Fundamentos de matemática voltados às engenharias - UNICEP 2014 - 2015

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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
 
UNICEP – Prof. Edson de Oliveira 
 
 
31/07/2014 
 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO 
CENTRAL PAULISTA 
UNICEP 
 
 
 
 
ROTEIRO DE AULAS DE 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
 
 
 ENGENHARIAS: 
 AGRONÔMICA, CIVIL, COMPUTAÇÃO, ELÉTRICA E PRODUÇÃO; 
 TECNOLOGIA EM: MANUTENÇÃO DE AERONAVES; 
 
 
 
 
 
Edson de Oliveira 
 
JULHO DE 2014 
 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
 
UNICEP – Prof. Edson de Oliveira 
 
 
Índice 
Cálculo algébrico, equações e inequações ....................................................................... 04 
Expressões algébricas .......................................................................................... 04 
Avaliação de uma expressão algébrica ................................................................ 05 
Simplificação de expressões algébricas ............................................................... 06 
Produto de expressões algébricas e fatoração ....................................................... 07 
Trinômio quadrado perfeito ................................................................................. 09 
 Quadrado de uma soma ou diferença indicada ....................................... 09 
 Formas fatoradas .................................................................................... 11 
Produto de uma soma por uma diferença indicada .............................................. 13 
Simplificação de expressões algébricas ............................................................... 13 
Equações .............................................................................................................. 14 
Inequações em R .................................................................................................. 16 
Sinal de y = ax + b ............................................................................................... 18 
Inequação produto ............................................................................................... 19 
Sistemas de equações do primeiro grau ............................................................... 21 
Exercícios propostos ............................................................................................ 23 
Respostas dos exercícios propostos ..................................................................... 27 
Exercícios suplementares ..................................................................................... 28 
Respostas dos exercícios suplementares .............................................................. 33 
Equação do segundo grau; Inequação do segundo grau ............................................ 34 
Equação do segundo grau ................................................................................... . 34 
Equações incompletas............................................................................. 34 
Fórmula geral de resolução da equação do segundo grau ...................... 35 
Decomposição em fatores do primeiro grau ......................................................... 37 
Sinais da função polinomial de 2º. grau; inequação ............................................ 38 
Inequações simultâneas do segundo grau ............................................................. 40 
Exercícios propostos ............................................................................................. 41 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 43 
Exercícios suplementares ...................................................................................... 43 
Respostas dos exercícios suplementares ............................................................... 45 
Função exponencial; função logarítmica ..................................................................... 46 
Função exponencial ............................................................................................ . 46 
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Equação exponencial .......................................................................................... . 48 
Inequação exponencial ........................................................................................ . 49 
Algumas aplicações da função exponencial ....................................................... . 50 
Logaritmos .......................................................................................................... . 51 
Usando a calculadora .......................................................................................... . 52 
 Propriedades dos logaritmos ............................................................................... . 52 
Cologaritmos ......................................................................................................... 54 
Mudança de bases ............................................................................................... . 54 
Função logarítmica e seus gráficos ..................................................................... . 55 
Comparação de logaritmo de mesma base .......................................................... . 58 
Exercícios propostos ............................................................................................. 59 
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 63 
Exercícios suplementares ...................................................................................... 64 
Respostas dos exercícios suplementares ............................................................... 68 
Referências bibliográficas ............................................................................................ . 69 
 
 
Capítulo 1 
Cálculo algébrico, equações e inequações 
 
 
Considere a seguinte situação: 
Em minha sala, na Universidade, estão alocados três professores: um professor de 
computação, um engenheiro e eu. Se alguém perguntar, num dado instante, quanto estão na 
sala, a resposta pode ser 0 (se não houver ninguém), um, dois ou três professores. 
Nesse caso, ao se tentar indicar um número, a chance de errar é bastante grande. No 
entanto, essa quantidade existe apesar da dificuldade de expressá-la em números. 
Para lidar com situações como essa criou-se um conceito chamado variável para 
representar qualquer elemento de um conjunto arbitrário. 
Na antiguidade, os cálculos eram bastante demorados e complicados, pois para 
indicar valores desconhecidos utilizavam-se palavras e desenhos. Apenas a partir do século 
XVI os símbolos e as letras começaram a ser empregados de forma sistemática. Atualmente, a 
linguagem algébrica está sendo muito usada para modelar problemas matemáticos aplicados 
em diversas áreas. 
 
1.1. Expressões algébricas 
 O uso de variáveis para representar números ou elementos de um conjunto qualquer 
permite definir e simplificar expressões algébricas (combinações de variáveis e constantes 
envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raízes) que são utilizadas 
para exprimir situações práticas em termos de relações funcionais, como, por exemplo: 
 
 A medida do volume de um bloco retangular de dimensões a, b e c é dado pela 
expressão algébrica abc ; 
 A densidade de um corpo de massa m e volume V é expressa pela razão 
V
m
; 
 A pressão de um gás de massa m e volume 
V
com velocidade de suas moléculas 
igual a 
v
 é dada pela expressão 
2
3
1
v
V
m
. 
 
Neste capítulo apresenta-se uma revisão dosconceitos básicos e técnicas de 
operações, fatoração e simplificação de expressões algébricas. 
 
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1.2 Avaliação de uma expressão algébrica 
 
Encontrar o volume de um bloco retangular de comprimento 6 cm, largura 4 cm e 
altura 2 cm. 
Como a medida V do volume do bloco é dada pela expressão algébrica: 
V = abc 
basta fazer na fórmula 
6a
, 
4b
 e 
2c
 de onde resulta: 
 V = 6 . 4 . 2 = 48 
ou seja, o volume do bloco é 48 cm3. 
De um modo geral, avaliar uma expressão algébrica ou calcular o seu valor numérico 
é substituir cada uma das variáveis que aparecem na expressão por números reais 
especificados. 
 
Exemplo 
Calcular o valor numérico da expressão 
25x
 
36
2
1
x
 quando x = 4 . 
24.5
 
364
2
1

 = 80 + 2 – 36 = 46 
Existem expressões algébricas que não representam número real para determinados 
valores atribuídos às variáveis. Quando não se diz nada, fica subentendido que o conjunto de 
valores assumidos pelas variáveis são aqueles para os quais as operações envolvidas fazem 
sentido. 
Exemplos 
a) A expressão 
42
35


a
a
 não representa número real para a = 2, pois este valor anula 
o denominador. 
b) Para que valor x 

 R, a expressão
129
52


x
x
 não representa número real? 
 
Solução 
A resposta será dada buscando-se o valor de x que anula a expressão 9x – 12, isto é: 
9x – 12 = 0 

 9x = 12 

 x = 
3
4
9
12

 
Portanto, a expressão não representa um número real para x = 
3
4
. 
 
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1.3 Simplificações de expressões algébricas 
 
Numa expressão do tipo 5x2y destaca-se : 
 A parte numérica 5, denominada coeficiente numérico; 
 A variável ou produto das variáveis (inclusive seus expoentes), denominada parte 
literal. 
 
Exemplos 
–15 a3bc coeficiente –15 x6z4 coeficiente 1 
 parte literal a3 b c parte literal x6z4 
Expressões do tipo 5x2y, cuja parte literal indica somente produtos, recebem o nome 
de monômios. 
Por exemplo, são monômios: 
5 a2 
2
xy 3m5n4z 
A expressão 5x2y + 5y não é um monômio, pois não envolve somente produtos; 
envolve também uma soma. 
Monômios que possuem a mesma parte literal são chamados termos semelhantes. 
Assim: 
i) 5x2y, –10x2y e 
2
x2y são termos semelhantes 
ii) –9a2 e 
4
1
a2 são termos semelhantes 
Também são semelhantes os monômios representados por números reais isolados. 
Por exemplo, 3 e 
2
 são semelhantes. 
Quando se tem uma soma de termos semelhantes pode-se aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição. Assim: 
18 x3 – 23 x3 = (18 – 23) x3 = –5 x3 
4x5 y8 – 7 x5 y8 + 5 x5 y8 = (4 – 7 + 5) x5 y8 = 2 x5 y8 
O ideal é evitar a igualdade intermediária nos cálculos acima, ou seja, escrever 
diretamente o último membro, o que significa: 
Os termos semelhantes podem ser reduzidos somando algebricamente os seus 
coeficientes e mantendo a parte literal. 
Dessa forma, considerando uma expressão algébrica pode-se sempre transformá-la 
numa equivalente mais simples reduzindo os seus termos semelhantes. 
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A maneira de se pedir um procedimento como este é dizer: “simplificar a 
expressão”. Assim, para simplificar a expressão 
6x2 – 2y2 – (x2 – 2y2 – 5) 
procede-se como segue: 
6x2 – 2y2 – (x2 – 2y2 – 5) = 6x2 – 2y2 – x2 + 2y2 + 5 
 = 6x2 – x2 – 2y2 + 2y2 + 5 = 5 x2 + 5 
Exemplos 
1) Escrever o monômio que indica a área total A da região da Figura 1, onde a e x 
indicam medidas dadas em uma mesma unidade. 
 
