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Fenômenos de Transporte I Aula 01Aula 01 Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez Bibliografia utilizada FENÔMENOS DE TRANSPORTE A expressão fenômenos de transporte (mais raramente, fenômenos de transferência) refere-se ao estudo sistemático e unificado da transferência de momento (mecânica dos fluidos), energia (transferência de calor) e matéria (transferência de massa). O transporte (transferência) destas grandezas e aO transporte (transferência) destas grandezas e a construção de seus modelos guardam fortes analogias, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que a análise matemática empregada é praticamente a mesma. 1- Introdução Mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do comportamento físico dos fluidos em movimento e em repouso e das leis que regem este comportamento. A mecânica dos fluidos pode ser subdividida no estudo da estática dos fluidos, onde o fluido está em repouso, e na dinâmica dos fluidos, onde o fluido está em movimento. Aplicações da mecânica dos fluidos: -Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens-Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens - Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações - Estudo de lubrificações. - Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores - Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas - Instalações de vapor. Ex.: caldeiras -Ação de fluidos sobre veículos, aeronaves e edificações (aerodinâmica). 1.1- Definição de fluido - Fluido é uma substância que não tem forma própria, e que, se estiver em repouso, não resiste a tensões de cisalhamento. - Fluido é uma substância que quando submetido a tensões de cisalhamento (tangenciais), por pequenas que sejam, deforma- se continuamente. - Fluidos tendem a escoar (ou fluir) e os sólidos tendem a se deformar ou dobrar quando interagimos com eles.deformar ou dobrar quando interagimos com eles. -Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. -A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria é clara quando você compara seus comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas sua deformação não aumenta continuamente com o tempo. 1.2- Equações básicas A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos começa, necessariamente, de modo direto ou indireto, com declarações das leis básicas que modelam o movimento do fluido. As leis básicas, aplicáveis a qualquer fluido são: 1- A equação da conservação da massa 2- A segunda lei do movimento de Newton 3- O princípio da quantidade angular3- O princípio da quantidade angular 4- A primeira lei da termodinâmica 5- A segunda lei da termodinâmica Obviamente, nem todas as leis básicas são necessárias para resolver um problema. Por outro lado, em muitos deles é necessário buscar relações adicionais para a análise, na forma de equações de estado ou outras de caráter constitutivo, que descrevam o comportamento das propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições. 1.3- Métodos de análise O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistema que você está tentando analisar. Na mecânica dos fluidos, utilizaremos um sistema ou um volume de controle para resolver um problema. 1.3.1- Sistema Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa eUm sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável; o sistema é separado do ambiente pelas fronteiras. As fronteiras podem ser fixas ou móveis; contudo, nenhuma massa cruza essas fronteiras. 1.3.2- Volume de controle Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa. A fronteira geométrica do volume de controle é denominado superfície de controle. É sempre importante tomar cuidado na seleção de um volume de controle, pois a escolha tem um grande efeito sobre a formulação matemática das leis básicas. 