Exercícios de Geometria e Matemática

Prévia do material em texto

COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
1 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Exercícios de Geometria Plana. 
Ângulos. 
 
QUESTÃO 1 
Dois espelhos, e1 e e2, formam entre si um ângulo 
de 90
o
, como ilustrado na figura ao lado. 
Seja PX um raio de luz que é refletido em X no 
espelho e1, e que, em seguida, se reflete em Y no 
espelho e2, saindo na direção YP’. 
 
a) Calcule a soma das medidas dos ângulos α e β 
da figura. 
b) São os raios PX e P’Y paralelos? Justifique. Pode 
uma pessoa, localizada em P, ver no 
espelho e2 a sua imagem que se reflete no espelho 
e1? 
 
 
QUESTÃO 2 
Leia o texto a seguir. 
 
– Que gigantes? – disse Sancho Pança. 
– Aqueles que ali vês – respondeu o amo – de 
braços tão compridos, que alguns os têm de quase 
duas léguas. 
– Olhe bem Vossa Mercê – disse o escudeiro – que 
aquilo não são gigantes, são moinhos de vento; e os 
que parecem braços não são senão as velas, que 
tocadas do vento fazem trabalhar as mós. 
– Bem se vê – respondeu D. Quixote – que não 
andas corrente nisto das aventuras; são gigantes, 
são; e, se tens medo, tira-te daí, e põe-te em oração 
enquanto eu vou entrar com eles em fera e desigual 
batalha. 
 
CERVANTES, Miguel. Dom Quixote de la Mancha. 
Tradução Viscondes de Castilho e Azevedo. São 
Paulo: Nova Cultural, 2002. Cap. VIII. p. 59- 60. 
 
Na sequência da história de Cervantes, D. Quixote 
arremeterá contra o moinho de vento, quebrando a 
sua lança e caindo ao chão, para desespero de 
Sancho Pança. 
 
Considere, nessa situação ficcional, um moinho de 
vento contendo seis velas (ou pás) iguais, como 
apresentado na figura a seguir. A vela que será 
atingida pela lança (reticulada na figura), leva 30 
segundos para dar uma volta completa, em sentido 
anti-horário, com velocidade constante, a partir da 
posição inicial em TP. 
 
 
 
 
Com base no exposto, o menor tempo decorrido até 
que D. Quixote acerte, com sua lança, o ponto P da 
vela a uma altura de 2 m do solo, antes dele 
completar uma volta é 
 
(A) 17 s. 
(B) 17,5 s. 
(C) 18 s. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
2 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
(D) 18,5 s. 
(E) 19 s. 
QUESTÃO 3 
Quanto ao arco 4.555°, é correto afirmar: 
 
a. Pertence ao segundo quadrante e tem como 
côngruo o ângulo de 55º. 
 
b. Pertence ao primeiro quadrante e tem como 
côngruo o ângulo de 75º. 
 
c. Pertence ao terceiro quadrante e tem como 
côngruo o ângulo de 195º. 
 
d. Pertence ao quarto quadrante e tem como 
côngruo o ângulo de 3.115º. 
 
e. Pertence ao terceiro quadrante e tem como 
côngruo o ângulo de 4.195º. 
QUESTÃO 4 
 
O volume cerebral dos humanos aumentou em torno 
de 300% em relação ao de seus antepassados pré-
históricos e sua coluna vertebral adaptou-se a essa 
modificação. A ilustração da coluna vertebral do ser 
humano típico pode ser modelada por uma barra 
rígida de comprimento. Considerando essas 
informações, julgue o item a seguir (certo ou 
errado). 
 
Suponha que o eixo horizontal, indicado no modelo 
da figura, permaneça fixo e que o ponto A, também 
indicado na figura, se movimente devido à rotação 
da barra em torno do ponto de contato com o sacro, 
de tal modo que varie no intervalo . 
Nessa situação, o gráfico da função , que 
mede a distância do ponto A ao eixo horizontal, no 
sistema cartesiano Oy, tem o aspecto mostrado 
no gráfico a seguir. 
 
QUESTÃO 5 
Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma 
base , tais que D é um ponto interno ao triângulo 
ABC. A medida de é igual a 10 cm. Com relação 
aos ângulos internos desses triângulos, sabe-se 
que: = , = 30º, = 40º, = 
50º. 
 