Figura 1 – Região composta de retângulos 
A = 
xyxyxy  23
 = 
xy6
 
2) Simplificar a expressão: (
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
). 
Tem-se: 
(
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
) = 
2
a
 + 2x + 1 – x + 
4
3a
+ 
5
2
 
 = (
4
3
2
1

) a + (2 – 1)x + (1 + 
5
2
) = 
4
5
a + x + 
5
7
 
 
 
3) Simplificar a expressão: 2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)]. 
2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)] = 2ab – (3b – 2a – 3b + ab) 
 = 2ab – 3b + 2a + 3b – ab 
 = 2ab – ab – 3b + 3b + 2 a = ab + 2a 
 
1.4 Produto de expressões algébricas e fatoração 
Obter a fórmula que dá a área 
A
 de um retângulo de lados medindo 
32 x
 e 
13 x
 
centímetros. 
Tem-se: 
 
)13()32(  xxA
 
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 Como variáveis são letras que representam elementos de R, as expressões algébricas 
podem ser manipuladas de acordo com as propriedades das operações reais. Assim, aplicando 
a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e lembrando que produtos de 
potências de 
x
 satisfazem a propriedade 
nmnm xxx .
, vem: 
 
3926 2  xxxA
 
ou reduzindo os termos semelhantes: 
 
376 2  xxA
 
 De um modo geral, para efetuar produtos de expressões algébricas em que uma delas 
possui duas ou mais parcelas aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação 
à adição. 
 
Exemplos 
1) Efetue o produto 
)53.(2 yxxy 
. 
 
)53.(2 yxxy 
= 
22 106 xyyx 
 
2) Efetue 
)4.( 3 aaa 
. 
 
)4.( 3 aaa 
 = 
24 4aa 
 
3) Multiplique 7x + 2 por 3x2 – 5x + 1. 
 (7x + 2) . (3x2 – 5x + 1) = 7x . ( 3x2 – 5x + 1) + 2.( 3x2 – 5x + 1) 
 = 21x3 – 35x2 + 7x + 6x2 – 10x + 2 = 21x3 – 29 x2 – 3x + 2 
 Em muitos momentos, é conveniente proceder de maneira contrária, ou seja, dada uma 
expressão com duas ou mais parcelas escrevê-la como um produto indicado. Isto é o que se 
chama fatoração. 
 
 A Figura 2 mostra um retângulo de dimensões 
x
 e 
y
. 
 
Figura 2 - Retângulo de dimensões x e y 
 A medida do perímetro se representa pela expressão 
yx 22 
, ou ainda, usando a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, pela expressão 
).(2 yx 
. 
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 Então: 
 
yx 22 
 = 
)(2 yx 
 
 Nesta igualdade destaca-se: 
 
)(2 yx 
 é a forma fatorada de 
yx 22 
; 
 2 chama-se fator comum aos termos 
yx 22 
 e que foi colocado em evidência. 
 
 De um modo geral, x(a + b) é a forma fatorada de ax + bx, em que o fator comum x 
foi colocado em evidência. 
 
Exemplos 
 a) 
)2(242 2 zxyxxzyx 
 
b) 7m3 –7 m2 = 7m2 (m – 1) 
c) 4 a b2 – 12 a2 b = 4 a b (b – 3a) 
d (m – n) t + (m – n) k = (m –n) (t + k) 
e) p x + q x + p y + q y 
 = (p + q) x + (p + q) y 

 pondo em evidência o fator x nos dois primeiros 
 termos e o fator comum y nos dois últimos. 
 = (p + q) (x + y) 

 colocando em evidência o fator comum (p + q) 
 
1.5 Trinômio quadrado perfeito 
Existem certas multiplicações de uso freqüente no cálculo algébrico, que são 
denominadas produtos notáveis. O seu conhecimento facilita o cálculo comexpressões 
algébricas e é fundamental na fatoração. 
1.5.1 Quadrado de uma soma ou diferença indicada 
Considere uma placa constituída de quatro partes, conforme a Figura 3. 
 
Figura 3 - Área de um quadrado como soma de áreas de retângulos e quadrados menores 
 
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 A determinação da área total A dessa placa pode ser feita de duas maneiras: 
 Calculando a área de cada parte separadamente e somando os resultados. Como há 
dois quadrados, um de área a2 e outro de área b2 e dois retângulos de área ab 
cada um, então A = a2 + 2ab + b2 
 Considerando o comprimento a + b do quadrado maior e calculando diretamente 
a área, ou seja, A = (a + b)2. 
Logo: 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
Essa expressão de uso freqüente no cálculo algébrico é denominada produto 
notável, mais especificamente, quadrado da soma de dois termos . 
 É importante salientar que: 
(a + b)2 é diferente de a2 + b2 
Veja por exemplo que se 
2a
 e 
3b
 então: 
(a + b)2 = (2 + 3)2 = 
25
 = 25 
a2 + b2 = 
22 32 
 = 4 = 9 = 13 
e os resultados são distintos. 
Considere agora uma placa constituída de quatro partes, conforme a Figura 4. 
 
Figura 4 - Área de um quadrado como soma de áreas de retângulos e quadrados menores 
 
A área do quadrado interno de lado 
ba 
 vale 
2)( ba 
. Para obtê-la considera-se a 
área do quadrado maior
2a
 e dela se subtrai as áreas retangulares de lados 
a
 e 
b
(que 
somam 
)2ab
. Porém, necessita-se adicionar a área do quadrado de lado 
2b
 visto que ele é 
retirado duas ao se subtrair a áreas dos retângulos do quadrado maior. Assim: 
222 2)( bababa 
 
expressão também denominada quadrado da diferença de dois termos. As duas expressões 
apresentadas acima são ainda referidas como trinômio quadrado perfeito. 
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Observe ainda que os produtos notáveis acima podem ser obtidos algebricamente, 
usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição no conjunto dos 
números reais: 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2 
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – a b – b a + b2 = a2 – 2 a b + b2 
 
Exemplos 
a) (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 42 = 9 x2 + 24 x + 16 
b) (p + 
2
1
q)2 = p2 + 2. p . 
2
1
q + (
2
1
q)2 = p2 + p q + 
4
1
q2 
c) (4x – 5)2 = (4x)2 – 2 .4x .5 + 52 = 16 x2 – 40 x + 25 
d) (u2 – v4)2 = (u2)2 – 2 . u2 . v4 + (v4)2 = u4 – 2 u2 v4 + v8 
e) (4a – 
2
1
b)2 = (4a)2 – 2 . 4a . 
2
1
b + (
2
1
b)2 = 16 a2 – 4 a b + 
4
1
b2 
 
1.5.2 Formas fatoradas 
Em muitas situações é conveniente escrever um trinômio do segundo grau como o 
quadrado de uma soma ou diferença, ou seja, fatorá-lo. Visto que: 
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2 = (a + b) (a + b) 
a2 – 2 a b + b2 = (a – b)2 = (a – b) (a – b) 
diz-se que (a + b)2 e (a – b)2 são as formas fatoradas dos trinômios quadrados perfeitos 
a2 + 2 a b + b2 e a2 – 2 a b + b2. 
 Para fatorar 9x2 + 24x + 16, observe que 9x2 = (3x)2 e 16 = 42. Fazendo aparecer o 
fator 2 na segunda parcela, tem-se: 
9x2 + 24x + 16 = (3x)2 + 2 .3x . 4 + 42 = (3x + 4)2 
 Considere o trinômio do segundo grau 16x2 + 10x + 81. Tem-se que 16x2 = (4x)2 e 
81 = 92. Observe que o dobro do produto de 4x por 9 é 72x, um valor diferente de 10x, o 
valor intermediário do trinômio. Logo, o referido não se trata de um trinômio quadrado 
perfeito. 
 
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Exemplos 
1) 16a2 + 8ab + b2 = (4a + b)2 
2) 
222424 )3(96 axaaxx 
 
3) 25x2 – 20x + 4 = (5x – 2)2 
4) 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 
1.6 Produto de uma soma por uma diferença indicada 
 A área do retângulo maior da Figura 5 é o produto 
)()( baba 
. 
 
Figura 5 – Representação geométrica para o produto 
)()( baba 
 
 
 Ela pode ser calculada também como a soma das áreas menores. Desta maneira, de 
acordo com a figura tem-se: 
 
)()( baba 
 = 
)()( babbaa 
 
 = 
22 bababa 
 = 
22 ba 
 
Logo: 
)()( baba 
 = 
22 ba 
 
A expressão
22 ba 
é conhecida como o produto notável diferença de dois quadrados 
e 
)()( baba 
 como sua forma fatorada. 
Exemplos 
 1) Efetue os produtos notáveis: 
a) (y + 5) (y – 5) = y2 – 25 
b) (m – n3 ) (m + n3) = m2 – (n3)2 = m2 – n6 
c) (7a – 
2
1
b) (7a + 
2
1
b) = (7 a)2 – (
2
1
 b)2 = 49 a2 – 
4
1
 b2 
 
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 2) Dê a forma fatorada das expressões: 
 a) a2 x2 – 9 y2 = (a x)2 – (3 y)2 = (a x – 3 y)(a x + 3 y) 
 b) 
)76)(76(7)6(4936 222224  zzzz
 
 c) x2 – 3 = x2 – (
3
)2 = (x + 
3
) (x –
3
) 
 
1.7 Simplificação de frações algébricas 
 Sabendo fatorar pode-se simplificar frações algébricas, aquelas que possuem variável 
no denominador. 
 Veja como se procede para simplificar a fração algébrica 
5
52


x
xx
. Lembre-se que o 
denominador tem que ser diferente de zero. No presente caso, 
05 x
 ou 
5x
. 
 Como 
xxxx )5(52 
vem: 
 
