseção dessa 
circunferência com a reta de equação y = x. 
Nessas condições, a área do triângulo de vértices A, 
B e C é igual a 
 
A) 6 
B) 4 
C) 5 
D) 7 
E) 4 
QUESTÃO 16 
Sejam a circunferência λ: x
2
 + y
2
 – 2y + k = 0 e a 
reta r: 3x + 4y – 19 = 0. Para que r seja tangente a 
λ, k deve valer 
 
(A) –10. 
(B) –8. 
(C) 0. 
(D) 8. 
(E) 10. 
QUESTÃO 17 
Sejam A, B e C pontos de intersecção da 
circunferência x
2
 + y
2
 = 4x com as retas de equação 
y = x e y = –x. Então, a área do triângulo de vértices 
A , B e C, em u.a. (unidades de área), vale: 
 
A) 6 u.a. 
B) 8 u.a. 
C) 4 u.a. 
D) 10 u.a. 
E) u.a. 
QUESTÃO 18 
Sobre a reta s de equação y − 2x − 1= 0 e a 
circunferência C de equação x
2
 + y
2
 − 2x + y − 1= 
0, afirma-se: 
 
I. C tem centro no ponto . 
II. s é tangente a C. 
III. s determina com o eixo das abscissas um ângulo 
θ tal que sen . 
 
Para essas afirmações, pode-se garantir que é 
verdadeira a alternativa 
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01) apenas I. 
02) apenas II. 
03) apenas I e III. 
04) apenas II e III. 
05) I, II e III. 
QUESTÃO 19 
Considere o circulo de centro O e de equação x
2
 + 
y
2
 = 4 e a reta que passa pelo ponto A = (0, 6) e é 
tangente ao círculo em um ponto B do primeiro 
quadrante. A área do triângulo AOB é 
 
(A) . 
 
(B) 6. 
 
(C) . 
 
(D) 8. 
 
(E) . 
QUESTÃO 20 
A altura de um triângulo equilátero é igual ao 
diâmetro do círculo de equação , 
Dois dos vértices do triângulo pertencem ao eixo 
das abscissas, e o outro, ao círculo. A equação da 
reta que tem inclinação positiva e que contém um 
dos lados do triângulo é: 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 21 
Com base nos conhecimentos de geometria 
analítica, considere as seguintes afirmativas: 
 
1. Os pontos de coordenadas cartesianas A(0, 2), 
B(2, 3) e C(4, 4) não são colineares. 
 
2. A equação da reta que passa pelos pontos de 
coordenadas cartesianas D(1, –2) e E(2, 2) é y + 6 = 
4x. 
 
3. Um dos pontos de intersecção da circunferência 
(x – 3)
2
 + y
2
 = 2 com a circunferência (x – 1)
2
 + (y + 
1)
2
 = 5, tem coordenadas cartesianas (2,1). 
 
4. A equação da reta que é paralela à reta x – 3y = –
14 e que tangencia a circunferência (x – 2)
2 
+ (y + 
1)
2
 = 10 é x = 3y – 5. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
QUESTÃO 22 
Considere o círculo x
2
 + y2
 – r
2
 = 0 de raio r e a 
hipérbole x
2
 – y
2
 = 1. Nesse caso, pode-se afirmar 
que: 
 
a) se r < 1, então as curvas se interceptam em 
quatro pontos. 
b) se r = 1, então as curvas têm quatro pontos em 
comum. 
c) se r = 1, as curvas se interceptam em (0, 1) e 
(0, –1). 
d) se r = , então as curvas se interceptam 
apenas nos pontos (3, ) e (–3, ). 
e) se r > , então as curvas se interceptam em 
quatro pontos. 
QUESTÃO 23 
Considere, no plano cartesiano Oxy, a 
circunferência C de 
equação e sejam P e Q 
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os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, 
respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles 
inscrito em C, de base , e com o maior 
perímetro possível. 
 
Então, a área de PQR é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 24 
Dada a circunferência de 
equação e os 
pontos A = (p, –1) e B = (1,1), o valor de p para que 
o centro da circunferência e os pontos A e B 
estejam alinhados é: 
 
A) 3 
B) 2 
C) –3 
D) 4 
E) –4 
QUESTÃO 25 
Em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, os pontos A(–2,4), B(6,–2) e C(–2,–2) 
são os vértices do triângulo ABC. Qual a equação 
da circunferência circunscrita a esse triângulo? 
 
A) x
2
 – 12x + y
2
 – 16y + 100 = 0 
B) x
2
 – 4x + y
2
 – 2y – 95 = 0 
C) x
2
 – 4x + y
2
 – 4y – 92 = 0 
D) x
2
 – 4x + y
2
 – 4y – 17 = 0 
E) x
2
 – 4x + y
2
 – 2y – 20 = 0 
QUESTÃO 26 
Na circunferência de equação (x – 1)
2
 + (y – 2)
2
 = 9, 
o ponto que tem menor abscissa pertence à reta r 
que é paralela à reta x – y – 5 = 0 e que tem como 
equação 
 
01) y = x + 4 
02) y = x + 2 
03) y = x – 1 
04) y = –x + 2 
05) y = –x – 1 
QUESTÃO 27 
Qual a maior distância entre um ponto da 
circunferência com equação (x – 2)
2
 + (y – 3)
2
 = 1 e 
a origem do sistema de coordenadas? 
 
A seguir, estão esboçadas a circunferência (x – 2)
2
 
+ (y – 3)
2
 = 1 e a reta y = 3x/2, que passa pela 
origem e pelo centro da circunferência. 
 
 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 28 
Sejam M e N os pontos em que a reta y = x 
intercepta a circunferência x
2
 + y
2
 – 4x – 2y + 4 = 0. 
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Se P é um ponto desta circunferência tal que o 
triângulo MNP é retângulo, então a medida da área 
deste triângulo, em unidade de área, é 
 
A) 1,0. 
B) 1,5. 
C) 2,0. 
D) 2,5. 
QUESTÃO 29 
Um arquiteto fez o projeto de uma praça em formato 
elíptico, com quadras poliesportivas, um anfiteatro e 
alguns quiosques, e desenhou a planta dessa praça 
em um plano cartesiano, tendo o metro como a 
unidade de comprimento. 
 
O anfiteatro, em forma de um círculo, tem um palco 
que está delimitado por um arco da circunferência 
que contorna o anfiteatro e por uma corda dessa 
circunferência, situada sobre a reta cuja equação é 
3x − y + 4 = 0. Sabendo-se que a equação da 
circunferência é x2 + y 
2 
− 10x − 8y + 16 = 0, é 
correto afirmar que essa corda tem o comprimento 
de: 
 
a) 2m 
b) m 
c) 8m 
d) m 
e) m 
 
 
 
QUESTÃO 30 
O ponto P = (x,y), cujas coordenadas x e y são 
números inteiros positivos, está sobre a 
circunferência cujo centro é a origem do sistema de 
coordenadas e o raio mede 10 m. O valor de 
 é 
 
A) . 
B) . 
C) . 
D) . 
QUESTÃO 31 
Se (m, n) são as coordenadas do centro da 
circunferência x
2
 + 2 x + y
2 
− 6y + 7 = 0, então 
(−3m + n) é igual a: 
 
01) 
02) 1 
03) 0 
04) 
05) −3 
QUESTÃO 32 
 
 
A forma geométrica de algumas galáxias, como, por 
exemplo, a da Via Láctea, pode ser modelada, em 
escala, pela seguinte construção: no sistema de 
coordenadas cartesianas xOy, a espiral é formada 
por semicírculos cujos centros estão no eixo Ox. O 
primeiro semicírculo, , construído no semiplano 
y 0, tem o centro na origem e raio = 1 m, 
como ilustra a figura I. O segundo semicírculo, , 
construído no semiplano y 0, com raio > , 
é tal que as extremidades esquerdas dos 
semicírculos e coincidem (figura II). O 
semicírculo é construído no semiplano y 0, 
com raio > e com a extremidade direita desse 
semicírculo coincidindo com a do semicírculo 
(figura III). A construção da sequência , ..., 
de semicírculos prossegue dessa forma. Duas 
maneiras distintas de serem escolhidos os raios dos 
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semicírculos , , ..., são definidas pelas 
condições a seguir. 
 
Condição I: o raio de cada semicírculo é igual ao 
raio do semicírculo anterior acrescido de 1 m; 
Condição II: o raio de cada semicírculo é igual ao 
dobro do raio do semicírculo anterior. 
 
Com base nessas informações, e considerando que 
a unidade de medida dos eixos cartesianos é o 
metro, julgue os itens que se seguem (certo ou 
errado). 
 
• A equação da reta que passa pelos pontos de 
interseção do semicírculo com a parte positiva 
do eixo Ox e com a parte negativa do eixo Oy é x + 
y = 1. 
 
• O ponto (7, 0) pertence à espiral construída de 
acordo com a condição I. 
 
• Se , , , ..., forem os semicírculos 
construídos segundo a condição I, então a distância 
dos centros desses semicírculos com relação à 
origem do sistema xOy será uma função crescente 
de n. 
 
• Se os semicírculos forem construídos de acordo 
com a condição I, então o comprimento da espiral, 
do ponto inicial de até o ponto final do 
semicírculo , será igual a 66 m. 
 
• Se uma partícula percorrer a trajetória da espiral 
construída segundo a condição I, no sentido horário, 
com velocidade linear constante, então, na 
passagem do primeiro semicírculo para o segundo, 
a intensidade da aceleração radial da partícula 
diminuirá pela metade. 
 
• Os pontos (4, 0), (6, 0), (8, 0) e (10, 0) não 
pertencem à espiral construída de acordo com a 
condição II. 
 
