CALCULO NUMERICO

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Marília Brasil Xavier 
REITORA 
 
 
Prof. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM – PARÁ – BRASIL 
- 2011 - 
 
APRESENTAÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................. 05 
1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS ................................................................................................. 09 
1.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................................. 09 
1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM ....................................................................................... 09 
1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO............................................................................................ 09 
1.4. MUDANÇA DE BASE .................................................................................................................... 09 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 12 
2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES ..................................... 12 
2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO ........................................................................................................... 12 
2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES ........................................................................................................... 13 
2.3. TEOREMA DE BOLZANO.............................................................................................................. 14 
2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES............................................................................................ 14 
2.5. MÉTODO GRÁFICO........................................................................................................................ 15 
 EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 16 
2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO ............................................................................................................ 16 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 18 
2.7. MÉTODO DAS CORDAS ............................................................................................................. 19 
 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 22 
2.8. MÉTODO DE NEWTON ............................................................................................................. 22 
 EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 24 
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................ 25 
3.1. TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES .................................................................................... 26 
3.2. MÉTODOS DIRETO ...................................................................................................................... 26 
3.2.1. Método de Gauss-Jordan ................................................................................................................. 26 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 28 
3.2.2. Cálculo da Inversa de uma Matriz .................................................................................................... 28 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 29 
3.2.3. Cálculo do determinante de uma Matriz ......................................................................................... 30 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 31 
3.3. MÉTODOS ITERATIVOS ............................................................................................................. 31 
3.3.1. Método de Jacobi .................................................................................................................................. 32 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 34 
3.3.2. Método de Gauss-Deidel ..................................................................................................................... 34 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 36 
4. INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37 
4.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO .............................................................................................. 37 
4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37 
4.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA ................................................................................................ 38 
4.4. ERRO DE TRUNCAMENTO .......................................................................................................... 39 
4.5. TEOREMA DE ROLLE .................................................................................................................... 39 
4.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE ............................................................................................ 39 
 EXERCÍCIOS..................................................................................................................................... 43 
4.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS................................. 44 
 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 47 
5. AJUSTE DE CURVAS ............................................................................................................................ 48 
5.1. AJUSTE LINEAR ............................................................................................................................... 48 
 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 50 
5.2. AJUSTE POLINOMIAL ................................................................................................................. 50 
 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 53 
6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ............................................................................................................ 55 
6.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS ............................................................................................................ 55 
 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................58 
6.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON ............................................................................................ 59 
 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................. 62 
6.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON .............................................................................................. 62 
 EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 63 
6.4 INTEGRAL DUPLA ...................................................................................................................... 64 
 EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 67 
 QUESTÕES COMPLEMENTARES ............................................................................................. 68 
 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 72 
 
 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
9 
1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS 
1.1. INTRODUÇÃO 
A solução de muitos problemas passa pela modelagem matemática, para isto devem ser 
representado por uma fórmula ou procedimento matemático, que expressam as características 
principais deste problema. A seqüência lógica da solução de um problema, segue o diagrama 
a baixo. 
 
 
 
É importante ressaltar, que em certas situações a solução estimada, pelos métodos 
numéricos, se afasta da verdadeira solução do problema. Isto ocorre devido a presença de 
fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resolução do 
problema. 
 
1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM 
 
Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos 
alguma variável presente no problema. 
 
1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO 
 
 Nesta fase, o erro é gerado no momento que se fazer os cálculos na calculadora ou 
computador devido aos processos de arredondamentos. 
 
1.4. MUDANÇA DE BASE 
 
 Todo número na base dez pode ser decomposta da seguinte forma 
n
n
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
m
m
m
ni
i
i 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a
 
ia
 é 0 ou 1 
m,n
 números inteiros, com 
0n
 e 
0m
 
 
Exemplo: 
3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052
 
De forma semelhante. um número na base 2 pode ser escrito por: 
 
n
n
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
m
m
m
ni
i
i 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a
 
 
Exemplo: 
3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011
 
Para transformar um número inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o método de 
divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, a seguir dividi-se por 2 o 
 
Problema 
 
 
 
 
 
 
Modelo 
Matemático 
 
Solução 
 
 
 
 
Modelagem 
 
 
 
 
Resolução 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
10 
quociente encontrado e assim o processo é repetido até que o último quociente seja igual a 1 . 
O número binário será, então, formado pela concatenação do último quociente com os restos 
das divisões lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja, 
 
 
N 2 
r1 q1 2 
 r2 Q2 2 
 R3 q3 
 qn-1 2 
 rn-1 1 
 
1231n10 r.r.r.....r.1N
 
 
Para transformar números fracionários da base 10 para a base 2, utiliza-se o método das 
multiplicações sucessivas, que consiste em: 
1º Passo – multiplicar o numero fracionários por 2; 
2º Passo – deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base 2 e a parte 
fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte fracionária 
do último produto seja igual a zero. 
 
Exemplo: transforme 
101875,0
 para a base 2 
 
 
logo 
210 0011,01875,0 
 
Exemplo: transforme 
1025,13
 para a base 2 
 
13 2 
1 6 2 
 0 3 2 
 1 1 
 
1310 = 11012 
 
0,2510 = 0,012 
logo 
210 01,110125,13 
 
0,25 
 2 
0,50 
0,50 
 2 
1,00 
0,1875 
 2 
0,3750 
0,375 
 2 
0,750 
0,75 
 2 
1,50 
0,50 
 2 
1,00 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
11 
 De maneira geral, o número 
x
 em uma base é representado por: 
 
exp
t
t
3
3
2
21 .
d
...
ddd
x
 
 
id
 são os números inteiros contidos no intervalo 
id0
, 
t,...,2,1i
 
exp
 representa o expoente de e assume valores entre 
SexpI
, 
S,I
 os limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do expoente 
t
t
3
3
2
21 d...
ddd é chamado de mantissa e é a parte do número que representa 
seus dígitos significativos e 
t
 é o número de dígitos significativos do sistema de 
representação, comumente chamado de precisão da máquina. 
 
Exemplo: 
Sistema decimal 
0
3210
10.
10
7
10
5
10
3
357,0
 
2
543210
10.
10
7
10
5
10
3
10
9
10
2
357,29
 
 
 
Observação: a mantissa é um número entre 0 e 1. 
Sistema binário 
5
54322
2.
2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
11001
 
5
7654322
2.
2
1
2
0
2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
01,11001
 
 
Saiba que cada dígito do computador é chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma 
maquina fictícia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da 
mantissa e outro bit para o sinal do expoente. 
 
 
 
Para você entender melhor faremos um exemplo numérico. 
 Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 
2
, 
10t
, 
15I
 e 
15S
, o número 25 na base decimal é representado por 
 
1015
210 2.11001,02.11001,01100125
 
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 
Mantissa Expoente 
Si
n
al
 d
a 
M
an
ti
ss
a 
Si
n
al
 d
o
 
Ex
p
o
en
te
 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
12 
 
Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo. 
Um parâmetro muito utilizado para avaliar a precisão de um determinado 
sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e que 
este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de 
maior significado, logo: 
t
PRECISÃO
1
 
 
 
Exercício 
 
(01) Os números a seguir estão na base 2, escreva-os na base 10. 
(a) 
211011
 (b) 
2111100
 (c) 
2100111
 
(d) 
201111,
 (e) 
21110,
 (f) 
2001110,
 
 
(02) Os números a seguir estão na base 10, escreva-os na base 2. 
(a) 
1015
 (b) 
1012
 (c) 
1036
 
(d) 
106215,
 (e) 
102510,
 (f) 
1012530,
 
 
(03) Considere uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 
2
, 
10t
, 
15I
 e 
15S
.Represente nesta máquina os números: 
(a) 
1035
 (b) 
1028,
 (c) 
1024
 (d) 
1064,
 
 
 
2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 
NÃO LINEARES 
 
2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO 
 
Os métodos numéricos são usados na busca das raízes das equações, ou os zeros reais 
de f(x). Em geral, os métodos, utilizados apresentam duas fases distintas: 
 
Fase I – Localização ou Isolamento das RaízesEstá fase consiste em obter um intervalo que contém a raiz da função f(x) = 0, e em 
seguida iremos para a segunda fase. 
 
Fase II – Refinamento 
Nesta fase definimos a precisão que desejamos da nossa resposta e escolhemos as 
aproximações iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida 
melhoramos, sucessivamente, a aproximação da raiz da função f(x) = 0, até se obter 
uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão pré-fixada. 
 
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13 
2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES 
 
Os métodos numéricos utilizados para calcular raízes da equação f(x) = 0, só calculam 
uma raiz de cada vez. Esta é a razão porque devemos determinar um intervalo para cada raiz 
que desejamos calcular. 
 