5
52


x
xx
 = 
5
)5(


x
xx
 
Cancela-se o fator 
5x
, ou seja, divide-se ambos os termos da fração por 
5x
, 
cujo resultado é 1. Daí: 
5
52


x
xx
 = x 
Exemplos 
 Simplifique a fração algébrica
16
4
2
2


x
xx
. 
Fatorando o numerador e o denominador tem-se: 
16
4
2
2


x
xx
 = 
)4)(4(
)4(


xx
xx
 
 Dividindo ambos os membros por (x – 4), vem que: 
16
4
2
2


x
xx
 = 
4x
x
 
2) Simplifique 
96
9
2
2


xx
x
. 
96
9
2
2


xx
x
 = 
2)3(
)3)(3(


x
xx
 = 
)3)(3(
)3)(3(


xx
xx
 
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 Dividindo ambos os membros por (x – 3), vem que: 
96
9
2
2


xx
x
 = 
3
3


x
x
 
 
1.8 Equações 
Considere a seguinte situação: 
O saldo de uma caderneta de poupança, após x meses de aplicação. é dado pela 
fórmula s = 3000 + 50x. Após quanto tempo de aplicação o saldo será R$ 4000,00? 
A situação se modela através da seguinte sentença matemática: 
 
3000 + 50x = 4000 
 
chamada equação na variável x, uma igualdade entre duas expressões algébricas. 
Uma solução de uma equação na variável x real é o valor ou valores reais que, 
substituídos no lugar da variável, fazem com que a igualdade se verifique. Recebem também 
o nome de raízes da equação. Uma equação pode não ter solução. Por exemplo, a equação 
0 . x = 3 não possui nenhuma solução real. 
Na situação considerada acima, x = 20 é a solução do problema, pois: 
3000 + 50 . 20 = 4000 
1.8.1 Observação 
 Obtêm-se equações equivalentes (equações com mesmas soluções) a uma equação 
dada se uma das seguintes operações se realizam, conforme pode ser observado na Tabela 1. 
Tabela 1 – Operações e resultados numa equação 
Operação Equação original Equação obtida1. Combinar termos semelhantes; 3x+ x = 2,4 4x = 2,4 
2. Reduzir frações ao mesmo denominador; 
5
2
1
3

x
 
5
6
32

x
 
3. Remover parêntesis; 
12)7(3 x
 
12213 x
 
4. Passar uma parcela de um membro para outro, 
desde que se tome o seu oposto; 
857 x
 
587 x
 
5. Multiplicar ou dividir por constantes não nulas 
364  x
 
)4(
 
x
= 9 
6. Passar um fator não nulo dividindo no segundo 
membro . 
43 x
 
4
3
x
 
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15 
 
Exemplos 
a) Resolva em R a equação –5x – 2 ( 3 – 8x) = 3 (2x – 4). 
 Solução 
 –5x – 2 ( 3 – 8x) = 3 (2x – 4) 
 –5x – 6 + 16x = 6x – 12 
 –5x + 16x – 6x = – 12 + 6 
 –5x + 16x – 6x = – 6 
 (–5 + 16 – 6) x = – 6 
 5x = –6 

 x = 
5
6
 
 
 
b) O custo mensal para produzir x unidades de uma determinada mercadoria é 
C = 5000 + 15x reais. Qual a quantidade mensal produzida sabendo-se que o 
custo mensal é R$ 8 000,00 ? 
 Solução 
 Deve-se resolver a equação 5000 + 15x = 8000. Então: 
15x = 8000 – 5000 

 15x = 3000 

 x = 
15
3000
 = 200 
 A quantidade mensal produzida é 200 unidades. 
 
c) Resolva em R a equação 
4
1
36
12 

 xxx
. 
 Solução O mínimo múltiplo comum dos denominadores 6, 3 e 4 é 12. Então: 
12
)1(3
12
4
12
)12(2 

 xxx
 

 2(2x + 1) + 4x = 3(x – 1) 

 
4x + 2 + 4x = 3x – 3 

 4x + 4x – 3x = –3 – 2 

 5x = –5 
ou seja, x = –1 é a solução da equação. 
 
d) Ache os valores reais de x que satisfazem | 7x – 1 | = 5. 
 Solução 
 Temos: 
7x – 1 = 5 ou 7x – 1 = –5 
Assim, 
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16 
 
7x – 1 = 5 

 7x = 5 + 1 

 7x = 6 

 x = 
7
6
 
ou 
7x – 1 = – 5 

 7x = –5 + 1 

 7x = – 4 

 x = 
7
4
 
 Logo, x = 
7
6
 ou x = 
7
4
. 
 
 1.9 Inequações em R 
O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por 
s = 3000 + 40t. Estimar o valor de t se o saldo superou R$ 3600,00. 
Para determinar a variação de t deve-se impor que: 
3000 + 40t > 3600 
Uma sentença dessa forma é chamada inequação na variável t. Ela significa: “para 
que valores de t, se tem 3000 + 40t maior do que 3600?”. Supondo que t seja um número 
real, deve-se transformar a inequação dada de maneira a se obter explicitamente os possíveis 
valores de t. 
 
De uma maneira geral pode-se transformar inequações com a utilização das 
operações indicadas na Tabela 1, para equações, exceto nos casos 5 e 6. Na situação 5, se o 
número a ser multiplicado é positivo, conserva-se o sinal da inequação; se o número for 
negativo deve-se inverter o sinal da desigualdade. O mesmo acontece no caso 6 com o 
número a ser dividido. 
Exemplos 
a) Encontre o conjunto solução da inequação 3000 + 40t > 3600 . 
Solução 
3000 + 40t > 3600 
40t > 3600 – 3000 

 40t > 600 

 t > 
600
40
 

 t > 15 
de onde resulta que o conjunto solução é {t 

 R: t > 15}. 
 
b) Resolva no conjunto R a inequação –8x – 7 < –3(x + 2). 
Solução 
–8x – 7 < –3x – 6 
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–8x + 3x < –6 + 7 
–5x < 1 

 x > 
5
1
. 
Logo, a solução da inequação é o conjunto { x 

 R: x > 
5
1
 }. 
 
 c) Resolva no conjunto R a inequação 
3
5
12
27
4
5



 xx
 . 
 Solução 
 O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 12. Assim: 
12
20
12
)27()5(3

 xx
 

 3(x – 5) – (7x – 2) < 20 

 3x – 15 – 7x + 2 < 20 

 3x – 7x < 20 + 15 – 2 

 – 4x < 33 

 4x > – 33 

 x > 
4
33
 
Portanto, a solução é { x 

 R: x > – 
4
33
}. 
d) Quando se toma um medicamento de 50 miligramas admite-se um erro na 
dosagem de 5 miligramas, para mais ou para menos. Qual a dosagem mínima ao 
ingerir essa dosagem? Qual a dosagem máxima ao ingerir essa dosagem? 
 Solução 
Representando por x a dosagem ingerida, deve-se resolver a inequação: 
|x – 50| 

 5. 
que é equivalente a: 
–5 

 x – 50 

 5 
ou seja: 
 –5 + 50 

 x 

 50 + 5 

 45 

 x 

 55 
Portanto, a dosagem mínima é 45 e a dosagem máxima é 55 miligramas. 
 
 
e) Resolva em R a inequação | x – 3 | 

 10 . 
 Solução 
A desigualdade é equivalente a: 
 x – 3 

 10 ou x – 3 

 –10 
Daí: 
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18 
 
x –3 

 10 

 x 

 13 ou x – 3 

 –10 

 x 

 –7 
 Então, o conjunto solução é { x 

 R: x 

 –7 ou x 

13} = ] –

, –7] 

[13, +

[. 
 
1.10 Sinal de y = ax + b 
 Considere y = a x + b (
)0a
. Deseja-se responder a questão: para que valores de 
x 
R
tem-se: 
 y > 0, y < 0 ou y = 0 ? 
 Fazendo 
r
a
b


obtém-se: 
 
)( rxa
a
b
xa
a
b
xa
a
b
xabaxy 










 













 
 Portanto, multiplicando ambos os membros por 
a
 vem: 
 
)(2 rxaay 
 
 Observe que o sinal do primeiro membro é igual ao sinal do segundo membro e que 
este só depende de 
)( rx 
 pois o fator 
2a
é positivo. Assim: 
 Para 
rx 
 vem: 
yyarx  00
 tem o sinal de a 
 Para 
rx 
 vem: 
yyarx  00
 tem o sinal contrário de a 
 Para 
rx 
 vem: 
000  yyarx
 
 Em resumo: 
 Se y = a x + b (
)0a
 faça a x + b = 0 
r
a
b
x 


 
 O sinal de y é dado pela regra: 
 Para 
a
b
x


 , y tem o sinal de a 
 Para 
a
b
x


 , y tem o sinal contrário de a 
 
Figura 6 – Sinal de y = a x + b 
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19 
 
Exemplos 
1. Para que valores de x se tem y = 4x – 8 positivo? E negativo? E nulo? 
 Temos: 
 4x – 8 = 0 

 x = 2 e a = 4 é positivo 
 
Figura 7 - Variação do sinal de y = 4x – 8 
e, podemos escrever: 
 Para 
2x
 , y é positivo 
 Para 
2x
 , y é negativo 
 Para 
2x
 , y = 0 
 
2. Estude o sinal de y = –3x – 2. 
 Tem-se: 
 –3x – 2 = 0 

 x = 
3
2
 e a = –3 é negativo 
 
Figura 8 - Variação do sinal de y = –3x – 2 
e, assim, é possível escrever: 
 Para 
3
2
x
 , y é positivo 
 Para 
3
2
x
 , y é negativo 
 Para 
3
2
x
 , y = 0 
1.11 Inequação produto 
 No que segue realiza-se um estudo de inequações simultâneas do primeiro grau. 
 A resolução de diversos problemas, muitas vezes, recai em desigualdades das 
formas: 
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20 
 
 y . y’ > 0 ; y . y’ < 0; 
'y
y
 > 0 ou 
'y
y
 < 0Por exemplo, resolver uma inequação do tipo y . y’ > 0 significa determinar os 
valores reais de x de maneira que os dois fatores tenham o mesmo sinal, isto é, que 
satisfaçam: 
 