• Se os semicírculos forem construídos a partir da 
condição II, então o comprimento da espiral, do 
ponto inicial de até o ponto final do 
semicírculo , será igual a 1.022 m. 
 
• Considere que uma partícula percorra a trajetória 
da espiral construída a partir da condição II, no 
sentido horário, e que a intensidade da força 
centrífuga que atua sobre ela se mantenha 
constante em toda a trajetória. Nessa situação, a 
velocidade angular da partícula varia segundo a 
expressão , em que k é uma constante e 
n 0 é um número inteiro que indica o 
semicírculo no qual a partícula se encontra. 
 
• Uma partícula que se move com velocidade 
angular constante sobre a espiral construída 
segundo a condição II terá, em cada instante t, a 
posição de sua projeção sobre o eixo Ox descrita 
pela expressão , em que t é 
o tempo transcorrido desde o instante em que a 
partícula se encontrava no ponto inicial de e rn é 
o raio do semicírculo no qual a partícula se 
encontra no instante t. 
QUESTÃO 33 
 
 
A figura I mostra um aparelho utilizado para se 
determinar a razão carga/massa (e/m) do elétron. 
Nesse equipamento, um feixe de elétrons produzido 
por um canhão de elétrons é injetado em uma 
região de campo magnético criado por um par de 
bobinas. Dependendo da velocidade dos elétrons e 
da intensidade do campo magnético, os elétrons 
podem realizar um movimento circular entre as 
bobinas. Essa situação é ilustrada 
esquematicamente na figura II, que mostra a 
estrutura do canhão acelerador deelétrons e duas 
trajetórias diferentes obtidas em condições distintas 
do aparelho, em um sistema de coordenadas 
cartesianas xOy. No canhão de elétrons, um 
filamento incandescente aquece uma placa metálica 
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no cátodo, para liberar elétrons de sua superfície. 
Esses elétrons são, então, acelerados em direção 
ao ânodo por um potencial acelerador. Ao chegarem 
ao ânodo, eles passam por uma abertura e são 
ejetados do canhão para dentro da região de campo 
magnético, onde o feixe se curva. O gráfico da 
figura III mostra a relação entre a diferença de 
potencial e a corrente elétrica do filamento do 
canhão. Na figura II, os pontos P = (5, 5), Q = (10, 
0), R = e S = (17, 0) têm os valores 
dados em centímetros. 
 
Considerando essas informações e sabendo que a 
massa e a carga do elétron são iguais a 9,1 × 10
–31
 
kg e 1,6 × 10
–19
 C, respectivamente, julgue os 
itens a seguir (certo ou errado). 
 
• A circunferência que passa pelos pontos O, P e Q 
é descrita pela equação x
2
 – 10x + y
2
 = 0. 
 
• A circunferência que passa pelos pontos O, P e Q 
pode ser descrita pelo conjunto dos números 
complexos z = x + yi, tais que , em 
que Re(z) denota a parte real do número complexo 
z e i é a unidade imaginária. 
 
• Os triângulos OPQ e ORS são semelhantes. 
 
• A reta que passa pelos pontos P e Q é paralela à 
reta x + y = 0. 
 
• Considerando que corresponde à área do 
triângulo OPQ; , à do triângulo ORS; à da 
semicircunferência que passa pelos pontos O, P e 
Q; e , à da semicircunferência que passa pelos 
pontos O, R e S, é correto afirmar que . 
QUESTÃO 34 
 
Disponível em: <http://scienceniche.com/wp-
content/uploads/2008/09/lhc12.jpg>. 
 
O LHC (Large Hadron Collider ou, em português, 
"Grande Colisor de Hadrons") traz a promessa de 
responder a alguns dos mais profundos mistérios da 
ciência, ao investigar as partículas mais 
elementares da matéria e replicar fenômenos que 
tiveram lugar durante o big bang, a explosão que 
teria dado origem ao Universo. 
A primeira leva de prótons se deslocou por alguns 
instantes quase à velocidade da luz pela estrutura 
circular de 27 quilômetros, a cerca de 100 metros 
abaixo da superfície. O momento histórico ocorreu 
às 5h28min (hora de Brasília) desta quarta-feira 
(10/09/2008) [...]. 
Disponível em: <http://agencia.fapesp.br/9407>. 
Acesso em: 25 jul. 2011. Adaptado. 
 
De acordo com as informações do texto, é correto 
afirmar que uma possível equação que descreve o 
LHC, em um sistema de eixos coordenados 
cartesianos, é 
 
01) x
2
 + y
2
 − 2x − 4y − 13,49 = 0 
02) x
2
 + y
2
 + 4x − 6y − 14,04 = 0 
03) x
2
 + y
2
 + 2x + 6y − 19,16 = 0 
04) x
2
 + y
2
 − 6x − 4y − 20,64 = 0 
05) x
2
 + y
2
 + 4x − 2y − 23,09 = 0 
QUESTÃO 35 
 Na figura a seguir, a circunferência C1 tem raio 1 e 
a circunferência C2, de centro (2,4), tem raio 2. A 
reta r forma um ângulo de 30
o
 com o eixo das 
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ordenadas e passa pelo centro das duas 
circunferências. 
 
 
 
Sabendo que a distância entre os pontos A e B é 
igual a 2, as coordenadas (x0 ,y0) do centro da 
circunferência C1 são: 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
(D) 
 
(E) 
QUESTÃO 36 
Assinale, na coluna I, as afimativas verdadeiras e, 
na coluna II, as falsas. 
Analise as afirmações a seguir e conclua. 
 
 
I II 
0 0 
O coeficiente angular de uma reta no plano 
que intercepta o eixo x no ponto P(a, 0) e o 
eixo y no ponto Q(0, a) com a > 0 é um 
número positivo não nulo. 
1 1 
Se uma reta no plano intercepta uma 
circunferência, também no plano, em dois 
pontos 
distintos, a distância entre esta reta e o 
centro da circunferência será maior ou igual 
ao 
raio. 
2 2 
Retas no plano com coeficiente angular 
estritamente positivo são representadas por 
equações do tipo y = f(x) com f : R → 
R função crescente do 1º grau. 
3 3 
Se a distância entre os centros de duas 
circunferências no plano for maior que a 
soma de seus raios, essas circunferências 
não terão pontos em comum. 
4 4 
Independentemente das coordenadas do 
centro, circunferências no plano podem ser 
descritas pela equação x
2
 + y
2
 + Ax + By + 
C = 0 para coeficientes A, B e C reais, 
devidamente escolhidos. 
QUESTÃO 37 
No plano cartesiano, a circunferência que passa 
pelos pontos A(2,0), B(0,3) e pela origem O(0,0) 
intercepta a reta y = x em dois pontos. Um deles 
tem coordenadas cuja soma é: 
A) 5 
B) 4,5 
C) 4 
D) 3,5 
E) 3 
QUESTÃO 38 
No plano cartesiano, a curva de equação y = x
2 
− 2x 
+ 1 intercepta o círculo de raio 1 e centro (1,1) em 
três pontos, A, B e C. Então, a área do triângulo 
ABC é: 
 
(A) 0,5 
(B) 1 
(C) 1,5 
(D) 2 
(E) 2,5 
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QUESTÃO 39 
No plano cartesiano, os pontos A(1,2) e B(−2,−2) 
são extremidades de um diâmetro de uma 
circunferência; essa circunferência intercepta o eixo 
das abscissas em dois pontos. Um deles é: 
A) (4,0) 
B) 
C) (3,0) 
D) 
E) (2,0) 
QUESTÃO 40 
Se c é um número real positivo, a 
equação é representada no 
sistema cartesiano usual por um quadrado Q. Se Q 
é circunscrito à circunferência x
2
 + y
2
 = r
2
, então a 
relação é igual a 
 
A) 0,5. 
B) 2,0. 
C) 1,5. 
D) 1,0. 
QUESTÃO 41 
A área de um quadrado inscrito na circunferência de 
equação x
2
 – 2y + y
2
 = 0 é 
 
a) 
b) 1. 
c) 
d) 2. 
e) 
QUESTÃO 42 
A reta 3x + 4y − 6 = 0 determina na circunferência 
x
2
 + y
2
 − 2x − 4y + 1 = 0 uma corda MN de 
comprimento igual, em u.c., a: 
 
01) 6 
02) 
03) 3 
04) 
05) 
QUESTÃO 43 
A reta y = mx + n intercepta a circunferência x
2
 + y
2
 
= 1 no ponto (–1,0) e em um segundo ponto 
localizado no primeiro ou no quarto quadrante. Os 
valores possíveis de m situam-se, exatamente, entre 
 
a) – 0,5 e 0,5. 
b) –1,0 e 0,0. 
c) 0,0 e 1,0. 
d) –1,0 e 1,0. 
QUESTÃO 44 
Considerando a circunferência C de equação (x – 
3)
2
 + (y – 4)
2
 = 5, avalie as seguintes afirmativas: 
 
I. O ponto P(4, 2) pertence a C. 
II. O raio de C é 5. 
III. A reta passa pelo centro de C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
c) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
QUESTÃO 45 
Considere o triângulo, cujos vértices estão no centro 
da circunferência S1: e na 
interseção da circunferência S1 com a curva S2: 
. É correto afirmar que a 
área, em unidade de área, deste triângulo é igual a: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
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d) 
 
e) 
 
QUESTÃO 46 
Considere os pontos P = (−2, −1) , Q = (0, 0) e R = 
(1, 2) do plano. Sobre a circunferência que passa 
por esses três pontos, é CORRETO afirmar que: 
 
a) seu centro está no 4
o
 quadrante. 
b) é um diâmetro. 
c) ela é tangente à reta y = 0. 
d) seu centro está sobre a reta de equação y = −x. 
e) ela é tangente à reta y − x + 10 = 0. 
QUESTÃO 47 
Considere, em um sistema ortogonal de 
coordenadas cartesianas, duas circunferências λ1 e 
λ2, tangentes entre si, com respectivos centrosC1(3, 0) e C2 (0, 3) e o raio de λ2 sendo o dobro do 
raio de λ1. Com relação a essas circunferências, 
assinale o que for correto. 
 
