CENTRO DE MASSA

Prévia do material em texto

CENTRO DE MASSA 
 
01. Uma bomba de massa m esta movendo-se horizontalmente ao longo do eixo x com 
velocidade V0. 
 
 
A bomba esta isolada de forcas externas e vai explodir em dois fragmentos: A, de massa m/4, e 
B, de massa 3m/4. 
Em um instante T, posterior a explosão, o fragmento A tem coordenada yA = 15,0cm. No 
mesmo instante T, o fragmento B tem coordenada yB igual a: 
a) –15,0 cm b) –10,0 cm c) –5,0 cm d) 5,0 cm e) 15,0cm 
O centro de massa se mantém com velocidade V0 na direção x e, portanto, YCM = 0 
YCM = (mA.YA + mB.YB)/(mA + mB) = 0 onde mA + mB = m/4 + 3m4 = 4m/4 = m. 
[(m/4).15 + (3m/4).YB]/m= 0 
(1/4).15 + (3/4).YB = 0 (multiplicando tudo por 4 ou fazendo mmc) 
3.YB = – 15 
YB = – 5 cm. 
 
02. (UERJ 2001) Uma fotografia tirada de cima mostra a posição de 4 leões dentro da jaula, 
como indica o esquema abaixo. 
 
 
Sabendo que as massas são, respectivamente, m1 = m3 = 200 kg e m2 = m4 = 250 kg, 
determine as coordenadas, no plano xy, do centro de massa desses leões. 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3 + m4.X4)/(m1 + m2 + m3 + m4) = 
XCM = [200.(-2) + 250.(-1) + 200.1 + 250.2]/(200 + 250 + 200 + 250) = 
XCM = ( -400 - 250 + 200 + 500)/900 
XCM = 50/900 = 5/90 = 1/18. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3 + m4.Y4)/(m1 + m2 + m3 + m4) = 
YCM = [200.(-1) + 250.1 + 200.2 + 250.(-1)]/(200 + 250 + 200 + 250) = 
YCM = ( -200 + 250 + 400 - 250)/900 
YCM = 200/900 = 2/9. 
III. Assim o centro de massa é [(1/18); (2/9)]. 
 
03. (UNIFOR-CE 2003.1) Uma tábua homogênea, de 1,00 m de comprimento, tem 10 divisões 
de 10 cm, marcadas por 9 traços numerados de 1 a 9. A tábua, de massa 1,0 kg, foi pendurada 
por um fio ligado ao traço número 4, como está indicado no esquema. 
 
 
Para mantê-la na posição horizontal foi pendurado um massor exatamente sobre o traço 
número 2. A massa desse massor é, em kg, igual a: 
a) 0,25 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,90 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
40 = (1.50 + m2.20)/(1 + m2) 
40 + 40.m2 = 50 + 20.m2. 
20.m2 = 10 
m2 = 10/20 = 0,5 kg. 
 
04. (UFPE 2003) 
a) Duas partículas, de massas M1 = M e M2 = M/2, estão presas por uma haste de 
comprimento L = 48 cm e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em 
centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M1? 
 
 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = [M.0 + (M/2).L]/[M + (M/2)] 
XCM = (M.L/2)/(3M/2) 
XCM = L/3 = 48/3 = 16 cm. 
 
b) Duas partículas, de massas M1 = M e M2 = M/2, estão presas por uma haste de 
comprimento L = 12 cm e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em 
centímetros, do centro de massa do sistema em relação ao ponto O? 
 
 
 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = [M.(-L/3) + (M/2).(2L/3)]/[M + (M/2)] 
XCM = [(-M.L/3) + (-M.L/3)]/(3M/2) 
XCM = 0/(3M/2) = 0. 
 
05. (UECE 2012) Um bloco de massa mA = 700 kg se desloca ao longo do eixo x com velocidade 
escalar vA = 40 km/h, enquanto outro bloco, de massa mB = 500 kg, se desloca ao longo do 
mesmo eixo, com velocidade escalar vB = 80 km/h. Então, a velocidade escalar do centro da 
massa, em km/h, do sistema constituído pelas massas mA e mB é aproximadamente 
a) 40 b) 57 c) 60 d) 72 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) 
VCM = (700.40 + 500.80)/(700 + 500) 
VCM = (28000 + 40000)/1200 
VCM = 68000/1200 = 56,6 = 57 km/h. 
 
06. No esquema, temos duas esferas, A e B, de massas m e 2m, respectivamente. A esfera A 
está em queda livre e a esfera B está em repouso em um plano horizontal. 
 
 
Sendo g = 9,87 m/s2, calcule o módulo da aceleração do centro de massa do sistema 
constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver em queda livre. 
a) 3,0 m/s2 b) 3,25 m/s2 c) 3,29 m/s2 b) 3,75 m/s2 
aCM = (mA.aA + mB.aB)/(mA + mB) 
aCM = (m.g + 2m.0)/(m + 2m) 
aCM = m.g/3m = g/3 = 9,87/3 = 3,29 m/s2. 
 
07. (UFPE 2010) Uma chapa metálica de densidade constante é cortada de acordo com a 
forma mostrada na figura. Determine as coordenadas do seu centro de massa, em 
centímetros. 
 