0'
0
y
y e 





0'
0
y
y 
 
 Isto é equivalente a resolver dois sistemas de duas inequações em x. Assim, indicando 
por S1 o conjunto solução do primeiro sistema e por S2 o conjunto solução do segundo sistema 
a solução de y . y’ > 0 será dada pela interseção S1  S2. 
 Procedimento similar se aplica às inequações que possuem as demais formas. 
 De uma maneira prática resolve-se a inequação y . y’ > 0 analisando-se os sinais de 
ambas as funções e montando um quadro com três linhas: uma que mostre os sinais de y , 
outra os sinais de y' e a terceira o sinal do produto y . y’, tomando-se o cuidado de dispor as 
raízes das duas funções em ordem crescente. Desta maneira fica evidente os intervalos em 
que o produto é positivo. De modo análogo se procede para os demais tipos de inequações. 
Exemplo 
 Resolva a inequação) (4x – 8) (–3x – 2) > 0. 
Conforme visto acima, os sinais de y = 4x – 8 são dados: 
Para 
2x
 , y é positivo; para 
2x
 , y é negativo e, para 
2x
 temos y = 0. 
Os sinais de y = –3x – 2 são: 
Para 
3
2
x
 , y é positivo, para 
3
2
x
 , y é negativo e, para 
3
2
x
 , y = 0. 
Será construído um quadro que mostra simultaneamente os sinais de y = 4x – 8 
e y = –3x – 2 e, também, os valores de x para os quais o produto das duas é nulo. 
 
Figura 9 - Quadro representativo dos sinais simultâneos de y = 4x – 8 e y = –3x – 2 
 A solução da inequação é, pois, o conjunto de todos os números reais pertencentes ao 
intervalo 





 
2,
3
2
. 
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21 
 
 
1.12 Sistemas de equações do primeiro grau 
Considere o seguinte problema: 
Alberto comprou um livro e um CD de música para seu filho e pagou R$ 110,00. 
Silvio comprou três livros e dois CDs do mesmo tipo e pagou R$ 290,00. Qual o preço do 
CD? E do livro? 
Denotando por x o preço do livro e por y o preço do CD, o problema pode ser 
modelado pelas seguintes sentenças: 





29023
110
yx
yx
 
Diz-se que as equações formam um sistema de duas equações de primeiro grau ou 
sistema linear nas variáveis x e y. 
Uma solução de um sistema para x e y reais é um par (x, y) de valores reais que, 
substituídos no lugar das variáveis do sistema, fazem com que as igualdades se verifiquem. 
Observe que o par x = 70 e y = 40 é uma solução do sistema, pois: 
 
70 + 40 = 110 e 3 . 70 + 2 . 40 = 290 
 
Nesse caso, em virtude do sistema admitir uma única solução, diz-se que ele é um 
sistema possível e determinado. 
 
Serão estabelecidos, a seguir, dois métodos de resolução de sistemas lineares. 
 
 Método da substituição 
Seja dado o sistema 





15215
105
yx
yx
 
Inicialmente, resolve-se a primeira equação, por exemplo, em relação a x: 
5x + y = 10 

 y = 10 – 5x 
Em seguida, substitui-se o valor de y na segunda equação: 
15x – 2y = 15 

 15x –2(10 – 5x) = 15 

 15x – 20 + 10x = 15 
25x = 35 

 x = 
25
35
 

 x = 
5
7
 
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22 
 
Substitui-se este na equação y = 10 – 5x, para encontrar o valor de y: 
y = 10 – 5 . 
5
7
 

 y = 10 – 7 

 y = 3 
Assim, a solução do sistema é x = 
5
7
 e y = 3. 
 
 Método da adição 
 
Seja dado o sistema 





1523
3325
yx
yx
 
 Observe que, neste caso, os coeficientes da variável y são números opostos. Então, 
adicionando membro a membro as equações a variável y é eliminada e obtém-se: 
 8 x = 48 

 x = 
8
48
 

 x = 6 
A seguir, substitui-se o valor x = 6 em qualquer das equações do sistema, suponha-se 
que na primeira: 
5x + 2y = 33 
30 + 2y = 33 

 2y = 3 

 y = 
2
3
 
 Logo, a solução do sistema é x = 6 e y = 
2
3
. 
Outro exemplo 
Resolver o sistema 
2 5 23
3 2 6
x y
x y
 

 
 
Neste caso, caso se queira eliminar y, deve-se multiplicar todos os termos da primeira 
equação pelo número 2 e todos os termos da segunda equação pelo número 5. Fazendo isso, 
obtém-se: 





301015
46104
yx
yx
 
Somando as duas equações membro a membro, vem: 
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 19 x = 76 

 x = 
19
76
 

 x = 4 
Substituindo o valor de x na primeira equação do sistema, vem: 
8 + 5y = 23 

 5 y = 15 

 y = 3 
Logo, a solução do sistema é x = 4 e y = 3. 
 
 
1.13 Exercícios Propostos 
1. Para que valores de a, a expressão 
3
22


a
yx
 não representa número real? 
2. Considere que n representa um número natural positivo. Indique por meio de expressões 
algébricas: 
 a) A soma do quádruplo desse número com 9; 
 b) O triplo da diferença entre esse número e 6; 
 c) A quinta parte desse número acrescida de seu quíntuplo; 
 d) O quociente do cubo desse número pelo sucessivo dele; 
 3. Resolva os seguintes problemas: 
 a) Dados 
)1()1( 2  aaaM
 e 
)1()1( 2  aaN
 obtenha M – N; 
 b) Dados 
)1( 2mmX 
 e 
21 mmY 
 obtenha 
1. YX
. 
4. Um watt é a unidade usual de medida de energia elétrica e um quilowatt- hora é igual a 
1 000 watts. A conta que se recebe da companhia de distribuição de energia elétrica é 
calculada por uma fórmula que leva em conta o número de quilowatt-hora de eletricidade 
gasto pela sua família durante um mês. 
 
 a) Quantos quilowatts-hora são gastos por uma lâmpada de 80 watts que fica ligada 
10 horas por dia durante um mês? 
 b) Se cada quilowatt-hora custa R$ 0,25 que despesa se terá com a lâmpada do item a? 
 
5. No aluguel de um veículo, em geral, existem duas partes a pagar: uma depende do número 
de dias (x) que você utiliza o carro e outra, da quilometragem (y) rodada. A locadora 
Brilhante oferece as seguintes condições de aluguel: 
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a) Qual a fórmula que fornece o custo total (C) do aluguel ? 
b) Francisco alugou por 4 dias, rodando 600km. Quanto ele pagou? 
c) Josuel pagou R$ 680,00 e rodou 400 km. Quantos dias usou o carro? 
d) Ana alugou por 8 dias e pagou R$ 1250,00. Quantos quilômetros ela rodou? 
6. IMC é a sigla para índice de massa corporal, que permite uma pessoa fazer o controle de 
seu peso. O cálculo do IMC é feito dividindo o peso, em quilogramas, pelo quadrado da 
estatura, em metros ( com duas casas decimais), e o controle, de acordo com a tabela: 
 
 
 
 Designando por p o peso de uma pessoa e h a sua altura: 
 a) Escreva a fórmula para o cálculo do IMC;. 
 b) Alguém com 1,60m de altura e 70 kg de peso se enquadra em qual categoria acima? 
c) Alguém com 1,80m de altura deve ter qual peso para ser considerado normal? 
d) Alguém com 96 kg de peso deve ter qual altura para ser considerado normal? 
7. Na casa de uma família que gasta cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia, a massam 
 
 
8. Pense um número inteiro e positivo. Multiplique-o por 4 e adicione o resultado a 12. A 
seguir divida o resultado anterior pelo número pensado adicionado a 3. Mostre que o 
resultado é 4. 
 
Peso 
Baixo Normal Pré-obeso Obeso 
Até 18,5 De 18,6 a 24,9 De 25 a 29,9 Mais de 30 
de gás em um botijão doméstico varia com o tempo. 
 a) Expresse a massa m de gás presente no botijão no instante t, medido 
 em dias; 
 b) Calcule a massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso. 
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10. Reduza as expressões literais em expressões literais equivalentes mais simples: 
 a) (x + 2) + ( 3x – 6) – (8x + 1) b) (8a + 
3
2b
 –1) – (a + 
2
b
+ 5) + (–3a – b + 
2
1
) 
 c) 1 +
r3
 – [2s + 4 (r + 
4
s
) + 6] d) 
(2[
4
5
 yxx
y
2
1
 + y) + 
2
1
 – x – y ] 
11. Anderson dispõe de material para construir 28 metros de cerca. Com esse material ele 
 
 
 
13. Num terreno quadrangular será construída uma piscina, também quadrangular, de modo 
 
14. Efetue os seguintes produtos notáveis: 
 a) (2x – 7y)2 b) (a + 
2
1
)2 c) (ax – py)2 
 d) (m2 + x3)2 e) (1 + ax) (1 – ax) f) (mn + 2) (mn – 2) 
15. Simplifique as expressões algébricas 
 a) (x – y)2 – (x + y) (x – y) + 2 x y b) (x – 2)2 + (x – 2)(x + 2) 
 c) (u – 1)2 + u(3u + 2) d) (x + y)2 – (x – y)2 – 4xy 
pretende construir um canil com a forma 
retangular, de modo que o comprimento 
seja o dobro da largura menos 4 m. Quais 
devem ser as dimensões do canil? 
 