01) A reta de equação x − 2y = 0 é tangente a 
ambas as circunferências. 
02) O eixo das abscissas é secante a ambas as 
circunferências. 
04) O ponto de tangência comum das 
circunferências dista da origem do sistema de 
coordenadas. 
08) A reta de equação x + y = 3 contém o ponto de 
tangência comum das circunferências. 
16) A equação de λ1 é x
2
 + y
2
 − 6x + 7 = 0. 
QUESTÃO 48 
Construídas no mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas, as inequações x
2
 + y
2 
< 4 e y < x + 1 
delimitam uma região no plano. O número de pontos 
que estão no interior dessa região e possuem 
coordenadas inteiras é 
 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
QUESTÃO 49 
Determine a equação da circunferência centrada no 
vértice da parábola y = x
2
 − 6x + 8 e que passa 
pelos pontos em que a parábola corta o eixo x. 
 
a) (x − 2)
2
 + (y − 4)
2
 = 4 
b) (x − 3)
2
 + (y + 1)
2
 = 2 
c) (x − 1)
2
 + (y − 3)
2
 = 9 
d) (x + 1)
2
 + (y − 3)
2
 = 
e) (x − 2)
2
 + (y − 3)
2
 = 4 
QUESTÃO 50 
No desenho a seguir, que não está em escala, a 
reta y = 3x é perpendicular à reta que passa pelo 
ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. 
A equação da circunferência com centro em A e 
tangente ao eixo x é dada por 
 
 
 
a) 
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b) 
c) 
d) 
QUESTÃO 51 
No plano cartesiano 0xy, a reta de equação x + y = 
2 é tangente à circunferência C no ponto (0, 2). 
Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. Então, o 
raio de C é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 52 
No plano cartesiano, a reta tangente à 
circunferência de equação x
2
 + y
2
 = 8, no ponto P 
de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação 
y = 2x no ponto: 
 
A 
B 
C 
D 
E 
QUESTÃO 53 
No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta 
de equação 3x + 4y + 60 = 0 e que tangenciam a 
circunferência x
2
 + y
2
 = 4. 
Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada 
 
a) 2,9. 
b) 2,8. 
c) 2,7. 
d) 2,6. 
e) 2,5. 
QUESTÃO 54 
No plano cartesiano, o ponto C(2,3) é o centro de 
uma circunferência que passa pelo ponto médio do 
segmento , em que P é o ponto de coordenadas 
(5,7). A equação da circunferência é: 
 
A 4x 
2 
+ 4 y 
2
– 16 x – 24 y + 27 = 0 
B x 
2 
+ y 
2
 – 4 x – 6 y + 7 = 0 
C 4 x 
2
 + 4 y 
2
 – 16 x – 24 y + 29 = 0 
D x 
2
 + y 
2
 – 4 x – 6 y + 8 = 0 
E 4 x 
2
 + 4 y 
2
 – 16 x – 24 y + 31 = 0 
QUESTÃO 55 
No plano cartesiano, uma circunferência tem centro 
C(5, 3) e tangencia a reta de equação 3x + 4y – 12 
= 0 . 
A equação dessa circunferência é: 
 
a) x
2
 + y
2
 – 10x – 6y + 25= 0 
b) x
2
 + y
2
 – 10x – 6y + 36 = 0 
c) x
2
 + y
2
 – 10x – 6y + 49 = 0 
d) x
2
 + y
2
 +10x + 6y + 16 = 0 
e) x
2
 + y
2
 +10x + 6y + 9 = 0 
QUESTÃO 56 
No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro 
se encontra no segundo quadrante, tangencia os 
eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da 
circunferência é igual a 4, a equação da 
circunferência é: 
 
A x
2
 + y
2
 + (2 )x – (2 )y + 10 = 0 
B x
2
 + y
2
 + (2 )x – (2 )y + 8 = 0 
C x
2
 + y
2
 – (2 )x + (2 )y + 10 = 0 
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D x
2
 + y
2
 – (2 )x + (2 )y + 8 = 0 
E x
2
 + y
2
 – 4x + 4y + 4 = 0 
QUESTÃO 57 
Num sistema cartesiano de coordenadas, a equação 
x
2
 − 2x + y
2
 + 4y = 4 descreve uma circunferência 
de centro C e raio r . A equação da reta que passa 
pelo ponto C e tem coeficiente angular igual a r é: 
 
a) y = 3x − 5 
b) y = 2x − 4 
c) y = 3x + 5 
d) y = 2x + 4 
QUESTÃO 58 
Observe o círculo representado no sistema de 
coordenadas cartesianas. 
 
 
 
Uma das alternativas a seguir apresenta a equação 
desse círculo. Essa alternativa é 
(A) (x – 2)
2
 + (y – 3)
2
 = 10. 
(B) (x + 2)
2 
+ (y + 3)
2
 = 13. 
(C) (x – 2)
2 
+ (y – 3)
2
 =13. 
(D) (x – 2)
2 
+ y
2
 = 10. 
(E) x
2 
+ (y + 3)
2
 = 13. 
QUESTÃO 59 
Os pontos de interseção do círculo de equação (x – 
4)
2
 + (y – 3)
2
 = 25 com os eixos coordenados são 
vértices de um triângulo. A área desse triângulo é: 
 
a) 22. 
b) 24. 
c) 25. 
d) 26. 
e) 28. 
QUESTÃO 60 
Os pontos P = (p, 0) e Q = (0, q), com 0< q <p, são 
as extremidades de um diâmetro da circunferência 
x
2
 + y
2
 – 8x – 6y = 0. A equação da mediatriz do 
segmento PQ é 
 
A) 3y + 4x + 25 = 0. 
B) 3y + 4x – 25 = 0. 
C) 3y – 4x + 7 = 0. 
D) –3y + 4x + 7 = 0 
QUESTÃO 61 
São dados, no plano cartesiano, o ponto P de 
coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação 
(x – 1)
2 
+ (y – 2)
2
 = 1. Uma reta t passa por P e é 
tangente a C em um ponto Q. Então a distância 
de P a Q é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 62 
Um círculo tangencia a reta r, como na figura a 
seguir. 
 
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O centro do círculo é o ponto (7, 2) e a reta r é 
definida pela equação 3x – 4y + 12 = 0. 
A equação do círculo é 
 
a) (x – 7)
2
 + (y – 2)
2
 = 25. 
b) (x + 7)
2
 + (y+2)
2
 = 25. 
c) (x – 7)
2
 + (y + 2)
2
 = 36. 
d) (x – 7)
2
 + (y – 2)
2
 = 36. 
e) (x + 7)
2
 + (y – 2)
2
 = 36. 
QUESTÃO 63 
Uma aeronave faz sua aproximação final do destino, 
quando seu comandante é informado pelo 
controlador de voo que, devido ao intenso tráfego 
aéreo, haverá um tempo de espera de 15 minutos 
para que o pouso seja autorizado e que ele deve 
permanecer em rota circular, em torno da torre de 
controle do aeroporto, a 1 500 metros de altitude, 
até que a autorização para o pouso seja dada. O 
comandante, cônscio do tempo de espera a ser 
despendido e de que, nessas condições, a aeronave 
que pilota voa a uma velocidade constante de Vc 
(km/h), decide realizar uma única volta em torno da 
torre de controle durante o tempo de espera para 
aterrissar. 
Sabendo que o aeroporto encontra-se numa planície 
e tomando sua torre de controle como sendo o 
ponto de origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas, determine a equação da projeção 
ortogonal, sobre o solo, da circunferência que a 
aeronave descreverá na altitude especificada. 
 
 
 
 
QUESTÃO 64 
A figura a seguir mostra uma circunferência 
tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e 
diâmetro de 10 unidades. 
 
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a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a 
reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo 
CAB. 
 
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na 
figura acima, no qual a reta r intercepta a 
circunferência. 
QUESTÃO 65 
Considere a circunferência de centro C(1,0) e a reta 
t que a tangencia no ponto P(0,2). 
 
a) Determine o raio e a equação da circunferência. 
 
b) Determine a equação da reta t . 
QUESTÃO 66 
Considere a reta r determinada pelos pontos P e Q 
e a circunferência , de centro C, que passa pelo 
ponto A, conforme representados no plano 
cartesiano abaixo. 
 
 
 
Determine a equação da reta s, perpendicular à reta 
r, tangente à circunferência e que contém pontos 
do 2º quadrante. 
QUESTÃO 67 
Determineuma equação da circunferência inscrita 
no triângulo cujos vértices são A = (1; 1); B = (1; 7) e 
C = (5; 4) no plano xOy. 
QUESTÃO 68 
No desenho a seguir, a reta y = ax (a > 0) e a reta 
que passa por B e C são perpendiculares, 
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 
0), resolva as questões a seguir. 
 
 
 
a) Determine as coordenadas do ponto C em função 
de a. 
 
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as 
coordenadas do ponto A e a equação da 
circunferência com centro em A e tangente ao eixo 
x. 
QUESTÃO 69 
São dados, no plano cartesiano de origem O, a 
circunferência de equação x
2
 + y
2
 = 5 , o 
ponto e a reta s que passa por P e é 
paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada 
positiva em que a reta s intercepta a circunferência. 
 
