prova e gabarito 3 matematica Unifei 2009

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Vestibular 2009 – UNIFEI – CAMPUS DE ITAJUBÁ - Prova 3 – Matemática - 25/01/2009
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Questão 1 
Calcule o valor do determinante associado à Matriz: 
( )




−
=
00
00
1395cos330cos
600420 sensen
A .
Solução: ( ) ( )
4
36det
2
2
2
3
2
3
2
3
det −=⇒= AA
Questão 2 
Se θ é um ângulo do 4o Quadrante e 
5
2cot −=θg , quanto vale θθ 2cos2 −sen ?
Solução: 
29
12cos2
29
2cos
29
5
=−⇒



=
−=
θθ
θ
θ
sen
sen
Questão 3 
Considere um polígono regular ⋯ABCD , onde ⋯,,, CBA são vértices consecutivos. Se o ângulo formado pelas mediatrizes 
dos lados AB e DE desse polígono mede 072 , encontre:
a) o ângulo interno do polígono;
b) o número de diagonais do polígono.
Solução: 
a) A figura abaixo ilustra os dados do problema:
 
O polígono RBCDSP é um hexágono.
Então: ( ) 0000 156180.26721803 =⇒−=++ ii aa
b) O polígono tem 15=n lados.
 Portanto: 90=d diagonais.
A
B
C
D
E
R
P
S
a
i
a
i
a
i
720
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Questão 4 
Num triângulo isósceles de altura cm8 inscreve-se um círculo de raio R . Se os ângulos da base desse triângulo medem 
030 , qual é a área do círculo inscrito?
Solução: 
Consideremos a figura:
Do triângulo ACH : cmCHtg
CH
AH 38300 =⇒=
Temos: AOPACH ∆≈∆
Então: ( )3328
3816
8
−=⇒=
− RRR
Portanto, a área do círculo é: ( ) 2347192 cmS −= pi
Questão 5 
Achar o volume (em unidades de volume) do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo das ordenadas, da área limitada 
pelas retas 042 =−+ yx , 0632 =−+ yx e 0=y .
Solução: 
Representando as retas no mesmo plano cartesiano, temos:
O volume pedido será a diferença entre os volumes de dois cones de raios 4 e 3 e altura 2 , ou seja: 
( )volumedeunidadesV
3
14pi
=
A
B C
O
P
H
8 cm
R
300
0
2
y
x3 4
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Questão 6 
Quais devem ser os valores de a , b , c e d para que a equação 0222 =++++ adycxbyax represente uma 
circunferência de centro ( )2,1−C e raio 3 ?
Solução: 
Devemos ter 0≠= ba
Dividindo por a e fatorando, obtemos: a
a
d
a
c
a
dy
a
cx −+=


++


+ 2
2
2
222
4422
Portanto, devemos ter: 







=−+
−=
=
9
44
2
2
1
2
2
2
2
2
a
a
d
a
c
a
d
a
c
 . Calculando: 



=
−=
−=
−=
16
8
4
4
d
c
b
a
Questão 7 
Uma caixa contém bolas de cores variadas, todas de mesmo tamanho e peso. Sabe-se que a metade dessas bolas é preta, 
a terça parte é branca, a oitava parte é amarela e as 7 restantes são verdes. Retirando-se, sucessivamente e sem reposição, 
duas bolas dessa caixa, qual a probabilidade de que:
a) ambas sejam amarelas?
b) a primeira seja branca e a segunda, preta?
c) a primeira seja verde e a segunda, amarela?
Solução: 
Seja x a quantidade total de bolas.
Neste caso temos: 







=
=
=
=
)(7
)(
8
)(
3
)(
2
verdesbolasv
amarelasbolasxa
brancasbolasxb
pretasbolasxp
Então: 



=
=
=
=
⇒=⇒=+++
7
21
56
84
1687
832
v
a
b
p
xxxxx
a) 
334
5
167
20.
168
21
=⇒= PP
b) 
167
28
167
84.
168
56
=⇒= PP
c) 
1336
7
167
21.
168
7
=⇒= PP
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Questão 8 
Um poliedro convexo de 38 vértices é formado apenas por faces triangulares, pentagonais e hexagonais. Se o número de 
faces triangulares é o dobro do número de faces hexagonais e se o número de faces pentagonais é o triplo do número de 
faces triangulares, então quantas faces e quantas arestas tem esse poliedro?
Solução: 
Temos 63 2FF = e 35 3FF =
Como: 
2
653 653 FFFA
++
= e 2+=+ AVF , obtemos: 


=
=
=
3
18
6
6
5
3
F
F
F
Portanto: 

=
=
arestasA
facesF
63
27
Questão 9
Sabendo que 
2
13cos3 =− aasen e que 
12
0 pi<< a , calcule atg6 .
Solução: 
Se tomarmos: ( )
2
2
2
13cos3 


=− aasen , obtemos: 



=
=
4
76cos
4
36
a
asen
 . Portanto: 
7
736 =atg
Porém, como 
2
230
4
30
12
0 <<⇒<<⇒<< asenaa pipi e 
2
23cos1 >> a . Assim, asena 33cos > , ou seja, 
neste caso, 03cos3 <− aasen . 
Portanto, neste intervalo, a solução encontrada (
7
736 =atg ) é impossível.
Questão 10
Encontre o Domínio ( )fD da função definida por ( ) 826 −+−= xxf
Solução: Devemos ter: 0826 ≥−+− x
Isto implica que: 





−≥
≤
⇒≤−+


−≤
≥
⇒−≥−+
⇒≤−+≤−
)(
16
12
682
)(
4
0
682
6826
II
x
x
x
I
x
x
x
x
Fazendo a interseção:
Portanto: ( ) { }120416/ ≤≤−≤≤−ℜ∈= xouxxfD
x
x
x
4− 0
16−
16− 4− 0 12
I
III ∩
II