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4Os Sistemas Estruturais em Aço
MÓDULO
Sistemas estruturais em Aço
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Módulo 4
Índice - Módulo 4
• Introdução 
• 9.1. Cabos 
 O cabo 
 Comportamento 
• 9.2. Arcos 
 Comportamento 
 Tipos de arcos 
 A questão dos empuxos. 
 Critérios de uso 
 Os arcos em estruturas metálicas 
 Pré-dimensionamento 
• 9.3 Treliças 
 Treliças Planas 
 Comportamento 
 Tipos de treliças 
 Critérios de uso 
 Pré-dimensionamento 
• 9.4. Viga Vierendeel 
 Comportamento 
 Critérios de uso 
 Pré dimensionamento 
• 9.5. viga de alma cheia 
 Comportamento 
 Vigas biapoiadas com balanços. 
 Vigas contínuas sem balanço. 
 Vigas contínuas com balanço. 
 Critérios de uso 
 Pré-dimensionamento 
 Vigas de alma cheia com seção especial. 
 Passagem de tubulações nas vigas. 
• 9.6. pilares 
 Comportamento 
 Pré-dimensionamento
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Parte 1 - Os Sistemas Estruturais em Aço
8. Os sistemas estruturais em Aço
Vídeo – Sistemas Estruturais
Vídeo – Integração arquitetura e estrutura
Introdução
Nos próximos itens, serão apresentados uma série de sistemas estruturais bási-
cos compostos por barras, a partir dos quais, através de associações adequadas, 
pode-se criar uma quantidade quase infinita de possibilidades estruturais. O 
estudo desses sistemas estruturais será dividido em alguns sub-itens, onde serão 
discutidos seu comportamento estático, os materiais e seções mais usuais para 
sua execução, condições de aplicação e limites de utilização e, finalmente, ele-
mentos para o pré-dimensionamento. 
O pré-dimensionamento dos sistemas estruturais é feito através do uso de grá-
ficos que foram elaborados pelo professor Philip A. Corkill da Universidade 
de Nebraska e que foram traduzidos e adaptados para o sistema métrico pelos 
professores Yopanan C. P. Rebello e Walter Luiz Junc, com a colaboração da 
arquiteta Luciane Amante. 
Os gráficos apresentam nas abscissas valores que correspondem a uma das vari-
áveis, como vãos, quando se trata de estruturas como cabos, vigas e treliças, ou 
o número de pavimentos ou altura não travada, quando se trata de pilares. Nas 
ordenadas estão os valores correspondentes, respostas do pré-dimensionamen-
to, como flecha do cabo, altura da seção do arco, da viga e da treliça, ou, ainda, 
a dimensão mínima de um dos lados da seção do pilar. 
Os gráficos não são apresentados na forma de uma linha, mas de uma superfí-
cie contida entre duas linhas. A linha superior representa os valores máximos 
de pré-dimensionamento e a inferior os valores mínimos. O uso do limite 
inferior ou superior depende de bom senso. Se a estrutura for pouco carrega-
da, como estruturas de cobertura, usaremos o limite inferior, ou na dúvida a 
região intermediária. Quando a estrutura é bastante carregada usamos o limite 
superior. 
Sistemas Estruturais em Aço
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Módulo 4
9 .1. Cabos
Vídeo – Cabos
Vídeo – Cabos e funicular
Vídeo – Empuxos
Vídeo – Instabilidade dos cabos
O cabo
Comportamento 
O cabo é uma barra em que seu comprimento é tão predominante em rela-
ção à sua seção transversal que se torna flexível, ou seja, não apresenta rigidez 
nem à compressão e nem à flexão. Em outras palavras, o cabo não apresenta 
qualquer resistência a esforços de compressão e flexão, deformando-se total-
mente quando submetido a esses esforços. O cabo apresenta resistência apenas 
quando tracionado, por isso ele deve ser usado em situações em que ocorra 
esse tipo de esforço. Como foi visto anteriormente, o esforço de tração simples 
é o mais favorável, resultando em elementos estruturais bastante esbeltos e, 
portanto leves, tanto física como visualmente. Por isso as estruturas em cabos, 
também chamadas estruturas suspensas ou pênseis, são estruturas que podem 
vencer grandes vãos com pequeno consumo de material. 
Para se entender o comportamento de um cabo, suponha-se o modelo apre-
sentado a seguir, composto por um fio que tenha em seus extremos anéis que 
o prendam a uma barra rígida. Suponha-se, também, que esse fio seja carrega-
do em seu ponto médio por um peso qualquer P. A tendência dos anéis, que 
servem de apoio, é escorregarem sobre a barra rígida solicitados por uma força 
horizontal, até se juntarem na mesma vertical do peso. 
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Sistemas Estruturais em Aço
Para evitar esse escorregamento devemos fixar os anéis num ponto qualquer 
da barra rígida. O cabo nessa posição adquirirá uma forma triangular. Chama-
remos de flecha do cabo a altura do triângulo assim formado. 
Se alterarmos a posição e/ou a quantidade de cargas o cabo apresentará, para 
cada situação, uma forma diferente. Se nesse cabo colocarmos duas cargas 
iguais e simétricas, notar-se-á que o cabo se deformará e apresentará a con-
formação de um trapézio. Ao se aumentar o número de cargas observar-se-á 
que para cada conjunto o cabo apresentará uma forma de equilíbrio diferente. 
