AP1 Matemática Financeira e Análise de Investimento 2014.1

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U�IVERSIDADE FEDERAL FLUMI�E�SE – PÓLO U�IVERSITÁRIO DE VOLTA REDO�DA 
I�STITUTO DE CIÊ�CIAS HUMA�AS E SOCIAIS – ICHS 
PROGRAMA �ACIO�AL DE FORMAÇÃO EM ADMI�ISTRAÇÃO PÚBLICA – P�AP/UAB 
BACHALERADO EM ADMI�ISTRAÇÃO PÚBLICA 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Avaliação Presencial – AP 1 - Período – 2014-1 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de Investimento 
Coordenador da Disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
GABARITO 
1ª QUESTÃO (1,0 ponto) 
Um capital aplicado por quatro anos rendeu juro total igual a 50% do capital inicial. 
Determine a taxa de juros compostos dessa operação. 
Resolução: 
C = $ 100 
J = $ 50 (50% do capital) 
M = 150 = 100 + 50 
n = 4 anos 
i = ? 
 
150 = 100 x (1 + i)4 
150/100 = (1 + i)4 
1+i = (1,5)1/4 
i = 1,1067 – 1 = 0,1067 = 10,67% a.a. (taxa anual, mas como não foi estabelecida a unidade da taxa, 
a resposta também poderia ser mensal, diária, trimestral, etc.). 
 
2ª QUESTÃO (1,5 ponto) 
Até o mês de maio de 2012, o rendimento da poupança era dado pela taxa nominal de 6 % 
a.a, capitalizados mensalmente, mais TR. Determine as taxas efetivas mensal e anual, sem 
considerar a TR. 
Resolução: 
6% ao ano capitalizados mensalmente (unidades diferentes = taxa nominal) 
1- Cálculo da taxa proporcional correspondente: it = 6 / 12 = 0,50% a. m. (taxa efetiva mensal); 
2- Para o cálculo da taxa efetiva anual equivalente, utiliza-se a seguinte fórmula da equivalência de 
taxas em juros compostos: 
(1 + ia)
1 = (1 + is)
2 = (1 + iq)
3 = (1 + it)
4 = (1 + ib)
6 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360 
* Dica: 1 ano -� 12 meses � (1 + ia)
1 = (1 + im)
12 
 
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12 
� (1 + ia)
1 = (1 + 0,005)12 � (1 + ia)
1 = 1,0617 � ia
 = 1,0617 – 1 � ia = 
0,0617 = 6,17% a.a. (taxa efetiva anual); 
 
Observação: Conforme a página 82 do Material Didático: “O mercado financeiro costuma divulgar 
suas taxas de juros em bases anuais nominais; nesses casos, a taxa efetiva de juros é a taxa 
proporcional calculada pela proporcionalidade ia/k, sendo k o número de capitalizações de juros que 
irão ocorrer no ano.” 
Desta forma: taxa efetiva proporcional = ia / k = 6% / 12 = 0,50% a.m. (em que ia = 6% e k=12, 
número de capitalizações). 
 M = 100 + 50 = $ 150 
 
 
 
 i = ? a.a.? 
 n = 4 anos 
 0 
 
 C = $ 100 (se não há o valor do capital, estipule 
 um valor de $ 100) 
 
U�IVERSIDADE FEDERAL FLUMI�E�SE – PÓLO U�IVERSITÁRIO DE VOLTA REDO�DA 
I�STITUTO DE CIÊ�CIAS HUMA�AS E SOCIAIS – ICHS 
PROGRAMA �ACIO�AL DE FORMAÇÃO EM ADMI�ISTRAÇÃO PÚBLICA – P�AP/UAB 
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3ª QUESTÃO (2,0 pontos) 
Um cheque pré-datado foi antecipado por R$ 1.295,76 noventa dias antes do seu vencimento. 
Determine o valor do cheque e o desconto obtido, ao considerar um desconto composto “por 
dentro” a uma taxa de 5% a.m. em regime de capitalização composta. 
Resolução: DESCO�TO “POR DE�TRO” = RACIO�AL 
O desconto racional é a operação inversa dos juros: 
 
FV = ? 
PV = R$ 1.295,76 (valor antecipado - PV) 
n = 3 meses 
i = 5% a.m. 
Dr = ? 
* O valor do título (FV) é dado por: 
FV = 1.295,76 x (1,05)3 = R$ 1.500,00 
* O desconto é dado pela fórmula: 
 
D = 1.500,00 – 1.295,76 = R$ 204,24 
 
Pela calc. HP-12C: 1.295,76 CHS PV / 3 n / 5 i / PV = 1.500,00 ENTER 1.295,76 – 202,24 
 
4ª QUESTÃO (2,0 pontos) 
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros a pagar: $ 1.000,00 vencíveis daqui a 
dois meses, $ 2.000,00 daqui a três meses e $ 2.000,00 daqui a doze meses. Essa pessoa quer 
reprogramar esses compromissos para dois pagamentos iguais daqui a seis e a doze meses. 
Determine o valor desses pagamentos admitindo que a taxa de juros do mercado é de 3% a.m. 
Resolução: 
As dívidas em t2, t3 e t12 são equivalentes às duas 
novas dívidas de valores iguais X em t6 e t12, e ao 
colocar o t0 como data focal, podemos fazer a 
equivalência de capitais, ao levar todos os valores: 
 
