Guia Didatico Calculos Financeiros

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UNIVERSIDADE PARANAENSE 
 
MANTENEDORA 
Associação Paranaense de Ensino e Cultura – APEC 
 
REITOR 
Carlos Eduardo Garcia 
Vice-Reitora Executiva 
Neiva Pavan Machado Garcia 
Vice-Reitor Chanceler 
Candido Garcia 
 
 
 
Diretorias Executivas de Gestão 
Administrativa 
Diretorias Executivas de Gestão Acadêmica 
 
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Comunitários 
Cássio Eugênio Garcia 
Diretora Executiva de Gestão da Cultura e da Divulgação 
Institucional 
Cláudia Elaine Garcia Custódio 
Diretora Executiva de Gestão e Auditoria de Bens Materiais 
Permanentes e de Consumo 
Rosilamar de Paula Garcia 
Diretor Executivo de Gestão dos Recursos Financeiros 
Rui de Souza Martins 
Diretora Executiva de Gestão do Planejamento Acadêmico 
Sônia Regina da Costa Oliveira 
Diretor Executivo de Gestão das Relações Trabalhistas 
Jânio Tramontin Paganini 
Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Jurídicos 
Lino Massayuki Ito 
Diretora Executiva de Gestão do Ensino Superior 
Maria Regina Celi de Oliveira 
Diretor Executivo de Gestão da Pesquisa e da Pós-Graduação 
Evellyn Cláudia Wietzikoski 
Diretor Executivo de Gestão da Extensão Universitária 
Adriano Augusto Martins 
Diretor Executivo de Gestão da Dinâmica Universitária 
José de Oliveira Filho 
 
 
 
 
 
Diretorias dos Institutos Superiores das 
Ciências 
 
Diretora do Instituto Superior de Ciências Exatas, 
Agrárias, Tecnológicas e Geociências 
Giani Andréa Linde Colauto 
Diretora do Núcleo dos Institutos Superiores de Ciências 
Humanas, Linguística, Letras e Artes, Ciências Sociais 
Aplicadas e Educação 
Fernanda Garcia Velásquez 
Diretora do Instituto Superior de Ciências Biológicas, 
Médicas e da Saúde 
Irinéia Paulina Baretta 
 
 
 
 
Diretorias das Unidades Universitárias 
 
 
Diretor da Unidade de Umuarama – Sede 
Nílvio Ourives dos Santos 
Diretor da Unidade de Toledo 
Roberto Ferreira Niero 
Diretora da Unidade de Guaíra 
Sandra Regina de Souza Takahashi 
Diretora da Unidade de Paranavaí 
Edwirge Vieira Franco 
Diretor da Unidade de Cianorte 
José Aparecido de Souza 
Diretor da Unidade de Cascavel 
Gelson Luiz Uecker 
Diretor da Unidade de Francisco Beltrão 
Claudemir José de Souza 
 
SEMEAD – SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE EDUCAÇÃO 
A DISTÂNCIA 
Secretário Executivo 
Carlos Eduardo Garcia 
Coordenação Geral de EAD 
Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato 
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores nas Áreas de 
Educação, Linguística, Letras e Artes e Ciências Humanas 
Heiji Tanaka 
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área de 
Ciências Sociais Aplicadas 
Evandro Mendes Aguiar 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão de Normas Bibliográficas 
Inês Gemelli 
 
Diagramação e Capa 
Sandro Luciano Pavan 
 
* Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense – UNIPAR com todos os direitos da edição a ela 
reservados. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
CÁLCULOS FINANCEIROS 
 
Apresentação ....................................................................................................................... 7 
Introdução............................................................................................................................11 
 
UNIDADE I: MATEMÁTICA ELEMENTAR ................................................... 13 
Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 13 
Operações Matemáticas e Ordem de Resolução .................................................. 14 
Operações com Sinais .................................................................................................... 16 
Operações de Soma e Subtração ................................................................................ 18 
Multiplicação de Frações ............................................................................................... 20 
Divisão de Frações ........................................................................................................... 20 
Outra Particularidade de Frações ............................................................................. 21 
Razão e Proporção ........................................................................................................... 21 
Regra de Três Simples e Composta ........................................................................... 25 
Potenciação ......................................................................................................................... 32 
Potência com Expoente Negativo .............................................................................. 35 
Radiciação ............................................................................................................................ 35 
Atividades ............................................................................................................................ 40 
 
UNIDADE II: MATEMÁTICA ELEMENTAR, FLUXO DE CAIXA E 
JUROS SIMPLES ............................................................................................................ 43 
Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 43 
Porcentagem ....................................................................................................................... 47 
Fator de Aumento Sucessivo ....................................................................................... 49 
Fator de Desconto Sucessivo ....................................................................................... 51 
Aumento e Desconto Sucessivo .................................................................................. 51 
Uso da Hp12c ..................................................................................................................... 52 
Iniciando Seu Uso ............................................................................................................. 53 
Tabela de Erros da Hp12c............................................................................................. 54 
 
Cálculos Aritméticos ....................................................................................................... 54 
Armazenamento e Recuperação de Memória Numérica ................................. 55 
Funções de Percentagem .............................................................................................. 56 
Funções Matemáticas ..................................................................................................... 57 
Funções de Calendário ................................................................................................... 59 
Fluxo de Caixa .................................................................................................................... 60 
Diagrama de Fluxo de Caixa ......................................................................................... 61 
Juros Simples ...................................................................................................................... 63 
Capitalização Simples ..................................................................................................... 64 
Equivalência de Taxas de Juros Simples ................................................................. 65 
Cálculo do Montante e Capital .................................................................................... 67 
Calculando Juros Simples na Hp12c ......................................................................... 69 
Desconto Simples .............................................................................................................71 
Desconto Simples para Série de Títulos de Mesmo Valor ............................... 74 
Atividades ............................................................................................................................ 76 
 
UNIDADE III: JUROS COMPOSTOS E O SISTEMA HAMBURGUÊS 
DE CÁLCULO ................................................................................................................... 79 
Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 79 
Cálculo do Montante e Capital dos Juros Compostos ........................................ 81 
Equivalência de Taxas Compostas ............................................................................ 85 
Juros Compostos na Hp12c .......................................................................................... 87 
Equivalência de Taxas Compostas na Hp12c ....................................................... 90 
Programação da Hp12c para Conversão de Taxa de Juros Compostos ..... 90 
Desconto Composto ......................................................................................................... 93 
Sistema Hamburguês de Cálculo ................................................................................ 96 
Atividades ......................................................................................................................... 100 
 
UNIDADE IV: SÉRIES UNIFORMES E SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO .......................................................................................................... 103 
Objetivos da Unidade ................................................................................................... 103 
Fator de Acumulo de Capital (FAC) ....................................................................... 105 
 
Fator de Formação de Capital (FFC) ..................................................................... 109 
Fator de Valor Atual (FVA) ........................................................................................ 111 
Fator de Recuperação de Capital (FRC) ............................................................... 114 
Sistema de Amortização Francês ............................................................................ 117 
Sistema de Amortização Constante (SAC) .......................................................... 127 
Valor Presente Líquido (VPL) .................................................................................. 131 
Taxa Interna de Retorno (TIR) ................................................................................ 135 
Atividades ......................................................................................................................... 139 
Respostas das Atividades ........................................................................................... 141 
Referências ....................................................................................................................... 145 
 
Apresentação 
 
Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporâneo e o surgimento de 
um novo paradigma educacional frente às Tecnologias de Informação e 
Comunicação disponíveis que favorecem a construção do conhecimento, a revolução 
educacional está entre os mais pungentes, levando as universidades a assumirem a 
sua missão como instituição formadora, com competência e comprometimento, 
optando por uma gestão mais aberta e flexível, democratizando o conhecimento 
científico e tecnológico, através da Educação a Distância. 
Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenário 
e buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autônomos, criativos, 
responsáveis, críticos e comprometidos com a formação de uma sociedade mais 
democrática, vem oferecer-lhe o Ensino a Distância, como uma opção dinâmica e 
acessível estimulando o processo de autoaprendizagem. 
Como parte deste processo e dos recursos didático-pedagógicos do programa da 
Educação a Distância oferecida por esta universidade, este Guia Didático tem 
como objetivo oferecer a você, acadêmico(a), meios para que, através do 
autoestudo, possa construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a 
importância dele em sua formação profissional. 
 
Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educação a Distância da UNIPAR. 
 