Se as cargas forem iguais e igualmente espaçadas em relação a horizontal, o 
cabo apresentará, quando totalmente carregado, a forma de uma parábola de 
segundo grau. Se as cargas forem iguais, mas igualmente espaçadas ao longo 
do comprimento do cabo, como acontece com seu peso próprio, a curva será 
ligeiramente diferente da parábola e se chamará catenária. Nessas duas últimas 
situações a flecha do cabo será dada pela distância entre a horizontal que passa 
pelos apoios do cabo e seu ponto mais afastado dessa horizontal. As diversas 
formas que o cabo adquire em função do carregamento denominam-se fu-
niculares das forças que atuam no cabo; em outras palavras, o caminho que as 
forças percorrem ao longo do cabo até chegarem aos seus apoios. A palavra 
funicular vem do vocábulo latino funis, que significa corda e do grego gonia 
que significa ângulo. 
Como o cabo só admite esforço de tração simples, devido às suas condições 
de rigidez, conclui-se que as forças ao longo do seu comprimento são sempre 
de tração simples e variam de intensidade toda vez que mudam de direção, 
aumentando do meio do vão para o apoio. 
Para um determinado carregamento e vão, a força horizontal necessária para 
dar o equilíbrio ao cabo, aumenta com a diminuição da flecha. Isso poderá 
ser facilmente verificável através de uma simples experiência: suponha-se que 
se esteja suportando com as mãos uma das extremidades de uma corda, que 
sustenta um peso aplicado no meio. Sem sair da posição procure-se retificar 
essa corda. Notar-se-á que se é obrigado a puxar cada vez com maior força, 
ou seja, aplicar uma força horizontal cada vez maior. Conclui-se desse fato que 
existe uma relação inversa entre a flecha do cabo e a reação horizontal nos 
apoios, com a reação vertical mantendo-se constante, pois esta só depende do 
peso aplicado ao cabo. Pode-se também verificar que, para dado carregamento 
e vão, a solicitação no cabo depende da variação da força horizontal, portanto 
do valor da flecha. 
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Módulo 4
Conclui-se, daí, que quanto menor a flecha maior será a solicitação no cabo. 
Aqui surge um interessante problema: um cabo com flecha pequena é mais 
solicitado, e requer uma maior seção. Por outro lado tem um comprimen-
to menor, o que corresponde a um determinado volume de material. Se 
a flecha for grande será menos solicitado, logo terá uma seção menor, mas 
em compensação um comprimento maior, resultando em outro volume de 
material. Portanto deve existir uma relação entre flecha e vão que resulte no 
menor volume de material. Essa relação depende do tipo de carregamento e 
encontra-se entre os seguintes limites: 
• 1/10<f / I<1/5 
 onde: f : flecha do cabo 
 I : vão do cabo. 
Exemplos de uso
Loja - São Paulo Conjunto comercial – São Paulo
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Sistemas Estruturais em Aço
Ponte em Jacaraípe - ES
Ponte em Jacaraípe - ES
Fábrica de papel - Nervi; Fonte Process n. 23
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Módulo4
Instituto de estruturas leves de Stuttgart- Frei Otto
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Sistemas Estruturais em Aço
8.2. Arcos
Vídeo – Arcos
Vídeo – Antifunicular
Vídeo – Empuxo no Arco e vínculo articulado
Comportamento
O uso do arco remonta a épocas remotas quando os materiais estruturais res-
tringiam-se a madeira e pedra. 
Os primeiros arcos eram executados com blocos que se apoiavam com um 
pequeno balanço em relação ao anterior. É o chamado arco falso. Esses arcos 
não permitiam vencer grandes vãos.
O arco verdadeiro, provavelmente surgiu da desestabilização do arco falso que 
resultou numa disposição dos blocos mais adequada para vãos maiores. O arco 
verdadeiro é resultado do empilhamento de diversos blocos, de maneira que 
o comprimento resultante seja maior que o vão a ser vencido. Desta maneira 
qualquer bloco para se dirigir ao solo sob a ação da gravidade deve provocar 
um “apertamento” nos dois blocos vizinhos, e assim sucessivamente. Manten-
do-se os apoios indeslocáveis, todo o sistema permanecerá submetido a com-
pressão, mantendo os blocos unidos e o arco íntegro.
Apesar de originalmente o arco ser um sistema estrutural submetido a com-
pressão, não se pode generalizar que ele constitui sempre uma estrutura onde 
só existem esforços de compressão. Isso nem sempre é verdade. Os esforços no 
arco podem variar de acordo com a forma de carregamento que incide sobre 
ele. 
Para entender essa relação será utilizado um modelo a partir de um cabo. 
O cabo, por não ter rigidez, só é capaz de absorver esforço de tração axial. 
Portanto em qualquer situação de carregamento pode-se afirmar que o cabo 
encontra-se submetido à tração simples. Outra característica importante dos 
cabos é que sua forma deformada muda de acordo com a quantidade e posição 
das cargas. A essa forma adquirida pelo cabo dá-se o nome de funicular, como 
vimos anteriormente.
Falso arco
Arco de pedra
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Módulo 4
Nos exemplos acima é sempre possível afirmar que no cabo existem apenas 
esforços de tração simples. 
Assim, se as formas funiculares forem invertida, usando uma barra rígida e 
mantendo o mesmo carregamento, resultarão em estruturas sobre as quais po-
de-se garantir estarem sujeitas apenas a compressão simples. Ou seja, para se 
ter um “arco” só comprimido, sob a ação de uma única carga concentrada, sua 
forma deverá ser triangular, que é o oposto do funicular dessa carga. 
Note que no último modelo o cabo, com cargas uniformemente distribuídas 
ao longo do seu comprimento, adquire uma forma funicular que é a curva 
denominada catenária. Invertida, ela nos dá o arco ideal para cargas de peso 
próprio (cargas iguais ao longo do comprimento do arco). 
