1° Lista de Exercício - Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE/ CAMPUS DE POMBAL
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AMBIENTAL
PROFESSORA: MARIA FILHA
LISTA DE EXERCÍCIOS
PARTE I - NÚMEROS REAIS
1. Calcule:
a) | − 3
4
| b) − | − 10| c) − (−8) d)| − 2|+ | − 3|
e) | − 2| − | − 2| f) | − 5− 3| g) | − 6 + 4| h) | − (−2)|.
2. Verdadeiro ou falso?
a) ( )2
0
= 2. b) ( )3
0
= 0 c) ( )0
3
= 0 d) ( )0
0
= 1
3. Calcule:
a) 3
5
· 5
3
b) (−2
7
) · 4
8
c) (−2
5
) · 1
6
· (−24
3
)
d) 0
0
e) (
√
2 +
√
3)(
√
2−√3) f) 121
3
g) 1
5
+ 2
5
+ 9
5
h) 1
6
− 1
9
+ 1
3
i) 5
x
− 9
x
j) − 12− (−14) + | − 17| k) −40− 4
8
l) 9− (−6) · [2(−3)−4·5−8(6)−4 ]
m) (−5)2 n) − 52 o)− (−5)2
p) (3
4
)2 q) (−4
3
)−2 r) (−1)18
s) 40 t) − (−1
8
)−
1
3 u) (
√
230)0.
4. Resolva as equações:
(a) 4x+ 10− (3x− 4) + 4(−2x− 1) = −9x+ 4. Resposta: x = −3.
(b) |3x− 7| = 13. Resposta: x = −2 ou x = 20
3
.
(c) |2x− 4||x+ 10| = 0. Resposta: x = −1 ou x = 2.
(d) |3x− 1| = −2.
(e) |x| = |2x− 1|. Resposta: x = 1 ou x = 1
3
.
(f) |x− 2| = |x− 6|. Resposta: x = 4.
5. Resolva as desigualdades:
(a) −(1− x) ≤ −(x+ 2). Resposta: x ≤ −1
2
.
(b) 5(x+ 2) > −10x. Resposta: x > −2
3
.
(c) 1 ≤ |7x+ 6|. Resposta: x ≤ −1 ou −5
7
≤ x.
(d) |3x− 10| < 2. Resposta: 8
3
< x < 4.
6. Simplifique, fazendo aparecer somente expoentes positivos:
(a)
21x8y7
3xy6
.
(b)
x3y2z0
(xy)4z3
.
(c)
(4x2y−1)−1
xy
.
7. Efetue:
(a) (2x− 3)(3x2 − x+ 4).
(b) (x− 2)(2x+ 3)(3x− 4).
(c) 2x2 − 5x+ 6− (3x+ 7).
(d) (2x3 − x2 + 2x− 1)(2x− 1).
(e) (3x2 − xy − 5)− (x2 − 3xy − 1).
8. Resolva as equações:
(a)
x2−5x−6
1−x2 = 4. Resposta: x = −1 ou x = 2.
(b)
6x
x−5 − 8x−3x−5 = −35 . Resposta: x = 0.
(c)
6
x−5 + 3 + x = x+ 9. Resposta: x = 6.
(d)
1
x
+ 1
x+6
= 1
4
. Resposta: x = −4 ou x = 6.
(e)
x2−4
x2−x−6 = 3x− 10. Resposta: x = 83 ou x = 4.
(f)
5−x
x2−25 +
1
10
= 0.
9. Divida:
(a) 3x2 − 5x+ 4 por 3x2 − 6x.
(b) x4 + 3x2 + 2 por 9− x2.
PARTE II - FUNÇÕES
10. Dadas as funções f(x) = 2x− 1, g(x) = 3x2 − 4, l(x) = 3
x
e m(x) = 2x2 + 5x− 3. Ache:
(a) f(3); f(−2); f(0); f(a+ 1); f(x+ h); f(x) + f(h); f(x+h)−f(x)
h
, h 6= 0.
(b) g(−4); g(1
2
); g(x2); g(x− h); g(x)− g(h); g(x+h)−g(x)
h
, h 6= 0.
(c) l(1); l(−3); l(1
3
); l(x+h)−l(x)
h
, h 6= 0.
(d)
m(x+h)−m(x)
h
, h 6= 0.
11. Dadas as funções f(x) e g(x), em cada item, determine o domínio das funções: (i)f + g,
(ii)f − g, (iii)f · g, (iv)f
g
, (v)f ◦ g, (vi)f ◦ f, (vii)g ◦ g e (viii)g ◦ f .
(a) f(x) = x− 5, g(x) = x2 − 1.
(b) f(x) =
√
x, g(x) = x2 + 1.
2
(c) f(x) = 1
x+1
, g(x) = x
x−2 .
(d) f(x) = |x|, g(x) = |x− 3|.
(e) f(x) =
√
x2 − 1, g(x) = √x− 1.
12. Use um programa de computador ou aplicativo de android para esboçar o gráfico das funções
resultantes do item anterior. Por fim, determine a imagem destas funções resultantes.
13. Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
(a) f(x) = 3x− 1.
(b) f(x) = x2 − 1.
(c) f(x) =
√
x+ 1.
(d) f(x) =
√
4− 2x.
(e) f(x) = |4− x|.
(f) f(x) = x
2−4x+3
x−1 .
(g) f(x) = x
x2−x−6 .
(h) f(x) =

