10.1) Problemas de Geometria Plana TRIÂNGULOS

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PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 1 
l
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 2 
1) Considere os triângulo T1 , T2 , ... , etc., abaixo. Assinale os pares de 
triângulos congruentes e indique o caso de congruência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta : ( 1 e 8 ) , ( 2 e 7 ) , ( 3 e 5 ) , ( 4 e 11 ) , ( 6 e 10 ) , (9 e 12 ) 
 
 
 
2) Nos casos a) , b) e c) abaixo, selecione os triângulos congruentes e indique o 
caso de congruência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 3 
3) Na figura, o triângulo ABC é 
congruente ao triângulo DEC . 
Determine o valor de  e  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
5    48    12 ; 
 
3  2  10    10 
 
 
4) Na figura, o triângulo ABD é 
congruente ao triângulo CBD. 
Calcule x e y e os lados do 
triângulo ACD . 
 
 
 
 
 
 
 
2x  3y  8  2x  3y  8 (1) 
 x  2y  x  2y  0 (2) 
 
Resolvendo (1) e (2) tem-se: 
 2x  3y  8 
2x  4y  0 
----------------- 
y  8  x  16 
 
Daí, 






32CD
32AD
32AC
 
 
Observação : A figura real é na 
realidade um triângulo equilátero. 
 
 
 
 
 
5) Na figura, o triângulo CBA é 
congruente ao triângulo CDE. 
Determine o valor de x e y e a 
razão entre os perímetros desses 
triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CBA  CDE pelo caso ALA ; 
 
Daí, 
2x  6  22  x  14 ; 
 
3y  5  35  y  10 ; 
 
 
BC  DC  z ; 
 
Daí, 
No CBA temos : 
57p2614235z)CBA(p2  
 
No CDE temos : 
57p2510.322z)CDE(p2  
 
 
Logo, a razão entre os perímetros é : 
 
157
57
)CDE(p2
)CBA(p2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Critério ALA de congruência : Se dois triângulos têm 
ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele 
adjacente, então esses triângulos são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 4 
6) Na figura, 
sabendo que C é 
ponto médio de 
BE, prove que os 
triângulos ABC 
e DEC são 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em C temos ângulos opostos pelo 
vértice (o.p.v.)   ; 
 
C é ponto médio de BE  BC  EC ; 
 
Pelo caso ALA  ABC  DEC 
 
 
7) Na figura abaixo, sabendo que 
   e    , prove que os 
triângulos ABC e CDA são 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AC é lado comum aos dois triângulos; 
 
Como    e    , segue pelo caso 
ALA que ACB  CDA 
 
 
 
 
 Critério ALA : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacente, então esses 
triângulos são congruentes. 
8) Se    e    , demonstre que 
o triângulo ABC é congruente ao tri-
ângulo ABD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB é lado comum aos dois triângulos; 
 
Como    e    , segue pelo 
caso ALA que ABC  ABD . 
 
 
9) Na figura, 
sendo BF  CD , 
®ABC ®FDE e 
®BAC  ®DEF, 
prove que 
 AC  EF . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BF  CD , FCBC e FCDF  
 BC  DF ; 
 
 é ângulo adjacente aos lados BC e 
DF ; 
 
 é ângulo oposto aos lados BC e DF. 
 
Pelo critério LAAo tem-se : 
 
 BCA  DFE  AC  EF 
 

 Critério LAAo : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse 
lado, então esses triângulos são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 5 
10) Na figura, 
sendo AB  AE , 
®BAD  ®CAE , 
®ABC  ®AED  90 , 
prove que BC  DE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta provar que o AED  ABC ; 
 
No AED tem-se em A o ®() ; 
No ABC tem-se em A o ®() ; 
 
Como AB  AE, segue pelo critério ALA que 
AED  ABC  BC  ED . 
 
11) Questão Contextual : Demonstre que 
a mediana relativa à base de um triângulo 
isósceles é também bissetriz e altura. 
ABC é isósceles  
AB  AC ; 
 
Se AD é mediana 
relativa à base BC, 
então pela definição 
de mediana temos 
que BD  CD ; 
 
AD é lado comum ; 
 
Pelo critério LLL  ABD  ACD  
®BAD  ®CAD    AD é bissetriz . 
 
Sendo ABD  ACD  
®ADB  ®ADC   e como ambos são ângulos 
adjacentes e suplementares segue que 
  90 ; 
 
Da definição de altura segue que 
AD é altura relativa à base BC . 
 

Mediana de um triângulo é o segmento que une o ponto médio 
de um lado do triângulo até o vértice oposto a esse lado 
Critério LLL : Se dois triângulos têm ordenadamente congruen-
tes os três lados, então eles são congruentes. 
Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à 
reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e 
no vértice oposto ao lado considerado. 
 
12) Questão Contextual : Prove que a 
bissetriz relativa à base de um 
triângulo isósceles é também mediana. 
Seja BC  base do 
ABC ; 
 
ABC é isósceles 
 AB  AC ; 
 
AD é lado comum ; 
 
Se AD é bissetriz  ®BAD  ®ACD  
 ; 
 
Pelo critério LAL  
ABD  ACD  BD  CD  D é 
ponto médio de BC ; 
 
Da definição de mediana, segue que 
AD é mediana relativa à base BC . 
 
 
13) Questão Contextual : Prove que as 
medianas relativas aos lados 
congruentes de um triângulo isósceles 
são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC é isósceles  AB  AC ; 
 
MC é mediana  M é ponto médio de AB; 
 
NB é mediana  N é ponto médio de AC; 
 
Como AB  AC  AM  NA ; 
 
®A é comum aos ABN e ACM ; 
 
Pelo critério LAL   
 ABN  ACM  BN  CM 
 
 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 6 
14) Questão Contextual : Seja, num 
plano, um segmento AB e um ponto P 
eqüidistante de A e B. Prove que o 
ponto P pertence à mediatriz do 
segmento AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja M o ponto médio de AB . 
 
Se PAB  P  M e, nesse caso, é 
imediato que P pertence à mediatriz. 
 
Se PAB , provemos que PM é a 
mediatriz, i.e., PM  AB . 
 
Como P é equidistante de A e B  
 PA  PB ; 
 
 M é ponto médio de AB  AM  MB 
 
PM é lado comum ; 
 
Logo, pelo critério LLL   
 APM  BPM  
 ®AMP  ®BMP ; 
 
e sendo ângulos suplementares e 
iguais, ambos medem 90  PM  AB 
 
 
 
 
 
 
 

 Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, 
traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um 
triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, 
que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, 
que passa pelos três vértices do triângulo. 
Critério LLL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes os três lados, então eles são congruentes. 
15) Questão Contextual : Prove que 
todo ponto da mediatriz é equidis-
tante dos extremos do segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja P um ponto qualquer da media-
triz e seja M o ponto médio de AB . 
 
Se P  M  AM  MP e nada temos a 
provar. 
 
Se P  M temos nos AMP e BMP : 
 
AM  MB (pois M é ponto médio de AB 
; 
®PMA  ®PMB (pois PM é mediatriz ; 
PM é lado comum ; 
 
Então, pelo critério LAL   
 AMP  BMP  PA  PB  
 P é equidistante de A e B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles 
são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 7 
16) Na figura, AB  BC , AB  BD eBC  BD. Prove que o ACD é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC  BD ; 
®ABC  ®ABD ; 
AB é lado comum ; 
 
Pelo critério LAL  ABC  ABD  
AC  AD  ACD é isósceles. 
 
 
17) Questão Contextual : Prove que a 
soma das medidas de dois ângulos 
internos quaisquer de um triângulo é 
menor do que 180 . 
 
 
 
 
 
 
 
Seja um ABC qualquer (fig.) ; 
Seja M o ponto médio de AB ; 
Sobre a semirreta CM tomemos um ponto P 
tal que CM  MP ; 
 
Logo, CM  MP , AM  MB e ®M (o.p.v.)  
pelo caso LAL  ACM  BPM  
 ®CAM  ®PBM , i.é. ,    ; 
 
Sendo ®ABC  , tem-se     180 pois 
PBC, ou seja,    não é um ângulo 
raso ( 180) ; 
 
Logo,     180      180 
pois (  ) , i.é. , a soma de dois ângulos 
internos quaisquer é menor que 180 . 
 
 
18) Questão Contextual : Prove o 
Teorema do ângulo Externo , “Em todo 
triângulo, a medida de um ângulo externo 
ê é maior do que a medida de qualquer 
ângulo interno não adjacente a ele .” 
 
 
 
 
 
 
 
Seja um ABC qualquer (fig.) ; 
Seja M o ponto médio de AB ; 
Sobre a semirreta CM tomemos um ponto P 
tal que CM  MP ; 
 
Logo, CM  MP , AM  MB e ®M (o.p.v.)  
pelo caso LAL   ACM  BPM  
 ®CAM  ®PBM , i.é. ,    ; 
 
Sendo ®ABC  , tem-se     180 pois 
PBC, ou seja,    não é um ângulo 
raso ( 180) ; 
 
Logo,     180      180  
( esta desigualdade foi provada no problema 17 ) . 
 
Segue daí que : 
    180    180   (1) ; 
 
Como ê e  são suplementares  
 ê    180  ê  180   (2) ; 
 
De (1) e (2)    ê  ê   . 
 
Analogamente, tomando-se o ponto médio do 
lado BC , conclui-se que ê  ®C . 
 
 
 
 
 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles 
são congruentes. 
 A soma das medidas de dois ângulos internos quaisquer 
de um triângulo é menor do que 180 . 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 8 
19) Prove a desigualdade relativa ao 
ABC , “Ao maior lado se opõe o maior 
ângulo ”. 
 
 
 
 
 
 
 
Seja AB o maior lado do ABC ; 
Seja ®BCA   e ®BAC   ; 
Seja PAB tal que BP  BC ; 
 
Temos : 
   e como o BPC é isósceles de base PC 
        (1) ; 
 
 ( ) é ângulo externo ao PAC  
     (2) 
 
(esta desigualdade foi provada no problema 18 ) ; 
 
De (1) e (2) segue que 
   e        . 
 
Analogamente, usando  e ®B , 
concluiremos que   ®B . 
 
20) Prove que : “Em todo triângulo, 
qualquer ângulo externo é igual à soma 
dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele.” 
 
 
 
 
 
 
 
Por C conduzimos uma reta CD paralela à 
reta AB . Assim, teremos duas paralelas 
cortadas por uma reta transversal AC e 
determinando os ângulos  e  ; 
 
   pois são ângulos alternos internos ; 
   pois são ângulos correspondentes ; 
 
Daí,         ê     . 
 
 
 Um ângulo externo ê é maior do que a medida de 
qualquer ângulo interno não adjacente a ele . 
21) Prove a Desigualdade Triangular : 
“ Em todo triangulo, cada lado é menor 
que a soma dos outros dois . ” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja P um ponto sobre a semirreta CA 
tal que AP  AB (1) ; 
 
PC  AC  AP  ( 1) PC  AC  AB ; 
 
APB é isósceles de base PB     
; 
 
Temos que        ; 
 
Segue daí que, pelas relações de 
desigualdade nos triângulos , “ ao maior 
ângulo opõe-se o maior lado e vice-versa . ” 
(ver problema 19 ), temos : 
 
PC  BC  AC  AP  BC  (1) 
 AC  AB  BC  BC  AB  AC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 9 
22) Questão Contextual : Num 
triângulo retângulo, a mediana 
relativa à hipotenusa é 
perpendicular à hipotenusa. 
Prove que esse triângulo é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo MB a mediana  AM  MC  M 
é ponto médio de AC ; 
 
®AMB  ®CMB  90, pois MB é 
perpendicular comum a AM e MC ; 
 
Sendo AM  MC , ®AMB  ®CMB e MB o 
lado comum  critério LAL  
 AMB  CMB  AB  BC , logo o 
ABC é isósceles . 
 
 
23) Questão Contextual : Prove que 
um triângulo que tem dois ângulos 
internos congruentes é isósceles . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja AP a bissetriz do ®A   ; 
 
Temos então que : 
®BAP  ®CAP  /2 ; 
®ABP  ®ACP   ; 
AP é lado comum ; 
 
Pelo critério LAAo  APB  APC  
 AB  AC , ou seja, ABC é isósceles . 
 

Mediana de um triângulo é o segmento que une o ponto médio 
de um lado do triângulo até o vértice oposto a esse lado 

 Critério LAAo : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse 
lado, então esses triângulos são congruentes. 
24) Na figura abaixo, tem-se que 
®ACD  ®ADC e ®CAB  ®DAB . 
Mostre que ®ACB  ®ADB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ACD tem-se ®ACD  ®ADC    
 ACD é isósceles  AC  AD ; 
 
No ADB tem-se AD  AC do ACD ; 
 
Logo, pelo critério LAL tem-se que : 
ADB  ACB  ®ADB  ®ACB . 
 
 
25) Na figura ao lado, 
tem-se AD  BC e ®A  
®B , sendo os quatro 
pontos coplanares. 
Prove que ®C  ®D . 
 
 
 
 
 
 
AD  BC ; ®A  ®B ; AB é lado comum  
critério LAL  ADB  BCA  
 AC  BD ; 
 
Daí, AD  BC , AC  BD , DC lado comum  
 critério LLL  ADC  BCD  
 ®C  ®D 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 10 
26) Os planos  e 
 interceptam-se 
segundo a reta AB 
. Tomam-se os 
pontos C   e D 
  , de modo que 
CA  CB e DA  DB 
. Mostre que ®DAC 
 ®DBC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta notar que : 
AD  BD ; AC  BC e AB é lado comum ; 
 
Pelo critério LLL  DAC  DBC 
 ®DAC  ®DBC . 
 
 
27) Questão Contextual : Prove que se 
um triângulo tem um ângulo interno 
reto, então os outros dois ângulos 
internos são agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se Bˆ é reto, o ângulo externo ê também 
é reto, ou seja, 90 . 
 
Como a medida do ângulo externo ê é 
maior que a medida de qualquer ângulo 
interno não adjacente a ele 
( esta afirmativa está provada no problema 18 ) , 
segue que Bˆ ê  90  Cˆ;Aˆ , i.é., 
Cˆ;Aˆ  90 , ou seja, Cˆ;Aˆ são ângulos 
agudos . 
 
Veja outra solução no Problema 35 
28) Questão Contextual : Prove que 
as bissetrizes relativas aos lados 
congruentes de um triângulo 
isósceles são congruentes . 
 
ABC é isósceles  
 ®ABC  ®ACB e AB  AC ; 
 
Como BN e CN são bissetrizes, 
então ®ABN  ®ACM   ; 
 
Temos então : 
 AB  AC ; 
  é ângulo comum ;  caso ALA  
 ®ABN  ®ACM   . 
 
  ABN  ACM  BN  CM 
 
29) Questão 
Contextual : Prove 
que, se a bissetriz 
relativa a um lado de 
um triângulo é 
também mediana 
relativa a esse lado, 
então esse triangulo 
é isósceles. 
 
Tomemos um ponto P sobre o prolongamento 
de AM tal que MP  AM ; 
 
AM é bissetriz  ®BAM  ®CAM   ; 
 
AM é mediana  BM  CM ; 
 
®AMB  ®PMC pois são o.p.v. ; 
 
 
Então, pelo critério LAL  , 
AMB  PMC  
 ®CPM   e AB  PC ; 
 
APC é isósceles  AC  PC ; 
 
Como AB  PC e AC  PC  
  AB  AC e, daí, ABC é isósceles . 
 
 Critério ALA : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacente, então esses 
triângulos são congruentes. 
 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulocompreendido, então eles são 
congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 11 
30) Com segmentos de 8 cm, 5cm e 18 
cm pode-se construir um triângulo? 
Por que ? 
Não é possível, pois os segmentos 
dados não satisfazem a Desigualdade 
Triangular , ou seja, 
 
8 < 5  18 (verdadeiro) 
5 < 8  18 (verdadeiro) 
18 < 8  5 (falso) 
 
 
31) Determine o intervalo de 
variação x, sabendo que os lados de 
um triângulo são expressos por 
x + 10, 2x + 4 e 20 - 2x . 
 
Pela Desigualdade Triangular  , 
devemos ter : 
 
)1(14xx204x210x  
)2(xx22010x4x2 320 
)3(x9x210xx20 56 
 
Resolvendo as inequações (1) , (2) e (3) 
teremos : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta : 3
26x5
6  
 
que é a variação de x para que 
exista o triângulo . 
 
 
 
 
1 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado 
é menor que a soma dos outros dois. 
 
32) Demonstre que o perímetro do 
triângulo MNP é menor que o 
perímetro do triângulo ABC da 
figura . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Desigualdade Triangular  , e 
considerando os PMB , NPA e MNC temos : 
PM  PB  MB 
PN  PA  NA 
MN  MC  NC 
 
Somando essas desigualdades, temos : 
PMPNMN  PBMBPANAMCNC 
 
 PB  PA  AB 
Como NA  NC  AC 
 MB  MC  BC 
 
Segue que : 
 PM  PN  MN  AB  AC  BC 
 
 
33) Se dois lados de um triângulo 
isósceles medem 38 cm e 14 cm, qual 
poderia ser a medida do terceiro lado ? 
 
Sendo o triângulo isósceles e sendo x o 
terceiro lado, x só pode ser 38 ou 14 ; 
 
Pela Desigualdade Triangular  , 
temos : 
38  x  14 
14  x  38 
As desigualdades acima só serão 
verdadeiras simultaneamente se x  38 . 
 
Uma outra solução seria : 
x  a ! b  x  52 
x  | a  b |  x  24 
 
Então, 24  x  52 ; 
 
Como o triângulo é isósceles, então x  38 . 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 12 
33.1) Dois lados de um triângulo medem 3 
cm e 4 cm . Quais as possiveis medidas do 
terceiro lado ? 
 
Seja x o terceiro lado. 
Pela Desigualdade Triangular 1, temos : 
x  3 ! 4  x  4 (1) 
x  | 3  4 |  x  1 (2) 
 
Por (1) e (2), teremos : 1  x  7 e, daí, as possíveis 
medida de x estarão entre o intervalo 1 e 7 
(exclusive) . 
 
 
33.2) O maior lado de um triângulo mede 
5cm e o menor 2 cm. Quais as possíveis 
medidas do terceiro lado? 
 
Seja x o terceiro lado . 
Pela Desigualdade Triangular , temos : 
x  5 ! 2  x  7 (1) 
x  | 5  2 |  x  3 (2) 
 
Por (1) e (2), tem-se : 3  x  7 e, como o maior lado 
vale 5 , então : 3  x 7 5 . 
 
 
33.3) Um triângulo possui dois lados de 
medidas 10cm e 17cm. Determine os possíveis 
valores do terceiro lado sabendo que ele é 
o quadrado de um inteiro. 
 
Seja x o terceiro lado . 
Pela Desigualdade Triangular , temos : 
x  10 ! 17  x  27 (1) 
x  | 10  17 |  x  7 (2) 
 
Por (1) e (2), tem-se : 7  x  27 , e, como x é quadrado 
de um inteiro , então : 
x  9 ; 16 ; 25 . 
 
