Material Básico de Estudo

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Material Básico de Estudo 
 
Vetores e Álgebra Vetorial 
 
 
 
 
 
 Paisagem fractal com “Mandelbrot” 
 
 
 
“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”. 
(Albert Einstein) 
 
 
 
Acadêmico(a): _________________________________________________ 
 
Turma: _____________________________ Primeiro Semestre de 2011. 
 
 
 
 
Material elaborado pelo Prof. Júlio César Tomio* 
 
* Professor do Instituto Federal de Santa Catarina [IFSC] – Campus Joinville. 
 
 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
2 
 
 
 
MENSAGEM PARA O(A) ACADÊMICO(A) 
 
 
Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte ao “curso” de Geometria Analítica que se 
estende durante a primeira fase de seu curso superior, e, conseqüentemente, auxiliar em futuras aplicações nas disciplinas 
subseqüentes que necessitarão dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepção deste, 
baseada na experiência de alguns anos de docência, também objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente no 
ambiente de sala de aula. 
 
Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem de Vetores e de Álgebra Vetorial. Para tanto, 
contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido 
caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material. 
 
A realização de um curso superior é um fato muito importante em sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faça tudo da 
melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos melhores) 
investimentos que você já fez em você mesmo. 
 
Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melhor possível, e que a passagem por esta nova etapa de sua 
vida contribua para o seu engrandecimento profissional e pessoal (e também espiritual), possibilitando uma melhora 
significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você. 
 
 
Muita garra, e sucesso! 
 
Professor Júlio César Tomio. 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (Comentadas) 
 
 
Este material foi produzido com base na bibliografia abaixo e também com contribuições minhas e de colegas professores. 
 
Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui, 
objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer 
estudo que se queira realizar. 
 
 
 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 
 
 Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina com uma 
linguagem bastante objetiva e acessível e também uma grande quantidade de exercícios (esse é o nosso 
livro texto). 
 
 
 VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d. 
 
 Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos na disciplina, porém com uma 
linguagem diferenciada do anterior. Este livro pode ser “baixado” na internet na íntegra. O endereço é: 
www.geometriaanalitica.com.br. 
 
 
Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, são ótimas fontes de consulta e também se encontram em boas bibliotecas. 
 
 ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
 
 STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987. 
 
 ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 2: Álgebra linear e cálculo vetorial. 3. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2009. 
 
 
 
 
Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provérbio chinês) 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
3 
 
ÍNDICE 
 
 GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Sistemas de Coordenadas .................................................................................................................................... 04 
 
Sistemas de Coordenadas Retangulares (ou Cartesianas) ................................................................................ 04 
 
Sistemas de Coordenadas Unidimensional (ℝ1 ou E1) ........................................................................................ 05 
Eixo Real (ou eixo das abscissas) .............................................................................................................................. 06 
Estudo do Ponto no ℝ1 – Distância entre dois Pontos ................................................................................................. 06 
 
Sistemas de Coordenadas Bidimensional ........................................................................................................... 07 
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2 ...................................................................................................... 07 
Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2 ......................................................................................................... 08 
 
Sistemas de Coordenadas Tridimensional .......................................................................................................... 09 
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ3 ou E3 .................................................................................................... 09 
 
 
 
 VETORES E ÁLGEBRA VETORIAL 
 
Vetores ................................................................................................................................................................. 14 
Introdução .............................................................................................................................................................. 14 
Noções Básicas ........................................................................................................................................................ 15 
Particularidade dos Vetores ...................................................................................................................................... 17 
Operações com Vetores na Forma Geométrica ........................................................................................................... 18 
Vetores no ℝ2 .......................................................................................................................................................... 22 
Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ2 ..................................................................................... 25 
Vetores no ℝ3 .......................................................................................................................................................... 29 
Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ3 ..................................................................................... 30 
Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores ................................................................................................................. 33 
Cálculo do Módulo de um Vetor ................................................................................................................................ 35 
Vetor Unitário .......................................................................................................................................................... 37 
Tópico Especial: Desigualdade Triangular ..................................................................................................................38 
Versor de um Vetor .................................................................................................................................................. 40 
 
Produto Escalar .................................................................................................................................................... 41 
Definição Algébrica do Produto Escalar ...................................................................................................................... 41 
Definição Geométrica do Produto Escalar ................................................................................................................... 42 
Ângulo entre dois vetores ......................................................................................................................................... 43 
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .................................................................................................. 48 
Tópico Especial: Projeção de um Vetor sobre Outro .................................................................................................... 50 
 
Produto Vetorial ................................................................................................................................................... 52 
Definição ................................................................................................................................................................. 52 
Outras Aplicações do Produto Vetorial ....................................................................................................................... 54 
 
Produto Misto ....................................................................................................................................................... 58 
Definição ................................................................................................................................................................. 58 
Interpretação Geométrica do Produto Misto ............................................................................................................... 58 
Uma Aplicação do Produto Misto (na Mecânica Geral) ................................................................................................. 59 
 
Estudo da Reta no Espaço ℝ3 .............................................................................................................................. 63 
 
 
Apêndice ............................................................................................................................................................... 66 
 
 
 
 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
4 
Referencial (origem) 
x
 
 
 
A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, 
e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade 
e ajudar-nos na vida! (Jacques Bernoulli) 
 
 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativa 
precisão, pontos, objetos, partículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa viagem intercontinental, por exemplo, 
entre outros. 
 
Um simples mapa cartográfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são exemplos, entre outros, de 
aplicações de sistemas de coordenadas. 
 
Nosso estudo estará concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e três dimensões, por ser o 
sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilização de outros modelos de sistema. 
 
Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em: 
 
Unidimensional: 
1
R Real Reta ou Eixo 
 
 
Bidimensional: 





Polar
RCartesiano ou Retangular
2 
 
Tridimensional: 








Esférico
C ilíndrico
RC artesiano ou Retangular
3
 
 
Matematicamente é possível se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimensões, como por exemplo, o R4, 
onde poderíamos considerar a 4ª coordenada como sendo o tempo, entretanto sua representação gráfica ficaria restrita a 
somente 3 dimensões. Desta forma, poderemos criar um espaço Rn, onde as várias coordenadas podem assumir outros 
valores de interesse. 
 
 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS) 
 
Como nosso estudo estará baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos considerar algumas 
situações para melhor exemplificar a utilização dos sistemas de coordenadas, quanto às dimensões necessárias para cada 
caso. Vejamos a seguir: 
 
1) Posição de um pistão no cilindro de um motor 
 
O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pistão num cilindro de um motor de combustão interna. 
Considere que seja de interesse a posição deste cilindro durante o funcionamento do motor. 
 
Observe que o sistema trabalha com uma dimensão, 
ou seja, para determinarmos a posição exata do 
pistão, necessitamos de apenas uma coordenada, 
considerando um referencial dado. 
 
 
 
 
 
 
Matematicamente, podemos escrever a posição “P” do 
pistão com a medida “x”  P (x). 
A medida “x” é dita coordenada do ponto P, ou ainda, 
abscissa do ponto P. 
 
 
Sistema de Coordenadas 
Unidimensional 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
5 
2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa 
 
O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posição da bola 
branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de jogo da mesa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos 
de duas coordenadas, considerando um referencial dado. 
 
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y”  P (x , y). 
As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a ordenada do ponto P. 
 