Assim sendo, determine 
 
a) a reta tangente à circunferência no ponto E. 
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 
QUESTÃO 70 
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Seja a circunferência C de equação x
2
 + y
2
 + 6 
x – 6y + 27 = 0. 
Determine a abscissa e a ordenada do ponto P de C 
que esteja o mais próximo possível da origem do 
sistema de coordenadas cartesianas. 
QUESTÃO 71 
Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um 
posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, 
também, que uma estação da guarda florestal esteja 
localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha 
reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a 
figura a seguir. 
 
 
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área 
de cobertura da primeira antena, localizada na 
estação da guarda florestal, corresponde a um 
círculo que tangencia a estrada. O alcance da 
segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem 
ultrapassar, o ponto da estrada que está mais 
próximo da estação da guarda florestal. Explicite as 
duas desigualdades que definem as regiões 
circulares cobertas por essas antenas, e esboce 
essas regiões no gráfico seguinte, identificando a 
área coberta simultaneamente pelas duas antenas. 
 
 
 
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma 
única antena, mais potente, a ser instalada em um 
ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa 
antena ao posto rodoviário e à estação da guarda 
florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro 
da estrada essa antena deve ser instalada. 
QUESTÃO 72 
A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao 
eixo y é interceptada pela circunferência C, definida 
pela equação x 
2
 + y 
2
 = 4, e pela semirreta que 
parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo-x, 
conforme a figura abaixo. 
 
a) Determine as coordenadas do ponto P. 
 
b) Calcule a área da região sombreada. 
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QUESTÃO 73 
A figura abaixo ilustra o símbolo olímpico 
representado em um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais. 
 
 
 
As cinco circunferências C1, C2, C3, C4 e C5 têm 
todas raios iguais a 3 cm. C3 é centrada na origem 
do sistema e C1 e C5 têm os centros no eixo das 
abscissas equidistantes da origem. Os centros de 
C2 e C4 têm mesma ordenada negativa e situam-se 
a 2 cm da origem. As circunferências C2 e 
C3interceptam-se em dois pontos, sendo um deles 
de coordenadas (−3, 0). Com relação ao exposto, 
assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
 
01) A equação reduzida da circunferência C2 
é . 
02) Os centros de C2 e C4 estão a 2 cm do 
eixo das ordenadas. 
04) O par de coordenadas de um dos pontos de 
interseção das circunferências C3e C4 
é . 
08) O ponto de coordenadas pertence 
a uma das circunferências do símbolo olímpico. 
 
16) A circunferência C5 pode ser descrita pela 
equação x 
2
 −16x + y 
2 
+ 54 = 0 . 
QUESTÃO 74 
Calcule a distância d entre os pontos de interseção 
das circunferências com equações: 
x
2 
+ y
2
 – 2x – 2y + 1 = 0 e x
2
 + y
2
 – 4x – 2y + 4 = 0. 
Indique 4d
2
. 
QUESTÃO 75 
Considere as n retas 
 
 
em que os coeficientes mi, em ordem crescente de i, 
formam uma progressão aritmética de razão q > 0: 
Se mi = 0 e a reta r5 tangencia a circunferência de 
equação x
2
 + y
2
 = 25, determine o valor de q. 
QUESTÃO 76 
Considere as seguintes regiões do plano cartesiano 
xoy: 
 
 e 
 
 
A) Identifique e esboce graficamente a região A. 
 
B) Identifique e esboce graficamente a região B. 
 
C) Calcule a área da região . 
QUESTÃO 77 
Considere uma circunferência de equação 
 
(x – a)
2
 + (y – b)
2
 = r
2 
 
em que a e b são números reais e r é um número 
real positivo. 
 
Sabe-se que 
 
• a reta de equação y = x + 5 tangencia essa 
circunferência no ponto T = (1, 6); e 
• a reta de equação y = x + 3 determina, nessa 
circunferência, uma corda PQ de comprimento 
2 
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DETERMINE os valores de a, b e r. 
QUESTÃO 78 
Em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, considere os pontos A (1, 5), B (3, 1) e C 
(0, 17) . Determine 
 
A) a equação da reta r que passa por A e B; 
B) a equação da reta s que passa por C e é paralela 
a r; 
C) a equação da circunferência que passa por A e B 
e é tangente a s. 
QUESTÃO 79 
No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem 
centro no ponto A=(–5,1) e é tangente à reta t de 
equação 4x-3y-2=0 em um ponto P. Seja ainda Q o 
ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. 
 
Assim: 
 
a) Determine as coordenadas do ponto P. 
b) Escreva uma equação para a circunferência C. 
c) Calcule a área do triângulo APQ. 
QUESTÃO 80 
O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que 
dedicou toda a sua vida às artes gráficas, criou uma 
grande série de litografias impregnadas de 
geometrismo, figurativismo e ornamentalidade. 
Traduziu visualmente e de modo sugestivo 
problemas matemáticos e geométricos em seus 
edifícios inacabados ou em suas fabulações 
caracterizadas por uma relação impressionante 
entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum 
(Terra, Céu e Águia), julho de 1942, litografia de 
autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular 
ABCDEF com lado medindo 6 unidades de 
comprimento. 
 
 
 
Com base na figura acima, assinale a(s) 
proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. A equação da reta que contém o segmento 
 é . 
 
02. A área do hexágono da figura, em unidades de 
área, é . 
 
04. A equação da mediatriz do segmento 
 é . 
 
08. A equação da circunferência circunscrita ao 
hexágono da figura 
é . 
16. O apótema do hexágono da figura mede 
 unidades de comprimento. 
QUESTÃO 81 
Seja (λ) a curva x
2
 + y
2
 – 12x – 16y + 75 = 0, e os 
pontos P(0, 0) e Q(12, 16). 
 
a) Faça em seu caderno de respostas o plano 
cartesiano ortogonal (x, y) e represente nele a curva 
(λ) e os pontos P e Q. 
 
b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a 
Q que não passe pela região do plano determinada 
por x
2
 + y
2
 – 12x – 16y + 75 < 0. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 82 
Sendo r a reta no plano cartesiano representada 
pela equação 2x + 3y = 5, é correto afirmar: 
 
(01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto 
(−3, 0) pode ser representada pela equação 2x + 3y 
= −6 . 
 
(02) A reta perpendicular à reta r que passa pela 
origem pode ser representada pela equação −3x + 
2y = 0 . 
 
(04) Para cada , existe uma única 
circunferência com centro (c, 0) que é tangente à 
reta r. 
 
(08) O triângulo cujos vértices são a origeme os 
pontos de interseção da reta r com os eixos 
coordenados tem área igual a unidades de área. 
 
(16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo de 
60º, em torno do ponto , no sentido anti-
horário, coincide com o eixo das abscissas. 
 
(32) Dado um ponto , existem infinitas 
circunferências de centro (a, b) que interceptam r. 
QUESTÃO 83 
Uma circunferência de centro no ponto C(5,4) é 
tangente à reta de equação . 
 
a) Essa circunferência intercepta o eixo das 
abscissas? 
 
b) Qual é a posição relativa do ponto P(3,2) em 
relação a essa circunferência? 
 
c) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto 
P(3,2) e é tangente a essa circunferência. 
QUESTÃO 84 
Dados números inteiros p e q de forma que a 
fração seja irredutível, e considerando um 
sistema de coordenadas cartesianas xOy, o círculo 
de centro no ponto e raio é 
chamado de círculo de Ford e é representado por 
C[p,q]. Com base no exposto, assinale o que for 
correto. 
 
01) A área de C[p,q] é . 
 
02) Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo 
das abscissas. 
 
04) A equação cartesiana da circunferência que 
delimita C[1,2] pode ser escrita 
como . 
 
08) Se dois círculos de Ford, com centros nos 
pontos M e N, com M ≠ N , são tangentes no ponto 
T, então, os pontos M, N e T são colineares. 
 
16) Os círculos C[1,2] e C[1,3] são tangentes entre 
si. 
QUESTÃO 85 
O para-raios, inventado por Benjamin Franklin, 
consiste de uma haste metálica pontiaguda, 
colocada a certa altura do chão e ligada com cabos 
elétricos a outra haste metálica, aterrada ao chão. A 
região, em terra plana, protegida por esse tipo de 
para-raios tem formato circular. 
Admita que uma região plana seja representada 
pelo plano cartesiano e que as circunferências cujas 
equações são x
2
 + y
2
 + 4x – 21 = 0 e x
2
 + y
2
 – 12x 
= 0 delimitam as regiões circulares R1 e R2, áreas 
protegidas pelos para-raios P1 e P2, 
respectivamente. 
Considerando as regiões de proteção de cada um 
dos para-raios, identifique as afirmativas corretas: 
 
I. Uma pessoa localizada no ponto A1 = (–3, 2) está 
protegida pelo para-raios P1. 
II. Uma pessoa localizada no ponto A2 = (3, 3) está 
protegida pelo para-raios P2. 
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III. Uma pessoa localizada no ponto A3 = (1, 5) está 
protegida pelos dois para-raios. 
IV. Uma pessoa localizada no ponto A4 = (2, 2) não 
está protegida por nenhum dos dois para-raios. 
V. A área da região protegida pelo para-raios P2 é 
maior do que a área da região protegida pelo para-
raios P1. 
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QUESTÃO 1 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Reescrevendo a equação da circunferência, temos: 
 
 
Portanto, a circunferência tem centro em (2,2) e raio 
2. 
 
