apostila02 arcos tri articulados

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TEORIA DAS ESTRUTURAS
ARCOS TRI-ARTICULADOS
(NOTAS DE AULAS)
	
	Ponte Alexandre III	Paris 1897-1900
Prof. Dr. José Luiz F. de Arruda Serra
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SUMÁRIO
1.	Generalidades	01
2.	Viga curva	02
3.	Arcos tri-articulados	03
	3.1 - Exemplo	06
	3.2 - Definição e determinação da linha de pressões	06
	3.3 - Observações	07
	3.4 – Equação do arco de eixo parabólico 	08
4.	Exercícios resolvidos	09
	4.1 -	Exercício 4.1: Determinação de M, V e N 	09
	4.2 -	Exercício 4.2: linha de pressões 	10
5.	Exercícios propostos	11
Anexo 01 – Gabaritos de provas 	13
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Introdução ao estudo de arcos
1. Generalidades.
	Arco é uma estrutura plana com carregamento no próprio plano. Em geral possui eixo curvo e sua característica principal é de ser possível escolher a forma de seu eixo de modo a apresentar pequenos esforços de flexão quando submetido ao carregamento permanente.
	A figura 1.1, ilustra um resumo da nomenclatura usada para os arcos.
	
	Figura 1.1 – Nomenclatura usual para arcos
	A figura 1.2, mostra os tipos usuais de arcos. Nesta publicação apenas o arco Tri-articulado, isostático será estudado para o caso de carregamento perpendicular à linha de impostas.
	
	Figura 1.2 – Tipos de arcos
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2. Viga curva.
	Antes de iniciarmos propriamente o estudo dos arcos, vamos analisar a distribuição dos esforços solicitantes em uma viga curva, cujos resultados servirão para o estudo dos arcos.
	Vamos nos preocupar somente com cargas perpendiculares ao movimento do carrinho. Nestas condições o apoio fixo não apresentará reação na direção paralela ao movimento do apoio móvel (carrinho), o qual tomaremos como movimento horizontal.
	
	
Seja y = f (x) a equação do eixo da viga curva e (p) a projeção da viga curva e seu carregamento em uma viga horizontal, para a qual determinamos os diagramas de momento fletor e força cortante Mp e Vp respectivamente (figura 2.1).
Como para o cálculo de momentos só interferem as distâncias horizontais, o momento fletor na viga curva é o mesmo que ocorre na viga projetada na seção correspondente, ou seja:
	(2.1)
Vamos determinar os diagramas de força cortante e força normal na viga curva (figura 2.2).
Dada a equação do eixo da viga curva y = f (x), o ângulo ( que mede a inclinação da curva vale:
	(2.2)
Seja Rv = soma das forças verticais à esquerda do corte em uma seção genérica. Como Rv é igual a força cortante (com sinal) na viga projetada, temos:
	(2.3)
Então, em qualquer seção da viga curva temos:
	(2.4)
	Figura 2.1 – Viga curva
	
	
	
	
	
	Figura 2.2 – Forças cortante e normal
	
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	As expressões de Mr, Vr e Nr valem para qualquer seção da viga curva. Convém não esquecer que tanto Vp como ( possuem sinal. Naturalmente nos trechos descendentes da viga curva, o ângulo ( estará situado no 4o quadrante trigonométrico e o seno e a tangente terão valores negativos.
3. Arcos tri-articulados.
	Os arcos tri-articulados são formados por duas chapas articuladas entre si. Como se trata de uma estrutura isostática já foi objeto de estudo em Resistência dos Materiais. A finalidade de retomar a análise de estruturas isostáticas em Teoria das Estruturas é desenvolver uma técnica para tornar expedita a solução dessas estruturas.
	Seja o arco tri-articulado da figura 3.1.
	
