Matemática Financeira - Apostila

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
HP E EXCEL 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Conceitos e Convenções ......................3 
Conceitos ................................................3 
Convenções.............................................3 
Convenções aplicadas a HP e 
EXCEL .....................................................4 
Conhecendo a HP..................................5 
Princípio de funcionamento...............6 
Regimes de Capitalização ...................8 
Juros Simples ........................................10 
Juros compostos....................................13 
Classificação das Taxas .......................14 
Operações de Desconto........................18 
Fluxo de Caixa Uniforme ....................24 
Fluxo de Caixa Irregular.....................28 
Referências.............................................31 
 
 
 
 
 
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Matemática Fianceira 
Conceitos e Convenções 
 
Conceitos 
¾ “A matemática financeira é um 
conjunto de técnicas e formulações 
matemáticas, com o objetivo de 
analisar situações financeiras 
envolvendo o valor do dinheiro no 
tempo. Em qualquer operação 
financeira, existem dois fatores-
chaves: dinheiro e tempo. O objetivo 
da matemática financeira é analisar 
como os recursos financeiros se 
modificam ao longo do tempo. 
¾ O valor do dinheiro muda no tempo, 
uma vez que o possuidor do dinheiro 
pode aplicá-lo e obter uma taxa de 
remuneração pelo capital. A 
remuneração do capital no tempo é 
chamada de juros e pode ser encarada 
como um direito inerente ao capital. O 
juro é a remuneração paga a quem 
possui os recursos financeiros. 
¾ Entende-se por capital qualquer valor 
expresso em moeda e disponível para 
consumo ou investimento em 
determinada data. Neste livro, 
usamos "$" como símbolo de uma 
moeda genérica, sendo que os 
conceitos de matemática financeira se 
aplicam para qualquer moeda. 
¾ Ao se dispor a aplicar recursos, o 
detentor do capital espera receber 
uma taxa de juros, que depende de 
diversos fatores, entre eles o risco da 
operação (probabilidade de perda do 
capital), a inflação (desvalorização do 
poder aquisitivo da moeda), a liquidez 
do investimento (prazo) e o valor do 
capital aplicado. O juro é sempre 
proporcional ao valor do capital 
aplicado (ou emprestado) e ao tempo 
de duração da operação financeira. 
¾ A taxa de juros é a razão entre os 
juros recebidos (ou pagos) no fim de 
um período de tempo e o capital 
inicialmente empregado. A taxa de 
juros sempre está relacionada com 
uma unidade de tempo (dia, semana, 
mês, semestre, ano etc.). Ela pode ser 
indicada em forma de fração ou 
porcentagem do capital que a gerou.” 
(Silva, 2005). 
 
Convençoes 
9 Capital 
Também denomido “Principal” é o valor 
inicial de qualquer operação, seja ela de 
financiamento ou investimento. 
 
9 Juros 
È o valor recebido pelo detentor do 
capital pela abstenção de seu uso em 
um período de tempo. 
9 Prazo 
Período pelo qual o capital vai 
permanecer aplicado ou emprestado é 
medido em dias, meses, anos etc. 
9 Montante 
É o volume do capital acrescido dos 
juros ao final de determinado período. 
9 Amortização ou Resgate 
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É o valor pago do capital investido ou 
emprestado em parcelas ou ao 
vencimento da operação(prazo final). 
9 Pagamentos ou Recebimentos 
São parcelas compostas pelo juros 
somente ou formada pelos juros + 
(amortização ou resgate). 
9 Período ou ano Comercial 
Representa um perído de tempo 
representado por 360 dias considera-sae 
o mês de 30 comercial dias. 
9 Perído ou ano civil 
Representa um perído de tempo 
compreendido de 365 anos normais e 
366 para anos bissexto, considera-se os 
dias efetivamente transcorridos 
 
Convenções aplicadas a HP e Excel 
 
9 Valor persente- VP - (HP - 
PV) 
Representa o capital investido ou 
aplicado no momento atual. 
9 Valor futuro – VF - (HP – FV) 
Representa o capital acumulado 
acrescido dos respectivos juros em 
determinado prazo. 
9 Prazo- n - (HP – n) 
É o período de duração de um 
investimento ou empréstimo. 
9 Taxa de juros - i - (HP – i) 
É a razão entre os juros(pagos ou 
recebidos) e o capital, expressa de forma 
unitária(0,01) ou percentual (10% - 
representando a décima parte de 100 
unidades) 
9 Pagamento - PGTO - (HP – 
PMT) 
Também chamado de 
prestação(recebimento ou pagamento) 
com valores constantes distribuídos 
periodicamente no período da operação 
9 Fluxo de caixa - Fc - (HP – Cf 
(cash flow)) 
É o conunto e entradas e saidas de 
dinheiro (caixa) de um indivíduo ou 
empresa ao longo do tempo. Tem como 
convenção a representatividade em uma 
reta e os pagamentos e recebimentos 
representados nesta reta com sentidos 
contrários(para baixo e para cima) 
 
 
Cf0 
receb 
PGTO 
final 
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9 Taxa interna de retorno – TIR 
- (HP - IRR – internal rate of 
return) 
É a taxa que equaliza as entradas e 
saídas de um fluxo de caixa 
9 Valor presente líquido – VPL - 
(HP – NPV) 
È o valor presente de um série de 
pagamentos a uma taxa mínima de 
atratividade deduzindo deste o 
investimento inicial. 
9 Data focal – D f 
È uma data compreendida dentro de 
um fluxo de caixa na qual queremos 
calcular o valor de nossas entradas e 
siadas (valor presente). 
 
Conhecendo a HP 
 
 
 Esta tecla aciona todos os 
comandos grafados na cor “laranja” 
 
 Esta tecla aciona todos os 
comandos grafados na cor “azul” 
9 Controle de casas decimais 
 
Digitamos o número 49,23453, 
Ex 1 – se digitarmos a tecla e 
o número “2” teremos: 
No visor - “49,23” 
Ex 2 – se digitarmos a tecla e 
o número “3” teremos: 
No visor - “49,235” 
Desta forma podemos regular as casas 
decimais no intervalo de 0 a 9 casas, 
considerando que o arredondamento 
segue o seguinte critério: entre 0 e 4 o 
arredondamento é para baixo e de 5 em 
diante o arredondamento é para cima. 
 