 
I. Veja a figura. 
 
 
II. Determinando o centro de massa de cada área com sua respectiva área. 
XA = 15 cm e YA = 30 cm, AA = 30.60 = 1800 cm2. 
XB = 60 cm e YB = 60 cm, AB = 120.60 = 7200 cm2. 
XC = 105 cm e YC = 30 cm, AC = 30.60 = 1800 cm2. 
III. Determinando a massa de cada área, sabendo que massa e área são diretamente 
proporcionais, assim, como AA = AC = A e AB = 4.AA = 4A, então as massas terão os seguintes 
valores mA = mC = m e mB = 4.mA = 4m. 
IV. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (mA.XA + mB.XB + mD.XD)/(mA + mB + mD) = 
XCM = (m.15 + 4m.60 + m.105)/(m + 4m + m) = 
XCM = (15m + 240m + 105m)/6m = 
XCM = 360m/6m = 60 cm. 
V. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (mA.YA + mB.YB + mD.YD)/(mA + mB + mD) = 
YCM = (m.30 + 4m.60 + m.30)/(m + 4m + m) = 
YCM = (30m + 240m + 30m)/6m = 
YCM = 300m/6m = 50 cm. 
VI. Assim o centro de massa é (60; 50). 
 
08. (UEL-PR 2002) Uma das armas utilizadas pelas forças especiais dos Estados Unidos da 
América e da Inglaterra contra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis 
podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigidos por satélite, viajam a 880 km/h, podendo 
alcançar alvos situados a 1600 km. Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-
aviões USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em direção a uma base Talibã situada em 
Shidand, e descreve uma trajetória parabólica. Suponha também que esse míssil possua um 
sensor com o qual se pode explodi-lo no ar, de modo que ele se fragmente em pedacinhos 
pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja indevidamente a população civil. No caso de 
haver uma explosão como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de massa dos 
fragmentos após a explosão, considere as seguintes afirmativas, desprezando-se o efeito do ar: 
I. O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica, porque 
a explosão representa somente o efeito das forças internas. 
II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um aumento, devido a conversão da 
energia química armazenada em energia mecânica; mas a resultante das forças externas e o 
movimento do centro de massa não se alteram. 
III. O centro de massa dos fragmentos não continua mais descrevendo uma trajetória 
parabólica, pois a explosão fará com que os fragmentos sigam trajetórias próprias. 
Aponte a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I e verdadeira. 
b) Somente a afirmativa II e verdadeira. 
c) Somente a afirmativa III e verdadeira. 
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
I. Verdadeiro: as forças internas, ligadas a explosão, não podem alterar a trajetória do centro 
de massa. 
II. Verdadeiro: a resultante externa continua sendo o peso total do sistema e o centro de 
massa continua descrevendo a mesma trajetória parabólica. 
III. Falsa: O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica. 
 
09. Considere três esferas A, B e C de massas respectivamente iguais a M, 2M e 7M. As esferas 
A e B estão em queda livre vertical com aceleração de modulo 10,0 m/s2 e a esfera C esta em 
repouso no solo. 
 
 
A aceleração do centro de massa do sistema terá módulo igual a: 
a) 2,0 m/s2 b) 3,0 m/s2 c) 4,0 m/s2 d) 5,0 m/s2 e) 6,0 m/s2 
aCM = (mA.aA + mB.aB + mC.aC)/(mA + mB + mC) 
aCM = (M.g + 2M.g +7M.0)/(M + 2M + 7M) 
aCM = 3Mg/10M = 3g/10 = 3.10/10 = 3,0 m/s2. 
 
10. (UECE 2009.1.F2) O corpo A, de massa 2,0 kg, move-secom velocidade constante de 
módulo 4,0 m/s, com direção ao longo do eixo-x, no sentido positivo desse eixo. O corpo B, de 
massa 6,0 kg, move-se com velocidade constante de módulo 3,0 m/s, com direção ao longo do 
eixo-y, no sentido negativo desse eixo. O módulo da velocidade do centro de massa do sistema 
composto pelos dois corpos A e B, em m/s, é aproximadamente 
a) 2,5 b) 5,5 c) 10,5 d) 15,5 
 
 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) 
VCM = [2.4.i + 6.3.(-j)]/(2 + 6) 
VCM = (8i – 18j)/8 (dividindo tudo por 8) 
VCM = 1.i – 2,25.j (fazendo o teorema de Pitágoras) 
(VCM)2 = 12 + (2,25)2 
(VCM)2 = 1 + 5,0625 = 6,0625 
VCM = 2,46 m/s = 2,5 m/s. (Obs.: i e j são versores) 
 
11. (IJSO-2010 – BRASIL) Na figura representamos uma placa de espessura constante e 
constituída de um material homogêneo, dividida em três quadrados de mesma área. Dos 
pontos indicados qual deles pode coincidir com o centro de gravidade da placa? 
 
 
a) A b) B c) C d) D e) E 
I. Para os quadrados (1) e (2), o CM estará localizado no seu centro geométrico A. 
 