Teorema 
“Se uma função contínua 
)x(f
 assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do 
intervalo [ a , b ] , isto é, 
0)b(f.)a(f
, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da 
equação 
0)x(f
, em outras palavras haverá no mínimo um número , pertencente ao 
intervalo aberto 
)b,a(
, 
)b,a(
, tal que, 
0)(f
” 
 
Exemplo: 
Neste exemplo apresentamos uma função 
)x(f
 que possui dentro do intervalo 
]b,a[
 três 
raízes: 
1
, 
2
 e 
3
. Isto é, são três valores de 
x
, para os quais a função 
)x(f
 tem imagem 
igual a zero, isto é: 
01)(f
, 
02 )(f
 e 
03)(f
. 
 
Se a função possui imagem 
zero nos pontos 
1
, 
2
 e 
3
, o 
gráfico da função 
)x(f
, nestes 
pontos, intercepta o eixo dos x. 
 
 
Observe no exemplo que 
0)a(f
 e 
0)b(f
, logo o produto 
0)b(f.)a(f
 
 
 
Observe que toda vez que dentro de um intervalo 
]b,a[
, tivermos 
0)b(f.)a(f
, 
significa que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da função 
)x(f
, como vemos na 
figura a seguir. 
 
y 
x 
a 
b 0 
f(x) f(b) 
f(a) 
y 
x 
1
 
a 
b 
2
 
3
 0 
f(x) 
 
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14 
 
Quando uma função possui um número par 
de raízes dentro do intervalos 
]b,a[
, temos 
0)b(f.)a(f
 
 
 
0)a(f
 
0)b(f
 
 logo 
0)b(f.)a(f
 
 
0)a(f
 
0)b(f
 
 logo 
0)b(f.)a(f
 
Quando uma função não possui raízes dentro do intervalos 
]b,a[
, temos 
0)b(f.)a(f 
 
0)a(f
 
0)b(f
 
 logo 
0)b(f.)a(f
 
 
 
0)a(f
 
0)b(f
 
 logo 
0)b(f.)a(f
 
 
2.3. TEOREMA DE BOLZANO 
 
Seja 
0)x(P
 uma equação algébrica com coeficientes reais e 
)b,a(x
. 
 Se 
0)b(P.)a(P
, então existem um número ímpar de raízes reais no intervalo 
)b,a(
. 
 Se 
0)b(P.)a(P
, então existem um número par de raízes reais no intervalo 
)b,a(
 ou 
não existem raízes reais no intervalo 
)b,a(
. 
 
2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 
 
 Saiba que a determinação do número de raízes de funções transcendentes é quase 
impossível, pois algumas equações podem ter um número infinito de raízes. 
Função Seno Função Cosseno
y 
x 
a 
b 
0 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
a 
y 
x 
b 
0 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
y 
x 
1
 
a b 
2
 0 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
y 
x 
1
 
a 
b 2 0 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
y 
x 
1
a 
b 0 
f(x) 
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15 
 
Função Tangente 
 
Função Exponencial 
 
 
2.5. MÉTODO GRÁFICO 
 
 Lembre que uma raiz de uma equação 
0)x(f
 é um ponto onde a função 
)x(f
 toca o 
eixo dos 
x
. Outra forma de identificarmos as raízes da equação é substituir 
)x(h)x(g)x(f
, onde 
0)x(h)x(g
. As raízes de 
0)x(f
 corresponderam a interseção 
das funções 
)x(g
 e 
)x(h
. 
Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a função 
1072 xx)x(f
 que possui 
raízes 2 e 5. Se fizermos 
)x(h)x(g)x(f
, onde 
2x)x(g
 e 
107x)x(h
 temos a 
interseção de 
)x(g
 com 
)x(h
 acontece em 2 e 5. 
 
0 2 4 6 8 10 12
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
X
Y
 
0 2 4 6 8 10 12
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
X
Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Y
0 1 2 3 4 5 6 7
-10
0
10
Y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10
0
10
20
30
40
X
Y
1072 xx)x(f
 
2x)x(g
 
107x)x(h
 
 
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16 
 
Exercício 
 (01) Dada a função 
xsenx.)x(f 220
, separe esta em duas funções e aproxime pelo 
menos uma de suas raízes pelo método gráfico. 
 (02) Dada a função 
xx)x(f 42
, separe esta em duas funções e aproxime pelo menos 
uma de suas raízes pelo método gráfico. 
(03) Dada a função 
xcosx)x(f 2
, separe esta em duas funções e aproxime pelo menos 
uma de suas raízes pelo método gráfico. 
(04) Dada a função 
xsenx)x(f 3
, separe esta em duas funções e aproxime pelo menos 
uma de suas raízes pelo método gráfico. 
 
2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO 
 
Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo 
]b,a[
, isto é, devemos utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a raiz para em 
seguida isolá-la pelo intervalo 
)b,a(
, onde esta raiz pertença a este intervalo. Para 
utilizarmos o método das bisseção é necessários que a função 
)x(f
 seja uma continua no 
intervalo 
]b,a[
 e que 
0)b(f.)a(f
. 
Para aplicamos o método da bisseção devemos dividir o intervalo 
]b,a[
 ao meio, 
obtendo assim 
ox
, com isto temos agora dois intervalos 
]x,a[ o
 e 
]b,x[ o
 
 
Se 
0)x(f o
, então, 
ox
; Caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem 
sinais oposto nos pontos extremos, ou seja se 
0)x(f.)a(f o
 implica que a raiz esta no intervalo 
]x,a[ o
. 
0)b(f.)x(f o
 implica que a raiz esta no intervalo 
]b,x[ o
. 
y 
x a 
b 
 ox
 
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17 
 
A partir daí construiremos um novo intervalo 
]b,a[ 11
 
O novo intervalo 
]b,a[ 11
 que contém é dividido ao meio e obtém-se 
1x
 onde se 
011 )x(f.)a(f
 implica que a raiz esta no intervalo 
]x,a[ 11
. 
011 )b(f.)x(f
 implica que a raiz esta no intervalo 
]b,x[ 11
. 
O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a 
tolerância desejada. Tolerância ( ) é um valor que o calculista define. A partir da 
tolerância, definimos o critério de parada, onde se para de refinar a solução e se aceita o valor 
aproximado calculado. A tolerância , é muitas vezes avaliada por um dos três critérios 
abaixo: 
E|)x(f| n
 
E|xx| nn 1
 
E
|x|
|xx|
n
nn 1
 
Exemplo: 
(01) Calcular a raiz da equação 
32x)x(f
 com 
010,E
. 
Solução 
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto 
devemos fazer uma no seu gráfico. 
 
 
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo 
][ 31
. Logo 
 
N an bn xn f (xn) E 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
y
y 
x 
1a
 
 1b
 
1x
 
Raiz procurada Intervalo de 
busca 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
18 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 
 1.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.5000 
 1.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.2500 
 1.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.1250 
 1.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.0625 
 1.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.0313 
 1.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.0156 
 1.7188 1.7344 1.7266 -0.0190 0.0078 
 
Construção da tabela 
1ª linha: Na iteração inicial ( N = 0 ) temos 
][]ba[ oo 31
 sendo o ponto médio 
2ox
. 
2ª linha: ( N = 1 ) Como 
0)x(f.)a(f oo
, substituímos 
oxb1
, logo 
][]ba[ 2111
 
sendo o ponto médio 
511 ,x
. 
3ª linha: ( N = 2 ) Como 
011 )b(f.)x(f
, substituímos 
12 xa
, logo 
],[]ba[ 25122
 
sendo o ponto médio 
7512 ,x
. 
8ª linha: ( N = 7 ) Como 
066 )x(f.)a(f
, substituímos 
67 xa
, logo 
][]ba[ 1.7344 1.718877
 sendo o ponto médio 
1.72667x
 (
E0.0078
). 
Como o erro é menor que tolerância então a aproximação final é 
1,7266x
. 
 