Um canteiro que tem a forma triangular e um ângulo 
reto vai ser cercado de tijolos. Qual é o valor de x? 
Qual é o perímetro do canteiro? E a área? 
a deixar livre uma área de 32 m2. Qual é a área 
da piscina? 
 Escreva um polinômio para representar 
a área da figura. 
9. 
12. 
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26 
 
 
 
17. Fatore as seguintes expressões: 
 a) 9y2 + 12y + 4 b) 1 – 6h3 + 9h6 c) a2 + 14a + 49 
 d) a2x2 –2abx + b2 e) a4 – 81 f) m4 – n4 
18. Resolva em R as equações: 
 a) 9 – 4(x + 1) = 4x – 3(4x – 1) b) 7x – 2(3x – 4) = – (x – 4) + 1 
c) 
5
12
4
3
12
53 

 xx
 d) 
2
5
3
2
2
3
 x
x
 
 e) 3(x – 2) – 
3
4
2
17 

 xx
 f) 
6
1
2
3
3
2



 xx
 
19. Lenilson comprou tela de arame para cercar um terreno retangular em que a largura é a 
 
20. A fábrica de confecções Cactus está fazendo um promoção de calças e blusas em que 
 
21. Josué trabalha como guardador de carros e motos num estacionamento que comporta 77 
 
 
 Obtenha as dimensões (em termos de x) de 
um paralelepípedo cujo volume é representado 
pela 
expressão: 
 
16. 
terça parte do comprimento. Gastou-se 88 metros de tela para 
cercá-lo. Quais a dimensões do terreno? 
qualquer peça da mesma espécie custa o mesmo 
preço. Tamires comprou, para revender, 44 peças. 
Calcule a quantidade que ela adquiriu de cada 
espécie sabendo que ela desembolsou na aquisição a 
quantia de R$ 1800,00. 
veículos. Quando lhe perguntaram quantos veículos 
de cada tipo cabem no local Josué respondeu: “é 
quase certo que são 218 rodas”. Ajude a resolver a 
charada de Josué respondendo quantos carros e 
quantas motos cabem no estacionamento. 
 
 
 “é quase certo que são 
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27 
 
22. Kiko sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com a promoção ele arrecadou 
 
23. Na companhia aérea Bloom os preços para viajar de São Paulo à cidade de Valverde 
 
 
24. Resolva os seguintes sistemas lineares: 
 a) 






2
1
97
268
yx
yx b) 





432
3
yx
yx
 c) 





4452
)2(3)1(2
yx
yxx
 
25. Resolva em R as seguintes inequações: 
 a) 3(x – 4) > x + 2 b) 2 (x –1 ) < 5x + 3 c) 
2
2
5
1
2
42
x
xxx




 
 
1.14 Respostas dos exercícios propostos 
1. 
3a
 2. a) 
94 n
 b) 
)6(3 n
 c) 
nn 5
5
1

 d) 
1
3
n
n
 
3. a) 
aa 2
 b) 
mmm 242 
 4. a) 24 b) R$ 6,00 5. a) 
yxC 20,0100 
 
b) R$ 520,00 c) 6 dias d) 2250 km 6. a) 
2h
p
IMC 
 b) 27,34 (pré-obeso) 
c) 
67,8026,60  p
 d) 
27,296,1  h
 7.a) 
tm 5,013
 b) 8 kg 
R$ 312,00. Quantos sanduíches de 
cada tipo foram vendidos? Quantas 
salsichas foram consumidas nos 
sanduíches sabendo-se que Kiko usou 
42 pães? 
 
 
 
estão em oferta. Em um vôo embarcaram 220 
pessoas e a companhia arrecadou R$ 46 000,00. 
a) Quantos passageiros viajaram de primeira 
 classe? 
 b) E de turística? 
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28 
 
9. 
2
1
25 2  xx
 10. a) –4x – 5 b) 4a – 
6
5b
 – 
2
11
 c) –r –3s – 5 d) 
y
4
1
 
11. 
mm 68 
 12. 
6x
; perímetro = 24; área = 24 13. 
24 m
 
14. a) 4x2 – 28xy + 49y2 b) a2 + a + 
4
1
 c) a2x2 – 2axpy + p2y2 d) m4 + 2m2x3 + x6 
e) 1 – a2x2 f) m2n2 – 4 15. a) 2y2 b) 2x(x – 2) c) 4u2 + 1 d) 0 
16. 
1,1,  xxx
 17. a) (3y + 2)2 b) (1 – 3h3)2 c) (a + 7)2 d) (ax - b)2 
e) (a – 3)(a + 3) (a2 + 9) f) (m – n)(m + n)(m2 + n2) 
18. a) –
2
1
 b) –
2
3
 c) 
9
8
 d) – 
3
11
 e) –5 f)
5
14
 
19. comprimento = 33m; largura = 11m 20. 20 calças; 24 blusas 21. 45 motos; 32 carros 
22. Primeiro tipo: 12; Segundo tipo 30; 72 23. 20 primeira classe; 200 turística 
24. a) x = 
2
1
, y = 
3
1
 b) x = 1, y = 2 c) x = 
2
11
, y = 
2
1
 
25. a) x > 7 b) x > 
3
5
 c) x < 
1
11
 
 
 
1.15 Problemas suplementares 
1. No estudo dos gases o uso da escala Kelvin, ao invés da escala centígrados, traz grandes 
simplificações nas leis e fórmulas em geral. Para transformar graus Celsius (C) em Kelvin 
(K), usa-se a relação K = C + 273. 
 a) Qual é a temperatura Kelvin correspondente a 400 C ? 
 b) Qual é a temperatura Celsius correspondente a 2000 K ? 
2. Obtenha as medidas em graus dos ângulos do triângulo abaixo. Lembre-se que a soma dos 
três ângulos internos de um triângulo mede 180 0 . 
 
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29 
 
3. A Loja Popular resolveu fazer a promoção, conforme a propaganda, na venda de calças e 
camisas. 
 
i. Escreva a fórmula que indica o valor (p) a ser pago na aquisição de qualquer produto, 
na qual o valor de cada prestação se indica por x; 
ii. Luiz comprouuma calça cujo preço é R$ 110,00; quanto deverá pagar de prestação? 
 
4. Um motorista de taxi cobra R$ 5,00 de bandeirada mais R$ 1,50 por quilometro rodado. 
a) Escreva a fórmula que indica o valor (V) a ser pago se o número de quilômetros 
rodados for q; 
b) Quantos são os quilômetros da casa de José até o ponto de taxi se ele pagou ao 
taxista o valor de R$ 12,50? 
c) Quanto Moema pagará pela corrida se sua residência se situa a 6 km do ponto de 
taxi? 
5. Quando se coloca óleo em um recipiente com água, ele flutua; porém, quando se coloca 
mercúrio ele afunda. Isso ocorre em virtude de vários fatores, dentre os quais está a 
densidade dos corpos. Existe uma fórmula para o cálculo da densidade de um corpo, a qual 
envolve a massa e o volume do mesmo. 
 
 a) Calcule a densidade da água sabendo que 100 cm3 de água pesam 100 g; 
 b) Calcule a densidade do mercúrio sabendo que 100 cm3 de mercúrio pesam 1,36 kg. 
 
 
6. 
a) Se o pé de Luiz mede 28 cm, que 
número de sapato deverá comprar? 
b) Qual o comprimento do pé de uma 
pessoa que calça sapato número 
42? 
 
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7. Sem usar a calculadora (usando os produtos notáveis) obtenha com rapidez os seguintes 
valores: 
 a) 10032 
 Solução 10032 = (1000 + 3)2 = 10002 + 2 . 1000. 3 + 32 = 1 000 000 + 6 000 + 9 
 = 1 006 009 
 b) 10052 c) 992 d) 9992 
8. Mostre que: 
 i) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ii) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
 
10. Efetue: 
 a) 
2
.
2
42


x
ax
ax
x
 b) 
3
412
124
96
2
22







xxx
xx
x
xx
 
 c) 
2
22
:
yx
yx
yx 


 d) 
1
155 2
24 




a
x
xx
a
 
11. Efetue as multiplicações : 
 a) (x2y ) . (–5x) b) (8x2 – 5x + 1) . (3x – 5) c) (2x2 + 5x –1) . (x – 2) 
 
13. Uma bobina possui uma camada de 12 cm de papel envolta em um cilindro central de 
 
 
A área do quadrado tem 10 unidades a 
mais que a área do retângulo. Obtenha 
os perímetros de cada uma das figuras.
 
9. 
Ache o perímetro do triângulo. 12. 
30 cm de altura. Se a camada de papel ocupa um volume de 
7200

cm3 qual é o raio do cilindro central? 
 