 
II. Para o quadrado (3), o CM estará localizado em seu centro geométrico D. 
Podemos imaginar dois pontos materiais: um localizado em A com massa 2M e outro 
localizado em D com massa M. O CM entre A e D é dado pela média ponderada: 
 
 
XCM = (mA.XA + mB.XB)/(mA + mB) 
XCM = (2M.0 + M.d)/(2M + M) = M.d/3M = d/3, podendo ser o ponto B. 
 
12. (PUC-PR 2010) Um planeta binário é um sistema formado por dois planetas que se atraem 
mutuamente pela força gravitacional e que orbitam em torno do centro de massa do sistema. 
Para que seja considerado planeta binário, o centro de massa (c.m.) do sistema não pode se 
localizar dentro de nenhum dos planetas. Suponha um planeta binário composto por um 
planeta maior (M) de massa quatro vezes a massa do planeta menor (m), ambos realizando 
órbitas circulares em torno do centro de massa. 
 
 
Analise as alternativas: 
I. O raio da órbita do planeta menor é quatro vezes o raio da órbita do planeta maior. 
II. A velocidade escalar do planeta menor é quatro vezes maior que a do planeta maior. 
III. O período da órbita do planeta menor é quatro vezes maior que o do planeta maior. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
b) Somente a afirmativa I está correta. 
c) Somente as afirmativas I e II estão corretas. 
d) Somente a afirmativa II está correta. 
e) Todas as afirmativas estão corretas. 
I. Verdadeiro. 
 
 
XCM = (M.X1 + m.X2)/(M + m) 
R1 = [4m.0 + m.(R1 + R2)]/(4m + m) 
R1 = m.(R1 + R2)]/(5m) 
R1 = (R1 + R2)]/5 
5R1 = R1 + R2 
R2 = 4R1. 
II. Verdadeiro. 
V2 = ω2.R2 = ω.4R1 = 4.V1. (Obs.: ω1 = ω2 = ω) 
III. Falso. 
ω = 2π/T, logo T2 = T1. (Obs.: ω1 = ω2 = ω) 
 
13. Considere duas partículas de massas iguais que se movem ao longo de uma reta com 
velocidades constantes, de mesmo sentido, e módulos 4,0 cm/s e 5,0 cm/s. Qual a posição do 
centro de massa do sistema formado pelas duas partículas? 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) 
VCM = (m.4 + m.5)/(m + m) 
VCM = 9m/2m = 9/2 = 4,5 cm/s. 
 
14. Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições 
indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de 
pontos materiais. 
 
 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (mA.XA + mB.XB + mD.XD)/(mA + mB + mD) = 
XCM = (m.0 + m.2 + m.4)/(m + m + m) = 
XCM = 6m/3m = 6/3 = 2 cm. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (mA.YA + mB.YB + mD.YD)/(mA + mB + mD) = 
YCM = (m.0 + m.3 + m.0)/(m + m + m) = 
YCM = 3m)/3m = 1 cm. 
III. Assim o centro de massa é (2; 1). 
 
15. Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na 
figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco 
pontos materiais. 
 
 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3 + m4.X4 + m5.X5)/(m1 + m2 + m3 + m4 + m5) = 
XCM = (m.1 + m.2 + m.3 + m.4 + m.5)/(m + m + m + m + m) = 
XCM = 15m/5m = 15/5 = 3. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3 + m4.Y4 + m5.Y5)/(m1 + m2 + m3 + m4 + m5) = 
YCM = (m.4 + m.2 + m.4 + m.1 + m.6)/(m + m + m + m + m) = 
YCM =17m/5m = 17/5 = 3,4. 
III. Assim o centro de massa é (3; 3,4). 
 
16. Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura uniforme e de raio R estão 
dispostas conforme a figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema 
constituído pelas três placas. 
 
 
I. Podemos concentrar a massa de cada placa circular no seu centro de gravidade. Estes ficarão 
dispostos nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado 2R. Como as massas são iguais o 
centro de massa será o baricentro do triângulo. 
 
 
YCM =h/3, como h = L.31/2/2 = 2R.31/2/2 = R. , então temos, XCM = R.31/2/3. 
XCM = 0. 
II. Assim o centro de massa é (0; R.31/2/3). Onde 31/2 é a raiz quadrada de 3. 
 
17. A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A distância entre os 
centros da Terra e da Lua é 60 R, em que R é o raio da Terra. Determine a distância do centro 
da Terra ao centro de massa do sistema Terra-Lua. 
 
 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = (80m.0 + m.60R)/(80m + m) 
XCM = 60mR/81m = 60R/81 (simplificando por 3) 
XCM = 20R/27. 
 
18. (UFC-CE 98) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas xy. Em dado instante, uma delas é atirada 
na direção x, com velocidade constante de módulo VX = 9,0 m/s e outra é atirada na direção y, 
com velocidade constante de módulo Vy = 12,0 m/s, ficando a terceira em repouso na origem. 
Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto. 
VCM = (mA.VA + mB.VB + mC.VC)/(mA + mB + mC) 
VCM = (m.9i + m.12j + m.0)/(m + m + m) 
VCM = (m.9i + m.12j)/3m 
VCM = 3i + 4j 
(VCM)2 = 32 + 42 
(VCM)2 = 9 + 16 = 25 (fazendo o teorema de Pitágoras) 
VCM = 5 m/s. (Obs.: i e j são versores) 
 
19. (FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas MA = 0,10 kg e MB = 0,20 kg constituem um sistema 
físico e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa F constante e de 
intensidade 30 N. 
 
