AL-Transf-multilin

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Álgebra Linear 3._ Transformações Multilineares 
 Pág. 1 
TEORIA DOS DETERMINANTES 
Permutações 
 
Dado um conjunto com n objectos todos distintos, define-se 
permutação de n como o número de grupos que se podem 
constituir com os n objectos, diferindo uns dos outros pela ordem 
dos seus elementos. 
Pn = n (n-1) (n-2) (n-3) ... 1 = n! 
 
Consideremos o conjunto A = {1 2 3} 
O número de permutações que se podem constituir com os 3 
elementos do conjunto é igual a 3!= 3 * 2 * 1 = 6. 
Os grupos que se podem formar diferindo uns dos outros pela 
ordem dos seus elementos são : 
(1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) 
 
À permutação (1 2 3) em que os seus elementos se dispõem na 
ordem natural, dá-se o nome de permutação principal. 
Em qualquer permutação, se 2 elementos estão dispostos na 
ordem natural, diz-se que fazem uma permanência. Na 
permutação (1 3 2), o elemento 1 está antes do elemento 2. Os 
elementos 1 e 2 constituem uma permanência. 
Se numa permutação dois elementos não estão dispostos na 
ordem natural, diz-se que constituem uma inversão. Na 
permutação (1 3 2) os elementos 3 e 2 constituem uma inversão. 
 
CLASSE DE UMA PERMUTAÇÃO 
 
Para se obter a classe de uma permutação efectuam-se trocas entre 
elementos consecutivos até se reconstruir a permutação principal. 
Se o nº de inversões é par, a permutação é de classe par. Se o nº 
de inversões é ímpar, a permutação é de classe ímpar. 
 
Com n elementos obtém-se n! permutações, sendo 
2
!n de classe 
par e 
2
!n de classe ímpar. 
 
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 Pág. 2 
Definição de determinante 
 
Determinante de uma matriz de ordem n é o somatório dos seus 
termos. 
O termo de um determinante de ordem n é o produto de n 
elementos da matriz quadrada de tal forma que nesse produto 
entre um e um só elemento de cada linha e de cada coluna. Um 
termo é positivo ou negativo consoante a permutação que lhe dá 
origem é de classe par ou ímpar. 
 
Determinante de 2ª ordem 
 
Seja A uma matriz quadrada de 2ª ordem. 


=
2221
1211
aa
aa
A 
Representa-se o determinante da matriz A por det A ou |A|. 
Então 
2221
1211det
aa
aa
A = 
Os termos de um determinante obtêm-se efectuando as 
permutações possíveis entre linhas ou entre colunas. 
Efectuando as permutações entre colunas fixando as linhas vemos 
que com os elementos 1 e 2 podem efectuar-se as permutações 
(1,2) e (2,1). 
Fixando as linhas teremos (a11 ‚ a22) e (a12 ‚ a21) 
Sendo a permutação (1,2) de classe par o termo (a11 ‚ a22) é 
positivo; sendo a permutação (2,1) de classe ímpar o termo 
(a12 ‚ a21) é negativo. 
 
Deste modo o valor do determinante de 2ª ordem é dado por : 
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aa
A −== 
 
Nota: na prática multiplicam-se os elementos da diagonal 
principal e subtrai-se-lhe o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 
 
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 Pág. 3 
Determinante de 3ª ordem 
 
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem, matriz [A]. 
O determinante respectivo vem: 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = 
 
Agora fixamos as linhas e efectuamos as permutações entre as 
colunas 1, 2, 3. Temos assim 6 permutações: 
 
(1 2 3); (2 3 1); (3 1 2); 
(3 2 1); (1 3 2); (2 1 3). 
 
Abstraindo do sinal e fixadas as linhas obtemos os seis termos do 
determinante: 
 
(a11‚ a22 ‚ a33) (a12‚ a23 ‚ a31) (a13‚ a21 ‚ a32) 
(a13‚ a22 ‚ a31) (a11‚ a23 ‚ a32) (a12‚ a21 ‚ a33) 
 
Os três primeiros termos são positivos e os três últimos são 
negativos. Deste modo o valor do determinante é dado por : 
 
|A| = a11‚ a22 ‚ a33 + a12‚ a23 ‚ a31 + a13‚ a21 ‚ a32 − 
− a13‚ a22 ‚ a31 − a11‚ a23 ‚ a32 − a12‚ a21 ‚ a33 
 
Menor de um determinante 
 
É o determinante que se obtém de um determinante dado 
suprimindo o mesmo número de linhas e de colunas. 
 
