Numeros Complexos Completo

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NÚMEROS COMPLEXOS 
 
1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
1.1. Par ordenado 
 
Dados dois pares ordenados, (a,b) e (c,d), do 
produto cartesiano ℝ𝑥ℝ = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈
ℝ} em que ℝ é o conjunto dos números reais, 
podemos definir: 
 Igualdade de pares ordenados: dois pares 
ordenados ( a , b ) e ( c , d ) são iguais se, e somente 
se, a = c e b = d. 
 Adição de pares ordenados: a soma de dois pares 
ordenados ( a , b ) + ( c , d ) é igual ao par ordenado 
( a + c , b + d ). 
 Multiplicação de pares ordenados: o produto de 
dois pares ordenados ( a , b ) ∙ ( c , d ) é igual ao par 
ordenado ( ac – bd , ad + bc ). 
Considerando as definições acima, chamamos de 
conjunto dos números complexos C ao conjunto de 
todos os pares ordenados de números reais, para os 
quais essas definições são válidas. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
1) Determine a , b ∈ ℝ tais que tornem as sentenças 
verdadeiras. 
a) ( a , 5 ) = ( – 4 , b ) b) (2a , 3b + 1 ) 
= ( 1 , 9 – b) 
RESOLUÇÃO: 
Para dois pares ordenados serem iguais as entradas 
correspondentes precisam ser iguais. 
a) a = – 4 b = 5 
b) 2a = 1 → a = 
1
2
 3b + 1 = 9 – b → 3b + 
b = 9 – 1 → 4b = 8 → b = 2 
 
RESPOSTA: 
a) a = – 4 e b = 5 b) a = 
1
2
 e b = 2. 
 
2. FORMA ALGÉBRICA 
2.1. Número reais 
 
Sejam m e n números reais quaisquer. Temos: 
 (m , 0) = (n , 0) se, e somente se, m = n. 
 (m , 0) + (n , 0) = (m + n, 0 + 0) = (m + n , 0) 
 (m,0) ∙ (n,0) = (m ∙ n – 0 ∙ 0,m ∙ 0 + 0 ∙ n) = (m ∙ n, 0) 
 
Notamos que nos pares ordenados em que o segundo 
elemento é zero, tanto a igualdade quanto a adição e a 
multiplicação dependem só dos primeiros elementos, 
que são números reais. Por isso, podemos ‘identificar’ 
um número (m , 0) com o número real m. 
 
2.2. Unidade Imaginária 
 
O número (0,1) é chamado unidade imaginária 
e é representado pela letra 𝑖. 
 
Perceba que: 
( 0 , 1 )² = ( 0 , 1 ) ∙ ( 0 , 1 ) = ( 0 ∙ 0 – 1 ∙ 1 , 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = 
( -1 , 0 ) ou seja, representa o número real -1. 
Como ( 0 , 1 )² = -1, temos que ( 0 , 1 ) = √(−1) = 𝑖. 
 
2.3. Representação algébrica 
 
Considere um número complexo qualquer 
(a , b). Podemos escrever da seguinte forma: 
( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ) = ( 𝑎 , 0 ) ⏟ 
𝑎
+ ( b , 0 ) ⏟ 
𝑏
∙ ( 0 , 1 ⏟ 
𝑖
) 
= a + b ∙ 𝑖 
 A forma a + b𝑖, em que a e b são números reais, 
é denominada forma algébrica de um número 
complexo z. 
 Em z = a + b𝑖, destacamos: 
 z é o número complexo 
 a é a parte real de z 
 b é a parte imaginária de z 
 𝑖 é a unidade imaginária 
 
EXEMPLOS: 
a) 1 - 2𝑖, temos que a = 1 e b = - 2 
b) 5𝑖, temos que a = 0 e b = 5 
 
Assim, a definição de igualdade entre dois números 
complexos fica: 
Dois número complexos z1 = a + b𝑖 e z2 = c + d𝑖 são 
iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias 
forem iguais respectivamente. Ou seja: 
z1 = z2 ⇔ a = c e b = d 
A utilização deste novo símbolo (𝑖) facilita determinar 
as raízes de equações do 2º grau quando delta é um 
número negativo. 
 
