EDO Linear Coeficientes Constantes

Prévia do material em texto

Equac¸o˜es Diferenciais Lineares com
Coeficientes Constantes
Prof. Marcel Nascimento
Na aula anterior vimos conceitos e considerac¸o˜es gerais acerca do estudo de equac¸o˜es
lineares de Ordem n, e finalizamos trabalhando o Teorema da Soluc¸a˜o Geral de uma
EDO Linear Homogeˆnea. Neste cap´ıtulo, mostraremos como este importante teorema
e´ aplica´vel para resoluc¸a˜o em equac¸o˜es lineares com coeficientes constantes.
Equac¸o˜es Homogeˆneas de 2a ordem com Coeficientes
Constantes
Vamos estudar as equac¸o˜es
ay′′ + by′ + cy = 0
com a, b, c ∈ R (constantes). Lembremos que o teorema da soluc¸a˜o geral se aplica aqui,
uma vez que estamos diante de uma EDO Linear Homogeˆnea. Para tanto, estamos atra´s
de soluc¸o˜es ϕ1(x) e ϕ2(x) que sa˜o L.I. e procuramo-las na forma de func¸a˜o exponencial
y(x) = eλx, em que λ e´ uma constante a ser determinada. Assim, verificando as condic¸o˜es
de soluc¸a˜o para y(x), temos
a(eλx)′′ + b(eλx)′ + ceλx = 0,
fazendo as contas e calculando as derivadas, chegamos em
(aλ2 + bλ+ c)eλx = 0,
1
o que implica na equac¸a˜o quadra´tica
aλ2 + bλ+ c = 0. (1)
Esta e´ a chamada “Equac¸a˜o Caracter´ıstica” da equac¸a˜o linear homogeˆnea
ay′′ + by′ + cy = 0.
Designaremos por λ1 e λ2 as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica (1). Como esta e´ uma
equac¸a˜o quadra´tica, podemos fazer um estudo acerca de suas ra´ızes.
Teorema 1 (CASO 1 - Ra´ızes reais e distintas) Se as ra´ızes λ1 e λ2 sa˜o reais e
distintas, enta˜o a soluc¸a˜o geral de
ay′′ + by′ + cy = 0
e´ dada por
y(x) = Aeλ1x +Beλ2x,
em que A e B sa˜o constantes arbitra´rias.
Demonstrac¸a˜o: [Exerc´ıcio]
Exerc´ıcio 1 Encontre a soluc¸a˜o geral de
y′′ + y′ = 0.
Exerc´ıcio 2 Determinar a soluc¸a˜o geral de 2y′′ − 7y′ + 3y = 0.
Teorema 2 (CASO 2 - Ra´ızes reais iguais) Se λ1 = λ2, enta˜o a soluc¸a˜o geral da
equac¸a˜o
ay′′ + by′ + cy = 0
sera´
y(x) = Aeλ1x +Bxeλ1x = (A+Bx)eλ1x.
Demonstrac¸a˜o:[Exerc´ıcio]
2
Exerc´ıcio 3 Determinar soluc¸a˜o geral de
4y′′ + 4y′ + y = 0.
Teorema 3 (CASO 3 - Ra´ızes complexas e conjugadas) Se as ra´ızes da equac¸a˜o
caracter´ıstica de ay′′ + by′ + cy = 0 sa˜o complexas (logo, conjugadas), do tipo λ =
α± βi, (∀α, β ∈ R), enta˜o a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y(x) = eαx(A cos(βx) +Bsen(βx)), ∀A,B,∈ R.
Demonstrac¸a˜o:[Exerc´ıcio]
Exerc´ıcio 4 Achar soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o linear homogeˆnea
y′′ + ω2y = 0 (problema de oscilac¸o˜es lineares)
com ω ∈ R (constante).
Exerc´ıcio 5 Ache a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es:
1. y′′ − 4y′ + 5y = 0
2. y′′ + 4y′ + 5y = 0
Exerc´ıcio 6 Fac¸a a demonstrac¸a˜o dos 03 teoremas, referentes aos treˆs casos para o
Me´todo da Equac¸a˜o Caracter´ıstica.
Equac¸o˜es Homogeˆneas de n-e´sima Ordem com Coefi-
cientes Constantes
No caso geral, para resolver uma equac¸a˜o linear com coeficientes constantes de n-e´sima
ordem
any
(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a2y′′ + a1y′ + a0y = 0 (2)
com ai, i = 0, 1, . . . , n sa˜o constantes reais, devemos resolver uma equac¸a˜o polinomial de
grau n:
anλ
n + an−1λn−1 + · · ·+ a2λ2 + a1λ+ a0 = 0. (3)
3
O racioc´ınio e´ o mesmo comparado com o caso n = 2, feito anteriormente. E as
concluso˜es sa˜o similares:
Caso1 Se todas as ra´ızes do polinoˆmio (3) sa˜o reais e distintas, enta˜o a soluc¸a˜o geral para
a equac¸a˜o linear de n-e´sima ordem (2) e´
y(x) = c1e
λ1x + c2e
λ2x + · · ·+ cneλnx (4)
com c1, . . . , cn constantes arbitra´rias.
Observac¸a˜o 1 E´ pouco mais dif´ıcil resumir os ana´logos dos casos 2 e 3, estudados
para a equac¸a˜o de ordem 2, isto porque, para polinoˆmios de grau n ≥ 2, podem
ocorrer va´rias combinac¸o˜es. Uma equac¸a˜o polinomial de grau 5 pode ter 3 ra´ızes
reais e distintas e 2 ra´ızes reais iguais. Por isso, vamos condensar estes casos
levando em considerac¸a˜o a multiplicidade da raiz:
Caso2 Quando λ1 e´ uma raiz de multiplicidade k da equac¸a˜o caracter´ıstica (3) (ou seja, k
ra´ızes sa˜o iguais a λ1), enta˜o pode-se mostrar que as func¸o˜es
eλ1x, xeλ1x, x2eλ1x, . . . , xk−1eλ1x
sa˜o soluc¸o˜es L.I. da equac¸a˜o (2), e portanto a soluc¸a˜o geral de (2) conte´m a com-
binac¸a˜o linear
y(x) = c1e
λ1x + c2xe
λ1x + c3x
2eλ1x + · · ·+ ckxk−1eλ1x.
Exemplo 1 Resolver a equac¸a˜o
y′′′ + 3y′′ − 4y = 0.
4