Slide - Unidade 3

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Unidade III 
 
 
 
TÓPICOS DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL 
 
 
 
 
 
Profa. Iara Lima 
Pitágoras 
 Pitágoras foi um importante matemático e 
filósofo grego nascido em meados de 570 a.C. 
na ilha de Samos. 
 
 Ele adquiriu um vasto conhecimento viajando 
pelo Egito e outras civilizações, acreditando 
que os números seriam suficientes para 
descrever a natureza por completo. 
 
 Seus conceitos formaram a base da chamada 
escola Pitagórica. 
 
 
Fonte:https://commons.w
ikimedia.org/wiki/File:Ka
pitolinischer_Pythagoras
_adjusted.jpg. 
Harmônicos 
 Sobre a vida de Pitágoras existe pouca informação e a maior 
parte dos escritos sobre sua vida foi elaborada após a sua 
morte. 
 
Fonte:http://www.fccr.sp.gov.br/index.p
hp/em-destaque/4522-centro-clemente-
gomes-realiza-conversa-com-
principios-do-filosofo-pitagoras 
 Acredita-se que Pitágoras 
descobriu que: 
 
Duas cordas semelhantes, quando 
seus comprimento obedecem certas 
relações, produzem combinações 
harmônicas de sons. 
 
Monocórdio 
 Para essa análise, Pitágoras utilizou um monocórdio. 
 
 
 
 
 
 
 
Monocórdio  uma corda cujo comprimento pode ser variado e 
sujeita a diferentes tensões causadas por massas penduradas. 
Fonte: https://www.rosicrucian.org/rosicrucian-digest-
pythagoreans 
Lei das cordas 
Conclusão: 
 
Usando o mesmo peso e 
variando o comprimento da 
corda, ele constatou que os 
pares de harmônicos eram 
obtidos quando os 
comprimentos da corda eram 
mantidos em relações 
numéricas simples. 
Fonte:http://reflexoesnoensino.blogspot.com.b
r/2013/08/lei-de-pitagoras-lei-das-cordas.html 
Equação de Lagrange 
Hoje, a descoberta de Pitágoras pode ser reformular como: 
 
 “O número de vibrações por segundo de uma 
determinada corda, sob uma determinada tensão, é 
inversamente proporcional ao seu comprimento.” 
 
A frequência (f) dos harmônicos em uma corda tensionada com 
as duas extremidades fixas é dada pela Equação Lagrange: 
n Ff
2L
=
µ
f  frequência (s-1 = Hz) 
n  número do harmônico 
L  comprimento da corda (m) 
F  força de tração (N) 
μ  densidade linear de 
massa (kg/m) 
Equação de Lagrange 
Na figura a seguir estão representados os primeiros cinco 
harmônicos em uma corda vibrante. 
 
Fonte: livro-texto. 
Período 
A relação entre frequência e período (T) é dada por: 
 
 
onde: 
f frequência (Hz) 
T  período (s) 
 
 Ou seja: 
1T
f
=
2LT
n F
µ
=
Exemplo 1 
Duas cordas A e B, com mesmo comprimento e a mesma densidade 
linear, oscilam com a mesma frequência de ressonância. Sabendo que 
a corda B está submetida a uma força de tração quatro vezes maior do 
que a corda A, indique qual das alternativas a seguir representa esta 
situação. 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, Ondas, 10 ed.,2016 
Resolução 
Dados: Corda A: Corda B: 
LA = LB 
fA = fB 
μA = μB 
FB = 4FA 
 
Dividindo a equação (1) pela equação (2), tem-se: 
A AA
A A
n Ff (1)
2L
=
µ
B BB
B B
n Ff (2)
2L
=
µ
Af
Bf
A
A
n
2L
=
AF
Aµ
B
B
n
2L
A4 F
Bµ
A
B
n 1 1
n 4
⇒ = ⋅
Resolução 
Portanto: 
 
 
 
Alternativa correta: (d) 
A A A B
B B
n 1 n 11 1 n 2n
n n 24
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, Ondas, 10 ed.,2016 
Exemplo 2 
Uma corda fixa nas duas extremidades tem 8,40 m de 
comprimento, uma massa de 0,120 kg e uma tração de 96,0 N. 
Determine a frequência do primeiro harmônico dessa corda. 
 