3. CARACTERÍSTICAS DE UM NÚMERO 
COMPLEXO Z = A + B𝒊 
 
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Um número complexo z = a + b𝑖 é denominado: 
 Imaginário puro: quando a = 0 e b ≠ 0. 
Exemplos: z = 2𝑖 ; z = 1,75𝑖 
 Real: quando b = 0. 
Exemplos: z = 3; z = 7 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Determinar o valor de x, de modo que 
z = 6 + (2x – 4) 𝑖 seja um número real. 
 
RESOLUÇÃO: 
Para ser um número real temos que ter b = 0, note que 
no número complexo acima b = (2x – 4), então temos 
que ter (2x – 4) = 0. 
Assim: 2x – 4 = 0 ↔ 2x = 4 ↔ x = 2 
RESPOSTA: x = 2. 
 
2) Para qual valor de k o número complexo 
z = 3 𝑖 + k² + k 𝑖 – 9 é imaginário puro? 
 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente precisamos determinar a parte real e a 
parte imaginária do número complexo z, então vamos 
reorganizá-lo: 
z = (k² - 9) + (3 + k) 𝑖 
 Para ser um número imaginário puro temos 
que ter a = 0, note que no número complexo acima a = 
(k² - 9), sendo assim temos que ter k² - 9 = 0. 
 Assim: k² - 9 = 0 ↔ k² = 9 ↔ k = ± 3. 
 Note que: se k = -3, a parte imaginária (3 + k) 
também será zero, então o número passaria a ser real. 
Portanto a única solução válida é k = 3. 
RESPOSTA: k = 3. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Dados os números complexos z1 = 2+6 𝑖 e z2 = a + b 𝑖, 
sendo z1 = z2, determine o valor de a e b. 
 
2) Determine o valor de x e y, de modo que x +(3y + 2) 𝑖 
= 1 + 8 𝑖. 
 
3) Determine o valor de x, de modo que o número 
complexo seja um número real: 
a) z = 4 + (8x – 24) 𝑖 b) z = 1 + (2x – 1) 𝑖 
 
4) Obtenha o valor de y, de modo que o número 
complexo z = (6y + 30) + 2 𝑖 seja um número imaginário 
puro. 
 
5) Determine o valor de x, de modo que o número 
complexo z = (x² - 5x + 6) + (1 + x) 𝑖 não seja um número 
real. 
 
6) Obtenha o valor de m e n, de modo que 
(4m + 6) – 3m 𝑖 = 6 - 6 𝑖. 
 
7) Para que valores de x e y são iguais os números 
complexos z1 = (2x + 4) + ( y + 1) 𝑖 e z2 = 8 + 5 𝑖? 
 
8) (UFPA) Qual o valor de m, real, para que o produto 
(2 + m 𝑖)(3 + 𝑖) seja um número imaginário puro? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 
 
4. POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA 
 
 Observe: 
 𝑖0 = 1, pois todo número, exceto zero, elevado a 
zero é igual a 1. 
 𝑖1 = 𝑖, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. 
 𝑖2 = −1, definição da unidade imaginária. 
 𝑖3 = −𝑖, usando propriedades das potências 
temos que 𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖. 
 𝑖4 = 1, usando propriedades das potências temos 
que 𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖2. 
 
De modo geral, para todo n natural temos que: 
 
 𝑖4𝑛 = (𝑖4)𝑛 = 1𝑛 = 1 
 𝑖4𝑛+1 = 𝑖4𝑛 ∙ 𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖 
 𝑖4𝑛+2 = 𝑖4𝑛 ∙ 𝑖2 = 1 ∙ (−1) = (−1) 
 𝑖4𝑛+3 = 𝑖4𝑛 ∙ 𝑖3 = 1 ∙ (−𝑖) = (−𝑖) 
 
A potência 𝑖𝑘, sendo k um número inteiro, é obtida 
dividindo o expoente k por 4 e considerando o resto r 
(entre 0 e 4) da divisão como o novo expoente. 
 