 
Calcule: 
a) Os módulos das acelerações das esferas A e B. 
Não atuam forças sobre a esfera A e portanto sua aceleração é nula (aA = 0). Na esfera B atua 
apenas a força F, então: 
aB = F/mB = 30/0,2 = 150 m/s2. 
b) O módulo da aceleração do centro de massa do sistema (AB). 
aCM = F/(mA + mB) = 30/(0,1 + 0,2) = 30/0,3 = 100 m/s2. 
 
20. (PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B 
está à distância d = 6,0 cm da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, 
como mostra a figura. 
 
 
A partícula A tem carga q e massa m. 
A partícula B tem carga -q e massa 2m. 
Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas. 
A que distância da origem elas colidirão? 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = (m.0 + 2m.d)/(m + 2m) = 2md/3m = 2d/3 = 2.6/3 = 12/3 = 4 cm. 
 
21. (UFPE 2002) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, 
homogêneas e de espessuras desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, 
determine a altura, em centímetros, do centro de massa do sistema, em relação ao solo. 
 
 
YCM = (mA.YA + mB.YB + mC.YC)/(mA + mB + mC) 
YCM = (m.45 + m.90 + m.45)/(m + m + m) 
YCM = 180m/3m = 60 cm. 
 
22. (UNB 97) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada 
quadrado tenha lado igual a 10 cm. Determine, em centímetros, a somadas coordenadas do 
ponto correspondente ao centro de massa da placa, caso exista. 
 
 
I. Calculando na coordenada do eixo X. (Observe que temos 32 quadrados, e que o centro de 
massa na horizontal do 10 quadrado é 5 cm, o segundo é 15 cm, o terceiro é 25 cm, o quarto é 
35 cm, o quinto é 45 cm, o sexto é 55 cm, o sétimo é 65 cm e o oitavo é 75 cm) 
XCM = Σm.X/Σm 
XCM = (8m.5 + 8m.15 + 4m.25 + 4m.35 + 2m.45 + 2m.55 + 2m.65 + 2m.75)/32m 
XCM = (40m + 120m + 100m + 140m + 90m + 110m + 130m + 150m)/32m 
XCM = 880/32 = 27,5 cm. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. (Fazendo da mesma maneira que foi feita na 
horizontal, faremos na vertical) 
YCM = Σm.Y/Σm 
YCM = (2m.5 + 2m.15 + 4m.25 + 4m.35 + 2m.45 + 2m.55 + 8m.65 + 8m.75)/32m 
YCM = (10m + 30m + 100m + 140m + 90m + 110m + 520m + 600m)/32m 
YCM = 1600/32 = 50 cm. 
III. Calculando as somas de suas coordenadas de centro de massa. 
XCM + YCM = 27,5 + 50 = 77,5 cm. 
 
23. (UNB 97) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada 
quadradinho tenha 10 cm de lado, determine as coordenadas do centro de massa do sistema 
constituído de duas placas homogêneas, uma circular e outra triangular, cujas massas são 
iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obtidas e despreze a parte 
fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) = 
XCM = (m.0 + m.40)/(m + m) = 
XCM = 40m/2m = 20. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2)/(m1 + m2) = 
XCM = (m.0 + m.40)/(m + m) = 
XCM = 40m/2m = 20. 
III. Calculando as somas de suas coordenadas de centro de massa. 
XCM + YCM = 20 + 20 = 40 cm. 
Obs.: calculando o baricentro do triângulo 
X2 = YCM = (60 + 30 + 30)/3 = 120/3 = 40 cm. 
 
24. (UFC-CE 90.1.F2) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são 
colocados no plano xy, conforme mostra a figura. Se R = 10.21/2 cm, calcule, em centímetros, 
a distância entre o centro de massa do conjunto e a origem, do sistema cartesiano xy. 
 
 
Atenção 21/2 é a raiz quadrada de 2. 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) = 
XCM = [m.(-R) + 4m.2R]/(m + 4m) = 
XCM = [- m.R + 8m.R]/5m = 
XCM = 7mR/5m = 7R/5 = 7.10.21/2/5 = 14.21/2 cm. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2)/(m1 + m2) = 
YCM = [m.(-R) + 4m.2R]/(m + 4m) = 
YCM = [- m.R + 8m.R]/5m = 
YCM = 7mR/5m = 7R/5 = 7.10.21/2/5 = 14.21/2 cm. 
III. Assim o centro de massa é (14.21/2; 14.21/2). 
IV. Calculando a distância entre o centro de massa e a origem 
d2 = (XCM – 0)2 + (YCM – 0)2 
d2 = (14.21/2 – 0)2 + (14.21/2 – 0)2 
d2 = (14.21/2)2 + (14.21/2)2 
d2 = 2.(14.21/2)2 
d = 2.14 = 28 cm. 
 
