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�PAGE � �� 1)Integrais duplas: resumo Calcule Calcule O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, então as duas integrais iteradas são sempre iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante. Entretanto, uma boa escolha da ordem pode simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode não ser possível calcular a integral dupla para uma escolha e ser possível para outra. Veremos isso mais tarde com exemplos. Calcule as integrais abaixo: a) b) c) Teorema: Seja R o retângulo definido pelas desigualdades , . Se f(x,y) for contínua neste retângulo, então: Calcule integral dupla , sendo R a região que consiste de todos os pontos ( x,y) tais que e . Calcule a integral , no retângulo . Obs: Freqüentemente o retângulo é expresso como por simplificação. Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pelo retângulo . Calcule , onde Integrais duplas sobre regiões genéricas Definição 1 a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x=a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x) ( g2(x) para a ( x (b . b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y = d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x=h1(y) e x = h2(t) , onde h1(y) ( h2(x) para c ( x (d Veja Fig 1 e Fig. 2. Tipo I Tipo II Teorema Se R é uma região do tipo I então: Se R é uma região do Tipo II, então: Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região delimitada por x=0 , x= 2 , y =0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Resolução: Representamos na Fig. 3 a região R (base deste sólido): Região R Assim, e , logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: Resultado: Calcule a integral , onde R é a região limitada por Solução A região R está representada na Fig. 4. Podemos ver que a região R pode ser enquadrada nos dois tipos: ou Logo, podemos resolver a integral I pelos dois tipos: ou Resposta: Calcular onde R é o retângulo de vértices , , . Solução Região R representada graficamente na Fig. 5 Podemos ter Daí Integramos primeiramente em relação à x, e obtemos: Agora, integrando em relação à y, obtemos: Também poderíamos escolher a mesma região porém integrar de forma invertida: . Porém esta escolha necessitaria de integração por partes. Calcular a Integral . Resolução: Verificamos que não seria possível resolver a primeira integral pois a função não possui primitiva elementar. Assim, é necessário mudar os limites de integração. A região está representada graficamente na Fig. 6, onde vemos que a região R1 é dada por: Assim, temos: A qual é possível resolver. Assim temos: Esta integral podemos resolver por substituição de variáveis. Assim temos: Calcule , na região triangular R compreendida entre as retas , . Resolução: Consideramos R como uma região do Tipo II. A região R e a reta horizontal correspondente ao ponto fixo y são mostradas na Fig. 7. Para integrar numa região do tipo II, os limites esquerdo e direito devem ser expressos sob a forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos reescrever as equações dos limites y = (x+1 e y = x+1 como x = 1( y e x = y ( 1 respectivamente. A reta intercepta a região R na fronteira à esquerda x = 1( y e na fronteira à direita x = y ( 1. Esses são os limites de integração de x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e depois para cima ela gera os limites de y, sendo y = 1 e y = 3. Assim, Neste exemplo poderíamos ter tratado R como uma região do Tipo I, entretanto neste caso a fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita da origem. Para fazer esta integração devemos separar a região R em duas partes conforme mostra a Fig. 8. Assim, a solução da integral deveria ser: O resultado desta integração é o mesmo mostrado anteriormente. Inversão da ordem de integração Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser simplificado invertendo-se a ordem de integração. Este próximo exemplo ilustra esta situação. Calcule Como não existe antiderivada elementar de , a integral não pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação a x. Para solucionar este problema devemos calcular essa integral expressando-a com a ordem inversa de integração. Na integração interna, x está variando entre as retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9. Invertendo a ordem de integração devemos definir os limites. Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x. Assim, essa integral deve ser escrita como se segue: Seja R a região do plano x-y delimitada pelos gráficos de e y2 = 2x. Calcule . Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta região R. Verificamos que a região R pode ser escrita das duas formas, sendo: Utilizando a região R1, temos: e utilizando a região R2, temos: Verificamos que ambas as integrais possuem o mesmo resultado, isto é, Dada I = , inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante. Solução: Observamos que da maneira como está definida esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim, uma mudança na ordem de integração poderá nos facilitar o trabalho. Observamos pela Fig.11 que a região R está definida com as fronteiras esquerda e direita pelos gráficos de e x = 2, respectivamente com Notamos que R também pode ser definida pelas fronteiras inferior e superior dadas por respectivamente, com . Assim, a integral pode ser calculada como sendo: I= I = I = I = Esta integral pode ser resolvida com uma simples substituição de variáveis. (u). Assim, temos que: I = 0.055 EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS Calcule as integrais duplas abaixo: Calcule onde: , R é o retângulo , R é o retângulo , R é retângulo , R é o retângulo , R é o retângulo Calcule , onde Determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Calcule a integral Calcular , onde R é o retângulo . Calcular , onde R é a região delimitada por . Calcular , onde R é a região delimitada por . Calcular , onde R é o retângulo Calcular , onde R é o retângulo Calcular , onde R é a região delimitada por . Calcular , onde R é a região delimitada por . Respostas E.1. a) 42 b) –24 c) 3 d)20/3 e)2 f)13/6 g) 16 h)2 i)1 j)5/12 E2. E3. E4. E5. E6. 60 E7. E8. E9. 1 E10. 0 E11. E12. 2) integrais triplas Teorema Se f é contínua em uma caixa retangular , então: Calcule nos seguintes itens, sendo: Resp: 648 Resp: Resp: Resp: EXERCÍCIOS Calcule as seguintes integrais triplas: Respostas:� EMBED Equation.3 ��� y 1 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 0 _1183898021.unknown _1183899154.unknown _1183902070.unknown _1183903160.unknown _1183903371.unknown _1201349550.unknown _1334082058.unknown _1201349596.unknown _1183903453.unknown _1183903662.unknown _1183903663.unknown _1183903500.unknown _1183903410.unknown _1183903288.unknown _1183903335.unknown _1183903198.unknown _1183902340.unknown _1183902503.unknown _1183902521.unknown _1183902445.unknown _1183902458.unknown _1183902395.unknown _1183902260.unknown _1183902290.unknown _1183902142.unknown _1183899340.unknown _1183899623.unknown _1183902034.unknown _1183899566.unknown _1183899292.unknown _1183899301.unknown _1183899243.unknown _1183898750.unknown _1183898955.unknown _1183899057.unknown _1183899094.unknown _1183898986.unknown _1183898867.unknown _1183898874.unknown _1183898756.unknown _1183898424.unknown _1183898555.unknown _1183898650.unknown _1183898503.unknown _1183898185.unknown _1183898226.unknown _1183898153.unknown _1176042701.unknown _1176362422.unknown _1176363257.unknown _1176363533.unknown _1176363858.unknown _1176567366.unknown _1176567538.unknown _1176567680.unknown _1176567714.unknown _1176568445.unknown _1176567698.unknown _1176567555.unknown _1176567611.unknown _1176567386.unknown _1176363990.unknown _1176364017.unknown _1176363867.unknown _1176363567.unknown _1176363686.unknown _1176363731.unknown _1176363671.unknown _1176363551.unknown _1176363403.unknown _1176363467.unknown _1176363503.unknown _1176363445.unknown _1176363336.unknown _1176363375.unknown _1176363293.unknown _1176362599.unknown _1176362946.unknown _1176363179.unknown _1176363231.unknown _1176363124.unknown _1176363067.unknown _1176362783.unknown _1176362846.unknown _1176362876.unknown _1176362808.unknown _1176362668.unknown _1176362734.unknown _1176362615.unknown _1176362517.unknown _1176362563.unknown _1176362579.unknown _1176362532.unknown _1176362488.unknown _1176362500.unknown _1176362473.unknown _1176357147.unknown _1176358434.unknown _1176358564.unknown _1176362395.unknown _1176358524.unknown _1176357603.unknown _1176358405.unknown _1176358242.unknown _1176357261.unknown _1176114215.unknown _1176114383.unknown _1176120994.unknown _1176114329.unknown _1176043292.unknown _1176043458.unknown _1176042923.unknown _1175522648.unknown _1175537086.unknown _1176040678.unknown _1176041767.unknown _1176041800.unknown _1176041044.unknown _1176041223.unknown _1176041002.unknown _1175537516.unknown _1175537532.unknown _1175537337.unknown _1175537472.unknown _1175524893.unknown _1175524949.unknown _1175536995.unknown _1175524929.unknown _1175523513.unknown _1175523669.unknown _1175523500.unknown _1175436816.unknown _1175437009.unknown _1175437167.unknown _1175522623.unknown _1175437074.unknown _1175436914.unknown _1175436934.unknown _1175436886.unknown _1175436476.unknown _1175436681.unknown _1175436733.unknown _1175436642.unknown _1175436344.unknown _1175436424.unknown _1175435872.unknown
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