Exemplos: 
a) 𝑖137 = 𝑖4∙34+1 = 𝑖1 = 𝑖 
b) 𝑖22 = 𝑖2∙5+2 = 𝑖2 = -1 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
1. Calcular: 
a) 𝑖36 + 𝑖102 b) 
3𝑖97+ 2𝑖−200−𝑖
𝑖24−2𝑖1990
 
RESOLUÇÃO: 
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a) 𝑖36 + 𝑖102 = 𝑖0 + 𝑖2 = 1 + (−1) = 0 
b) 
3𝑖97+ 2𝑖−200−𝑖
𝑖24−2𝑖1990
 = 
3𝑖1+ 2𝑖0−𝑖
𝑖0−2𝑖2
= 
3(𝑖)+ 2(1)−𝑖
(1)−2(−1)
 = 
3𝑖 + 2 −𝑖
1+2
= 
2𝑖 + 2 
3
 
RESPOSTA: a) 0 ; b) 
2𝑖 + 2 
3
. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Calcule: 
a) i12 b)i42 c)i19 d)i601 e)i2000 + i2002 
f)(i91 +2i52 -3i48) : (3i1002 – 5i400) 
 
2) Simplifique as expressões: 
a) (1 + i6) + 3 ∙ (2 – i28) – 4 ∙ (1 – i6) 
b) 4 ∙ (3 + 2i43) – 6 ∙ (1 + i96) – 7 ∙ (3 + i603) – 21i182 
 
3) O valor de i4n + i4n+1 + i4n+2, com n ∈ ℕ é: 
a) i b) 1 c) -i d) -1 e) 0 
 
4) Quem é maior, (1 – i)20 ou – 210? 
 
5) O valor de (1 – i)10 + (1 + i)10 é positivo ou negativo? 
 
6) (Cescea-SP) Efetuando-se as operações na expressão 
(1 + i)-1 ∙ (1 + i³) ∙ (1 + i)², obtém-se: 
a) 2 + i b) 2 – i c) 2 + 2i d) 2 – 2i e) 2 
 
7) (Mack-SP) Se z = im + i-m, m ∈ ℤ e i é a unidade 
imaginária, então o número total de possíveis valores 
diferentes de z é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) maior que 6 
 
8) A soma do complexo z = (1 – i)50 com o complexo 
w = (1 + i)50 é igual a: 
a) 8 b) 0 c) -8 d) i e) -8i4. ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 
DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Sejam os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di: 
 (soma) Obtermos a soma adicionando as 
partes reais e as partes imaginárias. 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
 (subtração) Obtermos a subtração subtraindo 
as partes reais e as partes imaginárias. 
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i 
 (multiplicação) Obtemos o produto aplicando 
a propriedade distributiva e as potências de i. 
z1 ∙ z2 = (a + bi) ∙ (c + di) = ac + adi + cdi + bdi² = ac + adi 
+ cdi – bd = 
ac – bd + (ad + bc)i 
 
Exemplo: 
Considere os números complexos z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 
4i. Então: 
(i) z1 + z2 = (2 + 1) + (3 – 4)i = 3 – 1i 
(ii) z1 - z2 = (2 - 1) + (3 – ( – 4))i = 1 + 7i 
(iii) z1 ∙ z2 = (2 + 3i)(1 – 4i) = 2 – 8i + 3i – 12i² = 2 – 5i + 
12 = 14 – 15i 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Efetue as seguintes operações: 
a) (3 – 2i) – (1 + 3i) 
b) (9 + 4i) + (5 – 2i) – (8 – i) 
c) (12 – 3i) – (1 + i) + (8 + 7i) 
d) (6 + i) ∙ (6 – i) 
e) (2 + 3i) ∙ (2 – 3i) 
f) (1 + 2i) ∙ (–2 + 4i) ∙ (6 – i) 
g) (3 – 4i) ∙ (3 + 4i) – 2 ∙ (3 – i) 
h) 3 ∙ (1 – i) + (2 + i) ∙ (2 – i) 
i) (
1
2
+ 
1
4
𝑖) ∙ (
1
2
− 
1
4
𝑖) 
j) (
2
3
+ 
1
12
𝑖) + (
1
6
+ 
3
4
𝑖) 
k) (√2 – 2i) ∙ (√2 + 2i) 
l) (3a – 2bi) ∙ (3a + 2bi) – (8a² + 3b²) 
 
2) Determine o valor de x e y, de modo que 
(x + yi) ∙ (3 – i) = 20. 
 