25. (UFC-CE 90.2.F2) Três discos de raios R1 = 21 cm, R2 = 2R1 e R3 = 4R1 são feitos de um 
mesmo material, todos eles com densidade uniforme e com mesma espessura. Os discos são 
empilhados sobre o plano xy conforme se mostra na figura. Note que o centro de cada disco 
tem projeção sobre o eixo x. Determine a coordenada x do centro de massa do conjunto. 
 
 
XCM = (A1.X1 + A2.X2 + A3.X3)/(A1 + A2 + A3) = 
XCM = (π.R12.R1 + π.4R12.2R1 + π.16R12.4R1)/(π.R12 + 4π.R12 +16π.R12) = 
XCM = 73π.R13/21π.R12 = 73.R1/21 = 73.21/21 = 73 cm (Obs.: R1 = 21 cm) 
 
26. (UFC-CE 91.2.F2) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e 
densidade uniformes. A parte horizontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais 
têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se L = 98 cm e D = 16 cm, determine o valor do 
comprimento C, em centímetros, sabendo que o centro de massa da peça está sobre a linha 
MN. Veja a figura. 
 
 
 
Cortando-se a chapa ao longo do segmento MN e fazendo a mesma passar o eixo-x e o eixo-y 
na aresta da esquerda, YCM = 0. 
YCM = (A1.Y1 + A2.Y2 + A3.Y3)/(A1 + A2 + A3) 
0 = [CD.(C/2) + CD.(C/2) + DL.(-D/2)]/(CD + CD + DL) 
0 = [(C2D/2) + (C2D/2) – (D2L/2)]/(2CD + DL) 
0 = (C2D/2) + (C2D/2) – (D2L/2) (multiplicando todos os termos por 2/D) 
0 = C2 + C2 – DL 
2C2 = DL 
C2 = DL/2 = 98.16/2 = 1568/2 = 784 
C = 28 cm. 
 
27. As partículas A e B, de massas m e 3m, deslocam-se na direção do eixo Ox, com 
velocidades de módulos vA = 10 m/s e vB = 2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do 
centro de massa dessas partículas. 
 
 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) 
VCM = [m.10 + 3m.(-2)]/(m + 3m) 
VCM = [10m - 6m/4m 
VCM =4m/4m = 1 m/s. 
 
28. (UFC-CE 92.2.F2) Um homem de massa m está de pé sobre uma superfície horizontal 
perfeitamente lisa, separado de uma distância d de um bloco pesado de massa M. O homem 
tenta puxar para si o bloco por meio de uma corda inextensível de massa desprezível. Ele dá 
um rápido puxão na corda e ambos deslizam um para o outro até se encontrarem em certo 
ponto. Determine, em função da distância d e das massas m e M, a posição de encontro entre 
o homem e o bloco a partir da posição inicial do homem. 
O sistema físico formado pelo homem e o bloco tem força resultante nula, portanto o seu 
centro de massa (C.M.) estará em equilíbrio (repouso). Calculemos então a abscissa do centro 
de massa do sistema (XCM): 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = (m.0 + M.d)/(m + M) = Md/(m + M) 
Este valor de XCM representa a abscissa do ponto onde o homem e o bloco deverão se 
encontrar. 
 
29. (ITA-SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas posições, m(x; y), em que m é a massa em 
quilogramas, x e y as posições em metros, tais que 2 (3; 6), 4 (4; 4), 2 (1; 2). 
 
 
Indique qual dos pontos do gráfico representa o centro de massa do sistema. 
a) A b) B c) C d) D e) E 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3)/(m1 + m2 + m3) = 
XCM = (m.3 + m.4 + m.1)/(m + m + m) = 
XCM =8m/3m = 8/3 = 2,6 = 3. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3)/(m1 + m2 + m3) = 
YCM = [m.6 + m.4 + m.2)/(m + m + m) = 
YCM = 12m/3m = 4. 
III. Assim o centro de massa é (3; 4) que corresponde ao ponto B. 
 
30. (VUNESP-SP) Duas esferas homogêneas, de raios R1 e R2 e massas m1 e m2, foram fixadas 
uma à outra de modo a formar um sistema rígido, indicado na figura a seguir. 
 
 
Sendo R1 = 2R2 e m1 = m2/2, o centro do sistema assim constituído encontra-se: 
a) no centro da esfera maior. 
b) no centro da esfera menor. 
c) no ponto de fixação das esferas. 
d) a meia distância entre o centro O1 e o ponto de fixação. 
e) a meia distância entre o centro O2 e o ponto de fixação. 
Fazendo a origem do sistema no centro de massa do círculo1. 
I. Calculando na coordenada do eixo X. Fazendo a origem do sistema no centro de massa do 
círculo 1, temos: 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) = 
XCM = [m1.0 + m2.(R1 + R2)]/(m1 + m2) = 
XCM = [2m.(2R2 + R2)]/(m + 2m) = 
XCM = 6m.R2/3m = 2R2. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2)/(m1 + m2) = 
YCM = (m.0 + 2m.0)/(m + 2m) = 
YCM = 0/3m = 0. 
III. Assim o centro de massa é (2R2; 0) que corresponde ao raio do círculo 1, assim ficando na 
junção dos dois círculos. 
 