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31 
 
 
 
15. Simplifique as frações 
 a) 
4
44
2
2


x
xx
 b) 
23
24
6
12
ba
ba
 c) 
22
22 2
ba
abba


 d) 
9
69
2
2


a
aa
 
16. Resolvq em R as equações: 
 a) 
3
20
5
2
5 xx 


 b) 
0
103
2
5
2



 xxx
 c) 
2
3
1
)1(
2
2



x
x
 
 d) 
1
2
313




x
x
x
x
 e) 
x
x
x
x




12
1
1
2
 f) 
4
12
6
1
12
53 

 xx
 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
17. 
 No saque feito em 10 de dezembro o caixa 
me entregou 14 notas, entre cédulas de R$ 10,00 
e 50,00 
 a) Quantas notas de 10 reais eu recebi ? 
 b) E quantas notas de 50 reais? 
18. Raul e Cibele receberam juntos nesta semana uma 
 mesada de R$ 140,00. 
a) Que quantia coube a Raul? 
b) Que quantia recebeu Cibele de mesada? 
14. 
 Usando expressões 
algébricas mostre que a 
resposta a que se chega é 
o mesmo número pensado. 
Almir e Liege fizeram 
compras de canetas e 
lapiseiras na Papelaria Arco 
Iris. Qual o preço pago pela 
caneta? E pela lapiseira? 
 
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32 
 
20. Dona Tatá está em dúvida. Comprou um livro de receitas e um romance e pagou R$ 48,00 
por eles. Quando foi efetuar o pagamento constatou que com o preço de 3 romances 
compraria 5 livros de receita. Qual o preço de cada livro? 
21. Resolva os seguintes sistemas lineares: 
 a) 





1332
754
yx
yx
 b) 






)2(34
1
32
yx
yx c) 







33
1
5
yx
x
y 
22. Resolva em R as seguintes inequações: 
 a)
54
5
2
xxx




 b) 
4
1
8
73 xx
x




 c) 
5
52
7
19 xx 


 
23. Sistemas lineares com mais de 2 variáveis. Considere o sistema linear 








124
122
43
zyx
zyx
zyx
 
Trata-se de um sistema linear de 3 equações nas incógnitas x, y e z. Uma solução 
para este sistema é uma terna (x, y, z) de números reais que, substituídos no lugar das 
variáveis do sistema, fazem com que as igualdades se verifiquem. 
Para resolver o sistema acima, tira-se o valor de uma das variáveis em qualquer uma 
das três equações do sistema e substitui-se o valor encontrado nas outras duas restantes. Daí, 
obtém-se um sistema linear de duas equações em duas incógnitas que pode ser resolvido 
utilizando qualquer um dos métodos apresentados acima. 
 Por exemplo, tire o valor de y na primeira equação: 
 3x + y + z = 4 

 y = 4 – 3x – z 
Substituindo este valor na segunda e terceira equações, vem: 
2x – y – 2z = 1 

 2x – 4 + 3x + z – 2z = 1 

 5x – z = 5 
–4x + y + 2z = –1 

 –4x + 4 – 3x – z + 2z = –1 

 –7x + z = –5 
Em seguida, resolve-se o sistema 





57
55
zx
zx
. 
Somando membro a membro as duas equações, vem que 
–2 x = 0 

 2x = 0 

 x = 
2
0
 

 x = 0 
Substituindo na equação 5x – z = 5, obtém-se: 
5 . 0 – z = 5 

 – z = 5 

 z = –5 
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33 
 
Agora, substituindo os valores de x e z obtidos, na equação y = 4 – 3x – z, vem: 
y = 4 – 3x – z 

 y = 4 – 3 . 0 – (–5) 

 y = 4 + 5 

 y = 9 
Por conseguinte, a solução do sistema é x = 0, y = 9, z = –5. 
24. Resolva os seguintes sistemas: 
 a) 








222
0
223
zyx
zyx
zyx
 b) 








622
4
623
zyx
zyx
zyx
 c) 








2054
62
43
zyx
zyx
zyx
 
25. Uma loja de cosméticos oferece três kits de produtos contendo batom, esmalte e sombra 
 dos mesmos tipos em todos os kits, com os seguintes preços: 
 kit 1: 1 batom, 2 esmaltes, 2 sombras ; 14 reais 
 kit 2: 2 batons, 1 esmalte, 2 sombras ; 16 reais 
 kit 3: 4 batons, 3 esmaltes, 1 sombra; 25 reais 
 Determinar o preço de uma unidade de cada um desses produtos. 
 
1.16 Respostas dos exercícios suplementares 
 
1. a) 3130 K, –730 C 2. 500, 1000, 300 3. a) 
xp 620 
 b) R$ 15,00 
4. a) 
qV 5,15
 b) 5 km c) R$ 14,005. a) 
31 cm
g
 b) 
36,31 cm
g
 
6. a) 37 b) 32 cm 7. b) 1 010 025 c) 9801 d) 998 001 
9. quadrado: 16; retângulo:10 10.a) 
2
2x
 b) 
x
x 1
 c)
yx 
1
 d) 
2
5
x
 
11. a) –5x3y b) 24x3 – 55x2 + 28x – 5 c) 2x3 + x2 – 11x + 2 12. 30 13. 4 cm 
15. a) 
2
2


x
x
 b) 2 a c) 
ba
ba


 d) 
3
3


a
a
 16. a) –1 b) 32 c) 5 d) –
3
5
 e) 5 f) 0 
17. Notas de cinqüenta: 4; notas de dez: 10 18. Raul: R$ 60,00; Cibele R$ 80,00 
19. caneta R$ 3,00; lapiseira R$ 8,00 20. livro de receita: R$ 18,00; romance: R$ 30,00 
21.a) 
3;2  yx
 b)
0;2  yx
 c)
6;1  yx
 22. a)
19
25
x
 b)
7
5
x
 c)
80
19
x
 
24. a) x =1, y = 2, z = 3 b) x = 3, y = 2, z = 1 c) x = 2, y = 3, z = –5 
25. 4 reais o batom, 2 reais o esmalte e 3 reais a sombra 
 
 
 
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34 
 
 
Capítulo 2 
Equação do Segundo Grau; Inequação do segundo grau 
 
 
 Considere o seguinte problema: 
 Uma pedra abandonada em queda livre (desprezando a resistência do ar no 
movimento) percorre, em queda, uma distância 
y
que é diretamente proporcional ao quadrado 
do tempo 
t
, ou seja, tem-se: 
 
2tcy 
 
Nesta situação o valor de 
c
 é 4,9 (metade da aceleração da gravidade local), isto é: 
 
29,4 ty 
 
ou seja, y é diretamente proporcional ao quadrado de t. 
 Relações de interdependência como esta servem de base para a caracterização das 
funções quadráticas (polinomiais do segundo grau) cuja forma geral é: 
 
0,)( 2  acbxxaxf
 
objeto de estudo desta seção. 
 
2.1 Equação do segundo grau 
Como se conhece, equações são muito úteis na modelagem e resolução de 
problemas. Dentre elas se destacam as equações polinomiais que se classificam de acordo 
com o valor do maior expoente da incógnita, que possui coeficiente não nulo. 
Foi visto anteriormente as equações de primeiro grau da forma: 
a x + b = 0 
Tem-se que x2 + 4x = 0, 6x2 = 36 e x2 - 5x + 6 = 0 são equações do segundo grau. 
De um modo geral, uma equação do segundo grau, ou equação quadrática, é uma 
equação da forma 
 
ax2 + bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais e a 

0 . 
 
 2.1.1 Equações incompletas 
Equações da forma ax2 + bx + c = 0, em que b = 0 ou c = 0, chamam-se equações 
incompletas do segundo grau. 
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35 
 
Por exemplo, x2 – 5x = 0 e x2 – 16 = 0 são equações incompletas do segundo grau. 
Apresentam-se, a seguir, exemplos de resolução de tais equações : 
a) x2 – 5x = 0 
x2 – 5x = 0 

 x (x – 5) = 0 

 x = 0 ou x = 5. 
Portanto, o conjunto solução é { 0, 5}. 
 
b) x2 – 16 = 0 
x2 – 16 = 0 

 x2 = 16 

 x = 
 16
 

 x = 

 4 
Portanto, o conjunto solução é { –4, 4 }. 
2.1.2 Fórmula geral de resolução da equação do segundo grau 
Há uma fórmula que permite resolver uma equação do segundo grau arbitrária. Dada 
a equação ax2 + bx + c = 0 , com a 

0, encontra-se o valor de x através da fórmula de 
Bhaskara: 
x = 
a
acbb
2
42 
 
 
O radicando b2 – 4ac, chamado discriminante, é indicado por 

(delta). 
 Se 

 > 0, a equação admite duas raízes reais e distintas; 
 Se 

 = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais; 
 Se 

 < 0, a equação não admite raízes reais 
 Problemas que recaem numa equação do segundo grau advêm da antiguidade. Em 
textos babilônicos de quatro mil anos atrás se encontra, por exemplo, a questão de se obter 
dois números reais conhecendo a sua soma a e o seu produto p. 
 Se um dos números é x então o outro é a – x . Logo: 
 
0)( 22  paxxpxaxpxax
 
 Portanto, x é uma raiz desta equação quadrática.
 
 
Exemplos 
a) Resolver em R a equação do segundo grau x2 – 5x + 6 = 0. 
Tem-se a = 1, b = –5 e c = 6. Assim: 
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36 
 
x = 
2
15
2
15
1.2
6.1.455 2 



 
Logo, x = 
2
2
15


 
ou x = 
.3
2
15


 
Portanto, o conjunto solução da equação dada é {2, 3}. 
b) O lucro mensal de uma empresa é dado por P = –x2 + 12x – 11, onde x representa 
a quantidade vendida. Para que valores de x o lucro é nulo? 
Solução Deve-se tomar P = 0 na equação do lucro. Assim: 
–x2 + 12x – 11 = 0 
de onde vem: 
 x2 – 12x + 11 = 0 
x = 212 12 4.1.11 12 100 12 10
2.1 2 2
   
 
 
x = 
12 10
1
2


 ou x = 
12 10
11
2

 
Logo, o lucro é nulo se x = 1 ou x = 11. 
 