9 Pontuação 
 
Originalmente a HP 12C usa o 
formato “,” e “.” (ex: 2,000.32) 
Para alteramos, basta 
desligarmos a calculadora pressionando 
a tecla “ on “ e em seguida presionamos 
a tecla “ .”, mantendo-a apertada 
pressionamos a tecla “ on “, soltando 
esta última primeiro e em seguida a 
tecla “ .”. 
 
 
f 
g 
f 
f 
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9 Troca de sinal 
Originalmente quando teclamos um 
número ele assume o valor positivo, 
para alterarmos está condição 
digitamos o número e em seguida a 
tecla “CHS” 
 
Príncipios de funcionamento 
A HP funciona com o sistema de pilhas 
de armazenamento conforme abaixo: 
T 0 0 0 0 
Z 0 0 0 0 
Y 0 5 5 0 
X 
visor 
5 5 2 0 
TC 5 2 
 
Temos a expressão: ( 3 x 4 ) + (5 x 6) 
 7 
 
9 Teclas de armazenamento e 
recuperação de dados 
 
A HP possui duas teclas destinadas a 
armazenar dados durante cálculos, são 
elas: 
¾ “STO” - para armazenar, com 
possibilidade de um fluxo de 20 
unidades ( de 0.1 a 9) 
EX: 
visor 
20 STO 0.1 
25 STO 0.8 
12 STO 2 
13 STO 9 
 
¾ “RCL” - para recuperar os 
dados armazenados na tecla 
“STO” 
EX: recuperando os dados do exemplo 
anterior: 
 visor 
RCL 0.1 20 
RCL0.8 25 
RCL 2 12 
RCL 9 13 
 
T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
Z 0 0 0 0 0 12 12 0 0 
Y 0 3 3 0 12 5 5 12 0 42 
X 3 3 4 12 5 5 6 30 42 7 6 
TC 3 4 x 5 6 x + 7 ÷ 
 - enter 
enter enter 
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9 Limpeza dos registradores 
Para se limpar os registradores é 
necessario teclar “REG”. 
e “FIN” , este procedimento 
garante a exatidão do resultado da 
operação a ser realizada. 
Para limpar o visor tecle “CLX” 
9 Tratamento de data 
9 
A HP permite dois formatos de data: 
D.MY ( dia mês ano) 
Para colocar a calculadara neste 
modulo tecle “D.MY”, no visor 
em tamanho reduzido na parte inferior 
direito aparecerá D.MY . 
EX: A data 24.11.2007 deve ser 
digitada assim: 
24.11207 
 
M.DY (mês dia ano) 
Para colocar a calculadara neste 
modulo tecle “M.DY”, no visor 
em tamanho reduzido na parte inferior 
direito aparecerá M.DY. 
EX: a data 24.11.2007 deve ser digitada 
conforme abaixo: 
11.242007 
9 Operações com datas 
 DATE 
Esta tecla permite encontrar uma data 
futura ou passada a partir da contagem 
de dias. 
EX: Calcule em que dia vence um título 
pré fixado para 265 dia a contar de 
24.11.2007. 
Certifique-se que no visor está D.MY 
visor 
24.112007 
265 DATE 
15.08.2008 
 
EX: Um título foi aplicado a 210 dias 
atrás, como sendo hoje dia 14.11.2207, 
gostaria de saber qual a data da 
aplicação? 
visor 
24.112007 
210 CHS 
 DATE 
28.04.2007 
 
 
g 
g 
enter 
g 
enter 
g 
f 
f 
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DYS 
Calcula o número de dias exato entre 
duas datas. 
EX: 
visor 
24.112007 
28.042007 
 
DYS 
- 210 
 
¾ Operações algébricas 
Soma 10+4 10 
 4 + 
Subtração 10-4 10 
 4 - 
Multilicação 10x4 10 
 4 x 
Divisão 10x4 10 
 4 ÷ 
Potenciação 10 
 4 
rediciação 10¼ 10 
 4 
 
¾ Operações com juros simples 
ou compostos 
 “STO” “EEX” 
Ao teclarmos “STO” e em seguida 
“EEX” aparecerá na parte inferior 
diredo visor a letra “C”, isto 
significa que todos os cálculos são 
feitos a juros compostos. 
Se teclarmos “STO” e em seguida 
“EEX” o “C” desaparecerá do visor 
e então nossos cálculos estarão 
sendo realizados ajuros simples. 
EX: 
STO EEX “C” desativado 
50.000,00 PV 
5 i 
0,5 n 
 FV -51.250,00 
 
STO EEX “C” ativado 
50.000,00 PV 
5 i 
0,5 n 
 FV -51.234,75 
 
 
 
enter 
g 
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Regimes de Capitalização 
Os juros auferidos em um processo de 
investimento ou empréstimo, pode ser 
calculado através de dois regimes 
diferentes : Juros Simples ou Juros 
Compostos. 
Na capitalização por juros simples o 
capital inicial é a base do calculo dos 
juros periódicos. 
Na capitalização por juros compostos a 
base de calculo passa a ser o capital 
inicial acrescido dos juros dos períodos 
anteriores, este sistema é tambem 
chamado de capitalização exponencial. 
Abaixo veremos as tabelas 1 e gráfico 1 
- juros simples, tabela 2 e gráfico 2 – 
juros compostos, e um gráfico 3 
mostrando a comparação entre os dois 
regimes. 
 
Tabela 1. Crescimento do dinheiro a 
juros simples. 
Ano Capital 
inicial 
PV 
I% Juros 
ao ano 
Capital 
final FV 
1 100,00 10 10,00 110,00 
2 110,00 10 10,00 120,00 
3 120,00 10 10,00 130,00 
4 130,00 10 10,00 140,00 
5 140,00 10 10,00 150,00 
O gráfico abaixo representa a tabela1. 
 
 
Gráfico 1. Crescimento do dinheiro a 
juros simples. 
 
Tabela 2. Crescimento do dinheiro a 
juros compostos. 
Ano Capital 
inicial 
PV 
I% Juros 
ao ano 
Capital 
final FV 
1 100,00 10 10,00 110,00 
2 110,00 10 11,00 121,00 
3 121,00 10 12,10 133,10 
4 133,10 10 13,31 146,41 
5 146,31 10 14,64 161,05 
 
 
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O gráfico abaixo representa a Tabela 2. 
 
 
Gráfico 2. Crescimento do dinheiro a 
juros compostos. 
 
Abaixo gráfico comparativo enre os dois 
regimes. 
 
Gráfico 3. Comparativo entre os regimes 
de capitazação 
 
Juros Simples 
 
No regime de juros simples, a taxa vi 
insidir sempre sobre o capital inicial, 
não existindo cobrança sobre os juros 
gerados anteriormente, desta forma o 
juros produzido por período é constante 
e proporcional ao capital. 
“A taxa de juros e o prazo devem estar 
na mesma base temporal” (Silva, 2005). 
 