31. (UFC-CE 99) Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R = 20 cm, e de massas m1 = 1 
kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, e m4 = 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
 
A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas (x, y) do centro de 
massa desse conjunto de discos são dadas, em centímetros, pelo par ordenado: 
a) (40, 40) b) (20, 32) c) (20, 60) d) (40, 32) e) (40, 20) 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3 + m4.X4)/(m1 + m2 + m3 + m4) =XCM = (1.20 + 2.60 + 3.60 + 4.20 + m.5)/(1 + 2 + 3 + 4) = 
XCM = (20 + 120 + 180 + 80)/10 
XCM = 400/10 = 40. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3 + m4.Y4)/(m1 + m2 + m3 + m4) = 
YCM = (1.60 + 2.60 + 3.20 + 4.20)/(1 + 2 + 3 + 4) = 
YCM = (60 + 120 + 60 + 80)/10 
YCM =320/10 = 32. 
III. Assim o centro de massa é (40; 32). 
 
32. (ITA-SP) As massas m1 = 3,0 kg e m2 = 1,0 kg foram fixadas nas extremidades de uma haste 
homogênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento. 
 
 
Este sistema foi colocado verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, 
conforme mostra a figura, e abandonado. A massa m1 colidirá com a superfície a uma 
distância x do ponto P dada por: 
a) x = 0 (no ponto P) b) x = 10 cm c) x = 20 cm d) x = 30 cm e) x = 40 cm 
Como o sistema está isento de forças externas horizontais, seu centro de massa não sofre 
deslocamentos nessa direção, terminando diretamente sobre o ponto P, conforme representa 
a figura. 
 
 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
0 = [3.x + 1.(– 40 + x)]/(3 + 1) 
0 = (3x – 40 + x)/4 
0 = (4x – 40)./4 
4x – 40 = 0 
x = 40/4 = 10 cm. 
 
34. (ITA-SP) Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir do repouso a uma altura de 25 m 
acima do chão. No mesmo instante, uma segunda bola, com massa de 0,25 kg, é lançada 
verticalmente para cima, a partir do chão, com uma velocidade inicial de módulo 15 m/s. As 
duas bolas movem-se ao longo de linhas muito próximas, mas que não se tocam. Adote g = 10 
m/s2 e despreze o efeito de resistência do ar. 
 
 
Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas bolas 
tem módulo igual a: 
a) 11 m/s, e é dirigida para baixo. 
b) 11 m/s, e é dirigida para cima. 
c) 15 m/s, e é dirigida para baixo. 
d) 15 m/s, e é dirigida para cima. 
e) 20 m/s, e é dirigida para baixo. 
I. Calculando a velocidade inicial do centro de massa do sistema. 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) = 
VCM = [0,5.0 + 0,25.(-15)]/(0,5 + 0,25) = 
VCM = - 3,75/0,75 = 5 m/s. 
II. Para t = 2 s, temos: 
V = V0 + g.t = - 5 + 10.2 = - 5 + 20 = 15 m/s e para baixo, devido ao peso dos corpos, da qual o 
centro de massa do sistema está em queda livre. 
 
35. (FCMSC-SP) Na figura a seguir, C é o centro de massa de um sistema constituído por três 
esferas (e1, e2 e e3) de mesma massa. 
 
 
A terceira esfera não aparece na figura. X e Y são eixos de um sistema de referência. Quais são 
as coordenadas XC e YC do centro da esfera e3? (Os centros de massa das três esferas estão 
contidos no plano XY.) 
a) XC = -5,0 e YC = -2,5 
b) XC = 5,0 e YC = 2,5 
c) XC = -2,5 e YC = 2,5 
d) XC = 2,5 e YC = -2,5 
e) XC = 2,5 e YC = 2,5 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XC = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3)/(m + m + m) = 
2,5 = (m.4 + m.6 + m. XC)/3m = 
2,5 = (10m + m. XC)/3m 
2,5 = (10 + XC)/3 
10 + XC = 7,5 
XC = 7,5 – 10 = – 2,5 cm . 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3)/(m1 + m2 + m3) = 
2,5 = (m.1,5 + m.3,5 + m.Y3)/(m + m + m) = 
2,5 = (5m + m.Y3)/3m 
2,5 = (5 + Y3)/3 
5 + XC = 7,5 
XC = 7,5 – 5 = 2,5 cm . 
III. Assim o centro de massa é (– 2,5; 2,5). 
 
36. (UERJ) A forma de uma raquete de tênis pode ser esquematizada por um aro circular de 
raio R e massa m1, preso a um cabo de comprimento L e massa m2. 
Quando R = L/4 e m1 = m2, a distância do centro de massa da raquete ao centro do aro circular 
vale: 
a) R/2 b) R c) 3R/2 d) 2R 
 
 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = [M.0 + M.(R + 4R/2)]/(M + M) 
XCM = (M.3R)/2M = 3R/2. 
 