Observando o desenho, vemos que a área 
hachurada pode ser dividida em três partes: o 
triângulo retângulo isósceles ABC cujos lados iguais 
BC e AC medem R=2, e dois setores circulares, 
BCN e MCA, de 45º. 
A área do triangulo ABC é: 
 
As áreas dos setores circulares de 45º, juntas, 
formam um setor de 90º, ou seja, 1/4 da 
circunferência, portanto: 
 
A soma das áreas, é, portanto: 
 
 
QUESTÃO 2 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com os pontos pelos quais a 
circunferência passa, tem-se: 
 
 
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, 
encontra-se: 
 
4p = –8 
p = –2 
 
Substituindo o valor de p na terceira equação: 
 
–6 + m = –9 
m = –3 
 
Substituindo o valor de m e p na primeira equação: 
 
2 + 4q – 3 = –17 
q = –4 
 
Portanto, a equação da circunferência é: 
 
x
2
 + y
2
 – 2x – 4y – 3 = 0 
(x – 1)
2
 + (y – 2)
2
 – 1 – 4 – 3 = 0 
(x – 1)
2
 + (y – 2)
2
 = 8 
 
Logo, o centro da circunferência é o ponto (1,2), e o 
ponto K = (–2, –4). Então, a distância d é: 
 
 
 
O produto m · d procurado é igual 
a . 
 
QUESTÃO 3 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o raio da circunferência mede 1, as coordenadas 
de seu centro são (1, yc): 
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Além disso, a distância do centro à reta 4x – 3y = 0 
também é 1: 
 
Como y0 > 0, temos que as coordenadas do centro 
são (1, 3), cuja soma é 4 u.c. 
 
QUESTÃO 4 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Falsa. Resolvendo o sistema formado pelas duas 
equações, conclui-se que as retas se intersectam no 
ponto . 
b) Falsa. O círculo definido por x
2
 + y
2
 ≤ 1, que tem 
centro na origem e raio 1, tem infinitos pontos em 
comum com a reta y = x. 
 
c) Verdadeira. Toda reta da forma y = ax + b tem 
declividade a. 
 
d) Falsa. A declividade é . 
e) Falsa. A reta e o círculo não têm nenhum ponto 
em comum. 
 
QUESTÃO 5 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência pode ser escrita da 
seguinte maneira (x + 1)
2 
–1 + (y – 2)
2
 – 4 = 0, ou (x 
+ 1)
2 
+ (y – 2)
2
 = 5, portanto seu centro é o ponto C 
(–1, 2). 
 
A interseção entre r e s é encontrada resolvendo o 
sistema: 
 
 
Somando as duas equações, encontramos y = 1 e 
depois x = 2, portanto a interseção entre as duas 
retas é o ponto P = (2, 1). 
O coeficiente angular da reta que contém C e P 
é , e a equação da reta 
é 
 
 
QUESTÃO 6 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir da equação da circunferência, sabe-se que 
seu centro é o ponto C = (2,–1), e seu raio é 2. 
 
As coordenadas do ponto P são a solução do 
sistema formado pelas equações das duas retas 
dadas, conforme o cálculo a seguir. 
 
 
 
Assim, P = (2,3) e a distância entre P e C é: 
 
 
 
Como o raio da circunferência é igual a 2, pode-se 
afirmar que a distância do ponto P ao centro da 
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circunferência é igual ao dobro do raio da 
circunferência. 
 
QUESTÃO 7 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O centro da circunferência é C(3,5) e o raio é r = 2, 
obtidos a partir da sua equação. 
Portanto o ponto de máxima ordenada é tal que: x = 
3 e y = 5 + 2 = 7, ou seja, o ponto P tem 
coordenadas (3,7). 
 
 
 
 
QUESTÃO 8 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
 
 
O ponto P(0, a) está sobre o eixo y. Portanto, se a < 
–3 ou a > 5, P é externo à circunferência. 
 
QUESTÃO 9 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Solução 1: 
 
A reta tangente, sendo da forma y = x + b, tem 
coeficiente angular 1 e tangencia o círculo em um 
ponto (e, f) tal que e, f ≠ 0, f = e + b e e
2
 + f
2
 = 1 (*). 
Por outro lado, dado um ponto (e, f) do círculo x
2
 + 
y
2
 = 1 com e, f ≠ 0, a reta passando pela origem e 
pelo ponto dado tem coeficiente angular f/e. Como a 
tangente a um círculo por um ponto do mesmo 
círculo é perpendicular ao raio que passa pelo 
ponto, segue que a reta tangente ao círculo no 
ponto (e, f) tem coeficiente angular –e/f. 
 
Comparando os dois valores para o coeficiente 
angular da tangente, obtemos e = –f, relação que 
substituída em (*) fornece (e, f) = 
 ou . Segue agora de b = f – e > 0 que 
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(e, f) = , e daí b = . Assim, a reta 
tangente procurada tem equação y = x + . 
 
Solução 2: 
 
A reta y = x + b será tangente ao círculo x
2
 + y
2
 = 1 
se e só se o sistema de equações 
 
 
 
tiver uma única solução. Substituindo a expressão 
para y na segunda equação, obtemos a equaçãode 
segundo grau x
2
 + ( x + b)
2
 = 1, que deve então ter 
raízes iguais. Logo, seu discriminante deve ser 
identicamente nulo, o que nos fornece a equação 
(2b)
2
 – 4 · 2(b
2
 – 1) = 0 , ou ainda b
2
 = 2. Como b > 
0, temos b = . 
 
QUESTÃO 10 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Analisando a equação da circunferência e utilizando 
completamento de quadrados, temos: 
 
. Logo, o 
centro da circunferência é o ponto C (2, 0) e o raio é 
igual a 2. 
A partir dessas informações e das do enunciado, 
temos a seguinte representação: 
 
 
A reta que passa pelos pontos P e C, possui 
coeficiente angular igual a . 
Logo, a reta que passa por P e tangencia a 
circunferência, é tangente a reta PC e seu 
coeficiente angular 
será: 
 
. 
Então, a equação da reta tangente à 
circunferência que passa pelo ponto P é 
 
Portanto, para y = 0, temos 
que , ou seja, 
ela intercepta o eixo das abcissas no ponto (–2, 0). 
 
QUESTÃO 11 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelo enunciado, concluímos que o segmento de reta 
formado pelos pontos (0,3) e (–1,0) é uma corda da 
circunferência C. Assim, a reta (mediatriz) que 
passa pelo ponto médio (M) desta corda passa pelo 
centro da circunferência C. 
Portanto, para determinarmos a equação desta reta 
mediatriz, calcularemos seu ponto médio e sua 
inclinação: 
 
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e 
. 
A equação da reta mediatriz será: 
 
 
Como as duas circunferências são tangentes no 
ponto (0,3), temos que os seus centros e este ponto 
são colineraes. Assim sendo, calcularemos a 
inclinação desta reta e sua equação: 
 e equação de 
reta: 
Logo, igualamos as duas equações e obtemos o 
ponto do centro da circunferência C: 
 
 
 
Calculamos o raio da circunferência usando o ponto 
O: (1,1) e (–1,0): 
 
 
 
QUESTÃO 12 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência pode ser escrita 
como: 
 . 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (-1,0). 
 
A reta x + y = 8 pode ser escrita como y = 8 ‒ 
x, portanto, tem coeficiente angular igual a ‒1. 
Assim, a reta r (que é perpendicular) tem coeficiente 
angular igual a 1. Como r passa pelo ponto (‒1, 0), 
sua equação é: y ‒ 0 = 1(x + 1), ou y = x + 1. 
Um ponto pertencente à reta r é o ponto (3,4), pois 4 
= 3 + 1. 
 
QUESTÃO 13 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o centro da circunferência maior é 
também o centro do retângulo, portanto, o ponto (3, 
1). 
 
O raio R da circunferência maior é a hipotenusa de 
um triângulo retângulo de catetos 1 e 3. Logo: 
 
Como a circunferência menor tangencia o retângulo, 
seu raio é 1, e seu centro é o ponto (5, 1). 
Portanto, as equações das circunferências são: 
(x – 5)
2
 + (y – 1)
2
 = 1 e (x – 3)
2
 + (y – 1)
2
 = 10 
 
QUESTÃO 14 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência pode ser escrita como: 
 
Assim, a circunferência tem centro no ponto (0, –2). 
 
Das retas dadas, a única que passa por (0, –2) é a 
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reta da alternativa B, já que, 5x – y = 2, pois 5 · 0 – 
(–2) = 2. 
 
QUESTÃO 15 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Completando quadrados, a equação da 
circunferência fica . 
Portanto, C = . 
Substituindo na equação da 
circunferência, encontramos os pontos A e B: 
 
Assim, A = (0,0), B = e C = . A 
área do triângulo ABC é: 
. 
 
QUESTÃO 16 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência pode ser escrita 
como . Portanto, tem 
centro C = (0,1) e raio . 
Para que r seja tangente a , devemos ter dC,r = R. 
Ou seja: 
 
 
QUESTÃO 17 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A interseção de y = x com a circunferência será: 
 
 
Para y = –x, encontra-se os mesmos resultados. 
Temos, portanto, os pontos de intersecção: 
 
y = x (0, 0) e (2, 2) 
y = –x (0, 0) e (2, –2) 
 
Assim, temos o triângulo ABC, como mostra a 
figura: 
 
A área do triângulo é 
 
QUESTÃO 18 
03 
 
RESOLUÇÃO: 
I. Comparando a equação da circunferência com a 
forma geral x
2
 + y
2
 – 2ax – 2by + a
2
 + b
2
 – r
2
 = 0 
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(na qual a e b são as coordenadas do centro e r é o 
raio), temos: 
 
–2a = –2 
a = 1 
 
–2b = 1 
b = = –0,5 
 
II. a
2 
+ b
2
 – r
2
 = -1 
r
2
 = 1 + 0,25 + 1 = 2,25 
r = 1,5 
 
dC,s = . 
 
Ou seja, a distância entre a reta e o centro da 
circunferência é maior que o raio. 
 
