P2 Algebra Linear EAD 2018/2 UFRGS (Diego Marcon)

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UFRGS – Inst. de Matema´tica e Estat´ıstica
Dept. de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT01355 – A´lgebra Linear I – A
Prof. Diego Marcon Farias
1 2 3 4 5 6 7 Total
Nome: Carta˜o: Turma: Z
Prova A´rea 2 – 06 de Dezembro de 2018
Observac¸o˜es
• As questo˜es de mu´ltipla escolha devem ser assinaladas a caneta;
• Toda questa˜o de mu´ltipla escolha possui apenas uma alternativa correta;
• Nas questo˜es dissertativas, o desenvolvimento e´ mais importante que a resposta final;
• Se precisar de mais folhas para rascunho, basta solicitar.
Questa˜o 1. (2,0 pontos) Calcule o determinante da matriz
A =

1 0 −1 4
−1 8 6 0
0 1 0 4
2 3 1 1
 .
Uma forma de fazer e´ por escalonamento. Devemos da´ı tomar cuidado, pois trocas de linha
alterariam o valor do determinante. Tambe´m pode mudar o determinante dividir um linha ou coluna
por um nu´mero (deve-se “colocar em evideˆncia”).
A
`1+`2 em `2−−−−−−−−→
−2`1+`4 em `4

1 0 −1 4
0 8 5 4
0 1 0 4
0 3 3 −7

Expandindo em cofatores a partir da primeira coluna, obtemos
detA = 1 · det
 8 5 41 0 4
3 3 −7
 .
Agora, fazendo novamente um passo de escalonamento (note que na˜o trocamos linhas de lugar) 8 5 41 0 4
3 3 −7
 −8`2+`1 em `1−−−−−−−−→
−3`2+`3 em `3
 0 5 −281 0 4
0 3 −19
 .
Expandindo em cofatores a partir da primeira coluna novamente (observe o sinal que aparece porque
o “1” esta´ na posi?a˜o 21), obtemos
detA = − det
[
5 −28
3 −19
]
= det
[
5 28
3 19
]
= 5 · 19− 3 · 28 = 95− 84 = 11.
Questa˜o 2. (2,0 pontos) Classifique cada uma das alternativas como Verdadeiro (V) ou Falso (F):
(F) Se λ = 0 e´ autovalor de uma matriz A, enta˜o a matriz e´ invert´ıvel. Quando zero e´ autovalor,
da´ı na˜o e´ invert´ıvel, pois detA = 0.
(V) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o A tem n autovetores linearmente independentes. Verdade, esta
base e´ a que torna a transformac¸a˜o linear associada diagonal.
(F) A forma quadra´tica 4x21 + 2x1x2 + 4x
2
2 tem todos seus autovalores negativos. Calcular
det
[
4− λ 1
1 4− λ
]
= λ2 − 8λ+ 15 = 0 =⇒ λ = 8±
√
64− 60
2
= 4± 1.
(F) A matriz associada a uma forma quadra´tica e´ sempre diagonal. A matriz da forma quadra´tica
do item anterior na˜o e´ diagonal.
(V) Se A~x = 3~x e ~x 6= ~0, enta˜o ~x e´ um autovetor de A; Esta e´ a definic¸a˜o de ser autovetor.
(F) Os autovalores de uma matriz A qualquer esta˜o em sua diagonal principal; O determinante
acima ja´ contradiz isto: os autovalores sa˜o 3 e 5 e na diagonal principal tem 4 e 4.
(V) Se aij = 0 para i 6= j, enta˜o os autovalores de A sa˜o os elementos da diagonal principal. Quando
a matriz e´ diagonal, seu determinante e´ so´ multiplicar os elementos da diagonal principal.
(V) Todo conjunto ortonormal em Rn e´ linearmente independente. Propriedade ba´sica dos vetores
ortogonais (nem precisaria ser unita´rio).
(F) Se A e´ uma matriz ortogonal, enta˜o AT 6= A−1. E´ igual.
(V) SeW e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o 3 e {~v1, ~v2, ~v3} e´ um conjunto ortogonal, enta˜o {~v1, ~v2, ~v3}
e´ uma base de W . Ficam treˆs vetores linearmente independentes em um espac¸o de dimensa˜o
treˆs. Logo, uma base.
Questa˜o 3. (2,0 pontos) Na˜o existe uma reta y = Ax + B que passa pelos pontos do plano
(1, 2), (2, 4), e (3, 5), ja´ que estes pontos na˜o sa˜o colineares. Assinale a alternativa que apresenta a
reta de mı´nimos quadra´ticos que melhor se ajusta a estes pontos:
(a) y = 3x/2 + 3/2
(b) y = 2x/3 + 1/2
(c) y = 3x/2 + 2/3
(d) y = 2x/3 + 8/7
(e) y = −x/2 + 2/3
Substituindo os pontos na equac¸a˜o da reta, obtemos um sistema para encontrar os coeficientes
A+B = 2
2A+B = 4
3A+B = 5
O enunciado ja´ nos informa que este sistema e´ imposs´ıvel, enta˜o procuramos pela soluc¸a˜o de mı´nimos
quadrados. O sistema pode ser escrito como1 12 1
3 1
[A
B
]
=
24
5

