Exercícios extras de regras da cadeia

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01/11/2014 
1 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
𝑓´ 𝑐 = 0 𝑓´(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
𝑓´(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛;1 𝑓´ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =) =
−1
|𝑥| 𝑥2 − 1
 
𝑓´[𝑘𝑓 𝑥 ] = 𝑘𝑓´ 𝑥 𝑓´ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
−1
1 − 𝑥2
 
𝑑´[𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ] = 𝑓´ 𝑥 + 𝑔´(𝑥) 
𝑓´ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
|𝑥| 𝑥2 − 1
 
𝑑´[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = 𝑓(𝑥)𝑔´ 𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) 
𝐷´
𝑛 𝑥
𝑑 𝑥
=
𝑑(𝑥)𝑛´ 𝑥 − 𝑛(𝑥)𝑑´(𝑥)
[𝑑(𝑥)]2
 𝑓´ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
1
1 + 𝑥2
 
𝑓´(𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑓´ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
−1
1 + 𝑥2
 
𝑓´ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑓´(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 ln 𝑎 
𝑓´ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑓´(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓´ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
𝑓´ 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑓´ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =
1
𝑥
1
𝑙𝑛 𝑎
 
𝑓´ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑓´ ln 𝑥 =
1
𝑥
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
1) 𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 1)2
3
 
2) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
3) 𝑕 𝑥 = cos 𝑥2 
4) 𝑖 𝑥 = 𝑡𝑔3𝑥 + 𝑡𝑔𝑥3 
5) 𝑗 𝑥 = −
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥
 
6) 𝑘 𝑥 = (2𝑥6 + 5𝑥3)
3
5 
7) 𝑙 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥;1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
8) 𝑚 𝑥 = 𝑡𝑔(5𝑥2 − 𝑥) 
9) 𝑚 𝑥 = 
(𝑥:𝑠𝑒𝑛𝑥)20
𝑐𝑜𝑠10𝑥
 
10) 𝑛 𝑥 = 
(𝑥2:4)
5
3
(𝑥3: 1)
3
5
 
11) 𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(
2𝑡
𝑡4;4
) 
12) 𝑜 𝑥 = 𝑒𝑟𝑥 
14) 𝑞 𝑥 = 𝑒 𝑥 
15) 𝑟 𝑥 = 𝑒𝑥
2:1 
16) 𝑠 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
17) 𝑡 𝑥 = 𝑒
𝑥2:1
𝑥 
18) 𝑢 𝑥 = log(𝑥2 + 3) 
19) 𝑣 𝑥 = log(𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 3) 
20) 𝑎 𝑥 = ln( 𝑒𝑥 + 4) 
21) 𝑏 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) 
13) 𝑝 𝑥 = 2𝑟𝑥 
23) 𝑐 𝑥 = cossec( 𝑒𝑥) 
24) 𝑑 𝑥 = 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
25) 𝑤 𝑥 = ln (𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) 
26) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2(1 − 𝑥2) 
27) 𝑕 𝑥 = cos (1 − 𝑥2)2 
28) 𝑗 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 + 𝑥2 
29) 𝑣 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2
 
 
 
30) 𝑡 𝑥 = 3 − x sec2x2 
22) 𝑏 𝑥 = log3(log2 𝑥) 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
1) 𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 1)2
3
 
𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 1)2
3
 = (𝑥2 + 1)2/3→ 
𝑒 𝑥 = 𝑖(𝑥)2/3
𝑖 𝑥 = 𝑥2 + 1
→ 
𝑒´ 𝑥 =
2
3
𝑖(𝑥)
2
3;1
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥 
→ 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
2
3
(𝑥2 + 1);
1
3
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥 
→ 𝑓´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´(𝑥) =
2
3
(𝑥2 + 1);
1
3 . 2𝑥 → 𝑓´ 𝑥 =
4𝑥
3
(𝑥2 + 1);
1
3 
𝑓´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 =
2
3
𝑥2 + 1 ;
1
3. 2𝑥 → 𝑓´ 𝑥 =
4𝑥
3
𝑥2 + 1 ;
1
3 =
4
3
𝑥
𝑥2 + 1
1
3
 