 Solução 
 O semi-perímetro, ou seja, a soma das duas dimensões do retângulo é 9 m. Portanto, se 
uma das dimensões é x a outra é 9 – x. Então: 
 x (9 – x) = 20 
 Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição vem: 
 – x2 + 9x = 20 
 x2 – 9x + 20 = 0 
 x = 
2
19
2
80819 

 
Assim, x = 
4
2
19


 
ou x = 
.5
2
19


 
Portanto, as dimensões do retângulo são 5 metros e 4 metros. 
c) 
 Respeitando os dados da figura, obter as dimensões do 
retângulo. 
 
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37 
 
2.2 Decomposição em fatores do primeiro grau 
 Quando o discriminante 

é um valor não negativo y = ax2 + bx + c se fatora como 
um produto de fatores do primeiro grau. Se 

é um valor negativo y = ax2 + bx + c não 
se decompõe num produto de fatores do primeiro grau. 
 Se 
0
 mediante completamento de quadrados e simplificações obtém-se: 
y = ax2 + bx + c = 















 








 

aa
b
x
aa
b
xa
2222
 
 Sendo: 
a
b
x
2
' 
 e 
a
b
x
2
'' 
 
vem: 
 y = a(x – x’) (x – x’’) 
 Particularmente se 
0
 tem-se 
a
b
xx
2
''' 
 e, portanto: 
y = a(x – x’)2 
Exemplos 
 1. Decomponha y = 2x2 – 10x + 12 em um produto de fatores do primeiro grau. 
 2x² – 10x + 12=0  x² – 5x + 6 = 0 
 x=
2
15
2
15
1.2
6.1.4)5(5 2 




 
 x’ = 
;3
2
15


 
x’’ = 
2
2
15


 
 Portanto: 
 y = 2 (x – 3) (x – 2). 
 
2. Decomponha em fatores o trinômio y = –x² + 10x – 25. 
 –x² + 10x – 25 = 0 
 x=
5
2
010
)1.(2
)25).(1.(4)10(10 2






 
 Portanto: 
 y = (–1) (x – 5)² ou y = – (x – 5)² 
 
3. Decomponha em fatores o trinômio y = x2 – x + 2. 
Como ∆ = -7 é negativo, então o trinômio não se decompõe como um produto de 
fatores de primeiro grau. 
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38 
 
 
2.3 Sinais da função polinomial de 2º. Grau; inequação 
 
Dado um trinômiodo segundo grau y = a x2 + b x + c em muitas situações deseja-se 
determinaros valores de x para os quais 
0y
 ou 
0y
, ou seja, é preciso resolver uma 
inequação quadrática. 
Para tanto tem importância fundamental o discriminante 

 e o coeficiente a. Três 
são as hipóteses possíveis: 
0 0 0 
e, para cada caso, supõe-se: 
 a > 0 e a < 0 
1º. Caso: 
0 
 Considere a > 0. Se x’ e x’’ são as raízes da equação quadrática a x
2 + b x + c = 0 
lembremos que o trinômio pode ser decomposto em y = a (x – x’) (x – x’’). 
 Para facilitar o raciocínio vamos admitir x’ < x’’ 
 Em primeiro lugar suponhamos a > 0. 
i) Para x < x’ vem que x – x’ < 0 e x – x’’ < 0 e daí y > 0; 
ii) Para x > x’’ vem que x – x’ > 0 e x – x’’ > 0 e daí y > 0; 
iii) Para x’ < x < x’’ vem que x – x’ > 0 e x – x’’ < 0 e daí y < 0; 
iv) Para x = x’ ou x = x’’ é imediato que y = 0 
De maneira similar se a < 0 pode-se constatar que: 
v) Para x < x’ vem que x – x’ < 0 e x – x’’ < 0 e daí y < 0; 
vi) Para x > x’’ vem que x – x’ > 0 e x – x’’ > 0 e daí y < 0; 
vii) Para x’ < x < x’’ vem que x – x’ > 0 e x – x’’ < 0 e daí y > 0; 
viii) Para x = x’ ou x = x’’ é imediato que y = 0 
Resumindo, o sinal de y = a x2 + b x + c 
 é o sinal de a para todo x real tal que x < x’ ou x > x’; 
 é o contrário do sinal de a para todo x real tal que x’ < x < x’’ ; 
 y = a x2 + b x + c = 0 quando x = x’ ou x = x’’. 
2º. Caso: 
0 
Nesta situação x’ = x’’ e então y = a (x – x’) (x – x’’) = (x – x’)2. Conseqüentemente 
o sinal de y depende diretamente do sinal de a. 
Assim, quando 
0 o sinal de y = a x
2 + b x + c 
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39 
 
 é o sinal de a para todo x real tal que x < x’ ou x > x’; 
 y = a x2 + b x + c = 0 quando x = x’= x’’. 
3º. Caso: 
0 
Pode-se mostrar que quando 
0
 o sinal de y = a x2 + b x + c: 
 é o sinal de a para todo x real 
As discussões acima se resumem na Figura 10 a seguir: 
 
 Figura 10 – Análise do sinal de y = a x2 + b x + c de acordo com o sinal do discriminante 

 
Exemplos 
1. Estude o sinal da função y = –2x² – 3x – 1 
Resolvendo –2x² –3x – 1 = 0 para encontrar as raízes: 
 x = 
4
13
)2.(2
)1).(2.(4)3(3 2





 
 x’ = 
1
4
4
4
13





 ou x‘’ = 
2
1
4
2
4
13 






 
 
De acordo com a Figura 10, conclui-se então: 
 
1ou5,00  xxy
 
 
5,010  xy
 
 
1ou5,00  xxy
 
 
2. Estude o sinal da função y = x² – 6x + 9 
A função possui duas raízes iguais x’ = x’’ = 3. 
Em conformidade com a Figura 10, tem-se: 
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40 
 
 
3dedistintorealtodopara0 xy 
 
 
30  xy
 
3. Estude o sinal da função y = –x² – 3 x – 3. 
 Temos que ∆ = –3 < 0. 
 Portanto y = –x² – x – 4 é sempre negativo para x real. 
 
4. Um tanque deve ter a forma de um bloco retangular. O seu comprimento deve 
superar a largura em 4m e a altura medir 1 metro. Com que largura esse recipiente 
ultrapassará a capacidade de 5000 litros? 
 Solução 
O volume do tanque, em metros cúbicos, é dado em função da largura x e se 
expressa pela fórmula: 
V = x . (x + 4) . 1 = x2 + 4x 
Visto que 1m3 = 1000 l então 5000 l = 5m3 e, por conseguinte, deve-se resolver a 
inequação do segundo grau x2 + 4x > 5 , isto é: 
 x2 + 4x – 5 > 0. 
As raízes da equação x2 + 4x – 5 > 0 são x = 1 e x = –5 . Ainda, a = 1 e 
36 . 
Portanto, conforme a Figura 10 vem que x2 + 4x - 5 > 0 para todo x > 1 ou x < –5. 
Como x é um valor positivo, o recipiente ultrapassará a capacidade de 5000 litros a 
partir da largura 1 m. 
 
2.4 Inequações simultâneas do segundo grau 
 No que segue são consideradas inequações simultâneas do segundo grau e o 
tratamento é análogo ao apresentado em 1.11. 
 De uma maneira prática resolve-se a inequação y . y’ > 0 analisando-se os sinais de 
ambas as funções e montando um quadro com três linhas: uma que mostre os sinais de y , 
outra os sinais de y' e a terceira o sinal do produto y . y’, tomando-se o cuidado de dispor as 
raízes das duas funções em ordem crescente. Desta maneira fica evidente os intervalos em 
que o produto é positivo. De modo análogo se procede para os demais tipos de inequações. 
Exemplo 
 Resolva a inequação (4x2 + 5x – 9) (–3x2 + 5x + 2) > 0 
 Solução 
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41 
 
Para o trinômio y = 4x2 + 5x – 9 tem-se: 
 a = 4; ∆ = 169 ; x’ = 
4
9
 e x’’ = 1. 
 Para o trinômio y = –3x2 + 5x + 2 tem-se: 
a = – 3; ∆ = 49 ; x’ = 
3
1
 e x’’ = 2. 
Será construído um quadro que mostra simultaneamente os sinais dos trinòmios 
y = 4x2 + 5x – 9 e y = – 3x2 + 5x + 2 e, também, os valores de x para os quais o produto 
das duas é nulo. 
 