Conclui-se, pois, que para se ter apenas esforços de compressão, a forma do 
arco deverá ser o inverso do funicular das forças a ele aplicadas. Esses arcos são 
chamados de arcos funiculares. Qualquer modificação no carregamento pro-
voca esforços de flexão, além de compressão axial. E como é sabido, o esforço 
de compressão axial é mais econômico que o de flexão, portanto é econômico 
evitar a flexão no arco. 
Um caso extremo é apresentado na figura a seguir. Um arco parabólico susten-
tando uma carga concentrada no meio do vão. 
Viu-se que a forma ideal para conduzir uma força concentrada aos apoios é o 
triângulo, o funicular da força. O arco obriga o carregamento a descrever um 
caminho mais longo, afastado da trajetória ideal. Isso provoca uma excentrici-
dade entre o caminho ideal e o fornecido pelo arco, o que fará surgir esforço 
de flexão, o qual para ser absorvido exige uma seção mais robusta para a peça 
e, portanto menos econômica. 
Deduz-se, portanto, que o arco torna-se uma estrutura econômica quando ele 
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Sistemas Estruturais em Aço
é o funicular das forças aplicadas. 
Vimos que no caso de arcos com carregamento uniforme ao longo da hori-
zontal, sua forma ideal é a parabólica, e que para arcos submetidos apenas ao 
seu peso próprio, a forma ideal é a catenária. Visualmente a diferença entre 
uma curva parabólica e catenária é quase imperceptível. Pode-se dizer que 
para arcos bastante abatidos as curvas são praticamente iguais. 
Normalmente os arcos são construídos com forma parabólica para facilitar 
a execução, seja para cargas uniformes ao longo da horizontal, seja para peso 
próprio. É claro que para estas últimas aparecerão esforços de flexão, mas, feliz-
mente, eles não chegam a influenciar as dimensões do arco. 
Tipos de arcos
Dependo da situação em que são usados ou do processo construtivo escolhido 
os arcos podem apresentar vínculos articulados ou engastados. Estes últimos 
são usados apenas em casos especiais, pois introduzem esforços de flexão. 
a) Arco tri-articulado 
É o tipo de arco mais utilizado, principalmente pela facilidade de execução. 
Como o próprio nome diz, esse tipo de arco apresenta três articulações, duas 
nos apoios e uma terceira normalmente localizada no centro. 
O arco tri-articulado apresenta uma grande vantagem construtiva. Cada tre-
cho entre as articulações pode vir pronto para montagem no canteiro. Além 
disso, caracterizam-se por uma boa adaptação a mudanças de forma geradas 
por dilatação térmica, deformações próprias, entre outras, pois as articulações 
permitem melhor acomodação das peças. 
Os arcos tri-articulados são isostáticos, o que facilita seu cálculo, mas em com-
pensação possuem seções mais robustas aumentando seu custo em relação aos 
outros tipos. 
Os arcos tri-articulados são os mais usados em estruturas metálicas. 
Atenção! 
Não existe arco tetra-articulado. Um arco com mais de três articulações é hi-
postático, ou seja, não é estável. 
b) Arco bi-articulado 
Esse tipo de arco apresenta articulações apenas nos apoios. Não tem a mesma 
versatilidade de acomodação às mudanças de forma do tri-articulado, portanto 
está mais sujeito ao aparecimento de esforços de flexão indesejados. 
É hiperestático, portanto admite menores dimensões de seção, resultando em 
menor consumo de material. 
Do ponto de vista construtivo, é menos interessante que o articulado. 
Os arcos biarticulados são mais usados em concreto armado. 
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Módulo 4
c) Arco biengastado 
Seu uso é bastante incomum e só acontece quando há necessidade expressa 
de ligação rígida nos apoios. É o tipo de arco que mais consome material, pois 
apresenta momentos fletores devidos ao engastamento. Por outro lado é muito 
estável e, por isso, é utilizado para arcos isolados. 
Os arcos biengastados são raros em estruturas de aço. 
A questão dos empuxos.
Um arco só é estável se seus apoios forem indeslocáveis, ou seja, articulados 
fixos. Se um dos apoios for móvel, o arco se transforma em uma viga parabó-
lica, onde predomina flexão. Com isso suas dimensões serão bem maiores, da 
ordem de cinco vezes, tornando a solução totalmente antieconômica. 
Todos os arcos, quaisquer que sejam suas formas, apresentam nos apoios a 
tendência de se deslocarem na horizontal, aplicando a eles forças horizontais, 
denominadas empuxos horizontais.
A intensidade dos empuxos é inversamente proporcional à flecha do arco. 
Denomina-se flecha do arco à sua altura no meio do vão. 
Sempre que possível os empuxos não devem ser transmitidos aos apoios. Em-
puxos em pilares provocam grandes flexões, que também são transmitidas às 
fundações, encarecendo a solução. 
Os empuxos horizontais nos arcos podem ser absorvidos por tirantes, descar-
regando nos apoios apenas forças verticais, resultando em pilares e fundações 
de menores dimensões. 
Por outro lado, o tirante pode ser um elemento indesejável no espaço interno 
da edificação, como, por exemplo, em quadras esportivas. Neste caso, os pilares 
serão responsáveis pela absorção das forças horizontais e ficarão submetidos a 
grandes esforços de flexão, o que exigirá deles maiores dimensões. Quando 
essa soluçãofor inevitável recomenda-se criatividade para absorvê-la na arqui-
tetura ou até mesmo tirar partido das novas dimensões resultantes. 