Carlos Eduardo Garcia 
Reitor 
 
 
Seja bem-vindo caro(a) acadêmico(a), 
Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educação a 
distância, são compostos de atividades de autoestudo, atividades de tutoria e 
atividades presenciais obrigatórias, os quais individualmente e no conjunto são 
planejados e organizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos 
objetivos pedagógicos estabelecidos em seus respectivos projetos. 
As atividades de autoestudo, de caráter individual, compreendem o cumprimento 
das atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de métodos 
e práticas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediação de recursos 
didáticos organizados em diferentes suportes de informação e comunicação. 
As atividades de tutoria, também de caráter individual, compreendem atividades 
de comunicação pessoal entre você e o tutor mediador, que está apto a: 
esclarecer as dúvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar 
informações sobre assuntos concernentes à disciplina; auxiliá-lo na execução das 
atividades propostas no material didático, conforme calendário estabelecido, 
enfim, acompanhá-lo e orientá-lo no que for necessário. 
As atividades presenciais, de âmbito coletivo para toda a turma, destinam-se 
obrigatoriamente à realização das avaliações oficiais e outras atividades, 
conforme dispuser o plano de ensino da disciplina. 
Neste contexto, este Guia Didático foi produzido a partir do esforço coletivo de 
uma equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se 
preocupa com a construção do seu conhecimento, independente da distância 
geográfica que você se encontra. 
O Programa de Educação a Distância adotado pela UNIPAR prioriza a interatividade, 
e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora disponibilizado 
seja construído e apropriado de forma que, progressivamente, novos 
comportamentos, novas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por você. 
 
 
 
A interatividade será vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem 
– AVA, nele serão disponibilizados os materiais de autoestudo e as atividades de 
tutoria que possibilitarão o desenvolvimento de competências necessárias para que 
você se aproprie do conhecimento. 
Recomendo que durante a realização de seu curso, você explore os textos 
sugeridos e as indicações de leituras, resolva às atividades propostas e participe 
dos fóruns de discussão, considerando que estas atividades são fundamentais 
para o sucesso da sua aprendizagem. 
 
Bons estudos! 
e-@braços. 
 
Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato 
Coordenadora Geral da EAD 
 
 
 
 
 
Caro(a) acadêmico(a), 
 
Este Guia Didático é composto de informações e exercícios de análise, 
interpretação e compreensão dos conteúdos programáticos da disciplina de 
Cálculos Financeiros do Curso de Graduação em que você se encontra 
matriculado. 
 
O Guia Didático foi elaborado por um Professor Conteudista, embasado no plano 
de ensino da disciplina, conforme os critérios estabelecidos no Projeto 
Pedagógico do Curso. Abaixo, apresentamos, resumidamente, o currículo do 
Professor Conteudista responsável pela elaboração deste material: 
Disciplina: Cálculos Financeiros 
Autor: Evandro Mendes de Aguiar 
Pós-graduado em Gestão Estratégica deNegócios, pela Universidade Anhanguera-
UNIDERP (2012); graduado em Tecnologia em Gestão Comercial e Rep. 
Comerciais, pela Universidade Paranaense (2007); graduado em Ciência da 
Computação, pela Universidade Paranaense (2000). Coordenador do Núcleo EAD 
de Cursos de Ciências Sociais Aplicadas da Unipar; Professor de Cálculos 
Financeiros na Universidade Paranaense, nos cursos de Administração 
(Bacharelado Presencial), Administração (Bacharelado EAD), Gestão Comercial 
(Presencial), Gestão Comercial (EAD) e Gestão Financeira (EAD); sócio consultor da 
ATTA Consultores Associados Ltda; consultor credenciado SEBRAE-PR em 
Marketing e Vendas. 
Além do professor conteudista, existe uma equipe de professores e tutores 
mediadores devidamente preparados para acompanhá-lo e auxiliá-lo, de forma 
colaborativa, na construção de seu conhecimento. 
Bons momentos de estudos! 
e-@braços. 
 
Evandro Mendes Aguiar 
Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área de 
Ciências Sociais Aplicadas 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Caro aluno, olá, seja bem vindo à disciplina de Cálculos Financeiros. 
O presente material foi criado com o objetivo de conduzir e auxiliá-lo nos estudos 
na área de Cálculos Financeiros, alguns chamam esta disciplina também de 
“matemática financeira”, isso é apenas uma nomenclatura. 
Não se prenda apenas ao estudo deste material, como todo conteúdo de 
matemática, você deve exercitar muito, como fazê-lo? Simples, resolvendo o 
maior número de exercícios que puder, pois, cálculos necessitam de prática. 
Vale lembrar que a ação de resolver exercícios, para muitos, é feita de maneira 
errônea, ou seja, resolvem “copiando” os exercícios. Isso está errado! 
Os exercícios devem sempre ser resolvidos apurando seus conhecimentos, 
portanto, pesquise antes, resolva depois, evite aquela “olhadinha na cola”, é 
imprescindível saber até onde chega seus conhecimentos e habilidades, pois 
desta forma poderá focar melhor nas dificuldades e obter melhores resultados. 
Muitos insistem em dizer que matemática é coisa de outro planeta, mas garanto, 
não é! Seu sucesso depende de sua dedicação em estudar, pesquisar e resolver 
os exercícios. Seguindo essas dicas, você não só aprenderá melhor, como 
também desmistificará todo o suspense e chegará a conclusão que no fundo não 
há segredos, apenas sua dedicação. 
Então venha logo, vamos aprender um pouco sobre o mundo dos números! 
 
 
UNIDADE I: MATEMA TICA ELEMENTAR 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
Caro aluno, esta etapa ajudará você a recordar alguns assuntos da matemática básica 
ou elementar, desta forma iremos relembrar operações já vistas no passado, não crie 
barreiras à matemática, poderá ser mais fácil do que imagina. Tudo gira a favor do 
exercício, muito treino, que o levará a compreender questões e raciocínios lógicos. 
Nessa unidade em especial você verá: 
 Operações matemáticas; 
 A tão famosa razão e proporção, abrangendo regra de três; 
 Potenciação e suas propriedades; 
 Radiciação e suas propriedades; 
 Equações Exponenciais. 
 
Ao término desta Unidade, os estudos, atividades e exercícios o capacitarão a 
resolver questões já estudadas no passado. As operações matemáticas serão 
explanadas apenas para reforço do assunto, o estudo da razão e proporção servem 
para noções de proporção, muito útil não só em cálculos financeiros, mas também 
em outras disciplinas que verá ao longo de seus estudos. 
Já potenciação, radiciação e as equações exponenciais, são úteis para o 
entendimento e resolução de questões de cálculo financeiro que envolvam o estudo 
dos juros compostos. 
DICA! 
Se tiver a oportunidade de adquirir uma calculadora financeira, a 
HP12c®, faça, pois é de grande valia para seus estudos, e quanto 
mais cedo aprender a trabalhar com sua metodologia, melhor será a 
absorção da lógica de trabalho, caso não possa ou não tenha o 
interesse em comprá-la, você pode usar os chamados emuladores, 
disponíveis para smartphones e computadores. 
 
 
 
 
 
 
Mas devo avisar, não são todos 100%, por isso, use apenas os indicados no 
material, são muitos os oferecidos sem qualquer custo. Porém, não há confiabilidade 
nos resultados, e na dúvida, pergunte! Você poderá encontrar um emulador on-line 
para computador no endereço: http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php. 
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS E ORDEM DE RESOLUÇÃO 
Lembrar das operações matemáticas é realmente muito simples, relembrando 
aquelas pequenas contas que fazíamos na escola, lembrou-se? São elas: 
 Soma; 
 Subtração; 
 Divisão; e 
 Multiplicação. 
 
Com essas quatro operações, podemos criar as expressões numéricas, ou até 
mesmo simples operações combinando-as. Desta forma eu pergunto, qual é o 
resultado de: 2 + 2 × 3? Pense antes de olhar qualquer resposta. 
A experiência de sala de aula que tenho me diz que muitos irão responder 12, uns 
poucos, acredito, que se estivéssemos numa sala, diria 8. Então pergunto: é 12 ou 
8? Consegue justificar sua resposta? 
O que muitos acabam se esquecendo e cometendo o erro de responder 12, está no 
fato que não colocaram em prática o conceito de ordem das operações, isso mesmo 
“ordem das operações”, as pessoas sempre se esquecem disso, e se você se 
esqueceu tudo bem, venha, vou te ajudar a resgatar essas regras. 
Bom, se respondeu 8, começou bem, parabéns, então vamos justificar a resposta: as 
operações demandam uma ordem para serem resolvidas, nesse caso, a expressão 
proposta é composta com duas operações diferentes, a soma e a multiplicação. Na 
matemática aprendemos que as expressões numéricas devem ser resolvidas da 
esquerda para a direita. 
 