Fórmula: 
Juros 
 
 
Onde : Pv = capital inicial 
 I = taxa de juros 
 N = prazo 
 J = juros calculados 
FV (capital final ou montante) 
 FV = PV + J 
 FV = PV + (PV x i x n) 
 FV = PV x (1 + i x n) 
 
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¾ Exercícios resolvidos 
Ex: 
Determine o valor de resgate de um 
capital que, aplicado por seis 
semestres á taxa de 30% a.a., rende 
$60.000,00 de juros. 
Solução: 
i = 30% a.a 
n = 6 semestres = 3 meses 
juros = 60.000,00 
PV = ? 
FV = ? 
Juros = PV x i x n 
PV = = = 66.666,67 
FV = PV + Juros 
FV = 66.666,67 + 60.000,00 = 
126.666,67 
¾ Exercícios Propostos 
Obs.: Todos os exercícios assumem regime 
de juros simples. 
1. Determinar o valor de resgate de uma 
aplicação de $ 45.000,00, por um pra-
zo de 8 trimestres, a uma taxa de 
1,5% a.m. 
2. Determinar o principal que, à taxa de 
2% a.s., produz juros de $ 2.000,00 ao 
final de 4 anos. 
3. Determinar a taxa mensal de juros 
que faz com que um capital investido 
por 6 bimestres renda juros iguais à 
metade do valor aplicado. 
4. Determinar quantos meses são 
necessários para quintuplicar um 
capital aplicado a 8% a.s. 
5. Calcular os juros recebidos por um 
investidor ao aplicar $ 10.000,00 
durante 6 meses e 10 dias, a uma taxa 
de 1% a.m. Obs.: Assumir o mês com 
30 dias. 
6. Determinar a taxa semestral de juros 
paga por um mutuário que tomou um 
financiamento de $ 20.000,00 por um 
prazo de 15 meses e pagou $ 5.000,00 de 
juros. 
7. Um professor realizou um 
investimento no Banco "A", por um 
prazo de 24 meses, a uma taxa de 
22% a.a. No vencimento, resgatou a 
aplicação e investiu todo o montante 
no Banco "B", a uma taxa de 25% 
a.a., por um prazo de 32 meses, 
retirando ao final um valor de $ 
550.000,00. Qual foi o valor aplicado 
inicialmente no Banco "A"? 
8. Um empresário necessitará de $ 
10.000,00 no fim de 5 meses e $ 
18.000,00 no final de 9 meses. Ele foi 
aconselhado a aplicar uma 
determinada quantia financeira hoje, 
para fazer face aos pagamentos 
futuros. Determinar o valor do 
principal necessário para que o 
empresário possa honrar seus dois 
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compromissos em suas respectivas 
datas, sabendo-se que o banco irá 
remunerar o investimento a uma 
taxa de 2% a.b. 
9. Um indivíduo deve $ 500,00 no prazo 
de 8 meses e $ 1.200,00 no prazo de 
18 meses. Qual é o valor do 
pagamento único a ser efetuado hoje 
que liquidaria os dois débitos, 
sabendo que a taxa de juros é 15% 
a.a.? 
10. Um pai comprou por $ 20.000,00 um 
título de renda fixa com prazo de 36 
meses à taxa de 18% a.a. Um ano 
depois, propôs vender o título para 
seu filho. Determinar o valor justo 
da venda, sabendo-se que a taxa de 
juros no mercado é 23% a.a. Caso o 
títuloseja vendido pelo valor justo, 
qual será a taxa anual de juros 
recebida pelo pai no período em que 
ficou com o título? 
11. Uma pequena empresa contrai hoje 
uma dívida de $ 18.000,00 com prazo 
de 9 meses. A empresa planeja pagar 
ao credor $ 8.000,00 daqui a 6 meses 
para reduzir o valor do pagamento no 
vencimento. Caso o credor concorde 
em receber esse valor no sexto mês, 
quanto faltará a ser pago no 
vencimento, sã bendo que a taxa de 
financiamento é 3% a.t.? 
12. A empresa SoDevo S.A. comprou 
um equipamento cujo valor a vista 
era $ 50.000,00. A empresa pagou 10% 
de entrada e concordou em financiar o 
restante a uma taxa de juros de 3% 
a.m. Se a empresa pagar ao banco $ 
9.000,00 nove meses após a compra e 
$ 15.000,00 quinze meses após a 
compra, quanto precisará pagar para 
liquidar o financiamento dois anos 
depois da compra? 
13. Um comerciante contrai um 
financiamento de $ 50.000,00 a uma taxa 
de juros de 1,8% a.m. Seis meses depois, 
podendo dispor do mesmo capital a juros de 
1,2% a.m., saldou seu débito referente ao 
principal e juros através de um novo 
financiamento a taxas mais vantajosas. 
Sabendo-se que o total de juros pagos nos 
dois financiamentos foi de $ 12.048,00, 
determinar o prazo do segundo 
financiamento e a taxa média mensal 
paga pelo comerciante nos dois 
empréstimos 
“Exercicios extraidos de (Silva, 2005)” 
Gabarito 
1. $ 61.200,00 
2. $ 12.500,00 
3. 4,17% a.m. 
4. 300 meses 
5. $ 633,33 
6. 10% a.s. 
7. $ 229.166,67 
8. $ 26.037,57 
9. $ 1.434,14 
10. $ 21.095,89 e 5,48% a.a. 
11. $ 11.393,58 
12. $47.417,92 
13. 10 meses e 1,51% a.m. 
 
 
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Juros Compostos 
 
Neste regime, a taxa incide sobre o 
saldo acumulado do período anterior 
(capital inicial + juros dos períodos 
anteriores), é o mais utilizado sendo 
a base de cálculo dos empréstimos e 
investimentos. 
 
Fórmula 
Juros 1º período 
 
FV ൌ PV ൅ J ൌ PV  ൅ PV x i ൌ PV x ሺ1 ൅ iሻ 
Juros 2º período 
J 2ൌ FV1 x i  ൌ PV x ሺ1൅iሻ x i  
FV2 ൌ FV1 ൅ J2 ൌ PV x ሺ1 ൅ iሻ ൅ PV x 
ሺ1൅iሻ x i ൌ PV x ሺ1൅iሻ² 
Este cáuculo é repetido em todos os 
períodos da operação , donde para 
um capital aplicado (PV), a uma 
taxa de juros i, por um prazo n, é 
dado por: 
 
 
¾ Exercícios Resolvidos 
 
Determinar os juros e o valor de 
resgate de um empréstimo de $ 
50.000,00, com taxa de juros compostos 
de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. 
Comparar os resultados com o do 
Exemplo 2.1. 
Solução: 
PV = 50.000,00 
n = 3 trimestres = 9 meses 
i = 5% a.m. 
Juros = ? 
FV = ? 
FV = PV x (1+ i)n = 50.000,00 x (l + 
5%)9 = 77.566,41 
 
mês PV Juros Mensais FV 
1 50.000,00 5% x 50.000,00 = 
2.500,00 
52.500,00
2 52.500,00 5% x 52.500,00 = 
2.625,00 
55.125,00
3 55.125,00 5% x 55.125,00 = 
2.756,25 
57.881,25
4 57.881,25 5% x 57.881,25 = 
2.894,06 
60.775,31
5 60.775,31 5% x 60.775,31 = 
3.038,77 
63.814,08
6 63.814,08 5% x 63.814,08 = 
3.190,70 
67.004,78
7 67.004,78 5% x 67.004,78 = 
3.350,24 
70.355,02
8 70.355,02 5% x 70.355,02 = 
3.517,75 
73.872,77
9 73.872,77 5% x 73.872,77 = 
3.693,64 
77.566,41
 
Resolvendo pela HP 
 
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50.000 PV 
9 n 
5 i 
FV -77.566,41 
 
 
¾ Exercícios Propostos 
Obs.: Todos os exercícios assumem regime de 
juros compostos. 
1. Determinar o valor de resgate de um 
investimento de $ 20.000,00, aplicado 
a uma taxa de juros de 3,2% a.m., 
por um prazo de 4 semestres. 
2. Calcular o investimento necessário 
para se produzir um montante de $ 
43.000,00, a uma taxa de juros de 
16,5% a.a., daqui a 187 dias. Fazer os 
cálculos considerando o ano 
comercial e o ano civil. 
3. Determinar o prazo necessário para um 
capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a. 
4. Qual é a taxa semestral de juros que 
produz um montante de $ 79.000,00 
a partir de um investimento de $ 
50.000,00 no fim de 10 anos? 
5. Determinar o valor hoje das 
seguintes obrigações: $ 3.000,00 
devidos hoje, $ 5.000,00 devidos em 5 
meses e $ 9.000,00 devidos em 7 
meses, com juros de 3,5% a.m. 
6. Um estudante deseja investir uma 
quantia que lhe permita resgatar $ 
50.000,00 no final de 12 meses e $ 
75.000,00 no final de 24 meses. 
Determinar o valor do investimento, 
sabendo que o banco remunera a 
uma taxa de 6% a.t. 
7. Um banco vendeu títulos de sua 
emissão por $ 98.500,00. O título 
vence em 100 dias, com valor de 
resgate de $ 100.000,00. Determinar 
a taxa anual da operação, 
considerando o ano civil. 
8. Uma pequena empresa deseja 
reestruturar suas dívidas. 
Atualmente, ela tem três obrigações, 
nos valores de $ 30.000,00, 
$ 50.000,00 e $ 80.000,00, com 
vencimentos em 50, 70 e 90 dias, 
respectivamente. Ela deseja trocar os 
três pagamentos por um único daqui a 
120 dias. Determinar o valor desse 
pagamento, sabendo-se que a taxa de 
juros de mercado é de 30% a.a. (ano 
comercial). 
9. Um empresário comprou um veículo 
no valor de $ 30.000,00, dando uma 
entrada de $ 5.000,00, ficando com 
uma prestação de $ 15.000,00 para 3 
meses e outra para 6 meses. 
Determinar o valor da última 
prestação, sabendo-se que a taxa de 
juros é 3% a.b. 
10. Um aposentado comprou um 
certificado de depósito bancário 
(CDB) que paga $ 100.000,00 daqui a 
182 dias. Determinar o valor de 
emissão, para que a taxa de juros na 
operação seja 17% a.a. (ano 
comercial). 
11. Uma empresa contraiu um 
financiamento que deve ser liquidado 
com um pagamento único no final de 
15 meses. A taxa de juros do banco é 
3,5% a.m., desdobrada em dois 
componentes: (a) uma taxa de 2,5% 
a.m. cobrada de forma postecipada; e 
(b) uma taxa antecipada (em 
porcentagem do valor financiado), 
cobrada a vista e a título de tarifa de 
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abertura de crédito. Determinar o va-
lor da taxa antecipada para que o 
custo total do financiamento seja 3,5% 
a.m. 
“Exercicios extraídos de (Silva, 2005)” 
 
¾ Gabarito 
1. $42.593,44 
2. $39,720,60(ano comercial) e 
$39.763,79(ano civil) 
3. 4,92 anos 
4. 2,31% a.s. 
5. $14.283,78 
6. $86.660,61 
7. 5,67% a.a. 
8. $165.194,10 
9. $11.638,14 
10. $92.369,43 
11. 13.55% 
 
Classificação das taxas de juros 
 
¾ Taxas Proporcionais e 
Equivalentes 
¾ Proporcionais 
Duas taxas são classificadas como 
proporcionais quando dadas em 
períodos diferentes de tempo, produzem 
sobre um mesmo capital inicial o 
mesmo montante no final da operação a 
juros simples. 
EX: 
Taxa ao ano = 2 x taxa ao semestre=4 x 
taxa ao trimestre=6 x taxa ao bimestre= 
12 x taxa mensal= 360 x taxa dia. 
 
¾ Equivalentes 
Duas taxas são classificadas como 
proporcionais quando dadas em 
períodos diferentes de tempo, produzem 
sobre um mesmo capital inicial o 
mesmo montante no final da operação a 
juros compostos. 
EX: 
(1+ )= = = = 
= 
 
Ex: Determinar a taxa mensal 
equivalente a: (a) 6% a.t.; (b) 24% a.s.; (c) 
36% a.a. 
Solução: 
 
(a) (l + it)1/3 -1 = (1 + 6%)1/3 - l = 
1,96% a.m. 
(b) (l + i,)1/6 - 1 = (l + 24%) 1/6 - l = 
3,65% a.m. 
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(c) (l + ia)1/12 - 1 = (! + 36%)1/12 - l = 
2,60% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, as taxas equivalentes são 
iguais a 1,96% a.m., 3,65% a.m. e 2,60% 
a.m. Vale ressaltarque os valores das 
taxas equivalentes são inferiores aos das 
taxas proporcionais do Exemplo 4.3, uma 
vez que as taxas proporcionais (juros sim-
ples) crescem mais rápido do que as taxas 
equivalentes (juros compostos) quando n é 
fracionário. 
Ex: Determinar a taxa 
trimestral equivalente a 2% a.b. 
Solução: 
(l + ib)3/2 - 1 = (1 + 2%)3/2 - l = 3,01% a.t. 
 
 
 
 
 
 
Ex: Determinar a taxa diária equivalente 
a 25% a.a., assumindo ano civil. 
Solução: 
(l + i )1/365 - 1 = (1 + 25%)1/365 - l = 0,06% 
a.d. 
 
Ex: Determinar a taxa diária 
proporcional a 25% a.a., assumindo ano 
civil. 
 0,07% a.d. 
 
¾ Taxas Nominais e Efetivas 
 
¾ Nominais 
São as taxas que aparecem descritas 
nos contratos, enunciados, e estão 
representadas em um determinado 
perído de tempo. Se capitalizadas por 
este mesmo período de tempo, dizemos 
100,00 CHS PV 
6 i 
0 PMT 
1 [ENTER] 3 [/] n 
FV 101,96 
100,00 CHS PV 
24 i 
0 PMT 
1 [ENTER] 6 [/] n 
FV 103,65 
100,00 CHS PV 
36 ! 
0 PMT 
1 [ENTER] 12 [/] n 
FV 102,60 
100,00 CHS PV 
2 i 
0 PMT 
3 [ENTER] 2 [/] n 
FV 103,01 
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que também é efetiva comforme 
exemplificadas abaixo: 
• 17% a.a., capitalizados anualmente; 
• 12% a.s., capitalizados emestralmente; 
• 5% a.t., capitalizados trimestralmente; 
• 3% a.b., capitalizados bimestralmente; 
• 1,5% a.m., capitalizados mensalmente 
Por outro lado se taxa nominal ou a 
taxa apresentada no contrato, 
enunciado, está em uma unidade de 
tempo e é capitalizada em outra unidade 
de tempo, a taxa efetiva será aquela 
apresentada após o processo de 
capitalização, sendo assim diferente da 
taxa nominal. 
Podemos dizer que a taxa efetiva 
representa aquela utilizada nos cálculos 
financeiros e representa o custo ou 
rendimento da operação. 
Portanto devemos sempre transformar 
as taxas nominais em taxas efetivas pelo 
regime de juros simples e então 
promover a capitalização. 
 
EX: 
17% a.a., capitalizados semestralmente , 
taxa nominal anual. 
i = = 8,5% a.s - Taxa efetiva 
semestral 
(1 + 8,5)² - 1 = 17,72% a.a. – Taxa efetiva 
anual 
¾ Exercícios Propostos 
1. Determinar as taxas mensal e 
trimestral proporcionais a 24% a.a. 
2. Determinar as taxas mensal e 
trimestral equivalentes a 18% a.a. 
3. Determinar a taxa anual 
equivalente a 48% a.a., 
capitalizados bimestralmente. 
4. Determinar a taxa bimestral 
equivalente a 12% a.s. 
5. Determinar as taxas mensal, 
bimestral e trimestral equivalentes 
a 12% a.a., capitalizados 
semestralmente. 
6. Determinar a taxa anual (ano 
comercial) equivalente à taxa de 32% 
a.a. (ano civil). 
7. Determinar o montante acumulado 
por um investidor que aplicou $ 
80.000,00 por cinco trimestres a 21% 
a.a., capitalizados bimestralmente. 
8. Um investidor aplicou $ 130.000,00 
por dois anos a uma taxa de 18% 
a.a., capitalizados trimestralmente. 
Qual é o montante esperado ao final 
da aplicação? 
9. Determinar o investimento necessário 
para produzir um montante de $ 
75.000,00 ao final de 9 bimestres à 
taxa de 24% a.a., capitalizados 
mensalmente. 
10. Um investidor quer resgatar $ 
75.000,00 daqui a 8 meses. Qual deve 
ser o valor de sua aplicação hoje, 
sabendo-se que a taxa de juros é 18% 
a.a., capitalizados bimestralmente. 
“Exercícios extraidos de (Silva, 2005).” 
™ 
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¾ Gabarito 
1. 2,00% a.m. e 6,00% a.t. 
2. 1,39% a.m. e 4,22 a.t. 
3. 58,69% a.a. 
4. 3,85 a.b. 
5. 0,98% a.m., 1,96% a.b. e 2,96% 
a.t. 
6. 31,50% a.a. 
7. $103.548,21 
8. $184.873,08 
9. $52.511,95 
10. $66.636,53 
 
 
 Operações de Desconto 
 
¾ Conceito 
 
È a importância ou valor deduzidos de 
um título com prazo de vencimento e 
valor nominal definidos, para 
pagamento ou resgate antecipado deste 
título. 
O desconto pode ser através da 
incidência da taxa sobre o valor futuro 
do título ( desconto “por fora”) 
denomidado desconto comercial ou 
bancário, ou sobre o valor presente do 
título (desconto “por dentro”) também 
chamado de desconto recional. 
 
 
¾ Capitalização Simples 
 
 
¾ Desconto Racional 
 
O desconto racional (desconto "por 
dentro") pode ser calculado no regime de 
juros simples, incidindo a taxa de juros 
sobre o valor presente. A taxa de juros (i) 
também é chamada de taxa de desconto 
racional simples. O Valor Futuro (FV), 
Valor Presente (PV) e Desconto (D) 
podem ser obtidos por meio das 
seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Uma loja procurou um banco para 
descontar uma nota promissória com 
valor nominal de $ 65.000,00, com 
vencimento em 8 meses. Determinar o 
valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de desconto racional simples de 
3% a.m. 
Solução: 
FV = 65.000,00 
n = 8 meses 
i = 3% a.m. 
PV = ? 
 
 
 
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 = 52.419,35 
 
D = FV – PV 
 
D = 65.000,00 – 52.419,35 = 12.580,65 
 
 
 
 
¾ Desconto Comercial ou 
Bancário 
 
O desconto comercial ou bancário 
(desconto "por fora") é calculado no regime 
de juros simples, multiplicando-se a taxa 
de desconto pelo valor futuro (ou valor 
nominal) e pelo prazo da operação. No 
desconto "por fora", a taxa de juros (i), que 
incide sobre o valor presente, é sempre 
superior à taxa de desconto (d), que 
incide sobre o valor futuro. O Valor 
Futuro (FV), o Valor Presente (PV) e o 
Desconto (D) podem ser obtidos por meio 
das seguintes equações: 
D = F V x i x n 
D = FV – PV 
PV= FV-D 
PV= F V - F V x i x n 
PV = FV x (l – i x n) 
Ex: Uma loja procurou um banco para 
descontar uma nota promissória com 
valor nominal de $ 65.000,00, com 
vencimento em 8 meses. Determinar o 
valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de desconto comercial 
simples de 3% a.m. Qual é a taxa 
mensal de juros (desconto racional 
simples) implícita na operação? 
Solução: 
FV = 65.000,00 
n = 8 meses 
d = 3% a.m. 
PV = ? 
i = ? 
D = FV x d n 
D = 65.000,00 x 3% * 8 
D = 15.600,00 
PV = FV – D 
PV = 65.000,00 – 15.600,00 
PV = 49.400,00 
 
A taxa de desconto implícita na 
operação é maior que os 3% nominais. 
FV = PV x (1 + i x n) 
65.000,00=49.400,00 x (1 + i x 8) 
i = 3,95% a. m. 
 
 
¾ Capitalização Composta 
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¾ Desconto Racional 
 
O mecanismo de desconto racional 
("por dentro") composto está relacionado 
diretamente com o tema estudado no 
Capítulo 3. No desconto racional com-
posto, a taxa de juros ou desconto 
racional (i) incide sobre o Valor Presente 
(PV) a juros compostos. O Valor Presente 
de um título com prazo n pode ser 
calculado da seguinte forma: 
 
 
 
 
D = FV – PV 
 
D = FV - 
 
D = FV x [ 1 - ] 
 
D = FV x [ ] 
 
 
Os cálculos do desconto racional composto 
podem ser realizados facilmente através 
das funções financeiras da HP-12C. 
 