	Os valores de yC, a e b referem-se à articulação C. As cargas que atuam no arco podem ser decompostas em duas direções ortogonais: paralela e perpen-dicular à linha de impostas AB.
Neste trabalho, vamos estudar apenas as cargas perpendiculares à linha de impostas AB
	Figura 3.1 – Arco tri-articulado
	
Em benefício da simplicidade, vamos estabelecer a nomenclatura simplificadora:
 (( à linha de impostas ( horizontal
( à linha de impostas ( vertical
Para resolver tecnicamente o arco tri-articulado, vamos aplicar o artifício de Henneberg ou troca de vínculos entre a articulação C e o apoio fixo B. Retirando-se a barra vincular horizontal do apoio fixo B, ele se torna apoio móvel na horizontal. Colocando-se esta barra na articulação C, ela se transforma em uma seção comum, que mantém a continuidade da estrutura 
	
	Figura 3.2 – Troca de vínculos
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	Com esta troca de vínculos podemos fazer o raciocínio de superposição de efeitos:
	
	Figura 3.3 – Superposição de efeitos
Notação:	(r)	= problema real
(0)	= problema “zero” – apenas o carregamento está aplicado (sem H)
= problema “um” – apenas H=1 está aplicada (sem carregamento)
	A correspondente equação de superposição é:
(r) = (0) + H((1) 	(3.1)
Ou seja, qualquer grandeza (esforço ou deslocamento) no problema real (r) é igual a grandeza correspondente no problema (0) mais H vezes a mesma grandeza no problema (1).
	Aplicando-se a equação de superposição (3.1) para os esforços solicitantes, temos em qualquer seção:
Mr = M0 + H(M1
Vr = V0 + H(V1	(3.2)
Nr = N0 + H(N1
	Os diagramas de M, V e N no problema (0) [M0, V0 e M0] não apresentam dificuldades para serem calculados. O problema (0) é a viga curva já resolvida e M0, V0 e N0 são os valores fornecidos nas expressões (2.4).
Como o carregamento do problema (1) é apenas uma carga horizontal unitária, é fácil determinar os valores de M1, V1, e N1. Como se sabe, os esforços solicitantes em uma seção genérica S, são a soma dos efeitos de todos os esforços à esquerda (ou à direita) de um corte efetuado na seção S. Assim, os efeitos da carga unitária (reação em A) na seção S são os indicados na figura 3.4 a). Na figura 3.4 b) estão indicados as projeções da carga horizontal unitária nas direções correspondentes a N e V.
Deve-se estabelecer uma convenção para os esforços solicitantes no arco:
M > 0 (( tração nas fibras do intradorso (dentro)
V > 0 (( percorre a seção no sentido horário
N > 0 (( esforço de tração
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	Figura 3.4 – Determinação de M1, V1 e N1
M1 = ( y
V1 = ( sen (	(3.3)
N1 = ( cos (
Os sinais negativos aparecem devido a convenção adotada.
Assim, a única incógnita nas equações (3.2) que determinam os esforços finais é H. Este valor será determinado com a condição de ser nulo o momento fletor do problema real na articulação C, ou seja, Mc (real) = 0.
A aplicação da equação de superposição (3.1) para o ponto C fornece:
zero = M0C + H((– yc)	(3.4)
	Como M0C = MPC (momento da viga projetada na seção correspondente a C), temos:
	
	 .................................................... (3.5)
	Isto é, em um arco tri-articulado com carregamento perpendicular à linha de impostas (considerada horizontal), a componente “horizontal” do empuxo é o resultado da divisão do momento fletor da viga projetada na seção correspondente à articulação C, pelo valor da “altura” da articulação (ou distância da articulação à linha de impostas).
	Com o valor de H determinado (expressão 3.5), os esforços solicitantes finais são obtidos pela aplicação de (2.4) e (3.3) em (3.2):
	Mr = Mp ( H(y
Vr = Vp(cos ( ( H(sen (
Nr = ( Vp(sen ( ( H(cos ( (tração +)
	...............................(3.6)
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3.1 – Exemplo
	A figura 3.5 mostra um arco tri-articulado de eixo parabólico, submetido a um carregamento simétrico constituído de duas cargas concentradas. Vamos determinar o diagrama de momento fletor. A solução é apresentada na própria figura.
	
	Figura 3.5 – Exemplo 1 – Arco tri-articulado
	O diagrama de M final pode ser determinado graficamente a partir do diagrama de MP. Traça-se neste diagrama uma nova linha de fecho (fêcho) ou linha de referência, que é a equação do arco a menos de um fator de escala igual a H. Esta curva é construída em escala vertical conveniente (H), de forma que passe pelo ponto C correspondente a articulação, pois nela temos a condição Mr = 0. Os valores finais de Mr do arco tri-articulado são, na escala considerada, os valores das “ordenadas” que ligam essa nova linhade referência com o diagrama de Mp.
Convém notar que o diagrama de momentos fletores da viga curva ou da viga projetada (MP) apresenta valores muito maiores que o diagrama de momentos fletores (Mr) do arco. Neste exemplo o Mmáx no arco é 8 vezes menor que o Mmáx na viga curva. Este fato mostra a vantagem fundamental do arco sobre a viga curva no caso de cargas verticais: o pequeno momento fletor que o solicita.
3.2 – Definição e determinação da linha de pressões
	Caso y = k(Mp teremos Mr = Vr = zero em qualquer seção do arco tri-articulado, ou seja:
Se o digrama de momento fletor da viga projetada for proporcional a forma do arco, serão nulos os momentos fletores e forças cortantes em qualquer seção do arco.
	Esta forma particular que anula os momentos fletores e forças cortantes é denominada linha de pressões.
Demonstração: 
	Dai, 
	Como 
	