 
33.4) O lado AC do triângulo ABC tem 
comprimento 3,8 cm e o lado AB tem compri-
mento 0,6 cm . Se o comprimento do lado BC é 
um inteiro, qual é o seu comprimento ? 
 
Pela Desigualdade Triangular , temos : 
 
BC  AB ! BC  BC  0,6 ! 3,8  BC  4,4 (1) 
BC  | AB  BC |  BC  | - 3,2 |  BC  3,2 (2) 
 
Por (1) e (2), tem-se : 
3,2  BC  4,4 , e, como x é um inteiro , então : 
 
 BC  4 
 
 
 
 
1 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado é 
menor que a soma dos outros dois. 
 
33.5) Na figura abaixo, verifique 
que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Aplicando a Desigualdade Triangular 
nos quatro triângulos, temos : 
AB  AO ! BO 
BC  BO ! CO 
CD  CO ! DO 
AD  DO ! AO 
-------------------- (+) 
AB!BC!CD!DA  AO!CO!BO!DO!BO!CO!DO!AO 
 
reagrupando, temos : 
AB!BC!CD!DA  (AO!CO)!(BO!DO)!(BO!DO)!(AO!CO) 
 
o qual é equivalente a : 
AB!BC!CD!DA  AC ! BD ! BD ! AC 
 
AB!BC!CD!DA  2 (BD ! AC) 
  
 ACBD2
DACDBCAC  ; 
 
 
b) Aplicando a Desigualdade Triangular 
nos BCD , ACD , ABD e ABC , temos : 
BD  BC ! CD 
AC  AD ! DC 
BD  AB ! AD 
AC  AB ! BC 
--------------------- (+) 
2 (BD!AC)  BC!CD!DA!CD!AB!DA!AB!BC 
 
2 (BD!AC)  2 ( BC ! CD ! AB ! DA ) 
 
 BD ! AC  AB ! BC ! CD ! DA . 
 
 
 
 
 
 
 
 
DACDBCABACBD)b
ACBD2
DACDBCAB)a


PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 13 
34) O lado AB de um triângulo ABC 
é expresso por um número inteiro. 
Determine o seu valor máximo, 
sabendo que os lados AC e BC medem 
respectivamente 27 cm e 16 cm e que 
®C  ®A  ®B. 
 
Pela Desigualdade Triangular  tem-
se: 
AB  27  16  AB  43 (1) 
27  AB  16  11  AB (2) 
16  AB  27  -11  AB (3) 
 
As desigualdades (2) e (3) são 
equivalentes a : 
 | -11 |  AB (4) 
 
Temos então, com (1) e (4) : 
| -11 |  AB  43  11  AB  43 
 
Como se quer o maior valor do lado 
AB tal que ®C  ®A  ®B , então 
 AB  15 (triângulo verde) , uma vez 
que pelas relações de desigualdade 
nos triângulos , “ ao menor ângulo opõe-se 
o menor lado e vice-versa . ” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado 
é menor que a soma dos outros dois. 
35) Questão Contextual : Mostre que 
o triângulo retângulo tem dois 
ângulos agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
Seja  o ângulo externo relativo ao 
ângulo reto do triângulo. 
 
Então  é ângulo suplementar ao ângulo 
reto do triângulo, i.é. , 
  90  180    90 ; 
 
Pelo Teorema do Ângulo Externo  
    e    e como   90  
   90 e   90 , ou seja, 
 e  são ângulos agudos. 
 
Veja outra solução no Problema 27 
 
36) Questão Contextual : Mostre que 
a hipotenusa de um triângulo 
retângulo é maior que cada um dos 
catetos. 
 
Usando a figura anterior temos : 
  o ângulo externo relativo ao lado reto 
do triângulo ; 
 
Então  é ângulo suplementar ao ângulo 
reto do triângulo, i.é. , 
  90  180    90 ; 
 
Pelo Teorema do Ângulo Externo   
   e    e como   90  
   90 e   90 , ou seja, 
 e  são ângulos agudos ; 
 
Daí, conclui-se que 90 é o maior ângulo 
interno do triângulo e, pelas relações de 
desigualdade nos triângulos , “Ao maior 
ângulo opõe-se o maior lado e vice-versa”, 
ou seja, o maior lado é a hipotenusa que se 
opõe ao maior ângulo que é 90 . 
 
( esta relação de desigualdade triangular foi 
provada no problema 19 ) 
 
 Teorema do Ângulo Externo de um triângulo: 
“ Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo ê é maior do 
que a medida de qualquer ângulo interno não adjacente a ele. ” 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 14 
37) Questão Contextual : Mostre que 
o triângulo obtusângulo tem dois 
ângulos agudos. 
 
 
 
 
 
 
 
ê é ângulo suplementar de  ; 
 
Como   90  ê  90 ; 
 
Pelo Teorema do Ângulo Externo  
ê   e ê   e sendo ê  90  
  90 e   90 , ou seja,  e  
são ângulos agudos ; 
 
 
38) Questão Contextual : Mostre que 
o lado oposto ao ângulo obtuso de um 
triângulo obtusângulo é maior que 
cada um dos outros lados. 
 
Usando a figura anterior temos : 
 
ê é ângulo suplementar de  ; 
 
Como   90  ê  90 ; 
 
Pelo Teorema do Ângulo Externo  
ê   e ê   e sendo ê  90  
  90 e   90 , ou seja,  e  são 
ângulos agudos ; 
 
Como   90 (ângulo obtuso) é o maior 
ângulo no triângulo, pelas relações de 
desigualdadenos triângulos , 
 “Ao maior ângulo opõe-se o maior lado 
e vice-versa ”, tem-se que o maior lado 
é oposto ao ângulo obtuso. 
 
( Esta relação de desigualdade triangular foi 
provada no problema 19 ) 
 
 Teorema do Ângulo Externo de um triângulo: 
“ Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo ê é 
maior do que a medida de qualquer ângulo interno não 
adjacente a ele. ” 
 
39) Questão Contextual : Mostre que 
a hipotenusa de um triângulo 
retângulo é maior que a semissoma 
dos catetos. 
 
Seja um triângulo retângulo T de 
hipotenusa a e catetos b e c ; 
 
Como a é o maior dos lados de T temos : 
 
 somando membro a membro : 
 --------- + 
 2a  b  c  
 
40) Questão Contextual : Prove que 
qualquer lado de um triângulo é 
menor que o semiperímetro. 
 
Usando a Desigualdade Triangular  , 
temos: 
 a  b  c 
Somando a em ambos os membros da 
inequação tem-se : 
2a  a  b  c  a  2
cba   
 
 a  semiperímetro . 
 
 
41) Se P é um ponto interno de um 
triângulo ABC , mostre que ®BPC é 
maior que ®BAC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja ®BPC   e ®BAC   ; 
 
 é ângulo externo do CPS     ; 
 
 é ângulo externo do ASB     ; 
 
Segue daí que, 
 
 se    e        
 
 
 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado 
é menor que a soma dos outros dois. 




ca
ba
2
cba 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 15 
42) Se P é um 
ponto interno de 
um triângulo ABC, 
mostre que : 
PB  PC  AB  AC . 
 
Prolongue-se BP até o lado AC do ABC num 
ponto Q ; 
 
De acordo com a Desigualdade Triangular  
, temos : 
AB  AQ  BQ (1) 
PQ  QC  PC (2) 
------------------- ( ) 
AB  PQ  AQ  QC  BQ  PC 
AB  PQ  AC  PB  PQ  PC 
AB  AC  PB  PC  
PB  PC  AB  AC 
 
 
43) Se P é um 
ponto interno de um 
ABC e x  PA , y  
PB e z  PC , 
mostre que 
x y z está entre 
o semiperímetro e o perímetro do ABC . 
 
x  y  AB 
y  z  BC 
x  z  AC 
--------------- (+) 
2x2y2z  ABBCAC  
 
2
ACBCABzyx   
 x  y  z  P (1) 
 
 
x  AB 
y  BC 
z  AC 
---------- (+) 
x  y  z  AB  BC  AC  
 x  y  z  2P (2) 
 
 
De (1) e (2), tem-se : 
 P  x  y  z  2P 
 
 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado é 
menor que a soma dos outros dois. 
 
 O símbolo utilizado para o perímetro é 2P e para o 
semiperímetro é P . 
44) Se ma é a mediana relativa ao 
lado a de um triângulo de lados a, b 
e c , então : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja AM  ma a mediana relativa ao 
lado a do ABC e M o ponto médio de 
BC ; 
 
Seja D ponto sobre a semirreta AM 
tal que AM  MD ; 
 
Como AM  DM , ®M (o.p.v) e BM  CM 
 critério LAL  AMB  DMC  
 AB  DC  c ; 
 
Da Desigualdade Triangular , temos 
: 
1º) 2ma  b  c  ma  2
cb  (1) ; 
 
2º) b  2ma  c  am2
cb  (2) ; 
 
3º) c  2ma  b  am2
bc  (3) ; 
 
(2) e (3) equivale a : amc
cb  (4) ; 
 
Logo, por (1) e (4), tem-se : 
 
 2
cbmc
cb
a
 
 
 
 
 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado é 
menor que a soma dos outros dois. 
2
cbm2
cb
a

PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 16 
45) Questão Contextual : Prove que a 
soma das medianas de um triângulo 
ABC é maior que o seu semiperímetro 
e menor que o perímetro. 
 
