Aula 11

Prévia do material em texto

INTEGRAÇÃO 
NUMÉRICA – REGRA 
DOS TRAPÉZIOS
Engenharia de Produção/3º período
Fabiana Rhodes - 2016
Integração Numérica
Seja f(x) contínua em [a,b]. Então pelo teorema fundamento do cálculo
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Onde 𝐹´ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Em alguns casos, o valor de F(x) não é conhecido ou de fácil obtenção, o que dificulta ou 
mesmo impossibilita o cálculo da integral 
Ex.:
 0
1
𝑒𝑥
−2
𝑑𝑥 1
3
1 + ln 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 0
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Fabiana Rhodes - 2016
xi 0 1 2 3 4 5
yi 0,12 0,14 0,16 0,19 0,25 0,31
Regra dos Trapézios
Este método de integração numérica consiste em dividir a área 
sob a função em trapézios e somar a área dos trapézios 
individuais. 
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓0 + 𝑓1
2
ℎ +
𝑓1 + 𝑓2
2
ℎ +
𝑓2 + 𝑓3
2
ℎ + ⋯
Fabiana Rhodes - 2016
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
ℎ
2
[𝑓0 + 2 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛]
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝜀 =
(𝑏 − 𝑎)3
12𝑛2
𝑓``(𝑥)
Variação dos 
intervalos
Erro de 
integração
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Regra dos Trapézios 
Exemplo: Dada a integral 𝐼 = 0
1
𝑒𝑥𝑑𝑥
a) Calcule usando a regra dos Trapézios uma estimativa para a integral, usando 10 
subintervalos e estime o erro cometido.
b) Qual o número mínimo de subdivisões que deve ter o intervalo [a,b], de modo 
que o erro seja inferior a 10-3?
Fabiana Rhodes - 2016
Regra dos Trapézios 
Exercícios
1) A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é 
dada pela função 𝐹 𝑡 = 8𝑒−𝑡
𝐼(𝑎)
𝜋
para 𝑡 ≥ 𝑎, em que 𝐼 𝑎 = 1
2
𝑓 𝑥, 𝑎 𝑑𝑥 com 
𝑓 𝑥, 𝑎 =
𝑒𝑎𝑥
𝑥
Calcule I(1) usando a regra dos trapézios com erro de truncamento inferior a 0,05.
Fabiana Rhodes - 2016
Regra dos Trapézios 
Exercícios
2) Calcular pela regra do Trapézio 0
4
ln 𝑥 + 1 𝑑𝑥, usando 5 pontos.
3) Calcule a integral 1
4
𝑥𝑑𝑥 pela regra do Trapézio usando 4 subdivisões e determine o 
erro.
Fabiana Rhodes - 2016