Conjuntos numéricos - atividade de estudo

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Atividade de Estudo 1: Conjuntos
numéricos
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 1 - p. 3
Objetivos da atividade:
▪ Identificar conjuntos numéricos.
▪ Representar e operar com intervalos reais.
Conjuntos
Conjunto: qualquer coleção de objetos.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A,B,C, ... e seus elementos,
dentro de duas chaves  .Um conjunto pode ainda ser descrito por uma ou mais propriedades. Por
exemplo, podemos descrever o conjunto das vogais do nosso alfabeto escrevendo
V = x / x é uma vogal .
Conjunto numérico: qualquer conjunto cujos elementos são números. Em geral, nos interessam
aqueles cujos números possuem características semelhantes.
Subconjuntos: um conjunto A é dito subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos
de A também pertencem a B. Por exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,3,4,5,6. Nesse caso A é
subconjunto de B, e indica-se A ⊂ B.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N :
N = 0,1,2,3,…
N∗ = N − 0 = 1,2,3,…
Exercício 1:
Represente, por extensão, os conjuntos:
a) A = x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 2
b) B = x ∈ N∗ / x ≤ 5
c) C = x ∈ N / 2 < x < 7
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z :
Z = …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
Do conjunto dos números inteiros, daremos destaque aos seguintes subconjuntos:
a. Conjunto dos números inteiros não-nulos:
Z∗ = Z − 0 = …,−3,−2,−1,1,2,3,… = x ∈ Z / x ≠ 0
b. Conjunto dos números inteiros não-positivos:
Z− = …,−3,−2,−1,0 = x ∈ Z / x ≤ 0
c. conjunto dos números inteiros negativos:
Z−∗ = …,−3,−2,−1 = x ∈ Z / x < 0
d. conjunto dos números inteiros não-negativos:
Z+ = 0,1,2,3,… = x ∈ Z / x ≥ 0
e. conjunto dos números inteiros positivos:
Z+∗ = 1,2,3,… = x ∈ Z / x > 0
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Exercício 2:
Usando os símbolos ∈,∉,⊂ ou ⊃, estabeleça relação entre:
a) 3___Z b) 3___Z− c) −3___Z+∗ d) −3___ Z− e) 0___Z+
f) 0___Z+∗ g) 0___Z+ h) 0___Z− i) N∗___Z∗ j) Z_ ___Z
k) Z∗___Z−∗ l) Z+∗ ___Z
Conjunto dos números racionais
Chama-se número racional todo número que pode ser escrito na forma de razão (fração) pq , com
p ∈ Z e q ∈ Z∗.
Q = x / x = pq , em que p ∈ Z e q ∈ Z∗
Assim:
• todo número inteiro é racional:
5 = 51 − 3 =
−3
1 0 =
0
1
• todo número decimal exato é racional:
0, 5 = 510 =
1
2 2,21 =
221
100
• todo número decimal periódico é racional:
0, 444… = 49 0,444... = x i Subtraindo i de ii :
4, 444... = 10x ii 10x − x = 4,444... − 0,444...
9x = 4
x = 49
0,3444... = _____
−0,131313... = ____
Exercício 3:
Exercícios 1 a 4 - p. 11 do livro do Demana
Exercício 4:
Exercícios 1 a 8 - p. 35 do livro do Demana
Conjunto dos números iracionais
Números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração.
Representamos o conjunto por I.
O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que
era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1.
Fazem parte do conjunto dos números irracionais:
• as raízes não exatas: 2 , 5 , − 3 , 3 4 , ...
(Lembre que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência:
2 = 21/2, 3 5 = 51/3, 3 4 = 3 22 = 22/3)
2
• decimais não periódicos:
π = 3, 1416..., e = 2,718281..., ϕ = 1,6180339... (número de ouro)
Racionalização de denominadores
Quando o denominador de uma fração for um número irracional escrito na forma de radical é
possível racionalizá-lo multiplicando o numerador e o denominador por um número conveniente:
• 5
3
= 5
3
×
3
3
=
5 3
3
• 2
4 − 5
= 2
4 − 5
×
4 + 5
4 + 5
=
2 4 + 5
16 − 5 =
2 4 + 5
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Exercício 5:
Exercícios 33 a 38, 43 a 46 e 53 a 60 - p. 20 e 21 do livro do Demana
Exercício 6:
Dados n = 3 e m = 3 2 efetue as operações indicadas e classifique as afirmações em Verdadeira
(V) ou Falsa (F):
a) n + m é racional b) n.m é irracional c) m2 é irracional d) m3 é irracional
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos
números irracionais: R = Q ∪ I.
Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real:
Intervalos
Intervalos numéricos são subconjuntos de números reais definidos por desigualdades. Intervalos são
”pedaços” da reta real.
Os intervalos podem ser representados:
• Por descrição: x ∈ R / − 1 ≤ x ≤ 3
• Por notação: −1, 3
• Na reta real:
Tipos de intervalos:
1. a. Fechados:
x ∈ R / a ≤ x ≤ b ou a,b ou
b. Abertos:
3
x ∈ R / a < x < b ou
a,b
a,b
ou
c. Fechado à esquerda e aberto à direita:
x ∈ R / a ≤ x < b ou
a,b
a,b
ou
d. Aberto à direita e fechado à esquerda:
x ∈ R / a < x ≤ b ou
a,b
a,b
ou
Exercício 7:
Exercícios 5 a 36 - pp. 11 e 12 do livro do Demana.
Operações com Intervalos
União
Dado dois conjuntos A = 1,2,3,4,5 e B = 5,6,7, a união deles é pegar todos os elementos de
A e de B e unir em apenas um conjunto (não há necessidade de repetir os elementos comuns). Assim, o
conjunto que irá representar essa união é: 1,2,3,4,5,6,7.
A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo ∪. Então, A ∪ B = 1,2,3,4,5,6,7.
Intersecção
A intersecção de dois conjuntos é pegar os elementos que eles têm em comum.
Dado dois conjuntos A = 1,2,3,4,5,6 e B = 5,6,7, a intersecção, representada pelo símbolo
∩, é A ∩ B = 5,6, pois 5 e 6 são elementos que pertencem aos dois conjuntos.
Exercício 8:
Sendo E = x ∈ R / − 3 ≤ x < 1 , F = x ∈ R / x ≤ 3 e G = x ∈ R / 1 < x ≤ 5 , obtenha:
a) E ∩ F b) E ∪ F c) F ∩ G
d) F ∪ G e) E ∩ G f) E ∪ G
Referências:
Na internet:
• http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas7.php
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
• http://www.brasilescola.com/matematica/conjuntos-numericos.htm
• http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/operacao-com-conjuntos.htm
Bibliográficas:
• Bianchini, E., Paccola, H., Matemática, volume 1: versão beta, 2a ed., São Paulo, Moderna, 2000.
• Demana, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
• Paiva, M. Matemática. São paulo, Moderna, 1995.
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