1ª) Parte : 
 ma  mb  mc  P ( semiperímetro ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a Desigualdade 
Triangular, temos : 
a  mc  c/2 
b  ma  a/2 
c  mb  b/2 
------------------ (+) 
P2
cbammm
mmm2
cba
)mmm(2cba
2
cba)mmm(2cba
2
cbammmcba
cba
cba
cba
cba
cba






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado 
é menor que a soma dos outros dois. 
 
2ª) Parte : 
 ma  mb  mc  2P ( perímetro ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja AM  ma a mediana relativa ao 
lado a do ABC e M o ponto médio de 
BC ; 
 
Seja D ponto sobre a semirreta AM 
tal que AM  MD ; 
 
Como AM  DM , ®M (o.p.v) e BM  CM 
 critério LAL   AMB  DMC 
 AB  DC  c ; 
 
Da Desigualdade Triangular , tem-se : 
 2ma  b  c (1) ; 
 
De modo análogo, teremos : 
 2mb  a  c (2) ; 
 2mc  a  b (3) ; 
 
Somando (1), (2) e (3), teremos : 
P2cbammm
)cba(2)mmm(2
)cba(2m2m2m2
cba
cba
cba




 
 
 
 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles 
são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 17 
45.1) Questão Contextual : 
Demonstrar que a soma das três 
alturas de um triângulo acutângulo 
é maior que o semiperímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Desigualdade Triangular 1 
tem-se: 
 
)1(BCACAB2h
CMBMACAB 2h 
) (---------- - 
CMACh:ACM
BMABh:ABM
A
A
A
A





 
 
 
Analogamente, para hB e hC , temos : 
 
 
 
 
 
 
 
 )2(BCACABh2 B  
 )3(BCACABh2 C  
 
 
Somando (1) , (2) e (3), teremos : 
 
    
P2
ACBCABhhh
ACBCAB3hhh6
CBA
CBA


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado é menor 
que a soma dos outros dois. 
45.2) Questão Contextual : 
M é um ponto qualquer do lado BC de 
um triângulo ABC. 
Demonstrar que AM  ( a + b + c ) /2 , 
isto é, AM  semiperímetro (P) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Desigualdade 
Triangular nos ABM e ACM, tem-se : 
 
 
 
)troSemiperíme(PMA
ou
2
abcAM
2
BCACABAM
BCACABAM2
CMBMACABAM 2 
) (---------- - 
CMACAM:ACM
BMABAM:ABM











 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 18 
45.3) Questão Contextual : Prove que 
a distância entre quaisquer dois 
pontos dentro de um triângulo não é 
maior que a metade do perímetro do 
triângulo. 
 
Sejam X e Y pontos do interior do ABC e 
tracemos a reta que os une . 
Se esses pontos não estão do mesmo lado do 
triângulo, então tal reta intercepta os lados 
em dois pontos M e N, ocorrendo dois casos 
possíveis, conforme figura abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembremos que : MNXY  
 
No primeiro caso : 
Aplicando a Desigualdade Triangular 1, tem-se : 
  (2)CNBCBMMNBNBMMN
 ;)1(ANAMMN

 
 
Somando (1) e (2), temos : 
 
 
   
2
BCACABMNBCACABMN2
BCCNANBMAMMN2
)(--------------
 (2)CNBCBMMN
 )1( ANAMMN






 
 
No segundo caso : 
Novamente, pela Desigualdade Triangular, 
temos : 
 
 
2
BCACABMNBCACABMN2
BCANBMAMMN2
)(--------------
 (2) BCBMMN
 )1( ANAMMN






 
 
Em ambos os casos, PXYPMN  
 
 
1 Desigualdade Triangular : Em todo triângulo, cada lado é menor 
que a soma dos outros dois. 
45.4) Questão Contextual : 
Demonstre o Teorema de 
Viviani 2 : “A soma das 
distâncias de um ponto 
qualquer no interior de um 
triângulo equilátero aos 
seus três lados é igual a altura do 
triângulo”.Sejam x, y e z as respectivas distâncias do 
ponto P até os lados do ABC e seja h, 
altura relativa ao vértice A . 
 
Calculemos as áreas dos BPC, APC e APB 
respectivamente : 
 
 
2
zABS;2
yACS;2
xBCS APBAPCBPC  
 
 
A soma das três áreas é igual à área do 
ABC , ou seja : 
 
  12
hBC
2
zAB
2
yAC
2
xBC  
 
 
Como o ABC é equilátero, então : 
 AB  BC  AC 
 
e (1) pode ser escrita como : 
 
 
hzyx
2
hBC
2
zBC
2
yBC
2
xBC



 
 
2 Vincenzo Viviani (1622-1703), matemático italiano , foi 
colaborador de Galileu Galilei, além de reconstruir os escritos de 
Arquimedes e Euclides. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 19 
46) Sendo as retas a //b , calcule x 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo x e 50 alternos externos  
são ângulos congruentes  x  50 . 
 
 
 
47) Sendo as retas a //b , calcule x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª maneira : 
 é suplementar de 120    60 ; 
x e  são alternos internos  
 x  60 . 
 
2ª maneira : 
 é o.p.v. de 120    120 ; 
x e  são colaterais internos  
 x e  são ângulos suplementares 
 x  60 . 
 
 
 
 
 
 
 
48) Sendo as retas r // s , calcule x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos dados são alternos 
externos  são congruentes. 
 
Daí, 
2x  30  150  x  60 
 
49) Sendo as retas r // s , calcule x 
 
 
 
 
 
 
 
 e 2x são o.p.v    2x ; 
 e (x  30) são colaterais internos 
 ângulos suplementares  
2x  x  30  180  x  70 . 
 
50) Sendo r//s , calcule x e y . 
 
 
 
 
 
 
 
x e 60 são colaterais internos  
 ângulos suplementares  
 x  120 . 
 
x e 105 são colaterais internos  
 ângulos suplementares  
 x  75 . 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 20 
51) Sendo r//s , calcule x e y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
y e 3x  10 são alternos internos  
 são ângulos congruentes  
 y  3x  10. 
 
y  90  2x  180 (ângulo raso) 
3x  10  90  2x  180 
5x  100  x  20 . 
 
Daí, y  50 . 
 
 
 
52) Na figura, sendo a//b , calcule 
      . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  70 (o.p.v.) ; 
    70 ( ângulos correspondentes ) ; 
    180 
  70  180    110 ; 
 
      70  70  110 
      30 . 
 
 
 
 
 
 
 
53) 
 
 
 
 
 
 
 60x3
x ( ângulos correspondentes ) ; 
 x  45 
 
 
54) 
 
 
 
 
 
 
 
Os dois ângulos são colaterais 
externos, logo, são suplementares . 
 
17x9 8x9  180 
 x  7,2 ou x  712’’ 
 
 
55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e  são alternos internos, logo, 
são iguais ; 
 
 e  são o.p.v., logo, são iguais ; 
 
Ou também,  e são 
correspondentes , logo, são iguais . 
 
x  20 e y  30 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 21 
56) 
 
 
 
 
 
 
 
   
8x  2x  30  x  5 ; 
 
  2x  30    40 ; 
 
Suplemento de   180 - 40  140 
. 
 
 
57) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  y  180 
 
58) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z  50  60  180  z  70 ; 
y    60 ( alternos internos ) ; 
x    50 ( alternos internos ) ; 
 
59) Determine o valor de y ou de x . 
 
a) 
 
 
 
 
 
y é ângulo externo  , e, daí : 
y  65  45  y  110 
 
 
b) 
 
 
 
 
y é ângulo externo , e, daí : 
y  70  50  y  120 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Pela propriedade do ângulo externo : 
3x30  x30x10  x  50 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 é ângulo externo do ABC  
130  x  100  x  30 ; 
 
 é ângulo externo do ACD  
100  40      60 ; 
 
 é ângulo externo do ADE  
60  y  30  y  30 ; 
 
 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 22 
60) O triângulo ABC é isósceles de 
base BC . Determine o valor de x . 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
2(x  15)  x  180  x  50 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
4x  x  180  x  36 . 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos em A um ângulo externo ; 
 
Da propriedade do ângulo externo  
temos que : 
x  70  x  x  x  70 . 
 
Veja a demonstração desta propriedade no 
Problema 20 . 
 
 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
61) Determine o valor de x . 
(segmentos com “marcas iguais” são 
congruentes) . 
 
a) 
 
 
 
 
 
Pela Lei Angular de Tales  , tem-se 
no triângulo retângulo : 
x  y  90  y  90  x ; 
 
Então, no triângulo equilátero 
temos: 
3y  180  y  60  x  30 . 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Pela propriedade do ângulo 
externo , temos : 
100  x  y  y  100  x ; 
 
Pela Lei Angular de Tales , temos : 
2y90  180 
2(100x)  90  180 
2002x90  180  x  55 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lei Angular de Tales : “ Em todo triângulo a soma dos 
seus ângulos internos é igual a 180 ” 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 23 
62) Determine o valor de x . 
(segmentos com “marcas iguais” são 
congruentes) . 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
ACD é isósceles  y  25 ; 
Lei Angular de Tales   z  130 ; 
w é suplementar de z  w  50 ; 
ABC é isósceles  ®B  w  50 ; 
Aplique-se Lei Angular de Tales 
no ABC  x  80 . 
 
 
 
b) 
AB  AC 
 
 
 
 
 
 
 
y em D é ângulo externo do ADC 
 
 y  2x ; 
 
No CDB tem-se : ( Lei Angular de Tales ) 
2y  z  180 
2(2x)  z  180  z  180  4x ; 
 
ABC é isósceles  x  z  y e 
sendo y  2x, tem-se : 
1  180  4x  2x  x  36 . 
 