 
3) Posição de uma bola de basquete numa quadra (em jogo) 
 
Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a 
posição da bola em qualquer momento do jogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos 
de três coordenadas, considerando um referencial dado. 
 
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x”, “y” e “z”  P (x , y , z). 
As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a ordenada do 
ponto P e “z” é a cota do ponto P. 
 
 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (ℝ1 ou E1) 
 
Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dará origem aos outros que veremos em 
seguida (ℝ2 e ℝ3, sendo este último o nosso campo de maior interesse). 
 
Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de “marcos quilométricos”. Elas determinam a 
sua posição na rodovia a partir de um referencial (origem), o “quilômetro zero”, que numa rodovia federal, localiza-se na 
divisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia não ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilométricos 
correspondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma única informação quilométrica poderemos 
determinar a posição de um veículocom problemas mecânicos, por exemplo. Matematicamente, teremos: 
 
Referencial (origem) 
y
 
x 
z 
Referencial (origem) 
y 
x 
 
 
Sistema de Coordenadas 
Bidimensional 
Sistema de Coordenadas 
Tridimensional 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
6 
 
dAB = | xB – xA | 
Eixo Real (ou eixo das abscissas) 
 
 origem 
 A B C D E F G 
  
 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
 
 
2
 
 
 
 1 uc 
 Obs.: uc  unidade de comprimento 
 
Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A é – 4. Podemos escrever então: A
 4
. 
 
Daí, temos que: B







5
17
, C
 2
, D






3
8
, E
 4
, F
 5
 e G
 7
. 
 
 
 Estudo do Ponto no ℝ1 
 
Distância entre dois Pontos: 
 
No caso do ℝ1, torna-se simples determinarmos a distância entre dois pontos. Veremos intuitivamente através de algumas 
perguntas... 
 
a) Qual a distância entre os pontos F e E? Resposta: 1 uc 
 
b) Qual a distância entre E e G? Resposta: 3 uc 
 
c) Qual a distância entre A e F? Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc 
 
d) Qual a distância entre B e D? 
 
 
Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalização matemática. Veja: 
 
 
 
 Logo: 
 
↳ Distância entre dois pontos na reta ℝ1, 
ou comprimento do segmento de reta AB. 
 
Obs.: Note que dAB = dBA. 
 
Veja: 
 
 
 
 
 
 
 dPQ = | xP – xQ | ou dQP = | xQ – xP | 
 
 dPQ = | – 6 – 7 | dQP = | 7 – (– 6) | = | 7 + 6 | 
 
 dPQ = | – 13 | dQP = | 13 | 
 
 dPQ = 13 uc dQP = 13 uc 
 
 
Observe que a distância entre dois pontos quaisquer é sempre um valor absoluto, ou seja, positivo. 
Agora, podemos retornar a pergunta ”d”, que ficou em aberto, e respondê-la: 
 
d) Qual a distância entre B e D? 
  
x 
xA xB 
A B 
dAB 
  
x 
– 6 
P Q 
0 7 
 
            
 
 
5
17

 
2
1

 
  
3
8
 
14159265,3
 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
7 
Então temos: 
BDBD xxd 
 
15
91
BDd
 
3
8
5
17
BDd
 
15
91
BDd
 
15
4051
BDd
 
ucdBD 07,6
 
 
 
 
Observações: Segmento de reta AB: 
A B
 
 
 
Semi-reta (partindo de A) 
 
 
r Reta “r” (elemento infinito) 
 
 Reta que passa por M e N: 
MN
 
 
 
 
Para refletir: Verdadeiramente, o que mais prazer me proporciona, não é o saber mas o estudar; não a posse mas a conquista; não o 
estar aqui mas o chegar além. (Carl Friedrich Gauss) 
 
 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2 
 
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é formado por dois eixos reais, perpendiculares 
(ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o 
eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. 
 
A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem  (0 , 0). Cada ponto neste plano é 
determinado por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um 
ponto. 
 
Façamos então a marcação dos pontos: 
 
 
A(7, 5) 
 
B(–7, 5) 
 
C(–3, –5) 
 
D(6, –2) 
 
 
 E(8, 0) 
 
 F(–5, 0) 
 
 
 G(0, 8) 
 
 H(0, –3) 
 
 
O(0, 0)  origem do sistema 
 
 
Observações: 
 
 Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0). 
 Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
A 
 y 
 x 
1º Q. 2º Q. 
3º Q. 4º Q. 
 origem 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
M N 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
8 
Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2 
 
Veja os casos: 
 
 
 
A(4, 4) C(–3, 3) 
 
B(–3, –3) D(4, – 4) 
 
 
 
 
 Genericamente Genericamente 
 (p , p) (p , –p) ou (–p , p) 
 
 
 
 
 
 Os pontos (x, y) do plano, onde x = y, ou seja, de coordenadas iguais, definem uma reta denominada bissetriz dos 
quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes  b1,3), cuja equação evidentemente é y = x. 
 
 Já os pontos (x, y) do plano, onde x = – y (ou y = – x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominada 
bissetriz dos quadrantes pares (2º e 4º quadrantes  b2,4), cuja equação evidentemente é y = – x. 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
 
1) Observando a peça plana ao 
lado, determine as coordenadas 
dos pontos A, B, C, D,..., M e N, 
considerando: 
 
a) a origem no ponto A; 
 
b) a origem no centro da 
peça ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o valor de “m” de modo que o ponto Q(m2 + 5 , 6m) pertença à bissetriz do 2º e 4º quadrante. 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1) Veja tabela abaixo: 2) m = –1 ou m = – 5 
 
 A B C D E F G H I J L M N 
a (0,0) (0,20) (20,40) (20,55) (40,80) (80,80) (80,60) (120,60) (120,20) (100,0) (60,0) (60,10) (25,0) 
b (-60,-40) (-60,-20) (-40,0) (-40,15) (-20,40) (20,40) (20,20) (60,20) (60,-20) (40,-40) (0,-40) (0,-30) (-35,-40) 
 
20 20 40 
25 35 40 
120 
2
0
 
2
0
 
2
5
 
1
5
 
2
0
 
2
0
 
4
0
 
1
0
 
A 
B 
C 
D 
E F 
G H 
I 
J 
L 
M 
N 
 
y 
x 
b1,3 
4 
–3 
–3 
4 
45º 
A 
B 
 
y 
x 
b2,4 
135º 
3 
–3 
 
4 
– 4 
C 
D 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
9 
O 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
1 
2 4 
3 
SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ3 ou E3 
 
Consideramos como sendo o espaço cartesiano ℝ3 (ou E3), o conjunto dado por três eixos reais perpendiculares dois a dois, 
denotados por “x” , “y” e “z”, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientação conforme abaixo:z (eixo da cotas) 
 
 
 O 
 y (eixo das ordenadas) 
 
 
 x (eixo das abscissas) 
 5 
 
Os três planos do ℝ3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem 
ser observados na figura acima e a direita (os números identificam cada octante). 
 
Os valores reais contidos nos três eixos estão ordenados de forma crescente conforme indicação das setas dos respectivos 
eixos. No espaço tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de números reais (x, y, z), associamos um único ponto; 
assim: 
 
 
 zP 
 P (xP , yP , zP) 
 
 yP 
 
 
 xP 
 
 
 Observação: Origem  O (0 , 0 , 0) 
 
 
 
 
 
Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e 
sistemas de robótica utilizam, na sua grande 
maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como 
no exemplo da fresadora ao lado: 
 
 
Por questões técnicas, as posições dos eixos 
coordenados podem diferir das usadas no estudo 
científico (na geometria analítica e outras áreas de 
aplicabilidade da matemática). 
 