Figura 11 - Quadro representativo dos sinais simultâneos das 
 funções y = 4x2 + 5x – 9 e y = –3x2 + 5x + 2 
 
Assim, observa-se que o produto dos dois trinômios é positivo para 
.21ou
3
1
4
9




xx
 
 
2.5 Exercícios propostos 
1. Resolver R as seguintes equações: 
 a) x2 – 7x + 6 = 0 b) x2 – 7x + 12 = 0 c) x2 + 3x – 70 = 0 
 d) x2 + 13x + 12 = 0 e) x2 + 15x – 250 = 0 f) 5x2 – 24x – 5 = 0 
 g) 7x2 + 50x + 7 = 0 h) 45 x2 – 56x – 45 = 0 i) 9x2 – 82x + 9 = 0 
2. Resolver em R as seguintes equações: 
 a) x2 – 25 = 0 b) x2 – 2 = 0 c) 3x2 – 12 = 0 
 d) 4x2 – 9 = 0 e) 
32
2x
 – 2 = 0 f) – x2 + 52 = 2(2 + x2) 
 g) 11x2 – 44x = 0 h) 
5
2 2x
 – 40x = 0 i) 2 x2 – (7 – x) x = 11x 
 j) (x + 7)(x + 2) = 14 k) 
5
2 2x
 = 0 l) 5x2 = 
7
3 2x
 
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42 
 
3. Larissa deseja ter um jardim retangular em seu quintal. Ela tem 80m de material com o 
qual deseja cercar o seu jardim. Denotando por x a largura do jardim, encontrar uma 
expressão algébrica na variável x que forneça a área do jardim. 
4. Decomponha os seguintes trinômios em fatores do primeiro grau: 
 a) x2 – 2x – 15 b) 2x2 – 3x – 2 c) 3 x2 –12x – 15 
 
 
5. Resolva em R as inequações: 
 a) –x2 – 6x – 5 < 0 b) x2 + x + 1 

 0 c) –x2+ 5x – 6 

 0 
 
7. O produto interno bruto (PIB) representa a soma (em valores monetários) de todos os bens 
e serviços finais produzidos numa determinada região (país, estado, cidade) durante um 
período estabelecido. É um dos indicadores mais usados na macroeconomia com a 
finalidade de mensurar a atividade econômica de uma região. 
 Segundo previsões de um centro de pesquisa o PIB anual de um certo país, em 
bilhões de dólares, daqui a t anos, é modelado pela lei: 
 p = 0,6t2 – 7t + 80 
 Para que valores o PIB anual desse país será maior do que 180 bilhões de dólares? 
 
 
 
 
 a folha retangular assim determinadatenha uma área igual a 
8
5
 da folha dada. Qual 
 deve ser a largura da margem? 
 
6. Ache x, em metros, de modo que a área do 
retângulo seja maior que 35m2. 
8. Obtenha a altura do triângulo cuja altura supera a base em 2cm. 
9. Uma folha de papel cartão de forma retangular 
tem 72 cm de comprimento e 48 cm de largura. 
Deseja-se cortar uma margem ao redor da 
mesma de largura constante de maneira que a 
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43 
 
 
 
11. Qual é o número inteiro que multiplicado por 12 excede em 9 o triplo de seu quadrado? 
 
12. O quociente da divisão exata de 84 por um certo número inteiro e positivo excede este 
número de 5. Determine o número. 
 
 
 
2.6 Respostas dos exercícios propostos 
1. a) 1; 6 b) 3; 4 c) -10; 7 d) – 12; –1 e) – 25; 10 f) –
5
1
; 5 g) -7; –
7
1
 
g) –
9
5
; 
5
9
 i) 9, 
9
1
 2. a) 
5
 b) 
2
 c) 
2
 d) 
2
3

 e) 
8
 
f) 
4
 g) 0; 4 h) 0; 100 i) 0; 6 j) 0; –9 k) 0 l) 0 
3. A(x) = x(40 – x); ]0, 40[ 4. a) (x + 3)(x – 5) b) 2 (x +
2
1
)(x – 2) c) 3 (x + 1 )(x – 5) 
5. a) x < 5 ou x > 1 b) R c) 2 

 x 

 3 6. x > 2 7. 20 anos 
8. 12cm 9. 6 cm 10. 18 11. 1; 3 12. 7 
 
2.7 Exercícios suplementares 
1 . Resolva R as seguintes equações: 
 a) 2x2 + 19x – 10 = 0 b) 2x2 + 7x – 9 = 0 c) x2 = 4( x – 1) 
 d) 
10
2x
 = x + 200 e) (x + 1)2 = – (x + 1) f) 
x
 + 10 = 
10
10


x
x
 
2. Resolva em R as seguintes equações: 
 a) 
2
1
x2 – 
8
3
= 0 b) 
8
7
x2 – 0,035= 0 c) (x + 3)(x – 3) = –8 
 d) 4x + 4 = 
25,0
1
x
 e) (x + 5)2 + (x – 5)(x + 5) = 0 f) 3x(x – 2) + (x + 3)2 = 13 
 
10. Um batalhão de 180 soldados está disposto em 
filas de maneira que o número de soldados de cada 
fila supera de 8 o número de filas. Quantos 
soldados existe em cada fila? 
3. Obtenha as dimensões do retângulo com base nas 
informações da figura. 
 
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4. Que valores podem ser atribuídos a m a fim de que as raízes da equação do segundo grau 
y = 8x2 – (m – 1)x + m – 7 = 0 sejam iguais? 
 
 
 
Nessas condições diz-se que o ponto P determina uma seção áurea no segmento 
AB
. 
A medida
x
do segmento
AP
chama-se número de ouro e representa-se pela letra grega 

 (fi). 
Obter o valor de 

. 
6. Resolver em R as inequações: 
 a) (x – 1)(2x – 1) > 0 b) 
1
41
12



x
x
 c)
0
23
23
2
2



xx
xx
 
 d) (– x2 +10x – 16)(2x2 – 5x+6) < 0 e) 
0
532
44
2
2



xx
xx
 f) 
0
145
44
2
2



xx
xx
 
7. O fabricante de um certo artigo estima que seu lucro, em milhares de reais, seja dado pela 
expressão –5x2 + 35x – 30, onde x representa , em milhares, o número de unidades 
produzidas. Que valores de x permitirão ao fabricante obter um lucro maior do que 
R$ 20 000,00? 
 
 
 
9. As diagonais de um losango têm 12m e 18m, respectivamente. Qual deve ser o aumento 
comum das medidas dessas diagonais para que a área do losango obtido seja dupla do 
primeiro? (A área de um losango é o produto das medidas de suas diagonais) 
10. José tem 18 anos e Maria 10. Daqui a quanto anos será o produto de suas idades igual a 
378? 
11. Um comerciante comprou uma peça de pano por R$ 900,00 sendo o custo de cada metro 
igual ao número de metros. Qual é comprimento da peça? 
5. Dado um segmento de reta 
AB
 de 
comprimento 1, nele existe um ponto P 
de maneira que P divide 
AB
 na 
proporção ao lado. 
 
8. Aumentando 2 unidades um dos lados de 
um quadrado e diminuindo 5 unidades o 
outro, o retângulo obtido tem área igual a 
120m2. Quanto mede o lado do quadrado? 
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45 
 
12. Um automobilista realiza uma viagem de 660km viajando com certa velocidade. Se a sua 
velocidade tivesse sido de mais 5km por hora teria demorado menos uma hora para 
percorrer a mesma distância. Obtenha qual é o tempo de viagem e sua velocidade. 
13. Um prêmio de R$ 1 800,00 deve ser repartido igualmente entre certo número de 
estudantes. No momento da distribuição, em vista da ausência de dois, cada um dos 
presentes recebeu R$ 150,00 a mais. Quantos eram os estudantes que deveriam ter sido 
premiados? 
 
2.8 Respostas dos exercícios suplementares 
1. a) –10; 
2
1
 b) –
2
9
; 1 c) 2; 2 d) – 40; 50 e) – 2; – 1 f) –10; 11 
2. a) 
2
3

 b) 
5
1

 c) 
1
 d) 
4
5
,0 
 e) 0; – 5 f) 
1
 
3. 36m, 27m 4. 9 e 25 5. 
2
15  6. a) x < 
2
1
 
 ou x > 1 b) x 

 0 ou x > 
4
1
 
c) –2 < x< –1 ou 1 < x < 2 d) x < 2 ou x > 8 e) qualquer x real f) –2 < x < 7 
7. 2 000 < x < 5 000 8. 13 m 9. 6m 10. 4 11. 30m 
12. tempo 12 horas e velocidade 55km/h 13. 6 14. 18m e 22m 
 
 
Determine as medidas das bases do trapézio 
que tem área 120m2. 
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46 
 
Capítulo 3 
Função exponencial; função logarítmica 
 
 
Admita que a quantidade de uma determinada substância esteja crescendo 10% ao 
mês. Isso quer dizer que, daqui a um mês, uma quantidade original Q se transformará em um 
valor 1,1Q, daqui a dois meses, num valor (1,1)2Q, daqui a três meses, em (1,1)3Q e, assim, 
sucessivamente. Desse modo, a quantidade acumulada ao final de x meses é descrita pela 
função abaixo, denominada função exponencial: 
 
y = (1,1)x Q 
Suponha, agora, que se quisesse saber em quantos meses se terá o dobro da 
quantidade inicial Q. Para responder esta questão é necessário calcular o número x de meses 
em (1,1)x Q = 2 Q, ou seja, resolver a equação (1,1)x = 2. 
Para se poder resolver esse tipo de equação é preciso lançar mão de um instrumento 
matemático chamado logaritmo. 
Neste capítulo tratar-se-á do estudo da função exponencial e da função logarítmica. 
Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática, como também em outras ciências. As 
funções exponenciais são usadas no estudo do decaimento radioativo, no estudo do 
crescimento de uma população de bactérias, no estudo da competência de uma pessoa ao 
executar uma tarefa, no cálculo dos juros de uma conta bancária, etc. Os logaritmos são 
usados para definir o PH de uma solução, isto é, a concentração de íons de hidrogênio na 
solução, na medida da luminosidade, do som e da energia de um terremoto na escala Richter. 
 
3.1 Função exponencial 
 Antonio resolver criar coelhos e comprou 5 casais. Na primeira gestação cada um dos 
casais gerou outros 5 casais, totalizando 5 . 5 = 52 = 25. Na segunda gestação houve repetição 
do número de filhotes, totalizando: 5 . 5 . 5 = 53 = 125 casais.