calculo B Lista 6

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Universidade Federal da Bahia
Ca´lculo B
Prof. Leandro Suguitani
2o Semestre de 2018
LISTA DE EXERCI´CIOS 6
Multiplicadores de Lagrange. Integrais duplas. Curvas parametrizadas. Func¸o˜es vetoriais.
Campos conservativos.
26/11/2018
1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximo e mı´nimo da
func¸a˜o sujeita a` condic¸a˜o dada.
(a) f(x, y) = 3x+ y; x2 + y2 = 10
(b) f(x, y) = y2 − x2; 1
4
x2 + y2 = 1
(c) f(x, y) = exy; x3 + y3 = 16
(d) f(x, y, z) = xyz; x2 + 2y2 + 3z2 = 6
2. Calcule a integral iterada.
(a)
∫ 4
1
∫ 2
0
(6x2 − 2x)dydx (b)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)dydx
3. Calcule a integral dupla.
(a)
∫∫
R
x sen(x+y)dA; R = [0,
pi
6
]×[0, pi
3
] (b)
∫∫
R
ye−xydA; R = [0, 2]× [0, 3]
4. Determine o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie z = 1 + ex seny e pelos planos
x = 1, x = −1, y = 0, y = pi e z = 0.
5. Calcule a integral dupla.
(a)
∫∫
D
(x2 + 2y)dA, D e´ a regia˜o limitada por y = x, y = x3, x ≥ 0.
(b)
∫∫
D
xy2dA, D e´ a regia˜o limitada por x = 0, x =
√
1− y2.
(c)
∫∫
D
x cos ydA, D e´ a regia˜o limitada por y = 0, y = x2, x = 1.
(d)
∫∫
D
(2x− y)dA, D e´ a regia˜o limitada pelo c´ırculo de centro na origem e raio 2.
6. Encontre a func¸a˜o potencial dos seguintes campos conservativos.
(a) F (x, y) = 2xyi+ (x2 − 3y2)j
(b) F (x, y) = ex senxi+ ex cos yj
(c) F (x, y, z) = (yz + 2)i+ (xz + 1)j + (xy + 2z)k
(d) F (x, y, z) = (ex cos y + yz)i+ (xz − ex seny)j + (xy + z)k
(e) F (x, y, z) = 〈− senx+ cosx, z, y〉
7. Calcule
dy
dx
.
1
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Ca´lculo B
Prof. Leandro Suguitani
2o Semestre de 2018
(a)
{
x = t sent
y = t2 + t (b)
{
x =
1
t
y =
√
te−t
8. Encontre uma equac¸a˜o da tangente da curva no dado ponto.
(a)
{
x = 1 + ln t
y = t2 + 2
No ponto (1, 3). (b)
{
x = 1 +
√
t
y = et
2 No ponto (2, e).
9. Para quais valores de t a curva e´ coˆncava para cima?
(a)
{
x = t3 − 12t
y = t2 − 1 (b)
{
x = et
y = te−t
10. Encontre os pontos da curva onde a tangente e´ vertical ou horizontal.
(a)
{
x = t3 − 3t
y = t2 − 3 (b)
{
x = cos θ
y = cos 3θ
(c)
{
x = e senθ
y = ecos θ
11. Encontre a a´rea delimitada pelo eixo x e pela curva
{
x = 1 + et
y = t− t2
GABARITO
1. (a) Max: (3, 1); Min: (−3,−1)
(b) Max: (0, 1), (0,−1)
(c) Max: (2, 2)
(d) Max:
(√
2, 1,
√
2
3
)
,
(
−
√
2,−1,
√
2
3
)
,
(
−
√
2, 1,−
√
2
3
)
,
(√
2,−1,−
√
2
3
)
; Min:(
−
√
2,−1,−
√
2
3
)
,
(
−
√
2, 1,
√
2
3
)
,
(√
2,−1,
√
2
3
)
,
(√
2, 1,−
√
2
3
)
2. (a) 222
(b)
21
2
ln 2
3. (a)
1
2
(
√
3− 1)
(b)
e−6+5
2
4. 2
(
pie+ e2 − 1
e
)
5. (a)
23
84
(b)
2
15
(c)
1
2
(1− cos 1)
(d) 0
6. (a) f(x, y) = x2y − y3
2
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2o Semestre de 2018
(b) f(x, y) = senyex
(c) f(x, y, z) = yzx+ 2x+ y + z2
(d) f(x, y, z) = ex cos y + xyz +
z2
2
(e) f(x, y, z) = cos x+ senx+ zy
3