 
 
 
A figura apresenta os “eixos de deslocamento” de 
uma fresadora. 
 
 
 
 
Para refletir: A receita para a ignorância perpétua é permanecer satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos. 
 (Elbert Hubbard) 
. . . 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
10 
Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3). 
 
 
Com base na figura ao lado, e levando em consideração que um 
ponto qualquer (x , y , z) está no: 
 
 eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0); 
 eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0); 
 eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3); 
 
 plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0); 
 plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3); 
 plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3). 
 
 
 
 
 
 
Assim, a figura à direita destaca os 3 planos do sistema ℝ3. 
 
 
 
 
 
 
 
Ao lado (esquerdo) podemos observar uma representação usual de 
dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma 
máquina operatriz com CNC (comando numérico computadorizado). 
Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posições 
diferentes daquelas que farão parte de nosso estudo. Este fato não 
interfere no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim, 
a marcação e identificação dos pontos são processos análogos aos 
que estudamos aqui. 
 
 
 
 
 
Para marcar um ponto no espaço, como por exemplo, o 
ponto A(3 , –2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento: 
 
1º) marca-se o ponto A’(3 , –2 , 0) no plano “xy”; 
2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo “z”, 4 unidades para 
cima (se fosse – 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter 
então o ponto A desejado. 
 
A figura ao lado ilustra este procedimento. 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Considerando os pontos P(0, –3, –2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema 
de coordenadas cartesianas ℝ3 e faça a representação do segmento 
PQ
. 
 
Assim sendo, temos a representação ao lado: 
(desenho fora da escala) 
 
 
 
 
 
 
E D 
P 
F 
A B 
C O 
4 2 
3 
y 
z 
x 
x 
y 
z 
P 
Q 
4 
3 
7 
–3 
–2 
• 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
11 
2) Construa dois sistemas de coordenadas ℝ3 e localize os pontos A(2, 4, –3) e B(–3, 5, 4) separadamente, determinando 
em qual octante se encontra cada ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Observando a figura ao lado, determine as 
coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P. 
 
A( , , ) 
 
B( , , ) E( , , ) 
 
C( , , ) F( , , ) 
 
D( , , ) P( , , ) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema ℝ3 e compare suas representações com as dos 
seus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessário. 
 
a) A(1, 5, 4) b) B(1, –5, 4) c) C(2, 0, –5) d) D(–2, 4, 1) e) E(2, –3, –1) f) F(–1, –4, –3) 
 
 
3) No referencial da figura ao lado está representada uma pirâmide de 
base quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine: 
 
a) as coordenadas do ponto A e do ponto C. 
b) a altura da pirâmide. 
 
Observação: Medidas em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Seja a pirâmide de base OABC e P o seu vértice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9), 
faça a representação geométrica da pirâmide e especifique o formato da base da pirâmide e também sua altura. 
 
 
Para refletir: É uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes só consiga rastejar. (Mr. Pi) 
C D 
P 
B 
A F 
E O 
7 3 
5 
y 
z 
x 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
12 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
J 
5) Na figura a seguir, dois vértices de um paralelepípedo retangular com as faces paralelas ao planos coordenados estão 
indicados. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Observando a peça abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
E 
F 
G 
H 
I 
D 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
13 
A 
C 
G F 
D 
B 
H 
x 
z 
y 
E 
1 
–2 
–3 
1 
2 
3 
 
 
 
 
 
 
 
8) Observando a peça ao lado, determine as 
coordenadas cartesianas de cada ponto indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. 
Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que 
)2,1,2( A
. Note que o ponto 
A
 está no 4º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 1, 2 e 
3. Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que 
2)1,3,A ( 
. Observe atentamente que o ponto A se 
encontra no 6º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
A 
C 
G 
F 
E 
D 
B 
H 
I 
x 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
14 
11) Representando os pontos A(10, –2, –2), B(2, 0, – 4) e C(4, –2, 4) num ℝ3 e ligando-os, temos o triângulo ABC. 
Faça a representação gráfica e diga se é possível determinar o tipo de triângulo emquestão, quanto aos seus lados 
e quanto aos seus ângulos? 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2) Veja com seus colegas de classe! 
 
3a) A(3,–3, 0) e C(3, 3, 0) 3b) 8 m 4) A base da pirâmide é quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc. 
 
5) Vértices Superiores: (3, 3, 7), (3, 6, 7) e (–1, 3, 7) – Vértices Inferiores: (3, 6, 4), (–1, 6, 4) e (–1, 3, 4) 
 
6) A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e J(40, 25, 10) 
 
7) A(0, 0, 30), B(20, 0, 15), C(50, 0, 10), D(50, 0, 0), E(50, –20, 0), F(50, –20, 20), G(50, –20, 30), H(20, –20, 30) e I(0, –20, 30) 
 
8) A(0, 30, 0), B(0, 30, 10), C(–5, 30, 10), D(–25, 30, 0), E(–30, 30, 10), F(–30, 10, 10), G(0, 10, 10), H(–15, 10, 25) e I(–15, 0, 40) 
 
9) B(2, –3, 2), C(3, –3, 2), D(3, –1, 2), E(3, –1, 5), F(2, –1, 5), G(2, –3, 5) e H(3, –3, 5) 
 
10) B(–3, 2, –2), C(–5, 2, –2), D(–5, 1, –2), E(–5, 1, –5), F(–3, 1, –5), G(–3, 2, –5) e H(–5, 2, –5) 
 
11) Neste caso, graficamente não é possível (ou torna-se muito difícil) determinar com segurança o tipo de 
triângulo (em relação aos lados e aos ângulos), pois a perspectiva aqui utilizada não permite tal verificação e mesmo 
utilizando uma escala conveniente, algumas medidas não aparecem na sua verdadeira grandeza. Entretanto, 
algebricamente (ou analiticamente) é possível determinarmos com precisão absoluta o tipo de triângulo. As medidas dos 
lados do triângulo podem ser calculadas através da fórmula da distância entre dois pontos 
A
 e 
B
 no espaço dada 
por: 
222 )()()( ABABABAB zzyyxxd 
 e através destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema 
de Pitágoras, podemos classificar o triângulo quanto aos seus ângulos. Assim sendo, veremos que o triângulo 
ABC
 é 
EQÜILÁTERO, pois 
ucCABCAB 2672 
 e desta forma também é ACUTÂNGULO, pois tem os seus ângulos 
internos iguais a 
º60
. Em breve, poderemos calcular com precisão cada um dos 3 ângulos internos de um triângulo 
qualquer através da aplicação do conceito de “produto escalar”. 
 
 
VETORES – Introdução 
 
Antes de tratarmos propriamente de vetores, precisamos identificar aquilo que chamamos de grandezas físicas. Na 
matemática e em outras ciências ditas “exatas”, só podemos equacionar e quantificar situações que envolvem grandezas 
físicas, ou seja, aquelas que, no mínimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distância entre a 
sua casa e a padaria mais próxima, por exemplo. Essa distância pode ser dada em metros, quilômetros, ou ainda, em uma 
outra escala que possa ser conveniente. 
 
As grandezas físicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo: 
 














 


Sentido-
Direção-
unidade)(númeroMódulo -
V etoriais
unidade)(númeroMóduloEscalares
F ísicasGrandezas

 
 
 Exemplos de grandezas físicas escalares: 
Distância, tempo, massa, temperatura. 
 