Se um determinante é de ordem n, suprimindo p linhas e p 
colunas, obtém-se um determinante de ordem (n - p) que é um 
menor do determinante dado. 
 
 
 
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 Pág. 4 
Menor complementar de um elemento 
 
Chama-se menor complementar de um elemento aik de um 
determinante, ao determinante que se obtém, suprimindo a linha e 
a coluna a que pertence esse elemento (linha i e coluna k). 
 
Se um determinante é de ordem n, o menor complementar é de 
ordem (n - 1). 
Representa-se o menor complementar de aik por Mik. 
 
Complemento Algébrico de um elemento 
 
É igual ao menor complementar ou ao seu simétrico, consoante a 
soma dos índices do elemento é par ou ímpar. 
 
Representa-se o complemento algébrico de aik por Aik. 
Desta forma temos que 
Aik = (-1)i+k Mik 
 
 
Menor principal 
 
Um menor diz-se principal se a diagonal é constituída por 
elementos principais do determinante dado. 
 
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Teorema de Laplace 
 
Um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de 
uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos complementos 
algébricos. 
 
Consideremos um determinante de 3ª ordem 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = 
 
Aplicando a Regra de Sarrus obtemos o valor do determinante. 
 
|A|=a11‚a22‚a33+a12‚a23‚a31+a13‚a21‚a32−a13‚a22‚a31−a11‚a23‚a32−a12‚a21‚a33 
 
|A|=a11(a22‚a33−a23‚a32) +a12(a23‚a31−a21‚a33)+a13(a21‚a32−a22‚a31) 
 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA ⋅+⋅−⋅= 
 
|A|=a11‚A11 +a12‚A12+a13‚A13 
 
Qualquer que seja a ordem do determinante e qualquer que seja a 
linha ou coluna, procede-se de igual modo. 
 
Aplicando o Teorema de Laplace baixa-se a ordem do 
determinante. 
 
Cálculo abreviado de um determinante 
 
A aplicação sucessiva do Teorema de Laplace permite-nos 
determinar o valor de um determinante de qualquer ordem. 
Trata-se porém de um processo moroso, basta atender a que de 
um determinante de 5ª ordem se obtêm 5 determinantes de 4ª 
ordem e consequentemente 20 determinantes de 3ª ordem. 
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 Pág. 6 
Antes de se aplicar o Teorema de Laplace a um determinante de 
ordem n, reduzem-se a zero (n-1) elementos de uma fila, de 
acordo com as propriedades dos determinantes; a este processo 
dá-se o nome de Cálculo Abreviado. 
 
Corolário do Teorema de Laplace 
 
Se num determinante multiplicarmos os elementos duma fila 
pelos correspondentes complementos algébricos de outra fila 
paralela, a soma obtida é nula. 
 
Seja ijaD = (i, j = 1, 2, ... n), temos: 
0
1
=
=
=
∑nk
k
jkAika 
 
Teorema de Laplace generalizado 
 
Todo o determinante é igual à soma algébrica dos produtos que se 
obtêm multiplicando todos os menores de ordem p, contidos em p 
filas paralelas, pelos correspondentes complementos algébricos. 
 
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 Pág. 7 
Matriz Adjunta 
 
Matriz adjunta de uma matriz é a matriz transposta da matriz que 
se obtém substituindo cada elemento pelo respectivo 
complemento algébrico. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n 
 
A =








nnanana
naaa
naaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
 
 
 
A matriz adjunta, que se representa por Adj A, vem: 
 
Adj A =








nnAnAnA
naAA
nAAA
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
 
 
Se multiplicarmos a matriz A pela sua adjunta 
 
A ⋅ Adj A = 








nnanana
naaa
naaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
⋅ 








nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
 
 
 








++++++
++++++
++++++
=
nnAnnanAnanAnnaAnanAnnaAnannAnanAanAnaAanAnaAa
nnAnanAanAnaAanAnaAa
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
1122111111
2121222121121121
1111212111111111
 
 
 
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a det A 
(Teorema de Laplace). Os restantes elementos são todos nulos 
(Corolário do Teorema de Laplace). Temos assim: 
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 Pág. 8 
 
A ⋅ Adj A = 








A
A
A
det00
0det0
00det
L
LLLL
L
L
 
 
A ⋅ Adj A = det A ⋅ I ⇒ 
A-1 ⋅ A ⋅ Adj A = A-1 ⋅ det A ⋅ I ⇒ 
Adj A = A-1 ⋅ det A 
adjA
A
A ⋅=−
det
11 
 
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Determinante Simétrico 
 
Diz-se que um determinante é simétrico, quando os elementos 
simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são 
iguais. 
29133
13146
365
 
 
Determinante Hemi-Simétrico 
 
Diz-se que um determinante é hemi-simétrico, se os elementos 
dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são 
simétricos e os elementos principais são nulos. 
 