 
 
1.000 + 2.000 + 2.000 = X + X . 
(1,03)2 (1,03)3 (1,03)12 (1,03)6 (1,03)12 
942,60 + 1.830,28 + 1.402,76 = 0,83748X + 0,70138X � 1,53886X = 4.175,64 � X = R$ 2.713,46 
Ou ainda capitalizar tudo para a data focal t12 (juros compostos): 
1.000 x(1,03)10 + 2.000 x(1,03)9 + 2.000 = X . (1,03)6 + X � 1.343,92 + 2.609,55 + 2.000 = 2,19405X 
2,19405X = 5.953,47 � X = R$ 2.713,45 
Obs.: Também se pode considerar as duas parcelas X como anuidade, mas se deve converter a taxa. 
 FV = ? 
 
 
 i = 5% a.m. 
 
 0 
 DR = ? n = 90d = 3m 
 
 
 PV = R$ 1.295,76 
 
 i = 3% a.m. 
 X X 
 
 
meses 0 2 3 6 12 
 
 
 $ 1.000 $ 2.000 $ 2.000 
 
 
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5ª QUESTÃO (2,0 pontos) 
Na compra de uma geladeira são analisadas três opções de pagamento oferecidas pela loja: 
I- R$ 3.600,00 à vista; 
II- três prestações mensais e sucessivas de R$ 1.300,00, com primeira paga no ato da compra; 
III- três prestações mensais e sucessivas de R$ 1.400,00, com a primeira paga em 30 dias 
após a compra. 
Qual é a melhor opção para o comprador, ao considerar taxa de juros compostos de 2% a.m.? 
 
Resolução: 
Neste caso se deve comparar os três valores no valor presente (tempo 0) pela equivalência de capitais. 
Em juros compostos, o desconto racional é o mais utilizado, conforme Material didático, p.85: “Em 
juros compostos, utilizamos mais frequentemente o modelo de desconto racional, isto é, aquele em 
que a base de cálculo dos juros é o valor presente (PV).” 
* Como já foi mencionado na questão anterior, a operação de desconto racional é o inverso da 
operação de juros: 
 
 
 
 
I) R$ 3.600 (valor à vista) 
III) PV = 1.400 + 1.400 + 1.400 . 
 (1+0,02)1 (1+0,02)2 (1+0,02)3 
PV = 1.372,55 + 1.345,64 + 1.319,25 = R$ 4.037,44 
Ou pela fórmula da anuidade POSTECIPADA (caso padrão): 
 
II) PV = 1.300 + 1.300 + 1.300. 
 (1+0,02)1 (1+0,02)2 
PV = 1.300,00 + + 1.274,51 + 1.249,52 = R$ 3.824,03 
 
Conclusão: ao comparar os três valores I), II) e III), a melhor opção para o 
comprador é o de menor valor, que neste caso é o valor à vista (R$ 3.600,00). 
 
Observação: 
Nos itens II e III, a série de pagamentos pode ser considerada uma 
Anuidade ou rendas certas, pois os pagamentos são uniformes no 
mesmo intervalo de tempo entre os valores. No caso III, como a pri- 
meira renda ocorre um período após a operação (tempo 0), é o caso 
de anuidade postecipada; no caso II a primeira renda ocorre no ato 
da operação e neste caso uma anuidade antecipada. 
 
 
 
 PV (valor equivalente da geladeira) 
 
 
 i = 2% a.m. 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 
 
 
 1.400 1.400 1.400 
OPÇÃO DE PAGAMENTO – item III 
ANUIDADE POSTECIPADA 
 PV (valor equivalente da geladeira) 
 
 
 i = 2% a.m. 
 
 0 1 2 meses 
 
 
 
 1.300 1.300 1.300 
OPÇÃO DE PAGAMENTO – item II 
ANUIDADE ANTECIPADA 
 
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Item III: 
 � PV = 1.400 x (1,02)3 – 1 . = 1.400 x 2,88388 = R$ 4.037,44 
 (1,02)3 x 0,02 
Pela calculadora HP-12C: 1.400 PMT 2 i 3 n PV = R$ 4.037,44 
 
Item II: 
� PV = (1,02) x 1.300 x (1,02)3 – 1 . = 1,02 x 1.300 x 2,88388 = 
 (1,02)3 x 0,02 
= R$ 3.824,03 / Pela calculadora HP-12C: g BEG 1.300 PMT 2 i 3 n PV = R$ 3.824,03 
 
6ª QUESTÃO (1,5 ponto) 
Determine o valor de cinco pagamentos trimensais, sucessivos e postecipados aplicados a 5% 
a.trim. para se constituir, imediatamente ao final, uma poupança de $ 10.000,00. 
Resolução: 
Valor futuro de uma anuidade: 
 
10.000 = PMT x (1,05)5 – 1 
 0,05 
10.000 = PMT x 5,52563 
PMT = 10.000 / 5,52563 
PMT = R$ 1.809,75 
 
Pela calculadora HP 12-C: 
10.000 FV 5 i 5 n PMT = R$ 1.809,75 
 
 
“Ser bom é fácil. O difícil é ser justo” – Victor Hugo 
 
 
 
 (FV) 
 i = 5% a.trim. $ 10.000 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 trim 
 
 
 PMT = ? n = 5 parcelas