1.4- Dimensões e unidades Referimo-nos as quantidades físicas tais como comprimento (L), tempo (t), massa (M) e temperatura (T) como dimensões. Unidades são os nomes (e magnitudes) arbitrárias dados às dimensões primárias adotadas como padrões de medidas. Ex. A dimensão primária de comprimento pode ser medida em unidades de metros (m), centímetro (cm), pés (ft), jardas ou milhas. Cada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatoresCada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatores de conversão de unidades. Ex. 1 milha = 5280 pés = 1609 metros SISTEMAS DE UNIDADES Sistema Internacional de Unidades (SI) Massa é o quilograma (Kg) Comprimento é o metro (m) Tempo é o segundo (s) Temperatura é o Kelvin (K) Força é o Newton (N) 1 N ≡≡≡≡ 1 Kg.m/s2 (secundária) Sistema de Unidades Métrico Absoluto (CGS) Massa é o grama (g) Comprimento é o centímetro (cm) Tempo é o segundo (s) Temperatura é o Kelvin (K) Força é a dina (dina) 1 dina ≡≡≡≡ 1 g.cm/s2 (secundária) Sistema de Unidades Gravitacional Britânico Massa é o slug (slug) Comprimento é o pé (ft) Tempo é o segundo (s) Temperatura é o Rankine (°°°°R) Força é a libra-força (lbf) 1 lbf ≡≡≡≡ 1 slug.ft/s2 (secundária) Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de EngenhariaSistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia Massa é a libra-massa (lbm) Comprimento é o pé (ft) Tempo é o segundo (s) Temperatura é o Rankine (°°°°R) Força é a libra-força (lbf) 1 slug ≡≡≡≡ 32,2 lbm 2c c 2 lbf.s ft.lbm32,2 g g ft/s 32,2 x lbm 1 lbf 1 =≡ A constante de proporcionalidade, gc , tem dimensões e unidades no sistema inglês técnico. g am. F c = No SI, a constante de proporcionalidade, gc , é sem dimensões e unitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita:unitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita: Nesses sistemas, resulta que a força gravitacional (o peso) sobre um objeto de massa m é dado por: am. F = gm. W = 2. Conceitos fundamentais 2.1- O fluido como um contínuo Todos os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento. Um fluido é uma substância infinitamente divisível, um continuum, e deixamos de lado o comportamento das moléculas individuais.moléculas individuais. 2.2- Campo de velocidade Ao lidarmos com fluidos em movimento, estaremos naturalmente interessados na descrição de um campo de velocidade. A velocidade em qualquer ponto do campo de escoamento pode variar de um instante a outro. A representação completa da velocidade (o campo de velocidade) é dada por: O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dos seus três componentes escalares. Denotando os componente nas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se: ( Escoamento transiente ) 0 t V ou t)z,y,(x, V V ≠ ∂ ∂ = r rr nas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se: Se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente: k ω j ν iµ V ++=r ( Escoamento permanente ) 0 t V ou z)y,(x, V V = ∂ ∂ = r rr Ômega ω Ni; ν Mi; µ === Escoamento Uni, Bi e Tridimensionais Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional de acordo com o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar seu campo de velocidade. t)z,y,(x, V V rr = ( Escoamento tridimensional e transiente ) z)y,(x, V V rr = ( Escoamento tridimensional e permanente ) Num escoamento uniforme, a velocidade é constante através de qualquer seção normal ao escoamento. 2.3- Tensão de cisalhamento e viscosidade Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material é deformado ou cisalhado elasticamente; para um fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao escoamento viscoso.Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A. Essa força pode ser decomposta segundo a direção normal à superfície e da tangente, dando origem a uma componente normal e outra tangencial.tangencial. tF nF F Defini-se tensão de cisalhamento como sendo o quociente entre o módulo da componente tangencial e da área a qual está aplicada. Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente A F t =τ Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente entre o módulo da componente da força normal (força de compressão) e da área a qual está aplicada. A F P n= Considere-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas infinitas ilustradas a seguir: A placa superior movimenta-se a velocidade constante, δδδδu, sob a influência de uma força aplicada constante, δδδδFx. Força de cisalhamento aplicada sobre um fluido Como aparecem as forças internas? O fluido junto à placa superior irá se deslocar com velocidade v, enquanto aquele junto à placa inferior estará com velocidade nula. Em cada seção normal às placas, irá se formar um diagrama de velocidades, onde cada camada do fluido desliza sobre a adjacente com uma certa velocidade relativa. Tal deslizamento entre as camadas origina tensões de cisalhamento. A Figura a seguir mostra o aparecimento da tensão de cisalhamento, ττττ , devido à velocidade relativa v1 – v2, que cria um escorregamento entre as duas camadas indicadas. A tensão de cisalhamento, ττττyx , aplicada ao elemento de fluido é dado por: dA dF δA δFlim τ y x y x 0 δyx Ay == → ( 1 ) onde δδδδA é a área do elemento de fluido em contato com aonde δδδδAy é a área do elemento de fluido em contato com a placa. No incremento de tempo, δδδδt , o elemento de fluido é deformado da posição MNOP para a posição M’NOP’. A taxa de deformação do fluido é dada por: dt dα δt δαlimdeformação de taxa 0 δt == → ( 2 ) O fluido é newtoniano se ττττyx for diretamente proporcional a taxa de deformação (Equação 2). A distância δδδδℓ entre os pontos M e M’ é dado por: ( 3 )δt δv δ δt δ δv xx =⇒= l l dt dα a alproporcion ediretament τyx δt xx ou alternativamente, para pequenos ângulos, δyδα δ =l ( 4 ) Igualando (3) com (4), temos: δyδα δt δv x = δt δα δy δv x = ( 5 ) Aplicando o limite em ambos os lados da igualdade, obtêm-se: δt δαlim δy δvlim 0 δt x 0 δy →→ = dt dα dy dv x = ( 6 )dtdy Assim, se o fluido da figura é newtoniano, temos que: dy dv a alproporcion ediretament é τ xyx ( 7 ) A tensão de cisalhamento age num plano normal ao eixo dos y A constante de proporcionalidade da equação (7) é a viscosidade absoluta (ou dinâmica), µµµµ. Assim, em termos das coordenadas da figura anterior, a lei da viscosidade de Newton é dada por: dy dv τ xyx µ= ( 8 ) Fluidos Newtonianos Dividindo a viscosidade absoluta, µµµµ , pela massa específica do fluido, ρρρρ , temos uma outra quantidade útil, a viscosidade cinemática, ou seja: ρ µ =ν ( 9 ) Unidades para as grandezas relacionadas Grandeza SI CGS Britânico τyx Pa dina/cm2 poundals/ft2 vx m/s cm/s ft/s y m cm fty m cm ft µ Pa.s g/cm.s = poise lbm/ft.s ν m2/s cm2/s = stoke ft2/s Nota: Pascal, Pa, é o mesmo que N/m2, e Newton, N, é o mesmo que Kg.m/s2. A abreviação para “centipoise” é cP. 1cP = 10-2 poise. 1 stoke (St) = 1 cm2/s. 1 centistokes (cSt) = 10-2 cm2/s Viscosidade de um fluido: É a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao corte; É a medida da resistência do fluido à fluência quando sobre ele atua uma força exterior como por exemplo um diferencial de pressão ou gravidade; A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) eA viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) e não está diretamente relacionada com a densidade do líquido, que é a relação massa/volume. Por exemplo, o óleo de soja utilizado para cozinhar é mais viscoso do que a água, embora seja menos denso. A maioria dos líquidos viscosos fluem facilmente quando as suas temperaturas aumentam; o comportamento de um fluido quando varia a temperatura, pressão ou tensão depende do tipo de fluido. Influência da temperatura na viscosidade dinâmica: A viscosidade pode mudar com o tempo (todas as outras condições ficam constantes); A coesão molecular é a causa dominante da viscosidade nos líquidos; à medida que a temperatura de um líquido aumenta, estas forças coesivas diminuem, resultando uma diminuição da viscosidade; Nos gases, a causa dominante são as colisões aleatórias entre as moléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com amoléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com a temperatura; assim a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura; Apesar da viscosidade dos líquidos e gases aumentarem ligeiramente com a pressão, o aumento é insignificante num intervalo de pressões considerável; assim, a viscosidade absoluta dos gases e líquidos é usualmente considerada independente da pressão; 2.4- Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menos viscosos, caracterizam-se por terem uma viscosidade constante, ou seja, seguem a Lei de Newton da viscosidade. São exemplos a água, o leite, os óleos vegetais, etc. Já nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia com a força aplicada (e por vezes com o tempo também) e portanto têm propriedades mecânicas muito interessantes. Um bom exemplo é o ketchup. Quando o frasco está em repouso o ketchup é muito viscoso, mas quando o inclina ele torna-se menos viscoso e escorre, e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade.e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade. O exemplo da mistura de amido e água é muito fácil de ser realizada em nossa própria casa; uma vez obtida a mistura comprovaremos um fato insólito: ao agitá-la lentamente comporta-se como um fluído semi-líquido, mas ao agitá-la com força se mostra dura como uma pedra. Enquanto se mexe devagar com uma colher, a mistura terá a textura de uma papinha, mas tente dar um soco e seus dedos toparão com algo tão sólido quanto uma parede. Em resumo, de uma forma simplificada, podemos dizer que os fluidos não- newtonianos não possuem uma viscosidade bem definida. 31 32 ττ Taxa de deformação 33 A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as propriedades físicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento num fluido. É o ramo da física que estuda a viscosidade, plasticidade, elasticidade e o escoamento da matéria. Podemos então concluir que é a ciência responsável pelo estudo do fluxo e deformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido. A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida, e a única que caracteriza os fluidos newtonianos. A viscosidade aparente, µµµµ , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, aA viscosidade aparente, µµµµap , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, a qual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluido Newtonianos a idêntica a µµµµ. A viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação em fluidos pseudoplásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões de cisalhamento). Os fluidos nos quais a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de deformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais espessos quando sujeito a tensões de cisalhamento). 34 Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever os fluidos não-newtonianos independentes do tempo. Para muitas aplicações da engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadaspelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se: dy dvk n x yx =τ onde o expoente, n, é chamado de índice de comportamento do escoamento e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de µµ ττ e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de Newton da viscosidade para n = 1 e k = µµµµ. Para assegurar que ττττyx tenha o mesmo sinal de dvx/dy, a equação anterior é reescrita na forma: dy dv dy dv dy dvk dy dv dy dv dy dvk xapx 1 n xx 1 x n x yx ap µτ µ = = = −− 43421 onde µµµµap é referenciado como viscosidade aparente do fluido. 35 Esquema de classificação dos fluidos conforme o comportamento reológico: Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, ττττy , seja excedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal. O modelo correspondente de cisalhamento é: dy dv x apyyx µττ += 36 Existem materiais que se comportam parcialmente como um fluido e parcialmente como um sólido. Estes são os fluidos viscoelásticos. Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como: - o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, mas descrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluidodescrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluido em questão; - a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidos newtonianos; - a viscosidade é dependente da temperatura. 37 Viscoelásticos (propriedades elásticas e viscosas acopladas) Modelo Maxwell (propriedades elásticas) Modelo Kelvin-Voigt (propriedades viscosas) Estas substâncias quando submetidas à tensão de cisalhamento sofrem uma deformação e quando cessa, ocorre uma certa recuperação da deformação sofrida Massas de farinha de trigo, gelatinas, queijos, líquidos poliméricos, glicerina, plasma, biopolímeros, saliva, etc. Dependente do tempo Reopético A viscosidade aparente diminui conforme a duração da tensão Alguns lubrificantes, suspensão de pentóxido de vanádio e argila bentonita. Tixotrópico A viscosidade aparente aumenta conforme a duração da tensão Suspensões concentradas, emulsões, soluções protéicas, petróleo cru, Comparativo de propriedades de fluidos não newtonianos: conforme a duração da tensão protéicas, petróleo cru, tintas, ketchup. Independente do tempo Pesudoplástico A viscosidade aparente diminui conforme o aumento da tensão de cisalhamento . Polpa de frutas, caldos de fermentação, melaço de cana. Dilatante A viscosidade aparente aumenta conforme a duração da tensão de cisalhamento . Suspensões de amido, soluções de farinha de milho e açúcar, silicato de potássio e areia. Plásticos de Bingham Este tipo de fluido apresenta uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação. Fluidos de perfuração de poços de petróleo, pasta dental, maionese, mel, etc. Herschel-Bulkley A relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação não é linear. Sangue, iogurte, purê de tomate, etc. 38 Fluido Herschel-Bulkley: Esses fluidos apresentam o comportamento do tipo lei da potência com tensão de cisalhamento inicial. É o modelo mais geral. dv n x += µττ 39 escoamento de indice n dy dv x apyyx = += µττ Classificados em dois grupos: primário e secundário Determinação simultânea da tensão de cisalhamento e taxa de deformação num mesmo ponto do aparelho de medição Há viscosímetros: rotacionais e capilares. Instrumentos que realizam medidas diretas da tensão e da taxa de deformação 2.5- Determinação experimental de propriedades reológicas do fluido; De disco, de cone-disco e o de cilindro rotativo; Todos eles visando a reprodução do escoamento entre placas planas paralelas. Podem ser aplicados para ensaios tanto de fluidos Newtonianos como de fluidos com comportamento tensão versus deformação não-linear e/ou visco-elástico. Primários Esquema de viscosímetros primários µ = viscosidade; Ω = velocidade angular aplicada α = ângulo do cone R = raioR = raio B = distância; T = torque medido, que resulta da tensão oriunda da deformação do fluido. Viscosímetro primário de Brookfield muito popular pela facilidade de manuseio. "spindles" cada um apropriado"spindles" cada um apropriado para medir a viscosidade de fluidos em uma faixa específica: os de menor diâmetro, as maiores viscosidades; os de maior diâmetro, as menores viscosidades. Inferem a razão entre a tensão aplicada e a taxa de deformação por meios indiretos, sem medir a tensão e deformação diretamente; aplicam-se somente a fluidos Newtonianos, por medirem a viscosidade indiretamente. Secundários por medirem a viscosidade indiretamente. Viscosímetro capilar e viscosímetro de Stokes. A viscosidade é obtida através de medições do tempo de queda livre de uma esfera através de um fluido estacionário. Viscosímetro de Stokes g = aceleração da gravidade D = diâmetro da esfera ρρρρs = densidade da esfera ρρρρf = densidade do fluido V = velocidade terminal de queda livre, isto é, a razão entre a distância L e o intervalo de tempo ∆∆∆∆t. * Esta relação aplica-se somente para esferas em queda livre em meio infinito, com Reynolds menores do que 1. Viscosímetro Capilar A viscosidade é obtida por meio da medida do gradiente de pressão de um escoamento laminar em um tubo. Q = vazão volumétrica L = distância entre as tomadas de pressão ∆∆∆∆P = diferença de pressão D = diâmetro do tubo capilar Fácil manuseio; A viscosidade está relacionada com o tempo de esvaziamento de um copo de volume conhecido que tem um orifício calibrado na sua base; Conjunto de orifícios-padrão (giglê) feitos de bronze polido Viscosímetro Copo Ford feitos de bronze polido O orifícios de número 2, 3 e 4 são utilizados para medir líquidos de baixa viscosidade, na faixa de 20 a 310 centistokes; Os orifícios de número 5, 6, 7 e 8 para líquidos de viscosidade superior a 310 cSt. 2.5- Algumas propriedades dos fluidos 2.5.1- Massa específica Amassa específica de uma substância, designada por ρρρρ , é definida como a massa de uma substância contida numa unidade de volume. Esta propriedade é normalmente utilizada para caracterizar a massa de um sistema fluido. etc. ; L kg ; cm g ; m kg V m 33 =ρ 2.5.2- Volume específico O volume específico, νννν , é o volume ocupado por uma unidade de massa da substância considerada. Note que o volume específico é o recíproco da massa específica, ou seja: Normalmente não é utilizado o volume específico na mecânica dos fluidos, mas é uma propriedade muito utilizada na termodinâmica. etc. ; kg L ; g cm ; kg m 1 33 = ρν 47 2.5.3- Peso específico O peso específico de uma substância, designada por γγγγ , é definido como o peso da substância contida numa unidade de volume. O peso específico está relacionado com a massa específica através da relação: onde g é a aceleração da gravidade padrão (9,807 m/s2). Note que o peso específico é utilizado para caracterizar o peso do sistema fluido enquanto que a massa específica é utilizada para caracterizar a massa do sistema fluido. = etc. ; ft lbf ; cm dina ; m N ρ.g γ 333 fluido.2.5.4- Densidade relativa A densidade relativa de um fluido, designada por SG ( specific gravity ), é definida como a razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da água a 4°°°°C (ρρρρágua = 1000 kg/m3). Nesta condição, temos: ( Adimensional ) ρ ρ SG C4 a água fluido fluido 0 = 48 2.6- Lei dos gases perfeitos Os gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Sob certas condições, a massa específica de uma gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação: ρRT RT V m PM perfeitos) gases dos (lei RT M m nRT PV == == .atm/mol.Kcm 82,05 R absoluta ra temperatu T ideais gases dos universal constante R gás domolar massa M gás do absoluta Pressão P RT PM ρ ρRT RT V PM 3 = = = = = = == 49
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