Dados: Resolução: 
L = 8,40 m Densidade linear de massa (μ): 
m = 0,120 kg 
F = 96,0 N 
n = 1 3
m 0,120
L 8,4
14,3 10 kg / m−
µ = =
µ = ×
Resolução 
Portanto, a frequência é: 
 
 
3
n Ff
2L
1 96,0f
2 8,4 14,3 10−
=
µ
= ⋅
⋅ ×
f 4,88 Hz=
Interatividade 
Uma corda tem densidade linear de massa de 7,20 g/m e está 
sujeita a uma tração de 150 N. O comprimento da corda é 
90,0 cm. O corda oscila como mostrado na figura a seguir. 
Determine a frequência e o período de oscilação. 
 
a) 125 Hz e 8,19 ms 
b) 241 Hz e 4,15 ms 
c) 549 Hz e 3,64 ms 
d) 497 Hz e 7,48 ms 
e) 386 Hz e 1,97 ms 
Fonte: Halliday, Fundamentos de 
Física, Ondas, 10 ed.,2016 
Resposta 
Uma corda tem densidade linear de massa de 7,20 g/m e está 
sujeita a uma tração de 150 N. O comprimento da corda é 
90,0 cm. O corda oscila como mostrado na figura a seguir. 
Determine a frequência e o período de oscilação. 
 
a) 125 Hz e 8,19 ms 
b) 241 Hz e 4,15 ms 
c) 549 Hz e 3,64 ms 
d) 497 Hz e 7,48 ms 
e) 386 Hz e 1,97 ms 
Fonte: Halliday, Fundamentos de 
Física, Ondas, 10 ed.,2016 
Resolução 
Dados: 
μ = 7,20 g/m = 7,20 × 10-3 kg/m 
F 150 N 
L = 90 cm = 0,90 m 
n = 3 
 
Frequência (f): 
 
 
 
Período (T): 
3
n F 3 150f f 241 Hz
2L 2 0,9 7,20 10−
= = ⋅ ⇒ =
µ ⋅ ×
31 1T T 4,15 10 s 4,15 ms
f 241
−= = ⇒ = × =
Aristóteles 
 Nascido em 384 a.C. na cidade de 
Estagira, Aristóteles foi um dos mais 
influentes filósofos da Grécia antiga. 
 
 Aos dezessete anos de idade, Aristóteles 
mudou-se para Atenas para estudar na 
Academia de Platão, onde ficou por vinte 
anos até a morte de Platão em 348 a. C. 
 
 Posteriormente, Aristóteles tornou-se o 
tutor de Alexandre, o Grande, e fundou 
sua própria escola. 
 
Fonte: http://ieg-
ego.eu/de/mediainfo/aristotle
-3842013322-bc 
Aristóteles 
Aristóteles escreveu sobre diversos assuntos como: 
 Política; 
 Metafísica; 
 Ética; 
 Linguagem; e 
 Diversos campos da ciência. 
 
Seu grande propósito era sistematizar o conhecimento 
existente, e para tal, realizou observações críticas, coletou 
espécimes, reuniu e classificou grande parte do conhecimento 
existente. 
Estrutura do conhecimento 
Segundo Aristóteles, a estrutura do conhecimento humano 
podia ser entendida de acordo com o diagrama apresentado a 
seguir. 
 
Física Aristotélica 
 Após a morte de Aristóteles em 322 a.C., seus cadernos de 
anotações foram preservados próximos à sua casa e 
posteriormente transferidos para a biblioteca de Alexandria. 
 
 Com relação às contribuições de Aristóteles para a Física, 
vale destacar as relacionadas com: 
  a constituição da matéria; e 
  a origem do movimento dos corpos. 
 
 Inclusive, a criação do nome dessa ciência é atribuída a 
Aristóteles. Em grego, Física significa Natureza. 
 
Constituição da matéria 
 Aristóteles admitia que a matéria é infinitamente divisível, 
nunca se podendo chegar a partes da matéria sem tamanho. 
Portanto, o vazio não existia. 
 