 
 
a) Encontre a medida do ângulo . 
 
b) Calcule a medida do segmento . 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
3 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
c) Admitindo-se tg (50º) = , determine a medida do 
segmento . 
QUESTÃO 6 
O velocímetro é um instrumento que indica a 
velocidade de um veículo. A figura a seguir mostra o 
velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. 
Observe que o ponteiro no centro do velocímetro 
gira no sentido horário à medida que a velocidade 
aumenta. 
 
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja 
diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, 
qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 
km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 
104 km/h? 
 
b) Determinado velocímetro fornece corretamente a 
velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, 
mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a 
velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro 
de aferição do velocímetro varie linearmente com a 
velocidade por ele indicada, determine a função v(x) 
que representa a velocidade real do veículo quando 
o velocímetro marca uma velocidade de x km/h. 
QUESTÃO 7 
Leia o texto a seguir. 
 
O bacharel Mestre João, físico e cirurgião de Vossa 
Alteza, beija vossas reais mãos. Senhor, ontem, 
segunda-feira, 27 de abril, descemos em terra, eu, o 
piloto do capitão-mor e o piloto de Sancho Tovar; 
tomamos a altura meridiana do Sol ao meio-dia e 
encontramos 56 graus, por onde, de acordo com as 
regras do astrolábio, julgamo-nos afastados do 
equador de 17 graus [latitude]. 
 
MOURÃO, R. R. F. A astronomia na época dos 
descobrimentos. Rio de Janeiro: Editora Lacerda, 
2000. p.122. (Adaptado). 
 
A citação apresenta um trecho da carta de Mestre 
João, da armada de Pedro Álvares Cabral, escrita 
na ocasião da chegada ao Brasil. Para descobrir a 
latitude do local onde se 
encontravam, os náuticos fixavam o astrolábio 
verticalmente no local onde estavam, apontavam-no 
para o Sol, medindo o ângulo h (altura meridiana do 
Sol). Depois, consultavam em tabelas de navegação 
o valor do ângulo d (declinação do Sol) e 
calculavam a latitude (ângulo θ), conforme a 
ilustração a seguir. 
 
 
 
Segundo os historiadores, o valor tabelado da 
declinação, que dispunha Mestre João, era d=16°42' 
. No entanto, ele não teria usado esse valor, mas 
sim uma aproximação, resultando na latitude que 
obteve. Sem utilizar uma aproximação para o ângulo 
d , Mestre João teria obtido latitude Sul igual a: 
 
(A) 18° 58 ' 
(B) 18° 18 ' 
(C) 17° 58 ' 
(D) 17° 38 ' 
(E) 17° 18 ' 
QUESTÃO 8 
Para realizar os cálculos de um determinado 
experimento, um estudante necessita descrever a 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
4 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
posição dos ponteiros de um relógio. Sabendo-se 
que o experimento se iniciará às três horas da tarde, 
é correto afirmar que a equação que descreve a 
medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das 
horas forma com o semieixo vertical positivo (que 
aponta na direção do número 12 do relógio) em 
função do tempo decorrido (em minutos), 
contado a partir de três horas da tarde, é 
 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
5 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
QUESTÃO 1 
GABARITO: 
 
a) Os ângulos de incidência e de reflexão do raio em 
X são congruentes, e o mesmo ocorre em Y. Se 
denotamos a medida destes ângulos por α1 e β1 , 
temos α1 + α + α1 + β1 + β + β1 = 180
o
 + 180
o
 = 
360
o
. Daí α + β + 2(α1 + β1) = 360
o
. Os ângulos α1 
e β1 são complementares e, então, temos α1 + β1 
=90
o
. Substituindo na igualdade anterior, obtemos α 
+ β = 360
o
 – 2 · 90
o
 = 180
o
. 
 
b) Os ângulos colaterais α e β são suplementares; 
portanto, PX e P’Y são paralelos. Segue que uma 
pessoa em P não pode ver, no espelho e2, sua 
imagem refletida em e1.QUESTÃO 2 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
 
 
No triângulo destacado, temos: 
 
 
Portanto, antes de atingir o ponto P', o ponto P 
percorre 60° + 60° + 60° + 30° = 210°. 
Sabendo que, para percorrer 360° a pá do moinho 
demora 30 segundos, temos a seguinte proporção: 
 
 
Portanto, o tempo procurado é de 17,5 segundos. 
 
