ATPS Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões34

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Universidade Anhanguera – Uniderp
CuRso de Administração
7º SEMESTRE
DISCIPLINA DE PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÕES
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA
Acadêmicos:
 	
		
Professor EAD: Profª Me. Ivonete Melo de Carvalho
 			 Tutor EAD: Priscila C. S. Barreira
 Tutor Presencial: Fabrício Perez Ferreira
Pelotas, 03 de novembro 2014.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO	3
ETAPA 1	5
ERTAPA 2	7
ETAPA 3..................................................................................................................................11
ETAPA 4..................................................................................................................................13
RELATÓRIO	15
REFERÊNCIAS 	17
INTRODUÇÃO
Na sociedade atual somos várias vezes confrontados com situações em que temos de tomar decisões de planejamento ou de gestão de forma a rentabilizar os recursos disponíveis e minimizar os custos ou consumos, ou seja, é necessário resolver problemas de otimização. Se neste tipo de problemas todas as funções envolvidas (função objetivo e restrições) são lineares temos um problema de PL, trata-se de uma das técnicas da Pesquisa Operacional das mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização.
Os problemas de PL, oriundos de situações reais, nem sempre são de fácil e rápida resolução, pois pode envolver um considerável número de variáveis ou restrições, pelo que se torna imprescindível o recurso a ferramentas tecnológicas. Estes problemas (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de "Função Objetivo".
A Programação linear é uma importante ferramenta de suporte para a solução de problemas na área de custos nas organizações. Para que os objetivos de uma empresa sejam alcançados, deve-se considerar as diversas restrições, tanto a nível interno como externo, como por exemplo, a política de formação de preços, a fim de programar a produção dos produtos e atender com eficiência o mercado. Faz-se necessário então, que a empresa desenvolva um mecanismo de formação de custos, despesas, preços, remuneração do seu investimento, que abrange desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado. Para que a empresa possa cumprir sua missão, a organização depende dos resultados obtidos, assim, a otimização dos resultados disponíveis constitui um fator de extrema importância, principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade como exigência do mercado atual.
Para alcançar seus objetivos, as empresas devem estar atentas ás diversas restrições apresentadas, tanto a nível interno, como resultantes de fatores externos estabelecidos pelo mercado. 
Considerando a competitividade e as restrições existentes, torna-se necessário otimizar os recursos disponíveis existentes, de modo a maximizar os resultados ou minimizar os custos.
A programação linear pode ser utilizada como ferramenta poderosa de apoio á tomada de decisão, objetivando a otimização do resultado. É uma das muitas técnicas analíticas recentemente desenvolvidas que se têm mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas empresariais. Esses métodos quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicados na pesquisa operacional, são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos. 
Os objetivos para o estudo da programação linear são: reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo; auxiliar o analista no estágio inicial da investigação;
avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos problemas e dos resultados envolvidos.
ETAPA 1
Uma marcenaria deseja começar uma programação diária de produção de dois produtos distintos, um armário e uma cadeira. Seus gestores sabem que, para tal projeto, a mesma tem as limitações de matéria-prima, que tem consumo de 24m²/dia e mão de obra, cuja disponibilidade é de 8 horas/dia. Sabendo-se que pra fazer o armário são gastos 6 m² de madeira, com 4 horas de trabalho e para fazer a cadeira são gastos 2m², com 2 horas de trabalho. O lucro para execução do armário é de R$ 180,00 por unidade e da cadeira é de R$ 120,00. Qual a produção diária de armário e cadeiras para se maximizar o lucro?
	Variável
	Material (m²)
	Mão de obra (horas)
	Lucro (R$)
	X1
	6
	4
	180
	X2
	2
	2
	120
	Restrições
	24
	8
	