𝑓´ 𝑥 =
4
3
𝑥
𝑥2 + 1
3 =
4
3
𝑥 𝑥2 + 1 2
3
𝑥2 + 1
3
𝑥2 + 1 2
3
=
4
3
𝑥 𝑥2 + 1 2
3
(𝑥2 + 1)
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
2) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = [𝑐𝑜𝑠𝑥]2→ 
𝑒 𝑥 = 𝑖(𝑥)2 
𝑖 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2𝑖 𝑥 
𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
𝑔´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 2 cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑔´ 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 
3) 𝑕 𝑥 = cos 𝑥2 
𝑔 𝑥 = cos 𝑥2 → 
𝑒 𝑥 = cos[𝑖(𝑥)] 
𝑖 𝑥 = 𝑥2 
→ 
𝑒´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛[𝑖 𝑥 ] 
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥2
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥 
 
𝑕´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥2. 2𝑥 → 𝑕´ 𝑥 = −2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥2 
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Calcule as derivadas das funções abaixo: 
4) 𝐼 𝑥 = 𝑡𝑔3𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥3 
𝑎 𝑥 = 𝑡𝑔3𝑥 = (𝑡𝑔 𝑥)3→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]3
𝑖 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 3[𝑖(𝑥)]2
𝑖´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 3[𝑡𝑔 𝑥]2= 3𝑡𝑔2𝑥
𝑖´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
𝑎´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 3𝑡𝑔2𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
→ 𝐼 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 → 𝐼´ 𝑥 = 𝑎´ 𝑥 + 𝑏´ 𝑥 
𝑏 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥3 → 
𝑒 𝑥 = 𝑡𝑔[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑥3 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2[𝑖 𝑥 ] 
𝑖´ 𝑥 = 3𝑥2 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥3)
𝑖´ 𝑥 = 3𝑥2 
 
𝑎´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥3) .3𝑥2 
𝐼 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 → 𝐼´ 𝑥 = 𝑎´ 𝑥 + 𝑏´ 𝑥 → I´ x = 3[𝑡𝑔2𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑥2𝑠𝑒𝑐2(𝑥3)] 
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
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Calcule as derivadas das funções abaixo: 
5) 𝑗 𝑥 = −
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥
 
𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]2
𝑖 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2[𝑖 𝑥 ] 
𝑖´ 𝑥 = cos 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑖´ 𝑥 = cos 𝑥 
 
𝑛´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 
→ 𝑗´ 𝑥 = −
𝑥𝑛´ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑´ 𝑥
𝑥2
 
𝑗´ 𝑥 = −
𝑑 𝑥 𝑛´ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑛 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑´ 𝑥
𝑥2
= −
𝑑 𝑥 2𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑛 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑´ 𝑥
𝑥2
 
𝑗´ 𝑥 = −
𝑥. 2𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2
= −
𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥)
𝑥2
 
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Calcule as derivadas das funções abaixo: 
6) 𝑘 𝑥 = (2𝑥6 + 5𝑥3)
3
5 
𝑘 𝑥 = (2𝑥6 + 5𝑥3)
3
5→ 𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]
3
5 
𝑖 𝑥 = 2𝑥6 + 5𝑥3
→ 
𝑒´ 𝑥 =
3
5
(2𝑥6 + 5𝑥3)
3
5;1
𝑖´ 𝑥 = 6.2𝑥5 + 3.5𝑥2 
→ 
𝑘´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 =
3
5
(2𝑥6+5𝑥3);
2
5. 12𝑥5 + 15𝑥2 =
3
53(4𝑥
5 + 5𝑥2)
(2𝑥6 + 5𝑥3)
2
5
 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
3
5
(2𝑥6 + 5𝑥3);
2
5 
𝑖´ 𝑥 = 12𝑥5 + 15𝑥2 
 