III. Sabemos que coeficiente angular da reta é a 
tangente do ângulo que ela faz com o eixo 
das abscissas. Uma das maneiras de descobrir o 
seno de um ângulo a partir da tangente é: 
 
 
 
Como a inclinação da reta é positiva, o ângulo 
pertence ao primeiro quadrante e seu seno é 
positivo. 
 
QUESTÃO 19 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Observemos primeiro que o raio do círculo de 
equação x
2
 + y
2
 = 2
2
 é 2. Então, OB = 2. 
Em segundo lugar, observemos que o triângulo AOB 
é um triângulo retângulo, pois a reta AB, tangente 
ao círculo, é perpendicular ao raio OB que passa 
pelo ponto de tangência. 
 
 
Logo, pelo Teorema de Pitágoras, como OB = 2 e 
AO = 6, pois o ponto A tem coordenadas A = (0, 6), 
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obtemos 
 
 
Observemos, finalmente, que a área de um triângulo 
retângulo é igual à metade do produto dos catetos. 
Portanto, a área do triângulo AOB é igual 
a 
 
QUESTÃO 20 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação é equivalente 
a , ou 
seja, , o que nos 
permite verificar que o centro do círculo é o 
ponto e que seu raio é . Consideremos, 
na figura a seguir, a representação do círculo. 
Sejam B e C os vértices do triângulo equilátero que 
pertencem ao eixo das abscissas e A o vértice que 
pertence ao círculo. Como a altura do triângulo é 
igual ao diâmetro do círculo, o ponto A é o único 
ponto do círculo cuja distância ao eixo das 
abscissas é igual ao diâmetro do círculo. Então, A = 
(0, 3). 
Sendo h e l, respectivamente, a altura e o lado do 
triângulo equilátero, temos que , ou 
seja, . 
Logo, e . 
Portanto, a reta que tem inclinação positiva e que 
contém um dos lados do triângulo é a reta que 
passa por A e B, cuja equação é , ou 
seja, . 
 
 
 
QUESTÃO 21 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
1. Falsa. 
Como , os pontos 
A, B e C são colineares. 
2. Verdadeira. 
A reta que passa por D(1, –2) e E(2, 2) tem 
coeficiente angular e 
equação 
3. Verdadeira. 
A reta que contém os dois pontos de intersecção 
das circunferências tem equação y = 5 – 2x: 
 
Substituindo em uma das equações de 
circunferência, temos: 
 
Resolvendo a equação, encontramos: 
 
Assim, as circunferências se intersectam nos pontos 
(3, 2; –1, 4) e (2; 1). 
 
4. Verdadeira. 
Primeiramente vamos encontrar a equação da reta 
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que passa pelo centro da circunferência (2, –1) e é 
perpendicular à reta procurada. Essa reta tem 
coeficiente angular igual a –3, pois a reta dada 
tem coeficiente angular : 
 
Os pontos de intersecção dessa reta com a 
circunferência são (3, –4) e (1, 2): 
 
Logo, as retas tangentes à circunferência e 
paralelas à reta x – 3y = –14 são: 
 
 
QUESTÃO 22 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A figura abaixo mostra o gráfico dahipérbole x
2
 – y
2
 
= 1 
 
Se r < 1, as curvas não se interceptam. 
Se r = 1, as curvas se interceptam em (-1, 0) e (1, 
0). 
Se r > 1, as curvas se interceptam em quatro 
pontos. 
 
Como > 1, a correta é a alternativa E. 
 
QUESTÃO 23 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Da equação sabemos 
que a coordenada do centro da circunferência é (2, 
2) e que seu raio mede 2. Dessa forma, P = (2, 0) e 
Q = (0, 2). 
 
 
 
Portanto, a área do triângulo PQR é dada pela soma 
das áreas dos três triângulos que o compõe. 
 
 
 
QUESTÃO 24 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Completando quadrados na equação da 
circunferência dada, temos: 
x
2
 + y
2
 + 4x – 6y + 12 = 0 
(x + 2)
2
 – 4 + (y – 3)
2
 – 9 + 12 = 0 
(x + 2)
2
 + (y – 3)
2
 = 1 
 
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Logo, o centro da circunferência é o ponto C = (–2, 
3). 
Como condição de alinhamento de três pontos, o 
determinante da matriz 3 x 3 formada 
pelas abcissas (1º coluna), ordenadas (2º coluna) e 
uma coluna de número 1 deve ser igual a zero: 
 
 
QUESTÃO 25 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Esboçando os pontos dados em um gráfico 
cartesiano é possível observar que o triângulo ABC 
é retângulo em C e tem catetos medindo 6 e 8. 
 
 
Sabe-se que todo triângulo retângulo inscrito em 
uma circunferência tem sua hipotenusa exatamente 
sobre o diâmetro dessa circunferência. Dessa 
forma, a circunferência procurada tem centro no 
ponto médio de AB e raio medindo metade da 
hipotenusa AB. 
 
Calculando o raio da circunferência: 
 
AB
2
 = 6
2
 + 8
2 
AB
2
 = 36 + 64 = 100 
AB = 10 
Raio = = 5 
 
Calculando o centro da circunferência (os valores 
podem ser obtidos apenas observando o gráfico): 
 
xc = = 2 
yc = = 1 
 
Obtendo a equação da circunferência: 
 
(x – xc)
2
 + (y – yc)
2
 = r
2 
(x – 2)
2
 + (y – 1)
2
 = 25 
x
2
 – 4x + 4 + y
2
 – 2y + 1 – 25 = 0 
x
2
 – 4x + y
2
 – 2y – 20 = 0 
 
QUESTÃO 26 
01 
 
RESOLUÇÃO: 
O ponto da circunferência de centro em (1, 2) que 
tem a menor abcissa é o ponto (2, –2): 
 
 
 
 
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Assim, a reta r passa por (–2, 2) e tem coeficiente 
angular igual a 1 (pois é paralela à reta x – y – 5 = 
0): 
 
. 
 
QUESTÃO 27 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A maior distância da origem a um ponto da 
circunferência é dada pela soma da distância entre 
o centro da circunferência e a origem com a medida 
do raio da circunferência. Portanto, 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 28 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência x
2
 + y
2
 – 4x – 2y + 4 = 
0 pode ser reescrita na seguinte forma: (x
2
 – 2)
2
 + 
(y +1)
2
 = 1
2
. 
 
Assim, a circunferência tem centro em (2, 1) e raio 
1. 
 
Uma vez que o triângulo MNP (destacado na figura 
a seguir) é retângulo, a hipotenusa corresponde ao 
dobro do raio e a altura é igual ao próprio raio, de 
forma que a área desse triângulo é de: 
 
 
 
 
A = 1 u.a. 
 
QUESTÃO 29 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da reta que contém a corda pode ser 
escrita como y = 3x + 4. Ela intercepta a 
circunferência em dois pontos: 
 
 
Assim, os pontos que delimitam a corda são (0, 4) e 
(1, 7). Portanto, o comprimento C da corda é a 
distância entre eles: 
 
 m. 
 
QUESTÃO 30 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
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Se x e y são inteiros positivos, P pertence ao 1
o
 
quadrante, 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10. 
A equação da circunferência descrita é x
2
 + y
2
 = 
100, que implica . Como y é 
inteiro entre 0 e 10, então x pode assumir os valores 
0, 6, 8 ou 10. Assim, P pode ter coordenadas (0,10), 
(6,8), (8,6) ou (10,0). 
 
Para calcular , descartamos (0,10) e (10,0). 
Logo, 
 
 
QUESTÃO 31 
01 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da circunferência dada pode ser escrita 
como: 
 
Portanto, o centro da circunferência é o 
ponto , onde e . 
Assim, 
 
 
QUESTÃO 32 
E C E C C C E E E 
 
RESOLUÇÃO: 
• E – Os pontos informados correspondem aos 
pontos (1, 0) e (0, –1). Então, fazendo uso de um 
determinante, tem-se: 
 
 
Assim, y = x – 1 
 
• C – Pela condição I, observa-se que a espiral 
intercepta a parte positiva do eixo Ox, sempre nos 
números naturais ímpares. Assim, (7,0) pertence à 
espiral. 
 
• E – A análise das primeiras distâncias mostra que 
a função não será crescente, a saber: d0 =0, d1 = 1 
e d2 = 0 novamente. 
 
• C – O comprimento de uma semicircunferência 
será , assim, teremos para a espiral: 
 
 
Os raios estarão em uma progressão aritmética de r 
= 1 cuja soma poderá ser calculada: 
 
Então: . 
 
• C – Como , e partindo-se da definição de 
aceleração centrípeta (radial), sabe-se que, pela 
condição I, quando o raio da trajetória é dobrado, 
tem-se a diminuição da aceleração radial pela 
metade (velocidade linear constante). 
 
• C – Os pontos da espiral que estão sobre o eixo 
Ox atendo-se à condição II justificam a alternativa. 
Tais pontos não são interceptados pela espiral. 
Basta observar os primeiros pontos interceptados: 
(–5, 0) ;(–1, 0); (1, 0);(3, 0); (11, 0), ao começar-
se com o valor 1m, conforme o enunciado. 
 
• E – Na condição II, os raios estão em progressão 
geométrica. Assim, 
 (soma de uma progressão geométrica de n termos, 
que será dada pela fórmula a seguir). 
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Assim, . 
 
• E – Pela relação do movimento circular uniforme, 
tem-se: . 
• E – Lembrando que cos(q - p) = – cos θ. Então, se 
q = t , tem-se: x(t) = r.n.cos( t - p) e x(t) = –
r.n.cos(ωt). 
 