37. (CESGRANRIO) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos 
pontos indicados (F, G, H, I, J ) o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é: 
 
 
a) F b) G c) H d) I e) J 
Veja a figura: 
 
 
A origem do referencial (0; 0) adotado será o centro de massa do bloco 1. 
I. Calculando na coordenada do eixo X. 
XCM = (m1.X1 + m2.X2 + m3.X3 + m4.X4 + m5.X5 + m6.X6)/(m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6) 
XCM = (m.0 + m.L + m.2L + m.L + m.L + m.L)/(m + m + m + m + m + m) 
XCM = 6m.L/6m = L. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. 
YCM = (m1.Y1 + m2.Y2 + m3.Y3 + m4.Y4 + m5.Y5 + m6.Y6)/(m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6) 
YCM = (m.0 + m.0 + m.0 + m.d + m.2d + m.3d)/(m + m + m + m + m + m) 
YCM = 6m.d/6m = d. 
III. Assim o centro de massa é (L; d) que corresponde ao ponto I. 
 
38. (F. M. Taubaté-SP) Um objeto de massa M, inicialmente em repouso, explode em duas 
partes A e B, com massas de 1/3 e 2/3, respectivamente, da massa do objeto inicial. Sabendo 
que a distância entre elas em um instante t é de 30 m, então a distância do corpo B ao ponto 
de explosão será: 
a) 10 m b) 20 m c) 15 m d) 18 m e) n.d.a. 
XCM = [(m/3).30 + (2m/3).0]/(m/3 + 2m/3) 
XCM = 10m/m = 10 m. 
 
39. (UFPA) Um corpo esférico de massa 6m rola sobre um plano horizontal sem atrito em 
direção a outro corpo esférico em repouso e de massa m, com velocidade v constante. Quando 
os dois corpos estão separados por uma distância d, o centro de massa do sistema estará 
situado a uma distância da esfera maior dada por: 
 
 
a) d/11 b) d/9 c) 6d/7 d) d/7 e) d/5 
O sistema físico formado pelo homem e o bloco tem força resultante nula, portanto o seu 
centro de massa (C.M.) estará em equilíbrio (repouso). Calculemos então a abscissa do centro 
de massa do sistema (XCM): 
XCM = (m1.X1 + m2.X2)/(m1 + m2) 
XCM = (m.d + 6m.0)/(m + 6m) = md/7m = d/7. 
 
40. (UFPA) Na questão anterior a velocidade do centro de massa é: 
a) 6v/7 b) v c) v/6 d) v/7 e) 7v/6 
VCM = (m1.V1 + m2.V2)/(m1 + m2) 
VCM = (m.0 + 6m.v)/(m + 6m) = 6mv/7m = 6v/7. 
 
41. (UFC-CE) Determine em cm, a ordenada y do centro de massa da chapa triangular 
eqüilátera e homogênea de lado L = 56.31/2 cm. 
 
 
O centro de massa da chapa triangular eqüilátera e homogênea é o baricentro, assim: 
YCM = h/3, como h = L.31/2/2 = 56.31/2.31/2/2 = 56.3/2 = 84 cm, então temos, YCM = 84/3 = 
28 cm. 
Onde 31/2 é a raiz quadrada de 3. 
 
42. (UFC-CE) Um sistema constituído de duas estrelas, uma de massa m e outra de massa 5m e 
cujos centros estão separados por uma distância d, gira em torno de seu centro de massa. Se a 
velocidade orbital da estrela de menor massa é de 150 kms, calcule, na mesma unidade, a 
velocidade da outra estrela 
VCM = (mA.VA + mB.VB)/(mA + mB) 
0 = [m.(-150) + 5m.VB]/(m + 5m) 
0 = [-150m + 5m.VB]/6m 
0 = (-150 + 5.VB)/6 
5.VB = 150 
VB = 150/5 = 30 km/s. 
 
43. (UFC-CE 2007) Cada um dos quadrados mostrados na figura abaixo tem lado b e massa 
uniformemente distribuída. Determine as coordenadas (x, y) do centro de massa do sistema 
formado pelos quadrados. 
 
 
Veja a figura: 
 
 
I. Calculando na coordenada do eixo X. (Observe que temos 10 quadrados, e que o centro de 
massa na horizontal do 10 quadrado é 0,5 cm, o segundo é 1,5 cm, o terceiro é 2,5 cm, e o 
quarto é 3,5 cm) 
XCM = Σm.X/Σm 
XCM = (4m.0,5b + 3m.1,5b + 2m.2,5b + m.3,5b)/10m = 
XCM = 15mb/10mb = 1,5b. 
II. Calculando na coordenada do eixo Y. (Fazendo da mesma maneira que foi feita na 
horizontal, faremos na vertical) 
YCM = Σm.Y/Σm 
YCM = (4m.0,5b + 3m.1,5b + 2m.2,5b + m.3,5b)/10m = 
YCM = 15mb/10mb = 1,5b. 
III. Assim o centro de massa é (1,5b; 1,5b). 
 