 
Exercício 
 (01) Calcular a raiz da equação xlnx)x(f 2 com 010,E . 
(02) Calcular a raiz da equação 423 xx)x(f com 010,E . 
(03) Calcular a raiz da equação 102 2x)x(f com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 
(04) Calcular a raiz da equação 52 3x)x(f com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 30 ) 
(05) Calcular a raiz da equação 32x)x(f com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 
(06) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o método 
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 53 ) 
(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 
 
 
 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
19 
2.7. MÉTODO DAS CORDAS 
 
Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo 
]b,a[
, isto é, devemos, novamente, utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a 
raiz para em seguida isolá-la pelo intervalo 
]b,a[
, onde esta raiz pertença a este intervalo 
)b,a(
. No método das cordas, ao invés de se dividir o intervalo 
]ba[
 ao meio, ele é 
dividido em partes proporcionais à razão 
)b(f/)a(f
. A fórmula de recorrência para a 
aproximação da raiz enésima é 
cx
)c(f)x(f
)x(f
xx n
n
n
nn 1
, onde 
...,,,n 210
, 
onde o ponto fixado 
c
 (ou “
a
” ou “
b
”) é aquele no qual o sinal da função 
)x(f
 coincide 
com o sinal da segunda derivada 
)x(''f
, ou seja 
0)c(f.)c(''f
. 
E
|x|
|xx|
n
nn 1
 
 
 
A existência da corda da 
origem a dois triângulos 
semelhantes, que permitem 
estabelecer a seguinte relação: 
)a(f)b(f
ab
)a(f
h1
 
esta relação nos conduz a uma 
valor aproximado da raiz 
11 hax
 
)ab(
)a(f)b(f
)a(f
ax1
 
 Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém , como mostra a 
figura a seguir, 
]bx[ou]xa[ 11
, obtém-se uma nova aproximação 
2x
 da raiz pela 
aproximação apresentada acima 
y 
x b 
oxa 1x
 
1h
 
f(a) 
f(b) 
y 
x b 
oxa 1x
 
1h
 
Corda 
f(a) 
f(b) 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
20 
 
Nas figuras a seguir, como no método das cordas é escolhido o extremos do intervalo 
]b,a[
 
que deve ser igual ao valor
ox
. 
 
 
y 
x 
b 
oxa
 1x
 1h
 
f(b) 
f(a) 
 
y 
x 
f(a) 
f(b) 
oxb
 
a 
1x
 
1h
 
 
0)x(''f
 
00 )b(fe)a(f
 
bc
 
0)x(''f
 
00 )b(fe)a(f
 
ac
 
y 
x b 
oxa
 
1x
 
1h
 
f(a) 
f(b) 
 
0)x(''f
 
00 )b(fe)a(f
 
bc
 
0)x(''f
 
00 )b(fe)a(f
 
ac
 
y 
x 
1x
 
1h
 
f(b) 
f(a) 
 
oxb
 
a 
2h
 
y 
x b 
1xa
 
Corda 
f(a) 
f(b) 
 
2x
 
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21 
Exemplo: 
(01) Calcular a raiz da equação 
32x)x(f
 com 
010,E
. 
Solução 
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto 
devemos fazer uma no seu gráfico. 
 
 
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo 
][ 31
. Logo 
 
N an bn xn f (xn) E 
0 
1 
2 
3 
4 
 1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.5000 
 1.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.3000 
 1.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.0857 
 1.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.0226 
 1.0000 1.7368 1.7368 0.0166 0.0061 
 
 
Construção da tabela 
Como 
2)x(''f
 
023)(''f
 e 
06333 2)(f
 
logo 
033 )(f.)(''f
 de onde temos que 
1ac
 
usando a fórmula de recorrência 
cx
)c(f)x(f
)x(f
xx n
n
n
nn 1
 temos que 
30 bx
 
 1.50001
1
0
0
0
01 x
)(f)x(f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.50 1.0
 
 1.80001
1
1
1
1
12 x
)(f)x(f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.80 1.0
 
 1.71431
1
2
2
2
23 x
)(f)x(f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.7143 1.0
 
 1.73681
1
3
3
3
34 x
)(f)x(f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.7368 1.0
 
 
Como o erro é menor que tolerância (
E0.0061
) então a aproximação final é 
1,7368x
. 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
y
Raiz procurada Intervalo de 
busca 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
22 
 
Exercício 
 (01) Calcular a raiz da equação 
xlnx)x(f 2
 com 
010,E
. 
(02) Calcular a raiz da equação 
423 xx)x(f
 com 
010,E
. 
(03) Calcular a raiz da equação 
102 2x)x(f
 com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 31
) 
(04) Calcular a raiz da equação 
52 3x)x(f
 com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 21
) 
(05) Calcular a raiz da equação 
32x)x(f
 com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 31
) 
(06) Calcular a raiz da equação 
xsenx)x(f 162
 com 010,E utilizando o método 
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 53
) 
(07) Calcular a raiz da equação 
xsenx)x(f 52
, com 010,E utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
].,.[ 5251
) 
 
 
2.8. MÉTODO DE NEWTON 
 
 Semelhantes aos métodos da bisseção e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que 
desejamos procurar dentro de um intervalo 
]b,a[
 utilizando para isto o método gráfico. Para 
utilizarmos o método de Newton é necessários que a função 
)x(f
 seja uma continua no 
intervalo 
]b,a[
 e que o seu único zero neste intervalo; as derivada 
)x('f
 
])x('f[ 0
 e 
)x(''f
 devem também ser contínuas. 
 Para se encontrar a expressão para o cálculo da aproximação 
nx
 para a raiz 
devemos fazer uma expansão em série de Taylor para 
0)x(f
, de onde temos 
)xx)(x('f)x(f)x(f nnn
 se fizermos 
01)x(f)x(f n
, obteremos a seguinte 
expressão01 )xx)(x('f)x(f nnnn
, isolando o termo 
1nx
 na temos 
)x('f
)x(f
xx
n
n
nn 1
. 
onde 
1nx
 é uma aproximação de . 
 
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23 
 
 
 
Exemplo: 
(01) Calcular a raiz da equação 
32x)x(f
 com 
010,E
. 
Solução 
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto 
devemos fazer uma no seu gráfico. 
 
 
A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo 
][ 31
. Logo 
 
 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
y
y 
x 
0xb
b a
 
1x
 
f(b) 
f(a) 
 
2x
 
0)x(''f
 
0)x('f
 
0xb
 
y 
x 
f(a) 
f(b) 
b
 
oxa
 
1x
 
 
2x
 
0)x(''f
 
0)x('f
 
0xa
 
y 
x 
1x
 
0xb
 
f(a) 
f(b) 
 
2x
 
a 
0)x(''f
 
0)x('f
 
0xb
 
y 
x 
1x
 
f(b) 
f(a) 
 
b
 
0xa
 
 
2x
 
0)x(''f
 
0)x('f
 
0xa
 
Raiz procurada Intervalo de 
busca 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
24 
N an bn xn f (xn) E 
0 
1 
2 
3 
 1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 
 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.2500 
 1.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.0179 
 1.0000 1.7321 1.7321 0.0003 0.0001 
 
Observe a construção da tabela: 
Como 
x)x('f 2
 
063)('f
 e como 
02)x(''f
 logo temos 
30 bx
 
usando a expressão 
)x('f
)x(f
xx
n
n
nn 1
, temos a seguinte recorrência 
 .00002
0
0
01
)x('f
)x(f
xx
 
][]ba[ 2.0 1.0
 
 .75001
1
1
12
)x('f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.75 1.0
 
1.7321
2
2
23
)x('f
)x(f
xx
 
][]ba[ 1.7321 1.0
 
Como o erro é menor que tolerância (
E0.0001
) então a aproximação final é 
1,7321x
. 
 
 
 
 
Exercício 
(01) Calcular a raiz da equação 
xlnx)x(f 2
 com 
010,E
. 
(02) Calcular a raiz da equação 
423 xx)x(f
 com 
010,E
. 
(03) Calcular a raiz da equação 
102 2x)x(f
 com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 31
) 
(04) Calcular a raiz da equação 
52 3x)x(f
 com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 21
) 
(05) Calcular a raiz da equação 
32x)x(f
 com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 31
) 
(06) Calcular a raiz da equação 
xsenx)x(f 162
 com 
010,E
 utilizando o método 
da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
],[ 53
) 
(07) Calcular a raiz da equação 
xsenx)x(f 52
, com 
010,E
 utilizando o método da 
bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca 
].,.[ 5251
) 
 
 
 