 
 Lei Angular de Tales : “ Em todo triângulo a soma dos 
seus ângulos internos é igual a 180 ” 
 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
63) Determine o valor de x . 
(segmentos com “marcas iguais” são 
congruentes) . 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
x é ângulo externo do CDE  
 x  y  z (1) ; 
 
ABC é equilátero  3z  180  
 z  60 (2) ; 
 
EFG é isósceles  2y  90  180 
 y  45 (3) ; 
 
(2) e (3) em (1), tem-se : 
x  45  60  x  105 . 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC é isósceles  y  65 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales , temos 
que no ABC  z  50 ; 
 
z é ângulo externo ao BCD que é 
isósceles  z  2x 
 50  2x  x  25 . 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 24 
64) Na figura abaixo, ED // BC . 
Sendo ®BAE  80 e ®ABC  35, 
calcule a medida do ®AED . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prolongando-se o segmento AE até P 
e aplicando a Lei Angular de Tales  
no ABP, tem-se : 
y  35  80  180  y  65 ; 
 
y e z são alternos internos  
 y  z  z  65 ; 
 
x e z são suplementares  x  115 
. 
 
 
Uma outra solução seria : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta prolongar o segmento DE até 
AB no ponto P ; 
 
®B e y são ângulos 
correspondentes  ®B  y  
y  35 ; 
 
x é ângulo externo  ao APE  
 x  y  80 
 x  35  80  x  115 . 
 
 
 Lei Angular de Tales : “ Em todo triângulo a soma dos 
seus ângulos internos é igual a 180 ” 
 Ângulo Externo : Emtodo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
65) Sendo r // s , calcule x e y 
 
 
 
 
 
 
 
 
  (4x3x) e 70 são ângulos corres-
pondentes 1  7x  70  x  10 
; 
 
 e 70 são suplementares   
110 
 
y é ângulo externo 2 do ABC  
 y  4x    40  110  
 y  150 . 
 
 
 
66) Calcule x , sendo r //s . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja uma reta paralela a r ( ou s ) ; 
 
y e 40 são alternos internos 3  
 y  40 ; 
 
z e x são alternos internos  z  x 
 
yx  112  40x  112 
 x  72 . 
 
 
 
1
 Ângulos correspondentes são congruentes (iguais). 
2
 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
3
 Ângulos alternos internos são congruentes (iguais). 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 25 
67) Se r // s , calcule  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja t // r ( ou s ) ; 
x e 30 são alternos internos 1  
 x  30 ; 
 
xy  110  30y  110  
 y  80 ; 
 
 e y são colaterais internos 2  
  e y são suplementares  
   y  180 
   80  180    100 . 
 
 
68) Na figura abaixo, as retas r e s 
são paralelas. Calcule  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja t // r ( ou s ) ; 
 
1803x  100  x  3  80 ; 
 
X e 2 são colaterais internos  
 X e 2 são suplementares  
 (3  80)  2  180 
 5  260    52 
 
 
1 Ângulos alternos internos são congruentes. 
2 Ângulos colaterais internos são suplementares ( somam 
180 ). 
69) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas. Calcule  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a reta t // r e passando por B ; 
 
x e 30 são alternos internos  
 x  30 ; 
 
x  y  80 
30  y  80  y  50 ; 
 
Prolongando-se a reta BC até o ponto E da 
reta s tem-se : 
 
y e z são alternos internos, logo são 
congruentes  z  50 ; 
 
 é ângulo externo 3 do CDE  
   z  50 
   50  50    100 . 
 
70) Na figura, AB é paralelo a CD. Sendo 
®CDB  150° e ®ABC = 25°, ca1cule ®CBD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
®BCD é alterno interno ao ®ABC , logo são 
congruentes  ®BCD  25 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales 4, temos que : 
®CBD  25  150  180  ®CBD  5 . 
 
 
3 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
4 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 26 
71) Calcule o valor de x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja   2x  10 ;   2x  10 ; 
 
y  180   (ângulos suplementares) ; 
 
 é ângulo externo 1, logo : 
  x  y 
2x  10  x  180   
2x  10  x  180  (2x  10 ) 
3x  180  x  60 . 
 
 
72) Os ângulos internos de um 
triângulo são proporcionais a 2, 3 e 4, 
respectivamente. Determine a medida do 
maior deles . 
 
Sejam  ,  e  os ângulos internos . 
 
A proporcionalidade dos ângulos permite-
nos escrever 
 432
 
 
ou ainda, 3
2 e 3
4 ; 
 
temos pela Lei Angular de Tales 2 que 
       180 
 
 


804060
1803
4
3
2
 
 
Logo, o maior dos ângulos é   80 . 
 
1 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
2 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
 
73) Calcule o valor da incógnita. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 e  são suplementares    30 ; 
x é ângulo externo  x      
 x  110 . 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
125 e  são suplementares    55 ; 
 
AB  AC  x    x  55 ; 
 
125 é ângulo externo do ABC  
 125  x  y 
 125  55  y  y  70 . 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Usando a propriedade do 
ângulo externo em B, temos : 
 
2x30  x10180   
2x30  x10 180 (2x  10 ) 
x30190   2x10 
3x  210  x  70 . 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 27 
74) Na figura, o triangulo ABC é 
isósceles de base BC. Calcule 0 valor 
de x. 
 
 
 
 
 
 
 
ABC é isósceles  y  z ; 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales 1 , 
temos : 
y  z  80  180  2z  100  
 z  y  50 ; 
 
z e 2x são suplementares  
 z  2x  180 
 50  2x  180  x  65 . 
 
 
 
75) Calcule x e y indicados na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x é ângulo externo 2 do BEC  
 x  30  40  x  70 ; 
 
y é ângulo externo do ABE  
 y  55  x 
 y  55  70  y  125 . 
 
 
 
 
 
1 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
2 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
76) A figura 
mostra um 
triângulo ABC , 
isósceles , de base 
BC . Sendo BD 
bissetriz de ABC 
e CD a bissetriz 
de ACB, calcule o valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC é isósceles  os ângulos nos 
vértices B e C são congruentes. 
 
BD e CD são bissetrizes dos vértices 
A e B     ; 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no 
ABC          80  180 
2  2  100 
    50 ; 
 
Como       50     25 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no 
DBC  x      180 
x  2  180 
x  2.25  180 
x  50  180 
x  130 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 28 
77) 0 triângulo ACD da 
figura é isósceles de 
base AD. Sendo 12° a 
medida do ângulo BAD 
 e 20° a medida do ângulo ABC , calcule a 
medida do ângulo ACD. 
 
 
 
 
 
 
y em D é ângulo externo 1 do DAB  
 y  12  20  y  32 ; 
 
ACD é isósceles de base AD  os ângulos 
da base são congruentes ; 
 
Lei Angular de Tales 2 no CAD  
 x  32  32  180 
 x  64  180  x  116 . 
 
 
78) Questão 
Contextual : Num 
triângulo isósceles 
ABC, o ângulo do 
vértice A vale 
1/10 da soma dos 
ângulos externos em B e C . 
Sendo BC a base do triângulo, deter-
mine o ângulo A. 
 
Sendo ABC isósceles, os ângulos da base 
são iguais (  ) e, daí, seus ângulos 
externos também são iguais, i.é., x  y . 
 
x  180    xy  360  2 ; 
 
10
2360z10
yxz  (1) 
 
Pela Lei Angular de Tales temos : 
  8018010
23602 (2) 
 
(2) em (1) temos : 
  10
802360z z  20 
 
1 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
2 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
79) Questão Contextual : Um ângulo 
externo da base de um triângulo 
isósceles é os 5/4 do ângulo do 
vértice. 
Calcule os ângulos desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo o ABC isósceles, seus ângulos 
da base são congruentes (  y ) ; 
 
y e 5x/4 são suplementares, i.é., 
 
 4
x5180y1804
x5y  (1) 
 
Pela Lei Angular de Tales , temos : 
 
 






 


 

120x
720x6
720x101440x4
1804
x57202x1804
x51802x
180y2x
 
 
Daí, em (1) teremos : 
 
 


150180y
4
1205180y 
 
 y  30 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 29 
80) Questão Contextual : 
Num triângulo ABC, o ângulo obtuso forma-
do pelas bissetrizes dos ângulos B e C 
excede o ângulo A em 76°. Determine A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales 1 no 
ABC tem-se : 
 
x  2y  2w  180  
 x  2(y  w)  180 (1) 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no DBC 
tem-se : 
 
y  w  x  76  180  
 y  w  104  x (2) 
 
(2) em (1), temos : 
 
x  2 (104  x)  180 
x  208  2x  180 
 x   28  x  28 . 
 
 
81) Prove que no 
triângulo ABC, da 
figura, vale a 
relação 
       
sendo AD bissetriz do angulo BAC . 
 
Temos que : ®BAD  ®DAC   ; 
 
      180 e       180 (1) ; 
 
De (1) decorre que : 
            
        . 
 
2ª maneira :  é ângulo externo do ABD e 
 é ângulo externo do ADC, chegando-se ao 
mesmo resultado . 
 
 
1 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
 
82) Questão Contextual : Num 
triângulo ABC , o ângulo formado pelas 
bissetrizes dos ângulos B e C , oposto a BC, 
é o quíntuplo do ângulo A . Determine a 
medida do ângulo A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no ABC, 
tem-se : 
 
 
 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no DBC, 
tem-se : 
 
 
 
De (1) e (2), temos : 
 
 
 
 
(3) em (1) tem-se : 
 x  20 
 
83) Na figura abaixo, calcule o 
valor de x em função de m . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m é ângulo externo 2 do ABC  
 4m  x ! y  y  4m  x (1) 
 
3m é ângulo externo do CDE  
 3m  y ! m  y  2m (2) 
 
De (1) e (2) : 
4m  x  2m  x  2m 
 
 
2 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes a ele. 
 (1)180)zx(2x
180z2y2x


 (2)180zyx5 
 (3)zyx4
)zy(x5)zx(2x


 180x4.2x
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 30 
84) Questão 
Contextual : Num 
triângulo ABC qualquer, 
o ângulo oposto a BC 
formado pelas bissetrizes 
dos ângulos internos em 
B e C é igual ao suplemento do complemen-
to da metade do ângulo do vértice A . 
 