Os arcos em estruturas metálicas
Os arcos, em estruturas metálicas, podem ser de alma cheia, usando perfil I, 
H ou tubular. No entanto, essa solução deve ter uma justificativa muito forte, 
pois perfis de alma cheia para serem dobrados necessitam ser calandrados, ou 
em última instância compostos em pequenos trechos. Neste caso o custo da 
solução pode ser bastante elevado. 
Quando treliçados, com cantoneiras e perfis U, sua execução fica bastante sim-
plificada e com custos bem menores. Esta é a solução mais utilizada. 
Carga vertical provoca empuxos na base
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Sistemas Estruturais em Aço
Por serem usados em grandes vãos e estarem submetidos, predominantemente, 
a compressão simples, os arcos são sujeitos à flambagem, dentro e fora de seu 
plano, sendo muito instáveis, principalmente fora de seu plano. Para estabilizá-
los é necessário prever travamentos adequados, também conhecidos por con-
traventamentos.
Os contraventamentos têm a função de transmitir para a fundação qualquer 
força que apareça fora do plano do arco. Para isso cria-se toda uma estrutura 
treliçada, da qual o arco também faz parte. 
Para maior economia, as diagonais do contraventamento devem ser constituí-
das por barras exclusivamente tracionadas. Como não é possível prever qual a 
direção que garantirá tração na diagonal, elas são projetadas em X. 
As barras das diagonais do contraventamento são executadas com barras 
redondas ou cantoneiras simples. 
Pré-dimensionamento
Uso de fórmulas empíricas
a) Foi visto que quanto maior a flecha menor é o empuxo do arco, e, portan-
to, menos solicitado ele será. Logo um arco com uma grande flecha será mais 
esbelto. Em contrapartida um arco com grande flecha será mais longo, resul-
tado num volume grande de material. A flecha ideal será aquela que resulte 
no menor volume de material. 
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Módulo 4
Uso de gráficos
Exemplos de uso
Estádio Olímpico - Atenas
Passarela do Sistema de Trem Urbano – São Paulo
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Sistemas Estruturais em Aço
Shopping Center – Guarujá - SP
Estádio “Engenhão” - RJ
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Módulo 4
9.3 TRELIÇAS
Vídeo – Treliça
Vídeo – Treliça de banzos paralelos
Vídeo – Treliças : nomenclatura das barras
Vídeo – Treliças em aço: tração nas diagonais e pontos de apoio
Vídeo – Treliça de 2 águas ou tesoura
Vídeo – Treliças de banzos paralelos : modelos
Treliças Planas
Como se sabe, os esforços de tração simples e de compressão simples são es-
forços mais favoráveis que os de flexão por resultarem em seções estruturais 
mais econômicas. 
O ideal seria que as estruturas fossem submetidas apenas à tração simples, o 
que é impossível. Pois mesmo as estruturas em lona ou malha de cabos, que 
são submetidas apenas à tração simples, apresentam nos seus mastros de apoio 
compressão simples penas à tração simples, apresentam nos seus mastros de 
apoio compressão simples. 
Comportamento
Para entender o comportamento da treliça tome-se o modelo a da figura a 
seguir. Pode-se assumir o modelo como um “arco” funicular da carga con-
centrada. Daí deduz-se que as barras estão submetidas apenas a esforços de 
compressão simples e aplicam aos apoios forças horizontais (empuxos). 
Se os pilares forem articulados em sua base, tombarão sob a ação dos empuxos. 
Para evitar o tombamento dos pilares, tem-se como solução, a colocação de 
um tirante entre eles. 
Dessa maneira, têm-se as barras inclinadas submetidas a compressão simples e 
o tirante a tração simples. 
O resultado é uma estrutura estável formada por um triângulo e com barras 
submetidas apenas a esforços de tração e compressão axiais, logo uma estrutura 
bastante econômica. 
Suponha em seguida que existam dois vãos a vencer. A solução mais imediata 
é o uso de duas estruturas iguais às anteriores apoiadas entre pilares. 
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Sistemas Estruturais em Aço
Suponha agora, que para liberar o espaço interno, se retira o pilar central. A 
estrutura ficará instável e girará sobre seus apoios extremos, tendendo a se 
aproximar. 
Para restabelecer o equilíbrio será necessária a colocação de uma barra rígida 
na parte superior. Nessa situação a barra superior ficará submetida à compres-
são simples. A estrutura assim originada é uma treliça.
Portanto, pode-se definir a treliça como um sistema estrutural formado por 
barras que se unem em nós articulados, formando triângulos e sujeitas apenas 
a forças de compressão e tração axiais. 
Tipos de treliças
As treliças podem adquirir as mais diversas formas. Para se comportarem como 
treliças as barras devem formar triângulos e terem os nós articulados. Na prá-
tica, os nós dificilmente são executados como perfeitamente articulados. É 
necessário que as ligações entre as barras sejam projetadas de maneira a que se 
tornem menos rígidas possíveis. Na figura a seguir são apresentadas as treliças 
mais comuns. 
As barras dessas treliças recebem nomes especiais: as barras superiores e infe-
riores recebem o nome de banzos; as barras inclinadas de diagonais e as verti-
cais de montantes. 
As treliças a e b são comumente usadas para coberturas em duas águas. 
Quando invertidas podem ser usadas como vigas de cobertura e até de piso.