 
Porém, no exemplo, a multiplicação tem prioridade sobre a soma, logo devemos 
primeiro multiplicar para depois somar. Mas por que? Simples, digamos que a 
multiplicação e a divisão possui prioridade 1, a soma e a subtração por sua vez, 
possui prioridade 2. Desta forma, você obrigatoriamente resolver multiplicação e 
depois a soma. 
Então se pergunta: por que estou vendo algo tão simples, acredite, muitos erram isso! 
Ótimo e se tivermos as operações concorrentes iguais numa expressão numérica? 
Por exemplo: 4 ÷ 2 × 3. Essas possuem a mesma prioridade, tente visualizar uma 
escada, a soma e a subtração estão no mesmo degrau, já a multiplicação e divisão 
num mesmo, mas acima. Já que ambas estão no mesmo degrau de escada nesse 
novo exemplo, deve-se resolver com o método de leitura e solução da esquerda 
para direita, obtendo assim como resposta: 6. 
É comum, encontrarmos nas expressões numéricas o uso de parênteses “( )”, 
colchetes “[ ]” e chaves “{ }”, a finalidade desses sinais é organizar as expressões 
numéricas, e são usados para dar prioridade ou preferência para alguma operação. 
Quando encontrados esses símbolos, a ordem de solução é 1º: parênteses, 2º: o 
colchete e em 3º e último lugar, as chaves. Podendo também ocorrer o 
aparecimento apenas dos parênteses, desta forma, você deve observar o 
parênteses mais interno, e então, resolver a expressão de “dentro para fora”. Quanto 
mais interno for o parênteses, maior será sua prioridade para solução. 
Desta forma, se aplicarmos o uso do parênteses no nosso primeiro exemplo, o 2 + 2 
× 3, acrescentando o parênteses para a soma, ficando então (2 + 2) × 3, agora sim 
poderá responder que o resultado é 12, resolvendo o que há dentro do parênteses 
para em seguida multiplicar. 
DICA! 
Para agilizar a resolução de expressões, procure sempre eliminar 
o que há dentro dos parênteses, depois de resolver essa etapa 
que você irá se preocupar com o que está fora. 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM SINAIS 
As operações com sinais, podemos dizer que são aquelasque os números possuem 
a indicação de números positivos (+), este que normalmente não apresenta o sinal, e 
os números negativos (-), representados com o sinal de menos antecedendo o 
algarismo. 
Ao realizar a solução de problemas matemáticos envolvendo sinais de conotação 
positiva ou negativa, você deverá prestar muita atenção com o chamado “jogo de 
sinais”, você lembra? Não se preocupe, vou recapitular a seguir. 
Para os casos de operações de soma ou subtração você utilizará a seguinte regra: 
 (+) (+) = você irá somar (+); 
 (+) (-) = você irá subtrair (-); 
 (-) (+) = você irá subtrair (-); e 
 (-) (-) = você irá somar (+), mas o resultado é negativo! 
 
Para não esquecer mais esse jogo de sinais, vou dar um exemplo bastante 
corriqueiro nos dias atuais, veja, suponhamos que você tenha uma conta bancária 
com R$ 1.000,00 de saldo positivo, também chamado de saldo credor, se você 
depositar R$ 200,00, como ficará seu saldo no banco? Muito simples como temos 
dois valores positivos, seu saldo será de R$ 1.200,00. 
Agora, para exemplificar com operações com sinais negativos, imagina esse mesma 
conta corrente bancária com o saldo de R$ 1.000,00 positivos, saldo credor, você 
então realiza um saque no caixa da agência bancária no valor de R$ 800,00, veja 
bem, você está sacando dinheiro, portanto é uma operação que irá subtrair, desta 
forma R$ 1.000,00 – R$ 800,00 = R$ 200,00. 
Legal, mas imagine agora, realizando um segundo saque, no valor de R$ 300,00, 
como ficará seu saldo bancário? Claro, devedor, isso mesmo, você está com saldo 
negativo de R$ 100,00, que pode ser representado da seguinte forma: R$ –100,00. 
Mas vou mais longe agora, caso você efetue um terceiro saque no valor de R$ 
400,00, se representarmos matematicamente essa operação temos: –100,00 –
 
 
400,00, isso significa que (–) com (–), somamos! Então o saldo final será de R$ –
500,00. Viu como o saldo devedor aumentou, perfeito, foi somado o saldo devedor 
anterior ao novo saque realizado. 
Bom, espero ter deixado claro essas operações, se persistirem as dúvidas, fale com 
o tutor, não deixe dúvidas para adiante, dúvidas são como bolas de neve no alto da 
montanha, se não a resolvermos no início, à medida que desce, aumenta de 
tamanho se tornando mais difícil de ser solucionado! 
Ótimo, você relembrou as operações com sinais para soma e subtração, mas 
também temos para a multiplicação e divisão, não é diferente, mas vale rever os 
procedimentos: 
 (+) × (+) = + 
 (+) × (–) = – 
 (–) × (+) = – 
 (–) × (–) = + 
 
Não esqueça que na divisão serão os mesmos resultados, quando realizar uma 
divisão entre números com sinais diferentes, enxergue a divisão de sinais como se 
fosse uma multiplicação. 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
O próximo passo é uma ênfase nas frações, lembra-se delas? 
Miranda (s.d.) explica a fração como sendo “a representação da parte de um todo”, 
são os números fracionários que conhecemos, uma maneira simples de 
compreender a fração é usar o exemplo da pizza ou um bolo se preferir, ao 
cortarmos a exatamente no meio, pode-se assim dizer que cada parte corresponde a 
½, cortando em quatro partes, cada parte desta é então chamada de ¼. 
 
 
 
 
De modo simples, posso dizer que uma fração, de modo genérico, pode ser 
representada como 
 
 
, onde é o nosso numerador e corresponde ao 
denominador. 
IMPORTANTE! 
Não esqueça que numa fração, temos uma divisão, e não existe 
divisão por 0 (zero), logo em nossa fração 
 
 
, deve ser ≠ 
(diferente) de 0 (zero). 
Operações de soma e subtração 
Para as operações de soma ou subtração utilizando frações você sempre deverá 
usar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), isto mesmo o velho MMC, caso não se 
recorde, não se preocupe, irei recapitular esse assunto. Para tal, vamos a um 
exemplo prático, vamos fazer a seguinte operação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para iniciarmos o processo de resolução, nosso 1º passo é o MMC com todos os 
denominadores das frações, logo temos: 
2, 3, 3, 4 
1, 3, 3, 2 
1, 3, 3, 1 
1, 1, 1, 1 
2 
2 
3 
= 2 × 2 × 3 
= 12 
 
Veja que sempre usará o menor divisor primeiro, no nosso caso, o menor divisor 
comum para o MMC foi o 2, desta forma dividimos apenas aqueles que são múltiplos 
de 2, na linha seguinte perceba que foi necessário a utilização do 2, afim de 
transformarmos todos os múltiplos de 2 por meio de divisão até que o resultado seja 
“1”, na etapa seguinte utilizamos o 3, esse que é o próximo “menor” divisor para 
múltiplos de 3, restando apenas como resposta no lado esquerdo o “1, 1, 1, 1”, para 
 
 
 
finalizar multiplicamos a sequência de múltiplos utilizados (lado direto), portanto 2 × 
2 × 3 = 12, conclui-se que o MMC é 12, agora vamos ao nosso próximo passo: 
 
 
 
 
Você deve estar se perguntando como fiz isso, vou explicar, o 12 que acabamos de 
encontrar no MMC deve ser “dividido” pelos denominadores das frações da expressão, 
ou seja, temos: 12 ÷ 2, 12 ÷ 3, 12 ÷ 4 e 12 ÷ 3 novamente, os resultados dessa divisão 
deve então ser multiplicado pelo numerador da fração, respectivamente temos: 6 × 1, 4 
× 1, 3 × 1 e 4 × 2. Como resposta obtém-se: 6, 1, 3 e 8. 
O que deve ser observado agora é a utilização dos sinais originais da expressão, 
são eles o (+) e o (–). 
No último passo resolva a expressão localizada apenas no numerador: 
 
 
 
 
Lemos então “5 sobre 12 avos”! 
 
IMPORTANTE! 
Os denominadores sempre maiores que 10 utiliza-se a palavra 
“avos” no final, mas isso é apenas para a leitura. 
 
 
 
POR QUE SE USA A TERMINAÇÃO "AVOS" NAS FRAÇÕES? 
Utiliza-se "avos" quando o denominador de uma fração é maior do que 
dez - como 1/12 (que se lê "um doze avos"). O termo tem origem em 
octavus (em latim, "oitavo"), que passou a ser escrito oit'avos (aí sim para 
representar uma fração). Desde então, a terminação "avos" passou a ter o uso atual. Essa 
variação entre palavras, com perda de letras e eventual mudança de sentido, é chamada de 
 
 
 
 
 
 
falsa segmentação - como ocorreu entre descendere (em latim, que significava descer) para 
scendere (em italiano, com o mesmo significado). 
Fonte: Revista Nova Escola (2012) 
 
Multiplicação de frações 
O caso de temos multiplicações entre frações para ser solucionado, é bem mais 
simples, para isso basta realizarmos a simples multiplicação “direta”, veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso mesmo, realizei a multiplicação direta, 1 × 7 e 5 × 3, por sua vez totalizando 7 
sobre 15 avos. 
Divisão de frações 
Na divisão de frações, existem métodos diferentes usados pelas pessoas, 
particularmente eu utilizo o seguinte: conservo o primeiro e inverto o segundo 
transformando numa multiplicação. Vejamos como isso acontece: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que temos então dois terços divididos por três quintos, a primeira fração foi 
conservada, invertendo a segunda fração, os três quintos viraram cinco terços, desta 
forma, sendo então realizada a simples multiplicação, resultado por sua vez em dez 
sextos, o que fiz na sequência foi o que chamamos de simplificação de frações, mas 
o que é isso? É simples aluno, observe que tanto o 10 quanto o 6 são múltiplos de 2, 
logo simplifiquei dividindo por 2, por isso a resposta final é cinco terços, mas é 
apenas uma mera coincidência com os cinco terços na expressão. 
 