Chamando a matriz 3× 2 acima de A e o vetor da direita de ~b, calculamos
ATA =
[
1 2 3
1 1 1
]1 12 1
3 1
 = [14 6
6 3
]
e AT~b =
[
1 2 3
1 1 1
]24
5
 = [25
11
]
Escalonando[
14 6 25
6 3 11
] −6
14
`1+`2 em `2−−−−−−−−−→
[
14 6 25
0 6
14
4
14
]
∼
[
14 6 25
0 3 2
]
∼
[
14 0 21
0 3 2
]
Logo, a alternativa correta e´ a c:
B =
2
3
e A =
21
14
=
3
2
.
Questa˜o 4. (1,0 ponto) Assinale a alternativa que conte´m a equac¸a˜o caracter´ıstica det(A−λI) = 0
associada com a matriz
A =
 0 0 07 1 −3
0 0 0
 .
(a) (1− λ)3 = 0
(b) −λ3 + λ2 = 0
(c) −λ3 + λ2 − 7 = 0
(d) −λ3 + 3λ2 = 0
(e) −λ3 + 3λ2 − 7 = 0
Temos que calcular det(A−λI), por exemplo, expandindo em cofatores na primeira linha, encon-
tramos a alternativa b como correta:
det
−λ 0 07 1− λ −3
0 0 −λ
 = −λ · det [1− λ −3
0 −λ
]
= −λ(−λ+ λ2) = −λ3 + λ2.
Questa˜o 5. (2,0 pontos) Assinale a alternativa que apresenta uma base ortogonal para o espac¸o
coluna da matriz
A =
 1 −1 2 −3−1 1 −3 2
2 −2 5 −5
 .
(a)

10
0
 ,
01
0
 ,
00
1
 (d)

 1−1
2
 ,
11
0

(b)

10
0
 ,
01
0
 (e)

 1−1
2
 ,
 2−3
5

(c)

10
0
 ,
21
0

Por escalonamento, encontramos o nu´emro de posic¸o˜es de pivoˆ (pois isto nos informa a dimensa˜o
do espac¸o coluna)
A ∼
1 −1 2 −30 0 −1 −1
0 0 1 1
 ∼
1 −1 2 −30 0 1 1
0 0 0 0

Logo, sa˜o duas posic¸o˜es de pivoˆ e as colunas 1 e 3 (da matriz original) formam uma base para o
espac¸o coluna. Mas podem na˜o ser ortogoanais. Pelo processo de Gram-Schmidt, obtemos a d:
~u = ~c1 =
 1−1
2
 e ~v = ~c3 − proj~c1 ~c3 =
 2−3
5
− 15
6
 1−1
2
 =
−1/2−1/2
0
 = −1
2
11
0
 .
Questa˜o 6. (1,0 ponto) Considere a matriz
A =
 4 3 −21 6 −2
1 3 1

e os vetores
~u1 =
 31
0
 , ~u2 =
 −31
0
 , ~u3 =
 21
−3
 , ~u4 =
 20
1
 e ~u5 =
 −20
1
 .
Sabendo que 3 e´ autovalor de A, podemos afirmar que o autoespac¸o associado e´ dado por:
(a) Span{~u1, ~u2} (b) Span{~u1, ~u3}
(c) Span{~u1, ~u4} (d) Span{~u1, ~u5}
(e) Span{~u2, ~u3} (f) Span{~u2, ~u4}
(g) Span{~u2, ~u5} (h) Span{~u3, ~u4}
(i) Span{~u3, ~u5} (h) Span{~u4, ~u5}
Resolvendo
A− 3λ =
 1 3 −21 3 −2
1 3 −2
 ∼
 1 3 −20 0 0
0 0 0
 =⇒
x1x2
x3
 =
−3x2 + 2x3x2
x3
 = x2
−31
0
+ x3
20
1
 .
Questa˜o 7. (1,0 ponto) A forma quadra´tica associada a` matriz
A =
3 1 21 2 5
2 5 0

e´ dada por:
(a) 3x21 + 2x
2
2 + x1x2 + 2x1x3 + 5x2x3
(b) 3x21 + 2x
2
2 + x1x2 + 2x1x3 + 5x2x3 + x
2
3
(c) 3x21 + 2x
2
2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 10x2x3 + x
2
3
(d) 3x21 + 2x
2
2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 10x2x3
(e) 3x21 + 2x
2
2
E´ o item d. Se voceˆ sabe montar as matrizes associadas, e´ fa´cil de ver. Se na˜o se lembra, deve
calcular Q(~x) = ~xTA~x para chegar na resposta.