 Todos os espaços do universo estariam cheios de matéria. A 
matéria que vemos perto de nós seria constituída por: 
 terra; 
 água; 
 fogo; e 
 ar. 
 
 Mundo celeste seria constituído pela quinta essência  o éter 
O movimento segundo Aristóteles 
 Para Aristóteles os movimentos dos corpos podiam ser 
classificados como naturais ou violentos. 
 
 A explicação de Aristóteles para os movimentos naturais 
baseava-se em seu postulado que: 
 
“Os elementos tendem-se a se mover em direção aos seus 
lugares naturais”. 
 
O movimento segundo Aristóteles 
Exemplos: 
 
 Uma pedra se move para baixo pois este é o seu lugar natural. 
 
 Bolhas de ar na água movem-se para cima, em direção ao seu 
lugar natural. 
 
 Uma pedra lançada na horizontal, como o movimento é 
contrário à natureza do corpo  movimento violento. 
Movimento celeste 
Para Aristóteles, todos os corpos celestes moviam-se em torno 
da Terra em círculos e eram compostos por Éter, cujo 
movimento natural seria circular 
Fonte:http://fisicamaxima.blogspot.com.br/2015/04/
trabalho-de-fisica-aristoteles.html 
Concepções de Aristóteles 
Movimento de queda livre: 
 
Aristóteles argumentava um corpo em queda livre teria uma 
velocidade constante. Isso implicaria que, outro corpo de 
mesmo tamanho, porém, com o dobro de peso, produziria o 
dobro de velocidade. 
 
Observação: 
A concepção de universo de Aristóteles e de alguns 
movimentos foram muito influentes durante aproximadamente 
2000, e só foram substituídas durantea Renascença, por 
cientistas como Galileu. 
Interatividade 
Quais eram as duas principais classificações do movimento 
segundo o pensamento científico de Aristóteles? 
 
a) movimento uniforme e movimento variado 
b) movimento circular e movimento retilíneo 
c) movimento ascendente e descendente 
d) movimento natural e movimento violento 
e) movimento relativo e movimento forçado 
Resultado 
Quais eram as duas principais classificações do movimento 
segundo o pensamento científico de Aristóteles? 
 
a) movimento uniforme e movimento variado 
b) movimento circular e movimento retilíneo 
c) movimento ascendente e descendente 
d) movimento natural e movimento violento 
e) movimento relativo e movimento forçado 
Arquimedes 
 Arquimedes foi um físico, matemático e 
inventor grego. 
 
 Nascido em Siracusa, Arquimedes nasceu 
por volta de 287 a.C e morreu no saque de 
sua cidade natal pelos romanos, em 212 
a.C. 
 
 Ajudou a defender Siracusa, utilizando 
seus conhecimentos científicos para fins 
militares, quando os romanos começaram 
a ameaçar os assentamentos de língua 
grega no sul da Itália. 
Fonte:http://www.ime.unica
mp.br/~calculo/history/arqui
medes/arquimedes.html. 
Arquimedes e a coroa 
 Hierão, rei de Siracusa, encomendou uma coroa e ao recebe-
la, desconfiou de que o ourives tivesse misturado prata ao 
ouro  O rei recorreu à Arquimedes, para que ele 
determinasse se a coroa era de ouro puro, sem a necessidade 
de cortá-la. 
 
 Pensando sobre o assunto, Arquimedes encaminhou-se para 
o banho e ao entrar na banheira cheia percebeu que: 
 
A água deslocada por ele era igual ao volume da parte do 
seu corpo imersa na água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arquimedes e a coroa 
 Segundo a história, Arquimedes saiu correndo pelas ruas 
gritando “Eureka!” 
 
 Comparando o peso da coroa com o peso de igual volume de 
ouro puro, era possível determinar se a coroa era de ouro 
puro. 
 
 
http://efisica.if.usp.br/mecanica/b
asico/empuxo/arquimedes/ 
 De a acordo com a lenda, o ourives 
enganou o rei e foi executado. 
 
 Arquimedes prosseguiu escrevendo 
sobre corpos flutuantes e 
estabeleceu os princípios da 
hidrostática. 
 