As treliças c e d, denominadas de treliças de banzos paralelos, são usadas como 
vigas, tanto para coberturas como pisos. A treliça f, de banzos paralelos, não 
apresenta montantes. Por ter menor quantidade de barras é sempre mais eco-
nômica, porém, nem sempre é possível seu uso, como será visto mais adiante. 
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Módulo 4
A direção de inclinação das diagonais é importante para garantir economia e 
um bom desempenho da treliça. No caso de estruturas em aço, é recomendá-
vel que as diagonais trabalhem sempre a tração. Isto se deve ao fato de serem 
as diagonais as barras mais longas da treliça e se submetidas a compressão 
apresentarem a tendência de flambar, principalmente por sua grande esbeltez, 
se forem em aço. Se submetidas à compressão deverão ser reforçadas o que 
aumenta o peso da treliça e em conseqüência seu custo. As treliças b e d são as 
mais indicadas para serem executadas em aço. 
Como já visto, as treliças são sistemas estruturais que se tornam econômicos 
por apresentarem apenas esforços axiais de compressão e tração. Por isso a 
ocorrência de flexão deve ser evitada. A aplicação de cargas fora dos nós da 
treliça resulta no aparecimento de momento fletor nas barras, o que não é 
aceitável do ponto de vista econômico. 
Apesar de consumir menos material que as vigas de alma cheia, as treliças de-
mandam mais mão-de-obra para sua execução. Como o que importa é o custo 
total, material e mão de obra, não é para qualquer vão que a treliça se torna 
uma solução econômica. Do ponto de vista prático a treliça metálica se torna 
econômica para vãos acima de 10 m. 
Os perfis mais usados nas barras das treliças são as cantoneiras duplas ou U. Em 
treliças para grandes vãos e cargas podem ser usados perfis I ou H. 
Pré-dimensionamento:
Uso de fórmulas empíricas. 
a) Quanto mais alta for a treliça, menores serão os esforços nas barras, mas, 
por outro lado, quando muito altas resultam num peso maior. As treliças mais 
econômicas são as que apresentam a relação entre altura da treliça e do vão 
compreendida entre 1/7 e 1/10. Em casos extremos podem ser utilizados va-
lores entre 1/5 e 1/15, já não tão econômicos. 
Nem sempre o fator econômico é o critério decisivo na escolha da altura con-
veniente. Outros critérios, inclusive estéticos, podem se impor.
b) Diagonais muito inclinadas aumentam o peso da treliça e ao contrário 
provocam um comportamento inadequado da treliça. O ângulo de inclinação 
mais adequado deverá estar entre 30º e 60º, sendo o ideal 45º.
Em coberturas com estruturasmetálicas o espaçamento mais econômico en-
tre treliças é de 5,0 metros, podendo eventualmente ser aumentado para 6,0 
metros. 
Apesar de serem mais econômicas que as vigas de alma cheia, as treliças re-
sultam em alturas bem maiores, alcançando o dobro (ver critérios de pré-
dimensionamento). Por isso, quando o projeto exigir limitação na altura da 
viga, pode-se optar, mesmo para grandes vãos, pela viga de alma cheia, apesar 
de mais cara. 
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Sistemas Estruturais em Aço
Uso de gráficos:
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Módulo 4
Exemplos de uso
TRE – Salvador – BA
Passarela
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Sistemas Estruturais em Aço
TCU – Salvador - BA
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Módulo 4
Colégio – São Paulo - SP
Distrito Naval – São Paulo - SP
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Sistemas Estruturais em Aço
Cobertura de cinema em Shopping Center
Cobertura de cinema em Shopping Center
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Módulo 4
Casa do Comercio – Salvador - BA
Hotel Cesar Park – Guarulhos - SP
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Sistemas Estruturais em Aço
Ambev – Diadema – SP
Academia de Squash
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Módulo 4
Shopping Center – Uberlândia – SP
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Sistemas Estruturais em Aço
Parte 2 - Os Sistemas Estruturais em Aço
8.4. Viga Vierendeel
Vídeo – Viga Vierendeel
Vídeo – Viga Vierendeel : quadro rígido
Vídeo – Viga Viereendel : esforços e forma
Vídeo – Viga Viereendel e viga alveolar
Viga Vierendeel
A viga vierendeel é uma viga de alma vazada. Ela é composta por barras que 
se encontram em nós. A viga vierendeel pode ser considera uma parente da 
treliça, mas apresenta comportamento bastante diferente. 
Comportamento
Apesar de visualmente parecer, uma viga vierendeel não é o conjunto de duas 
vigas, uma superior, apoiada em vários pilares e uma inferior que recebe a car-
ga desses pilares e vence o vão total. Se assim fosse, a viga vierendeel não apre-
sentaria vantagens, pois teria dimensões maiores, com custos mais elevados. 
Para entender o comportamento da viga vierendeel, observe as situações mos-
tradas nas figuras a seguir.
Sistemas Estruturais em Aço
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Módulo 4
Na primeira situação, ao se aplicar a força sobre a estrutura, apenas a viga su-
perior se deforma, não transmitindo qualquer esforço de flexão para as demais 
barras, pois todos os nós são articulados. Os montantes verticais recebem ape-
nas força de compressão. 
Na segunda situação, por serem os nós rígidos, a flexão da viga superior é 
transmitida aos montantes. Devido a resistência à deformação aplicada por eles 
à viga, sua deformação é menor que na primeira situação, sendo, portanto, me-
nos solicitada. Neste caso tem-se o tradicional pórtico. Sendo os nós inferiores 
articulados, nenhum esforço de flexão é transmitido à viga inferior, mas apenas 
tração simples, devida à tendência de afastamento das pernas do pórtico. 
