Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

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ESTADO DO MATO GROSSO
SECRETÁRIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Digitalizado por: Ismael Alexandre da Silva	Página 1
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem (EDO)
 Equação Diferencial: É a equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, ou seja, uma equação da forma:
 As equações diferenciais são classificadas de acordo com:
Tipo:
*Equação Diferencial Ordinária (EDO): A função incógnita depende de uma variável e, portanto, as derivadas são ordinárias. 
*Equação Diferencial Parcial (EDP): A função incógnita depende de mais de uma variável, neste caso as derivadas são parciais. 
Exemplo:
Ordem: É dada pela ordem da derivada de mais alta ordem.
Exemplo:
Grau: É dado pelo grau da derivada de mais alta ordem, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem.
Exemplo:
Linear ou não linear: As equações lineares são caracterizadas por duas propriedades:
A variável dependente e todas as suas derivadas devem ser do primeiro grau.
Todos os coeficientes são funções de (ou constantes).
Exemplos:
Solução para uma equação diferencial
Resolver ou integrar uma equação diferencial significa encontrar todas as funções que substituídas conjuntamente com suas derivadas na equação diferencial dada, as verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções da equação diferencial.
Exemplo 1: A função , são constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial 
Pois,
Substituindo em 
Exemplo 2: A função é solução da equação diferencial .
Substituindo em 
Exemplo 3: Já a função não é função da equação diferencial .
Pois, 
Substituindo na equação 
Tipos de soluções de uma Equação diferencial
 Forma analítica: É a forma tradicional onde a solução, uma solução explícita ou implícita, é encontrada pelo uso direto do Cálculo Diferencial e Integral.
 Forma numérica: Métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções.
As soluções analíticas podem ser do tipo:
 Solução geral: Contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação.
Exemplo:
 É solução geral de 
 Solução particular: Se obtém atribuindo-se valores particulares para as constantes.
Exemplo:
Tomando e no exemplo anterior, temos solução particular de 
 Solução singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da Solução Geral.
Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial
Do ponto de vista geométrico, a solução geral de uma equação diferencial ordinária representa uma família de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais.
Uma solução particular é representada por uma curva desta família.
Exemplo: Seja , cuja solução geral é dada por 
Esta solução geral, nada mais é do que uma família de parábolas.
O gráfico em azul representa , onde ;
O gráfico em vermelho representa , onde ;
O gráfico em verde representa , onde .
Problema do Valor Inicial (PVI)
Na resolução de equações diferenciais estamos interessados não somente nas soluções gerais, mas também naquelas que satisfazem uma condição inicial.
Exemplo:
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Uma equação diferencial de primeira ordem é do tipo:
Variáveis Separáveis
É uma equação diferencial da forma:
Fazendo 
Exemplo 1: 
Resolva: 
Solução:
Integrando ambos os lados:
Queremos encontrar y(x). Para isso, aplicamos a Exponencial de Euler em ambos os lados da igualdade.
, onde k é uma constante
Exemplo 2: 
Solução:
Integrando ambos os lados,
Aplicando o PVI:
Equações Diferenciais de Primeira Ordem Lineares
São equações da forma 
Obs.: Caso em que , a equação é chamada homogênea.
1º Caso: A equação homogênea
Exemplo:
Solução:
Onde k é uma constante.
2º Caso: A equação não homogênea
Se conseguíssemos escrever a equação como , o problema estaria resolvido, pois bastaria integrar. Mas não aparece como uma derivada de alguma expressão simples.
Assim, procuramos uma função contínua e diferenciável, tal que se multiplicando ambos os lados da expressão obtemos uma equação equivalente (dizemos equivalente, pois toda solução de é também de ).
de modo que o primeiro membro da equação seja derivada de alguma expressão simples.
Observemos que
Assim,
Assim, a equação pode ser escrita
Integrando ambos os lados da igualdade:
Exemplo: Resolva a EDO:
 
Solução:
EDO, 1ª ordem, linear, não homogênea
Procurando o fator integrante 
Multiplicando a EDO por 
Fazendo a integração de por partes, temos:
Aplicando o PVI: 
Equações Exatas
Uma equação diferencial ordinária escrita na forma:
É dita exata se o primeiro membro da equação for uma diferencial exata de uma função , isto é,
Neste caso a equação pode ser escrita como e mediante integração obtemos solução .
Critério para uma diferencial exata:
Comparando e , vemos que é diferencial exata se existe uma função tal que e então:
Pelo Teorema de Schwartz como 
Assim,
condição necessária para ser uma equação exata.
Método de solução
Dada uma equação 
 Mostre que é exata, ou seja, 
Isto implica que tal que e 
 Suponha e encontre f(x,y) integrando M(x,y) em relação a e considerando constante.
 Derive em relação a e supor .
 Finalmente integre o obtido em e substitua o resultado em .
A solução Geral será: 
Exemplo 1 - Resolva 
Solução:
A equação é exata.
Existe tal que e e a solução .
Suponha 
Integrando em relação à , considerando constante, obtemos:
Agora derivando com relação a :
Comparando com N:
Integrando em relação a :
Assim , logo a solução geral é dada por 
Exemplo 2 - Resolva a EDO: 
Solução:
Integrando com relação a :
Derivando com relação a :
Comparando com N:
Integrando em relação à :
Assim,
E a Solução Geral é dada por
Se não for exata, podemos procurar uma função (fator integrante) tal que a EDO:
 seja exata, ou seja, 
Derivando,
 (EDP)
Vamos estudar os casos onde depende apenas de uma variável.
1º Caso: 
Devemos ter dependendo apenas de .
2º Caso: 
Devemos ter dependendo apenas de .
Exemplo 1: Ache o fator integrante da EDO e resolva: 
Solução:
Verificando se a EDO é exata:
A EDO não é exata.
Procurando o fator integrante: 
Integrando ambos os lados, obtemos:
 (onde k é uma constante, neste caso não precisa)
Multiplicando a EDO por 
Verificando se é exata:
A EDO é exata.
Integrando em relação a :
Derivando relação a :
Comparando com N
Integrando, obtemos 
A solução geral é dada por 
Exemplo 2: Verifique se a EDO é exata. Caso contrário, encontre o fator integrante para torná-la exata e resolva.
Solução:
A EDO é exata.
Integrando em relação a 
Derivando em relação a 
Comparando com N
 (integrando)
 
Substituindo em 
A solução geral é dada por
Solução:
A EDO não é exata.
Procurando o fator integrante: 
Multiplicando na EDO:
A EDO é exata.
Integrando em 
Derivando em 
Comparando com N
 (integrando)
 
Substituindo em 
A solução geral é dada por
Mudança de Variável
Se a função a direita da equaçãopoder ser escrita em função da razão ou , então ela pode ser transformada em uma equação separável.
Exemplo 1: Considere 
Solução:
Dividindo por 
Fazendo a mudança de variável:
Substituindo na Equação 
Assim,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por .
Voltando em 
Como ·, então:
Exemplo 2: Resolva a equação diferencial, fazendo a mudança de variável .
Como 
 Equação de Bernoulli
É da forma:
Se EDO, linear, não homogênea
Se EDO, linear, homogênea
Se EDO não linear
Devemos eliminar depois da igualdade. Neste caso, dividimos por ambos os lados.
Fazendo a mudança de variável
Substituindo em 
Exemplo: 
Solução:
Fazendo a mudança de variável:
Substituindo em 
Caímos numa EDO linear e não homogênea. Devemos procurar o fator integrante .
Agora, multiplicando em :
Integrando:
Como , substituindo obtemos: