Resistência dos Materiais 2

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31/01/2019
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Professor: Fernando Braga
AULA 7
Vamos considerar uma viga prismática reta, feita
de um material homogêneo, e submetida à flexão.
Esta viga possui área de seção transversal
simétrica em relação a um eixo e que o momento
fletor é aplicado em torno de uma linha central
perpendicular a esse eixo de simetria.
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Esquema proposto
Podemos ver que as linhas longitudinais se tornam
curvas e as linhas transversais verticais continuam
retas, porém sofrem rotação, neste podemos
afirmar que todas as seções transversais da viga
permanecem planas e perpendiculares ao eixo
longitudinal durante a deformação.
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O momento fletor provoca a tração do material na
parte inferior da barra e a compressão do material
na porção superior da barra. Por consequência,
entre essas duas regiões existe uma superfície,
denominada superfície neutra, na qual não
ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras
longitudinais.
O eixo longitudinal x, que se encontra no interior
da superfície neutra não sofre qualquer mudança
no comprimento.
Em particular, o eixo z, que se encontra no plano da
seção transversal e em torno do qual a seção
transversal gira, é denominado eixo neutro.
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Vamos considerar um elemento de espessura ∆� ,
localizado a uma distância x da viga.
Elemento Antes e Depois da Deformação
Sem deformação
Após deformação
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Qualquer segmento de reta ∆� , localizado na
superfície neutra, não muda de comprimento, ao
passo que qualquer segmento de reta ∆�, localizado
à distância arbitrária y acima da superfície neutra, se
contrairá e se tornará ∆�	 ' após a deformação. A
deformação normal ao longo de ∆� é dada por:
Reescrevendo em termos de y, temos:
Esse resultado indica que a deformação normal
longitudinal de qualquer elemento no interior de uma
viga depende de sua localização y na seção transversal
e do raio de curvatura do eixo longitudinal da viga no
ponto. Em outras palavras, para qualquer seção
transversal específica, a deformação normal
longitudinal variará linearmente com y em relação ao
eixo neutro.
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Então ocorrerá um contração (- � ) nas fibras
localizadas acima do eixo neutro (+y), ao passo que
ocorrerá um alongamento (+ �) nas fibras localizadas
abaixo do eixo ( -y).
Para determinarmos a equação que relaciona a
distribuição de tensão longitudinal vamos
considerar que o material se comporta de uma
maneira linear elástica, de modo que a lei de
Hooke possa ser aplicada.
Então, uma variação linear da deformação normal
deve ser a consequência de uma variação linear da
tensão normal. Assim como a variação da
deformação normal, � variará de zero no eixo
neutro do elemento até um valor máximo ���	.
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Então temos:
Podemos localizar o eixo neutro na seção
transversal, satisfazendo a condição de que a força
resultante produzida pela distribuição de tensão
na área da seção transversal deve ser nula.
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Sabendo que ���	/c não é igual a zero, logo:
Para isso o momento de primeira ordem da área da seção
transversal do elemento em torno do eixo neutro deve ser nulo.
Essa condição só pode ser satisfeita se o eixo neutro também
for o eixo do centroide horizontal para a seção transversal
analisada.
Tensão Máxima de Flexão
��
 - tensão normal máxima no elemento, que ocorre em um ponto
na área da seção transversal mais afastado do eixo neutro
M - momento interno resultante, determinado pelo método das seções
e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno do eixo neutro da
seção transversal
I = momento de inércia da área da seção transversal
calculada em torno do eixo neutro
c = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado
do eixo neutro, onde (
��
) age.
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Tensão normal em uma distância intermediária y:
o sinal negativo é necessário, já que está de acordo
com os eixos x, y e z definidos.
Ambas fórmulas são usadas para determinar a
tensão normal em um elemento reto, com seção
transversal simétrica em relação a um eixo, e
momento aplicado perpendicularmente a esse eixo.
Modulo Resistente
Onde S=I/c
I = momento de inércia da área da seção transversal
calculada em torno do eixo neutro
c = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto
mais afastado do eixo neutro, onde (
��
) age.
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Seção Simétrica x Seção Não Simétrica
C1=C2 C1=C2
(
��������ã�) = (
���çã�) (
��������ã�) = (
���çã�)
(M��������ã�) = (M���çã�) (M��������ã�) = (M���çã�)
C1
C2
C1
C2
Para projetar uma viga com base na resistência, exige-se
que as tensões de flexão e de cisalhamento verdadeiras
na viga não ultrapassem aquelas admissíveis para o
material, definidas por códigos e manuais de projeto
estrutural ou mecânico.
Se o vão livre da viga for relativamente longo, de modo
que os momentos internos tornam-se grandes, o
engenheiro considerará, em primeiro lugar, um projeto
baseado na flexão e então verificará a resistência ao
cisalhamento.
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Exercício 1
A viga simplesmente apoiada mostrada na figura tem a
área de seção transversal constante. Determine a tensão
de flexão máxima absoluta na viga e represente a
distribuição de tensão na seção transversal nessa
localização.
Exercício 2
Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão
admissível de 170 MPa. Selecione na tabela ao lado o perfil
W mais adequado.
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Exercício 3
Determine o valor máximo da carga P sabendo que a tensão
admissível a flexão é igual a 11MPa
Exercício 4
A viga engastada mostrada na figura abaixo tem tensão
admissível de 160 MPa. Para o carregamento mostrado
abaixo determine o valor da dimensão a.