Na terceira situação o nó inferior é enrijecido. Desta maneira a deformação 
dos montantes é diminuída devido a resistência oferecida pela viga inferior, 
logo, eles também ficam menos solicitados. Com isso os pilares passam a ofere-
cer resistência maior ainda à deformação da viga superior, que fica menos so-
licitada ainda. Dessa maneira todas as barras ficam solicitadas, resultando num 
esforço máximo menor que em qualquer das situações anteriores. 
29
Sistemas Estruturais em Aço
O aumento do número de montantes faz com que as deformações sejam 
menores, deixando as barras menos solicitadas. A estrutura resultante é a viga 
vierendeel. Do raciocínio acima se pode concluir que, para existir uma viga 
vierendeel, é necessário que as barras que a formam sejam rigidamente ligadas 
nos nós. 
As barras horizontais da viga vierendeel recebem o nome de membruras e 
as verticais de montantes. As barras da membrura superior são solicitadas por 
compressão axial, momento fletor e força cortante. As barras da membrura 
inferior são solicitadas por tração axial, momento fletor e força cortante. Os 
montantes são solicitados por compressão axial, momento fletor e força cor-
tante. 
Um outro modelo para explicar o comportamento da viga vierendeel parte 
da treliça, da qual se subtraem as diagonais. Com isso os retângulos formados 
pelos banzos e montantes, por terem os nós articulados, tornam-se instáveis e 
tendem a se transformar em losangos. Isso se deve ao efeito da força cortante 
longitudinal que tende a fazer escorregar o banzo superior em relação ao 
inferior. 
Esse efeito, na treliça, era absorvido pelas diagonais, que formando triângulos 
não permitiam a deformação do retângulo. Com a perda das diagonais uma 
outra forma de manter a figura retangular indeformada é enrigecendo seus 
nós. Ao se proceder dessa maneira, os retângulos tornam-se indeformáveis e 
a viga como um todo se estabiliza, resultado em um novo sistema estrutural: 
a viga vierendeel. Como a viga vierendel, para se estabilizar, desenvolve mo-
mento fletor em suas barras (devido à rigidez nos nós), ela é menos econômica 
que a treliça. 
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Módulo 4
Critérios de uso
A viga vierendeel é usada em situações em que se necessita de vigas com 
grandes aberturas em suas almas para possibilitar a passagem de tubulações ou, 
ainda, para permitir ventilação e iluminação do ambiente. 
Os usos mais comuns de viga vierendeel são: 
• Vigas de transição
São vigas que transferem as cargas de pilares mais próximos para outros mais 
afastados. A viga de transição é normalmente localizada no primeiro pavimen-
to do edifício. Em edifícios altos, a viga de transição pode chegar a ter a altura 
de um pé-direito. 
• Vigas de passarelas
Sustentam simultaneamente cobertura e piso. 
Passarela na Linha Amarela – Rio de Janeiro
No caso da viga de passarela, a viga vierendeel permite o uso de uma viga alta 
capaz de vencer um grande vão e sem obstruir a passagem de iluminação e 
ventilação para dentro da passarela, tornando mais agradável sua travessia. 
• Vigas que apresentam grandes alturas e precisam ser vazadas, seja por questão 
funcional seja para diminuir seu peso próprio, seja, até mesmo, por questões 
estéticas. 
31
Sistemas Estruturais em Aço
A forma dos vazios pode ser qualquer, inclusive circular, conforme mostra a 
figura a seguir. 
A segunda solução da figura é a viga alveolar ou castelo. A viga vierendeel al-
veolar ou castelo é obtida a partir de cortes convenientemente executados em 
perfis “I” ou “H” e posterior soldagem, conforme mostra a figura abaixo.
32
Módulo 4
Uma viga assim executada pode alcançar uma resistência bem maior que a 
original, sem alteração em seu peso próprio. 
Como foi visto pelo modelo de vierendeel criado a partir da treliça, a tendên-
cia de escorregamento é maior do apoio para o centro do vão, ou seja, varia 
conforme varia a força cortante. Por isso os montantes e as membruras são 
mais solicitados junto aos apoios. Se a intenção for aliar a forma da viga ao 
seu melhor desempenho estático-econômico, deve-se aumentar as dimensões 
dos elementos mais próximos dos apoios. Com isso, resulta que as aberturas 
deverão ser variáveis diminuindo do centro para os apoios da viga, como a 
figura abaixo. 
As barras das vigas Vierendeel em aço são executadas com perfis “I” ou “H”, 
devido a sua resistência a flexão e compressão, esforços predominantes nessas 
barras. 
Pré dimensionamento
Uso de fórmulas empíricas.
33
Sistemas Estruturais em Aço
h 10 % do vão para cargas pequenas
h 12 % do vão para cargas médias
h 14 % do vão para cargas grandes
h´ h/6 a h/4 (altura das barras)
A largura das barras é de 60 % a 100% de h’. 
Para um melhor funcionamento, a viga vierendeel deve ter a distância entre 
montantes igual ou inferior a sua altura. Porém, admite-se, em caso extremo, 
uma distância igual a 1,5 da altura. 
Uso de gráfico
8.5. Viga de alma cheia
Vídeo – Viga de alma cheia
Vídeo – Viga de alma cheia balanço
Vídeo – Relação de vãos econômicosChama-se alma de uma viga a parte vertical de sua seção. Chamam-se vigas 
de alma cheia aquelas que não apresentam vazios em sua alma. Provavelmen-
te, as primeiras vigas de alma cheia utilizadas pelo homem foram troncos de 
árvores e devem ter sido “projetadas” na tentativa de constituir espaços total-
mente aproveitáveis entre apoios e possibilitar a criação de um piso elevado. 