 
A divisão de fração também por ser representada como: 
 
 
 
 
 
 
 
Isso não muda nada, é apenas uma forma de representação, continuamos com a 
mesma divisão e o mesmo método de resolver.Outra particularidade de frações 
Agora que você já reviu as operações com frações, quero abrir aqui um parênteses 
sobre uma particularidade das frações, na verdade apenas relembrar uma situação 
que poderá ocorrer, e qual seria essa? Vamos para o exemplo: 
 
 
 
 
 
O 2 é um número inteiro, não está representado no formato de fração, porém para 
esses casos, e isso é uma regra importante, você irá considerar o denominador para 
o 2 sendo 1, logo aplicando essa regra terá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão, sempre que encontrar números inteiros em operações com frações, 
considere 1 no denominador. 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão 
Podemos dizer que a razão é uma forma de comparar duas grandezas, mas para 
isso as duas devem estar na mesma unidade de medida, sempre uso um exemplo 
 
 
 
 
onde acredito que não irá se esquecer: como é possível somarmos 2 kg de carne 
com 10 km? Consegue resolver isso? Obviamente que não, é uma operação 
impossível por se tratar de unidades de medida diferentes uma da outra, só 
podemos somar peso com peso e distância com distância, e não peso com 
distância, espero que tenha ficado claro o exemplo. 
A razão entre dois números, representados por e , é obtida pela divisão de por 
 , temos então : , ou simplesmente 
 
 
, logo a razão de 12 : 4 é 3. 
Numa razão, seguindo a representação utilizada de e , temos que chama-se 
antecedente e de consequente. 
Proporção 
A proporção nada mais é do que uma igualdade de razões, mas não é simplesmente 
igualar duas razões e já consideramos isso como uma proporção. Para ser 
considerada uma proporção, essa igualdade de razões deve atender um quesito, 
chamado de propriedade fundamental da proporção, tal propriedade diz que o 
produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos, se isso for verdade, 
então temos uma proporção. Observe a prática: 
 
5 : 8 = 10 : 16 
 
 Meios 
Extremos 
 
Qual multiplicamos os meios, 8 × 10, e multiplicamos os extremos, 5 × 16, obtemos 
o mesmo resultado, ou seja, 80. Havendo igualdade entre os produtos temos uma 
proporção. 
Na proporção existem cinco propriedades, porém você irá apenas rever duas 
propriedades, a propriedade da soma e a da diferença, para o seu estudo nesta 
disciplina se faz necessário apenas essas descritas. 
 
 
 
1ª Propriedade: soma 
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
Fonte: Só Matemática (s.d.). 
 
Podemos representar essa propriedade por intermédio da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos para um exemplo prático, como aplicar a propriedade da soma em 
proporções. 
Exemplo 1: Determine e na proporção 
 
 
 
 
 
, sabendo que + = 84. 
Aplicando a propriedade, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ótimo, agora que conhecemos o valor de , basta então substituir na equação 
conhecida de + = 84, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Propriedade: diferença 
 
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) 
termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
Fonte: Só Matemática (s.d.). 
 
Podemos representar essa propriedade por intermédio da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não há praticamente diferenças quanto ao modo de resolver a propriedade da 
“diferença”, o método é igual, fica apenas a operação sendo uma subtração, mesmo 
assim vou exemplificar. 
Exemplo 1: Sabendo-se que – = 18, determine e na proporção 
 
 
 
 
 
. 
Partindo do mesmo raciocínio, pode-se solucionar da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando conhecimento do valor de , será possível realizar a substituição do valor 
na equação conhecida de – = 18, desta forma têm-se: 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
Agora que já reviu os conceitos básicos de razão e proporção, iremos aprofundar um 
pouco mais nesse assunto, o objetivo agora é relembrar ou até mesmo reforçar os 
conceitos inseridos quando estudou regra de três simples e composta. 
Apesar de cálculos extremamente simples, a regra de três se mostra muito útil no dia 
a dia, pois seus conceitos podem ser utilizado para cálculos de proporção na 
distribuição de determinada porção, encontrar o que chamamos de “equivalente”. 
Minha primeira abordagem será sobre a regra de três simples. 
Regra de três simples 
Bom, para iniciarmos, vale lembrar que o estudo das proporções está sobre a 
relação entre grandezas, ou seja, para um melhor entendimento quero lembrar-lhe 
do exemplo que usei no início do conteúdo de “Razão”, como pode ser possível 
operar a soma de uma distância a um peso. Como vimos isso não é possível! 
Logo, você deve entender que sempre deverá trabalhar com unidades de grandezas 
iguais, se trabalhar com distância, usará unidades de medida de distância de mesma 
proporção, se for de peso ou massa, fará a mesma coisa. 
IMPORTANTE! 
Nunca use grandezas diferentes, chamadas incompatíveis, isso 
irá prejudicar seus cálculos e comprometer totalmente o resultado, 
procure sempre criar uma relação entre as proporções para saber 
se é possível opera-las. 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA 
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são 
muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, podendo ser 
observados em tempos muito distantes. Vários problemas envolvendo 
manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três 
 
 
 
 
 
 
podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 
anos. Mais recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo 
Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três. 
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. 
Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, 
pois soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo. 
Fonte: Sá (s.d.). 
 
Quando se trabalha com regra de três, na verdade estamos igualando duas, nos 
casos de regra de três simples, ou mais razões, para os casos de regra de três 
composta. Essa igualdade pode ser considerada diretamente proporcional ou 
inversamente proporcional, mas como identificar sua característica? 
Identificar se é inversamente ou diretamente proporcional é uma tarefa fácil, 
demandando apenas de atenção e um pouco de raciocínio lógico. De início entenda 
que uma grandeza diretamente proporcional é aquela que quando “aumentamos um 
lado” o outro aumenta também, seguindo uma proporção. 
Já uma grandeza inversamente proporcional é aquela que quando “aumentamos um 
lado” o outro tende a reduzir proporcionalmente, ou seja sempre que a razão “base” 
é alterada para mais, a outra razão da igualdade reduz. 
Não se preocupe, são conceitos que exercitando a prática irá conseguir sem 
problemas assimilar o assunto. 
Para um melhor entendimento da regra de três simples, vamos exemplificar com um 
problema. 
Exemplo 1: Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois 
pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo? 
Solução: veja que o exercício é bem simples e lógico, mas iremos começar porpráticas simples para uma boa assimilação do conteúdo, o primeiro passo é montar 
as razões e a igualdade das mesmas, lembrando que é muito importante você 
 
 
identificar as colunas que representam as razões de modo a localizar o alvo no 
exercício. 
 Pedreiros Dias 
 4 90 
 2 x 
 
Segundo passo: na coluna onde se posiciona o da equação, você deverá colocar 
uma seta apontando para baixo, essa seta será nosso ponto de apoio nas 
comparações de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Desta forma 
ficamos com: 
 
Pedreiros Dias 
4 90 
2 x 
 
No terceiro passo: você fará a comparação da outra coluna com a coluna de , isso 
vale tanto para a regra de três simples quanto para a composta, aqui a metodologia 
é igual, simplesmente teremos mais colunas que deverão ser comparadas com a 
coluna de . Mas como como comparar a coluna? 
A resposta é fácil, você deverá fazer a seguinte pergunta, e nesse momento 
esqueça a linha do 2 e do , pois se ficar olhando para elas será induzido ao erro, a 
pergunta é: se aumentarmos o número de dias, o que vai acontecer com o número 
de pedreiros? Há de concordar comigo que o número de pedreiros irá reduzir, mas 
como assim? Simples, veja que quando aumentamos o prazo de dias da obra, 
poderei então empregar menos pessoas para trabalhar, pois não necessitaremos de 
tantos trabalhando para a conclusão. 
Entendeu a questão? Bom, com essa resposta nota-se que sempre que 
aumentamos o número de dias, e a pergunta sempre será caso aumentarmos a 
coluna de , recomendo que não faça diferente, então aumentando os dias tenho 
menos pedreiros, podemos dizer que é inversamente proporcional, isso mesmo, 
sempre que aumentamos um lado o outro reduz, característica das grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
Deste modo, recomendo que assinale com uma seta apontando para cima, por ser 
inversa. Temos: 
 Pedreiros Dias 
4 90 
2 x 
 