𝑘´ 𝑥 =
9
5 (4𝑥
5 + 5𝑥2)
(2𝑥6+5𝑥3)
2
5
=
9
5
 
4𝑥5 + 5𝑥2
(2𝑥6+5𝑥3)
2
5
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
7) 𝑙 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥;1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
𝑕 𝑥 = cos2𝑥 → 
𝑒 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 2𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
𝑖´ 𝑥 = 2 
→ 
𝑙´ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑕´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 2𝑥 . 2 = −2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
→ 𝑙´ 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥;1 . 𝑙´ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑙´ 3𝑥 − 𝑥;1 
 𝑙´ 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥;1 . 𝑙´ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑙´ 3𝑥 − 𝑥;1 
 𝑙´ 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥;1 . −2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + cos 2𝑥 . 3 + 𝑥;2 
 𝑙´ 𝑥 = −6𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2𝑥;1 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3 cos 2𝑥 + 𝑥;2𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 𝑙´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 (−6𝑥 + 2𝑥;1) + 𝑐𝑜𝑠2𝑥(3 + 𝑥;2) 
 𝑙´ 𝑥 = 2(−3𝑥 + 𝑥;1)𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + (3 + 𝑥;2)𝑐𝑜𝑠2𝑥 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
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Calcule as derivadas das funções abaixo: 
8) 𝑚 𝑥 = 𝑡𝑔(5𝑥2 − 𝑥) 
𝑚 𝑥 = 𝑡𝑔(5𝑥2 − 𝑥) → 
𝑒 𝑥 = 𝑡𝑔[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 5𝑥2 − 𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 5𝑥2 − 𝑥 
𝑖´ 𝑥 = 10𝑥 − 1 
→ 
𝑚´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑕´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 5𝑥2 − 𝑥 . (10𝑥 − 1) = (10𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑐2 5𝑥2 − 𝑥 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
9) 𝑚 𝑥 = 
(𝑥:𝑠𝑒𝑛𝑥)20
𝑐𝑜𝑠10𝑥
 
𝑛 𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 20 → 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]20
𝑖 𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 20 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19 
𝑖´ 𝑥 = 1 + cos 𝑥 
→ 
𝑚´[(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)20= 𝑛´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 20 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19. (1 + cos𝑥) 
→ 𝑚´ 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑚´[(𝑥:𝑠𝑒𝑛𝑥)20];𝑚´ 𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑥:𝑠𝑒𝑛𝑥 20
[ 𝑐𝑜𝑠10𝑥 ]2
 
𝑑 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠10𝑥 = cos 𝑥 10 → 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]10
𝑖 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 10[𝑖(𝑥)]9
𝑖´ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 10(cos 𝑥)9
𝑖´ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
𝑚´ 𝑐𝑜𝑠10𝑥 = 𝑑´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 10 cos𝑥 9. (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) 
𝑚´ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑚´[(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)20] − 𝑚´ 𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 20
[ 𝑐𝑜𝑠10𝑥 ]2
 
𝑚´ 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠10𝑥20 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19 1 + cos 𝑥 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 20 10𝑐𝑜𝑠9𝑥(−𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑐𝑜𝑠20𝑥
= 
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9) 𝑚 𝑥 = 
(𝑥:𝑠𝑒𝑛𝑥)20
𝑐𝑜𝑠10𝑥
 
𝑚´ 𝑥 = 
20𝑐𝑜𝑠10𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19 + 20𝑐𝑜𝑠11𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19 + 10 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 20 𝑐𝑜𝑠9𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠20𝑥
= 
𝑚´ 𝑥 = 
10𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19[2cos𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥] 
𝑐𝑜𝑠20𝑥
 
𝑚´ 𝑥 = 
10𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19(2cos 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
𝑐𝑜𝑠20𝑥
 
𝑚´ 𝑥 = 
10 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19(2cos 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
𝑐𝑜𝑠11𝑥
 
𝑚´ 𝑥 = 
10 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 19(2cos 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
𝑐𝑜𝑠11𝑥
 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
10) 𝑁 𝑥 = 
(𝑥2:4)
5
3
(𝑥3: 1)
3
5
 
𝑛 𝑥 = (𝑥2 + 4)
5
3→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]5/3
𝑖 𝑥 = 𝑥2 + 4 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
5
3
𝑥2 + 4
2
3 
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥 
→ 
𝑁´ (𝑥2 + 4)
5
3 = 𝑛´(𝑥) = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 =
5
3
𝑥2 + 4
2
3 . 2𝑥 
→ 𝑁´ 𝑥 = 
𝑥3:1
3
5𝑁´ (𝑥2:4)
5
3 ;𝑁´[ 𝑥3:1
3
5](𝑥2:4)
5
3
[(𝑥3:1)
3
5]2
 
𝑑 𝑥 = (𝑥3 + 1)
3
5→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]3/5
𝑖 𝑥 = 𝑥3 + 1 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
3
5
𝑥3 + 1 ;
2
5 
𝑖´ 𝑥 = 3𝑥2 
→ 
𝑁´ 𝑥3 + 1
3
5 = 𝑑´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 =
3
5
𝑥3 + 1 ; 
2
5 . 3𝑥2 
𝑁´ 𝑥 = 
𝑥3:1
3
5 
5
3
𝑥2:4
2
3 .2𝑥 ; 3
5
𝑥3:1
− 
2
5 . 3𝑥2(𝑥2:4)
5
3
(𝑥3:1)
6
5
 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
10) 𝑁 𝑥 = 
(𝑥2:4)
5
3
(𝑥3: 1)
3
5
 
𝑁´ 𝑥 = 
𝑥3 + 1
3
5 
5
3 𝑥
2 + 4
2
3 . 2𝑥 −
 3𝑥2(𝑥2 + 4)
5
3
 
3
5
𝑥3 + 1
2
5
 
(𝑥3 + 1)
6
5
=
 
3
5
𝑥3 + 1
2
5 𝑥3 + 1
3
5 
5
3 𝑥
2 + 4
2
3 . 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)
5
3
 
3
5
𝑥3 + 1
2
5
 
(𝑥3 + 1)
6
5
 
𝑁´ 𝑥 =
 
3
5
𝑥3 + 1
2
5
:
3
5 
5
3 𝑥
2 + 4
2
3 . 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)
5
3
 
3
5
𝑥3 + 1
2
5(𝑥3 + 1)
6
5
=
 
3
5
𝑥3 + 1
5
5 
5
3 𝑥
2 + 4
2
3 . 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)
5
3
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
 
𝑁´ 𝑥 =
𝑥3 + 1 𝑥2 + 4
2
3 . 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)
5
3
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
=
 𝑥2 + 4
2
3[ 𝑥3 + 1 . 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)
3
3]
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
 
𝑁´ 𝑥 =
 𝑥2 + 4
2
3[ 2𝑥4 + 2𝑥 − 3𝑥2(𝑥2 + 4)1]
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
=
 𝑥2 + 4
2
3[2𝑥4 + 2𝑥 − 3𝑥4 − 12𝑥2)]
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
= 
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
10) 𝑁 𝑥 = 
(𝑥2:4)
5
3
(𝑥3: 1)
3
5
 
𝑁´ 𝑥 =
 𝑥2 + 4
2
3(−𝑥4 − 12𝑥2 + 2𝑥)
 
3
5
𝑥3 + 1
8
5
=
 5 𝑥2 + 4
2
3𝑥(−𝑥3 − 12𝑥 + 2)
 3 𝑥3 + 1
8
5
 
 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
11) 𝑜 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(
2
𝑡4;4𝑡
) 
𝑜 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(
2
𝑡4 − 4𝑡
) → 
𝑒 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 =
2
𝑡4 − 4𝑡
→
𝑒´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
2
𝑡4 − 4𝑡
𝑖´ 𝑥 =
(𝑡4−4𝑡). 0 − 2(4𝑡3−4)
 (𝑡4−4𝑡)2
→ 
→
𝑒´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
2
𝑡4 − 4𝑡
𝑖´ 𝑥 =
0 −8𝑡3 +8𝑡
 (𝑡4−4𝑡)2
→
𝑒´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
2
𝑡4 − 4𝑡
𝑖´ 𝑥 =
−8𝑡3 + 8
 (𝑡4−4𝑡)2
 
𝑜´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑜´ 𝑥 = cos (
2
𝑡4 − 4𝑡
).
−8𝑡3 + 8
 (𝑡4−4𝑡)2
= −
8(𝑡3 − 1)cos (
2
𝑡4 − 4𝑡
)
 𝑡2(𝑡3 − 4)2
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
12) 𝑝 𝑥 = 𝑒𝑟𝑥 
𝑝 𝑥 = 𝑒𝑟𝑥 =→ 
𝑒 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑟𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖´ 𝑥 = 𝑟
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒𝑟𝑥
𝑖´ 𝑥 = 𝑟
 
𝑝´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑝´ 𝑥 = 𝑒𝑟𝑥 . 𝑟 = 𝑟𝑒𝑟𝑥 
13) 𝑞 𝑥 = 2𝑟𝑥 
𝑞 𝑥 = 2𝑟𝑥 =→ 
𝑒 𝑥 = 2[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑟𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2[𝑖(𝑥)] 𝑙𝑛 2
𝑖´ 𝑥 = 𝑟
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2𝑟𝑥 𝑙𝑛 2
𝑖´ 𝑥 = 𝑟
→ 
𝑞´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑞´ 𝑥 = 2𝑟𝑥 𝑙𝑛 2 . 𝑟 = 2𝑟𝑥 𝑙𝑛 2𝑟 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
14) 𝑟 𝑥 = 𝑒 𝑥 
15) 𝑠 𝑥 = 𝑒𝑥
2:1 
r 𝑥 = 𝑒 𝑥 = 𝑒𝑥
1/2
→ 
𝑒 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑥1/2
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒𝑥
1/2
𝑖´ 𝑥 =
1
2
𝑥;1/2
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒𝑥
1/2
𝑖´ 𝑥 =
1
2𝑥1/2
 
𝑟´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑟´ 𝑥 = 𝑒𝑥
1/2
.
1
2𝑥1/2
=
𝑒𝑥
1/2
2𝑥1/2
=
𝑒 𝑥
2 𝑥
=
𝑥𝑒 𝑥
2𝑥
 
r 𝑥 = 𝑒𝑥
2:1 → 
𝑒 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑥2 + 1
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒𝑥
2:1
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥
 
𝑟´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑟´ 𝑥 = 𝑒𝑥
2:1. 2𝑥 = 2𝑒𝑥
2:1𝑥 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
16) 𝑠 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
17) 𝑡 𝑥 = 𝑒
𝑥2: 1
𝑥 
s 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 
𝑒 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑖´ 𝑥 = cos 𝑥
 
𝑠´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑠´ 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥. cos 𝑥 
t 𝑥 = 𝑒
𝑥2+ 1
𝑥 → 
𝑒 𝑥 = 𝑒[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 =
𝑥2: 1
𝑥
→
𝑒´ 𝑥 = 𝑒
𝑥2+ 1
𝑥
𝑖´ 𝑥 =
𝑥.2𝑥;(𝑥2: 1)(1)
𝑥2
→
𝑒´ 𝑥 = 𝑒
𝑥2+ 1
𝑥
𝑖´ 𝑥 =
𝑥 2; 1
𝑥2
 
𝑡´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑠´ 𝑥 = 𝑒
𝑥2: 1
𝑥 .
𝑥 2 − 1
𝑥2
=
(𝑥 2 − 1)𝑒
𝑥2: 1
𝑥
𝑥2
 
01/11/2014 
10 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
18) 𝑢 𝑥 = log(𝑥2 + 3) 
19) 𝑣 𝑥 = log(sec 𝑥 + 3) 
𝑢 𝑥 = log(𝑥2 + 3) → 
𝑒 𝑥 = log[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑥2 + 3 
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
1
ln 10
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑥2 + 3
1
ln 10
𝑖´ 𝑥 = 2𝑥
 
𝑢´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑢´ 𝑥 =
1
𝑥2 + 3
1
ln 10
. 2 𝑥 =
1
ln 10
2𝑥
𝑥2 + 3
 
𝑣 𝑥 = log(sec 𝑥 + 3) → 
𝑒 𝑥 = log[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = sec 𝑥 + 3
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
1
ln 10
𝑖´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
→
𝑒´ 𝑥 =
1
sec 𝑥 + 3
1
ln 10
𝑖´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥
 
𝑣´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑣´ 𝑥 =
1
sec 𝑥 + 3
1
ln 10
. sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 =
sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
sec 𝑥 ln 10 + ln 103
= 
=
2𝑥
ln 10( 𝑥2 + 3)
 
𝑣´ 𝑥 =
1
cos 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
1
cos 𝑥 ln 10 + ln 10
3
=
 𝑡𝑔 𝑥
cos 𝑥 (
1
cos 𝑥 ln 10 + ln 10
3)
=
 𝑡𝑔 𝑥
ln 10 + cos 𝑥 ln 103
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
20) 𝑎 𝑥 = ln( 𝑒𝑥 + 4) 
21) 𝑏 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) 
𝑎 𝑥 = ln( 𝑒𝑥 + 4) → 
𝑒 𝑥 = ln[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑒𝑥 + 4
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑒𝑥 + 4
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑥
 
𝑎´ 𝑥 = 𝐸´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑎´ 𝑥 =
1
𝑒𝑥 + 4
. 𝑒𝑥 =
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 4
 
𝑏 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) → 
𝑒 𝑥 = ln[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = ln 𝑥 
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑥
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
 
𝑏´ 𝑥 = 𝐸´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑏´ 𝑥 =
1
ln 𝑥
.
1
𝑥
=
1
𝑥𝑙𝑛 𝑥 
 
01/11/2014 
11 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
20) 𝑎 𝑥 = ln( 𝑒𝑥 + 4) 
21) 𝑏 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) 
𝑎 𝑥 = ln( 𝑒𝑥 + 4) → 
𝑒 𝑥 = ln[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑒𝑥 + 4
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑥
→ 
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑒𝑥 + 4
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑥
 
𝑎´ 𝑥= 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑎´ 𝑥 =
1
𝑒𝑥 + 4
. 𝑒𝑥 =
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 4
 
𝑏 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) → 
𝑒 𝑥 = ln[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = ln 𝑥 
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑥
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
 
𝑏´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑏´ 𝑥 =
1
ln 𝑥
.
1
𝑥
=
1
𝑥𝑙𝑛 𝑥 
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
𝑒 𝑥 = log3(𝑖 𝑥 )
𝑖 𝑥 = log2 𝑥
→
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑖(𝑥)
1
ln 3 
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
1
ln 2
→
𝑒´ 𝑥 =
1
log2 𝑥
1
ln 3 
𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥
1
ln 2
 
𝑏´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑏´ 𝑥 =
1
log2 𝑥
1
ln3 
1
𝑥
1
ln2
=
1
𝑥log2 𝑥 ln 2 ln 3
 
22) 𝑏 𝑥 = log3(log2 𝑥) 
𝑏´ 𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑥
ln 2
1
ln 3 
1
𝑥
1
ln 2
=
1
𝑙𝑛 𝑥 ln 3𝑥
=
1
𝑙𝑛3 𝑥𝑙𝑛 𝑥
 
01/11/2014 
12 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
23) 𝑐 𝑥 = cossec( 𝑒𝑥) 
24) 𝑑 𝑥 = 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
𝑐 𝑥 = cossec( 𝑒𝑥) → 
𝐸 𝑥 = cossec[𝑖(𝑥)]
𝑖 𝑥 = 𝑒𝑥 
→ 
𝐸´ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑒𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑒𝑥)
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑥
 
𝑐´ 𝑥 = 𝐸´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑐´ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑒𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑒𝑥). 𝑒𝑥 = −𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑒𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑒𝑥) 
𝑑 𝑥 = 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 → 
𝐸 𝑥 = 𝑒 𝑖 𝑥 
𝑖 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
→ 
𝐸´ 𝑥 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
𝑖´ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
 
𝑑´ 𝑥 = 𝐸´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑑´ 𝑥 = 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 . (−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) = −𝑒𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥) 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
25) 𝑤 𝑥 = ln (𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) 
𝑤 𝑥 = ln 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 → 
𝐸 𝑥 = ln 𝑖 𝑥
𝑖 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
→
𝐸´ 𝑥 =
1
𝑖 𝑥
𝑖´ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
→
𝐸´ 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑖´ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
 
𝑤´ 𝑥 = 𝐸´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 → 𝑤´ 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
. −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
. (
1
−𝑠𝑒𝑛2𝑥
) 
𝑤´ 𝑥 =
1
cos 𝑥
.
1
−𝑠𝑒𝑛 𝑥
= − sec 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
01/11/2014 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
26) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2(1 − 𝑥2) 
𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2(1 − 𝑥2) = [cos (1 − 𝑥2)]2→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖 𝑥 ]2 
𝑖 𝑥 = cos (1 − 𝑥2)
→ 
𝑔´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 2cos 1 − 𝑥2 [−𝑠𝑒𝑛 1 − 𝑥2 −2𝑥 ] → 𝑔´ 𝑥 = 4𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2) cos 1 − 𝑥2 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2 𝑖 𝑥 
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑖´ 𝑥 . 𝑖𝑖´(𝑥) 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2 cos 1 − 𝑥2 
𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)(−2𝑥)
 
→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖 𝑥 ]2 
𝑖 𝑥 = cos 1 − 𝑥2 → 
𝑒𝑖 𝑥 = cos [𝑖𝑖 𝑥 ]
𝑖𝑖 𝑥 = 1 − 𝑥2 
→ 
𝑒𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)
𝑖𝑖´ 𝑥 = −2𝑥 
→
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
27) 𝑕 𝑥 = cos (1 − 𝑥2)2 
𝑕 𝑥 = cos (1 − 𝑥2)2 → 
𝑒 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠[𝑖 𝑥 ]
𝑖 𝑥 = (1 − 𝑥2)2
→ 
𝑕´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 (1 − 𝑥2)2 2 1 − 𝑥2 −2𝑥 → 𝑕´ 𝑥 = 4𝑥(1 − 𝑥2) 𝑠𝑒𝑛 (1 − 𝑥2)2 
→ 
𝑒´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑖 𝑥 
𝑖´ 𝑥 = 𝑒𝑖´ 𝑥 . 𝑖𝑖´(𝑥) 
→ 
𝑒´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 (1 − 𝑥2)2 
𝑖´ 𝑥 = 2 1 − 𝑥2 −2𝑥 
 
→ 
𝑒 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑖 𝑥 
𝑖 𝑥 = (1 − 𝑥2)2→ 
𝑒𝑖 𝑥 = [𝑖𝑖 𝑥 ]2
𝑖𝑖 𝑥 = 1 − 𝑥2 
→ 
𝑒𝑖´ 𝑥 = 2(1 − 𝑥2)
𝑖𝑖´ 𝑥 = −2𝑥 
→
 
01/11/2014 
14 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
𝑗 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 + 𝑥2 → 
𝑒 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔[𝑖 𝑥 ] 
𝑖 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2
→ 
𝑗´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 =
1
𝑥3 + 𝑥2
1
𝑙𝑛10
(3𝑥2+2𝑥) =
3𝑥2 + 2𝑥
(𝑥3+𝑥2)𝑙𝑛10
=
𝑥(3𝑥 + 2)
𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑙𝑛10
→ 
28) 𝑗 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 + 𝑥2 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
1
[𝑖 𝑥 ]
1
𝑙𝑛10
 
𝑖´ 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 
→ 
𝑒´ 𝑥 =
1
𝑥3 + 𝑥2
1
𝑙𝑛10
 
𝑖´ 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 
 
→ 𝑗´ 𝑥 =
3𝑥 + 2
(𝑥2+𝑥)𝑙𝑛10
 
Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
29) 𝑣 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2
 
 
 
𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2→ 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]2
𝑖 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2[𝑖 𝑥 ] 
𝑖´ 𝑥 = cos 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑖´ 𝑥 = cos 𝑥 
 
𝑛´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 
→ 𝑣´ 𝑥 =
𝑥2 𝑛´ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑´ 𝑥2
(𝑥2)2
 
𝑗´ 𝑥 =
𝑥2 𝑛´ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑´ 𝑥2
𝑥4
=
𝑥2 2𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥4
=
2 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥4
 
𝑗´ 𝑥 =
2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥4
=
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥3
 
𝑑 𝑥 = 𝑥2 → 
𝑒 𝑥 = [𝑖(𝑥)]2
𝑖 𝑥 = 𝑥 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2[𝑖 𝑥 ] 
𝑖´ 𝑥 = 1 
→ 
𝑒´ 𝑥 = 2 𝑥
𝑖´ 𝑥 = 1 
 
𝑑´ 𝑥 = 𝑒´ 𝑥 𝑖´ 𝑥 = 2𝑥. 1 = 2𝑥 
01/11/2014 
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Cálculo Diferencial - Derivadas 
 Regras de Derivação – Exercícios Extras 
Calcule as derivadas das funções abaixo: 
30) 𝑡 𝑥 = 3 − 𝑥 sec (2𝑥2) → 𝑡´ 𝑥 = 3 − 𝑥 𝑡´[sec (2𝑥2)] + 𝑡´ 3 − 𝑥 sec (2𝑥2) → 
→ 𝑡´ 𝑥 = 3 − 𝑥 𝑡´[sec (2𝑥2)]−sec (2𝑥2) 
𝑡´[sec (2𝑥2)] = 𝑠𝑒𝑐(2𝑥2)𝑡𝑔(2𝑥2) 4𝑥 → 𝑡´ 𝑥 = (3 − 𝑥)sec (2𝑥2)𝑡𝑔(2𝑥2) 4𝑥 −sec (2𝑥2) 
→ 𝑡´ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(2𝑥2)[4𝑥 3 − 𝑥 𝑡𝑔(2𝑥2) − 1]