São as vigas mais comuns. 
Entretanto, ao lado da vantagem oferecida, em termos de aproveitamento 
de espaço, a viga é um dos elementos estruturais mais solicitados em termos 
de esforços, pois precisa apresentar condições de transmitir aos apoios forças 
predominantemente verticais, através de um caminho geralmente horizontal.
Esse “desvio” de 90° no caminho das forças exige muito da peça, o que acaba 
por gerar maiores dimensões de seção. 
34
Módulo 4
Comportamento
Pode-se dizer, usando um modelo mais simplificado e visualmente mais inte-
ligível, que as vigas são barras que quando carregadas transversalmente estão 
sujeitas a esforços de flexão: momento fletor e força cortante. Na verdade, o 
comportamento real de uma viga é mais complexo. O comportamento mais 
próximo do real pode ser imaginado como a existência de “arcos internos 
atirantados”, ou seja, tudo se passa como se dentro da viga existissem arcos 
comprimidos e tirantes tracionados. Na verdade são linhas sobre as quais es-
tão localizadas as tensões principais de compressão e tração. Ao longo dessas 
localizam-se as tensões de intensidades iguais. Elas recebem o nome de linhas 
isostáticas. Pode-se fazer uma analogia entre as linhas isostáticas e as curvas de 
níveis topográficas. Nestas encontram-se os pontos de mesmo nível, naquelas 
as tensões de mesmo valor. A figura abaixo mostra como se distribuem essas 
linhas. 
35
Sistemas Estruturais em Aço
Critérios de uso
As vigas de alma cheia são mais pesadas que as treliças, mas por outro lado 
apresentam alturas menores. 
Em estruturas de aço as vigas de alma cheia são econômicas para vãos até 10 
m. O que não impede que por outras razões, tais como altura estrutural ou 
rapidez de execução, não se use vigas de alma cheia para vãos maiores. Há 
edifícações em que essas vigas vencem vãos de mais de 25 m. 
Nas estruturas metálicas as ligações entre vigas e pilares podem ser articuladas 
ou rígidas. A opção por uma ou outra solução depende do modelo adotado 
para o comportamento da estrutura. As ligações viga x viga são, normalmente, 
adotadas como articuladas. 
Conforme a quantidade de vãos e posição dos apoios, as vigas podem ser clas-
sificadas em vigas bi-apoiadas, com ou sem balanços e vigas contínuas com ou 
sem balanços. A figura a seguir mostra exemplos destes tipos de vigas. 
O uso de balanços, quando bem dosado, torna-se um aliado na diminuição dos 
esforços nas vigas. Existem relações apropriadas entre balanços e vãos centrais 
que tornam mínimo o esforço de flexão na viga. 
Para determinar a relação ideal entre balanços e vãos centrais imagine-se, ini-
cialmente, uma viga bi-apoiada carregada com carga uniforme. Esta viga apre-
senta momentos fletores variáveis ao longo do vão, com seu máximo no meio. 
Se um dos apoios é empurrado na direção do centro do vão, criando um pe-
queno balanço, aparecem momentos negativos. É óbvio que esses momentos 
irão aliviar os momentos positivos ao longo do vão. Conforme se aumenta o 
balanço, cresce o momento negativo e diminui o positivo, até o ponto em que 
o momento negativo supera o positivo. A situação em que se tem o menor 
esforço de flexão na viga é quando o momento negativo é igual ao positivo. 
Esta situação ocorre quando se tem, aproximadamente, 5/7 do comprimento 
da viga como vão central e 2/7 como balanço. No caso de dois balanços essa 
situação ocorre quando se tem 1/5 do comprimento da viga nos balanços e 
3/5 no vão central. 
36
O perfil utilizado em vigas de alma cheia é predominantemente o perfil I. 
Para vigas pouco solicitadas pode-se, por questão de economia, usar perfil U. 
Atenção especial deve ser dada a esse perfil, pois como ele não é simétrico 
em relação ao eixo vertical, pode sofrer torção, por efeito das forças cortantes 
longitudinais. Como não é fácil aplicar a carga no denominado centro de cisa-
lhamento, quando, então, não haveria torção, recomenda-se travar lateralmente 
esse perfil com outros que possam absorver a torção. 
Módulo 4
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Pré-dimensionamento
Uso de fórmulas empíricas 
Vigas biapoiadas sem balanço. 
h= 4 % do vão, para cargas pequenas
h= 5 % do vão, para cargas médias
h= 6 % do vão, para cargas grandes
A idéia de pequena, média ou grande carga não tem limites precisos. Na dú-
vida usa-se o valor maior. Grosso modo, pode-se considerar como pequena 
carga a existência de laje apoiada apenas em um lado da viga e a inexistência 
de alvenaria. Carga média seria a existência de lajes nos dois lados da viga e de 
alvenaria. Pode-se considerar grande carga aquela que, além das lajes e alvena-
ria, apresenta cargas de outras vigas apoiadas sobre ela. 
A largura da viga deve variar entre 40 e 60 % da sua altura. 
Vigas biapoiadas com balanços
Neste caso, verifica-se a altura da viga, tanto pelo vão quanto pelo balanço, 
utilizando as regras anteriores para o vão e as que vêm a seguir para o balanço. 
Adota-se como altura da viga o maior dos dois valores. 
Sistemas Estruturais em Aço
38
Caso seja interessante ou necessário, pode-se adotar alturas diferentes para ba-
lanço e vão central. Neste caso, apesar de economia de material, tem-se maio-
res dificuldades construtivas. 