Max(z)=180X1 + 120X2
Sujeito a:
6*X1 + 2*X2 = 24 (I)
4*X1 + 2*X2 = 8 (II)
X1 ≥ 0 (III)
X2 ≥ 0 (IV)
Solução gráfica:
Restrição (I) 6*X1 + 2*X2= 24
Sendo X1=0, tem-se:
6*0 + 2*X2= 24
X2 = 12 => Par (0;12)
Sendo X2 = 0, tem-se:
6*X1 + 2*0 = 24
X1 = 4 => Par (4;0)
Restrição (II) 4* X1 + 2* X2 = 8
Sendo X1=0, tem-se:
4* 0 + 2* X2 = 8
X2 = 4 => Par (0;4)
Sendo X2 = 0, tem-se:
4* X1 + 2* 0= 8
X1= 2 => Par (2;0)
Para encontrarmos o maior valor de Z substituiremos os valores de X1 e X2 pelos pares ordenados, na função objetivo: Max(z)=180X1 + 120X2
Sendo (2;0)
Max(z)= 180 * 2 + 120 * 0 = 360
Sendo (0;4)
Max (Z)= 180 * 0 + 120* 4= 480
Por meio do método de substituição, o máximo valor que Z pode assumir, respeitando as restrições do problema, é o valor de R$ 480,00 para X1=0 e X2=4. A solução obtida é ótima e única.
A marcenaria, em virtude de suas limitações diárias de mão de obra, tendo disponibilidade de 8 horas de produção, poderá fabricar, diariamente 4 cadeiras por dia e nenhum armário, obtendo assim, o maior lucro diário possível, ou seja R$ 480,00 ao dia ( melhor solução).
ETAPA 2
Na execução da modelagem de problemas de alocação de recursos, existe A Resolução gráfica, A resolução analítica, A programação linear e a forma tabular, problema de forma não padrão, problemas com restrições de maior ou igual, Problema com restrições de igualdade, problemas com todos os tipos de restrições.
Resolução gráfica: a solução ótima de um problema de linear pode ser encontrada graficamente quando envolve apenas duas ou no máximo três variáveis de decisão.
Resolução Analítica: A solução ótima é encontrada através de resolução analítica, também conhecido como método simplex analítico, quando o exceder o limite de duas variáveis de decisão. Que consiste em Transformar o conjunto de restrições em um conjunto de equações equivalentes, com a introdução de variáveis que representarão uma folga entre os direito e esquerdo das inequações.
Programação linear e a forma tabular: Quando estivermos resolvendo um problema de programação linear manualmente, será conveniente utilizar a forma tabular do método simplex, para registrar as informações essenciais, como os coeficientes das variáveis, as constantes das restrições, as variáveis básicas e não básicas. Simplificando a forma de um dicionário, estabelecendo um quadro equivalente. Verificando como cada operação analítica realizada pode ser automatizada por meio de regras de comando. Verificando como tomar a decisão de parada do algoritmo.
Problemas de forma não padrão: Como nem todos os problemas estão na forma padrão, ou seja, são de maximização com restrições de ≤. Devemos utilizar diversos métodos antes de empregar o simplex. Como por exemplo, o problema com restrições do tipo ≤, for de minimização, multiplica-se a função objetivo por -1. 
Min Z= aX1 – bX2 => Max W= -aX1 + bX2
Problema com restrições de ≥. Para o método da função objetivo artificial, introduz-se uma variável de excesso (com coeficiente-1) e uma variável artificial (com coeficiente +1) no lado esquerdo da restrição, criando o dicionário artificial e encontrando sua solução óbvia. Resolvendo o problema alterado, encontrando a solução ótima, com variável artificialigual a zero, encontraremos a solução inicial do problema original. Sendo o resultado diferente de Zero, o problema não tem solução.
Problema com restrições de igualdade: também é utilizado o método da função artificial, seguindo a mesma metodologia dos casos com restrição ≥. Sendo na solução ótima, o valor de todas as variáveis artificiais for igual à zero, existe pelo menos uma solução viável para o problema. Se todas as variáveis não assumirem o valor zero na solução ótima, significa que o problema original não tem solução viável.
Problema com todos os tipos de restrições: Geralmente os problemas reais possuem todos os tipos de restrições, devendo proceder ao método da função artificial e a introdução de variáveis artificiais.
	Operações com todos os tipos de restrições
	Tipo de problema
	Operação necessária
	Função objetiva de minimização
	Transformar a minimização em maximização (Min Z = Max – Z)
	Restrição de menor ou igual
	Inserção de uma variável de folga
	Restrição de maior ou igual
	Inserção de uma variável de excesso e outra artificial
	Restrição de igualdade
	Inserção de uma variável artificial
	Constante negativa
	Multiplicar por (-1) a restrição
Como podemos ver, existe vários métodos para resolver um problema de programação linear, dentre eles destaca-se o método simplex, pois se trata de um método que trabalha com mais de três variáveis de decisão. E podemos perceber que o método mais confiável é o problema com todos os tipos de restrições, pois torna o problema mais próximo da realidade. Prevendo ao máximo as dificuldades e obstáculos que podem prejudicar o resultado do projeto, podendo assim, serem tomadas as melhores providencia para o atingimento das metas e objetivos finais do projeto.
Analisando novamente o projeto inicialmente proposto, onde:
	Variável
	Material (m²)
	Mão de obra (horas)
	Lucro (R$)
	X1
	6
	4
	180
	X2
	2
	2
	120
	Restrições
	24
	8
	
