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�� Modelagem Matemática e Sistemas Dinâmicos 2ª Lista de Exercícios – Revisão de EDO – Definições e Terminologia Estabeleça se a equação é linear ou não-linear. 1) (1 – x) y’’ – 4xy’ + 5y = cosx 2) 3) (y2 -1) dx + x dy = 0 4) udv + (v + uv – euu) du = 0 5) t5y(4) – t3y’’ + 6y = 0 6) 7) 8) 9) (sen() y’’’- (cos() y’ = 2 10) Verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição apropriado I. 11) 2y’ + y = 0; y = e-x/2 12) 13) y’’ - 6y’ + 13y = 0; y = e3x cos2x 14) y’’ + y = tg x; y= - (cosx) ln(secx + tgx) Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso. Use um programa de criação de gráficos das soluções explícitas. Encontre o intervalo de I de cada solução (. 15) �� EMBED Equation.3 16) 2xy dx + (x – y) dy = 0; -2x2 y + y2 = 1 Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado de cada solução. 17) P’ = P(1 – P); P = 18) y’ +2xy = 1; 19) 20) 21) (a) Verifique se y = (1(x) = x2 e y = (2(x) = -x2 são soluções da equação diferencial xy’– 2y = 0 no intervalo (-(, (). (b) Verifique que a função definida por partes , também é uma solução de xy’ - 2y = 0 no intervalo (-(, (). 22) Em nossa aula teórica, vimos que y = (1(x) = e y = (2(x) = - são soluções da equação diferencial dy/dx = -x/y no intervalo de (-5, 5). Explique porque a função definida por partes , não é uma equação diferencial no intervalo (-5, 5). 23) (a) Dê o domínio da função y = x + 2 . (b) Verifique que a função do item (a) é uma solução da equação diferencial (y – x)y’ = y – x + 2 em algum intervalo I. Dê o maior intervalo de definição I dessa solução. 24) A função indicada é uma solução é uma solução da equação diferencial dada. Ache pelo menos um intervalo de definição I de cada solução. (a) y’ = 25 + y2; y = tg 5x (b) 2y’ = y3 cos x; y = (1 – sen x)-1/2 25) Ache os valores de m de tal forma que y = emx seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio. (a) y’ + 2y = 0 (b) y’’- 5y + 6y = 0 26) Ache os valores de m de tal forma que y = xm seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio. (a) xy’’ + 2y’ = 0 (b) x2y’’+ 7xy’ + 15y = 0 Nos problemas 27 e 28, observe que o par de funções dado é uma solução dos sistemas de equações diferenciais dado no intervalo (-(, (). 27) x = e-2t + 3e6, y = -e-2t + 5e6t; 28) x = cos 2t + sen 2t + et/5, y = -cos 2t –sen 2t - et/5; Exercícios destinados a laboratório de computação Nos problemas 29 e 30, use um SAC (Sistema Algébrico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. 29) y(4) - 20y’’’ + 158y’’ – 580y’ + 841y = 0; y = xe5x cos 2x 30) x3y’’’ + 2x2y’’ + 20xy’ – 78y = 0; Equações Diferenciais (ED) Resumo Equação Diferencial é uma equação que envolve derivada (diferencial). Por exemplo: 1) (y: variável dependente, x: variável independente) 2) (y: variável dependente, x: variável independente) 3) (y: variável dependente, x: variável independente) 4) (y: variável dependente, x: variável independente) 5) (y: variável dependente, x: variável independente) 6) (u e v: variáveis dependentes, x : variável independente) 7) ( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes) 8) ( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes) Equação Diferencial Ordinária: quando contém uma só variável independente como em 1) a 6). Equação Diferencial Parcial: quando existe duas ou mais variáveis independentes como em 7) e 8) A ordem da ED é a maior ordem da derivada que ocorre na equação. Ex: 1), 3) e 7) são EQ de primeira ordem; 2), 5), 6) e 8) são ED de segunda ordem; e 4) é EQ de terceira ordem. A Linearidade da ED, depende dos termos que envolvem as variáveis dependentes, se todos são lineares, a ED é linear , se pelo menos um termo for não-linear a ED é não-linear. Ex: 1), 3), 4), 6), 7) e 8) são EDs lineares, pois todos os termos envolvendo variáveis dependentes são lineares. 2) e 5) são não-lineares, pois contém termos não-lineares dos tipos: �� EMBED Equation.3 , e . Soluções Para uma Equação Diferencial Definição: Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de Solução para a equação no intervalo. Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação; Para todo x no intervalo I, I pode representar um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (0, ∞), ( -∞, 0) ou (-∞, ∞) e assim por diante. O estudo de equação diferencial é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração. , G’(x) = g(x) De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(x, y, y’) = 0, normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(x, y, y’c), contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da ED. Quando resolvemos uma equação de n-ésima ordem , em que y(n) significa , esperamos uma família a n-parâmetro de soluções Dizemos que a família a n-parâmetros é uma Solução Geral ou Completa, para qualquer ED. Uma solução para a equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de Solução Particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o(s) parâmetro(s) na família de soluções. Por exemplo: é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de primeira ordem muito simples y’ = y. Para c = 0, -2, 5, obtemos soluções particulares y = 0, e , respectivamente. Às vezes, uma ED possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se parâmetros em uma família de soluções. Tal solução é chamada de Solução Singular. Uma solução para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que pode ser escrita na forma y = f(x) é chamada solução explícita. Ex: é uma solução explícita de y’ = y. Uma relação G(x,y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I. Para x no intervalo (-2 , 2) a relação é uma solução implícita para a EDO . Algumas Respostas: 1) linear de segunda ordem 3) primeira ordem, linear em x, mas não-linear em y 5) linear de quarta ordem 7) não-linear de segunda ordem 9) linear de terceira ordem 15) definida em (-(, ln2) ou em (ln2, () 23) (a) -3 ( x < ( (b) -3 < x < ( 25) (a) m = -2 (b) m = 2, m = 3 _1136202917.unknown _1341053823.unknown _1341057317.unknown _1341058478.unknown _1341819290.unknown _1341819692.unknown _1341820504.unknown _1341819660.unknown _1341819232.unknown _1341060103.unknown _1341057940.unknown _1341058167.unknown _1341057917.unknown _1341055768.unknown _1341056144.unknown _1341056164.unknown_1341055879.unknown _1341055578.unknown _1341055645.unknown _1341053911.unknown _1341052464.unknown _1341053232.unknown _1341053283.unknown _1341052662.unknown _1341052239.unknown _1341052354.unknown _1341051905.unknown _1135406863.unknown _1135489602.unknown _1135490509.unknown _1135490890.unknown _1135493254.unknown _1135493399.unknown _1135492193.unknown _1135490872.unknown _1135489735.unknown _1135486879.unknown _1135488121.unknown _1135486580.unknown _1135405963.unknown _1135406818.unknown _1135406844.unknown _1135405988.unknown _1135406448.unknown _1135399336.unknown _1135399913.unknown _1135403744.unknown _1135399748.unknown _1135399280.unknown
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