Princípio de Arquimedes 
Princípio de Arquimedes: 
“Todo corpo mergulhado em um fluido sofre, por parte deste, 
uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso 
do fluido deslocado pelo corpo.” 
 
Peso do fluido deslocado  Empuxo (E): 
 
 
 
f fE d g= ⋅∀ ⋅
onde: 
df  densidade (massa específica) 
∀f  volume do fluido 
g  aceleração da gravidade 
Fonte: elaborada pela autora. 
Peso real e peso aparente 
 Considerando uma esfera maciça, imersa no ar, pendurada em 
um dinamômetro que indica um peso P  Peso real 
 Em seguida, se a esfera é imersa em um líquido o dinamômetro 
indica um peso Pa, menor  Peso aparente 
Fonte: livro-texto. 
A diferença entre o Peso Real e o 
Peso Aparente corresponde ao 
empuxo exercido pelo líquido: 
a real aparente
a
P P E P P
E P P
〉 ⇒ = −
= −
Exemplo 1 
Uma esfera de ouro com massa de 1 kg e densidade 
douro = 19,3 g/cm3, é totalmente mergulhada em água. Qual é o 
empuxo sobre esta esfera e seu peso aparente considerando a 
densidade da água como dágua = 1 g/cm3? Considere g = 10 m/s2. 
 
Dados: 
3
ouro
3
ág a
3
3
u
2
19,3 10 kg / m
m 1 kg
d 19,3 g / cm
d 1 g /
³
1 10 kg /cm
g
m³
 10 m / s
=
=
=
=
= ×
= ×
Fonte: elaborada pela autora. 
Resolução 
 O volume de água deslocado é igual ao volume do bloco: 
 
 
 
 Empuxo (E): 
 
 
 
 Peso aparente (Pa): 
6
3
m m 1d V V 51,8 10 m³
V d 19,3 10
−= ⇒ = = ⇒ = ×
×
água
3 6
E d V g
E 1 10 51,8 10 10
E 0,518N
−
= ⋅ ⋅
= × ⋅ × ⋅
=
a
a a
P P E m g E
P 10 0,518 P 9,482N
= − = ⋅ − =
= − ⇒ =
Roldanas ou polias 
Arquimedes realizou a seguinte demonstração: 
Conectou um navio que estava na água a várias polias e 
convidou o rei Hierão para puxar a extremidade da corda. 
Sem grandes esforços o rei conseguiu arrastar o navio da 
água até a areia. 
http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php
?midia=pmd&cod=_pmd2005_i2102 
Exemplo 2 
Um arranjo de roldanas é preso ao 
teto, com o objetivo de suspender 
uma massa de 30 kg. Sabendo que 
os fios são inextensíveis, as massas 
das roldanas e fios desprezíveis e 
desprezando os atritos, determine o 
valor da força F necessária para 
equilibrar o sistema. 
Fonte: Livro-texto. 
Resolução 
Considere o digrama de forças representado na figura (B): 
T PF e T P F
4 4
P m gF
4 4
30 10F F 75 N
4
= = ⇒ =
⋅
= =
⋅
= ⇒ =
Fonte: Livro-texto. 
Lei das alavancas 
 Outro trabalho importante de Arquimedes  lei das alavancas 
 
 A alavanca é uma barra móvel que rotaciona em torno de um 
ponto fixo. 
 
Segundo Arquimedes: 
 
O trabalho realizado por um operador ao empurrar para baixo o 
braço mais longo da barra é igual ao trabalho realizado pelo 
braço mais curto ao levantar o corpo. 
Lei das alavancas 
A vantagem mecânica da alavanca pode ser determinada 
considerando a igualdade dos momentos polares, em relação ao 
ponto fixo: 
A A B BP X P X⋅ = ⋅
Fonte: elaborada pela autora. 
Interatividade 
Logo a seguir é representada uma balança onde são aplicadas 
as forças F1 e F2. Com base na tabela, os parâmetros x, y e z, 
valem, respectivamente: 
 