Max(z)=180X1 + 120X2
Sujeito a:
6*X1 + 2*X2 = 24 (I)
4*X1 + 2*X2 = 8 (II)
X1 ≥ 0 (III)
X2 ≥ 0 (IV)
Dicionário Inicial:
X3= 24 - 6*X1 – 2*X2
X4= 8 - 4*X1 – 2*X2
Max Z= 180*X1 + 120*X2
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X1 e X2 = 0
X3 = 24 - 6 * 0 – 2*0 = 24
X4= 8 – 4*0 – 2* 0= 8
Max Z= 180*X1 + 120*X2 = 180*0 + 120*0= 0
X1, X2, X3 e X4 ≥ 0
A solução encontrada não é ótima pois existe coeficiente positivo em Z podendo ser melhorada.
SE X3≥0 e X2 =0
X3= 24 - 6*X1 – 2*X2
24 – 6*X1 -2*0=0
X1= 24/6 
X1 ≥ 4
SE X4≥ e X2 =0
X4= 8 - 4*X1 – 2*X2
8 -4*X1 -2*0=0
X1≥2
Isolando X1 na equação X4:
X4= 8 - 4*X1 – 2*X2
4*X1= -2*X2 –X4 +8
X1 = (-2*X2 – X4 + 8)/4
X1 = -0,5*x2 – 0,25*X4 +2
Novo dicionário:
X1 = -0,5*x2 – 0,25*X4 +2
X3= 24 - 6*X1 – 2*X2
X3= 24 - 6*(-0,5*x2 – 0,25*X4 +2) – 2*X2
X3 = 24 + 3*X2 + 1,5*X4 – 12 -2*X2
X3= X2+1,5*X4 + 12
Max Z= 180*X1 + 120*X2
Max Z = 180*(-0,5*x2 – 0,25*X4 +2) +120*X2
Max Z = 90* X2 – 45*X4 + 360 + 120*X2
Max Z = 210*X2 – 45*X4 +360
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
X1 = -0,5*x2 – 0,25*X4 +2
X1 = -0,5*0- 0,25*0 + 2 = 2
X3= -5*X2 -1,5*X4 + 12
X3= -5*0 -1,5*0+12 = 12
Max Z = 210*X2 – 45*X4 +360
Max Z = 210*0 -45*0 +360
Max Z = 360
A solução encontrada é ótima, pois não existe coeficiente positivo em Z.
ETAPA 3
Objetivos para o estudo da programação linear:
 a) reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo;
 b) auxiliar o analista no estágio inicial da investigação;
 c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; 
d) aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos problemas e dos resultados envolvidos.
Exercício de Programação Linear:
Certa empresa fabrica 02 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $ 90,00 e o lucro unitário de P2 é de $100,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 30 unidades de P1 e 20 unidades de P2 por mês.
Modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa:
x1: quantidade de P1 (Cadeira)
x2: quantidade de P2 (Armário)
Lucro (Maximização)
Z = f(X1 ,X2 ) = 90X1 + 100X2
Restrições
2X1 + 3X2 < 100 ( restrição tempo produção
X1 < 30 ( restrição produção
X2 < 20 ( restrição produção
X1 > 0 ( restrição produção não - negativa
X2 > 0 ( restrição produção não - negativa
ETAPA 4
	A resolução pelo método SIMPLEX considera todas as soluções viáveis do problema, informando, passo a passo, as simulações e os valores obtidos a partir de uma combinação das quantidades a serem produzidas dos produtos, com base nas restrições apresentadas no modelo. Busca-se a alternativa que represente a melhor solução para a função objetivo, o processo é encerrado quando não é possível encontrar outra solução que venha incrementar o valor da função objetivo.
	A resolução deste problema através do aplicativo Excel 8.0, pelo comando SOLVER, fornece, além da solução ótima, relatórios que permitem uma análise detalhada da situação atual da empresa. 
O primeiro passo consiste em criar uma folha de cálculo com a informação contida no modelo.
Nessa folha de cálculo deveremos ter:
· As células onde serão colocados os valores das variáveis de decisão.
· Os coeficientes da função objetivo.
· A fórmula que relaciona estes coeficientes com as variáveis de decisão – a função objetivo propriamente dita.
· Os coeficientes da matriz das restrições.
· A fórmula que relaciona estes coeficientes com as variáveis de decisão – o lado esquerdo das restrições.
· As constantes que constituem o lado direito das restrições.
	Microsoft Excel 8.0 Relatório de resposta
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Célula de destino (Máx)
	