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25 
3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
 Para entendermos os métodos de resolução de sistemas lineares, devemos primeiro 
compreender que um sistema linear 
nS
 é uma coleção de 
n
 equações lineares, como 
mostraremos a seguir 
nnnnnnn
nn
nn
n
bxa...xaxaxa
..........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
S
332211
22323222121
11313212111
 
que pode, também, ser representado por 
bxA
 
onde 
A
 é uma matriz quadrada de ordem 
n
, 
x
 e 
b
 não matrizes 
1n
, isto é, com 
n
 linhas e 
uma coluna. A matriz 
A
 tem a seguinte forma 
nnnnn
n
n
a...aaa
....................
a...aaa
a...aaa
A
321
2232221
1131211
 
onde 
jia
 é chamado coeficiente da incógnita 
jx
 e os 
ib
 são chamados termos independentes. 
Com a matriz dos coeficientes e a matriz dos termos independentes montamos a matriz 
B
, 
denominada de matriz ampliada, que pode ser escrita por 
]b:A[B
 
ou seja 
nnnnnn
n
n
b
....
b
b
a...aaa
....................
a...aaa
a...aaa
B
2
1
321
2232221
1131211
 
nx
x
x
x

2
1
 
Uma solução do sistema 
nS
 , são os valores 
1x
, 
2x
, ... , 
nx
 , que constituem a matriz coluna 
x
, denominada de matriz solução que pode ser escrita por 
Os sistemas lineares 
nS
 podem ser classificados da seguinte forma: 
 
adoIndetermin
oDeterminad
Possível
Impossível
HomogêneoNão
adoIndetermin
oDeterminad
PossívelHomogêneo
Sn
 
 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
26 
Um sistema 
nS
 (
bxA
) é denominado de homogêneo quando a matriz 
b
, dos termos 
independentes, é nula, o sistema 
nS
 (
bxA
) é denominado de não-homogêneo quando a 
matriz 
b
, não é nula, isto é, existe pelo menos um termo em 
b
, que não é nulo. 
Um sistema é dito impossível quando não há nenhuma solução que satisfaça o sistema, 
isto é, sua solução é o vazio. Um sistema é dito possível quando há, pelo menos, uma 
seqüência de valores 
1x
, 
2x
, ... , 
nx
 que satisfaça o sistema, isto é, a sua solução nunca é o 
vazio. Se existir uma única seqüência de valores que satisfaça o sistema 
nS
, então este 
sistema é dito Possível e determinado, se existir mais de uma seqüência de valores 
1x
, 
2x
, 
... , 
nx
 que satisfaça o sistema 
nS
, estão podemos afirmar que o sistema é Possível e 
indeterminado. 
 
3.1. TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES 
 
 O cálculo da solução de sistemas através de métodos interativos, consiste em uma 
seqüência de transformações, onde um sistema mais complexo é transformado em outro mais 
simples com a mesma solução. As transformações utilizadas para modificar os sistemas de 
equações lineares são formadas pelas seguintes operações elementares: 
 
(1) Trocar a ordem de duas equações do sistema. 
 
(2) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não numa. 
 
(3) Adicionar duas equações do sistema. 
 
 A partir das operador apresentadas podemos transformar um sistema 
1S
 em um 
sistema 
2S
. Isto é, 
1S
 e 
2S
 são equivalentes. 
 
3.2. MÉTODO DIRETO 
Consiste de métodos que determinam a solução do sistema linear com um número finito 
de transformações elementares. 
 
3.2.1. Método de Gauss-Jordan 
Exemplo: Calcule a solução do sistema 
2
4
6
zyx
zyx
zyx
 
Solução 
Como já explicamos, para melhor aplicar o método de Gauss-Jordan devemos escrever o 
sistema na forma matricial: 
2
4
6
zyx
zyx
zyx 
 2
4-
6
z
y
x
1 1- 1 
1- 1- 1 
1 1 1 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
27 
A ampliada 
B
 é modificada segundo as expressões à direita gerando um novo sistema sempre 
posto abaixo 
 
2 1 1- 1 
4- 1- 1- 1 
6 1 1 1 
B
0
 
 
2 1 1- 1 
10- 2- 2- 0 
6 1 1 1 
B
1
 
 
 
4- 0 2- 0 
10- 2- 2- 0 
6 1 1 1 
B
1
 
 
6 2 0 0 
10- 2- 2- 0 
6 1 1 1 
B
2
 
 
6 2 0 0 
10- 2- 2- 0 
3 0 1 1 
B
3
 
 
 
6 2 0 0 
4- 0 2- 0
3 0 1 1 
B
36 2 0 0 
4- 0 2- 0 
1 0 0 1 
B
4
 
 
 
 
 
3
5
 1 0 0 
2 0 1 0 
1 0 0 1 
B
 
3
2
1
z
y
x
 
 
1
1
1
0
11
0
210
1 )(
)(
)(
a
a
m
 
)()()()(
LLmL
0
2
0
1
0
1
1
2
 
1
1
1
0
11
0
310
2 )(
)(
)(
a
a
m
 
)()()()(
LLmL
0
3
0
1
0
2
1
3
 
1
2
2
1
22
1
321
1
)(
a
a
m
)(
)(
)(
 
)()()()(
LLmL
1
3
1
2
1
1
2
3
 
2
1
2
33
2
132
1 )(
)(
)(
a
a
m
 
)()()()(
LLmL
2
1
2
3
2
1
3
1
 
2
2
2
33
2
232
2
)(
a
a
m
)(
)(
)(
 
)()()()(
LLmL
2
2
2
3
2
2
3
2
 
2
1
2
1
3
22
3
123
1 )(
)(
)(
a
a
m
 
)()()()(
LLmL
3
1
3
2
3
1
4
1
 
2
2
1
4
3
4
33
4
35
3
4
2
4
22
4
25
2
4
1
4
11
4
15
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
L
a
L
L
L
a
L
L
L
a
L
L
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
28 
 
Exercício 
(01) Calcule a solução do sistema 
(a) 
2
4
6
zyx
zyx
zyx
 (b) 
1232
7
02
zyx
zyx
zyx
 
(c) 
522
325
532
zyx
zyx
zyx
 (d) 
122
17322
23225
1832
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
(e) 
022
525
132
zyx
zyx
zyx
 (f) 
12
52
832
zyx
zyx
zyx
 
 
3.2.2. Cálculo da Inversa de uma Matriz 
O método de Gauss-Jordan pode calcular a inversa de uma matriz. No calculo da 
inversa de uma matriz (
1
M
), a matriz ampliada 
B
 é montada utilizando a matriz 
M
 e uma 
matriz identidade 
I
da dimensão da matriz 
M
. Isto é, a matriz identidade 
I
 substitui a matriz 
dos termos independentes 
b
, utilizada na resolução de sistemas lineares. Deste modo, a 
matriz 
B
 fica da seguinte forma: 
]I:M[B
 
1 0 0 1 1 1 
0 1 0 4 1- 0 
0 0 1 2 1 1 
B
0
 
 
1 0 1- 1- 0 0 
0 1 0 4 1- 0 
0 0 1 2 1 1 
B
1
 
 
1 0 1- 1- 0 0 
0 1 0 4 1- 0 
2 0 1- 0 1 1 
B
2
 
 
1
a
a
m
)(
)(
)(
0
11
0
310
1
 
)()()()(
LLmL
0
3
0
1
0
1
1
3
 
2
a
a
m
)(
)(
)(
1
33
1
231
1
 
)()()()(
LLmL
1
2
1
3
1
1
2
2
 
4
a
a
m
)(
)(
)(
1
33
1
231
2
 
)()()()(
LLmL
1
2
1
3
1
2
2
2
 
1 
a
a
m
)(
)(
)(
2
22
2
122
1
 
)()()()(
LLmL
2
1
2
2
2
1
3
1
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
29 
1 0 1- 1- 0 0 
4 1 4- 0 1- 0 
2 0 1- 0 1 1 
B
2
 
 
1 0 1- 1- 0 0 
4 1 4- 0 1- 0 
6 1 5- 0 0 1 
B
3
 
 
1- 0 1 1 0 0 
4- 1- 4 0 1 0 
6 1 5- 0 0 1 
B
3
 
1 1 1 
 4 1- 0 
2 1 1 
M
 e 
1- 0 1 
4- 1- 4 
6 1 5- 
M
1
 
 
 
Exercício 
(01) Determine a inversa das matriz abaixo 
(a) 
 1 1- 1 
 1- 1- 1 
 1 1 1 
 (b) 
 3 2 1- 
 1 1 1 
 1- 2 1 
 
 
(c) 
 1 2 2- 
 2 5 1- 
 3 2 1 
 (d) 
 1 1 2 1 
 3 1 2 1- 
 2 2 5 1- 
 1 3 2 1 
 
 (02) Determine a inversa das matrizes abaixo 
(a) 
122
251
321
 (b) 
112
211
321
 
 
1
1
1
4
3
4
33
4
35
3
4
2
4
22
4
25
2
4
1
4
11
4
15
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
L
a
L
L
L
a
L
L
L
a
L
L
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
30 
(c) 
112
111
121
 (d) 
1121
3122
2251
1321
 
 
3.2.3. Cálculo do determinante de uma Matriz 
 
O método de Gauss-Jordan, também pode ser utilizado para calcularmos o determinante 
de uma matriz. Para isto, devemos escalonar a matriz ampliada 
B
, como fizemos no cálculo 
da solução do sistema e na determinação da matriz inversa, porém não devemos fazer o 
último passo, que é a normalização da matriz pelos elementos da diagonal principal. 
 
Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz 
1- 2 1 
1 2 0 
0 3 1 
M
 
 1- 2 1 
 1 2 0 
 0 3 1 
B
0
 
 1- 1- 0 
 1 2 0 
 0 3 1 
B
1
 
 0.50- 0 0 
 1.00 2.00 0 
 0 3.00 1.00
B
2
 
 
 0.50- 0 0 
 0 2.00 0 
 0 3.00 1.00 
B
3
 
 
 0.50- 0 0 
 0 2.00 0 
 0 0 1.00 
B
4
 
 
001500002001 .).(*.*.)Mdet(
 
 
1
a
a
m
)(
)(
)(
0
11
0
310
1
 
)()()()(
LLmL
0
3
0
1
0
1
1
3
 
0.5
a
a
m
)(
)(
)(
1
22
1
321
1
 
)()()()(
LLmL
1
3
1
2
1
1
2
3
 
2
a
a
m
)(
)(
)(
2
33
2
232
1
 
)()()()(
LLmL
2
2
2
3
2
2
3
2
 
1.5- 
a
a
m
)(
)(
)(
3
22
3
123
1
 
)()()()(
LLmL
3
1
3
2
3
1
4
1
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
31 
 
Exercício 
(01) Determine o determinante das matriz abaixo 
 
(a) 
 1 1- 1 
 1- 1- 1 
 1 1 1 
 (b) 
 3 2 1- 
 1 1 1 
 1- 2 1 
 
(c) 
 1 2 2- 
 2 5 1- 
 3 2 1 
 (d) 
 1 1 2 1 
 3 1 2 1- 
 2 2 5 1- 
 1 3 2 1 
 
 
3.3. MÉTODOS ITERATIVOS 
 
A outra forma de se determinar a solução de um sistema 
bxA
, que é através dos 
métodos iterativos. Os métodos iterativos consistem em determinar uma seqüência de 
aproximações 
)(
x
1
, 
)(
x
2
, ... , 
)k(
x
 , para a solução do sistema 
x
, a partir de uma dada 
aproximação inicial 
)(
x
0
. Segundo este raciocínio, o sistema 
bxA
, é transformado em um 
outro sistema equivalente com a seguinte forma 
dxFx
)k()k( 1
 
onde 
F
 é uma matriz 
nn
, 
x
 e 
d
 são matrizes 
1n
. 
)k(x
1
 é uma aproximação obtida a 
partir da aproximação 
)k(
x
. Sendo a seqüência de aproximações obtida da seguinte forma 
dxFx
)()( 01
 
dxFx
)()( 12
 
dxFx
)()( 23
 
...................... 
dxFx
)k()k( 1
 
As aproximações são calculadas até que se tenha 
 
i
)k(
i
ni
)k(
xxmaxxx
1 
 
Se 
0xxlim
)k(
k
, então a seqüência 
)(
x
1
, 
)(
x
2
, ... , 
)k(
x
 converge para a solução 
x
. 
 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
32 
3.3.1. Método de Jacobi 
 
 Para entendermos o método de Jacobi tomemos o sistema 
nnnnbn
nn
nn
bxa...xaxa
...................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
 
 
em cada equação do sistema devemos isolar o valor de 
ix
, isto é, na primeira equação 
devemos isolar 
1x
, na segunda equação devemos isolar 
2x
, e assim por diante, com isto 
teremos: 
nn
nnnbnn
n
nn
nn
a
)xa...xaxaxa(b
x
...................................................
a
)xa...xaxa(b
x
a
)xa...xaxa(b
x
113132211
22
23131212
2
11
13132121
1
 
 
 
Observação: 
Os elementos 
iia
 devem ser diferentes de zeros 
i,aii 0
, se não teremos 
divisão por zero. Caso isto não ocorra devemos reagrupar o sistema para que se 
consiga esta condição 
Podemos colocar o sistema na seguinte forma 
dxFx
)k()k( 1
, onde 
nx
x
x
x

2
1
 
nn
n
a
b
a
b
a
b
d

22
2
11
1
 
0
0
0
0
321
33333323331
22222232221
11111131112
...a/aa/aa/a
...............................................................................
a/a...a/aa/a
a/a...a/aa/a
a/a...a/aa/a
F
nnnnnnnnn
n
n
n
 
 
 
 O método de Jacobi funciona da seguinte forma: 
1º Passo: Devemos escolher uma aproximação inicial 
)(
x
0
. 
2º Passo: Devemos gerar as aproximações 
)k(
x
 a partir das iterações 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
33 
dxFx
)k()k( 1
, 
...,,,k 210
 
3º Passo: Paramos de calcular as aproximações quando um dos critérios de parada abaixo for 
satisfeito. 
1º critério: 
E|xx|max
)k(
i
)k(
i
ni
1
1
, onde 
tolerânciaaéE
. 
2º critério: 
Mk
, onde 
M
 é o número máximo de iterações. 
 
 
 
Observação: 
A tolerância 
E
 fixa o grau de precisão das soluções. 
 
Exemplo – Resolva pelo método de Jacobi o sistema 
32
12
21
21
xx
xx com 210E ou 10k . 
 
Solução 
Isolando o valor de 
1x
 na primeira equação e 
2x
 na segunda equação, temos as equações de 
iteração 
)x(x
)x(x
kk
kk
1
1
2
2
1
1
3
2
1
1
2
1
 onde 
...,,,k 210
 
Utilizaremos como aproximação inicial 
0
00)(x
 para calcular 
)(
x
1
, como mostraremos a 
seguir 
Para 
0k
 
)x(x
)x(x
0
1
1
2
0
2
1
1
3
2
1
1
2
1
 
5103
2
1
5001
2
1
1
2
1
1
.)(x
.)(x
 
51
501
.
.
x )(
 
Para 
1k
 
)x(x
)x(x
1
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
1
 
251513
2
1
251501
2
1
1
2
1
1
.).(x
.).(x
 
251
2512
.
.
x )(
 
repetiremos estes cálculos para 
....,,k 32
 e colocamos os valores obtidos na tabela abaixo: 
 
k 
kx1
 
kx2
 E 
 0 0.0000 0.0000 0.0000 
 1 0.5000 1.5000 1.5000 
 2 1.2500 1.2500 0.7500 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
34 
 3 1.1250 0.8750 0.3750 
 4 0.9375 0.9375 0.1875 
 5 0.9688 1.0313 0.0938 
 6 1.0156 1.0156 0.0469 
 7 1.0078 0.9922 0.0234 
 8 0.9961 0.9961 0.0117 
 9 0.9980 1.0020 0.0059 
 10 1.0010 1.0010 0.0029 
?k
ou
.
10
1000290 2
 
00101
00101
2
1
.x
.x 
00101
00101
.
.
x
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
(01) Resolva o sistemas, com 
][x 0000
, 210E ou 10k , onde k é o número de 
iterações. 
(a) 
522
42
22
zyx
zyx
zyx
 (b) 
433
52
54
zyx
zyx
zyx
 
(c) 
123
1552
23
zyx
zyx
zyx
 (d) 
2852
163
1952
23
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
3.3.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em: 
1º Passo: Definirmos uma aproximação inicial 
)(
x
0
. 
2º Passo: Calcula-se a seqüência de aproximações 
)(
x
1
, 
)(
x
2
, ... , 
)k(
x
 utilizando-se as 
seguintes fórmulas: 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
35 
)k(
nn
)k()k()k()k(
xaxaxaxab
a
x 13133132121
11
1
1
1

 
 
 
)k(
nn
)k()k()k()k(
xaxaxaxab
a
x 2323323
1
1212
22
1
2
1

 
 
 
)k(
nn
)k()k()k()k(
xaxaxaxab
a
x 3434
1
232
1
1313
33
1
3
1

 

 
)k(
nn,n
)k(
n
)k(
n
)k(
nn
nn
)k(
n xaxaxaxab
a
x
1
11
1
44
1
22
1
11
1 1 
 
 
No cálculo da aproximação 
)k(
nx
1
, utilizamos as aproximações
)k(
x
1
1
, 
)k(
x
1
2
, ... , 
)k(
nx
1
1
 . 
Isto faz com que este método tenha convergência mais rápida. 
Exemplo 01 – Resolva pelo método de Jacobi o sistema 
 
32
12
21
21
xx
xx com ][x )( 000 , 210E ou 10k . 
 