 
PV Valor presente 
n Tempo 
i Taxa de juros 
FV Valor futuro 
PMT Prestações 
 
 
Ex: Uma loja procurou um banco para 
descontar uma nota promissória com 
valor nominal de $ 65.000,00, com 
vencimento em 8 meses. Determinar o 
valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de desconto racional composto 
de 3% a.m. 
Solução: 
FV = 65.000,00 
n = 8 meses 
i = 3% a.m.PV = ? 
 
PV = 51.311,60 
 
65.000,00 CHS FV 
0 PMT 
3 i 
8 n 
PV 51.311, 60 
 
¾ Desconto Comercial ou 
Bancário 
 
A maior parte das operações de 
desconto comercial ou bancário (desconto 
"por fora") é calculada no regime de juros 
simples. No entanto, em algumas situa-
ções, pode ser utilizado o mecanismo de 
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desconto comercial ou bancário (desconto 
"por fora") a juros compostos. 
No desconto "por fora" composto, a 
taxa de desconto (d) incide sobre o Valor 
Futuro (FV) a juros compostos. O Valor 
Presente (PV) de um título com prazo n 
pode ser calculado da seguinte forma: 
 
 
 
D = FV – PV 
 
D = FV - 
 
D = FV x [1 - 
 
Ex: Uma loja procurou um banco para 
descontar uma nota promissória com 
valor nominal de $ 65.000,00, com 
vencimento em 8 meses. Determinar o 
valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de desconto comercial 
composto de 3% a.m. Qual é a taxa 
mensal de juros compostos na operação? 
Solução: 
FV = 65.000,00 
n = 8 meses 
d = 3% a.m. 
PV = ? 
i = ? 
PV = FV x 
PV= 65.000,00 x (1 - 3%)8 
PV= 50.943,32 
A taxa de juros (i) compostos 
implícita na operação é superior à taxa de 
desconto (d) composto de 3% a.m. 
FV = PV x 
 65.000,00 =50.943,32x 
(1 + i)8 
 i = 3,09% a.m. 
50.943,32 PV 
65.000,00 CHS FV 
0 PMT 
8 n 
i 3,09 
 
Conforme demonstra a 
tabela comparativa abaixo 
resume os exemplos 
anterios dês te tópico de 
operações com desconto 
considerando uma taxa 
nominal de 3% 
 
 
 
Desconto Racional 
Simples 
12.580,65 
 
52.419,35 
 
2,73% 
a.m. 
Desconto 
Comercial Simples 
15.600,00 
 
49.400,00 
 
3,49% 
a.m. 
Desconto Racional 
Composto 
13.688,40 
 
51.311,60 
 
3,00% 
a.m. 
Desconto 
Comercial 
Composto 
14.056,68 
 
50.943,32 
 
3,09% 
a.m. 
 
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¾ Exercícios Propostos 
1. Uma loja procurou um banco para 
descontar uma nota promissória com 
valor nominal de $ 100.000,00, com 
vencimento em 6 meses. Determinar 
o valor recebido pela loja e o desconto, 
sabendo-se que: 
a) o banco cobra uma taxa de 
desconto racional simples de 2% a.m.; 
b) o banco cobra uma taxa de 
desconto comercial simples de 2% 
a.m.; 
c) o banco cobra uma taxa de 
desconto racional composto de 2% 
a.m.; 
d) o banco cobra uma taxa de 
desconto comercial composto de 2% 
a.m. 
2. Determinar o valor antecipado e a 
taxa mensal de juros compostos 
implícita no desconto de um cheque 
pré-datado de $ 5.000,00, 6 meses 
antes do vencimento, a uma taxa de 
desconto comercial simples de 3% 
a.m. 
3. Uma letra de câmbio de $ 5.000,00 foi 
descontada, resultando na antecipação 
de $ 4.200,00 hoje. Determinar o 
vencimento do título e a taxa mensal 
de juros compostos, sabendo-se que a 
taxa de desconto comercial simples é 
de 4% a.m. 
4. Uma nota promissória de $ 4.000,00, 
com prazo de 32 dias, foi descontada a 
uma taxa de desconto comercial 
simples de 23% a.a. Assumindo o ano 
comercial, determinar o valor 
antecipado e a taxa mensal de juros 
compostos implícita na operação. 
5. Uma empresa ãefactoríng compra 
cheques pré-datados de 3 meses por 
80% do valor nominal. Determinar a 
taxa mensal de desconto comercial 
simples e a taxa mensal de juros 
compostos do financiamento. 
6. Uma loja procurou um banco para 
descontar uma letra de câmbio de $ 
85.000,00, com prazo de 134 dias. O 
banco exige a retenção de 10% do 
valor nominal a título de saldo médio, 
permanecendo este valor bloqueado e 
sem remuneração na conta da loja até 
a data de vencimento da letra de 
câmbio. Caso a loja realize a operação 
de desconto, poderá sacar hoje um valor 
líquido de $ 50.000,00. Assumindo o 
ano comercial, determinar a taxa 
anual de desconto comercial simples 
e a taxa mensal de juros compostos 
da operação. 
7. Determinar a taxa anual de desconto 
comercial simples em uma operação 
de desconto de um título de 98 dias, 
onde o valor antecipado é de 82% do 
valor nominal. Obs.: assumir ano 
civil. 
8. Uma empresa tem três notas 
promissórias com valor nominal de $ 
15.000,00 e vencimentos em 5, 8 e 10 
meses. Determinar o valor recebido 
pela loja, sabendo-se que o banco cobra 
uma taxa de desconto comercial 
simples de 3% a.m. 
9. Uma loja desconta um cheque pré-
datado de $ 3.000,00, com vencimento 
em dois meses, a uma taxa de 
desconto comercial simples de 3,5% 
a.m. O banco exige ainda um saldo 
médio de 20% do valor nominal, a ser 
retido durante o prazo do 
financiamento, o qual será 
remunerado a uma taxa de juros 
compostos de 1% a.m. Determinar a 
taxa mensal de juros compostos do 
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financiamento, sem e com a retenção 
do saldo médio. 
10. Determinar a taxa mensal de juros 
compostos do financiamento do exercício 
anterior, supondo que o banco exige, 
além do saldo médio, 3% do valor no-
minal como despesa administrativa da 
operaçao. 
 
