Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem

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Equações Diferenciais de 2ª Ordem
Em geral são da forma 
Tipos mais simples:
Integrando, obtemos: 
Integrando novamente, temos:
Fazendo a mudança de variável, chamemos . Analogamente, temos que .
Chegamos numa EDO de 1ª ordem, não homogênea e linear.
Equações Diferenciais de 2ª Ordem Lineares
Em geral são colocadas na forma:
Ou ainda:
Obs.: Em se , a EDO é chamada homogênea.
Neste momento, estudaremos as EDO’s de 2ª ordem lineares e homogêneas.
Conceitos Preliminares
Teorema: Sejam e soluções da EDO, linear e homogênea . Então a combinação linear de e , ou seja, também é solução com e constantes arbitrárias.
Exemplo: Verifique se é solução de .
Neste exemplo, temos que e 
Derivando duas vezes e e substituindo na EDO . Se o resultado der zero, então e é solução de . Vejamos:
 é solução, pois 
 é solução, pois 
Verificando se também é solução.
Substituindo na EDO:
Portanto, é solução.
Independência linear
Duas funções e são linearmente dependentes se existirem constantes e não nulas tais que
 
Caso contrário, L.I.
Wronskiano: Uma condição necessária e suficiente para que duas soluções e sejam Linearmente Dependentes é que o determinante do Wronskiano seja zero.
Caso as soluções são L.I.
Conjunto Fundamental de Soluções
Duas soluções e formam um conjunto fundamental de soluções se forem Linearmente Independentes.
Exemplo: e formam um conjunto fundamental de soluções para .
Portanto, é a solução geral.
Método Redução de Ordem
Se conhecemos uma solução da EDO de 2ª ordem, linear e homogênea.
Assim, busquemos tal que seja solução de .
Exemplo:
 
Solução:
Substituindo , e na EDO:
Fazendo a mudança de variável, 
Como e queremos , então integramos ambos os lados.
Para integrar, utilizaremos o método de integração por frações parciais. Mas antes iremos fatorar o denominador para, então, utilizarmos o método.
Agora que fatoramos o denominador, utilizaremos o método de integração por frações parciais.
Mas ainda precisamos saber os valores de e . Então:
Agora multiplicando ambos os lados da igualdade por , temos:
Assim temos que 
Substituindo os valores encontrados na integral, temos:
Assim, 
Solução geral: 
Exemplo: Encontre uma segunda solução para a EDO 
Solução:
Substituindo , e na EDO.
Integrando duas vezes, obtemos . Mas para este caso não precisamos da constante . Então:
Agora que descobrimos quem é , temos que a solução geral para esta EDO é dada por 
Equações Diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes
São do tipo com .
Vamos supor como solução 
Substituindo na EDO 
1º Caso: 
Seja a equação característica 
Assim,
São soluções da EDO cuja solução geral é dada por .
Exemplo: Encontre a solução geral da EDO 
Solução:
Equação característica: 
Logo, a solução geral para a EDO é 
Resolva o P.V.I.
Solução:
Temos que e . Isto implica que e . E, portanto, a solução geral é .
Aplicando o P.V.I., temos:
Montando o sistema:
 e 
E, portanto temos que a solução particular é .
2º Caso: 
Equação característica: 
Usando redução de ordem:
Substituindo , e em 
Observe que e como neste caso o delta é zero, então:
Encontramos , mas queremos . Então integrando duas vezes, obtemos .
Como na solução geral já contem as constantes que precisamos, então desconsideremos as constantes de . Logo, .
Assim, 
E a solução geral é dada por 
Exemplo: Ache a solução geral de 
Solução:
Assim, 
E a solução geral é 
3º Caso: 
As soluções da equação característica são:
Vamos procurar soluções reais:
Formula de Euler: 
Então temos que,
E a solução geral é dada por 
 Teorema: Seja uma solução complexa da equação diferencial 
Também são soluções de .
Exemplos: Resolva as EDO’s e os PVI’s quando dados.
 e 
Soluções:
Aplicando os PVI’s, temos:
 e 
 => Solução particular
Equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes
São da forma 
Onde são constantes e uma função contínua.
A equação homogênea correspondente é chamada “equação homogênea associada”.
Teorema: A solução geral da equação não homogênea pode ser escrita como:
Onde é a solução geral da homogênea associada (2) e é a solução particular da não homogênea (1).
Buscamos encontrar a solução particular da equação não homogênea.
Há dois métodos:
Coeficientes Indeterminados: Método simples, porém aplica-se à uma classe restrita de funções para toda função .
Variação dos Parâmetros: Pode ser aplicado para toda função , no entanto é mais difícil utilizá-lo.
Método Coeficientes Indeterminados
Exemplo: Resolva a EDO 
Solução:
Encontrando solução da homogênea associada:
Solução geral: 
Encontrando :
Para encontrar devemos supor e derivar duas vezes e, assim, substituir na EDO.
Substituindo na EDO 
Logo 
E a solução geral: 
1º Caso: Se , deve-se supor , onde é um polinômio de grau com coeficientes. 
Exemplo anterior
2º Caso: Se supor , onde é um polinômio de grau com coeficientes. 
Exemplo: 
Solução:
Encontrando :
Substituindo e na EDO:
Assim, 
Logo a solução geral é:
 
3º Caso: Se ou deve-se supor
Onde e são polinômios de grau com coeficientes .
Exemplo: 
Solução:
Vamos supor 
Como encontramos em uma solução já pertencente a , multiplicamos por .
Assim:
Derivando duas vezes e substituindo na EDO 
Reorganizando,
Reorganizando,
Agora substituindo na EDO, obtemos:
Temos que,
E a solução geral é dada por 
Exemplo: 
Solução:
Encontrando :
Substituindo e na EDO:
Assim, 
Solução geral: 
Método Variação dos Parâmetros
Vamos supor que após resolver escrevemos a solução onde e são constantes.
Vamos substituir e por funções e . Procuramos uma solução da equação não homogênea .
*
*
Vamos supor: 
*
Substituindo em 
Então e devem satisfazer:
Como 
Pela Regra de Cramer:
Exemplo: 
Solução:
Queremos encontrar e . Sabemos que pela Regra de Cramer,
Então, resolvendo e e depois integrando, iremos obter e .
Integrando , obtemos:
Integrando , obtemos:
Substituindo e em , temos:
Somando e , obtemos .
Digitalizado por: Ismael Alexandre da Silva	Página 5