a) 300 N, 120 N e 0,346 m 
b) 160 N, 240 N e 0,125 m 
c) 180 N, 300 N e 0,254 m 
d) 240 N, 180 N e 0,578 m 
e) 120 N, 250 N e 0,914 m 
Fonte: Livro-texto. 
Resultado 
Logo a seguir é representada uma balança onde são aplicadas 
as forças F1 e F2. Com base na tabela, os parâmetros x, y e z, 
valem, respectivamente: 
 
a) 300 N, 120 N e 0,346 m 
b) 160 N, 240 N e 0,125 m 
c) 180 N, 300 N e 0,254 m 
d) 240 N, 180 N e 0,578 m 
e) 120 N, 250 N e 0,914 m 
Fonte: Livro-texto. 
Resolução 
 
Determinação de x: Determinação de y: Determinação de z: 
1 1 2 2F d F d
x 0,4 40 1,6
40 1,6x
0,4
x 160 N
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅
=
=
1 1 2 2F d F d
60 0,8 y 0,2
60 0,8y
0,2
y 240 N
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅
=
=
1 1 2 2F d F d
400 z 100 0,5
100 0,5z
400
z 0,125 m
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅
=
=
Leis de Kepler 
Johannes Kepler (1571-1630) foi um 
astrônomo e matemático alemão que: 
 
 Aperfeiçoou o modelo de do 
astrônomo polonês Copérnico; e 
 Deduziu as Três Leis do Movimento 
Planetário que explicam o movimento 
dos planetas. 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/
Johannes_Kepler#/media/File:Joh
annes_Kepler_1610.jpg 
A idade das trevas e o Renascimento 
 Com o fim do vigor da antiga cultura grega estagnação da 
Ciência  Romanos não se importavam com pensamentos 
abstratos. 
 
 Durante quase 1000 anos igrejas e mosteiros eram os 
únicos centros intelectuais. 
 
 Os conhecimentos gregos  império árabe  difundia o 
conhecimento dos manuscritos gregos salvos. 
 
 Os árabes desenvolveram a Álgebra e difundiram os 
algarismos arábicos (mais simples que os romanos). 
 
 
 
 
A idade das trevas e o Renascimento 
 No século XII  o império árabe sucumbe às cruzadas cristãs 
à Terra Santa. 
 
 Neste período começam a ser fundadas as primeiras 
universidades  sob vigilância da Igreja. 
 
 Neste mesmo século  traduções dos estudos de Ptolomeu 
sobre os movimentos planetários  estimulou os estudos do 
astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543)  propôs 
que o Sol estava no centro do sistema  Sistema 
Heliocêntrico. 
 
 
 
 
Sistema geocêntrico x sistema heliocêntrico 
Sistema Geocêntrico: neste modelo a Terra ocupava o centro 
do Universo e todos os outros astros giravam em torno dela. 
Principais defensores desse sistema: Aristóteles e Ptolomeu. 
Fonte:http://fisicamaxima.blogspot.com.br/2015/04/
trabalho-de-fisica-aristoteles.html 
Sistema geocêntrico x sistema heliocêntrico 
Sistema heliocêntrico: o Sol ocupa o centro do sistema 
planetário. Aristarco chegou a propor esse modelo planetário na 
Grécia Antiga. Copérnico defendia a ideia de que todos os 
planetas giravam em torno do Sol em órbitas circulares. 
Copérnico afirmava que suasideias eram puramente exercícios 
matemáticos. 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/
wiki/Nicolau_Cop%C3%A9rnic
o#/media/File:Nikolaus_Koper
nikus.jpg 
Tycho Brahe 
 
 Tycho Brahe (1546 – 1601) foi um 
astrônomo dinamarquês e passou a 
metade de sua vida medindo 
precisamente as posições do Sol e dos 
planetas. 
 
 Kepler foi seu aluno e analisou os 
dados de Brahe  contribuiu para 
elaborar leis empíricas para o 
movimento dos planetas. 
 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wik
i/Nicolau_Cop%C3%A9rnico#/me
dia/File:Nikolaus_Kopernikus.jpg 
Leis de Kepler 
Kepler utilizou os resultados de Brahe para determinar as 
órbitas dos planetas e resumiu suas descobertas em três leis: 
 
1) Todos os planetas se movem em orbitas elípticas que têm o 
Sol como um dos focos. 
 