 Exemplos de grandezas físicas vetoriais: 
Velocidade, aceleração, força, torque (momento), campo magnético. 
 
Com o crescimento da tecnologia e da área industrial, tornou-se crescente também a necessidade de equacionar situações 
que envolvessem grandezas vetoriais. Nesse momento, a sistematização da teoria vetorial ganha impulso, possibilitando 
estudar mais profundamente fenômenos ligados a tais situações. 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
15 
VETORES – Noções Básicas 
 
Conceito: 
 
O “vetor” pode ser definido de várias maneiras: 
 
 É um ente matemático utilizado para representar grandezas físicas vetoriais. 
 
 É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número não negativo (módulo). 
 
 É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento. 
 
 
Etimologia da Palavra Vetor: 
 
O termo vetor pode ser oriundo do verbo latino vehere [transportar, levar]. Assim, vetor seria o particípio passado de 
vehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava o 
portador de uma mensagem, por exemplo. Pois: veho [levar] + or [aquele que faz]. Daí também a palavra vehiculum 
(veículo). No caso específico de Matemática, podemos dizer que um vector é um transportador de três informações de uma 
grandeza vetorial: direção, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A é transportado (pelo vetor) até um ponto B. 
 
Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazem 
bastante sentido. 
 
 
Representações e Notações: 
 
Algumas convenções são importantes para que possamos “desfrutar” ao máximo da utilização da linguagem vetorial. 
Vejamos algumas notações e representações usuais. 
 
 
 
 
Um vetor normalmente é representado 
por uma letra minúscula juntamente com 
uma “flechinha” sobre ela, mas também 
podemos representar um vetor pelos dois 
pontos que o definem. 
 
Então, no caso ao lado: 
ABv 
 
Podemos considerar ainda que: 
BvA 
  ABv  
Resumindo, temos: 
ABABv 
 
 
 
 
 
 
 
 Esquentando o Processador! 
 
 
 
1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatro 
segmentos de reta unidos (consecutivos), passando em cada ponto exatamente 
uma vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traçado duas vezes! 
 
 
2) Qual o valor do número “x” na seqüência: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ? 
 
 
 
 
Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro) 
 
A 
B 
y 
x 
 extremidade do vetor 
 
origem do vetor 
  
v
 
|| v

 
 módulo do vetor 
(depende de escala) 
0 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
16 
Detalhando, temos: 
 
Módulo (intensidade, norma ou comprimento): 
 Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, é um número real não negativo 
acompanhado de sua unidade. Geometricamente, o módulo é o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada de 
desenho). 
 
 
 
 
 Módulo do vetor 
v
 : 
|AB||AB||v| 

 
 
 
 
 
 
Direção: 
 É a reta suporte de atuação do vetor. A direção pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Quando a direção é oblíqua, 
normalmente está associada a um ângulo de referência. 
 
Sentido: 
 Para cada direção sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direção for vertical, o sentido poderá ser para cima ou 
para baixo. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





 
cimapara:sentido
v ertical:direção
N150|f|:módulo
:f

 




 
baixopara:sentido
horizontalacomº160:direção
s/cm26|v|:módulo
:v

 
 
Vetor Livre: 
 
Considere que os vetores 
v
 , 
v 
 , 
v 
 e 
v 
 apresentados abaixo, tenham mesmo módulo, mesma direção e sentido. Assim 
sendo, devemos considerar que 
v
 = 
v 
 = 
v 
 = 
v 
 . Isso faz com que um vetor seja qualificado como “livre”, pois pode ser 
transladado de uma posição para outra mantendosuas características de módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
  
v
 é o vetor posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os vetores 
v 
 , 
v 
 e 
v 
 são denominados imagens geométricas de 
v
 e esse vetor 
v
 é dito, representante natural 
de 
v 
 , 
v 
 e 
v 
 . O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas é 
chamado vetor posição, no caso acima, o vetor 
v
 . 
A 
B 
v
 
|| v

 
 módulo do vetor 
(depende de escala) 
f
 
v
 
160º 
y 
x 0 
v
 
v 
 
v 
 
v 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
17 
Particularidades dos Vetores: 
 
 Vetores Iguais: 
 
Dois vetores 
u

 e 
w
 são iguais, e indica-se por 
wu


, se tiverem iguais todas as suas três características: módulo, 
direção e sentido. Caso contrário, escrevemos: 
wu


. Uma ilustração sobre a igualdade de vetores já foi apresentada 
anteriormente. 
 
 
 Vetores Paralelos: 
 
Dois vetores 
u

 e 
w
 são paralelos, e indica-se por 
wu

//
, se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na figura 
abaixo temos 
vwu

////
. 
 
Observe que 
u

 e 
w
 têm mesmo sentido e 
que 
u

 e 
w
 têm sentido contrário ao de 
v
 . 
u

 
w
 
v
 
A direção dos vetores dados ao lado é vertical. 
 
 
 Vetores Ortogonais: 
 
Dois vetores 
u

 e 
w
 são ortogonais, e indica-se por 
wu


, se algum representante de 
u

 formar ângulo reto (90º) com 
algum representante de 
w
 , como na figura [a] abaixo. 
 
 
u

 
 
Na figura [b] ao lado, temos dois representantes 
dos vetores 
u

 e 
w
 , com origem (em comum) 
no ponto O, onde se forma o ângulo reto. 
w
 
 
w
 
Podemos utilizar, em alguns casos específicos, O 
u
 
perpendicular como sinônimo de ortogonal. 
 [a] [b] 
 
 Vetor Nulo (ou Zero): 
 
Qualquer ponto do espaço pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por 
0
 ou também por 
A A
 
(a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A). 
 
Desta forma temos: 





 
definidonão:sentido
definidanão:direção
0|0|:módulo
:0

 
 
Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido definidos; em algumas situações torna-se conveniente considerar o 
vetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor. 
 
 
 Vetor Oposto: 
 
A cada vetor 
0

v
 corresponde um vetor oposto 
v


, de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário. 
 
 B 
 
 
v
 
v


 
 
 
 A 
 
Se o vetor oposto de 
v
 é o vetor 
v


, então o vetor oposto de 
AB
 é o vetor 
AB
, que pode ser escrito 
BA
. 
Algebricamente temos: 
ABABABBABA  )()(
 
É importante observar que: 
|||| vv


, porém 
vv


. Destacamos ainda que: 
0)(

 vv
. 
 