3) Obtenha o valor de m e n reais para que se tenha 
(m – ni)² = – 2i. 
 
5. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 
Denomina-se conjugado de um número 
complexo z = a + bi ao número complexo 
�̅� = a – bi. 
 
Exemplos: 
(a) O conjugado de z = 2 + 3i é 𝑧̅ = 2 – 3i. 
(b) O conjugado de z = – 2 – 3i é 𝑧̅ = – 2 + 3i. 
(c) O conjugado de z = 5i é 𝑧̅ = – 5i. 
(d) O conjugado de z = 8 é 𝑧̅ = 8. 
 
5.1. Propriedades do conjugado 
 
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Sejam os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos as 
seguintes propriedades: 
1ª propriedade) O conjugado da soma é igual à soma 
dos conjugados. 
𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅ 
2ª propriedade) O conjugado do produto é igual ao 
produto dos conjugados. 
𝑧1 ∙ 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅ ∙ 𝑧2̅ 
3ª propriedade) O produto de um número complexo 
pelo seu conjugado é um número real não negativo. 
𝑧1̅ ∙ 𝑧1 = (a + bi) ∙ ( a – bi) = a² – abi + abi – b²i² = a² + b² 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
1) Prove que se z = 𝑧̅ então z é um número real. 
Resolução: 
Se z = a + bi, então 𝑧̅ = a – bi. Assim: z = 𝑧̅ ⇔ (a + bi) = 
(a – bi) ⇔ b = - b ⇔ b = 0. Ou seja z = 𝑧̅ = a, portanto 
um número real. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Escreva o conjugado de z: 
a) z = 0,3 + i b) z = 12i c) z = – 8 
d) z = 4i + 7 
 
2) Sendo z = a + bi, prove que: 
a) z + 𝑧̅ = 2ª b) z – 𝑧̅ = 2bi 
 
3) Para quais números complexos z = a + bi é válida a 
igualdade z ∙ (𝑧̅ + 1) – 𝑧̅ = 5 + 4i? 
 
4) Mostre que 𝑧̿ = 𝑧 para todo número complexo 
z = a + bi. 
 
5) (UCMG) O número complexo z, tal que 
5z + 𝑧̅ = 12 + 16i, é igual a: 
a) –2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i 
 
6) Determinar os números complexos z, tais que 
z ∙ 𝑧̅ + (z – 𝑧̅) = 34 + 10i? 
 
6. DIVISÃO 
 
 Sejam dois números complexos z1 e z2, com z2 
≠ 0. Dividir z1 por z2 corresponde a obter o número 
complexo z3 = x + yi, tal que 
𝑧1
𝑧2
= 𝑧3. Ou seja: 
z2 ∙ z3 = z1. 
 
Exemplo 
 Sejam z1 = 2 + 3i e z2 = 1 + 2i, vamos determinar 
a divisão de z1 por z2: 
2 + 3𝑖
1 + 2𝑖
= 𝑥 + 𝑦𝑖 ⇔ 2 + 3𝑖 = (1 + 2𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖)
⇔ 2 + 3𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑥𝑖 − 2𝑦 ⇔ 
 
⇔ 2+ 3𝑖 = (𝑥 − 2𝑦) + (𝑦 + 2𝑥)𝑖 ⇒ {
𝑥 − 2𝑦 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 3
 
Lembrando que para dois números complexos serem 
iguais precisamos que as partes reais e imaginarias 
precisam ser iguais, assim gerando o sistema acima. 
Resolvendo o sistema obtemos: x = 
8
5
 e y = −
1
5
. 
Então temos que 
2+3𝑖
1+2𝑖
 = 
8
5
−
1
5
𝑖. 
 