Devemos mostrar que : 
 

  290180x
 
No ABC temos : ( Lei Angular de Tales 1 ) 
  ! 2y ! 2z  180 (1) 
 
No DBC temos : (Lei Angular de Tales ) 
 x ! y ! z  180 (2) 
 
De (1) tiramos : 
2
180zy  
 
Substituindo em (2), temos : 
 

  290180x1802
180x 
 
 
 
85) Na figura, calcule o ângulo x , sendo 
 o triplo de  e  o sêxtuplo de  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos :   3 e   6 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales , temos no 
ABC : 
  25180803 ; 
 
Logo,   75 e   150 ; 
 
No ponto C temos que y é suplemento do 
ângulo de 80  y  100 ; 
 
 é ângulo externo 2 do DCE  
   x ! y 
 150  x ! 100  x  50 . 
 
 
1 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
2 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
86) Questão 
Contextual : Em 
um triângulo ABC, 
o ângulo do vér-
tice A é igual à 
oitava parte do 
ângulo obtuso formado pelas 
bissetrizes dos ângulos adjacentes a 
BC . Determine a medida do ângulo do 
vértice A . 
 
Temos que :   x /8 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales, temos : 
  ! 2y ! 2z  180 
 
ou seja, 
    180zy28
x (1) 
 
Ainda pela Lei Angular de Tales , 
 x ! y ! z  180 (2) 
 
Por (1) e (2) conclui-se que : 
 
   
 
 38
x7zy
8
xxzy
zyxzy28
x



 
 
(3) em (1) tem-se : 
 

 96x1808
x728
x 
 
Segue daí que, 
  8
96
8
x   12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 31 
87) Questão Contextual : Um ângulo 
externo do vértice de um triângulo 
mede 150. Determine : 
 
a) os ângulos do triângulo ; 
 
b) o ângulo obtuso formado pelas bisse-
trizes dos ângulos da base do triângulo ; 
 
c) os ângulos formados pela bissetriz de um 
dos ângulos da base e pela bissetriz do 
ângulo do vértice . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2y ! 2z ! 30  180 (1) 
 ! y ! z  180 (2) 
 
Comparando (1) e (2), tem-se : 
2y ! 2z ! 30   ! y ! z 
  y ! z    30 (3) 
 
Substituindo (3) em (2), tem-se :   105 ; 
 
Sendo AD bissetriz, esta divide  pela 
metade, ou seja, /2  52,5 ; 
 
Daí, /2 é ângulo externo 1 do ADB , i.é. , 
/2  15 ! y 
52,5  15 ! y  y  37,5  ®B  75 
 
Analogamente, 
/2 é ângulo externo do ADC , i.é. , 
/2  15 ! z 
52,5  15 ! z  z  37,5  ®C  75 
 
donde conclui-se que o ABC é isósceles . 
 
 é suplementar de /2 , ou seja, 
  180  /2 
  180  52,5    127,5 . 
 
 
1 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
88) Questão Contextual : Determine a 
medida do menor ângulo formado 
pelas bissetrizes externas relativas 
aos vértices B e C de um triângulo 
ABC, sabendo que o ângulo A mede 76°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Lei Angular de Tales 2 : 
 !  ! 76  180  
  !   104 ; 
 
2y !   180 (suplementares) 
2w !   180 (suplementares) 
-------------------- + 
2(y ! w) !  !   360  
2(y ! w) ! 104  360  
 y ! w  128 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales : 
x ! y ! w  180  
x ! 128  180  
x  52 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 32 
89) Questão Contextual : Determine as 
medidas dos três ângulos de um triân-
gulo, sabendo que o segundo é os 3/2 do 
primeiro e que o terceiro é a semissoma 
dos dois primeiros . 
 
Pela Lei Angular de 
Tales 1, temos: 
 




60x720x15
1802
2
x3x
2
x3x
 
 
Logo : 
 



60C2
xxC
72Bx2/3B
60AxA
23
 
 
90) Questão Contextual : Os três 
ângulos de um triângulo são tais que o 
segundo mede 28 ° menos que o primeiro 
e o terceiro 10 ° mais que o primeiro. 
Determine os três ângulos do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Lei Angular de Tales, temos : 
 
 



66x
18010x28xx
 
 
Logo : 
 
 



76C10xC
38B28xB
66AxA
 
 
 
 
1 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
91) Questão Contextual : Determine o 
ângulo formado pelas bissetrizes de dois 
ângulos colaterais internos de duas retas 
parale-las interceptadas por uma 
transversal qualquer . 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Lei Angular de Tales temos : 
   )1(2
360x
18022x

 
 
 e  são colaterais internos 2  
  !   180 (2) 
 
(2) em (1) temos : x  90 
 
 
92) Questão 
Contextual : 
Na figura, determi-
ne a medida do 
ângulo em função 
de m . 
 
 
 
 
 
 
 
Prolongando BC até D e aplicando a Lei 
Angular de Tales no ABD , temos : 
x ! 2m ! 3m  180  x  180 - 5m ; 
 
x e y são suplementares 3  y  180  x 
 y  180  (180  5m)  y  5m ; 
 
 é ângulo externo 4 do CDE  
   y ! m    5m ! m  
   6m . 
 
 
2 Colaterais Internos são ângulos suplementares . 
3 Ângulos Suplementares são ângulos cuja soma vale 180 . 
4 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 33 
93) Na figura, sendo 
AB congruente a AC, AE 
congruente a AD, 
calcule a medida do 
angulo CDE, sendo que 
BAD  48°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª maneira : 
Lei Angular de Tales no ABC, temos : 
48!w!y!y  180 
2y  180 (48!w)  
2
w66y2
w48180y  (1) 
 
Lei Angular de Tales no ADE, temos : 
w!z!z  180 
2z  180  w  2
w90z  (2) 
 
z é ângulo externo do DEC, logo: 
z  x ! y 


24x
2
w66x2
w90 
 
2ª maneira : 
Lei Angular de Tales no ABC, temos : 
w!48!y!y  180  w  132 2y (1) 
 
Lei Angular de Tales no ADE, temos : 
w!z!z  180  w  180 2z (2) 
 
Comparando (1) e (2), tem-se : 
132 2y  180 2z 
2y!2z  48 
2(z  y)  48  zy  24 (3) ; 
 
z é ângulo externo do DEC, logo: 
z  x!y  x  zy   )3( x  24 
 
3ª maneira : 
x!z  y!48 ( ângulo externo do ABD ) 
 z  x!y ( ângulo externo do ADE ) 
-------------- () 
x  48  x  2x  48  x  24 
94) Questão Contextual : Mostre que 
num triangulo ABC qualquer, o ângulo, 
oposto a BC , formado pelas bissetrizes 
dos ângulos externos em B e C é igual 
ao complemento da metade do ângulo 
do vértice A do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Lei Angular de Tales , temos no 
ABC : 
z!w!  180  z ! w  180   ; 
 
z !   180 (suplementares) 
w !   180 (suplementares) 
------------------ + 
z!w !!  360 ; 
 
Daí, 
( 180 )!!  360 
  !   180 !  ; 
 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no 
BCD , temos : 
 
290x180x2
360x2180
360x2
180x22




 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 34 
95) Determine a medida 
do ângulo do vértice A do 
triângulo isósceles ABC, 
sabendo que os segmentos 
BC, CD, DE, EF e FA são 
congruentes . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja x o ângulo no vértice A . 
 
AFE é isósceles  ®AEF  x ; 
 
®EFD é ângulo externo 1 ao AFE  
  ®EFD  x!x  ®EFD  2x ; 
DEF é isósceles  ®EDF  2x ; 
 
®CED é ângulo externo ao AED  
  ®CED  x!2x  ®CED  3x ; 
EDC é isósceles  ®ECD  3x ; 
 
®CDB é ângulo externo ao ADC  
  ®CDB  x!3x  ®CDB  4x ; 
BCD é isósceles  ®CBD  4x ; 
 
ABC é isósceles  ®BCD  x ; 
Aplicando a Lei Angular de Tales 2 no 
ABC teremos : 
 x!4x!(3x ! x)  180 
 9x  180  x  20 . 
 
 
 
1 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
2 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
96) Na figura, o 
triângulo ABC 
é equilátero e o 
triângulo CDB 
é isósceles. 
Calcule o valor 
de 2x + y 
sendo ®BCD  x e ®ABD  y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no 
CDB, tem-se : 
2x ! 90  180  x  45 ; 
 
Aplicando a Lei Angular de Tales no 
ABC, tem-se : 
3(y  x)  180 
3y  3.45  180  y  105 ; 
 
Logo, 
2x ! y  2.45 ! 105  195 . 
 
 
97) Na figura a 
seguir, ABC é um 
triângulo retângulo e 
isósceles e ACD é um 
triângulo isósceles de 
base CD. Calcule x. 
 