QUESTÃO 33 
C E C C C 
 
RESOLUÇÃO: 
• C – Como o ponto Q tem abcissa 10, o raio da 
circunferência mede 5 cm, e o centro é o ponto 
(0,5). Assim, a equação da circunferência é: 
 
• E – Para os pontos P e Q, a relação é válida. 
Porém não pode ser aplicada ao ponto O = (0,0), 
em que z = 0. 
 
• C – Os triângulos OPQ e ORS são retângulos por 
possuírem um dos lados sobre o diâmetro da 
circunferência e um ponto pertencente a ela. Além 
disso, as alturas dos dois triângulos coincidem com 
o centro da respectiva circunferência, o que garante 
também que os dois triângulos são isósceles. 
Portanto, OPQ e ORS são semelhantes. 
 
• C – O coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos P e Q é . 
O coeficiente angular da reta x + y = 0, ou y = –x, 
também é –1. 
Portanto, as retas são paralelas. 
 
• C – 
 
 
 
QUESTÃO 34 
01 
 
RESOLUÇÃO: 
Uma circunferência com 27 km de comprimento 
deve ter um raio tal que 2 · r · 3,14 = 27. 
Assim, r deve ser próximo de 4,37. 
 
Analisando cada uma das equações pelo método de 
completar quadrados, temos: 
01) x
2
 + y
2
 − 2x − 4y − 13,49 = 0 
 x
2
 − 2x + y
2 
− 4y = 13,49 
 x
2
 − 2x + 1 + y
2 
− 4y + 4 = 13,49 + 1 + 4 
(x – 1)
2
 + (y – 2)
2 
= 18,49 
 
Essa seria uma circunferência de centro (1, 2) e raio 
r = = 4,3. 
Como 4,3 é próximo de 4,37, essa pode ser uma 
equação que descreve o LHC. 
 
Uma vez encontrado o raio no item 01, não é 
necessário verificar todas as equações para saber 
que apresentarão raios maiores do que 4,3. 
Veremos como exemplo o que ocorre nos itens 02 e 
03: 
 
 02) x
2
 + y
2
 + 4x − 6y − 14,04 = 0 
x
2
 +4x + y
2 
− 6y = 14,04 
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x
2
 + 4x + +4 + y
2 
− 6y + 9 = 14,04 + 4 + 9 
 (x + 2)
2
 + (y – 3)
2 
= 27,04 
 
Em comparação com a equação anterior, esse raio 
será claramente muito maior que 4,3. 
(Aliás, como 5
2
 = 25, esse raio será maior que 5). 
 
03) x
2
 + y
2
 + 2x + 6y − 19,16 = 0 
x
2
 + 2x + y
2 
+ 6y = 19,16 
x
2
 + 2x + 1 + y
2 
+ 6y + 9 = 19,16 + 1 + 9 
(x + 1)
2
 + (y + 3)
2 
= 29,16 
 
Essa circunferência também teria um raio maior do 
que o procurado. 
 
QUESTÃO 35 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
No triângulo formado pelos eixos x, y e a reta r, o 
ângulo formado entre o eixo x e a reta r mede 60°. 
Assim, o coeficiente angular de r 
é . Como a reta r passa pelo 
ponto (2,4), sua equação 
é . 
Na figura, considere os pontos P, Q e R: 
 
No triângulo PQR: 
 
Assim, a distância entre o centro de C1 e o ponto Q 
é 4 + 2 + 2 + 1 = 9. Portanto, 
 
 
 
QUESTÃO 36 
GABARITO: 
I. 2, 3 e 4 
II. 0, 1 
RESOLUÇÃO: 
0: falsa; se a > 0, o coeficiente angular é um número 
negativo não nulo. 
 
1: falsa; se a reta intercepta a circunferência em 
dois pontos distintos, a distância entre esta reta e o 
centro da circunferência deve ser, necessariamente, 
menor que o raio. 
2: verdadeira; se o coeficiente angular é positivo, a 
reta é crescente. 
 
3: verdadeira; para que duas circunferências tenham 
pelo menos um ponto em comum, é necessário que 
a distância máxima entre seus centros seja, no 
máximo, igual à soma dos seus raios. 
 
4: verdadeira; qualquer circunferência num plano 
pode ser descrita pela equação apresentada. 
 
QUESTÃO 37 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O encontro da circunferência com o eixo y é B(0,3). 
Logo, do centro dos eixos coordenados até B 
(OB) temos 3. O ponto médio no eixo y é alinhado 
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com o centro da circunferência, então a ordenada 
do centro é 1,5 (metade de 3). O encontro da 
circunferência com o eixo x , sendo A(2,0), então 
OA = 2 e a metade (ponto médio) é igual a 1. Este 
ponto é alinhado com o centro da circunferência, e 
isso quer dizer a abscissa do centro é 1. Então, C é 
(1;1,5). 
A distância CB é igual ao raio: 
. 
A equação da circunferência será: 
. 
Ou x
2
 + y
2
 – 2x – 2y = 0. 
Se y = x é uma reta que intercepta a circunferência, 
então temos um sistema: 
x
2
 + y
2
 – 2x – 2y = 0 
y = x. 
Então: 
2x
2
 – 5x = 0 
x(2x – 5) = x' = 0 (não convém) 
e 
2x – 5 = 0 
x = . 
Logo, y = . 
O ponto será . A soma será = 5. 
 
QUESTÃO 38 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A curva especificada pode ser fatorada na forma y = 
(x – 1)
2
. A equação da circunferência dada é (x – 
1)
2
 + (y – 1)
2
 = 1. A intersecção dessas duas 
funções será dada nos pontos onde y + (y – 1)
2
 = 1. 
Resolvendo a equação: 
 
y + y
2
 – 2y + 1 = 1 
y
2
 – y = 0 
y = 0 ou y = 1. 
 
Se y = 0, temos: 
(x – 1)
2
 = 0 
x – 1 = 0 
x = 1. 
 
Se y = 1, temos: 
(x – 1)
2
 = 1 
x
2
 – 2x + 1 = 1 
x
2
 – 2x = 0 
x = 0 ou x = 2. 
 
Logo, os pontos A, B e C são (1,0); (0,1) e (2,1). A 
área desse triângulo será dada por: 
 
 
QUESTÃO 39 
E 
RESOLUÇÃO: 
 
Distância entre dois pontos ⇒ Este é o nosso 
diâmetro: D = 
, que é a 
raiz quadrada de = 5. Portanto, o raio 
da circunferência será 2,5. 
Determinar as coordenadas do ponto C: 
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Ponto médio: 
 
 
 
C(–0,5; 0). 
Logo, o centro da circunferência recai sobre o eixo 
X. Para determinar as coordenadas do centro da 
circunferência no desenho, usamos Pitágoras no 
triângulo CA’A: 
(2,5)
2
 = 2
2
 + x’
2 
x’ = 1,5. 
Medindo a partir de A’ para a esquerda encontramos 
o ponto C com coordenadas C (–0,5; 0), ou seja, o 
ponto C está exatamente no eixo X, como vimos 
anteriormente. Dessa forma, basta traçar um arco 
com centro em C, abertura 2,5 até o eixo X, à direita 
e à esquerda, e acharemos os pontos (–3,0) e (2,0). 
 
QUESTÃO 40 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
|y| + |x| = , que podemos escrever como: y = ± 
( – x). Dessa forma: 
y = – ( – x) ou y = + ( – x) 
y = + x ou y = – x 
 
Essas equações podem ser transpostas para os 
eixos cartesianos e sua visualização será a 
composição na forma de um quadrado como o da 
figura. Na figura inscrita no quadrado, vemos a 
circunferência de equação citada no enunciado (x
2 
+ y
2 
= r
2
). Essa equação mostra uma circunferência 
com o centro na origem dos eixos coordenados. 
 
Coordenadas do ponto médio entre A e 
B: . 
No triângulo OPB, OP é o raio do círculo inscrito, 
bem como P é o meio do lado AB. Assim: 
 
OP
2
 = + → OP = c 
Portanto, podemos dizer que o raio do círculo 
inscrito é igual a c, então, a razão = 1. 
 
QUESTÃO 41 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Para descobrir o raio da circunferência usaremos o 
método de completar quadrados: 
x
2
 + y
2
 - 2y = 0 
x
2
 + y
2
 - 2y + 1 = 0 + 1 
x
2
 + (y - 1)
2
 = 1 
 
Logo, o centro dessa circunferência está no ponto 
(0,1) e seu raio mede 1. 
 
O quadrado inscrito na circunferência tem diagonal 
igual ao diâmetro da circunferência, no caso 2. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Podemos calcular a área do quadrado a partir da 
diagonal, utilizando a fórmula da área do losango, 
que é o produto das diagonais dividido por dois. 
Como as diagonais de um quadrado são iguais, 
temos: 
 
 
 
QUESTÃO 42 
02 
 
RESOLUÇÃO: 
Os pontos M e N são os pontos de intersecção entre 
a circunferência e a reta: 
 
 
Resolvendo a equação, encontramos: 
 e 
Substituindo na equação da reta, temos: 
 e 
A distância entre os dois pontos será: 
 
 
QUESTÃO 43 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a reta passa pelo ponto (–1,0), temos que: 
0 = –m + n 
m = n 
 
Assim, os pontos dessa reta respeitam a condição y 
= mx + m. 
Os pontos da reta que interceptam a circunferência 
devem respeitar x
2
 + (mx + m)
2
 = 1. 
 
Então, temos: 
x
2
 + m
2
x
2
 + 2m
2
x + m
2
 = 1 
m
2
(x
2
 + 2x + 1) = 1 – x
2 
m
2
(x + 1)
2
 = (1 – x)(1 + x) 
 
Como x = –1 é uma das raízes já encontradas, para 
encontrar a outra raíz temos: 
m
2
(x + 1) = (1 – x) 
m
2
 = 
 
Os pontos do primeiro e do quarto quadrante têm x 
> 0. Como o ponto buscado pertence à 
circunferência de raio 1 e centro (0,0), x também 
deve ser menor que 1. 
 