¾ Gabarito 
 
1. a) $ 10.714,29 e $ 89.285,71 
b) $ 12.000,00 e $ 88.000,00 
c) $ 11.202,86 e $ 88.797,14 
d) $ 11.415,76 e $ 88.584,24 
2. $ 4.100,00 e 3,36% a.m. 
3. 4 meses e 4,46% a.m. 
4. $ 3.918,22 e 1,96% a.m. 
5. 6,67% a.m. e 7,72% a.m. 
6. 83,76% a.a. e 9,99% a.m. 
7. 67,04% a.a. 
8. $ 34.650,00 
9. 3,70% a.m. e 4,42% a.m. 
10. 6,64% a.m. 
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 Fluxo de Caixa Uniforme 
 
¾ Conceito de Anuidade ou 
Série 
Silva define como anuidade ou série um 
conjunto de prestações 
positivas(recebimentos, entradaas de 
caixa) ou negativas ( pagamentos, saídas 
de caixa), períodicas e constantes, 
podendo ser finitas(quando ocorrem 
dentro de um período determinado de 
tempo) ou infinita(quando ocorrem para 
sempre, também chamadas 
perpetuidades). 
 
 Anuidade Finita 
 
PMT 
 0 
 n 
PV 
 
 Anuidade Infinita 
 
PMT ....... 
 0 
 ...... 
PV 
 Anuidade Postecipada 
PMT 
 0 
 n 
PV 
 Anuidade Antecipada 
PMT 
 0 
 n - 1 n 
PV 
 Anuidade diferida 
PMT 
 0 
 1 2 3 n 
PV 
 
 
 
¾ Séries Uniformes 
Equivalentes 
Dada uma série não uniforme de 
pagamentos ou recebimentos, pode-se 
transformá-la em uma série uniforme 
equivalente (SUE), com a utilização de 
calculadora financeira. 
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¾ Transformação de um valor 
em SUE (Série Uniforme 
Equivalente) 
Suponha-se que um valor presente 
de $ 60.000 deva ser transformado em 
uma SUE, conhecendo-se a taxa de juros 
e o número de capitalização. 
Na calculadora financeira: . 
VP =-$60.000,00 
i = 15% a.p. (ao período) 
N = 4 
PMT = ? 
A SUE (teclaPMT) desse fluxo de caixa é 
de $ 21.015,92. 
¾ Transformação de 
desembolso de diversas data 
em SUE. 
Agora, suponha-se que a seguinte 
distribuição de valores (não confundir o 
gráfico a seguir com o fluxo de caixa) deva 
ser transformada em uma SUE, com 
desembolsoa partir do período l, 
mantendo-se a taxa de juros de 15% a.p. 
 
 
 
0 1 2 3 4 
 
 40000 14000 14000 14000 48980,12 
 
Essa distribuição de valores poderia ser 
representada da seguinte forma: 
0 1 2 3 4 
 
 40000 14000 14000 14000 14000 
3498,12 
----------- 
48980,12 
 
 
Uma vez que já se conhece uma parte 
da SUE ($14000), basta calcular as 
SUEs dos seguintes valores e adicioná-
las à parte já conhecida. 
 
0 4 
 
40000 34980,12 
 
Desembolso do período 0: 
VP =-$40.000,00 
i = 15%a.p. 
N = 4 
PMT = ? 
PMT = $ 14.010,61 
 
Desembolso do período 4: 
VF = - $ 34.980,12 
i = 15%a.p. 
N- = 4 
PMT = ? 
PMT = $ 7.005,31 
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Assim, temos: 
SUE = $ 14.000,00 + $ 14.010,61 + $ 
7.005,31 = $ 35.015,92 
 
Outra maneira de se calcular a SUE é 
se obter a soma dos valores presentes 
na data “0” das anuidades e então 
utilizar este valor como Pv aplicando na 
formula de PMT. 
 
 
9 Fórmulas das Anuidades 
 
 
 
FV = PMT x 
 
PV = FV x 
 
PMT = PV x 
 
 
Para as prestações infinitas e 
postecipadas, teremos uma perpetuidade. 
Nestes casos, quando n tende ao infinito, as 
equações para determinar o PV e o PMT 
tendem para: 
 
 
PV = 
 
PMT = PV x i 
 
 
Ex: 
 Um empresário adquiriu equipamentos, 
com valor de $ 36.000,00, a ser pago em 36 
prestações mensais e iguais, com uma 
taxa de juros de 1,8% a.m. Determinar o 
valor das prestações, caso a primeira 
parcela seja paga: (a) l mês após a 
compra; (b) a vista. 
Solução: 
PV = 36.000,00 
FV = 0,00 
n = 36 meses 
i = 1,8% a.m. 
PMT = ? 
 
A ) Série Postecipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Série Antecipada 
 
 
 
[ g ] END 
36.000,00 PV 
1,8 i 
0 FV 
36 n 
PMT - 1.367,42 
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9 Exercícios Propostos 
9 
1. Uma loja contraiu um financiamento 
de $ 6.000,00, a ser pago em 8 presta-
ções mensais e iguais de $ 1.000,00. 
Determinar a taxa mensal de juros 
do empréstimo, caso a primeira 
parcela seja paga: (a) l mês após a 
liberação dos recursos; (b) a vista. 
2. Um empresário adquiriu 
equipamentos com valor de $ 
48.000,00, a ser pago em 48 
prestações mensais e iguais, com uma 
taxa de juros de 0,8% a.m. De-
terminar o valor das prestações, caso 
a primeira parcela seja paga: (a) l 
mês após a compra; (b) a vista. 
3. 3. Um investidor adquiriu um título 
que rende 10 prestações trimestrais 
iguais de $ 3.000,00, com a primeira 
vencendo l trimestre após a compra. 
Determinar o valor do investimento 
realizado, sabendo que a taxa de juros 
é de 2% a.t. 
4. 4. Um pai, interessado em fazer uma 
poupança para seu filho, resolveu 
depositar mensalmente $ 500,00, 
durante 21 anos, com o primeiro 
depósito sendo efetuado daqui a um 
mês. Determinar o montante 
disponível para o filho, ao final do 
período, sabendo que a taxa de juros 
é de 0,5% a.m. 
5. 5. Determinar o valor de emissão de 
um título de renda fixa com valor de 
resgate de $ 1.000,00 e rendas anuais 
postecipadas de $ 80,00 até seu 
vencimento em 3 anos, sabendo que 
a taxa de juros é de 6% a.a. 
6. 6. Um DVD é vendido em 6 
prestações de $ 200,00, a serem 
pagas ao final de cada bimestre após 
a compra. Sendo a taxa de juros de 
1% a.m., determinar o valor do 
aparelho a vista. 
7. 7. Uma loja, realizando promoções 
de Natal, vende uma geladeira por $ 
l.000,00, em 5 parcelas mensais "sem 
juros" de $ 200,00, vencendo a 
primeira 30 dias após a compra. 
Determinar a taxa mensal de juros 
implícita na operação, sabendo que a 
loja oferece um desconto de 10% 
para pagamento a vista. 
8. 8. Um lojista financiou a compra de 
uma máquina de $ 30.000,00, 
propondo-se a pagar 12 prestações 
mensais iguais, sendo a primeira 
parcela no final de 6 meses após a 
compra. Determinar o valor das 
prestações mensais, sabendo-se que a 
taxa de juros é de 2% a.m. 
9. 9. Um empresário tomou um 
financiamento de $ 75.000,00, para 
ser pago em 15 prestações mensais, 
iguais e postecipadas a uma taxa de 
1% a.m. Imediatamente após o nono 
pagamento, o empresário propôs 
uma renegociação ao banco, que 
aceitou refinanciar em 12 prestações 
mensais adicionais, todas do mesmo 
valor, a serem pagas a partir do final 
do décimo mês. Determinar o valor 
das novas prestações mensais, 
sabendo que a taxa de juros da 
operação permanece a mesma. 
 BEG 
36.000,00 PV 
1,8 I 
0 FV 
36 N 
PMT - 1.367,42 
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10. 10. Um operário realizou 4 depósitos 
iguais e sucessivos, no final de 
janeiro, fevereiro, março e abril. No 
final de julho, o total acumulado era 
de $ 5.000,00. Determinar o valor dos 
depósitos efetuados, sabendo-se que o 
banco lhe ofereceu uma taxa de juros 
de 2,5% a.m. 
 