ABC é retângulo e isósceles  
 ®BAC  ®BCA  45 ; 
 
®BAC!®ACD!61  180 ( suplementares ) 
45 ! !®ACD!61  180 
®ACD  74 ; 
 
ACD é isósceles de base CD  
  ®ADC  ®ACD  74 ; 
 
Pela Lei Angular de Tales no ACD tem-se : 
x ! 74 ! 74  180  x  32 . 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 35 
98) Questão Contextual : Considere o 
triângulo ABC , em que AB  AC  5 cm e 
BC  7 cm . Sobre o lado BC tomamos um 
ponto D tal que BD  3 cm e pelo ponto 
D traçamos DE e DF respectivamente 
paralelos a AC e AB, com E em AB e 
F em AC . Calcule o perímetro de AEDF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC é isósceles  ®ABC  ®ACB   ; 
 
AB//FD  ®FDC  ®ABC   (ângulos 
correspondentes 1 ) ; 
 
AC//ED  ®EDB  ®ACB   (ângulos 
correspondentes ) ; 
 
AE//FD é cortada pela transversal EF 
 ®AEF  ®DFE   ; 
 
Seja 




yCFDF
xDEBE 
 
Temos que 





FDEEAF
DFEAEF
comumladoéEF
 
daí, 
pelo caso LAAo 2  AEF  DFE  
  AF  DE  x e FD  EA  y ; 
 
Logo, o perímetro (2P) é igual a : 
 
2PAEDF  x!x!y!y 
2PAEDF  2(x!y)  2 . 5  2PAEDF  10 
 
 
 
1 Ângulos Correspondentes são congruentes (mesma medida). 
2 Critério LAAo : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse 
lado, então esses triângulos são congruentes. 
99) Na figura, 
ABCD é um 
retângulo e AME 
é um triângulo. 
Calcule ®EAB e 
®BEM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABCD é retângulo  AB//DC e AC é 
reta transversal (diagonal) que as 
corta  ®BAC  ®ACD  36, pois 
são alternos internos 3 ; 
 
 
AEM é equilátero e, portanto, seus 
ângulos internos são iguais a 60 ; 
Logo, x ! 36  60  x  24 ; 
 
 
CMD é isósceles  ®CMD  108  
  ®AMB é o.p.v.  
  ®AMB  60 ! ®BME  
  108  60 ! ®BME  
  ®BME  48 ; 
 
 
BM  AM  EM  BME é isósceles 
 
Daí , 
 y ! y ! 48  180 
 2y  132 
 y  66 .
 
3 Ângulos Alternos Internos são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 36 
100) Da figura, 
sabemos que 
AB  AC, 
A  100 e 
AD  BC. Determine x  ®CBD. 
 
1ª MANEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja AB  AC  b e seja CD  a ; 
 
Como BC  AD  BC  a ! b ; 
 
Tracemos o segmento AP tal que AP  b e 
de tal modo que ®BAP  60 . Com esse 
procedimento fica construído um 
triângulo equilátero, APB de lado b ; 
 
Considerando os ABC e PAD, notemos 
que os ângulos das bases BC e AD , 
medem 40 e as bases dos mesmos medem 
(a!b) ; 
 
Logo, pelo caso LAL 1, ABC  PAD  
  ®APD  100 e PD  AC  b ; 
 
Daí, no BPD ( isósceles ) temos que 
 ®BDP  ®DBP` 10 ; 
 
Com isso, x  10 pois ABP é equilátero 
(ângulos internos iguais a 60 ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
 
2ª MANEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo ponto A tracemos um segmento 
AD’  AD t.q. ®DAD’ 60 ; 
 
Desta construção temos um ADD’ 
equilátero  ®ADD’  ®AD’D  60 ; 
 
O ABC é isósceles  
  ®ABC  ®ACB  40 ; 
 
Note que, 





CB'AD
40ACB'BAD
comumladoéBD
 
Daí, ACB  BAD’ pelo caso LAL  
 ®AD’B  40 e BD’  BA ; 
 
 
Note que, 





D'DAD
B'DAB
comumladoéBD
 
Daí, ABD  D’BD pelo caso LLL 2  
 ®ABD  ®D’BD  40 ! x ; 
 
Logo, pela Lei Angular de Tales 3 no 
ABD’,tem-se : 
 
  


180x28080
180x4024040 
 
 2x  20  x  10 . 
 
 
2 Critério LLL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes os três lados, então eles são congruentes. 
3 Lei Angular de Tales : Em todo triângulo, a soma de seus 
ângulos internos é igual a 180 . 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 37 
101) Na figura 
seguinte, AS é 
bissetriz interna 
do triângulo ABC. 
Calcule x, 
sabendo que 
AB  AS  SC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASC é isósceles  ®A  ®C  x ; 
ABS é isósceles  ®B  ®S  y ; 
 
AS é bissetriz 1 interna do ABC  
  ®BAS  ®CAS  x ; 
 
y é ângulo externo 2 do ASC  
  y  x ! x  y  2x ; 
 
®ASB e ®ASC são suplementares  
  ®ASC  180  y ; 
 
Segue daí que, ®ASC é ângulo 
externo do ABS , ou seja, 
 
 



180x5
x2xx2180
yxy180
 
 
  x  36 . 
 
 
 
 
 
 
1 A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com 
origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos 
congruentes . 
2 Ângulo Externo : Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
102) Questão Contextual : 
ABC e A’B’C’ são dois triângulos nos 
quais são iguais : 
1) os lados BC e B’C’ ; 
2) os ângulos B e B’ ; 
3) as bissetrizes internas BD e B’D’. 
Mostrar que os dois triângulos são 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que ®B  ®B’   ; 
 
Se BD  B’D’ são bissetrizes , então 
elas dividem B e B’ em partes iguais 
  ®CBD  C’B’D’  /2 ; 
 
Daí, pelo caso LAL 3  BCD  B’C’D’ 
  ®BCD  ®B’C’D’   ; 
 
 
Considerando os ABC e A’B’C’ temos: 
 
 






'CC
'BB
'C'BBC
 
 
Logo, pelo caso ALA 4 temos que 
 
 ABC  A’B’C’ 
 
 
 
 
 
 
 
3 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
4 Critério ALA : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacente, então esses 
triângulos são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 38 
103) Questão Contextual : BM e CN 
são duas medianas de um triângulo 
ABC. Prolonga-se BM de um segmento 
MP  MB e CN de um segmento NQ  NC. 
Demonstrar que os pontos P e Q são 
equidistantes do vértice A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BM e CN são medianas 1  M e N são 
pontos médios de AC e AB respectiva-
mente . 
 
 
MP  MB (por construção) ; 
MA  MC ( M é ponto médio de AC) ; 
   em M ( ângulos o.p.v. ) . 
 
As três congruências acima permitem 
concluir que, pelo critério LAL 2 , os 
MAP  MCB  AP  BC ; 
 
 
NQ  NC (por construção) ; 
NA  NB ( N é ponto médio de AB ) ; 
   em N ( ângulos o.p.v. ) . 
 
As três congruências acima permitem 
concluir que, pelo critério LAL , os 
NAQ  NBC  AQ  BC ; 
 
 
AP  BC e AQ  BC  AP  AQ  
  P e Q são equidistantes de A . 
 
 
 
 
 
 
1 Mediana de um triângulo é o segmento que une o ponto médio de 
um lado do triângulo até o vértice oposto a esse lado . 
2 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
104) Questão Contextual : Num 
triângulo ABC, traça-se a bissetriz 
do ângulo A e sobre ela toma-se os 
segmentos AE  AB e AF  AC . Une-se 
B com F e C com E . 
Mostrar que BF  CE . 
 
Conforme dados fornecidos pelo 
problema temos a figura abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo AFE a bissetriz 3 do ®A  
 ®CAE  ®BAE   ; 
 
Temos então que : 
 
AC  AF ; 
AE  AB ; 
®CAE  ®FAB   . 
 
As três congruências acima permitem 
concluir que, pelo critério LAL , os 
FAB  CAE  BF  CE ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com 
origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos 
congruentes . 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 39 
105) Questão Contextual : M e N são 
pontos dos catetos AB e AC de um 
triângulo retângulo isósceles ABC, 
tais que AM  AN. As retas BN e CM 
cortam-se em O. Mostrar que o 
triângulo BOC é isósceles . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o ABC é isósceles  AB  AC ; 
 
Observemos que : 



90CAMBAN
ACAB
ANAM
 
 
Destas três congruências, pelo caso 
LAL 1  ABN  ACM  CMBN  ; 
 
Como O é ponto comum a CMeBN  
  COBO   BOC é isósceles . 
 
 
Observação : Neste caso, não vale o caso 
especial de congruência 2 (triângulos retângu-
los), pois a princípio nada se pode concluir 
sobre a medida da hipotenusa dos triângulos 
ABN e ACM . 
 
Somente pelo caso LAL é que se pode afirmar 
que as hipotenusas são congruentes. 
 
 
 
1 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
2 Caso Especial de Congruência de triângulos : Se dois 
triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a 
hipotenusa, então esses triângulos são congruentes . 
106) Questão Contextual : 
Demonstrar que são congruentes dois 
triângulos que têm respectivamente 
iguais um lado e as alturas relati-
vas aos outros lados. 
 
 
 
Temos : 






90ID
)catetos(IGDA
)shipotenusa(FGBA
 
Destas três congruências concluímos 
que, pelo caso especial de congruên-
cia de triângulos 2 , que : 
 
ABD  GFI  ®B  ®F   ; 
 
 
Temos : 






90JE
)catetos(FJBE
)shipotenusa(FGBA
 
Destas três congruências concluímos 
que, pelo caso especial de congruên-
cia de triângulos 2 , que : 
 
ABE  GFJ  ®A  ®G   ; 
 
Portanto, pelo caso ALA 3 temos que 
 ABC  GFH . 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Critério ALA : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacente, então esses 
triângulos são congruentes. 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 40 
107) Questão Contextual : Provar que 
são congruentes dois triângulos que 
têm respectivamente iguais um lado, 
um ângulo adjacente a esse lado e a 
diferença dos outros dois lados . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam os ABC e DEF. 
 