Solução 
Isolando o valor de 
1x
 na primeira equação e 
2x
 na segunda equação, temos as equações de 
iteração 
)x(x
)x(x
kk
kk
1
1
1
2
2
1
1
3
2
1
1
2
1
 onde 
...,,,k 210
 
O calculo das aproximações é feito da seguinte forma 
Para 
0k
 (1ª iteração) 
)x(x
)x(x
)()(
)()(
1
1
1
2
0
2
1
1
3
2
1
1
2
1
 
251503
2
1
5001
2
1
1
2
1
1
.).(x
.)(x
)(
)(
 
251
501
.
.
x )(
 
Para 
1k
 (2ª iteração) 
)x(x
)x(x
)()(
)()(
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
2
1
 
9375012513
2
1
12512511
2
1
2
2
2
1
.).(x
.).(x
)(
)(
 
93750
12512
.
.
x )(
 
repetiremos estes cálculos para 
....,,k 32
 e colocamos os valores obtidos na tabela a seguir. 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
36 
 
k 
kx1
 
kx2
 E 
 0 0.0000 0.0000 0.0000 
 1 0.5000 1.2500 1.2500 
 2 1.1250 0.9375 0.6250 
 3 0.9688 1.0156 0.1563 
 4 1.0078 0.9961 0.0391 
 5 0.9980 1.0010 0.0098 
 6 1.0005 0.9998 0.0024 
 7 0.9999 1.0001 0.0006 
?k
ou
.
10
1000060 2
 
00011
99990
2
1
.x
.x 
00011
99990
.
.
x
 
 
 
 
 
Exercício 
 (01) Resolva o sistemas, com 
][x 0000
, 210E ou 10k , onde k é o número de 
iterações. Utilize o método de Gauss Seidel. 
(a) 
522
42
22
zyx
zyx
zyx(b) 
433
52
54
zyx
zyx
zyx
 
(c) 
123
1552
23
zyx
zyx
zyx
 (d) 
2852
163
1952
23
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
37 
4. INTERPOLAÇÃO LINEAR 
 
4.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO 
 
 Seja a função 
)x(fy
, cujos valores estão em uma tabela. Se desejarmos determinar 
)x(f
 sendo: 
(a) 
)x,x(x n0
 e 
ixx
 onde 
n,...,,,i 210
 
(b) 
)x,x(x n0
 
O item (a) representa um problema de interpolação, isto é, 
x
 está dentro do intervalo 
amostrado, logo devemos calcular um polinômio interpolador, que é uma aproximação da 
função tabelada. 
 O item (b) representa um problema de extrapolação, isto é, 
x
 está fora do intervalo 
amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolação neste capítulo. 
 
4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR 
 
Exemplo - Na tabela está a produção seguir está assinalado o número de habitantes de uma 
cidade A em quatro censos. 
Tabela 1 
ANO 1950 1960 
Nº de Habitantes 352.724 683.908 
 
Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955. 
 
Solução 
Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é, será da forma 
011 axa)x(P
 
 
Para se determinar os coeficientes, 
0a
 e 
1a
 devemos fazer 
101111
000101
yaxa)x(P
yaxa)x(P 
1011
0001
yaxa
yaxa 
 
Para 
19500x
 e 
352.724y0
 temos que 
724.352a1950a 01
 
 
Para 
1960x1
 e 
683.908y1
 temos que 
683.908a1960a 01
 
 
Com isto temos o seguinte sistemas 
683.908a1960a
724.352a1950a
01
01
 
onde 
33118,40a1
 e 
64228156a0
 logo teremos 
64228156x33118,40)x(P1
 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
38 
como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 
1955x
, temos 
518.31664228156195533118,40)x(P1
habitantes 
 
4.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA 
 
Exemplo - Na tabela a seguir está assinalado o número de habitantes de uma cidade A em 
quatro censos. 
Tabela 1 
ANO 1950 1960 1970 
Nº de Habitantes 877500 901600 925900 
 
Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965. 
 
Solução 
Neste caso, o polinômio interpolador será de 2º grau, isto é, será da forma 
01
2
22 axaxa)x(P 
 
Para se determinar os coeficientes, 
0a
, 
1a
 e 
2a
 devemos fazer 
 
2021
2
2222
1011
2
1212
0001
2
0202
yaxaxa)x(P
yaxaxa)x(P
yaxaxa)x(P
 
2021
2
22
1011
2
12
0001
2
02
yaxaxa
yaxaxa
yaxaxa
 
 
Para o problema em questão temos: 
 
925900aa1950a1970
901600aa1950a1960
877500aa1950a1950
012
2
012
2
012
2
 
 
cuja solução, através de escalonamento ensinado no capítulo anterior é 
 
25.2a
1500a
1a
0
1
2
 
 
logo teremos 
 
25.2x1500x)x(P 22
 
 
como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 
1965x
, temos 
91372525.2196515001965)1965(P 22
 habitantes 
 
 
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Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
39 
 
4.4. ERRO DE TRUNCAMENTO 
 
Para que você entenda o erro de truncamento, observe o gráfico mostrado a figura a 
seguir. 
 
 
Figura. 
)x(f
 é a função tabelada e 
)x(P1
 um polinômio interpolador de 1º grau. Podemos 
observar que, neste caso, 
)x(P1
 não aproxima bem a solução. 
 
O erro de truncamento cometido no ponto 
x
 é dado pela fórmula 
A)xx()xx()x(E 10T
, 
onde 
A
 é uma constante a determinar, como a função erro de truncamento. 
 No calculo de 
A
, utilizaremos a função auxiliar 
)t(G
 definida por: 
)t(E)t(P)t(f)t(G T1
. 
 
4.5. TEOREMA DE ROLLE 
 
Se a função 
)x(f
 é contínua no intervalo 
]b,a[
 e diferenciável no intervalo 
)b,a(
 e 
)b(f)a(f
, então, existe um 
)b,a(
, tal que 
0)('f
 
 
4.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 
 
As interpolações apresentadas anteriormente (interpolação linear e quadrática) são casos 
particulares da interpolação de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinômio interpolador 
)x(P
 de grau menor ou igual a 
n
, sendo dado para isto, 
1n
 pontos distintos. 
 
Teorema 
Sejam 
)y,x( ii
, 
1n,n,...,2,1,0i
 pontos distintos, isto é, 
ji xx
 para 
ji
. 
Existe um único polinômio 
)x(P
 de grau não maior que 
n
, tal que 
ii y)x(p
, para todo 
i
. O 
polinômio 
)x(P
 pode ser escrito na forma: 
n
n
3
3
2
210n xa...xaxaxaa)x(P
 
ou da seguinte forma 
n
0i
i
in xa)x(P
 
0x
 
1x
 
0y
 
1y
 
)x(P1
 
)x(f
x
Valor Aproximado 
Valor real 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
40 
 Observe que 
)x(P
 é, no máximo, de grau 
n
, se 
0an
. Para determinar o polinômio 
)x(P
 devemos conhecer os valores 
n210 a,...,a,a,a
. Como 
)x(P
 contém os pontos 
)y,x( ii
 podemos escrever 
ii y)x(p
, da seguinte forma 
 
S: 
n
n
nn
3
n3
2
n2n10
2
n
2n
3
23
2
22210
1
n
1n
3
13
2
12110
0
n
0n
3
03
2
02010
yxa...xaxaxaa
..............................................................
yxa...xaxaxaa
yxa...xaxaxaa
yxa...xaxaxaa
 
 
A solução do sistema S são os valores 
n210 a,...,a,a,a
, com os quais determinamos o 
polinômio 
n
n
3
3
2
210n xa...xaxaxaa)x(P
. 
 Para verificarmos que tal polinômio é único, basta calcularmos o determinante da 
matriz 
A
 (matriz dos coeficientes) e verificar que ele é diferente de zero. 
2
n
2
nn
2
1
2
11
n
0
2
00
x...xx1
...............
x...xx1
x...xx1
A 
Observe que a matriz 
A
, tem a forma da matriz de Vandermonte, também 
conhecida como matriz das potências. Seu determinante, segundo a Álgebra Linear, é dado 
pela expressão: 
ji
ji )xx()Adet(
, com 
ji xx
 
Sabemos que 
0)Adet(
, logo isto prova que 
)x(P
 é único. 
 