Exemplo (método prático) 
 Uma maneira mais prática de dividir z1 por z2 
consiste em multiplicar o numerador e o denominador 
de 
𝑧1
𝑧2
 pelo conjugado de z2. 
2 + 3𝑖
1 + 2𝑖
= 
(2 + 3𝑖)
(1 + 2𝑖)
 ∙ 
(1 − 2𝑖)
(1 − 2𝑖)
= 
2 − 4𝑖 + 3𝑖 − 6𝑖2
12 + 22
= 
8 − 𝑖
5
= 
8
5
− 
1
5
𝑖 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Determinar o valor de m, de modo que o quociente 
3+𝑚𝑖
2−𝑖
 seja um número imaginário puro. 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente vamos calcular 
3+𝑚𝑖
2−𝑖
, usaremos o método 
prático. 
3 +𝑚𝑖
2 − 𝑖
= 
(3 + 𝑚𝑖)
(2 − 𝑖)
∙ 
(2 + 𝑖)
(2 + 𝑖)
= 
6 + 3𝑖 + 2𝑚𝑖 + 𝑚𝑖2
4 − 𝑖2
= 
(6 − 𝑚) + (3 + 2𝑚)𝑖
5
 
 
(6 − 𝑚)
5⏟ 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
+ 
(3 + 2𝑚)𝑖
5⏟ 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎
 
Queremos que o número seja imaginário puro, então a 
parte real precisa ser igual a zero. 
Assim: 
(6−𝑚)
5
= 0 ⟹ 6 −𝑚 = 0 ⟹ 𝑚 = 6. 
RESPOSTA: Para que o quociente seja um imaginário 
puro precisamos ter m = 6. 
 
2) Determinar o conjugado do número complexo 𝑧 =
 
1
𝑖
+ 
1
𝑖−1
. 
RESOLUÇÃO: 
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Primeiramente vamos ‘ajeitar’ o número z conforme a 
maneira algébrica a + bi. Assim: 
𝑧 = 
1
𝑖
+ 
1
𝑖 − 1
=
1(𝑖 − 1) + 𝑖
𝑖(𝑖 − 1)
= 
𝑖 − 1 + 𝑖
𝑖2 − 𝑖
= 
−1 + 2𝑖
−1 − 𝑖
 
Vamos multiplicar pelo conjugado para eliminar a 
unidade imaginária do denominador 
𝑧 = 
(−1 + 2𝑖)
(−1 − 𝑖)
 ∙ 
(−1 + 𝑖)
(−1 + 𝑖)
= 
1 + 𝑖 − 2𝑖 + 2𝑖2
1 + 1
= 
−1 − 3𝑖
2
= −
1
2
−
3𝑖
2
 
RESPOSTA: O conjugado de z é 𝑧̅ = −
1
2
+
3𝑖
2
. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Efetue as seguintes divisões: 
a) 
1+2𝑖
1+3𝑖
 
b) 
2+𝑖
4+2𝑖
 
c) 
5+𝑖
3−𝑖
 
d) 
4+3𝑖
4−3𝑖
 
 
e) 
1−𝑖
2+𝑖
 
f) 
8+8𝑖
2−2𝑖
 
 
2) Coloque na forma algébrica (a + bi) os números 
complexos: 
a) 
1+𝑖
1−𝑖
+ 
2−𝑖
2+𝑖
 b) 
3+2𝑖
4+3𝑖
− 
4+𝑖
2−𝑖
 
 
3) (FEI-SP) Escreva na forma a + bi o quociente 
1−𝑖
𝑖
. 
 
4) Determine o valor de x, de modo que 
1+𝑥𝑖
𝑖
 seja 
imaginário puro. 
 
5) Determine o valor de y, de modo que 
4+𝑦𝑖
2−𝑖
 seja um 
número real. 
 
6) (FEI-SP) A forma algébrica do número complexo 
𝑧 = (
1+𝑖
1−𝑖
)
3
 é: 
a) – 1 – i b) 1 – i c) – i d) 1 + i e) 1 – 2i 
 
7) Determine m, de modo que a parte real do número 
𝑧 = 
𝑥−𝑖
𝑥+1
 seja negativa (i é a unidade imaginária). 
 