 
Para refletir: Existem vitórias da alma e do espírito. Às vezes, mesmo quando você perde, você ganha. (Elie Wisel) 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
18 
EXERCÍCIOS – Vetores – Noções Básicas 
 
1) Considerando o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, e sendo O é ponto de interseção das diagonais deste losango, 
decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo: 
 
 
 D H C 
 
 
 E G 
 
 A F B 
 
 
 
 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decida se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. 
 
a) 
BFDH 
 f) 
|||| HFAC 
 
 
b) 
GEAC 
 g) 
|||| DFAG 
 
 
c) 
CGAB 
 h) 
GHAB //
 
 
d) 
BCAF 
 i) 
DFDG 
 
 
e) 
EDBG //
 j) 
)()( HDDB 
 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) V 1b) F 1c) V 1d) V 1e) F 1f) F 1g) V 1h) V 1i) V 1j) F 1k) V 1l) V 1m) V 1n) F 1o) V 
 
2a) V 2b) V 2c) V 2d) V 2e) F 2f) V 2g) V 2h) V 2i) F 2j) V 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA GEOMÉTRICA 
 
 
 Multiplicação de um Vetor por um Escalar 
 
Dado um vetor 
0

v
 e um número real (escalar) 
0n
, chama-se produto do número real 
n
 pelo vetor 
v

, o novo vetor 
vn

.
, tal que: 
 














vdecontráriosentidotemvn0nse
vdesentidomesmootemvn0nse
:sentido
vdemesmaa:direção
|v|.|n||vn|:módulo
vn





 
 
Abaixo, segue um vetor 
v
 com alguns de seus “múltiplos escalares”: 
 
 
v

 
 
v

1
 
 
v

2
 
 
v

2
 
 
v

5
 
 
v

3
 
 
v

2
1
 
 
Nota: Observe que qualquer um dos múltiplos escalares de 
v

 possui a mesma direção de 
v

. Logo, todos os vetores do 
exemplo acima são paralelos. Assim, podemos escrever que, se dois vetores (não nulos) 
u
 e 
v
 são paralelos, então existe 
um número real 
0n
, tal que 
vnu


. 
a) 
OGEO 
 f) 
COEH 
 k) 
OC//AO
 
 
b) 
CHAF
 g) 
|BD||AC| 
 l) 
OHAB
 
c) 
HGDO 
 h) 
|DB|
2
1
|O A| 
 m) 
CBEO
 
d) 
|BO||OC| 
 i) 
CD//AF
 n) 
HFAO
 
 
e) 
|DH||OH| 
 j) 
HG//GF
 o) 
FEOB 
 
O  
G 
F 
A B 
C D 
E 
H 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
19 
 Adição (e Subtração) de Vetores 
 
CASO 1: Vetores com mesma direção (paralelos ou colineares): 
 
O processo de adição de dois ou mais vetores paralelos é bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir. 
 
 
 
 
0ffR 21


  
N0|R| 

 
 
 
N100|f| 1 

 e 
N100|f| 2 

 
 
NOTA: Quando adicionamos dois ou mais vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor soma” ou 
“vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum. 
 
 
1f

 
2f

 
 
 
1f

 
 
21 ffR


  
N220|R| 

 
21 ff

R
 
 
 
N120|f| 1 

 e 
N100|f| 2 

 
 
 
 
 
2f

 
1f

 
2f

 
21 ffR


  
N70|R| 

 
 
1f

 
 
N50|f| 1 

 e 
N120|f| 2 

 
21 ff

R
 
 
 
 
CASO 2: Vetores com direções diferentes (não paralelos): 
 
Abordaremos de forma sucinta dois métodos para adição de vetores não paralelos (nãocolineares). Veja a seguir: 
 
Método do Paralelogramo 
 
Para adicionarmos dois vetores pelo método do paralelogramo, inicialmente esses vetores devem ter uma origem comum 
[situação I]. Traçam-se linhas auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades [situação II], 
formando um paralelogramo. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum aos vetores somados e sua 
extremidade será a intersecção das linhas auxiliares [situação III]. Note que o vetor resultante está sobre a diagonal do 
paralelogramo. 
 
 I II III 
 
 
1f

 
1f

 
1f

 
 
R
 
 
 
 
 
2f

 
2f

 
2f

 
 
 
Podemos dizer, de maneira informal, que o vetor resultante faz o mesmo papel, ou que tem a mesma função, ou ainda que 
executa o mesmo trabalho dos vetores que o resultaram. 
 
 
1f

 
 
 
21 ff

R
 
 
2f

 
2f

 
1f

 
2f

 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
20 
Observação: o cálculo do módulo do vetor resultante para o método do paralelogramo pode ser feito através da fórmula: 
 
cos.|f|.|f|2.|f|f||R| 212221   |
 (sendo 

 o ângulo entre os vetores 
1f

 e 
2f

) 
 
A relação acima é muito comum no estudo da Física. Trata-se de uma adaptação da lei dos cossenos (aplicada em triângulos 
quaisquer). Entretanto essa fórmula apresenta grande limitação em situações tridimensionais, que é o foco de nossos 
estudos futuros. Veremos métodos analíticos mais eficazes para o cálculo do módulo de um vetor resultante e também da 
sua direção, em estudos posteriores. 
 
 
Método do Polígono (Linha Poligonal) 
 
Para adicionarmos dois vetores pelo método do polígono [situação I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamente 
suas características de módulo, direção e sentido), colocando sua origem na extremidade do outro vetor [situação II], 
formando um “caminho”. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum ao “primeiro” vetor e sua extremidade 
comum à extremidade do “último” vetor [situação III]. Note que o vetor resultante fecha um polígono com os vetores 
somados. 
 
 I II III 
 
2f

 
2f

 
 
1f

 
1f

 
1f

 
 
 
21 ff

R
 
 
2f

 
 
 
Para somarmos mais que dois vetores (três, no caso a seguir), o processo é análogo ao descrito acima. 
 
 I II III 
 
 
1f

 
1f

 
1f

 
 
 
2f

 
3f

 
3f

 
 
 
3f

 
321 fff

R
 
 
 
Qualquer seqüência escolhida para a soma dos vetores resultará no mesmo vetor resultante. Veja: 
 
 I II III 
 
 
1f

 
 
 
2f

 
2f

 
2f

 
 
R
 
 
3f

 
 
3f

 
1f

 
3f

 
1f

 
 
 
No caso abaixo, o vetor resultante é NULO. Observe que “organizando” os vetores na sequencia “extremidade-origem”, a 
linha poligonal se fecha não deixando espaço para o vetor resultante. 
 
 
 
1f

 
2f

 
2f

 
3f

 
 
 
 
3f

 
4f

 
0ffff 4321

R
 
 
4f

 
1f

 
 
 
 
Comentário: O método do paralelogramo “adiciona” apenas dois vetores em cada operação, entretanto o método do polígono 
pode “adicionar” uma quantidade finita qualquer de vetores numa única operação, tornando-se assim um processo mais versátil. 
2f

 
2f

 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
21 
A Subtração de Vetores: Um Caso Particular da Adição 
 
A expressão 
21 ff

R
 pode ser escrita como 
)ff 21

 (R
. 
 
Portanto, para subtrair 
2f

 de 
1f

 devemos ADICIONAR 
1f

 com 
2f


, sendo este último, o vetor oposto de 
2f

. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 I II III 
 
R
 
 
1f

 
1f

 
1f

 
 com 
21 ff

R
 
 
 
2f

 
2f


 
2f


 
 
 
21 ff


 
21 ff


 
 
Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante 
da soma e da subtração dos mesmos dois vetores. 
1f

 
 
2f

 
 
NOTA: Quando subtraímos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor diferença” ou mesmo 
“vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum. 
 