Obtenção da Fórmula 
 Para que você entenda a interpolação de Lagrange é necessário que compreender como 
é obtida a fórmula de recorrência deste método. 
 O teorema fundamental da Álgebra garante que podemos escrever o polinômio 
)x(P
 
da seguinte forma 
)xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210
 
onde 
n3210 x,...,x,x,x,x
 são as raízes do polinômio 
)x(P
. Montaremos agora, uma 
seqüência de polinômios auxiliares da seguinte forma 
 
1º polinômio: se retirarmos 
)xx( 0
 obteremos o polinômio 
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210
 
 
2º polinômio: se retirarmos 
)xx( 1
 obteremos o polinômio 
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201 
 
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41 
3º polinômio: se retirarmos 
)xx( 2
 obteremos o polinômio 
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102
 
 
Seguindo este raciocínio obteremos os polinômios 
)x(p,...),x(p),x(p),x(p n210
. 
Estes polinômios podem ser escritos na forma sintética: 
n
ij
0j
ji )xx()x(p
, 
)n,...,3,2,1,0i(
 
Tais polinômios possuem as seguintes propriedades 
(a) 
0)x(p ii
, para todo i. 
(b) 
0)x(p ji
, para todo 
ij
. 
e são conhecidos como polinômios de Lagrange. O polinômio 
)x(P
 pode ser escrito como 
uma combinação linear dos polinômios 
)x(p,...),x(p),x(p),x(p n210
, da seguinte forma: 
)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(Pnn221100
 
ou 
n
0i
ii )x(pb)x(P
 
Mas, como 
0)x(p ji
, para todo 
ij
 e 
0)x(p ii
, para todo i, temos que 
)x(pb)x(P nnnnn
 
logo 
)x(p
)x(P
b
nn
nn
n
 
e como 
iin y)x(P
, teremos 
)x(p
y
b
ii
i
i
 
substituindo este valor no somatório será 
n
0i
i
ii
i )x(p
)x(p
y
)x(P
 
de onde teremos 
n
0i ii
i
i
)x(p
)x(p
y)x(P
 
como n
ij
0j
ji )xx()x(p
 então 
n
0i
n
ij
0j ji
j
i
)xx(
)xx(
y)x(P
 
 
denominada de fórmula de interpolação de Lagrange. 
 
 
 
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42 
 
Exemplo - A partir das informações existentes na tabela, determine: 
 
i 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
3 
0.0 
0.2 
0.4 
0.5 
0.000 
2.008 
4.064 
5.125 
 
(a) O polinômio interpolador de Lagrange 
(b) 
)3.0(P
 
 
Solução 
(a) Como temos 4 pontos, o polinômio interpolador será de grau 3, logo 
3
0i
3
ij
0j ji
j
i3
)xx(
)xx(
y)x(P
, ou seja 
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(
y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(
y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(
y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(
y)x(P
231303
210
3
321202
310
2
312101
320
1
302010
321
03
 
 
substituindo os valores da tabela, teremos 
)4.05.0()2.05.0()0.05.0(
)4.0x()2.0x()0.0x(
125.5
)5.04.0()2.04.0()0.04.0(
)5.0x()2.0x()0.0x(
064.4
)5.02.0()4.02.0()0.02.0(
)5.0x()4.0x()0.0x(
008.2
)5.00.0()4.00.0()2.00.0(
)5.0x()4.0x()2.0x(
000.0)x(P3
 
 
simplificando a expressão, temos o seguinte polinômio interpolador 
x10x)x(P 33
 
(b) 
027.33.0103.0)3.0(P 33
 
 
 
 
 
 
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43 
 
 
Exercício 
(01) A partir das informações existentes na tabela, determine: 
I 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
3 
0.0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.0000 
1.0400 
2.1600 
3.3600 
 
(a) O polinômio interpolador de Lagrange 
(b) 
)3.0(P
 
 
(02) A partir das informações existentes na tabela, determine: 
I 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
3 
0.1 
0.3 
0.5 
0.7 
0.1010 
0.3270 
0.6250 
1.0430 
 
(a) O polinômio interpolador de Lagrange 
(b) 
).(P 40
 
 
(03) A partir das informações existentes na tabela, determine: 
I 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
3 
0.0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.0000 
0.4080 
0.8640 
1.4160 
 
(a) O polinômio interpolador de Lagrange 
(b) 
).(P 50 
 
(04) A partir das informações existentes na tabela, determine: 
I 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
3 
0.1 
0.3 
0.5 
0.7 
0.0110 
0.1170 
0.3750 
0.8330 
 
(a) O polinômio interpolador de Lagrange 
(b) 
).(P 60
 
 
 
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44 
 
4.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
 
Conceito de Diferenças Divididas 
 
Seja 
)x(fy
 uma função que contém 
n
 pontos distintos 
)y,x( ii
, onde 
n,...,2,1,0i
. Representaremos diferença divididas, por 
][f
. Definiremos diferença 
dividida de ordem zero a própria função, isto é, 
111
0 y)x(f]x[f
. 
A diferença dividida de 1ª ordem para os argumentos 
0x
 e 
1x
 é uma aproximação da 
1ª derivada, isto é, 
01
01
10
1
xx
)x(f)x(f
]x,x[f
, 
onde temos a seguinte propriedade 
]x,x[f]x,x[f 1001
. Considerando 
)x(fy ii
, 
podemos escrever as diferenças divididas de 1º ordem, de forma geral, por: 
i1i
i1i
1ii
1
xx
yy
]x,x[f
. 
A diferença dividida de 2ª ordem para os argumentos 
0x
, 
1x
 e 
2x
 é dada por: 
02
10
1
21
1
210
2
xx
]x,x[f]x,x[f
]x,x,x[f
. 
A diferença dividida de 3ª ordem para os argumentos 
0x
, 
1x
, 
2x
 e 
3x
 é dada por: 
03
210
2
321
2
3210
3
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f
]x,x,x,x[f
. 
Genericamente, a diferença dividida de ordem 
n
 é dada por: 
ini
1ni2i1ii
1n
ni2i1i
1n
ni2i1ii
n
xx
]x,...,x,x,x[f]x,...,x,x[f
]x,...,x,x,x[f
. 
Exemplo - Dada a função tabelada calcule a diferença dividida de segunda ordem. 
 
i 
ix
 
iy
 
0 
1 
2 
0.3 
1.5 
2.1 
3.09 
17.25 
25.41 
 
Solução 
 
Devemos calcular as diferenças divididas de primeira ordem 
80.11
3.05.1
09.325.17
xx
yy
]x,x[f
01
01
10
1
 
60.13
5.11.2
25.1741.25
xx
yy
]x,x[f
12
12
21
1
 
com todas as diferenças divididas de primeira ordem calculadas, vamos então calcular a de 
segunda ordem 
Universidade Estadual do Pará 
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45 
0.1
3.01.2
80.1160.13
xx
]x,x[f]x,x[f
]x,x,x[f
02
10
1
21
1
210
2
 
 
Para facilitar os procedimentos numéricos e organizar os nossos cálculos colocaremos na 
própria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma: 
 
i 
ix
 
iy
 
]x,x[f 1ii
1
 
]x,x,x[f 210
2
 
0 0.3 3.09 
]x,x[f 10
1
 
]x,x,x[f 210
2
 
1 1.5 17.25 
]x,x[f 21
1
 
2 2.1 25.41 
 
Fazendo a substituição numérica temos: 
i 
ix
 
iy
 
]x,x[f 1ii
1
 
]x,x,x[f 210
2
 
0 0.3 3.09 11.80 1.00 
1 1.5 17.25 13.60 
2 2.1 25.41 
 
A fórmula de recorrência de interpola, de Newton com diferenças dividida, depende do 
número de pontos existente na tabela. 
 
1º Caso: Existem só dois pontos na tabela 
 
A fórmula, de interpolação, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de 
primeira ordem, 
10
10
01
01
10
1
xx
)x(f)x(f
xx
)x(f)x(f
]x,x[f
 
onde isolando 
)x(f
 , para obter a fórmula de interpolação: 
]x,x[f)xx()x(f)x(f 10
1
1010
 
assumiremos 
0xx
, onde 
x
 é qualquer valor dentro do intervalo 
]x,x[ 10
. 
 
 
2º Caso: Existem só três pontos na tabela 
 
A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença 
divididas de segunda ordem, 
20
21
1
10
1
02
10
1
21
1
210
2
xx
]x,x[f]x,x[f
xx
]x,x[f]x,x[f
]x,x,x[f
 
onde isolando 
]x,x[f 21
1
 , obtemos: 
]x,x,x[f)xx(]x,x[f]x,x[f 210
2
2021
1
10
1
 
Substituindo na primeira fórmula de interpolação, temos 
]}x,x,x[f)xx(]x,x[f{)xx()x(f)x(f 210
2
2021
1
1010
 
 
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46 
que pode ser escrita por 
]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx()x(f)x(f 210
2
201021
1
1010 
 
que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 
0xx
, onde 
x
 é qualquer 
valor dentro do intervalo 
]x,x[ 20
. 
 