Excelente, essas setas, são nossas referencias para apuração da proporção, já que 
temos uma grandeza inversa, devemos tomar um cuidado com a montagem da 
proporção, vamos ao nosso próximo passo. 
Quarto passo: 
 
 
 
 
 
 
As setas nos auxiliam na leitura, ditando o sentido que devemos ler a razão. 
Agora basta multiplicar cruzado para realização do cálculo e pronto, encontra-se o 
valor de . Vamos aos cálculos: 
 
 
 
 
 
 
Percebeu como é simples? Não há segredos, basta observar o sentido de leitura das 
setas para que saia a correta leitura da razão na grandeza, e lembre-se não tem 
qualquer relação do sentido da seta com os números que estão na coluna, muitos 
cometem o erro de achar que por estar aumentando de 2 para 4 na coluna de 
pedreiros, acabam acreditando que a seta indica o aumento da coluna, não há 
qualquer relação, no entanto você lembra que solicitei que não olhasse a linha do 2 
e do ? Fez sentido a você? Espero ter ficado claro. 
Faço agora um segundo exemplo onde você verá uma grandeza diretamente 
proporcional, e já vou avisando, não muda muita coisa, apenas o sentido da leitura, 
no demais, permanecemos com a mesma metodologia. 
 
 
Exemplo 2: Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma 
(Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito 
para fazer 18 pães? 
Nosso primeiro passo é montar as colunas posicionando o onde desejamos 
conhecer a resposta, temos: 
 Quilos Pães 
 1 12 
 x 18 
 
Simples não? Agora posicione a seta na coluna de . 
 Kg Farinha Pães 
 1 12 
x 18 
 
A pergunta “mágica”: se aumentamos a farinha, o que acontece com o número de 
pães? Se sua resposta é: teremos mais pães, está correto! Portanto, a seta da coluna 
de pães apontará para baixo, então poderá surgir uma dúvida: mas se está 
aumentando o número de pães por que devo colocar a seta apontando para baixo? 
Fácil, a seta não diz se estão aumentando ou não a coluna de pães, está dizendo que 
sempre que aumentamos os quilos de farinha, teremos mais pães, uma relação 
aumenta-aumenta, ou seja, temos uma grandeza diretamente proporcional, 
posicionando a seta: 
 Kg Farinha Pães 
1 12 
x 18 
 
Vamos aos cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notou que em termos de cálculos não há diferenças, o cuidado a ser tomado é apenas 
no momento da construção da proporção, representada pela igualdade de razões. 
 
 
 
 
IMPORTANTE! 
Alguns autores usam as setas para referência do tipo de 
proporção, inversamente ou diretamente proporcionais, de maneira 
invertida, ou seja, a abordagem usada no material aponta o uso da 
seta inicial de referência (coluna de ) com seta apontada para baixo, fica a ressalta 
que alguns autores a utilizam incialmente para cima, mas apenas esse detalhe, a forma 
metodológica de descobrir o tipo da proporção é exatamente a mesma. 
Regra de três composta 
Chamamos de regra de três composta quando estivermos trabalhando com três ou 
mais grandezas, também podendo essas serem diretamente ou inversamente 
proporcionais, não necessariamente apenas um tipo no problema, podendo este 
apresentar as duas situações na mesma problemática. 
No que diz respeito à resolução, se faz como na regra de três simples, tendo apenas 
mais colunas a serem comparadas à coluna base (coluna de localização do ). 
Para deixar claro essa questão, vamos usar um exemplo. 
Exemplo 1: Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas 
mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas? 
Solução: No primeiro momento, iremos montar a estrutura das razões assim como 
construído na regra de três simples, a diferença aqui será uma coluna a mais. 
 
Qtde. de homens Dias Número de máquinas 
 8 12 16 
15 x 50 
 
Ótimo, agora no segundo passo, posicionar a seta para comparação das colunas, e 
esta será feita uma a uma com a coluna de “Dias”, pois na mesma encontra-se a nossa 
incógnita. 
 
Qtde. de homens Dias Número de máquinas 
 8 12 16 
15 x 50 
 
 
 
Lembre-se a pergunta será sempre do tipo, se aumentarmos o valor da coluna da 
incógnita, o que acontece com a coluna comparada? Essa é a chave de todo o 
exercício. Logo, aumentando os dias de montagem, o que acontece com a quantidade 
de homem necessários para o trabalho? Irá diminuir, pois entende-se que a existência 
de um prazo maior demandará de menos pessoas para concluir o trabalho. 
 
Qtde. de homens Dias Número de máquinas 
 8 12 16 
15 x 50 
 
A próxima pergunta, e sempre tratando as colunas separadas, é: se aumentarmos o 
números de dias, o que acontece com o número de máquinas montadas, aumentará 
ou montaremos menos máquinas? Se pensou em mais máquinas está correto, pois 
se aumentarmos o tempo de montagem, consequentemente aumentaremos o 
resultado, no caso aqui, o número de máquinas montadas. Logo: 
 
Qtde. de homens Dias Número de máquinas 
8 12 16 
15 x 50 
 
Tem-se então duas grandezas, as setas indicarão o sentido da leitura das razões, 
mas aqui você encontrará uma diferença em relação à regra de três simples, está no 
fato de termos uma igualde onde o lado da incógnita continua com uma razão 
apenas, já o outro lado teremos duas razões, e poderá ocorrer, dependendo do 
exercício, mais razões. E como proceder? 
Muito simples, faremos uma multiplicação por entra as razões, desta forma o 
exercício montado será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a multiplicação de frações é direta, basta então multiplicar e apurar apenas 
uma simples razão na igualdade, desta forma, poderá prosseguir com a resolução.Portanto, serão necessários 20 dias para conseguir o objetivo de montagens das 
máquinas. 
Potenciação 
De um modo geral, Iezzi et al. (1985) caracteriza uma potência como sendo um 
número real e sendo um número do conjunto dos números naturais, formamos 
 (lê-se: elevado a ), onde é a base e o expoente. 
Quando temos um número ou incógnita elevado a 2, dizemos que está elevado ao 
quadrado, quando encontrarmos um expoente 3, devemos ler elevado ao cubo. No 
demais as leituras se fazem de maneira comum, por exemplo: , dizemos 2 elevado 
à quarta potência ou simplesmente 2 elevado a 4. 
Mas o que realmente é uma potência, como resolver? Bem, vou ajuda-lo a lembrar 
esse conceito. Seguindo o exemplo dado acima, , podemos dizer que: 
 
Nada mais é que a base multiplicada por ela mesma o número de vezes ditado pelo 
expoente. Então temos que é igual a 16. 
A potenciação também tem suas propriedades, importante entendermos essas 
propriedades, pois nos serão muito úteis nos próximos assuntos. Existem também os 
chamados “macetes” para agilizar cálculos com potenciação, veremos ambos os casos. 
IMPORTANTE! 
Todo número elevado a 0 (zero) será igual a 1 (um), exemplo: = 1. 
Todo número elevado a 1 (um) será ele mesmo, exemplo: = 7. 
 
 
 
 
 
Vejamos agora alguns exemplos: 
1º) 
2º) 
3º) 
4º) 
5º) ( ) 
6º) ( ) 
7º) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Você deve estar se perguntado: por que no exemplo 4 e 5 os números negativos 
resultaram numa resposta negativa, sendo que o exemplo 6 resultou um número 
positivo? 
Essa pergunta é fácil de ser respondida, no caso do 4º exemplo, não há parênteses, 
logo a base submetida ao expoente será apenas o numeral. Mas no 5º exemplo, e 
agora vem aquele “macete” que havia citado acima, sempre que houver o 
parênteses e o sinal estiver contido no parênteses, este por sua vez também será 
submetido ao expoente, mas como nosso expoente é ímpar a resposta, nesse caso, 
sempre será negativa. 
No caso do 6º exemplo, existe o parênteses, então já é sabido que o sinal também 
deverá ser elevado ao expoente, e neste exemplo o nosso expoente é par, portanto 
a resposta sempre será positiva. 
Independentemente de qual seja a base, sendo o sinal negativo e contido no 
parênteses, observe se o expoente é par ou ímpar, se for par a resposta será 
positiva, sendo ímpar, o resultado sempre será negativo. 
Em nosso 7º exemplo, toda a fração deverá ser elevada ao expoente, e a regra do 
sinal negativo com expoente par ou ímpar também está valendo quando a fração 
contida no parêntese for negativa. 
 