8) (FEI-SP) Se a = 1 + 2i, b = 2 – i e 
𝑎
𝑏
+ 
𝑏
𝑐
= 0, então o 
número complexo c é: 
a) 2i b) 1 – 2i c) 2 – i d) 1 + 2i e) 3i 
 
9) (F.E. Bauru-SP) A expressão 
𝑖(𝑖−1)(1−2)(𝑖−3)
10
, onde i é 
a unidade imaginária, é igual a: 
a) 1 b) i c) – 1 d) – i e) n.d.a 
10) Sendo i = √−1, o resultado 
1+2𝑖
1−3𝑖
+ 
𝑖
1+3𝑖
 é igual a: 
a) 
1
5
− 
3
5
𝑖 b) 
1
5
+ 
2
5
𝑖 c) −
1
5
− 
3
5
𝑖 
d) 
1
3
− 
2
5
𝑖 e) n.d.a. 
 
11) (Mack-SP) Sejam os números complexos z1 e z2, 
onde z2 = 3i e z1 ∙ z2 = - 9 + 6i. Então z1 e z2, vale: 
a) 2 + 6i b) 2 – 6i c) – 3 + 3i 
d) – 3 – 3i e) 9i 
 
12) (UFV-MG) Calculando a expressão 
(1+𝑖)2(2𝑖−1)𝑖³(𝑖+1)(𝑖−1)
+
2𝑖 , obtém-se: 
a) 1 b) zero c) 4i + 1 d) – 1 e) 4i – 1 
 
13) (Gama Filho-RJ) Dados os complexos z = ab – 3i e v 
= 6 + ai, a ∈ ℕ e b ∈ ℝ, os valores de a e de b para os 
quais tem-se z ∙ v = 11 – 17i são, respectivamente: 
a) 
2
3
 e 
9
4
 b) 1 e 1 c) 3 e 
1
9
 d) 3 e 
2
3
 e) 5 e 
1
5
 
 
7. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM 
NÚMERO COMPLEXO 
 
 A representação geométrica de um número 
complexo z = a + bi, não-nulo, é feita em um plano, 
denominado plano de Argand-Gauss. Veja: 
 
Em que: 
 
 O plano de Argand-
Gauss é xOy; 
 O eixo real é Ox; 
 O eixo imaginário é Oy; 
 
 O módulo do número complexo é |z| ou p. 
 O argumento do número complexo é θ. 
 O ponto imagem ou afixo do número complexo 
z = a + bi é P(a,b). 
 
Veremos melhor cada item a seguir. 
 
7.1. Módulo de um número complexo 
 
 É a distância entre a origem O e o ponto P, que 
é denominada |z| ou p, em que: 
| z | = p = √𝒂𝟐 + 𝒃² 
Exemplos: 
a) O módulo de 3 + 4i é: 
p = √32 + 42 = √25 = 5 
 
 
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Note que: 
 a = 3 é a coordenada do eixo 
Ox; 
 b = 4 é a coordenada do eixo 
Oy; 
 p = 5 é o comprimento do 
segmento; 
 
 
b) O módulo de z = 1 - 2√2i é: 
p = √12 + (2√2)2 = √1 + 8 = 
√9 = 3 
 
Note que: 
 a = 1 é a coordenada do eixo 
Ox; 
 b = 2√2 é a coordenada do 
eixo Oy; 
 p = 3 é o comprimento do 
segmento; 
 
 
 
 
7.2. Argumento de um número complexo 
 
 O argumento de um número complexo não-
nulo, indicado por arg(z), é a medida 𝛉, sendo 0 rad ≤ θ 
≤ 2π, do ângulo que se obtém girando, no sentido anti-
horário, o semi-eixo real positivo Ox até encontrar 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ . 
 O argumento do número complexo z = a + bi é 
determinado através das relações: 
 
 𝑠𝑒𝑛 θ = 
𝑏
𝑝
= 
𝑏
√𝑎2+𝑏²
 
 
 
 cos 𝜃 = 
𝑎
𝑝
= 
𝑎
√𝑎2+𝑏²
 
 
 
EXEMPLO: 
 