3º Caso: Existem só quatro pontos na tabela 
 
A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença 
divididas de terceira ordem, 
30
321
2
210
2
03
210
2
321
2
3210
3
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f
]x,x,x,x[f
 
onde isolamos 
]x,x,x[f 210
2
 , para obter: 
]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f]x,x,x[f 3210
3
30321
2
210
2
 
Substituindo na segunda fórmula de interpolação, temos 
}]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f{)xx)(xx(
]x,x[f)xx()x(f)x(f
3210
3
30321
2
2010
21
1
1010
 
que pode ser expresso por: 
]x,x,x,x[f)xx)(xx)(xx(]x,x,x[f)xx)(xx(
]x,x[f)xx()x(f)x(f
3210
3
302010321
2
2010
21
1
1010que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 
0xx
, onde 
x
 é qualquer 
valor dentro do intervalo 
]x,x[ 30
. 
 
4º Caso: Generalização para n pontos na tabela 
 
Para uma tabela de n pontos, a fórmula de interpolação pode ser expressa, segundo o 
mesmo raciocínio, por: 
 
n
0i
1i
0j
ji0
i
10 )xx(]x,...,x[f)x(f)x(f
 
 
onde assumiremos 
0xx
, onde 
x
 é qualquer valor dentro do intervalo 
]x,x[ n0
. 
 
Exemplo - Determinar o valor aproximado de 
)4.0(f
, usando todos os pontos tabelados 
 
i 
ix
 
iy
 
0 0.0 1.008 
1 0.2 1.064 
2 0.3 1.125 
3 0.5 1.343 
4 0.6 1.512 
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47 
Solução 
I 
ix
 
][fyi
 
][f1
 
][f2
 
][f3
 
][f 4
 
 0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000 
 1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.0000 
 2 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.0000 
 3 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.0000 
 4 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
 
Utilizamos os valores em azul no momento as substituição 
][f)x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f)x4.0)(x4.0)(x4.0(
][f)x4.0)(x4.0(][f)x4.0(][f)4.0(f
4
3210
3
210
2
10
1
0
 
 
2160.1)4.0(f
 
 
 
Exercício 
 (01) Determinar o valor aproximado de 
).(f 30
, usando todos os pontos tabelados 
I 
ix
 
iy
 
0 0.0 0.0000 
1 0.2 0.0480 
2 0.4 0.2240 
3 0.6 0.5760 
4 0.8 1.1520 
 
(02) Determinar o valor aproximado de 
)4.0(f
, usando todos os pontos tabelados 
I 
ix
 
iy
 
0 0.1 0.1010 
1 0.3 0.3270 
2 0.5 0.6250 
3 0.7 1.0430 
4 0.9 1.6290 
 
(03) Determinar o valor aproximado de 
).(f 30
, usando todos os pontos tabelados 
i 
ix
 
iy
 
0 0.0 0.1000 
1 0.2 0.1080 
2 0.4 0.1640 
3 0.6 0.3160 
4 0.8 0.6120 
 
 
 
 
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48 
5. AJUSTE DE CURVAS 
 
5.1. AJUSTE LINEAR 
 O ajuste linear consiste em ajustar uma função do primeiro grau no dados 
xy 10
, 
onde 
0
 e 
1
 são denominados parâmetros do modelo. 
 
Figura – As bolinhas representam os valores amostrados no campo e a reta representa a 
função ajustada nos pontos amostrados. No ponto 
ix
 o valor 
iy
 representa o valor amostrado, 
e 
iyˆ
 o seu valor estimado pela função ajustada e 
iii yˆyd
 é a diferença entre o valor 
amostrado (valor real do campo) e o valor estimado. 
 
Para estimarmos a função 
xyˆ 10
, o erro entre o valor amostrado 
iy
 e o valor 
estimado 
iyˆ
 deve ser mínimo, para isto a soma dos quadrados do erro de todos os pontos deve 
ser a menor possível. 
 
Para você entender melhor, primeiro definiremos a função que representa a soma do 
quadrado dos erros: 
n
i
ii yˆyD
1
2
, 
onde temos 
n
 é o número de pontos amostrados. A magnitude de 
D
 depende da reta 
ajustada, ou seja depende de 
0
 e 
1
. Assim como 
xyˆ 10
, podemos escrever: 
n
i
i )x(y),(D
1
2
1010
. 
Então para determinarmos 
0
 e 
1
 da função 
xyˆ 10
, devemos fazer 
0
0
10 ),(D
 e 
0
1
10 ),(D
, 
O que resulta nas expressões: 
2
1 1
2
111
1
n
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
 e 
n
xy
n
i
i
n
i
i 1
11
0
. 
 
Exemplo: Encontre o número de habitantes de uma cidade no ano de 1970 considerando os 
dados do censo mostrado na Tabela 2. 
Y 
xyˆ 10
 
iii yˆYd
 
ix
 
ii xyˆ 10
 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
49 
i
 Ano(
ix
) Número de habitantes(
iy
) 
1 
2 
3 
4 
5 
1940 
1960 
1980 
1990 
2000 
19600 
19800 
20000 
20100 
20200 
Tabela – Censo feito na cidade hipotética A. 
 Para calcularmos 
1
 e 
0
 devemos primeiro completar a tabela com as colunas 
contendo informação de 
2
i
x
 , 
ii yx
, n
i
ix
1
, n
i
iy
1
, n
i
i
x
1
2
 e n
i
ii yx
1
 que são obtidos 
simplesmente pela soma dos elementos de cada coluna. 
 
i
 
Ano 
(
ix
) 
Número de 
habitantes 
(
iy
) 
2
i
x
 
ii yx
 
1 
2 
3 
4 
5 
1940 
1960 
1980 
1990 
2000 
19600 
19800 
20000 
20100 
20200 
3763600 
3841600 
3920400 
3960100 
4000000 
38024000 
38808000 
39600000 
39999000 
40400000 
 
9870x
n
i
i
1
 
99700y
n
i
i
1
 
19485700x
n
i
i
1
2
 
196831000yx
n
i
ii
1
 
Tabela – Estão os valores de 
ix
, 
iy
, 
2
i
x
, 
ii yx
, n
i
ix
1
, n
i
iy
1
, n
i
i
x
1
2
 e n
i
ii yx
1
. 
 Com os valores da Tabela podemos calcular os coeficientes 
1
 e 
0
, da seguinte 
forma: 
10
196831000194857005
9970098705
2
1 1
2
111
1
*
*196831000*
xxn
yxyxn
n
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
 
200
5
10987099700
1
11
0
n
xy
n
i
i
n
i
i
. 
Com isto a função de ajuste é 
xyˆ 10200
; 
O número de habitantes em 1970 é obtido pela fórmula 
xyˆ 10200
, da seguinte forma: 
19900197010200 *yˆ
, Logo tivemos 19900 habitantes em 1970. 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
50 
 
 
 
Exercício 
(01) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando 
50.x
, segundo uma aproximação linear. 
i
 
ix
 
iy
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 0.0000 
 0.2000 
 0.4000 
 0.6000 
 0.8000 
 1.0000 
 1.2000 
 -0.2000 
 0.8000 
 1.8000 
 2.8000 
 3.8000 
 4.8000 
 5.8000 
 
(02) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando 
60.x
, segundo uma aproximação linear. 
i
 
ix
 
iy
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 0.1000 
 0.3000 
 0.5000 
 0.7000 
 0.9000 
 1.1000 
 1.3000 
 0.5000 
 1.1000 
 1.7000 
 2.3000 
 2.9000 
 3.5000 
 4.1000 
 
5.2. AJUSTE POLINOMIAL 
 
 O ajuste linear é um caso particular do ajuste polinomial, onde ajustaremos aos pontos 
amostrados um polinômio, 
yˆ
, de grau n. 
n
n x...xxxyˆ
3
3
2
210
. 
Os são coeficientes 
n,...,,,, 3210
 são obtidos através de um sistema: 
BAX
. 
 Para ajustarmos uma reta (polinômio do 1º grau) 
xyˆ 10
, devemos minimizar a 
função n
i
i )x(y),(D
1
2
1010
, para isto devemos fazer 
0
0
10 ),(D
 n
i
i
n
i
i yxn
1
1
1
0
 
0
1
10 ),(D
 n
i
ii
n
i
i
n
i
i yxxx
11
2
1
1
0
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
51 
Podemos escrever este sistema na forma matricial 
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yx
y
xx
xn
1
1
1
0
1
2
1
1
 
 
Comparando com o sistema 
BAX
, temos que: 
 
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xx
xn
X