9 Gabarito 
 
1. 6,88% a.m. e 9,20% a.m. 
2. $ 1.208,20 e $ 1.198,62 
3. $ 26.947,76 
4. $ 251.437,06 
5. $ 1.053,46 
6. $ 1.119,91 
7. 3,62% a.m. 
 
8. $ 3.132,04 
9. $ 2.785,35 
10. $ 1.118,12 
 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa Irregular 
 
9 Conceito 
 
Um fluxo de caixa irregular (não 
uniforme) consiste em uma sequência de 
entradas e saídas de caixa de 
intensidades, sinais e periodicidades 
diferentes. Em um fluxo de caixa 
irregular, não conseguimos trabalhar 
direta e facilmente com as cinco funções 
financeiras básicas (PV, FV, PMT, i e n). 
A Figura 7.1 mostra a configuração de 
um fluxo de caixa irregular. 
Para analisarmos estes fluxos o faremos 
através do Valor Presente Líquido ( VPL 
ou na HP – NPV) e a Taxa interna de 
Retorno (TIR ou na HP - IRR ). 
 
9 Valor Presente Líquido 
 
O valor presente líquido (VPL) ou net 
present value (NPV) é igual ao valor 
presente de todas as entradas e saídas 
futuras de caixa. Para um fluxo de 
entradas e saídas de caixa desiguais ao 
longo de um horizonte de tempo n, o valor 
presente líquido pode ser calculado 
através da fórmula: 
VPL = + + + 
+.....+ 
 
Onde: 
FCo = Fluxo de caixa inicial 
FCn = Fluxo de caixa no período n 
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i = Taxa de juros 
 n = Prazo 
 
Quando o valor presente líquido é 
positivo, isso significa que os fluxos futu-
ros de caixa trazidos e somados a valor 
presente superam o investimento inicial. 
Portanto, o fluxo de caixa agrega valor e 
é atrativo do ponto de vista econômi-co-
financeiro. 
Por outro lado, quando o valor 
presente líquido é negativo, os fluxos 
futuros de caixa trazidos e somados a 
valor presente são inferiores ao 
investimento inicial. Logo, o fluxo de 
caixa destrói valor e não deveria ser 
realizado. 
Quando o valor presente líquido é 
zero, os fluxos futuros de caixa trazidos e 
somados a valor presente são exatamente 
iguais ao investimento inicial. Nesta si-
tuação, ficamos em uma posição de 
indiferença para realizar ou não o 
investimento. 
9 Taxa Interna de Retorno 
A taxa interna de retorno (TIR) ou 
internal rate of return (IRR) mede a renta-
bilidade do fluxo de caixa. O cálculo da 
TIR não é direto, uma vez que não existe 
uma fórmula específica. Na verdade, a 
TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL 
de um fluxo de caixa a zero. 
Quando o valor presente líquido é positivo, 
isso significa que o projeto agrega valor, ou 
seja,o investimento está sendo remunerado a 
uma taxa de retorno (TIR) superior à taxa 
desejada (i). 
Quando o valor presente líquido é negativo, 
o projeto destrói valor, pois o investimento está 
sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) 
inferior à taxa desejada (i). 
Quando o valor presente líquido é zero, 
ficamos em uma posição de indiferença para 
fazer ou não o projeto, pois o investimento está 
sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) 
igual à taxa desejada (i). 
 
 
VPL TIR Decisão 
> 0 > i Fazer 
= 0 = i indiferente 
< 0 < i Não fazer 
 
 
9 Teclas utlizadas para as 
operações de fluxo de 
caixa 
 
 
[f]NPV Valor presente líquido 
[f] IRR Taxa interna de retorno 
tg] CF0 Fluxo de caixa no tempo 0 
[g] CF, Fluxo de caixa no tempo j 
[g] Nj Número de parcelas CF, iguais e 
ti i Taxa de juros 
 
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As funções da HP-12C exigem que os 
fluxos de caixa sejam informados de forma 
sequencial nas funções [g] [CF,], à exceção 
do fluxo de caixa no tempo O, que deve ser 
informado na função [g] [CF0]. Deve-se 
informar todas as parcelas, inclusive as 
que tiverem valor nulo, além de observar 
as convenções dos sinais, em que as 
entradas de caixa devem ser inseridas 
com valores positivos e as saídas de 
caixa, com valores negativos. Antes de 
começar qualquer exercício, é importante 
limpar a memória da calculadora HP-12C 
através da função [f] [REG]. 
O passo-a-passo para resolver esse 
exercício na HP-12C pode ser visto a se-
guir. Quando existem fluxos de caixa 
repetidos e seguidos, a calculadora HP-
12C permite economizar trabalho e 
digitação, usando a tecla [g] N,. Como as 
grandezas $ 400,00 e $ 500,00 se repetem 
por 2 e 3 vezes, respectivamente, 
podemos, alternativamente, usar a 
função [g] Nj. 
 
Formato 1 
 
[f] REG 
1.200,00 CHS [g] CF0 
300,00 [g] CFj 
400,00 [g] CFj 
400,00 [g] CFj 
500,00 [g] CFj 
500,00 [g] CFj 
500,00 [g] CFj 
20 i 
[f] NPV 168,77 
[f] IRR 25,02 
 
 
Formato 2 
[f] REG 
1.200,00 CHS [g] CF0 
300,00 [g] CFj 
400,00 [g] CFj 
2 [g] Nj 
500,00 [g] CFj 
3 [g] Nj 
20 i 
[f] NPV 168,77 
[f] IRR 25,02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências 
 
Hoji, M. (2007). Administração Financeira e 
Orçamentária. São Paulo: Editora Atlas S.A. 
Santos, E. O. (2001). Administração 
Financeira da Pequena e Média Empresa . 
Sáo Pualo: editora Atlas S.A. 
Silva, A. L. (2005). Matemática Financeira 
Aplicada. São Paulo: Editora Atlas S.A.