1) Determine o argumento do número complexo z = 1 
+ √3i. 
a = 1 
b = √3 
p = √12 +√3
2
= 2 
 𝑠𝑒𝑛 θ = 
𝑏
𝑝
= 
√3
2
 
 cos θ = 
𝑎
𝑝
= 
1
2
 
Portanto, temos que θ é 
𝜋
3
. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Determinar o módulo e o argumento dos números 
complexos e representar no plano de Argand-Gauss. 
a) z = √3 + i 
b) z = - 3i 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) z = √3 + i, a = √3 e b = 1 
Módulo: 
p = 
 √𝑎2 + 𝑏² 
p = 2 
Argumento: 
𝑠𝑒𝑛 θ = 
𝑏
𝑝
= 
1
2
 
cos θ = 
𝑎
𝑝
= 
√3
2
 
θ = 30° ou 
θ = 
𝜋
6
 rad 
 
 
b) z = - 3i, a = 0 e b = -3 
Módulo: 
p = 
√𝑎2 + 𝑏² 
p = 3 
Argumento: 
𝑠𝑒𝑛 θ = 
𝑏
𝑝
= -1 
cos θ = 
𝑎
𝑝
= 0 
θ = 270° ou 
θ = 
3𝜋
2
 rad 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Determine o módulo e o argumento dos seguintes 
números complexos: 
a) z = 4 + 4i 
b) z = - 1 - √3i 
c) z = - √3 – i 
d) z = - 1 + i 
e) z = i 
f) z = 3,5 
 
2) Represente graficamente os complexos: 
a) z = √3 – i b) z = – 5 – 5i c) z = – i 
 
3) (Mack-SP) O módulo de 
𝑖 + √3
√3 − 𝑖
 vale: 
a) 0 b) 1 c) √3 d) 
1
2
 e) 
1
4
 
 
4) (Mack-SP) Sendo z1 = 4 + 2i e z2 = 1 -2i, sendo 
|z1 – z2| é igual a: 
a) 5 b) √5 c) 3√5 d) 10 e) 3√15 
 
5) (UFAL) Se z é um complexo, tal que z ∙ 𝑧̅ = 25, então 
o módulo de z é: 
a) √5 b) 5 c) 5√5 d) 25 e) 50 
 
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6) (Santa Casa-SP) Seja o número complexo z = 1 +2xi, 
em que x ∈ ℝ+. Sendo o módulo de z igual a 7, então x 
pertence ao intervalo: 
a) ] − ∞; 1[ b) [ 1 ; 3 ] c) ] 3 ; 5 [ 
d) [ 5 ; 8 ] e) ]8 ; +∞[ 
 
7) Dado um número complexo z = a + bi, z não-nulo, 
mostre que: 
a) | z | = | 𝑧̅ | b) z ∙ 𝑧̅ = (|z|)² 
c) arg(z) + arg(𝑧̅) = 2π 
 
8. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM 
NÚMERO COMPLEXO 
 
 Sabemos que um número complexo tem como 
forma algébrica a expressão a + bi. Veremos agora uma 
forma associada à trigonometria, denominada forma 
trigonométrica. 
 
Seja o plano de 
Argand-Gauss: 
 
E as razões 
trigonométricas: 
{
 
 
 
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
ℎ
𝑝
 ,
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏 = 𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (𝐼)
cos𝜃 = 
𝑎
𝑝
 ,
 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 = 𝑝 ∙ cos 𝜃 (𝐼𝐼)
 
 
 Substituindo as relações obtidas (I) e (II) em 
z = a + bi, obtemos a forma trigonométrica do número 
complexo z. 
z = p(cos 𝜽 + i ∙ sen 𝜽) 
 Sejam z1 = p1 (cos 𝜃1 + i ∙ sen 𝜃1) e 
z2 = p2 (cos 𝜃2 + i ∙ sen 𝜃2), temos que: 
z1 ∙ z2 = p1 ∙ p2 ∙ [cos(𝜃1 + 𝜃2) + i ∙ sen (𝜃1 + 𝜃2)]. 
 