043
402
320
−
−
−
 
 
Propriedade 
Qualquer determinante hemi-simétrico de ordem ímpar é nulo. 
 
Matriz Regular 
É a matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero. 
07
302
132
121
≠=⇒







 −
= AA 
 
Matriz Singular 
É a matriz quadrada cujo determinante é igual a zero. 
 
0
053
132
121
=⇒







 −
= BB 
 
 
 
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Derivada de um determinante 
 
A derivada do determinante de A, atendendo à definição de 
determinante, obtém-se aplicando as regras de derivação da soma 
e do produto. 
 
Considere-se um determinante de 2ª ordem 
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
A −== 
 
Aplicando as regras de derivação vem 
)'21(1221)'12()'22(1122)'11( aaaaaaaaAdx
d −−+= 
= 
)'22()'21(
1211
2221
)'12()'11(
aa
aa
aa
aa + 
 
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EQUAÇÕES LINEARES 
 
Consideremos o sistema de n equações lineares e n incógnitas: 
 



=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
 
 
Na forma matricial, pode-se escrever: 
AX = B ⇒ X = A-1B ⇒ BadjA
A
X ⋅⋅=
det
1 
Esta expressão pode ser escrita: 








⋅








=








nb
b
b
nnAnAnA
nAAA
nAAA
A
nx
x
x
M
L
LLLL
L
L
M
2
1
21
22212
12111
det
12
1
 
Desenvolvendo este produto, matricialmente, obtem-se: 
)2211(det
1
..............................................................
)2222112(det
1
2
)1221111(det
1
1
nbnnAbnAbnAAn
x
nbnAbAbAA
x
nbnAbAbAA
x
+++=
+++=
+++=
L
L
L
 
 de onde se conclui: 
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nnanana
naaa
naaa
nbnana
baa
baa
nx
nnanana
naaa
naaa
nnananb
naab
naab
x
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
2
2222
1121
1 == 
Se num sistema cuja matriz é A, det A ≠ 0, o sistema diz-se de 
Cramer. 
 
Regra de Cramer 
Num sistema de Cramer, o valor de cada incógnita é igual ao 
quociente entre dois determinantes. O determinante denominador 
é o determinante do sistema, o numerador obtém-se do 
denominador substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita 
que se quer determinar, pelos termos independentes depois de 
transpostos ao segundo membro. 
 
Resolução de um sistema de equações lineares pelo método dos 
determinantes. 
Dado um sistema de m equações e n incógnitas, procura-se o 
maior determinante em ordem, que se pode extrair da matriz do 
sistema, e que seja diferente de zero, a que se dá o nome de 
determinante principal do sistema. Vamos representá-lo por p∆ . 
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 Pág. 13 
Classificação das equações e incógnitas 
As equações cujos coeficientes estão representados no 
determinante principal, chamam-se equações principais. As 
restantes equações (se as houver) são equações não principais. 
As incógnitas cujos coeficientes estão representados no 
determinante principal, chamam-se incógnitas principais. As 
restantes incógnitas (se as houver) são incógnitas não principais. 
 
 
Determinante Característico 
Chama-se determinante característico, e representa-se por c∆ , ao 
determinante que se obtém orlando o determinante principal com 
uma linha e uma coluna. 
A linha é constituída pelos coeficientes correspondentes de uma 
equação não principal. A coluna é constituída pelos termos 
independentes correspondentes. 
Há tantos determinantes característicos quantas as equações não 
principais. 
 
Teorema: • Se todos os determinantes característicos são nulos, 
ou não existem, o sistema é compatível. 
 • O sistema é determinado se todas as incógnitas são 
principais; e indeterminado se há incógnitas não 
principais. 
 • Se alguns dos determinantes característicos é 
diferente de zero, o sistema é impossível.