QUESTÃO 3 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Ao se dividir 4.555° por 360, encontra-se: 
 
4.555º = 12 × 360º + 235º 
 
Logo, o ângulo de 4.555° é equivalente ao ângulo 
de 235°, que pertence ao terceiro quadrante. 
 
Além disso, um arco côngruo ao ângulo de 4.555° é: 
4.555° – 360° = 4.195°. 
 
QUESTÃO 4 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
E – De acordo com o gráfico, quando é igual 
a zero, a distância do ponto A ao eixo horizontal é 
igual a metade de L, quando deveria ser igual a 
zero. Além disso, não é possível a coluna se 
deslocar de 0° a 180°. 
 
QUESTÃO 5 
GABARITO: 
a) Seja . Logo 
40° e + 30º. Como a soma 
dos ângulos internos do triângulo ABC é 180º , 
temos = 180°, ou seja, ( + 
40°) + ( + 30°) + 50º = 180º. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
6 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Logo, 2 = 180° – 40° – 30° – 50° = 60° e assim, 
= 30°. 
Do triângulo DBC, obtemos a seguinte relação entre 
seus ângulos internos: = 
180°. 
Logo, = 180º, e assim = 180° – 60° 
= 120°. 
 
 
b) 
 
 
Seja M um ponto no segmento tal que é a 
altura do triângulo DBC de base . Como 
, segue que o triângulo DBC é 
isósceles de base , e assim M é o ponto médio 
do segmento e BM = BC = · 10 = 5. 
Do triângulo BMD, retângulo em M, temos 
 
 
 
c) 
 
 
Seja E o ponto de intersecção do segmento 
 com o prolongamento do segmento . Do 
triângulo ABE, obtemos a seguinte relação: 
 = 180°. Logo = 180º – 
40º – 50º = 90º. Da mesma forma, temos que = 
90º. Como CD = BD = , do triângulo CED, 
retângulo em E, obtemos: 
DE = DC · sen (30°) ⇒ DE = ⇒ DE = 
 
CE = DC · cos (30º) ⇒ CE = ⇒ CE = 5. 
Logo BE = BD + DE = , ou seja, BE = 
. 
Sabendo que tg (50°) = , obtemos: 
. 
Assim, AC = AE + EC = 5 + . 
 
QUESTÃO 6 
GABARITO: 
a) Como o ângulo de giro do ponteiro é diretamente 
proporcional à velocidade, podemos escrever 
 
 
Desse modo, 
Resposta: O ângulo mede 91°. 
b) A função pedida tem a forma v(x) = ax + b, em 
que a e b são constantes reais. Sabemos que o 
gráfico de uma função linear é a uma reta cuja 
inclinação é a e cujo ponto de interseção com o eixo 
y é (0, b). Assim, sabendo que a reta passa pelos 
pontos (20, 20) e (70, 65), encontramos o 
coeficiente a escrevendo 
 
 
 
De posse de a, encontramos b usando um dos 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
7 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
pontos dados. Tomando o ponto (20, 20), temos 
 
 
 
Resposta: A função é v(x) = 0,9x + 2. 
 
b’) A função pedida tem a forma v(x) = ax + b. Como 
a reta passa pelos pontos (20, 20) e (70, 65), temos 
o seguinte sistema linear 
 
 
 
Subtraindo a primeira linha da segunda obtemos 
50a = 45, donde . Substituindo, agora, o 
valor de a na primeira equação, obtemos 
. Desse modo, b = 20 – 18 = 2. 
Resposta: A função é v(x) = 0,9x + 2. 
 
QUESTÃO 7 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura, pelo paralelismo dos raios 
de sol, o ângulo complementar a h é congruente a d 
+ θ. Assim, 
 
 
QUESTÃO 8 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A cada hora (60 minutos), o ponteiro das horas 
percorre um ângulo de 360° ÷ 12 = 30°. Assim, a 
cada minuto, percorrerá 30° ÷ 60 = °. 
Como, às 3 da tarde, em t = 0, o ponteiro das horas 
(que aponta para o 3) forma ângulo de 90° com o 
eixo vertical, temos que a equação que descreve a 
posição do ponteiro é: 
 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Plana.
	Ângulos.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 1
	Gabarito:
	Questão 2
	B
	Resolução:
	Questão 3
	E
	Resolução:
	Questão 4
	E
	Resolução:
	Questão 5
	Gabarito:
	Questão 6
	Gabarito:
	Questão 7
	E
	Resolução:
	Questão 8
	B
	Resolução: