2016510 104421 Matemática+Aplicada+ +Apostila

Prévia do material em texto

� 
	
www.etep.edu.br
�
	
Apostila de Matemática Aplicada
	
	Objetivo(s) da apostila: O aluno deverá reconhecer os conceitos de Série de Fourier, Teorema da Integração, Transformada de Laplace e Teorema da Derivada.
	Professor: Peterson Ricardo Rodrigues
	Curso: Engenharia
	Disciplina: Matemática Aplicada
	E-MAIL: peterson.rodrigues@etep.edu.br
Objetivo da seção: O aluno deverá reconhecer os conceitos introdutórios da Série de Fourier, e identificar os coeficientes de Fourier para funções periódicas.
Em matemática, uma série de Fourier é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas.
A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos.
Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como a soma de várias funções cossenos e senos, com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.
Jean B. Fourier, no livro “Théorie Analytique de la Chaleur” escrito em 1822, introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc, foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19.
Definição:
I) Série de Fourier para f(x) definida no intervalo [-(,(].
Seja f(x) = f(x+2(), uma função integrável, definida sobre o intervalo [-(,(] e n (N.
A Série de Fourier de f(x) é a série trigonométrica, com período P = : 2(, dada por:
onde ao, an e bn são os coeficientes de Fourier definidos por:
ao = 
 		an = 
 		
bn = 
Note que as expressões acima são válidas se o período da função for 2(.
II) Série de Fourier para f(x) definida no intervalo [- T,T].
Para uma função f(x) definida no intervalo de -T a T, será periódica de período P = 2.T, que podemos reescrever como:
f(x)= 
onde ao, an e bn são os coeficientes de Fourier definidos por:
ao = 
 	 	an = 
 		 
bn = 
O termo constante 
 é chamado de valor médio.
III) Série de Fourier generalizada, para f(x) definida num intervalo qualquer [a,b], será periódica de período 
, se desenvolvida por:
f(x)= 
ao = 
 		an = 
 		
bn = 
Exemplo:
Para ilustrar, vamos fazer o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica simples, a chamada "onda quadrada" cujo gráfico é mostrado na figura abaixo:
�
Inicialmente devemos calcular os coeficientes ao , an e bn, usando as expressões, conforme for mais conveniente.
Observe na função mostrada que o período é de 2(. Desta forma 2T = 2( ou T = (. Além disso, tanto faz analisar no intervalo -( a + ( ou no intervalo 0 a 2 (.
Visualmente pode-se identificar que o valor médio desta função é zero, porém podemos calcular pela fórmula do ao, e analisando nos intervalos de -( a 0 e 0 a +(.
ao = 
	 = 
 + 
 = 
 = 
 = 0.
Calculando os coeficientes an e bn :
an = 
= 
+
=
= 
+
 
 
= 0.
bn= 
= 
�� EMBED Equation.3 = 
Lembrando que cos (n() = cos (-n()= -1 , para n impar , e igual a +1 para n par.
bn= 
=
 
para n impar ( bn= 
 , para n par ( bn= 
= 0.
Logo só existe valores de bn para n ímpar, portanto usando a expressão
f(x)= 
 
 f(x) = 
 
 f(x) = 
.
Expandindo a expressão de f(x), para valores de n ímpar fica:
Trocando x por wt => 2( ft, caso tenhamos a variável independente como t, podemos dizer que o primeiro termo da expressão corresponde ao sinal de amplitude 
 e menor freqüência (f) => sinal (a)
O segundo termo tem amplitude 
 e período 3 vezes menor => sinal (b)
Os demais termos correspondem aos outros sinais mostrados ao lado até n = 15. Quanto maior o numero de termos usados na série, melhor a aproximação com a forma da função original.
Na figura abaixo, temos os sinais até o 5º termo da expansão da série da onda quadrada mostrada também na figura. A figura foi plotada usando o Matlab.
Como exercício propõe-se plotar as formas de onda dos termos até n=15 e o sinal resultante da somatória.
Função periódica
Definição: Uma função 
 é dita periódica quando para 
 existe um 
 tal que 
 para qualquer 
, onde o 
 é denominado período.
Se 
 é um inteiro, tem-se 
, e que se existirem duas funções periódicas 
 e 
 então 
, isto é, 
 possui o mesmo período.
Observação: Funções constantes 
 também são periódicas, pois satisfazem 
.
As funções trigonométricas seno e co-seno são exemplos típicos de funções periódicas.
Exemplo:
Série de Fourier
Uma função
 é dita periódica quando ela é definida para qualquer 
, existe um número positivo 
.
 ( para 
 inteiro 
 também é uma período
 e 
 inteiro
Exemplo: 
Se for 
 e 
 possuem o mesmo período 
e se 
constante 
Assim, as funções trigonométricas 
 e 
 tem um mesmo período 
.
na função : 
para 
 e 
 é uma série periódica trigonométrica, isto é, 
Supondo a série trigonométrica:
é integrando no intervalo 
, tem-se :
Donde : 
Porém, multiplicando a função 
 por 
, tem-se :
�� EMBED Equation.2 
mas 
,
multiplicando a função 
, por 
, tem-se :
�� EMBED Equation.2 
 “Fórmulas de Euler”
e a série 
é denominada de Série de Fourier, e os coeficientes 
� podem ser calculados pelas Fórmulas de Euler, denominados de “Coeficientes de Fourier”.
Exemplo: 
Determinar os coeficientes de Fourier para a função periódica 
, onde
�
Porém, o que ocorre em sistemas mecânicas em forças eletromotrizes 
 em circuitos, etc.
A área sob a curva de 
 entre 
 e 
, é nulo, por isso 
, isto é,
�
�
�
�
�
 para 
na média 
Exercício: 
Determinar os coeficientes de Fourier para a função periódica 
, onde
�
Objetivo da seção: O aluno deverá reconhecer os teoremas relacionados à Série de Fourier, considerando simetrias de forma de onda.
Teorema 1
Se uma função periódica 
 em período 
 é contínua no intervalo 
 e possui derivadas à direita e à esquerda em cada ponto do intervalo, então a série de Fourier correspondente é convergente, e sua soma é 
, exceto no ponto 
 em que a função 
é descontínua, caso em que a soma da série é a média dos limites à esquerda e à direita de 
 em 
.
Demonstração:
1a integrando por partes:
2a integração por partes:
 (constante e adequado ) 
3a integração (por partes):
	 
 
(	
da mesma forma : 
Funções Pares e Ímpares
Uma função é dita “par” se : 
E é dita “ímpar” se : 
Assim se 
 é uma função par, então 
Se 
 é uma função ímpar, então :
Observação:
O produto 
 de uma função par 
 por uma função ímpar é ímpar, pois : 
Se 
 for par :
é ímpar e	
Se 
 for impar :
é ímpar e	
Teorema 2
A série de Fourier de uma função periódica par 
 que possui período 
, é uma série de Fourier de cossenos, isto é, 
 com coeficientes 
 e 
A série de Fourier de uma função ímpar 
 que possui período 
 é uma série de Fourier de senos, isto é, 
 com coeficientes 
.
Teorema 3
Os coeficientes de Fourier de uma função 
 sãoos senos dos coeficientes de Fourier de 
 e 
 .
Exercício:
Provar as seguintes séries numéricas :
Sugestão : Use a função 
Ou podem se empregar se as fórmulas diretamente, isto é, como: 
e o intervalo de integração, fica : 
	
	
	
	
 
 
 
e a série de Fourier 
	
E o intervalo de integração pode ser multiplicado por um comprimento 
, por exemplo, pelo intervalo 
.
Exemplo (Retificador de meia onda): Uma tensão senoidal 
atravessa um retificador de meia - onda que observa a porção negativa de onda.
A função periódica resultante é:
Exercício: Mostrar que a função
	
no intervalo 
 pode ser representado pela série de co-senos de Fourier: 
 
Funções com Período Arbitrário
Se 
 tem período 
 pode-se fazer uma mudança de variável tal que, 
 ( Se 
 então 
 o que significa que 
 tem período 
 e uma série de Fourier de forma : 
, onde
, 
e 
.
Podem-se empregar estas expressões diretamente, mas a mudança para 
 simplifica os cálculos. Como 
, 
e o intervalo de integração correspondente será 
.
Consequentemente as novas fórmulas de Euler serão:
, 
e
.
E a série de Fourier expressa em função de 
, será:
Teorema: A série de Fourier de uma função par 
 que possui período 
 é uma série de Fourier de cossenos,
 
 par
com coeficientes
, 
 
.
A série de Fourier de uma função impar 
 que possui período 
 é uma série de Fourier de senos,
	
 
 impar
com coeficientes
 
.
Exemplo: Determinar a série de Fourier da função 
 
 
	
 
.
Como 
 é par, 
	
	
Desta forma 
 quando 
 é par, 
 quando 
 e 
 quando 
.
Assim, 
Desenvolvimento para Meio Período
Seja 
de período 
. Se for “par” ob
ém-se a série de cossenos:
	
Com coeficientes
Se for ímpar 
Com coeficientes
E são denominados de desenvolvimento de meio período da função f(t), podendo ter prolongamento “par” ou “ímpar”.
Exemplo : Determinar os desenvolvimentos de meio período da função :
onde, integrando por partes 
e
( 
( 
 , 
 , 
,...
para 
 quando 
. 
E a série : 
Representa o prolongamento par de meio período, isto é,
Já
	
,
onde integrando por partes 
Os termos em coseno se desaparecem e tem-se:
.
Que representa o prolongamento ímpar de meio período, isto é ,
Determinação dos Coeficientes de 
 e 
 de Fourier sem Integração
Seja 
 uma função que possui período 
 e que pode ser representado por polinômios, por trechos, 
 no intervalo 
, ou seja:
	
 para 
	
 para 
	
 para 
Os coeficientes de Fourier podem ser determinados como segue :
Integrando por partes, tem-se :
onde,
Reunindo os termos em função dos senos, tem-se :
Devido à periodicidade 
 tem-se que : 
 e 
. Assim, o primeiro e o último termos podem ser combinados, isto é,
Denominando as diferenças 
 e 
.
Tem-se, 
.
Aplicando o mesmo processo às integrais no segundo membro, obtém-se :
, 
onde 
 são as diferenças entre os derivados polinômios.
Prossegue-se desta forma até os derivados dos polinômios se anularem, pois, o derivador de ordem “(r+1)” de um polinômio de grau “r” é identicamente nula, atingindo-se um ponto no qual não existem mais integrais, e os coeficientes de Fourier são dados por :
A série da forma de onda dente de serra mostrada na figura 1, além do termo constante, contem apenas termos em seno. Outras formas de onda conterão apenas termos em cosseno e, às vezes, existem apenas harmônicas ímpares. 
Isso resulta de certos tipos de simetria associados à forma de onda. O conhecimento dessa simetria acarreta simplificação nos cálculos para a determinação da série. 
Fig. 1, onda dente de serra 
 = 
. 
a) FUNÇÃO PAR: Uma função f(x) diz-se par se f(x) = f(-x) 
O cosseno é uma função par. A soma de duas ou mais funções pares é uma função par e a adição de uma constante mantém a natureza par da função. 
O produto de duas funções pares é uma função par.
O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função par.
Na figura 2, as forma de onda representam funções pares. Observe a simetria em relação ao eixo vertical: 
Fig. 2, Funções pares.
b) FUNÇÃO ÍMPAR: Uma função f(x) diz-se ímpar se f(x) = - f(-x). 
O seno é uma função ímpar. A soma de duas ou mais funções ímpares é uma função ímpar, porém a adição de uma constante elimina a natureza ímpar da função. O produto de duas funções ímpares é uma função par. 
O produto de uma função ímpar por uma função par é uma função par.
Na figura 3, as formas de onda representam funções ímpares: 
Fig. 3, Funções ímpares.
Quando o tipo de simetria de uma onda é determinado, chega-se às seguintes conclusões: 
I) Se a forma de onda é par, todos os termos da série correspondente são cossenoidais, além de, possivelmente, uma constante, caso a forma de onda possua um valor médio. Portanto, não há necessidade de calcularem-se as integrais para o coeficiente 
, pois não podem existir termos em seno, ou seja: 
a série de Fourier para f(x) definida no intervalo [- T,T], será periódica de período P = 2.T desenvolvida por: 
, 
onde os coeficientes de Fourier, são determinados por: 
 
 ou 
 
. 
II) se é ímpar, a série contém, apenas, termos em seno. A onda pode ser ímpar somente depois de eliminado o termo constante, caso em que sua representação conterá apenas essa constante e uma série de termos senoidais. 
Caso a onda possua simetria de meia-onda, existem apenas harmônicos ímpares. A figura 4 mostra exemplos de sinais com simetria de meia-onda. Note que f(x)=-f(x+T/2): 
Fig. 4, Formas de onda com simetria de meia-onda. 
Salvo na hipótese em que a função seja também par ou ímpar, a série conterá termos em seno e em cosseno; em qualquer caso, 
 e 
 são nulos para n = 2, 4, 6, ... em toda forma de onda que possua simetria de meia-onda. 
Determinadas formas de ondas podem ser pares ou ímpares, dependendo da localização do eixo vertical. A onda quadrada da fig. 5.a satisfaz a condição de função par, isto é f(x) = f(-x). Um deslocamento do eixo vertical para a posição indicada na fig. 5.b resulta numa função ímpar, onde f(x) =-f(-x). 
Se o eixo vertical estiver situado em qualquer outro ponto que não os indicados na fig. 5, a onda quadrada não será nem par nem ímpar e sua série conterá termos em seno e cosseno, ou seja: 
a série de Fourier para f(x) definida no intervalo [- T,T], será periódica de período P = 2.T e senoidal, se desenvolvida por: 
, 
onde os coeficientes de Fourier, são determinados por: 
 
 
 ou 
. 
Assim, na análise de funções periódicas, desde que a forma da onda o permita, o eixo vertical deve ser convenientemente escolhido, de modo a acarretar uma função par ou uma função ímpar. 
Exemplos: 
Ex. 1) ONDA DENTE DE SERRA: 
tem série de Fourier senoidal: 
f(t) = 
�� EMBED Equation.DSMT4 . 
Note que esta onda é ímpar, mas não tem simetria de meia-onda, ou seja, contem todos termos em seno. O valor médio é zero. 
Ex.2) ONDA QUADRADA: 
tem série de Fourier senoidal: 
f(t) = 
�� EMBED Equation.DSMT4 . 
Note que esta onda quadrada é ímpar e tem simetria de meia-onda, ou seja, contem apenas termos ímpares em seno. O valor médio é zero. 
Resumo - Série de Fourier
I) Série de Fourier para f(x) definidano intervalo simétrico [-(,(]. 
Seja f(x) = f(x+2(), uma função integrável, definida sobre o intervalo 
[-(,(] e n (N. A Série de Fourier de f(x) é a série trigonométrica, com período P = 2(, dada por: 
,
onde ao, an e bn são os coeficientes de Fourier obtidos por: 
ao = 
 , 		an = 
 , 	
bn = 
 
II) Série de Fourier generalizada, para f(x) definida num intervalo qualquer [a,b], será periódica de período 
, se desenvolvida por: 
f(x)= 
,
onde ao, an e bn são os coeficientes de Fourier obtidos por: 
ao = 
 , 	 an = 
 , 	bn = 
 
III) Série de Fourier para f(x) definida no intervalo simétrico [- T,T]. 
Para uma função f(x) definida no intervalo de (-T a T), será periódica de período P = 2T que podemos re-escrever como: 
f(x)= 
, 
onde ao, an e bn são os coeficientes de Fourier obtidos por: 
ao = 
 , 	an = 
 , 		
bn = 
 
Série de Fourier de Função Par e Função Ímpar, definidas em intervalo simétrico: 
 IV-a) A série de Fourier para f(x) PAR definida no intervalo simétrico [- T,T], será periódica de período P = 2.T, com termos somente cossenoidal, se desenvolvida por: 
f(x)= 
 terá bn = 
 , 	ao = 
 , 
 ou 
 
IV-b) A série de Fourier para f(x) ÍMPAR,definida no intervalo simétrico [- T,T], será periódica de período P = 2.T e com termos somente senoidal, se desenvolvida por: 
f(x)= 
 terá ao = 
, an = 0 
 ou 
Exemplos: 
1) ONDA DENTE DE SERRA: 
tem série de Fourier senoidal: 
f(t) = 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Note que esta onda é ímpar, mas não tem simetria de meia-onda, ou seja, contem todos termos em seno. O valor médio é zero. 
2) ONDA QUADRADA 
tem série de Fourier senoidal: 
f(t) = 
�� EMBED Equation.DSMT4 . 
Note que esta onda quadrada é ímpar e tem simetria de meia-onda, ou seja, contem apenas termos ímpares em seno. O valor médio é zero. 
�
Objetivo da seção: O aluno deverá reconhecer os conceitos introdutórios de Transformada de Laplace.
A transformação de Laplace consiste em três etapas:
A equação diferencial, no espaço real 
, é transformada em uma equação algébrica, no espaço complexo conjugado 
, denominada equação subsidiária, através das transformadas de Laplace.
A equação subsidiária, no plano complexo conjugado, é resolvida por métodos puramente algébricos.
A solução da equação subsidiária, no plano complexo conjugado, é transformada, através das transformadas inversas de Laplace em uma resultado pertencente ao espaço real 
. 
Transformada de Laplace
Seja 
 uma função definida para todo 
, então se 
 for multiplicada por 
 e integrado, de 
 a 
, em relação ao 
, então se a integral 
	
 
existe tem-se que 
 é a Transformada de Laplace, isto é, 
	
, 
ou seja, a Transformada de Laplace 
 é dada pela função 
 no plano complexo conjugado.
Exemplo: Dê a Transformada de Laplace de 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Encontre a Transformada de Laplace da função 
.
Resposta: 
.
Exercício: Dê a Inversa da Transformada de Laplace de 
. 
Resposta:. 
Teorema da Linearidade
A transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções 
 e 
 cujas transformadas de Laplace existam e quaisquer constantes 
 e 
 tem-se
	
,
onde 
 e 
 são constantes.
Exemplo: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Exercício: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Teorema do deslocamento 
Se 
quando 
, segue-se que
 para 
;
isto é, a substituição de 
 por 
 na transformada corresponde à multiplicação da função original por 
.
Exemplo: Usando o Teorema do Deslocamento encontre a Transformada de Laplace de 
 para 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Usando o Teorema do Deslocamento encontre a Transformada de Laplace de 
 para 
. 
Resposta: 
.
Teorema da derivada 
Supondo que 
 seja contínua para 
, satisfaça 
 e possua uma derivada 
 contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito situado em 
. Então, a transformada de Laplace da derivada 
 existe, quando 
, e
 quando 
, 
a derivada de segunda ordem será:
	
,
a derivada de terceira ordem será:
	
,
etc.
Exemplo do Teorema da derivada: Seja 
, determinar 
.
Então
	
	
, 
 e 
assim 
,
como 
,
obtém-se 
.
Por tanto, 
,
,
donde 
 .
Teorema da Integração 
Se 
 é contínua em intervalos e satisfaz à condição 
para qualquer 
, para determinados 
 e 
, então 
Donde 
, 
isto é, 
Exemplo: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
,
e
resolvendo a integral 
 por partes, tem-se
,
Por tanto, tem-se:
e finalmente, 	
, 
ou seja, Resposta: 
.
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
 	
Resposta: 
 
	A transformada de Laplace transforma equações diferenciais e integrais do espaço real, em equações algébricas no plano complexo, onde elas podem ser resolvidas algebricamente, para depois retonar o resultado ao plano real através da transformada de Laplace inversa.
Transformação de Laplace
Se é contínua em intervalos e satisfaz à condição para qualquer, para determinados e, então 
Tabela das Principais Transformadas
�
Exercícios
1o Exercício: Determinar os zeros e pontos singulares da função 
.
2o Exercício: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
3o Exercício: Usando o Teorema do Deslocamento encontre a Transformada de Laplace de 
 para 
.
4o Exercício: Empregando o teorema da linearidade a transformada de
.
Resposta:
Teorema da derivada
Teorema da derivada: Supondo que 
 seja contínua para 
, satisfaça 
 e possua uma derivada 
 contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito situado em 
. Então, a transformada de Laplace da derivada 
 existe, quando 
, e 
 quando 
, 
a derivada de segunda ordem será:
	
,
a derivada de terceira ordem será:
	
,
etc.
Exemplo: Seja 
, determinar 
.
Então	
, 
 e 
como, 
, 
da 
,
obtém-se 
, donde 
 .
Exemplo: Seja 
, determinar 
.
Então
	
	
, 
 e 
assim 
,
como 
,
obtém-se 
.
Por tanto, 
,
Observação: 
Obtenção de 
, também usando ao teorema da derivada:
 
	
	
, 
 e 
,
, 
,
 
 
,
donde 
 .
Exercício: Usando o Teorema da Derivada encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Solução: Usando o Teorema da derivada, isto é,
A derivada de primeira ordem é: 
 ,
 e a derivada de segunda ordem é: 
, faz-se
�� EMBED Equation.2 ,
�� EMBED Equation.2 e 
da 
,
obtém-se 
, donde
 
Resposta: 
.
Objetivo da seção: O aluno deverá reconhecer os conceitos do teorema da derivada e da integração para encontrar a Transformada de Laplace.
Teorema da derivada
Supondo que 
 seja contínua para 
, satisfaça 
e possua uma derivada 
 contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito situado em 
. Então, a transformada de Laplace da derivada 
 existe, quando 
, e
 quando 
, 
a derivada de segunda ordemserá:
	
,
a derivada de terceira ordem será:
	
,
etc.
Exemplo: Seja 
, determinar 
.
Então
	
, 
 e 
como, 
, da 
,
obtém-se 
, donde 
 .
Exemplo: Seja 
, determinar 
.
Então		
	
	
, 
 e 
assim 
,
como 
,
obtém-se 
.
Por tanto, 
,
Observação: 
Obtenção de 
, também usando ao teorema da derivada:
 
	
	
, 
 e 
,
, 
,
 
 
,
donde 
 .
Exercício: Usando o Teorema da Derivada encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Solução: Usando o Teorema da derivada, isto é,
A derivada de primeira ordem é: 
 ,
 e a derivada de segunda ordem é: 
, faz-se
�� EMBED Equation.2 ,
�� EMBED Equation.2 e 
da 
,
obtém-se 
, donde
 
Resposta: 
.
Transformada Inversa de Laplace
 Seja 
 uma função definida no plano complexo conjugado então a função 
 é a função primitiva, no espaço real 
, que teria gera a função 
 no plano complexo conjugado, então 
	
 
as quais deve-se obter em tabelas onde constam as Transformas de Laplace 
 e suas inversas ou primitivas 
.
Exemplo: Seja 
, para obter-se a sua inversa deve se obter a transformada da primitiva, o que normalmente é feito através de tabelas, ou então, 
	
,
donde
	
Exercícios
1o Exercício: Usando o Teorema da Derivada encontre a Transformada de Laplace de 
.
2o Exercício: Usando o Teorema da Derivada encontre a Transformada de Laplace de 
.
Se 
 é contínua em intervalos e satisfaz à condição 
para qualquer 
, para determinados 
 e 
, então 
Supondo que 
 seja contínua em intervalos e satisfaz à condição 
para qualquer 
, para determinados 
 e 
. Então a integral 
é contínua e empregando 
, obtém-se:
E como, 
, exceto nos pontos descontínuos de
. Donde, 
 é contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito e, de acordo com os Teoremas da Linearidade e da Derivada, tem-se:
	
.
Evidentemente, 
, já que 
, e por tanto, 
,
ou seja,
donde
, 
isto é, 
Exemplo: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
.
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral a primeira vez, segue-se que: 
,
Aplicando-se novamente o teorema da integral segue-se que:
, 
e finalmente,
	
,
ou seja,
Resposta: 
.
Exemplo: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
,
e
,
resolvendo a integral 
 por partes, tem-se
��EMBED Equation.3��EMBED Equation.3,
Portanto, tem-se:
e finalmente,
,
ou seja, 	Resposta: 
.
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
Resposta: 
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral a primeira vez, segue-se que: 
Aplicando-se novamente o teorema da integral segue-se que:
Resposta:
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução:
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que:
Resposta:
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral a primeira vez, segue-se que: 
Aplicando-se novamente o teorema da integral segue-se que:
e finalmente:
 
, 
Resposta:
Exercícios
1o Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
 quando a Transformada de Laplace vale 
2o Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
 quando a Transformada de Laplace vale 
3o Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
 quando a Transformada de Laplace vale 
. 
4o Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
. 
5o Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
. 
�
Objetivo da seção: O aluno deverá reconhecer os conceitos do Teorema da Integração e o método das frações parciais para resolução de exercícios de Transformada de Laplace.
Método das frações parciais
Fator Complexo 
 não Repetido
Quando um fator é complexo conjugado, isto é, 
 faz-se:
	
donde
e a transformada inversa de Laplace será dada por
 
,
onde 
 são obtidos como segue:
 para 
Exemplo: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde,
,
e finalmente tem-se:
.
Exercício: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde,
,
e finalmente tem-se:
.
Transformação de equações diferenciais ordinárias
As equações lineares ordinárias com coeficientes constantes podem ser reduzidas a equações algébricas, onde a incógnita é a transformada. Considerando-se por exemplo a equação
	
onde 
 e 
são dados. Aplicando a transformada de Laplace e empregando o teorema da derivada, obtém-se
	
onde 
 é a transformada de Laplace da função incógnita 
 e 
 é a transformada de Laplace de 
. Esta equação algébrica é denominada equação subsidiária da equação diferencial dada. E sua solução será
	
.
Note-se que 
 fica completamente determinado para 
 e 
.
A última etapa do processo consiste em determinar a inversa 
, que então será a solução procurada.
Exemplo: Empregando a transformada de Laplace resolver o seguinte problema de valor inicial :
.
Exercício: Empregando a transformada de Laplace resolver o seguinte problema de valor inicial :
.
Exercício: Empregando a transformada de Laplace resolver o seguinte problema de valor inicial :
.
Exemplo: Problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para as derivadas de segunda e de primeira ordem têm-se:
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
Exercícios
1o Exercício: Dê a Transformada Inversa da Transformada de Laplace empregando o método de frações parciais de 
.
2o Exercício: Empregando a transformada de Laplace resolver o seguinte problema de valor inicial:
.
3o Exercício: Empregando a transformada de Laplace resolver o seguinte problema de valor inicial:
.
Exemplo: Seja 
 uma transformada de Laplace, determinar a sua transformada inversa
.
O denominador possui três raízes, ou fatores lineares distintos, assim
,
donde 
Resolvido este sistema de três equações a três incógnitas, obtém-se 
,
donde 
Exercício: Dê a Transformada Inversa da Transformada de Laplace
empregando o método de frações parciais de 
.
Em muitos casos de resolução de equações diferenciais,a equação subsidiária de uma equação diferencial será da forma 
, 
onde 
 e 
 são polinômios em 
. Casos nos quais é possível determinar 
 exprimindo 
 em termos de frações parciais, onde 
 e 
 não possuem fatores em comum, possuem coeficientes reais e o grau de 
 é menor que o grau de 
.
Seja 
 uma raiz 
. Então, a transformada inversa da fração (ou frações) parcial que corresponde a 
 na representação de 
 em termos de frações parciais, são obtidas como segue:
Fator não repetido 
 
Neste caso
onde 
 indica a soma das frações parciais que correspondem a todos o fatores lineares (repetidos ou não) de 
 que não estão sendo levados em conta. E a transformada inversa é
	
onde
 é dado por uma das duas expressões
	
 ou 
e 
 é a função que resta após a remoção do fator 
 de 
em 
, isto é, 
	
O índice inferior 
 em 
 acentua o fato de que 
 depende apenas de 
 e ao ser modificado passa-se de um fator linear para outro.
Exemplo: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para três fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
, 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
Assim, a transformada inversa será:
	
.
Exercício: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para dois fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
Assim, a transformada inversa será:
	
.
Fator Repetido 
Quando um fator é repetido 
 vezes, isto é, 
 faz-se:
a transformada inversa será
	
onde
 é dado pela expressão:
	
 onde 
 
, neste caso,
 é a função que resta após a remoção dos fatores 
 de 
em 
, isto é, 
	
.
Exercício: Problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para as derivadas de segunda e de primeira ordem têm-se:
	
	
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
Fator Complexo 
 não Repetido
Quando um fator é complexo conjugado, isto é, 
 faz-se:
	
donde
e a transformada inversa de Laplace será dada por
 
,
onde 
 são obtidos como segue:
 para 
Exemplo: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde, 	
,
e finalmente tem-se:
.
Exercício: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim, 	
	
	
E 	
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 	donde,
,
e finalmente tem-se: 	
. 
�
Objetivo da seção: O aluno deverá identificar métodos de resolução de equações diferenciais, através da solução de exercícios práticos.
Em muitos casos de resolução de equações diferenciais, a equação subsidiária de uma equação diferencial será da forma 
, 
onde 
 e 
 são polinômios em 
. Casos nos quais é possível determinar 
 exprimindo 
 em termos de frações parciais, onde 
 e 
 não possuem fatores em comum, possuem coeficientes reais e o grau de 
 é menor que o grau de 
.
Seja 
 uma raiz 
. Então, a transformada inversa da fração (ou frações) parcial que corresponde a 
 na representação de 
 em termos de frações parciais, são obtidas como segue:
Fator não repetido s-a:
 
Neste caso
onde 
 indica a soma das frações parciais que correspondem a todos o fatores lineares (repetidos ou não) de 
 que não estão sendo levados em conta. E a transformada inversa é
	
onde
 é dado por uma das duas expressões
	
 ou 
e 
 é a função que resta após a remoção do fator 
 de 
em 
, isto é, 
	
O índice inferior 
 em 
 acentua o fato de que 
 depende apenas de 
 e ao ser modificado passa-se de um fator linear para outro.
Exemplo: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para três fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
, 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
Assim, a transformada inversa será:
	
.
Exercício: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para dois fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
Assim, a transformada inversa será:
	
.
Fator Repetido 
Quando um fator é repetido 
 vezes, isto é, 
 faz-se:
a transformada inversa será
	
onde
 é dado pela expressão:
	
 onde 
 
, neste caso,
 é a função que resta após a remoção dos fatores 
 de 
em 
, isto é, 
	
.
Exemplo: Problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para as derivadas de segunda e de primeira ordem têm-se:
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
Exercício: Problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para as derivadas de segunda e de primeira ordem têm-se:
	
	
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
Fator Complexo s-a não Repetido
Quando um fator é complexo conjugado, isto é, 
 faz-se:
	
donde
e a transformada inversa de Laplace será dada por
 
,
onde 
 são obtidos como segue:
 para 
Exemplo: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde,
,
e finalmente tem-se:
.
Exercício: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde,
,
e finalmente tem-se:
.
Exercício: Determinar as oscilações forçadas e a ressonância que correspondem ao problema de valor inicial (vide Figura) 
A equação que governa oscilações forçadas de um corpo de massa “
” ligado à extremidade inferior de uma mola elástica, de coeficiente de elasticidade “
”, cuja extremidade superior está fixa, e 
 é a força aplicada.
Fazendo,
 e 
 
a equação diferencial pode ser rescrita, como segue:
Transformação de Laplace (Resumo)
A transformação de Laplace consiste em três etapas:
A equação diferencial, no espaço real 
, é transformada em uma equação algébrica, no espaço complexo conjugado 
, denominada equação subsidiária, através das transformadas de Laplace.
A equação subsidiária,no plano complexo conjugado, é resolvida por métodos puramente algébricos.
A solução da equação subsidiária, no plano complexo conjugado, é transformada, através das transformadas inversas de Laplace em uma resultado pertencente ao espaço real 
. 
Transformada de Laplace: 
Seja 
 uma função definida para todo 
, então se 
 for multiplicada por 
 e integrado, de 
 a 
, em relação ao 
, então se a integral 
	
 
existe tem-se que 
 é a Transformada de Laplace, isto é, 
	
, 
ou seja, a Transformada de Laplace 
 é dada pela função 
 no plano complexo conjugado.
Exemplo: Dê a Transformada de Laplace de 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Encontre a Transformada de Laplace da função 
.
Resposta: 
.
Exercício: Dê a Inversa da Transformada de Laplace de 
. 
Resposta:. 
Teorema da Linearidade
A transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções 
 e 
 cujas transformadas de Laplace existam e quaisquer constantes 
 e 
 tem-se
	
,
onde 
 e 
 são constantes.
Exemplo: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Exercício: Usando o Teorema da Linearidade encontre a Transformada de Laplace de 
. 
Teorema do deslocamento 
Se 
quando 
, segue-se que
 para 
;
isto é, a substituição de 
 por 
 na transformada corresponde à multiplicação da função original por 
.
	
Exemplo: Usando o Teorema do Deslocamento encontre a Transformada de Laplace de 
 para 
. 
Resposta: 
.
Exercício: Usando o Teorema do Deslocamento encontre a Transformada de Laplace de 
 para 
. 
Resposta: 
.
Teorema da derivada 
Supondo que 
 seja contínua para 
, satisfaça 
 e possua uma derivada 
 contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito situado em 
. Então, a transformada de Laplace da derivada 
 existe, quando 
, e
 quando 
, 
a derivada de segunda ordem será:
	
,
a derivada de terceira ordem será:
	
,
etc.
Exemplo do Teorema da derivada: Seja 
, determinar 
.
Então
	
	
, 
 e 
assim 
,
como 
,
obtém-se 
.
Por tanto, 
,
,
donde 
 .
Teorema da Integração 
Se 
 é contínua em intervalos e satisfaz à condição 
para qualquer 
, para determinados 
 e 
, então 
donde
, 
isto é, 
Exemplo: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
, da tabela tem-se 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
,
e
resolvendo a integral 
 por partes, tem-se
,
Por tanto, tem-se:
e finalmente,
,
ou seja,
Resposta: 
.
Exercício: Usando o teorema da integral determinar 
quando a Transformada de Laplace vale 
. 
Solução: 
Aplicando-se o teorema da integral segue-se que: 
Resposta: 
Método das frações parciais
Exemplo: Seja 
 uma transformada de Laplace, determinar a sua transformada inversa
.
O denominador possui três raízes, ou fatores lineares distintos, assim
,
donde 
Resolvido este sistema de três equações a três incógnitas, obtém-se 
,
donde 
�
Fator não repetido s-a:
Neste caso
onde 
 indica a soma das frações parciais que correspondem a todos o fatores lineares (repetidos ou não) de 
 que não estão sendo levados em conta. E a transformada inversa é
	
onde
 é dado por uma das duas expressões
	
 ou 
e 
 é a função que resta após a remoção do fator 
 de 
em 
, isto é, 
	
O índice inferior 
 em 
 acentua o fato de que 
 depende apenas de 
 e ao ser modificado passa-se de um fator linear para outro.
Exemplo: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para três fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
, 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
Neste caso
onde 
 indica a soma das frações parciais que correspondem a todos o fatores lineares (repetidos ou não) de 
 que não estão sendo levados em conta. E a transformada inversa é
	
onde
 é dado por uma das duas expressões
	
 ou 
e 
 é a função que resta após a remoção do fator 
 de 
em 
, isto 
é, 
	
O índice inferior 
 em 
 acentua o fato de que 
 depende apenas de 
 e ao ser modificado passa-se de um fator linear para outro.
Exemplo: determinar a transformada inversa de 
	
, 
resolvendo 
, isto é, 
, o denominador passa para três fatores distintos 
, correspondentes às raízes 
, 
 e 
. Assim,
, 
e
 
Assim, três incógnitas podem ser encontradas diretamente, ou seja,
	
	
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
Fator Complexo s-a não Repetido
Quando um fator é complexo conjugado, isto é, 
 faz-se:
	
donde
e a transformada inversa de Laplace será dada por
 
,
onde 
 são obtidos como segue:
 para 
Exemplo: Determinar as oscilações livres amortecidas que correspondem ao problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para obter a equação subsidiária, obtém-se:
	
	
	
	
	
.
Assim,
	
	
e
onde 
 são obtidos por:
,
isto é,
 
donde,
,
e finalmente tem-se:
.
Transformação de equações diferenciais ordinárias
As equações lineares ordinárias com coeficientes constantes podem ser reduzidas a equações algébricas, onde a incógnita é a transformada. Considerando-se por exemplo a equação
 
	
onde 
 e 
são dados. Aplicando a transformada de Laplace e empregando o teorema da derivada, obtém-se
	
onde 
 é a transformada de Laplace da função incógnita 
 e 
 é a transformada de Laplace de 
. Esta equação algébrica é denominada equação subsidiária da equação diferencial dada. E sua solução será
	
.
Note-se que 
 fica completamente determinado para 
 e 
.
	A última etapa do processo consiste em determinar a inversa 
, que então será a solução procurada.
Exemplo: Problema de valor inicial
	
Aplicando o teorema da derivada para as derivadas de segunda e de primeira ordem têm-se:
	
	
	
.
Onde, pelo fato de haver 
, isto é, um fator repetido, isto é, faz-se
, isto é,
�
Objetivo da seção: O aluno deverá exercitar todos os conceitos adquiridos nas seções anteriores.
1) Calcule L{f(t)}, sendo: 
a) f(t) = 4t3 + 5e-3t –6t +5cos(6t) –2			b) f(t) = 5e3t cos(2t) +4sen(5t) – 4e-tsen(4t)
2) Completando primeiro o quadrado, ache a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
a) 
	 
b) 
	 
c) 
	 
d) 
	 
3) Use o método de frações parciais para decompor as funções e encontre as Transformadas Inversas de Laplace em cada função: 
a) 
	 
b) 
	 
�
4) Calcule a L-1{F(s)}, sendo:
a) F(s) = 
	 
b) F(s) = 
	 
c) F(s) = 
	 
d) F(s) = 
	 
e) F(s) = 
	 
f) F(s) = 
	 
g) F(s) = 
	 
5) Resolva as seguintes equações diferenciais:
, 
	 Resp.:
, 
	 Resp.:
, 
	 Resp.:
,Resp.:
, 
 e 
	 Resp.:
, 
	 Resp.:
�
Objetivo da seção: O aluno deverá identificar as transformadas de Laplace.
Transformada de Laplace - Definição: 
 L{
} = 
 
Tabela das Transformadas de Laplace: 
	
	
 f(t) 
	 F(s) 
	
	
 
	
 L{
} 
	 
 1-a
	0 
	0 
	 b
	k 
	
 
	 c
	1 
	
 
	 d
	 t 
	
 
	 e
	
 
	
 
	 f
	
 
	
 
	 g
	
 
	
 
	 h
	
 
	
	 2.a
	
 
	
 
	 b
	
 
	
 
	 3 
	
 
	
 
	 4 
	
 
	
 
	 5 
	
 
	
 
	 6 
	
 
	
 
	 7.a
	
 
	
 
	 b
	
 
	
 
	 c
	
 
	
 
	 d
	
 
	
 
	 e
	
 
	
 
	 f
	
 
	
 
	 g
	
 
	
 
	 h
	
 
	
 
	 i
	
 
	
 
	 j
	
 
	
 
	 8 
	
 
	
 
	 9 
	
 
	
 
	 10.a
	
 x(t) 
	X(s) 
	 b
	
	s X(s) – x(0) 
	 c
	
	
 
	 d
	
	
 
Seção 01
-2(
Matemática Aplicada
Prof. Peterson Ricardo Rodrigues
-(
2(
(
1
-1
f(x)
2(
x
a
b
Onda quadrada até o 5º termo
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Seções 02 e 03
�
�
�
�
Seção 04
� EMBED Equation.3 ��� (� EMBED Equation.3 ��� variável real)�
� EMBED Equation.3 ��� (� EMBED Equation.3 ��� variável complexa)�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ���(� EMBED Equation.3 ��� real)�
� EMBED Equation.3 ����
�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
�
� EMBED Equation.3 ��� (� EMBED Equation.3 ��� inteiro positivo)�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
�
� EMBED Equation.3 ��� (� EMBED Equation.3 ��� real positivo)�
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
� EMBED Equation.3 ����
�
Seção 05
Seção 06
Seções 07 e 08
�
�
Exercícios extras
Tabela das Transformadas de Laplace
�
_1097316177.unknown
_1318253649.unknown
_1319597528.unknown
_1319947003.unknown
_1320408553.unknown
_1322183155.unknown
_1322186456.unknown
_1348492090.unknown
_1348492179.unknown
_1348492501.unknown
_1348492537.unknown
_1348492105.unknown
_1348491698.unknown
_1348491748.unknown
_1322187706.unknown
_1322187858.unknown
_1322188037.unknown
_1322188233.unknown
_1322308385.unknown
_1322188116.unknown
_1322187972.unknown
_1322187719.unknown
_1322187359.unknown
_1322187445.unknown
_1322186989.unknown
_1322187323.unknown
_1322186508.unknown
_1322186971.unknown
_1322183429.unknown
_1322184566.unknown
_1322185614.unknown
_1322185655.unknown
_1322185869.unknown
_1322185942.unknown
_1322186370.unknown
_1322185906.unknown
_1322185857.unknown
_1322185645.unknown
_1322185434.unknown
_1322185601.unknown
_1322185181.unknown
_1322185189.unknown
_1322184638.unknown
_1322184212.unknown
_1322184330.unknown
_1322184369.unknown
_1322184224.unknown
_1322184054.unknown
_1322184116.unknown
_1322183518.unknown
_1322183747.unknown
_1322183509.unknown
_1322183365.unknown
_1322183398.unknown
_1322183420.unknown
_1322183385.unknown
_1322183305.unknown
_1322183354.unknown
_1322183227.unknown
_1320452140.unknown
_1320452450.unknown
_1322127967.unknown
_1322128106.unknown
_1322130407.unknown
_1322182988.unknown
_1322130612.unknown
_1322129424.unknown
_1322128083.unknown
_1322127768.unknown
_1322127845.unknown
_1320452492.unknown
_1320452275.unknown
_1320452420.unknown
_1320452225.unknown
_1320408575.unknown
_1320408593.unknown
_1320407869.unknown
_1320408167.unknown
_1320408395.unknown
_1320408434.unknown
_1320408210.unknown
_1320407948.unknown
_1319947295.unknown
_1320232059.unknown
_1320232138.unknown
_1320232264.unknown
_1320232117.unknown
_1320229125.unknown
_1319947247.unknown
_1319788037.unknown
_1319788094.unknown
_1319788111.unknown
_1319788136.unknown
_1319600160.unknown
_1319634619.unknown
_1319634719.unknown
_1319787627.unknown
_1319787920.unknown
_1319634701.unknown
_1319600240.unknown
_1319621723.unknown
_1319597578.unknown
_1319598174.unknown
_1319598345.unknown
_1319600056.unknown
_1319598329.unknown
_1319597637.unknown
_1319597545.unknown
_1318418692.unknown
_1318421141.unknown
_1319596003.unknown
_1319597422.unknown
_1319597449.unknown
_1319596565.unknown
_1319597002.unknown
_1318421507.unknown
_1318421641.unknown
_1318422273.unknown
_1319594895.unknown
_1318421672.unknown
_1318421578.unknown
_1318421441.unknown
_1318421477.unknown
_1318421280.unknown
_1318418842.unknown
_1318420706.unknown
_1318420787.unknown
_1318420649.unknown
_1318418790.unknown
_1318418814.unknown
_1318339502.unknown
_1318418572.unknown
_1318418602.unknown
_1318418413.unknown
_1318418453.unknown
_1318339562.unknown
_1318254360.unknown
_1318254488.unknown
_1318254392.unknown
_1318253920.unknown
_1318253992.unknown
_1318254241.unknown
_1318253767.unknown
_1097327476.unknown
_1206355071.unknown
_1206359977.unknown
_1232966561.unknown
_1283220481.unknown
_1318175728.unknown
_1318253272.unknown
_1318253487.unknown
_1318253567.unknown
_1318253422.unknown
_1318175730.unknown
_1318175731.unknown
_1318175729.unknown
_1300675178.unknown
_1318167176.unknown
_1318167236.unknown
_1318167266.unknown
_1318167297.unknown
_1318167214.unknown
_1318160354.unknown
_1318167111.unknown
_1318159278.unknown
_1318159393.unknown
_1318159475.unknown
_1318159317.unknown
_1300675179.unknown
_1283221794.unknown
_1283222072.unknown
_1300675043.unknown
_1300675073.unknown
_1300674991.unknown
_1283222671.unknown
_1283221997.unknown
_1283220901.unknown
_1283221710.unknown
_1283220757.unknown
_1283220839.unknown
_1283220615.unknown
_1283219686.unknown
_1283219696.unknown
_1283219700.unknown
_1283219702.unknown
_1283219710.unknown
_1283219712.unknown
_1283219851.unknown
_1283219711.unknown
_1283219703.unknown
_1283219701.unknown
_1283219698.unknown
_1283219699.unknown
_1283219697.unknown
_1283219692.unknown
_1283219694.unknown
_1283219695.unknown
_1283219693.unknown
_1283219690.unknown
_1283219691.unknown
_1283219688.unknown
_1283219669.unknown
_1283219680.unknown
_1283219683.unknown
_1283219684.unknown
_1283219681.unknown
_1283219672.unknown
_1283219679.unknown
_1283219671.unknown
_1232991117.unknown
_1283219667.unknown
_1283219668.unknown
_1232991225.unknown
_1232980360.unknown
_1232987036.unknown
_1232980165.unknown
_1206362249.unknown
_1232965917.unknown_1232966500.unknown
_1232966536.unknown
_1232966544.unknown
_1232966219.unknown
_1232965808.unknown
_1206362598.unknown
_1206967860.unknown
_1206968031.unknown
_1206968102.unknown
_1206967831.unknown
_1206362438.unknown
_1206361175.unknown
_1206361225.unknown
_1206361238.unknown
_1206360630.unknown
_1206360942.unknown
_1206360578.unknown
_1206360248.unknown
_1206360281.unknown
_1206356779.unknown
_1206357286.unknown
_1206357476.unknown
_1206358268.unknown
_1206358508.unknown
_1206358828.unknown
_1206358247.unknown
_1206357402.unknown
_1206357058.unknown
_1206357188.unknown
_1206356997.unknown
_1206355612.unknown
_1206356609.unknown
_1206356629.unknown
_1206356103.unknown
_1206356199.unknown
_1206356052.unknown
_1206355564.unknown
_1176896723.unknown
_1203936550.unknown
_1204544947.unknown
_1206345555.unknown
_1206353748.unknown
_1206353806.unknown
_1206354581.unknown
_1206354598.unknown
_1206354829.unknown
_1206354354.unknown
_1206353783.unknown
_1206353638.unknown
_1206353712.unknown
_1206345697.unknown
_1204545304.unknown
_1204545505.unknown
_1206343371.unknown
_1206343699.unknown
_1206344066.unknown
_1206343477.unknown
_1206342698.unknown
_1204547758.unknown
_1204545381.unknown
_1204545437.unknown
_1204545336.unknown
_1204545198.unknown
_1204545247.unknown
_1204545287.unknown
_1204545179.unknown
_1204543916.unknown
_1204544159.unknown
_1204544629.unknown
_1204544880.unknown
_1204544310.unknown
_1204544087.unknown
_1204543548.unknown
_1204543870.unknown
_1204543882.unknown
_1204543893.unknown
_1204543563.unknown
_1204541395.unknown
_1204541351.unknown
_1177134866.unknown
_1177135177.unknown
_1177135320.unknown
_1178792407.unknown
_1178792501.unknown
_1178792573.unknown
_1178792595.unknown
_1178792655.unknown
_1178792543.unknown
_1178792422.unknown
_1178792296.unknown
_1178792308.unknown
_1177135401.unknown
_1177135204.unknown
_1177135260.unknown
_1177135190.unknown
_1177135106.unknown
_1177135142.unknown
_1177135154.unknown
_1176899549.unknown
_1176899737.unknown
_1176899788.unknown
_1176899810.unknown
_1176899814.unknown
_1177134706.unknown
_1176899806.unknown
_1176899741.unknown
_1176899764.unknown
_1176899563.unknown
_1176899642.unknown
_1176899697.unknown
_1176899701.unknown
_1176899672.unknown
_1176899630.unknown
_1176899553.unknown
_1176899559.unknown
_1176899456.unknown
_1176899465.unknown
_1176899475.unknown
_1176899542.unknown
_1176899460.unknown
_1176897997.unknown
_1176899450.unknown
_1176898052.unknown
_1176899437.unknown
_1176898349.unknown
_1176899415.unknown
_1176899432.unknown
_1176899002.unknown
_1176898307.unknown
_1176896731.unknown
_1176897121.unknown
_1176897708.unknown
_1176897762.unknown
_1176897770.unknown
_1176897895.unknown
_1176897722.unknown
_1176897222.unknown
_1176897700.unknown
_1176896808.unknown
_1145450935.unknown
_1176894208.unknown
_1176894650.unknown
_1176894692.unknown
_1176896419.unknown
_1176896487.unknown
_1176896658.unknown
_1176896704.unknown
_1176896459.unknown
_1176896403.unknown
_1176895334.unknown
_1176896031.unknown
_1176896036.unknown
_1176895959.unknown
_1176895970.unknown
_1176895979.unknown
_1176895991.unknown
_1176895995.unknown
_1176895983.unknown
_1176895975.unknown
_1176895963.unknown
_1176895949.unknown
_1176895954.unknown
_1176895743.unknown
_1176895164.unknown
_1176895193.unknown
_1176894768.unknown
_1176894881.unknown
_1176894668.unknown
_1176894615.unknown
_1146219850.unknown
_1146220205.unknown
_1146222126.unknown
_1146222167.unknown
_1146222603.unknown
_1146222621.unknown
_1146221369.unknown
_1146221655.unknown
_1146221727.unknown
_1146221398.unknown
_1146220502.unknown
_1146220263.unknown
_1146220498.unknown
_1146220253.unknown
_1146220044.unknown
_1146220163.unknown
_1146219895.unknown
_1145451117.unknown
_1145451254.unknown
_1146039957.unknown
_1146218999.unknown
_1146219112.unknown
_1146219191.unknown
_1146219338.unknown
_1146219772.unknown
_1146219220.unknown
_1146219139.unknown
_1146219056.unknown
_1146047849.unknown
_1146047904.unknown
_1146047911.unknown
_1146039410.unknown
_1145451144.unknown
_1145450946.unknown
_1144242296.unknown
_1145450338.unknown
_1145450648.unknown
_1145450702.unknown
_1145450728.unknown
_1145450767.unknown
_1145450429.unknown
_1145450415.unknown
_1144242506.unknown
_1144242507.unknown
_1144242302.unknown
_1097328744.unknown
_1116142277.unknown
_1116142426.unknown
_1127651342.unknown
_1127651369.unknown
_1144237640.unknown
_1127637848.unknown
_1127649237.unknown
_1127649428.unknown
_1116227068.unknown
_1116227028.unknown
_1116142347.unknown
_1116142385.unknown
_1116142397.unknown
_1116142370.unknown
_1116142319.unknown
_1116142330.unknown
_1116142291.unknown
_1097329343.unknown
_1097329567.unknown
_1114683970.unknown
_1097329358.unknown
_1097329129.unknown
_1097329245.unknown
_1097328790.unknown
_1097329082.unknown
_1097328782.unknown
_1097328036.unknown
_1097328478.unknown
_1097328535.unknown
_1097328374.unknown
_1097327814.unknown
_1097327997.unknown
_1097327522.unknown
_1097324119.unknown
_1097326683.unknown
_1097327026.unknown
_1097327193.unknown
_1097327217.unknown
_1097327077.unknown
_1097326789.unknown
_1097327014.unknown
_1097326772.unknown
_1097326524.unknown
_1097326653.unknown
_1097326663.unknown
_1097326610.unknown
_1097325670.unknown
_1097325721.unknown
_1097326500.unknown
_1097324433.unknown
_1097323041.unknown
_1097323116.unknown
_1097323810.unknown
_1097323909.unknown
_1097323154.unknown
_1097323050.unknown
_1097323081.unknown
_1097323045.unknown
_1097322788.unknown
_1097322947.unknown
_1097322976.unknown
_1097322901.unknown
_1097321793.unknown
_1097322092.unknown
_1097316359.unknown
_1097310532.unknown
_1097312244.unknown
_1097312884.unknown
_1097313131.unknown
_1097313980.unknown
_1097316010.unknown
_1097316094.unknown
_1097316124.unknown
_1097316034.unknown
_1097314635.unknown
_1097313166.unknown
_1097313269.unknown
_1097313152.unknown
_1097313006.unknown
_1097313019.unknown
_1097313118.unknown
_1097313091.unknown
_1097313011.unknown
_1097312940.unknown
_1097312958.unknown
_1097312935.unknown
_1097312646.unknown
_1097312729.unknown
_1097312794.unknown
_1097312855.unknown
_1097312744.unknown
_1097312663.unknown
_1097312671.unknown
_1097312302.unknown
_1097312358.unknown
_1097312432.unknown
_1097312615.unknown
_1097312315.unknown
_1097311451.unknown
_1097312017.unknown
_1097312224.unknown
_1097312094.unknown
_1097312170.unknown
_1097312061.unknown
_1097311805.unknown
_1097311940.unknown
_1097311996.unknown
_1097311900.unknown
_1097311743.unknown
_1097311779.unknown
_1097311735.unknown
_1097310948.unknown
_1097311240.unknown
_1097311364.unknown
_1097311408.unknown
_1097311277.unknown
_1097311009.unknown
_1097311036.unknown
_1097310977.unknown
_1097310819.unknown
_1097310901.unknown
_1097310682.unknown
_1097310719.unknown
_1097310567.unknown
_1049286893.unknown
_1088934443.unknown
_1097307578.unknown
_1097309463.unknown
_1097309954.unknown
_1097310086.unknown
_1097310426.unknown
_1097310052.unknown
_1097309654.unknown
_1097309932.unknown
_1097309512.unknown_1097308513.unknown
_1097309387.unknown
_1097309428.unknown
_1097309450.unknown
_1097308807.unknown
_1097308827.unknown
_1097308729.unknown
_1097308772.unknown
_1097308110.unknown
_1097308293.unknown
_1097308361.unknown
_1097308464.unknown
_1097308192.unknown
_1097307869.unknown
_1097307896.unknown
_1097307678.unknown
_1097306338.unknown
_1097307306.unknown
_1097307516.unknown
_1097307533.unknown
_1097307450.unknown
_1097306540.unknown
_1097307115.unknown
_1097307221.unknown
_1097306447.unknown
_1097306483.unknown
_1097306385.unknown
_1088934737.unknown
_1097306203.unknown
_1097306294.unknown
_1097306090.unknown
_1088934504.unknown
_1088934523.unknown
_1088934486.unknown
_1088934495.unknown
_1088933284.unknown
_1088933783.unknown
_1088933954.unknown
_1088934097.unknown
_1088934115.unknown
_1088934164.unknown
_1088934066.unknown
_1088933855.unknown
_1088933917.unknown
_1088933836.unknown
_1088933551.unknown
_1088933564.unknown
_1088933642.unknown
_1088933532.unknown
_1088933309.unknown
_1063802890.unknown
_1066825768.unknown
_1066827946.unknown
_1066828540.unknown
_1066828848.unknown
_1068635690.unknown
_1080653700.unknown
_1082445007.unknown
_1084871828.unknown
_1088931511.unknown
_1088933252.unknown
_1088931551.unknown
_1084871856.unknown
_1083487932.unknown
_1083501672.unknown
_1083502097.unknown
_1084090061.unknown
_1084090168.unknown
_1084090272.unknown
_1084084657.unknown
_1084084709.unknown
_1084085651.unknown
_1084084223.unknown
_1084084260.unknown
_1083502272.unknown
_1083501849.unknown
_1083502035.unknown
_1083501705.unknown
_1083501274.unknown
_1083501541.unknown
_1083501630.unknown
_1083501525.unknown
_1083501307.unknown
_1083496799.unknown
_1083496998.unknown
_1083499583.unknown
_1083500159.unknown
_1083499365.unknown
_1083496849.unknown
_1083488993.unknown
_1083489410.unknown
_1083489870.unknown
_1083496534.unknown
_1083489160.unknown
_1083488645.unknown
_1083486801.unknown
_1083486838.unknown
_1083486400.unknown
_1081859663.unknown
_1068636637.unknown
_1080653688.unknown
_1068637160.unknown
_1069219933.unknown
_1068637146.unknown
_1068636093.unknown
_1068636217.unknown
_1068636564.unknown
_1068636174.unknown
_1068636187.unknown
_1068636201.unknown
_1068636156.unknown
_1068635857.unknown
_1068635912.unknown
_1068635755.unknown
_1067428202.unknown
_1068634871.unknown
_1068635442.unknown
_1068635632.unknown
_1068635463.unknown
_1068635560.unknown
_1068635333.unknown
_1068635350.unknown
_1068634987.unknown
_1068635055.unknown
_1068634803.unknown
_1068634832.unknown
_1068035834.unknown
_1066828572.unknown
_1066828646.unknown
_1066828449.unknown
_1066828460.unknown
_1066828505.unknown
_1066827981.unknown
_1066828089.unknown
_1066827448.unknown
_1066827691.unknown
_1066827787.unknown
_1066827491.unknown
_1066825859.unknown
_1066825918.unknown
_1066825847.unknown
_1063803320.unknown
_1066825717.unknown
_1066825598.unknown
_1066825668.unknown
_1063802985.unknown
_1063803015.unknown
_1063802968.unknown
_1062596092.unknown
_1063802173.unknown
_1063802824.unknown
_1063802840.unknown
_1063802242.unknown
_1063802247.unknown
_1063802193.unknown
_1062596962.unknown
_1062595508.unknown
_1062595860.unknown
_1062591608.unknown
_1062591709.unknown
_1062593498.unknown
_1062593800.unknown
_1062591682.unknown
_1062590593.unknown
_1062590857.unknown
_1062590553.unknown
_1034167784.unknown
_1037354085.unknown
_1037443860.unknown
_1049285588.unknown
_1049285831.unknown
_1049286503.unknown
_1049286695.unknown
_1049286803.unknown
_1049286569.unknown
_1049285955.unknown
_1049286070.unknown
_1049285770.unknown
_1049285789.unknown
_1049285676.unknown
_1037450301.unknown
_1037450347.unknown
_1037450358.unknown
_1037450332.unknown
_1037444119.unknown
_1037445799.unknown
_1037445808.unknown
_1037444111.unknown
_1037356608.unknown
_1037443821.unknown
_1037443835.unknown
_1037434713.unknown
_1037443812.unknown
_1037434680.unknown
_1037355840.unknown
_1037356529.unknown
_1037355812.unknown
_1034170964.unknown
_1037347639.unknown
_1037352237.unknown
_1037352538.unknown
_1037348310.unknown
_1037348412.unknown
_1037348117.unknown
_1037166796.unknown
_1037172123.unknown
_1034171025.unknown
_1037166366.unknown
_1034168331.unknown
_1034168672.unknown
_1034168286.unknown
_1032867113.unknown
_1034167198.unknown
_1034167498.unknown
_1034165782.unknown
_1034166254.unknown
_1034166321.unknown
_1034166322.unknown
_1034166295.unknown
_1034165841.unknown
_1034165098.unknown
_1030970880.unknown
_1030970888.unknown
_1032866388.unknown
_1032866699.unknown
_1032866722.unknown
_1030970891.unknown
_1030970889.unknown
_1030970886.unknown
_1030970887.unknown
_1030970881.unknown
_907739545.unknown
_1030970875.unknown
_1030970878.unknown
_1030970879.unknown
_1030970876.unknown
_907739594.unknown
_1030970873.unknown
_1030970874.unknown
_907739611.unknown
_991027748.unknown
_907739563.unknown
_907570339.unknown
_907739515.unknown
_907487651.unknown