Métodos Numéricos para Refinamento de Raiz

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Fase 2: Refinamento
Executar uma seqüência de instruções a fim de obter uma aproximação para a raiz, dentro de uma precisão dada.
Métodos numéricos iterativos de refinamento de raiz.
Método da Bissecção;
Método da Posição Falsa;
Método do Ponto Fixo (MPF);
Método de Newton-Raphson
Método da Secante
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Método da Bissecção
Seja f(x) contínua em [a,b] tal que f(a)f(b)<0
 ( b			
a x1 x2 		x0
� EMBED Equation.3 ���
(a,b) com apenas uma raiz
_1091520445.unknown
_1091520607.unknown
_1091519446.unknown
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Algoritmo 1
Dados : Intervalo inicial [a,b] e precisão .
		
Se 
, então escolha para 
 qualquer 
 . FIM.
2. k = 1	3. M = f(a)	4. 
5. Se 
faça 
 Vá para o passo 7.
b = x	7. Se b – a < (, escolha p/ 
 qualquer 
. FIM.
8. k = k + 1. Volte para o passo 4.
_1091522613.unknown
_1091522689.unknown
_1091522961.unknown
_1091522988.unknown
_1091522725.unknown
_1091522643.unknown
_1091522580.unknown
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		It.
		x
		f (x)
		b - a
		1
		.5
		-1.375
		.5
		2
		.25
		.765625
		.25
		3
		.375
		-.322265625
		.125
		4
		.3125
		.218017578
		.0625
		5
		.34375
		-.0531311035
		.03125
		6
		.328125
		.0822029114
		.015625
		7
		.3359375
		.0144743919
		7.8125x10-3
		8
		.33984375
		-.0193439126
		3.90625x10-3
		9
		.337890625
		-2.43862718x10-3
		1.953125x10-3
		10
		.336914063
		6.01691846x10-3
		9.765625x10-4
; I = [0,1]; ( = 10-3.
_1091527877.unknown
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Método Posição Falsa: Conseguir uma aproximação de x usando valores de f(x), sendo f contínua em [a,b], tal que f(a)f(b) < 0
							
																													
 f(x)
a (	 x		 
 b	 
_1091529506.unknown
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Método do Ponto Fixo:Transforma o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de (x).
(x) é dita função de iteração para a equação f(x) = 0.
Dependendo da função, ao isolar x podemos definir várias funções de iteração. 
A escolha de (x) é fundamental para a convergência desse processo iterativo.
�. 
_1091883753.unknown
_1091884629.unknown
_1091884988.unknown
_1091884999.unknown
_1091884703.unknown
_1091883918.unknown
_1091883351.unknown
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Método de Newton-Raphson: 
		Generalização do MPF
Determina uma única função de iteração (x) que satisfaça os requisitos necessários, a fim de garantir e acelerar a convergência do MPF.
_1091886144.unknown
_1091889699.unknown
_1157272119.unknown
_1091889698.unknown
_1091885965.unknown
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Algoritmo: Seja a equação f(x) = 0
(sempre supondo que as condições de convergência são satisfeitas)
Dados iniciais: x0, (1 e (2.
Se |f(x)|< (1, faça 
. FIM.
k = 1.
Se |f(x1)| < (1 ou se |x1-x0| < (2, faça 
. FIM.
x0 = x1
k = k + 1. Volte ao passo 4.
_1091889081.unknown
_1091889313.unknown
_1091889008.unknown
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Método da Secante
Uma desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração, causando um esforço computacional.
_1091902301.unknown
_1091902328.unknown
_1091902329.unknown
_1091902314.unknown
_1091901909.unknown
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Comparação entre os métodos
Critérios: garantia de convergência, rapidez de convergência e esforço computacional.
Bissecção e Posição Falsa: convergência garantida (desde que satisfaça as condições do teo. principal), cálculos menos elaborados, convergência lenta.
MPF e Secante: condições restritas, cálculos rasoáveis, boa velocidade de convergência.
Newton-Haphson: condições restritas, cálculos mais elaborados, convergência rápida. 
 
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Exemplo
 
	
		
		Bis.
		PF
		MPF
		Newton
		Secante
		Dados
Iniciais
		[1,2]
		 [1,2]
		x0 = 1.5
		x0=1.5
		x0 = 1; x1 = 2
		
		1.44741821
		1.44735707
		1.44752471
		1.44741635
		1.44741345
		
		2.1921x10-5
		-3.6387x10-5
		7.0258x10-5
		1.3205x10-6
		-5.2395x10-7
		Erro em x
		6.1035x10-5
		.552885221
		1.9319x10-4
		1.072x10-3
		1.8553x10-4
		Iter.
		14
		6
		6
		2
		5
_1091898479.unknown
_1091898978.unknown
_1091900577.unknown
_1091900600.unknown
_1091899013.unknown
_1091898940.unknown
_1091898453.unknown