 
 
 
 
1ª Propriedade 
 
Quando existir uma multiplicação de bases idênticas, conservamos a base e 
somamos os expoentes. 
 
2ª Propriedade 
 
 
 
Caso exista uma divisão de bases idênticas, conserve a base e subtraia os 
expoentes. 
 
3ª Propriedade 
( ) 
Numa multiplicação de bases diferentes, contidas num parênteses, é equivalente ao 
expoente ser aplicado a cada um dos fatores. Cada elemento dentro do parênteses 
deve ser elevado ao expoente. 
 
4ª Propriedade 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
Quando uma fração contida no parênteses for elevada a um expoente, toda a fração 
deve ser considerada. Tanto o numerado quando o denominador serão elevados. 
 
5ª Propriedade 
( ) 
Chamamos essa propriedade de “potência da potência”, neste caso a solução é 
simples, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
 
 
Agora veja alguns exemplos para melhor fixação das propriedades: 
 
1º) 
2º) (
 
 
) 
3º) ( ) 
4º) (
 
 
)
 
 
 
 
 
5º) ( ) 
Potência com expoente negativo 
Podemos nos deparar com o chamado expoente negativo, sendo um número real 
e não nulo, ou seja, diferente de zero. 
 
 
 
 
A solução, como pode acompanhar é muito prática, sempre que ocorrer a existência 
de um expoente negativo, invertemos a fração, então surge a pergunta: mas não há 
fração para ? Existe sim, o fato é que para números inteiros, é considerado uma 
fração de sempre estar “sobre 1”. 
Para os casos de existir de fato uma fração, simplesmente faça a inversão, mas 
atenção, essa inversão não altera o sinal da base, apenas do expoente. 
Vejamos exemplos: 
1º) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
2º) 
 
 
 
Radiciação 
Radiciação nada mais é que o estudo das raízes, não pode ser dito apenas raiz 
quadrada até porque existem raízes de índices diferentes. 
 
 
 
 
Iezzi et al. (1985), considera que para ser uma raiz válida, sendo o radicando, 
deve ser . Então chamamos de radicando e o índice, e esse deve ser 
 , temos √ 
 
. 
Exemplos: 
1º) √ 
 
 
2º) √ 
 
 
3º) √ 
A verdade é que uma raiz é o contrário da potência, então se analisarmos o 1º 
exemplo, você notará que √ 
 
 é igual a 2 porque . 
Números que são múltiplos são fáceis de calcular a raiz sem o uso de uma calculadora, 
o problema estão nos números que não possuem raiz exata, nesses casos, recomendo 
o uso de uma calculadora, seria até possível calcular manualmente, mas dado o 
trabalho e também não é nosso objetivo aqui, não abordaremos esse assunto, vou 
demonstrar apenas a metodologia para raízes exatas. 
Desta forma, aproveitando o 1º exemplo, como sei que 32 é ? Podemos fazer uma 
espécie de “decomposição” do número, quase um M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum), 
mas apenas para decompor, não iremos apurar o M.M.C. 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
1 
 
Para uma melhor compreensão disso, é necessário o estudo das propriedades das 
raízes, então, mãos à obra! 
Propriedade das raízes: 
1ª) √ 
 
 
 
 
2ª) √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
3ª) √
 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
 
4ª) (√ 
 
)
 
 √ 
 
 
5ª) √√ 
 
 √ 
 
 
 
Vamos usar a 1ª propriedade para resolver nossa √ 
 
, já é sabido que 32 = , 
então substituindo na raiz o 32 temos: 
√ 
 
 
 
 
Como 1 não chega a ser uma potência, a resposta é simplesmente 2, está aí o 
motivo da √ 
 
 ser apenas 2, e isso vale para o cálculo de todas as raízes exatas, 
mas como saber se a raiz será ou não exata? Por tentativa e erro, como o tempo 
você acaba decorando algumas raízes não exatas. Veja mais um exemplo, quando é 
√ ? Fácil, você já irá responder que é 4, mas por que 4? Demonstrando: 
decompondo 16, temos , logo: 
√ 
 
 
IMPORTANTE! 
Toda raiz que não apresentar o índice, o mesmo é considerado 2 
(quadrado), sendo chamada raiz quadrada. 
 
Agora veja outro exemplo interessante, calcule a √ , sabendo que a √ é 
aproximadamente 1,7321. 
Solução: decompondo 27 temos , como é: ou simplesmente , 
perceba que realizei uma decomposição do 27, e posicionei a decomposição de 
forma a ao menos ter um radicando com expoente igual e/ou divisível pelo índice da 
raiz. Mas por que desse operação? Vou te ajudar: 
√ √ √ √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
Então você me pergunta, o que é isso? 
Vamos por partes, primeiro disse que decompus o número 27 de maneira a ter 
radicando elevado a um expoente divisível pelo índice da raiz, então, sempre que o 
expoente do radicando for igual ao índice da raiz, ambos são anulados, e se o valor 
da raiz quadrada de 3 é conhecido basta multiplicar. 
DICA! 
Quer tirar a prova? Simples, digite exatamente no Google®: raiz 
quadrada de 27, então pressione a tecla “ENTER” ou clique em 
pesquisar.Aparecerá a resposta 5.19615242271, arredondando 
para 4 casas temos 5,1962. Gostou? Saiba que o Google® realiza 
muito mais cálculos, inclusive até mesmo gráficos! 
Equações exponenciais 
Iezzi (1985, p. 34-B) define “equações exponenciais são equações com incógnitas 
no expoente”. Quer dizer, iremos trabalhar com uma literal no lugar da potência, e o 
mais comum é o uso de . 
As equações exponenciais combinam uma série de conhecimentos matemáticos, 
como potenciação principalmente, radiciação e muita equação com incógnita para 
ser resolvida. Não se assuste, apesar de possuírem uma “cara feia”, não merecem 
tanto medo desta forma. 
Para resolver uma equação exponencial trabalhamos com o conceito de base 
comum, ou seja, simplificamos ao máximo usando algumas propriedades já 
estudadas para igualarmos as bases, para finalmente “cortar” as bases e resolver a 
equação construída nos expoentes. 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
Não tem segredo, fiz apenas a decomposição do 64, transformando em conforme 
já estudamos, então simplesmente cortamos a base (2), que por sua vez estão 
idênticas e trabalhamos finalmente com os expoentes. 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
Nesse momento paramos e notamos que as bases são diferentes, claro, mas o 32 
não se transforma em 8, pois a menor das potências seria que já daria 64, nem 
perto chegamos. Mas, percebeu que são múltiplos de 2? Isso mesmo, vamos 
transformar tudo isso em 2! 
( ) ( ) 
Usei para separar os novos expoentes originados da decomposição do 8 e do 32, 
quero que essa separação seja nítida de modo a você entender o processo. 
Prosseguimos utilizando a propriedade da potência da potência, conservo a base e 
multiplico os expoentes: 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
Parece um “monstro”, mas vai ver que é apenas um “gatinho”. 
 
 
 
 
Como sei que 0,04 é 
 
 
, simples, após a vírgula existem 2 casas, então basta juntar 
1 com dois zeros pelas duas casas existentes, temos 100. 
 (
 
 
)
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usei pura e simplesmente as propriedades que vimos, nada a mais, com exceção da 
dica do 0,04. 
Vamos para um último exemplo: 
Exemplo 4: 
(√ 
 
)
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
Num primeiro momento usei a propriedade da raiz, fiz a decomposição do 8, eliminei 
as bases, e o 3 que estava dividindo o passou para o outro lado multiplicando. 
 
 
ATIVIDADES 
1) Utilizando o conceito de multiplicação cruzada da proporção, encontre o valor de 
 nas proporções: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule x e y na proporção 
 
 
 
 
 
, sabendo que x + y = 35. 
3) Calcule x e y na proporção 
 
 
 
 
 
, sabendo que x – y = 25. 
4) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de 
trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? 
5) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em 
uma hora e meia? 
 
 
 
6) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros 
de gasolina gastará para percorrer 120 km? 
7) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma 
que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto 
ampliada? 
8) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 
dias? 
9) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por 
dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 
4 horas por dia? 
10) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 
dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas? 
11) O valor de ( ) ( ) é? 
12) Calcule o valor da expressão: (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
13) Efetue: 
a) (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
b) 
(
 
 
)
 
(
 
 
)
 
14) Calcule a raiz indicada: 
a) √ 
b) √ 
c) √
 
 
 
d) √
 
 
 
e) √ 
 
 
15) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
 
 
 
g) √ 
 
 
h) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II: MATEMA TICA ELEMENTAR, 
FLUXO DE CAIXA E JUROS SIMPLES 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
Finalizamos a Unidade 1 e quando encerrar essa nova etapa, a etapa 2, você 
deverá ter a compreensão de mais alguns assuntos e conteúdo do estudo da 
matemática básica, também nesta unidade iniciaremos os assuntos de matemática 
financeira, como o estudo do fluxo de caixa e juros simples, nesse momento faremos 
algumas práticas com a calculadora financeira HP12c: 
 Logaritmos e propriedades; 
 Porcentagem; 
 Conhecer a metodologia e princípios da calculadora HP12c®; 
 Fluxo de caixa e diagrama de caixa; 
 Cálculo dos juros simples e a capitalização simples; 
 Equivalência de taxas de juros simples; 
 Cálculo do montante e capital; 
 HP12c e os juros simples; 
 Desconto simples. 
 