Pelos dados do problema temos que : 
DEAB  , ®CAB  ®FDE e também 
que são congruentes a diferença 
entre os lados BCeAC e EFeDF , 
ou seja, 
 EFDFBCAC  
o que equivale a : 
 BCDFEFAC  (1) 
 
Assim, prolongando-se os lados AC e 
DF até os pontos H e J respectiva-
mente, e de tal modo que EFCH  e 
BCFJ  , teremos em virtude de (1), 
que os ABH  DEJ pelo caso LAL 1 , 
 EJBH  . 
 
Segue daí que, pelo caso LLL 2 , 
BCH  EFJ  ®BCH  ®EFJ  
®ACB  ®DFE   (ângulos suplemen-
tares). 
 
Consequentemente, teremos pelo caso 
LAAo 3 , que ABC  DEF . 
 
 
1 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
2 Critério LLL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes os três lados, então eles são congruentes. 
3 Critério LAAo : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse 
lado, então esses triângulos são congruentes. 
108) Questão Contextual : Provar 
que um triângulo que tem duas 
alturas de igual comprimentoé 
isósceles . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que : 
 
 






.90TR
;comumladoéBCBC
;CRBT
 
 
Então, pelo caso especial de congru-ência 
(triângulos retângulos) 4 tem-se que : 
 BCT  BCR  ®RBC  ®TCB   
 
Logo, ABC é isósceles . 
 
 
108.1) Questão Contextual : Num 
triângulo isósceles, cada ângulo da 
base mede o dobro da medida do 
ângulo do vértice. Achar a medida do 
ângulo do vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ! 2 ! 2  180 
5  180 
  36 
 
4 Caso Especial de Congruência de triângulos : Se dois 
triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a 
hipotenusa, então esses triângulos são congruentes . 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 41 
109) Questão Contextual : 
Sobre os lados 
de um triângulo 
ABC constroem-
se externamente 
os triângulos 
equiláteros BCD, 
CAE e ABF. 
Demonstrar que 
os segmentos AD, 
BE e CF são congruentes. 
 
 
 
Observe que CEACeCDBC  , pois 
os BCD e ACE são equiláteros e, 
portanto, ®ECA  ®DCB  60 ; 
 
Então no BCE  ®BCE  60! e 
no DCA  ®DCA  60!  
  ®BCE  ®DCA ; 
 
Logo, pelo caso LAL 1  ACD  
ECB 
 
  EBAD  . 
 
 
De maneira análoga, demonstra-se que 
EBeADCF  . 
 
 
 
 
1 Critério LAL : Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
110) Dado um 
triângulo acu-
tângulo ABC , 
constroem-se os 
triângulos ABD 
e ACE , exteriores a ABC . 
Mostre que CD  BE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADB é equilátero  AD  AB 
e ®DAB  60 ; 
 
AEC é equilátero  AE  AC 
e ®EAC  60 ; 
 
Temos então : 
 






AEAC
60BAEDAC
ABAD
 
 
Pelo caso LAL  DAC  BAE  
  DC  BE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 42 
111) Seja ABC um triângulo isósceles, com AB  BC e ®ABC  82 . Seja 
D um ponto no interior do triângulo tal que AD  AB e ®DAC  11 . 
Ache a medida do ®DCB . 
 
 
 
Se ABC é triângulo isósceles, então os 
ângulos da base AC são tais que 
  49BˆAˆ . 
 
Una-se os pontos B e D . 
 
Logo, ®BAD  38 (49  11) e como 
AB  AD segue que BAD é isósceles 
 ®ABD  ®ADB  71 . 
 
Traçando a bissetriz do ®ABC, o 
segmento BE será bissetriz, altura e 
também a mediatriz do lado AC ( pois 
o ABC é isósceles ) . 
 
Logo, ®ABE  41  ®EBD  30 ( 71  41 ) . 
 
Traçando a bissetriz do ®BAD, temos que o segmento AF será bissetriz, altura e mediatriz do lado BD 
( pois o ABD é isósceles )  BF  FD e ®FAD  19  ®MAE  30 ( 19 ! 11 )  
 ®AME  60  ®BMF  60 ( o.p.v ) . 
 
Como M  mediatriz(BD), então M é equidistante de B e D  BM  MD . Logo, pelo caso LLL , temos que 
os BMF  DMF  ®FMD  60  ®DME  60 ( suplementares) . 
 
Resta-nos saber se os pontos M , D e C são colineares . Para isso veja a figura abaixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que M , D e C não sejam colineares. Então teríamos o segmento MC e como M  mediatriz (AC)  
 MA  MC e E sendo o ponto médio de AC  AE  EC . 
 
Então, pelo caso LLL , AME  CME  ®EMC  60 , o que é um absurdo, pois ®EMC  ®EMD e ambos 
valendo 60 . Conclui-se, então, que D MC , isto é, os pontos M , D e C são colineares. 
 
Logo, ®MCA  30 e como ®BCA  49 , temos que : x  49  30  x  19 . 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 43 
112) O ABC , isósceles de 
base BC , é tal que os ®BAC  
20 , ®DBC  60 e ®EDB  50 , 
conforme figura. 
Achar a medida do ®EDB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo o ABC isósceles de base BC e 
®A  20, então ®EBC  ®ECB  80 . 
 
Resulta daí que , 
®EBD  20 ( 80  60 ) ; 
®DCE  30 ( 80  50 ) ; 
®BDC  40 ( 180  60  80 ) ; 
®BEC  50 ( 180  80  50 )  
  EBC é isósceles  BE  BC ( ) . 
 
Tracemos por B um segmento BF tal que 
®FBC  20 (figura abaixo) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
®EBF  60 ( 80  20 ) ; 
®BFC  80 pois os ângulos da base BC 
medem 20 e 80 . Segue daí que , o BFC é 
isósceles de base FC  BF  BC  BE ( ). 
 
Daí, o BFE será isósceles de base EF . 
 
No entanto, sendo ®EBC  60, os ângulos 
da base EF também medirão 60, ou seja, 
®BEF  ®EFB  BFE é isósceles/equilá-
tero, i.é., EF  BE  BF ( ) . 
 
®DEF  40 por suplementaridade . 
 
Note na figura abaixo que : 
 
®DBF  ®BDF  40 (calculado anterior-
mente )  BDF é isósceles de base BD  
  DF  BF ( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, perceba que DF  EF  DEF é 
isósceles de base DE (, figura abaixo) . 
 
Como ®EFD  40  ®DEF  ®FED  70 . 
 
Portanto, 
   70  40    30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. : O triângulo deste problema é 
conhecido como Triângulo Russo
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA - 44 
113) Questão Contextual : 
Prove que retas paralelas distintas, 
secantes com uma circunferência, deter-
minam na circunferência, entre as para-
lelas, arcos de mesma medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando os APD e BPC temos que os segmentos 
PDPC  e PAPB  
 
DPˆACPˆB  pois são ângulos opostos pelo vértice. 
 
Segue então, pelo critério LAL de congruência de triângu-
los, que BPC  APD e, daí, ADBC  . 
 
Como os ângulos inscritos 1 BDC e ACD são congruentes 
( DCˆACDˆB  ), segue que os seus correspondentes arcos 
BC e AD são congruentes, ou seja, possuem a mesma 
medida. 
 
 
114) Mostre que se AB e CD são arcos de 
medidas iguais, de uma circunferência, 
então as cordas AB e CD são congruen-
tes. 
 
Hipótese : CDAB  
Tese : CDAB  
 
 
 
 
 
 
Sendo O centro da circunferência e considerando os AOB 
e COD temos que RaioDOCOBOAO  . 
 
Como CDAB  então seus respectivos ângulos 
centrais 2 também são congruentes, ou seja, DOˆCBOˆA  
 
Segue então que, pelo critério LAL de congruência de 
triângulos que os AOB  COD e, daí, CDAB  
 
1 Ângulo Inscrito : É o ângulo que possui o vértice na 
circunferência e os lados são secantes a ela. A medida do ângulo 
inscrito é igual à metade do arco correspondente ( ou determinado 
por seus lados). 
2 Ângulo Central : É o ângulo que possui o vértice no centro da 
circunferência. A medida de um arco de circunferência é igual a 
medida do ângulo central correspondente . 
115) As cordas AB e 
CD de um círculo  são 
perpendiculares em E , 
um ponto situado no 
interior do círculo. A 
reta perpendicular a 
AC por E intersecta 
o segmento BD em F . 
Mostre que F é o ponto médio de BD . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja P o pé da perpendicular erguida até o ponto E e 
intersectando o ponto E . 
 
Seja no PCE, retângulo em P,   ®PEC e 
   ®PCE   +   90 . 
 
Como AEC é retângulo em E  ®PEA    
  ®PAE   (pelo fato de +   90) . 
 
Então : 
 
®ACD   é ângulo inscrito do AD  
  AD  2 ; 
®ABD também é ângulo inscrito do AD  
  ®ABC   ; 
 
 
®CAB   é ângulo inscrito do BC  
  BC  2 ; 
®BDC também é ângulo inscrito do BC  
  ®BDC   . 
 
®DEF   (o.p.v.) e ®BEF   (o.p.v.) . 
 
Resulta daí que : 
 EBF é isósceles de base BE  BF  EF ; 
 DEF é isósceles de base DE  DF  EF ; 
 
Logo, se BF  EF e DF  EF  BF  DF  
  F é ponto médio de BD . 
 
 
 
PROBLEMAS DE GEOMETRIA PLANA -