−4; x < −2
−1; −2 ≤ x ≤ 2
3; 2 < x
(i) f(x) =

x+ 5; x < −5√
25− x2; −5 ≤ x ≤ 5
x− 5; 5 < x
(j) f(x) =
{
x2 − 4; x 6= 2
−0; x = 0 .
PARTE III - LIMITES
14. Mostre que o limite é o número indicado, aplicando a definição de LIMITE:
a) limx→2 7 = 7 b) limx→5(−4) = −4 c) limx→4(2x+ 1) = 9
d) limx→1(4x+ 3) = 7 e) limx→−1(5x+ 8) = 3 f) limx→−2(7− 2x) = 11
15. Ache o limite:
a) limx→5(3x− 7) b) limx→−4(5x+ 2) c) limx→2(x2 + 2x− 1)
d) limx→−2(x3 + 8) e) limx→3 4x−55x−1 f) limx→1
√
8x+1
x+3
g) limx→7 x
2−49
x−7 h) limx→−5
x2−25
x+5
i) limx→−2 x
3+8
x+2
j) limx→4 3x
2−17x+20
4x2−25x+36 k) limx→1
√
x−1
x−1 l) limx→−3
√
x2−9
2x2+7x+3
16. Faça um esboço do gráfico e, em cada item, ache os limites limx→a+ , limx→a− e limx→a se exixtir,
se não existir, indique a razão disto.
3
(a) f(x) =

2; x < 1
−1; x = 1
−3; 1 < x
, a = 1
(b) f(x) =
{
x+ 4; x ≤ −4
4− x; −4 < x , a = −4.
(c) f(x) =
{
x2; x ≤ 2
8− x; 2 < x , a = 2.
(d) f(x) =

2x+ 3; x < 1
4; x = 1
x2 + 2; 1 < x
, a = 1.
(e) f(x) = |x− 5|, a = 5.
(f) f(x) = |x|
x
, a = 0.
(g) f(x) =

2; x < 2√
4− x2; −2 ≤ x ≤ 2
−2; 2 < x
, a = 2.
17. Ache o limite:
a) limx→2+ x+2x2−4 b) limx→2−
−x+2
(x−2)2 c) limx→2−
x+2
x2−4
d) limx→0−
√
3+x2
x
e) limx→0+
√
3+x2
x
f) limx→0
√
3+x2
x2
g) limx→0+( 1x − 1x2 ) h) limx→0− 2−4x
3
5x2+3x3
i) limx→3− x
3+9x2+20x
x2+x−12
18. Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função e faça um esboço dele:
a) f(x) = 2
x−4 b) f(x) =
3
x+1
c) f(x) = −2
x+3
d) f(x) = −2
(x+3)2
e) f(x) = x
x2+8x+15
f) f(x) = 1
x2+5x−6
19. Ache o limite:
d) limx→∞ x+43x2−5 e) limx→∞
2x2−3x
x+1
f) limx→∞ x
2+5
x3
g) limx→−∞
√
x2−2x+3
x+5
h) limx→∞
√
x2+4
x+4
i) limx→−∞
√
x2+4
x+4
.
20. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função:
a) f(x) = 2x+1
x−3 b) f(x) =
4−3x
x+1
c) f(x) = 1− 1
x
d) f(x) = 2√
x2−4 e) f(x) =
−3x√
x2+3
f) f(x) = 2x
6x2+11x−10
21. Justifique porque as funções a seguir não são contínuas no ponto a indicado.
a) f(x) = x
2+x−6
x+3
; a = −3 b) f(x) =
{
x2+x−6
x+3
; x 6= −3
1; x = −3 ; a = −3
c) f(x) = 5
x−4 ; a = 4 d) f(x) =
x4−16
x2−4 ; a = 2
e) f(x) =