44. (UECE 97.2) O centro de massa de uma chapa plana homogênea e triangular é o ponto de 
encontro das ________ do triângulo. Assinale a opção que completa corretamente a frase 
acima. 
a) alturas b) mediatrizes c) medianas d) bissetrizesO centro de massa da chapa plana triangular e homogênea é o baricentro. 
 
45. (CEFET-CE 2008.2) Em um sistema de estrelas duplas, A e B, elas se atraem por gravidade e 
giram em movimentos circulares uniformes, de raios distintos, em torno do centro de massa 
CM do sistema. As massas das estrelas A e B são, respectivamente, 2M e M, e a distância entre 
elas é D. 
 
 
Calcule, em função de D, a distância X do centro de massa do sistema CM à estrela A. 
XCM = (2M.0 + M.D)/(2M + M) = MD/3M = D/3. 
 
46. (Fundação Carlos Chagas) Na figura abaixo estão representadas as velocidades vetoriais de 
duas pequenas esferas idênticas que constituem um sistema isolado. Qual a intensidade da 
velocidade do centro de massa do sistema? 
 
 
I. Veja a figura. 
 
 
II. Determinar os valores das velocidades para os eixos xy. 
VAX = - 8 cm/s; VAY = - 5 cm/s; VBX = 4 cm/s e VBY = 2 cm/s; 
III. Calculando a velocidade do centro de massa para o eixo x. 
VXCM = (mA.VAX + mB.VBX)/(mA + mB) 
VXCM = [m.(-8) + m.4]/(m + m) 
VXCM = - 4m/2m = - 2 cm/s. 
IV. Calculando a velocidade do centro de massa para o eixo y. 
VYCM = (mA.VAY + mB.VBY)/(mA + mB) 
VYCM = [m.(-5) + m.2]/(m + m) 
VYCM = -3m/2m = -1,5 cm/s. 
V. Calculando a velocidade do centro de massa do sistema, usando o teorema de Pitágoras. 
VCM2 = VXCM2 + VYCM2 = 22 + 1,52 = 4 + 2,25 = 6,25 
VCM = 2,5 cm/s. 
 
47. Qual é a posição do centro de massa de C2H4? Suponha que a molécula seja plana. 
A molécula de C2H4 é uma molécula simétrica (estamos supondo que ela seja plana). 
Portanto, o centro de massa desta molécula fica exatamente entre os dois átomos de carbono. 
 
 
 
48. (UFC-CE 96.2.F2) Numa placa retangular de 100cm x 200cm, são cortados setores 
circulares, todos de mesmo raio, resultando na peça mostrada na figura. A placa tem 
espessura uniforme e é construída de um material homogêneo. Determine, em centímetros, as 
coordenadas x e y, do centro de massa da peça. 
 
 
Se cortamos a peça ao longo do eixo que passa pelo ponto de abscissa x = 100 cm, obtemos 
duas partes simetricamente iguais, o que nos garante que XCM = 100 cm. Temos também que, 
pela simetria de cada peça, as mesmas possuem YCM1 = YCM2 = 50 cm. 
 
 
Podemos perceber que as massas das peças são iguais. Assim, temos: YCM = 50 cm 
Concluímos que o centro de massa é (100 cm; 50 cm). 
 
49. A figura a seguir mostra um carrinho, parado, contendo dois tanques, A e B, interligados 
por um condutor provido de uma torneira C. Inicialmente, o tanque B está cheio de água e o 
tanque A vazio. Abre-se então a torneira C e, em conseqüência, toda a água do tanque B 
escoará para o tanque A. 
 
 
Desprezando-se qualquer tipo de atrito, podemos afirmar que, após o escoamento: 
a) o carrinho estará se deslocando para a direita com velocidade constante. 
b) o carrinho estará se deslocando para a esquerda com velocidade constante. 
c) o carrinho estará parado, mas em uma nova posição à direita da posição original. 
d) o carrinho estará parado, mas em uma nova posição à esquerda da posição original. 
e) ) o carrinho estará parado, na posição original. 
Durante o processo de escoamento, a massa de água passa para o lado esquerdo do carrinho 
e, para que o centro de massa esteja sempre na mesma posição (pois se trata de um sistema 
isolado de forças externas), o carrinho deve se deslocar para a direita. Assim que o processo de 
escoamento termina, como não há mais transferência de massa entre os elementos do 
sistema, este entrará em repouso. 
 
 
50. Na situação da figura abaixo, não há atritos nem resistência do ar; a corda que os garotos A 
e B seguram é leve e o plano em que apoiam seus carrinhos é horizontal. As massas de A e B 
adicionadas às de seus respectivos carrinhos valem, nesta ordem, 150 kg e 100 kg. 
 
 
Estando inicialmente em repouso, os garotos começam a puxar a corda, objetivando provocar 
uma colisão entre os carrinhos. Durante o movimento mútuo de A e B, qual a velocidade do 
centro de massa do sistema? 
O sistema é isolado de forças externas, por isso a velocidade do seu centro de massa deve 
permanecer constante. Como os carrinhos estavam inicialmente parados, o centro de massa 
do sistema permanecerá em repouso durante a mútua aproximação entre A e B. Portanto a 
Velocidade é nula.