 
Fonte: elaborada pela autora. 
Leis de Kepler 
2) Uma reta unindo qualquer planeta ao Sol varre áreas iguais 
em intervalos de tempo iguais. 
 
 
 
 
 
 
Ainda de acordo com a figura: e 
 
Como: 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 1 2A A t t= ⇒ ∆ = ∆
11
1
sv
t
= 22
2
sv
t
=
1 2 1 2 1 2t t e s s v v∆ = ∆ ∆ > ∆ ⇒ >
Fonte: elaborada pela autora. 
Leis de Kepler 
Portanto, um planeta movimenta-se ao redor do Sol com 
velocidade variável, apresentando um valor máximo no periélio 
e um valor mínimo no afélio. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: para a Terra, a velocidade no periélio é cerca de 
30,3km/s e, no afélio, cerca de 29,3 km/s. 
 
Fonte: elaborada pela autora. 
Leis de Kepler 
3) O quadrado do período (T) de qualquer planeta é proporcional 
ao cubo da distância média do planeta ao Sol (R). 
 
 
 
 
 
 
 
 
T² k R³= ×
a pR RR
2
+
=
Fonte: elaborada pela autora. 
Leis de Kepler 
Observações: 
 Para órbitas circulares, o raio médio é o próprio raio da órbita. 
Para órbitas elípticas, o raio médio é a medida do semi-eixo 
maior da elipse. 
 
 A constante k não depende da massa do corpo que está 
orbitando, mas depende da massa do corpo central. 
 
 As leis de Kepler valem também para o movimento de satélites 
ao redor dos planetas. Nesses casos, o corpo central é o 
próprio planeta. 
 
 
Interatividade 
Suponha que tenha sido descoberto um novo planeta no 
sistema solar com raio orbital 5 x 1011m. Sendo o valor da 
constante de Kepler de k = 3,2 x 10-19s²/m³, pode-se afirmar que 
o período de revolução do novo planeta é: 
 
a) 4,5 x 109 s 
b) 5 x 108 s 
c) 3 x 108 s 
d) 1,9 x 109 s 
e) 2 x 108 s 
Resposta 
Suponha que tenha sido descoberto um novo planeta no 
sistema solar com raio orbital 5 x 1011m. Sendo o valor da 
constante de Kepler de k = 3,2 x 10-19s²/m³, pode-se afirmar que 
o período de revolução do novo planeta é: 
 
a) 4,5 x 109 s 
b) 5 x 108 s 
c) 3 x 108 s 
d) 1,9 x 109 s 
e) 2 x 108 s 
( )19 11
16 16
8
T² k R³
T² 3,2 10 5 10 ³
T² 4 10 T 4 10
T 2 10 s
−
= ×
= × ⋅ ×
= × ⇒ = ×
= ×
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Pitágoras
	Harmônicos
	Monocórdio
	Lei das cordas
	Equação de Lagrange
	Equação de Lagrange
	Período
	Exemplo 1
	Resolução
	Resolução
	Exemplo 2
	Resolução
	Interatividade
	Resposta
	Resolução
	Aristóteles
	Aristóteles
	Estrutura do conhecimento
	Física Aristotélica
	Constituição da matéria
	O movimento segundo Aristóteles
	O movimento segundo Aristóteles
	Movimento celeste
	Concepções de Aristóteles
	Interatividade
	Resultado
	Arquimedes
	Arquimedes e a coroa
	Arquimedes e a coroa
	Princípio de Arquimedes
	Peso real e peso aparente
	Exemplo 1
	Resolução
	Roldanas ou polias
	Exemplo 2
	Resolução
	Lei das alavancas
	Lei das alavancas
	Interatividade
	Resultado
	Resolução
	Leis de Kepler
	A idade das trevas e o Renascimento
	A idade das trevas e o Renascimento
	Sistema geocêntrico x sistema heliocêntrico 
	Sistema geocêntrico x sistema heliocêntrico 
	Tycho Brahe
	Leis de Kepler
	Leis de Kepler
	Leis de Kepler
	Leis de Kepler
	Leis de Kepler
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 56