A altura do balanço é pré-dimensionada com as seguintes relações: 
h= 8 % do balanço, para cargas pequenas
h= 10 % do balanço, para cargas médias
h= 12 % do balanço, para cargas grandes
A largura da viga segue o mesmo critério das situações anteriores. 
Vigas contínuas sem balanço
h= 3,5 % do maior vão, para cargas pequenas
h= 4,5 % do maior vão, para cargas médias
h= 5,5 % do maior vão, para cargas grandes
Quanto à largura prevalecem os valores adotados nos itens anteriores. 
Vigas contínuas com balanço
Verifica-se a altura da viga pelo vão conforme item anterior e pelo balanço. 
Adota-se o maior valor. Para largura adotam-se as relações anteriores.
Módulo 4
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Uso de gráfico
Vigas de alma cheia com seção especial.
Quando necessário, principalmente em vigas mistas (link para modulo 3 – 
pág 16 – Viga Mista), pode-se utilizar perfis especiais, com mesas de largura e 
espessuras diferentes. Como a laje de concreto colabora a compressão, a mesa 
superior pode ser menor para tornar o perfil mais leve e econômico. 
Viga mista com perfil especial
Para pré-dimensionamento dessas vigas, usam-se os mesmos valores anterio-
res, usando um fator de correção de 0,8. 
Passagem de tubulações nas vigas.
Furos adequadamente localizados e de dimensões que não afetem o compor-
tamento da viga poderão ser efetuados. Os furos circulares são preferíveis aos 
Sistemas Estruturais em Aço
40
retangulares. De maneira geral as vigas metálicas suportam furos tanto junto 
aos apoios como no meio do vão. Nos apoios os furos devem ser localiza-
dos do eixo longitudinal da viga para baixo, no meio do vão o furo deve se 
localizar junto à linha neutra. Desde que a altura do furo não ultrapasse a 1/3 
da altura do perfil não há necessidade de reforços. O comprimento dos furos 
não deve ultrapassar a 3 vezes sua altura, sendo ideal ser inferior a duas vezes. 
Módulo 4
41
Parte 3 - Os Sistemas Estruturais em Aço
8.6. pilares
Vídeo – Pilares
Como é sabido, a grande preocupação no trato com pilares, principalmen-
te em estruturas de aço, encontra-se no fenômeno da flambagem. Um bom 
projeto pensa no adequado travamento dos pilares, com vigas e contraventa-
mentos. É também importante considerar a direção emque se coloca o pilar, 
para que sua direção mais rígida coincida com aquela em que o travamento 
é menos eficiente. É bom lembrar ainda que os pilares, além de compressão 
simples, podem estar sujeitos à flexão quando solicitados por forças horizon-
tais. Diz-se, neste caso que o pilar está sujeito à flexão composta (flexão + 
compressão simples). 
Os perfis mais comuns utilizados em estruturas de aço são o perfil H e os tubu-
lares. O primeiro apresenta a vantagem de ser aberto, facilitando a ligação com 
as vigas e sua manutenção. Os segundos apresentam a vantagem de grande 
rigidez, mas tem contra si a maior dificuldade na concepção das ligações e o 
problema da deterioração ocorrer de dentro para fora, dificultando o aspecto 
da manutenção. 
Sistemas Estruturais em Aço
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Pré-dimensionamento
Uso de fórmula empírica 
• A seção = P / 700 ( cm² ) 
Onde: 
• A seção: área necessária para a seção do pilar em cm² 
• P: carga atuante no pilar em kgf, obtida por área de influência 
Para a determinação da carga atuante no pilar usa-se o processo da área de 
influência. Área de influência é a área de carga hipoteticamente depositada 
em cada pilar. Para determiná-la parte-se do fato de que dois pilares contíguos 
recebem, cada um, uma parcela de carga proporcional a metade da distância 
entre eles. Portanto a área de influência é determinada pelos comprimentos 
correspondentes a metade das distâncias entre os pilares em ambas as dire-
ções. 
Para determinar a carga que incide sobre os pilares multiplicam-se suas respec-
tivas áreas de influência por uma carga hipoteticamente distribuída sobre toda 
a área do edifício. Essa carga engloba as cargas de peso próprio, sobrecargas e 
alvenarias. Os valores dessa carga são:
Para piso 700 kgf / m²
Para cobertura 400 kgf / m²
Os valores acima são as médias obtidas nas edificações, podendo ser au-
mentados ou diminuídos em casos especiais, e conforme nosso bom senso 
recomendar. 
Quando o edifício for alto, a carga devida a área de influência, em cada pavi-
mento, deverá ser multiplicada pelos números de pavimentos acima do pilar. 
Resumindo a determinação da carga em um pilar qualquer é dada por: 
Onde:
P = carga no pilar
Ainf = área de influência do pilar
n = número de pavimentos
qpiso = 800 kgf / m²
Módulo 4
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Uso de Gráfico
Sistemas Estruturais em Aço
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Cidade do Samba – Rio de Janeiro
Edifício Comercial – São Paulo
Residência – São Paulo
Módulo 4
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Edifício Comercial – São Paulo
Sistemas Estruturais em Aço
Universidade - Uberlândia
Edifício Garagem – Flamboyant Shopping - Goiânia
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Shopping Estação – Curitiba
Módulo 4
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Sistemas Estruturais em Aço
Pilares muito esbeltos, criando transparência
CEA – São Paulo
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Sede da Açotubo - Guarulhos
Módulo 4
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Sistemas Estruturais em Aço