 
EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Geométrica 
 
1) Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantes D H C 
 para cada caso, expressando-os com origem no ponto A. 
 O 
 E G 
 
a) 
CHOC 
 d) 
EFEH 
 A F B 
b) 
FGEH 
 e) 
BGEO 
 g) 
EHBC 
2
1
 i) 
HOOG 
 
c) 
AFAE .2.2 
 f) 
OCOE .2.2 
 h) 
FGFE 
 j) 
AOFOAF 
 
 
 
2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) No hexágono regular ao lado, obter o vetor resultante de: 
 
a) (B – A) + (E – F) + (F – A) expressando-o com origem no ponto A 
 
b) (D – A) – (E – A) + (E – B) expressando-o com origem no ponto B 
 
c) (C – D) + (F – B) – (A – B) expressando-o com origem no ponto F 
 
d) (C – A) – (C – E) + (B – C) expressando-o com origem no ponto C 
A 
F 
B C 
E 
D 
 
A B 
C 
D 
E F 
H G 
A B 
C 
D 
E F 
H G 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
22 
C 
A B 
M N 
4) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. 
 
a) Os vetores 
v

3
 e 
v

4
 são paralelos e de mesmo sentido. 
 
b) Se 
vu

//
, então 
|||| vu


. 
 
c) Se 
vu

//
, 
2|| u

 e 
6|| v

, então 
uv

3
 ou 
uv

3
. 
 
d) Se 
|||| vu


 então 
vu


. 
 
5) Dois vetores têm módulo 10 e 14. Qual o módulo máximo possível do vetor soma desses vetores? E o mínimo possível? 
 
6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo 
qualquer é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade. 
 
 
 
Sugestão:  Devemos demonstrar que: 
ABMN
2
1

 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) 
AE
 1b) 
AC
 1c) 
AC
 1d) 
AB
 1e) 
AO
 1f) 
AD
 1g) 
AH
 1h) 
AD
 1i) 
AO
 1j) 
AC
 
 
2a) 
AG2b) 
AE
 3a) 
AD
 3b) 
BD
 3c) 
FF
 3d) 
CD
 4a) F 4b) F 4c) V 4d) F 
 
5) Módulo Máximo: 24 [Vetores com mesma direção e sentido] – Módulo Mínimo: 4 [Vetores com mesma direção e sentidos contrários] 
 
 
VETORES NO ℝ2 
 
Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C(– 4, –6) e D(0, –3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Desta 
forma, podemos considerar também os vetores: 
OPv 
 , 
ABw 
 e 
CDu 
 . Representando-os no plano, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo módulo, direção e sentido. Então podemos 
afirmar que 
uwv


 ou que 
CDABOP 
. Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os é o vetor 
OPv 
 . 
O vetor 
v
 também é chamado de vetor posição ou representante natural dos vetores AB ou CD , pois é aquele que 
 
tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal. 
 C 
x 
y 
 – 4 
 – 3 
 – 6 
 4 5 9 
 3 
 O 
 8 
 P 
 A 
 B 
 D 
 5 
v
 
w
 
u
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
23 
Tomando um vetor qualquer definido por dois pontos 
A
 e 
B
, podemos escrever: 
 
),(),( AABB yxyxABAB 
. Daí tem-se que: 
),( ABAB yyxxAB 
. 
 
Então, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer: 
 
OPv 
 
ABw 
 
CDu 
 
OPv 
 
ABw 
 
CDu 
 
)0,0()3,4( v

 
)5,5()8,9( w

 
)6,4()3,0( u

 
)03,04( v

 
)58,59( w

 
)63,40( u

 
)3,4(v

 
)3,4(w

 
)3,4(u

 
 
Pode-se observar que as igualdades 
uwv


 e 
CDABOP 
 vistas anteriormente, confirmam-se algebricamente. 
Formalizando, podemos dizer que dados dois vetores 
)y,x(m 11

 e 
)y,x(n 22

, eles serão iguais [
nm


] se, e 
somente se, 
21 xx 
 e 
21 yy 
 (Igualdade de vetores). Isto dará garantia de que estes vetores terão mesmo módulo, 
direção e sentido. 
 
A forma 
)y,x(v 

 é dita expressão analítica do vetor 
v
 e determina que o vetor no plano é um par ordenado de 
números reais com sua extremidade no ponto 
)y,x(
 e sua origem coincidindo com a origem 
)0,0(
 do Sistema 
Cartesiano Ortogonal . Também se utiliza em alguns casos, a seguinte notação para um vetor: 
y,xv 

. 
 
Versores de um Sistema de Coordenadas: 
 
Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que 
i
 e 
j
 , nesta ordem, são os versores dos eixos cartesianos x e y, 
tendo estes versores, origem no ponto 
)0,0(O
. 
 
Desta forma temos: 
)0,1(i 
 e 
)1,0(j 
 sendo que 
1|j||i| 

. 
 
 
Estes vetores 
i
 e 
j
 formam o que chamamos de base do plano, esta em especial é dita Base Canônica. Isto quer dizer 
que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma única, através da combinação linear dos versores 
i
 e 
j
 . 
 
Observação: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Na prática, as bases 
mais utilizadas são as ortonormais (que são bases formadas por vetores unitários perpendiculares entre si). 
 
 
 
Escrevendo um vetor utilizando uma combinação linear: 
 
Multiplicando 
i
 por 4 e 
j
 por 3, teremos os vetores i4 e 
j3
 , 
que estão representados no plano ao lado. 
 
 
Observe que, se adicionarmos (método do paralelogramo) os 
vetores 
i4
 e 
j3
 , teremos como resultante o vetor v , e por isso, 
podemos escrever o vetor 
v
 como combinação linear dos 
vetores 
i
 e 
j
 . Então escrevemos: 
j3i4v


, ou ainda, 
)3,4(v 

 como vimos anteriormente. 
 
Generalizando, teremos: 
jy .ix.y ),(xv


 Acima temos: 
j3i4)3,4(v


 
 
 
 
 
 Esquentando o Processador! 
 
 
Uma lesma começa a subir num poste de 10m de altura. De dia ela sobe 2m e à noite desce 1m. 
Em quantos dias a lesma atingirá o topo do poste? 
y 
x 
i
 
j
 
O
 
v
 
P
 
y 
x 
i4
 
j3
 
O
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
24 
Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ2, temos: 
 
)3,2(j3i2a 

 
 
)5,6(j5i6b 
 
 







2
7
,0j
2
7
c

 
 
 
 
0),(4i4e 

 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
1) Dados os pontos A(–1,– 4), B(1, –7) e C(5, 2), 
 represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo: 
a) o vetor
BA
; 
b) o vetor 
u

, que é o vetor posição de 
BA
; 
 
c) o vetor 
u

 com origem no ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ2 
 
1) Representar graficamente o vetor 
A B
 e o correspondente vetor posição 
v
 para cada um dos casos abaixo: 
 
a) A(–1 , 3) e B(3 , 5) b) A(–1 , 4) e B(4 , 1) c) A(4 , 0) e B(0 , –2) d) A(3 , 1) e B(3 , 4) 
 
2) Qual é o ponto inicial A do “segmento orientado” (vetor) representado pelo vetor posição 
)3,1(v 

, sabendo que sua 
extremidade está no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetor 
v
 e o “segmento orientado” em questão. 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) 
v

= (4, 2) 1b) 
v

= (5, –3) 1c) 
v

= (– 4, –2) 1d) 
v

= (0, 3) 2) A(4, –2) 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
)2,4(i4j2d 

y 
x 4 
2 
–3 
– 6 
5 
7/2 
– 4 
–2 
a

 
b
 
c

 
d
 
e

 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
25 
OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ2 
 
Os vetores podem ser operados em suas formas geométricas (através de suas representações em desenho, como vimos 
anteriormente). Porém, se estas operações forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos precisão absoluta dos 
resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido), principalmente quando os vetores se encontram 
num espaço tridimensional. Inicialmente trataremos do espaço bidimensional. Vejamos: 
 
 
 Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor: 
 
Dado um vetor 
),( 11 yxv 

 no ℝ2 e um número 
n
ℝ, define-se que: 
)( 11 n.y,n.xvn. 