	Caso a forma do arco seja a linha de pressões, ele estará sujeito apenas a esforços normais. Em uma seção genérica, conforme ilustra a figura 3.6, temos:
 	(3.7)
 	(3.8)
	Figura 3.6 – Esforço normal
	
3.3 – Observações:
A linha de pressões é a forma ideal para as estruturas tri-articuladas, pois corresponde a sua forma estrutural mais econômica, uma vez que o momento fletor é o esforço mais sedento de seção.
Com o conhecimento do conceito de linha de pressões, a estrutura mais econômica para o carregamento do exemplo anterior seria a apresentada na figura 3.7 a). O valor de f pode assumir qualquer valor não nulo, devendo ser evitado valores muito pequenos pois o empuxo horizontal H é inversamente proporcional a f (equação 3.5) e a normal sendo diretamente proporcional a H (equação 3.7) cresce demasiado nos arcos muito abatidos (quase vigas retas), podendo apresentar problemas de flambagem.
O mesmo princípio explica a forma final que toma um cabo sem resistência à flexão quando solicitado por cargas verticais. As figuras 3.7 b), c), ... ilustram este comentário.
A linha de pressões para carregamento uniformemente distribuído é uma parábola do 2o grau, isto é, o arco de eixo parabólico submetido a carregamento uniformemente distribuído (aproximadamente peso próprio), não tem momentos fletores nem forças cortantes, motivo pelo qual é adotado para estruturas com grandes vãos livres.
Na prática, além dos arcos tri-articulados são muito utilizados os arcos bi-articulados e bi-engastados, para os quais também constitui ponto de partida para o projeto a determinação da linha de pressões do carregamento permanente. Para os arcos hiperestáticos também vale (muito aproximadamente) a regra: se forma do arco for proporcional ao diagrama da viga projetada, ele coincide com a linha de pressões, isto é, M = V = zero.
É oportuno observar a notável intuição dos construtores da antigüidade clássica, que sem conhecimento formal dos princípios da estática, construíram abóbadas e arcos de alvenaria de pedra, que não resistem à tração (e muitos deles permanecem íntegros até hoje ...). Também as Catedrais da idade média com suas cúpulas e leveza dos seus arcos e abóbadas merecem menção.
	
	Figura 3.6 – Linhas de pressão
3.4 – Equação do arco de eixo parabólico.
	A dedução a seguir por ser geométrica, vale para qualquer tipo de arco.
Seja o arco de eixo parabólico da figura 3.7, com sistema de eixos nas impostas.
	
	Figura 3.7 – Arco parabólico
A equação genérica desta parábola é:
y = ax2 + bx + c
Como passa pelos pontos (0,0), (L,0) e (L/2,f),temos:
Para x = 0, y = 0	(( c=0
Para x = L, y = 0	(( 0 = aL2 + bL	(( b = -aL
Para x = L/2, y = f	(( f = aL2/4 – aL2/2	(( a = - 4f/L2
Com a = - 4f/L2 tem-se b = 4f/L
Substituindo-se os valores calculados de a, b e c=0 em y = ax2 + bx + c, tem-se:
y = -4fx2/L2 + 4fx/L, ou colocando-se 4fx/L2 em evidência:
 	(3.9)
4. – Exercícios resolvidos
4.1 – Exercício: determinação de M, V e N
	Seja o arco de eixo parabólico da figura 4.1. Determinar M, V e N de metro em metro.
	
	Figura 4.1 – Exercício: Determinação de M, V e N
4.2 – Exercício: linha de pressões
	
	Figura 4.2 – Exercício: linha de pressões
5. Exercícios propostos
ANEXO 01 - Gabaritos de provas
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