Assim, substituindo x por 0 e por 1 na equação 
apresentada, temos que 0 < m
2
 < 1. 
Então, –1 < m < 1. 
 
QUESTÃO 44 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
I. Verdadeira. Substituindo x por 4 e y por 2, 
obtemos uma sentença verdadeira: 
(4 – 3)
2
 + (2 – 4)
2
 = 1
2
 + (–2)
2
 = 1 + 4 = 5. 
 
II. Falsa. Pela equação da circunferência, o raio é 
igual a . 
III. Verdadeira. O centro de C é o ponto (3, 4), que 
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de fato pertence à reta dada, pois 
. 
 
QUESTÃO 45 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A circunferência S1 tem centro em (0, 0) e raio 6. 
 
A intersecção das circunferências S1 e S2 pode ser 
encontrada pelo sistema de suas equações: 
I) x
2
 + y
2
 = 36 
II) x
2
 + y
2
 – 16x = – 48 
 
Substituindo I em II, temos:36 – 16x = –48 
–16x = –48 – 36 = –84 
 = 
 
Substituindo x em I, temos: 
 
 
Conhecendo os 3 vértices do triângulo, podemos 
calcular sua área: 
 
 
 
QUESTÃO 46 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja (x – a)
2
 + (y – b)
2
 = r
2
 a equação da 
circunferência com centro C possui coordenadas (a, 
 b) e raio r. Como P, Q e R estão sobre essa 
circunferência, temos que: 
 
 
 
Substituindo a
2
 + b
2
 por r
2
 na primeira e terceira 
equações, temos: 
 
 
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, 
obtemos: 
 
 
Substituindo na segunda equação: 
 
 
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Dessa forma, seu centro está sobre a reta de 
equação y = −x. 
 
QUESTÃO 47 
04 + 08 + 16 = 28 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o segmento que une os centros das 
circunferências mede 
. 
Como esse segmento corresponde à soma dos 
raios e r2 é o dobro de r1, então r2 = e r1 
= . 
Com essas informações é possível concluir que: 
 A equação de λ1 é (x – 3)
2
 + (y – 0)
2 
= . 
Desenvolvendo, temos x
2
 – 6x + y
2
 = –7. 
 A equação de λ2 é (x – 0)
2
 + (y – 3)
2 
= . 
Desenvolvendo, temos x
2
 + y
2
 – 6y = –1. 
01) Incorreto. Para que a reta seja tangente à 
circunferência, a distância do centro de cada uma 
até a reta deve ser equivalente ao raio da respectiva 
circunferência. 
Testando a distância de C1 até a reta: 
d = 
Como essa distância difere de r1, a reta já não é 
tangente à primeira circunferência. 
02) Incorreto. A circunferência λ1 tem centro em (0, 
3) e raio menor que 3. Isso significa que seu ponto 
mais baixo ainda está acima do zero. Logo, o eixo 
das abscissas não corta essa circunferência. 
04) Correto. O ponto de encontro das duas 
circunferências pode ser encontrado pela resolução 
do seguinte sistema: 
I) x
2
 – 6x + y
2
 = –7 
II) x
2
 + y
2
 – 6y = –1 
 
Subtraindo a I da II, temos: 
6x – 6y = 7 – 1 
6x – 6y = 6 
x – y = 1 
x = y + 1 
 
Substituindo x em II, temos: 
(y + 1)
2
 + y
2
 – 6y = –1 
y
2 
+ 2y + 1 + y
2
 – 6y = –1 
2y
2
 – 4y + 1 + 1 = 0 
2(y
2
 – 2y + 1) = 0 
(y – 1)
2
 = 0 
y – 1 = 0 
y = 1 
 
Substituindo y, temos x = 1 + 1 = 2. 
 
A distância do ponto (2, 1) à origem (0, 0) será d = 
 
08) Correto. Como o ponto encontrado é (2, 1) e 2 + 
1 = 3, então é verdade que esse ponto pertence à 
reta x + y = 3. 
16) Correto. Como visto anteriormente, a 
equação de λ1 x
2
 – 6x + y
2
 = –7 que pode ser 
reduzida à x
2
 – 6x + y
2
 + 7 = 0. 
 
QUESTÃO 48 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A região delimitada por x
2
 + y
2 
< 4 é um círculo com 
centro no ponto (0, 0) e raio 2. 
Os únicos pontos de coordenadas inteiras dessa 
região são os que tem x = –1, 0 ou 1 e y = –1, 0 ou 
1. 
 
Desses pontos, os que possuem y < x + 1 são: 
 
Se x = –1 
y < –1 + 1 
y < 0 
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y = –1 
 
(apenas 1 ponto) 
 
Se x = 0 
y < 0 + 1 
y < 1 
y = –1 ou 0 
 
(2 pontos) 
 
Se x = 1 
y < 1 + 1 
y < 2 
y = –1 ou y = 0 ou ainda y = 1 
 
(3 pontos) 
 
Total de pontos encontrados: 1 + 2 + 3 = 6 pontos. 
 
QUESTÃO 49 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Calculando as raízes da parábola: 
 
 
As raízes são (4, 0) e (2, 0). 
 
Calculando o vértice da parábola: 
 
 
 
O vértice é (3, –1). 
 
O raio da circunferência é a distância entre o vértice 
das parábolas e qualquer uma das raízes: 
. 
A equação da circunferência é dada por: 
. 
 
QUESTÃO 50 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O coeficiente angular da reta correspondente à 
equação y = 3x (ou reta r, para facilitar visualização) 
é igual a +3. 
Dado que as retas são perpendiculares, o 
coeficiente angular da segunda reta (ou reta s, para 
facilitação) é dado por: 
 
 
Sabendo que a reta s passa pelo ponto (2,0), a 
equação que representa essa reta é dada por: 
 
 
O ponto de intersecção das retas r e s corresponde 
à solução do sistema: 
 
que é dada por: 
 
Assim, o ponto A tem coordenadas e o raio 
da circunferência que tangencia o eixo x é igual a 
, valor que corresponde a Dy. 
A equação da circunferência com centro em A é, 
portanto: 
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QUESTÃO 51 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja O = (a, b) o centro da circunferência, r a reta 
tangente à circunferência no ponto (0, 2) e s a reta 
perpendicular a r que contém os pontos O e (0, 2), 
conforme mostra a figura: 
 
 
Como o coeficiente angular de r é -1, o coeficiente 
angular de s é 1. Assim, s tem equação s: y - 2 = x. 
A distância entre o ponto O e o ponto (0, 2) é igual à 
distância entre o ponto O e o ponto (1, 0): 
 
Como o ponto O pertence à reta s: y - 2 = x, temos a 
= b - 2. Portanto: 
 
 
Assim, o ponto O tem coordenadas , e 
o raio R da circunferência é a distância entre O e o 
ponto (0, 2): 
 
 
QUESTÃO 52 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
• Como o centro da circunferência é C(0, 0) e o 
ponto P pertence à circunferência, o coeficiente 
angular da reta CP é . 
 
• A reta t tangente à circunferência é perpendicular à 
reta CP, portanto seu coeficiente angular m é tal que 
m · 1 = –1. Logo m = –1. 
 
• Assim, a equação da reta t é: y – 2 = –1(x – 2), ou 
seja, y = –x + 4. 
 
• O ponto em que a reta t intercepta a reta y = 2x é 
obtido a partir de: cuja solução 
é e . 
 
QUESTÃO 53 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Qualquer reta paralela à reta dada terá sua equação 
geral na forma 3x + 4y + c = 0. 
Pela equação da circunferência é possível concluir 
que seu centro fica no ponto (0, 0) e seu raio é 2. 
Qualquer reta que tangencie essa circunferência 
será tal que a distância entre ela e o centro da 
circunferência seja numericamente igual ao raio. 
Assim, pela fórmula da distância entre ponto e reta, 
temos: 
 
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Logo, as retas tangentes procuradas são: 
r: 3x + 4y + 10 = 0 
s: 3x + 4y – 10 = 0 
 
Para encontrar o ponto em que qualquer reta cruza 
o eixo y, basta substituir x por 0 na equação. Assim 
temos: 
r: 4y + 10 = 0 
4y = –10 
y = –2,5 (não aparece em nenhuma alternativa) 
 
s: 4y – 10 = 0 
4y = 10 
y = 2,5 
 
QUESTÃO 54 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O ponto médio M do segmento é dado por: 
 
 
O raio da circunferência é a distância entre os 
pontos C e M: 
 
 
 
Assim, a equação da circunferência pode ser escrita 
como: 
 
 
 
QUESTÃO 55 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como a reta (r): 3x + 4y – 12 = 0 é tangente à 
circunferência de centro C(5, 3), o raio (R) é a 
distância do ponto C à reta r. Assim: 
 
Logo, a equação da circunferência é (x –5)² + (y –3)² 
= 3² ⇒ x² + y² –10x – 6y + 25 = 0. 
 
QUESTÃO 56 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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Chamando de r o raio da circunferência, teremos: 
• Centro: C(–r, r). 
• Pelo teorema de Pitágoras: 4
2
 = r
2
 + r
2
 + r
2
 ⇒ r 
= . 
• Equação da 
circunferência: , ou 
seja, . 
 
QUESTÃO 57 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Organizando a equação da circunferência pelo 
método de completar quadrados, temos: 
x² – 2x + 1 – 1 + y² + 4y + 4 – 4 = 4 
(x – 1)² – 1 + (y + 2)² – 4 = 4