. 
 
Vamos exemplificar essa operação algebricamente e também graficamente. 
 
EXEMPLO: 
 
1) Considere o vetor 
w
 = (–2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal. 
 
a) Determine o vetor 
v
 de modo que 
w3v


. c) Determine o vetor 
u

 de modo que 
w
2
1
u


. 
b) Determine o vetor 
t
 de modo que 
w2t


. d) Represente os vetores 
w
 , 
v
 , 
t
 e 
u

 no ℝ2. 
 
 
Resolução: 
 
a) 
w3v


 b) 
w2t


 
 
1)2,3.(v 

 
1)2,2.(t 
3)6,(v 

 
2)(4,t 

 
 
 
c) 
w
2
1
u


 
 
1)2,(
2
1
u 

 
 







2
1
,1u

 
 
 
 
Observação: 
 
 Note que no exemplo acima todos os vetores têm mesma direção (são colineares ou paralelos). 
 Quando um vetor qualquer 
0v


 é multiplicado por um escalar “n” (n  ℝ), tem-se um novo vetor 
vn

 que pode ser 
denominado múltiplo escalar de 
v
 . 
 
Através do exemplo anterior podemos RELEMBRAR o conceito de multiplicação de um escalar por um vetor. Então: 
 
 Quando multiplicamos um número real “n” por um vetor 
0v


, temos um novo vetor “
vn

”, sendo que: 
 














vdecontráriosentidotemvn0nse
vdesentidomesmootemvn0nse
:sentido
vdemesmaa:direção
|v|.|n||vn|:módulo
vn





 
 
 
 Adição (e Subtração) de Vetores: 
 
Dados os vetores 
),( 11 yxv 

 e 
),( 22 yxw 

 no ℝ2, define-se: 
 
 
),( 2121 yyxxwv 

  
),()( 2121 yyxxwvwv 

 
 
Vamos exemplificar essa(s) operação(ões) algebricamente e também graficamente. 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
26 
EXEMPLOS: 
 
1) Considere uma bóia B’ flutuando num lago de águas calmas 
(na origem) e que os vetores 
i40t


 e 
30)(0,v 

 
representam duas forças (em N) aplicadas simultaneamente na 
bóia em questão. Determine o vetor 
R
 que representa a força 
resultante aplicada e represente esquematicamente a situação 
no ℝ2 ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, para este caso: 
30N|v| 

, 
40N|t| 

 e 
50N|R| 

. 
 
 
2) Dados os vetores 
v
 = (4, –1), 
j5iw


 e 
1)1,(t 

, determine o vetor 
R
 sabendo que 
twvR


, e faça a 
representação desses no ℝ2 ao lado. 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
w,v


 teremos 
vwwv


 (propriedade comutativa da adição de vetores). 
 
3) Considerando os vetores 
ji3u


 e 
2)1,(v 

, determine o vetor 
t
 de modo que: 
tu2t
3
1
)vu(4


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
B’ 
↳ 
wprojv


 
 
w

 
v
 
B 
B’ 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
27 
Particularidades dos Vetores no ℝ2: 
 
 Vetor Oposto: 
 
Relembramos que, a cada vetor 
0v


 corresponde um vetor oposto 
v


, de mesmo módulo e direção, porém, de sentido 
contrário. Analiticamente, podemos concluir que o vetor 
2),(3t 

 é o vetor oposto de 
2)3,(w 

 e vice-versa. Veja a 
representação gráfica abaixo: 
 
 
Então, é verdade que: 
 
 
wt


 ou 
tw


 N 
 
 
ONOP 
 ou 
OPON 
 
 
 
Observe que: 
 
 
|w||t|


, porém 
wt


 
 
 
0wt


 
 
 
 
 
Através do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Para 
o caso acima, algebricamente, temos: 
  
00)(0,2)23,(32)3,(2)(3,wt


 
 
 
 Relembrando o Vetor Posição: 
 Observando o ℝ2 abaixo, podemos escrever: 
OBABOA 
. 
 Então: 
OAOBAB 
 
 
B
 
)()( OAOBAB 
 
 
OAOBAB 
 
 
v
 ABAB  
 
A
 
ABv 
 
 
v
 
 
v
 é o vetor posição de AB . 
 
O
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ2 
 
1) Dados os vetores 
)1,3(u 

 e 
)2,1(v 

, determine o vetor 
t
 de modo que: 
)u3t4(2)uv2(t3


. 
 
2) Dados os pontos A(–1, 3), B(2, 5), C(3, –1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de: 
 
a) 
ABOA
 b) 
BCOC
 c) 
CB4BA3 
 
 
3) Dados os pontos A(3, –4) e B(–1, 1) e o vetor 
)3,2(v 

, calcule os vetores determinados por: 
 
a) 
v2)AB(


 b) 
v)BA(


 c) 
)AB(2B 
 d) 
)BA(2v3 

 
 
4) Dados os pontos A(–1, 2) e B(3, –1) e C(–2, 4), determine o ponto D de modo que 
A B
2
1
C D 
. 
 
5) Dados os vetores 
jiu

 2
 e 
iw

3
, determine 
t
 de modo que: 






 wutwut

4
3
2
1
5)24(3
 
y 
x 
3 
2 
0
 
t
 
P
 
–3 
–2 
w
 
x 
y 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
28 
 
6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Considere os vetores 






 0,
2
1
v

, 







5
1
,
4
3
w

, 
j3it


 e 







10
1
,2s

. Determine o vetor 
u

 de modo que o 
vetor resultante na expressão 
s5t
3
4
w2vuR


 seja o vetor nulo. 
 
 
8) Dados os pontos 
2)(1,A 
 e 
5)3,(B 
, determine: D(14, 16) 
 
 a) o ponto M que divide o segmento AB em duas partes iguais. 
 [neste caso, o ponto M é chamado “ponto médio” do segmento AB] P 
 
 b) os pontos P e Q que dividem o segmento AB em três partes iguais. 
 
 
9) O segmento de reta 
C D
 (figura ao lado) foi dividido em partes iguais. 
Assim, determine as coordenadas do ponto P. 
 C(–6, –1) 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
29 
z 
y 
x 
i
 
j
 
k
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1) 







5
11
,
5
23
 2a) (– 4, 1) 2b) (2, 5) 2c) (–5, –30) 3a) (–8, 11) 3b) (6, –8) 3c) (–9, 11) 
 
3d) (–14, 19) 4) 







2
5
,0D
 5) 







16
13
,
32
121
t

 6a) 
2)(1,R 

 6b) 
1)(5,R 

 
 
7) 







10
39
,
3
31
u

 8a) 






2
3
1,M
 8b) 






3
1
,
3
1
 e 






3
8
,
3
59) 







5
63
,10P
 
 
O ponto médio 
) y, x( M MM
 de um segmento AB, também pode ser calculado diretamente pelas expressões 
2
xx BA 
Mx
 e 
2
yy BA 
My
, normalmente estudadas na Geometria Analítica do Ensino Médio. 
 