	
	
	
	
	Célula
	Nome
	Valor original
	Valor final
	
	
	
	$D$5
	Total M.C. Total
	0,00
	4.700,00
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Células ajustáveis
	
	
	
	
	
	Célula
	Nome
	Valor original
	Valor final
	
	
	
	$B$2
	Cadeira Quantidade
	0
	30
	
	
	
	$B$4
	Armário Quantidade
	0
	20
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Restrições
	
	
	
	
	
	
	Célula
	Nome
	Valor da célula
	Fórmula
	Status
	Transigência
	
	$A$8
	Restrições Tempo mensal
	100
	$A$8<=4700
	Sem agrupar
	2000
	
	$B$4
	Cadeira Quantidade
	30
	$B$3<=100
	Sem agrupar
	30
	
	$B$2
	Armário Quantidade
	20
	$B$4<=100
	Agrupar
	0
	
	$B$4
	Cadeira Quantidade
	30
	$B$3>=0
	Sem agrupar
	30
	
	$B$2
	Armário Quantidade
	20
	$B$4>=0
	Sem agrupar
	100
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
RELATÓRIO
Analisando a tabela célula de destino, observa-se que o valor original representa o valor inicial da margem de contribuição total. A quantidade inicial vendida era zero; o valor final representa o valor da margem de contribuição total, ou seja, a solução ótima para o problema. Para modelos matemáticos, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Neste caso, o resultado obtido é denominado ótimo.
A implementação da solução altera uma situação existente ou determina novos procedimentos a serem adotados. Portanto, deve ser dirigida pelo gestor responsável pela área onde a solução será implementada, com o auxílio dos demais funcionários do setor. O objetivo do envolvimento de todos os funcionários da área é facilitar a descoberta de ajustes que deverão ser realizados durante a fase de implementação. Além disso, o comprometimento e a participação da equipe de trabalho contribuem para que sejam superadas as resistências às novas açõespropostas.
A avaliação final dos resultados obtidos em qualquer etapa do processo permitirá identificar os gestores responsáveis pelas ações, sua contribuição para o resultado global da empresa e, quando necessário, tem o objetivo de estabelecer as ações corretivas que deverão ser tomadas para garantir que os resultados desejados para os próximos períodos sejam obtidos.
	Vale destacar que, a empresa como um sistema aberto, que interage com o meio ambiente, obtendo recursos e gerando produtos e serviços, deve ser vista de forma global na consecução de seus objetivos. A soma dos ótimos das áreas, normalmente, não será o ótimo da empresa.
Uma eficaz administração dos recursos disponíveis na empresa através do planejamento, execução e controle das atividades, é fator fundamental na busca da otimização dos resultados. A manipulação das variáveis relacionadas com o recurso restritivo com utilização da programação linear juntamente com as técnicas de pesquisa operacional, permite identificar o resultado ótimo identificado de acordo com as variáveis consideradas no modelo construído. 
A partir da identificação do resultado ótimo projetado é possível a realização de simulações de cenários que serão analisados com o objetivo de definir as políticas de ação da organização. A utilização da PL, com o auxílio da ferramenta SOLVER do programa Excel 8.0 para soluções de pequenos problemas que envolvam a procura de um resultado ótimo, objetivando contribuir para que os gestores possam tomar decisões que visam melhorar o resultado da empresa.
REFERÊNCIAS
LACHTERMACHER, Gerson – PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÕES - 4ª ed. São Paulo:Pearson Prentice Hall, 2009.
http://www.feg.unesp.br/~fmarins/GAMS/apostilagams.pdf >.Acessado em 30/10/2014
http://www.milenio.com.br/ >. Acesso em 27/10/2014
 http://www.producao.ufrgs.br >. Acesso em 27/10/2014 
<http://www.madeiraspinheiro.com.br/products-page/chapa-mdf-cru-e-revestido/mdf-branco-25mm-2750-x-1840-2faces-duratex-ir/.winplot.softonic.com.br/ >. Acesso em 29/10/2014
http://www.sindimarceneiros.com.br/paginas/salarios>; Acesso em 01/11/2014
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