−1; x < 0
0; x = 0√
x; 0 < x
; a = 0 f) f(x) =
{ |x|
x
; x 6= 0
1; x = 0
; a = 0.
4
22. Prove que a função é descontínua no número a. Então determine se a descontinuidade é removível
ou essencial. Se a descontinuidade dor removível, reedefina f(a) de tal modo que seja removida.
a) f(x) = 9x
2−4
3x−2 ; a =
2
3
b) f(x) =
{
9− x2; x ≤ 2
3x+ 2; 2 < x
; a = 2
c) f(x) = x
2−x−12
x2+2x−3 ; a = −3 d) f(x) =
{
|x− 3|; x 6= 3
2; x = 3
; a = 3.
23. Determine os números nos quais a função dada é contínua:
a) f(x) = x2(x+ 3)2 b) f(x) = (x− 5)3(x2 + 4)5 c) f(x) = x(x3 − 17)61
d) f(x) = x
x−3 e) f(x) =
x+1
2x+5
f) f(x) = x
3+7
x2−4
g) x−3
x3+2x2+3x−2 h) f(x) =
{
1
x−2 ; x ≤ 1
1
x
; 1 < x
i) f(x) =
{
(x+ 2)2; x ≤ 0
x2 + 2; 0 < x
24. Defina f ◦ g e determine os números nos quais f ◦ g é contínua:
a) f(x) =
√
x; g(x) = 9− x2 b) f(x) = 1
x
; g(x) = x− 2
c) f(x) =
√
x; g(x) = 1
x−2 d) f(x) =
1
x2
; g(x) = x+ 3
e) f(x) =
√
x; g(x) = 1
x−2 f) f(x) =
√
x; g(x) = x−1
x2−4
25. Ache o domínio da função dada e então determine se a função é contínua ou não em cada um
dos intervalos indicados:
(a) f(x) = 2
x+5
; (3, 7); [−6, 4]; (−∞, 0); [−5,∞).
(b) f(x) = x
x2−1 ; (0, 1); (−1, 1), [0, 1]; (−∞,−1].
(c) f(x) =
√
x2 − 9; (−∞,−3); (−∞,−3]; (3,∞); (−3, 3).
26. Calcule o limite, quando ele existir:
a) limx→0
sen(4x)
x
b) limx→0 2xsen(3x) c) limx→0
sen(9x)
sen(7x)
d) limx→0
1−cos(x)
1+sen(x)
e) limx→0 xcos(x) f) limx→0
tg4(2x)
4x4
27. Use o teorema do �sanduíche� para encontrar o limite:
(a) limx→0 xcos( 1x).
(b) limx→0 x2sen( 1
x
1
3
).
(c) limx→3 g(x), se |g(x) + 4| < 2(3− x)4, para todo x.
(d) limx→−2 g(x), se |3− g(x)| < 5(x+ 2)2, para todo x.
28. Prove que as funções seno e cosseno são contínuas em x = 0.
29. Escreva o domínio e a imagem e faça um esboço do gráfico das funções seno, cosseno, tangente,
cotangente, secante e cossecante.
30. Para você, o que significa o limite de uma função f quando x ∈ Df se aproxima (indefinidamente)
do um número a (que não necessariamente pertence a Df )?
5