 
VETORES NO ℝ3 
 
As definições e conclusões relativas ao ℝ3, dar-se-ão de forma análoga ao que vimos até então para o ℝ2. Sendo assim: 
 
 Vetor definido por dois pontos: 
 
Um vetor definido por dois pontos 
A
 e 
B
 será: 
)z,y,x()z,y,x(ABAB AAABBB 
. Daí tem-se que: 
)zz,yy,xx(AB ABABAB 
 
 
 
 Igualdade de vetores: 
 
Dados dois vetores 
)z,y,x(v 111

 e 
)z,y,x(w 222

, 
212121 zzeyyexxwv 

. 
Isto garante que os vetores em questão terão mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 Versores da Base Canônica: 
 
Os versores que formarão a base canônica do ℝ3 são: 
i
 , 
j
 e k . 
 
Sendo que: 
1|k||j||i| 
 onde: 
 
)0,0,1(i 
 , 
)0,1,0(j 
 e 
)1,0,0(k 
 
 
Daí tem-se que: 
kzjyix)z,y,x(v


 
 
 
 Vetores nos Eixos e Planos Coordenados: 
 
Se um vetor posição 
v
 está sobre o: 
 
 eixo x, então esse vetor é do tipo: 
)0,0,(xv 

 ou 
ixv


. 
 eixo y, então esse vetor é do tipo: 
)0,,0( yv 

 ou 
jyv


. 
 eixo z, então esse vetor é do tipo: 
),0,0( zv 

 ou 
kzv


. 
 
Se um vetor posição 
v
 está sobre o: 
 
 plano xy, então esse vetor é do tipo: 
)0,,( yxv 

 ou 
jyixv


. 
 plano yz, então esse vetor é do tipo: 
),,0( zyv 

 ou 
kzjyv


. 
 plano xz, então esse vetor é do tipo: 
),0,( zxv 

 ou 
kzixv


. 
 
 
 Vetor Nulo (ou Zero): 
 
No ℝ3, o vetor nulo é definido pela terna (0, 0, 0) que também define a origem do sistema de coordenadas em questão. 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
30 







2
3
,5,0
2
3
5 kjc

 Representação Geométrica: 
 
Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ3, temos: 
 
 
)3,3,2(332  kjia

 
 
)5,0,4(54  kib

 
 
 
 
 
 
)0,2,1(2  jid

 
 
)4,0,0(4  ke

 
 
)2,1,5(52  ikjf

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalizando: 
 
 Um vetor posição 
w
 qualquer, tem algumas maneiras de ser representado algebricamente. A expressão analítica usual 
)zy ,x,(w 

 é apresentada a seguir com as suas notações equivalentes: 
zy ,,xkz.jy .ix.z),y,(xw 

. 
Acrescentaremos ainda, um exemplo para “finalizar” esse tema. Veja: 
Já sabemos que o vetor 
kj3i4w


 pode ser escrito na forma analítica 
1)3,(4,w 

. Podemos verificar facilmente 
esta correlação, substituindo os correspondentes versores: 
0)0,(1,i 

, 
0)1,(0,j 

 e 
1)0,(0,k 

. Assim: 
 
kj3i4w


 
 
1) 0, (0,0) 1, 3(0,0) 0, 4(1,w 

 
 
1) 0, (0,0) 3, (0,0) 0, (4,w 

 
 
1)3,(4,w 

 
 
 Uma outra notação para vetores, que é importante e conveniente em algumas situações, é a MATRICIAL . Assim, um vetor 
qualquer 
)zy ,x,(w 

 pode ser escrito como matriz-coluna: 









z
y
x
w
 , ou ainda, como matriz-linha:  zyxw  . 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ3 
 
As operações com vetores na forma algébrica tornam-se especialmente importantes no espaço tridimensional, devido à 
dificuldade de uma representação geométrica inteligível para muitos casos; sem mencionar a precisão absoluta dos 
resultados analíticos. Novamente, todos os processos descritos a seguir são análogos aos estudados no sistema 
bidimensional. A diferença nos processos algébricos reside apenas no acréscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos as 
operações: 
 
Dados os vetores 
)z,y,x(v 111

 e 
)z,y,x(w 222

 no ℝ3 e um número 
n
ℝ, define-se: 
 
 Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor: 
 
 
)n.z,n.y,(n.xvn. 111

 
z 
y 
x 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
31 
 Adição (e Subtração) de Vetores: 
 
  
)zz,yy,xx(wv 212121 

 
 
  
)zz,yy,xx()w(vwv 212121 

 
 
 
EXEMPLOS COMPLEMENTARES: 
 
1) Considere o vetor 
PQw 

 sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (–2, 3, 5). Determine o vetor 
t
 , tal que: 
w4t


. 
 
Resolução I: 
 
Inicialmente, vamos calcular o vetor 
w
 . Assim: 
PQw 

  
4)3,(2,5)3,2,(PQw 

  
1)0,4,(w 

 
 
Agora podemos calcular o vetor pedido. Então: 
w4t


  
1)0,4,4.(t 

  
4)0,(16,t 

 
 
Resolução II: 
 
Sabemos que 
w4t


 e que 
PQw 

, então, substituindo o vetor 
w
 , temos: 
 
PQ4.t 
  
P)4.(Qt 

  
4P4Qt 

  
4)3,4.(2,5)3,2,4.(t 

  
16)12,(8,20)12,(8,t 

 
 
Assim, o vetor solicitado é: 
4)0,(16,t 

 
 
 
2) Dados os pontos A(2, –2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor 
)4,0,1(w 

, determine o vetor: 
AB)BA(3w2 

 
 
Resolução: 
 
 Inicialmente chamaremos de 
R
 o vetor solicitado. Então: 
R
ABBAw  )(32
 
 Organizando... 
R
)(332 ABBAw 

 
 
R ABBAw  332
 
R ABw 222 
 
 Substituindo o vetor 
w
 e os pontos A e B ... R
)1,2,2(2)5,3,1(2)4,0,1(2 
 
 Multiplicando os valores... 
R
)2,4,4()10,6,2()8,0,2( 
 
R
)2,4,4()2,6,4( 
 
 Enfim, temos o vetor solicitado: 
R
)0,10,0(
 
 
 
3) Encontrar o vértice oposto à B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(–3, –1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores e Álgebra Vetorial Professor Júlio César Tomio 
 
 
32 
4) Determine o vetor resultante de 
twu


, sendo que: 
0)2,(3,u 

, 
4)2,(0,w 

 e 
0)3,(0,t 

. 
 
Resolução: 
 
Inicialmente chamaremos de 
R
 o vetor resultante solicitado. 
 
Então: 
twuR


 
 
0)3,(0,4)2,(0,0)2,(3,R 

 
Logo: 
4)7,(3,R 

 
 
 
 
Ao lado, temos o problema 
representado graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ3 + Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ3 
 
 
1) Determinar o vetor 
v
 , sabendo que: (3, 7, 1) + 2
v
 = (6, 10, 4) –
v
 . 
 
2) Dados os pontos A(2, –2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor 
)4,3,1(v 

, calcular: 
a) A + 
v3

 b) (A – B) – 
v
 c) B + 2(B – A) d) v2 – 3(B – A) 
 
3) Dados os pontos A(3, – 4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que 
A B
5
2
A N
. 
 
4) Considerando os vetores 
)1,0,3( u

 e 
)2,3,1( v

 e os pontos 
)1,4,0( A
 e 
)7,6,2( B
, determine o 
vetor 
w
 tal que: 
wBAuwvu

 2
3
1
)(4
. 
 
5) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, 1, – 4) e C(–1, –3, 1), determinar o ponto D tal que 
0CDAB


. Em seguida