Potenciação, Radiciação e Unidades

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1 Potenciação
1.1 Definição
Potenciação é a operação que eleva um número a (chamado de base) a um ex-
poente n (inteiro, positivo), que indica quantas vezes a deve ser multiplicado por ele
mesmo. Matematicamente, é definida como:
an = a × a × · · · × a︸ ︷︷ ︸
n vezes
Exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8.
1.2 Propriedades da Potenciação
Algumas propriedades importantes:
• am × an = am+n.
• am
an = am−n (com a ̸= 0).
• (am)n = am×n.
• a0 = 1 (com a ̸= 0).
• a−n = 1
an (com a ̸= 0).
• a
1
n = n
√
a (com n ̸= 0).
Exemplo 1: Resolva 23 × 22
23 × 22 = 23+2 = 25 = 32
Exemplo 2: Resolva
54
52
54
52 = 54−2 = 52 = 25
2 Radiciação
2.1 Introdução
A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a di-
visão é o inverso da multiplicação. A radiciação envolve a extração da raiz quadrada,
cúbica ou de ordem n de um número (também chamada de raiz n-ésima). Para en-
contrar a raiz quadrada (neste primeiro exemplo, mais a frente veremos outras raízes),
precisamos nos atentar que:
42 = 16
isso significa que, para encontrar a raiz quadrada de 16, devemos achar um valor, que
ao quadrado, nos resulta em 16. Perceba que também poderíamos ter como resposta
o número −4, pois −42 = 16, mas por definição, a raiz quadrada de um número sempre
deve ser positiva, portanto, −4 não deve ser incluso como resposta. Então
√
16 = |4|
Já raízes de índice ímpar, como a raiz cubica, podem ter valores negativos. Calcu-
lamos ela como o valor b que ao cubo resulta em a Veja o exemplo:
b3 = a ∴ 3
√
a = b
−33 = −27
Logo,
3
√
−27 = −3
2.2 Radical, Índice e Radicando
Toda raiz pode ser representada na forma de um radical:
n
√
a
onde:
• O número a dentro da raiz é chamado de radicando.
• O número n, indicado acima do radical, é o índice, que representa qual a potên-
cia inversa estamos aplicando.
• O símbolo √ é chamado de radical.
Se o índice da raiz não for explicitamente indicado, assume-se que ele é 2 (raiz
quadrada). Exemplo: √
16 = |4| pois |4|2 = 16
Para raízes cúbicas e superiores, o índice deve ser indicado. Exemplo:
3
√
8 = 2 pois 23 = 8
2.3 Propriedades da Radiciação
• Raiz de um produto: A raiz de um produto pode ser separada em um produto
de raízes. √
a × b =
√
a ×
√
b.
Exemplo: √
9 × 16 =
√
9 ×
√
16 = 3 × 4 = 12.
• Raiz de um quociente: A raiz de uma fração pode ser separada em uma fração
de raízes. √
a
b
=
√
a√
b
.
Exemplo: √
25
4 =
√
25√
4
= 5
2 .
• Conversão entre potência e raiz: A radiciação pode ser escrita como uma
potência com expoente fracionário.
n
√
a = a
1
n .
Exemplo:
3
√
8 = 8 1
3 = 2.
2.4 Simplificação de Radicais
Assim como as frações, os radicais podem ser simplificados ao extrair fatores do
radicando. Exemplo:
√
50 =
√
25 × 2 =
√
25 ×
√
2 = 5
√
2.
2.5 Operações com Radicais
• Soma e subtração: Podemos somar ou subtrair radicais apenas quando pos-
suem o mesmo índice e radicando.
2
√
3 + 5
√
3 = 7
√
3.
• Multiplicação: Multiplicamos os radicais multiplicando seus radicandos, desde
que tenham o mesmo índice.
√
2 ×
√
8 =
√
2 × 8 =
√
16 = 4.
• Divisão: Dividimos os radicais dividindo seus radicandos, desde que tenham o
mesmo índice. √
18√
2
=
√
18
2 =
√
9 = 3.
2.6 Racionalização
Racionalizar significa que devemos remover a o número irracional do denominador
de uma fração. Para isso multiplicamos por esse mesmo número, o numerador e o
denominador da fração.
Exemplo:
1√
3
= 1√
3
·
√
3√
3
= 1 ·
√
3√
3 ·
√
3
=
√
3
(
√
3)2 =
√
3
3
Podemos também utilizar as propriedades de produtos notáveis (que veremos mais
a frente) para racionalizar uma fração.
Exemplo:
1√
5 −
√
2
= 1 · (
√
5 +
√
2)
(
√
5 −
√
2) · (
√
5 +
√
2)
=
√
5 +
√
2
√
52 −
√
22 =
√
5 +
√
2
5 − 2 =
√
5 +
√
2
3
3 Notação Científica
3.1 Definição
A notação científica é uma forma de escrever números muito grandes ou muito pe-
quenos de maneira compacta. Um número na forma de notação científica é expresso
como:
a × 10n
onde 1 ≤ |a|