O estudo dos logaritmos é fundamental para a boa compreensão da resolução dos 
estudos de caso do juro composto, claro que se os cálculos forem realizados de 
maneira manual, no uso de calculadoras financeiras não caberá seu uso, uma vez 
que esses equipamentos possuem funções prontas. 
Iniciaremos o estudo da porcentagem, um conteúdo simples, mas que gera certa 
polêmica com algumas particularidades, você me entenderá logo no que diz respeito 
a polêmica gerada pela porcentagem. O estudo do fluxo de caixa, sua representação 
gráfica, o diagrama, são na verdade os primeiros passos nos estudos da matemática 
financeira. 
 
 
 
 
 
Analisaremos os juros simples juntamente com a capitalização simples, a 
equivalência de taxas, o montante e capital, tudo isso despertará o conhecimento 
sobre algumas operações comerciais e financeiras. O desconto simples, muito 
usado nas operações com títulos monetários. E não poderia faltar, sua iniciação na 
HP12c, não se assuste com a metodologia da calculadora, como disse na Unidade I, 
tudo não passa apenas de uma necessidade de treino. 
Bons estudos! 
LOGARITMOS E PROPRIEDADES 
Os logaritmos são importantes no cálculo financeiros, pois com eles é que iremos 
resolver o problema de encontrar o período, sem o auxílio de calculadora financeira, 
em juros compostos. 
Para Iezzi et al. (1985, p. 51-B), define logaritmo “sendo e números reais e 
positivos, com , chama-se logaritmo de na base , o expoente que se deve 
dar à base de modo que a potência obtida seja igual a ”. 
Traduzindo a linguagem matemática, temos a seguinte definição: 
 
 
Nota-se que o logaritmo se transforma numa equação exponencial. Os elementos 
envolvidos em , são: é a base do logaritmo, dizemos que é o 
logaritmando e finalmente é o logaritmo. 
 
Algumas definições importantes dos logaritmos: 
1) não importa o valor de , o logaritmando sendo 1, o resultado 
sempre será 0 (zero). 
2) se a base e o logaritmando forem iguais, o resultado sempre será 1 
(um). 
 
 
 
 
 
 
Agoraestudaremos as propriedades dos logaritmos: 
1) ( ) quando existir um produto (multiplicação) dentro 
do logaritmando teremos então a substituição por uma soma, conservando a 
base do logaritmo. 
2) (
 
 
) existindo uma divisão no logaritmando, 
transformamos numa subtração, conservando a base do logaritmo. 
3) 
 chamamos de propriedade do tombo, pois a potência do 
logaritmando “tomba” à frente, se transformando numa multiplicação e 
conservando o restante do logaritmo. 
4) 
 
 
 essa propriedade recebe o nome de inversão de base, note que 
apareceu o , o valor de c aqui no caso é 10, por isso damos o nome de 
logaritmo decimal. 
IMPORTANTE! 
Sempre que um logaritmo não apresentar sua base, considere 
como sendo 10 (dez), isso é uma regra, igual a expoente de 
potenciação que quando não aparece consideramos 1 (um), ou 
até mesmo números inteiros que posicionados em formato de 
fração estão “sobre” 1 (um). 
 
5) 
 
 
 é mais uma consequência propriamente do que uma 
propriedade do logaritmo, quando existir um expoente na base do logaritmo, 
passamos esse expoente no formato de uma fração, porém, com o devido 
cuidado de 1 “sobre” o expoente multiplicando o logaritmo conservado. 
 
Agora vamos à prática, pois já tivemos muita definição e propriedade. Num primeiro 
momento utilizaremos o auxílio das exponenciais para resolver, e caso você nunca 
havia ouvido falar as exponenciais são o inverso dos logaritmos. 
Exemplos: 
1º) 
 
 
 
O primeiro passo é igualar a e então transformar numa exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Então temos que o 
 
 
 é igual a . 
2º) 
 
 ( ) 
 
 
 
3º) 
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
O passo a passo foi: igualei a nosso logaritmo, transformei em uma equação 
exponencial, na sequência e usando a dica do número de casas após a vírgula, 
transformei o 0,25, fiz a inversão ficando assim o expoente negativo, e 
decompondo as bases para torná-las idênticas para o “corte”, finalmente trabalhei 
com a expressão buscando o valor de . 
4º) 
 
Nesse exemplo nota-se a presença da potência então inicialmente usamos a 
propriedade do “tombo” e resolvemos o logaritmo restante. 
 
 ( ) ( 
 ) ( ) 
 ( ) 
 
Portanto o valor de 
 é 4. 
5º) Sabe-se que e , calcule : 
Esse logaritmo não apresentou a base, portanto consideramos base 10 (dez), então 
vamos decompor o 75 de forma que fique simplificado a números já conhecidos, que 
são 3 e 5. 
75 3 
25 5 
5 5 
1 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Como já conhecemos os valores dos logs de 3 e 5, basta substituir e realizar as 
operações aritméticas. 
 
Chega-se à conclusão que o é igual a 1,8751. 
PORCENTAGEM 
Quando se estuda porcentagem, nos deparamos com o símbolo de sua 
representação, o “%” (por cento), que segundo Bongiovanni (1998), esse símbolo foi 
criado há pelo menos quatro séculos, por comerciantes ingleses com a finalidade de 
simplificar a linguagem em transações comerciais. 
Quando lemos, por exemplo: 20% (vinte por cento), na verdade estamos dizendo 20 
(vinte) unidades de uma porção de cem, a porcentagem ou percentagem, e os 
termos querem dizer a mesma coisa, sempre fazem referência a uma porção de 100 
(cem), por essa razão o nome “por cento”. 
Existem várias formas de se calcular uma porcentagem, veremos algum métodos 
seguros de se calcular a mesma. 
Por exemplo, vamos calcular 25% de 700, quais formas podemos proceder? 
1) Método convencional, e de certa forma, é o método original: 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que o 700 multiplica o 25 e o produto é dividido por 100, este 100 é oriundo 
da porcentagem, a porção de cem citada a pouco. 
2) Já que dizemos ser uma porção de cem, 25 divididos por 100 sabe-se que é 
0,25, damos o nome de razão centesimal. Ao multiplicarmos a quantia pela razão 
centesimal também obtemos a equivalência procurada. 
 
3) Nas calculadoras utilizamos o símbolo de % para execução deste mesmo 
cálculo, o correto dessa procura pela equivalência é sempre usar a operação de 
multiplicação. Erroneamente, as pessoas e isso principalmente no comércio de 
 
 
 
 
modo geral, quando desejam calcular, por exemplo, um acréscimo de 25%, 
institivamente fazem 700 + 25% e pressionam o = (igual). 
Antes de qualquer linha de pensamento ou opinião eu lhe pergunto: você consegue 
realizar aquele cálculo proposto no início deste material, aquele que deve-se somar 
quilos de carne a quilômetros? Obviamente que não, logo esse cálculo também não 
é possível, uma vez que tratam-se de grandezas diferentes. 
Aí você pode me dizer: “mas a calculadora faz a soma”. Sim, de fato ela faz, mas 
apenas as calculadoras que carinhosamente as chamo de “calculadoras de doce”, 
caso tente optar em realizar esse cálculo numa calculadora científica de qualidade 
ou até mesmo uma calculadora financeira original, verá que não irá conseguir, 
nessas, a porcentagem funciona apenas por meio de multiplicação e nas financeiras 
por intermédio da função porcentagem. 
Fique sabendo que apenas as “calculadoras de doce” fazem isso! Acredito ser uma 
comodidade criada pelos seus fabricantes, mas está, digamos, matematicamente 
errada. 
Exemplo do cálculo: 
 em calculadoras científicas: 
 na HP12c®, que é financeira: 
 
Da mesma forma, usando a metodologia da multiplicação pelo valor centesimal, é 
possível calcular valores com acréscimo ou desconto diretamente. Acompanhe o 
raciocínio: usando o mesmo exemplo dos 25% de 700, iremos acrescentar esse 
percentual ao valor base, vale lembrar que a regra para o desconto é a mesma. 
Tomamos como princípio que todo e qualquer valor base é 100%, como estamos 
trabalho com o número 700, dizemos então que ele é 100%, se então desejamos 
acrescer 25%, temos que 100% mais 25% é na verdade 125%. Você pode dizer 
que, afirmei acima que a operação de soma não existe na porcentagem. Está 
correto, mas essa soma que proponho é diferente, primeiro porque estamos 
trabalhando com grandezas idênticas, e segundo que é apenas um ponto de 
referência da equivalência percentual. 
 
 
 
 
Se então dividirmos o 125% por 100, transformando em razão centesimal, obtemos 
1,25, ao multiplicarmos o 700 por 1,25 temos 875, ou seja, o valor já acrescido dos 
25%. 
Para o desconto não é diferente, apenas a operação realizada, trocamos a soma por 
uma subtração, 100% menos 25% é 75%, que por sua vez divididos por 100 
obtemos 0,75, agora multiplicando 700 por 0,75 obtemos como produto 525, esse 
por sua vez sendo o valor líquido após o desconto dos 25%. 
Fator de aumento sucessivo 
O fator de aumento sucessivo se enquadra nos casos que que temos sucessivos 
aumentos percentuais a serem aplicados sobre um valor. Podemos usar como 
exemplo um dado produto que tem seu preço negociado num expediente de bolsa 
de valores. 
Imagine uma saca (60kg) de determinado tipo de café beneficiado, negociados na 
abertura do pregão por R$ 300,00, após algumas negociações, fala-se em um 
aumento de 5%, passado mais um breve período a mesma saca sofre outroaumento, agora de 3%, no final do dia, poucos instantes antes do fechamento do 
pregão, o produto sofre mais uma alta, agora com 2%. A pergunta é, quanto 
efetivamente essa saca de café subiu? 
Engana-se que dizer 10%, as pessoas tendem a somar: 5% + 3% + 2%, então dizer 
que foi um aumento total de 10%, volto a afirmar, está errado! Por que? Simples, 
esse produto teve aumentos sucessivos, então os 5% iniciais foram de fato sobre o 
preço inicial da saca, os R$ 300,00. Porém, os 3%, não incidiram sobre os R$ 
300,00, mas sobre os R$ 300,00 acrescidos de 5%, já os 2%, incidem sobre o valor 
acrescido primeiro por 5%, seguindo de 3% para finalmente calcular os 2%. 
É possível calcular por meio de uma fórmula bastante simples: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
A incógnita representa a razão centesimal da porcentagem, e sempre você irá 
utilizar a porcentagem em formato centesimal nas equações, isso é regra! 
 
 
 
 
Então, em breve descrição, dizemos que a fórmula poderá atender uma necessidade 
de dois ou mais aumentos sucessivos sobre um determinado valor, por isso temos 
até a “enésima” posição ( ). O numeral 1 (um), nada mais é que a representação 
centesimal de 100%, ou seja, 
 
 
. 
Aplicando a fórmula: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
O fator, resultado apresentado no cálculo, pode ser usado para apurar o preço final 
do produto ou até mesmo saber o aumento efetivo do mesmo. 
Para conhecer o valor final do produto basta multiplicar o preço do produto pelo fator 
encontrado. 
 
 
Caso queira saber quantos por cento efetivamente esse produto aumentou é 
simples, basta subtrair o fator encontrado por 1, e então multiplicar o resultado por 
100, isso irá transformar a razão centesimal em porcentagem novamente. 
 
 
 
Pode-se dizer que o produto teve uma variação positiva, ou aumento, de 10,313%. 
Acredito que poderei ser questionado sobre a pequena diferença entre o valor 
errado de 10% e o valor correto de 10,313%, sim a diferença é pequena de fato, 
apenas R$ 0,94 centavos. Pode parecer pouco, mas estamos falando de uma saca 
apenas, imagine um navio carregado de café! Acredito que a diferença será 
sensível. 
 
 
 
 
 
Fator de desconto sucessivo 
Não há diferença no conceito, apenas a substituição do operador de soma para o 
operado de subtração, desta forma a equação pode ser apresenta conforme abaixo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Os cálculos serão como no aumento sucessivo, até mesmo para encontrar a 
variação final do preço, para exemplificar, vou usar os mesmo valores, mas 
simulando uma queda no preço, nosso produto está sofrendo quedas no preço com 
os seguintes percentuais sucessivos: 5%, 3% e 2%. 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentados todos os cálculos, notará que o princípio é exatamente o mesmo, 
como disse, fazendo uso da subtração no lugar da soma, já a variação resultou em 
um percentual negativo, e isso nos aponta que o preço sofreu um desconto real de 
9,693% em relação ao valor inicial. 
Aumento e desconto sucessivo 
Poderá ocorrer aumentos e descontos sucessivos concomitantes na operação, 
quero dizer, ao mesmo tempo. 
O princípio é exatamente o mesmo, simplesmente quando for aumento irá usar 
soma, onde for um desconto, poderá usar a subtração no parênteses para encontrar 
a equivalência final. 
 
 
 
 
Rescrevendo a equação com a possibilidade de aumento e desconto sucessivo, 
temos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Cada conjunto de parênteses até a enésima posição poderá ser empregado no 
aumento (+) ou no desconto (-). 
Chamo a atenção apenas para ao resultado final da “Variação final”, se positivo, 
dizemos que o valor sofreu um aumento final equivalente. Caso negativo, diz que 
apesar do aumento se ocorrido, o produto sofre um desconto final. 
USO DA HP12C 
A calculadora HP12c é um equipamento considerado muito útil no cálculo financeiro, 
é um produto bem específico para tal. No entanto, sua metodologia se diferencia das 
calculadoras convencionais, ela trabalho com o que chamamos de lógica reversa 
polonesa, onde primeiro são inseridos os numerais para no final a operação 
matemática ou função. 
 
 FIGURA 1- HP12c Gold 
 
 
 
 Fonte: Web HP-12C emulator. 
 
Na figura 1, vemos um exemplar da HP12c, modelo Gold, existem outros modelos, 
como a Platinum e a Prestige, são fáceis de identificar, a Platinum possui a região 
 
 
 
 
superior na cor prata, a Prestige por sua vez é dourada como o exemplo da figura 1, 
mas com um pequeno escrito no lado direito superior da calculadora com o nome do 
modelo “Prestige”. 
Suas diferenças vão de velocidade do cálculo a alguma funções, a Gold é a mais 
simples, nos novos lotes fabricados não há mais diferenças de velocidade, apenas 
funções, dos outros dois modelos apenas a Platinum segue produção, funções que a 
Platinum e a Prestige apresentam em relação à Gold são: capacidade de mudar o 
contraste do LCD, capaz de desfazer a última operação realizada, apagar o último 
dígito e a capacidade de operar no modo algébrico, esse faz a HP12c se parecer 
muito com calculadoras comuns. 
Iniciando seu uso 
Para começar a suar sua HP 12c, aperte a tecla “ON”. Apertando “ON” novamente 
desliga a calculadora. Se não desligada manualmente, a calculadora se desligará 
automaticamente entre 8 a 17 minutos depois do último uso. 
A HP12c possui um indicador de bateria que você somente o verá quando a bateria 
estiver fraca, esse indicador é representado por “*” (asterisco) que irá piscar na tela. 
As teclas da calculadora podem executar duas ou até três funções, temos a função 
primária, na cor branca, e as funções secundárias, representadas pelas cores azul e 
laranja. Para o acesso às funções secundárias, deverá ser usada a tecla de prefixo, 
localizadas na área inferior esquerda da calculadora, tecla de cor laranja para 
funções em laranja, tecla azul para o acesso à funções em azul. 
Um detalhe importante a ser observado no dispositivo, é o separador de decimais, 
na calculadora temos a tecla do separador decimal o ponto, servirá para os números 
fracionários. Porém, é possível trocar o ponto por vírgula, que é na verdade a 
notação adotada aqui no Brasil, para isso mantenha a tela do ponto pressionada e 
ligue a calculadora, na sequência solte o botão do ponto, pronto, estará convertida 
para formato brasileiro, ou seja, aparecerá a virgula na tela para a leitura dos 
números fracionários. 
 
 
 
 
Observe que quando for utilizados números em formato de milhar, a cada três casas 
a calculadora colocará um ponto automaticamente, haja visto que, se você fez a 
personalização do separador decimal para vírgula. 
Para números negativos a calculadora apresentará o sinal de menos à frente dos 
numerais, caso deseje transformar um número em negativo ou vice-versa, use a 
tecla chamada “CHS”. 
Tabela de erros da HP12c 
Código de erro apresentados no visor da calculadora: 
 Erro 0: Matemática 
 Erro 1: Estouro do registro de armazenamento 
 Erro 2: Estatística 
 Erro 3: IRR (Taxa Interna de Retorno) 
 Erro 4: Memória 
 Erro 5: Juros compostos 
 Erro 6: Registros de armazenamento 
 Erro 7: IRR (Taxa Interna de Retorno) 
 Erro 8: Calendário 
 Erro 9: Assistência técnica 
Cálculos