Exemplo: 
 
1) Obtemos a forma trigonométrica do número 
complexo z = 1 + √3i, fazendo: 
Módulo: 
p = √𝑎2 + 𝑏² 
p = 2 
Argumento: 
𝑠𝑒𝑛 θ = 
𝑏
𝑝
= 
√3
2
 
cos θ = 
𝑎
𝑝
= 
1
2
 
θ = 60° ou θ = 
𝜋
3
 rad 
Forma trigonométrica: z = 2 ∙ ( cos 
𝜋
3
 + i ∙ sem 
𝜋
3
 ). 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Dado o número complexo z = 2 + 2i, pede-se: 
a) o módulo (p) de z 
b) o argumento de (θ) de z 
c) representar z no plano de Argand-Gauss 
d) a forma trigonométrica de z 
 
RESOLUÇÃO: 
a) O módulo de z é: p = √𝑎2 + 𝑏² = √22 + 2² = 2 √2 
b) O argumento de z: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
ℎ
𝑝
= 
2
2 √2
= 
√2
2
 
cos 𝜃 = 
𝑎
𝑝
= 
2
2 √2
= 
√2
2
 
 , 
portanto θ = 45° ou θ = 
𝜋
4
 rad. 
 
 
 
c) O plano de Argand-
Gauss: 
 
d) Dos itens anteriores temos que a forma 
trigonométrica é z = 2 √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
). 
 
2) Calcular, na forma trigonométrica, o produto de 
z1 ∙ z2 dados z1 = 5 ∙ (𝑐𝑜𝑠
2𝜋
5
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
5
) e 
z2 = 2 ∙ (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
5
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
5
). 
RESOLUÇÃO: 
 
z1 ∙ z2 = 5 ∙ 2 ∙ [cos(
2𝜋
5
 + 
3𝜋
5
) + i ∙ sen (
2𝜋
5
 + 
3𝜋
5
)] = 10 ∙ 
[cos(𝜋) + i ∙ sen (𝜋)] = 10( - 1) = - 10. 
 
RESPOSTA: z1 ∙ z2 = -10. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Escrever na forma trigonométrica os números 
complexos: 
a) z = √3 + i b) z = 3 + 3i c) z = 2 – 2i 
d) z = √3 – i e) z = 2i 
 
2) Escrever na forma algébrica os números complexos: 
a) z = 2 ∙ (cos 30° + i ∙ sen 30°) 
b) z = 4 ∙ (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
c) z = 6 ∙ (𝑐𝑜𝑠
5𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
4
) 
reforcandomatematica.blogspot.com P.Brockveld 
d) z = 3 ∙ (𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
) 
 
3) (UFBA) Sendo z1 = 
1
3
−
2
5
𝑖 e z2 = −
2
3
−
3
5
𝑖, a 
representação trigonométrica de z1 – 𝑧2̅ é: 
a) √2 ∙ [cos (−
𝜋
4
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (−
𝜋
4
)] 
b) √2 ∙ [cos (−
𝜋
2
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (−
𝜋
2
)] 
c) √2 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
)] 
d) √2 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (−
3𝜋
4
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (−
3𝜋
4
)] 
e) √2 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
4
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
4
)] 
 
4) (PUC-RS) O número complexo 2 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
11𝜋
6
) + 𝑖 ∙
𝑠𝑒𝑛 (
11𝜋
6
)], escrito na forma algébrica a + bi, é: 
a) 2√3 + i b) – √3 – i c) – √3 + i 
d) √3 – i e) 2√3 – i 
 
5) Calcule os produtos: 
a) [12 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
8
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
8
)]] ∙ [0,8 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
8
) +𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
8
)] 
b) [6 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
)]] ∙ [√3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
3
) +
 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
3
)] 
c) [√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
)] ∙ [√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
) +
 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
)] ∙ [√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
)] 
 
6) (Unirio-RJ) Seja o complexo z = p(cos θ + i ∙ sen θ) 
escrito na forma trigonométrica. Então z ∙ 𝑧̅ é: 
a) 2p b) 2p(cos 2θ + i ∙ sen 2θ) 
c) p²(cos θ² + i ∙ sen θ²) d) p² 
e) cos² θ + i ∙ sen θ 
 
9. POTENCIAÇÃO 
 
Para elevar um número complexo z, não-nulo, ao 
expoente natural (n ≥ 2), escreve-se o número na 
forma trigonométrica, com o módulo p elevado ao 
expoente n e o argumento θ multiplicado pelo 
expoente n, ou seja: 
zn = pn ∙ [ cos (𝑛 ∙ 𝜃) + i ∙ sen (𝑛 ∙ 𝜃) ] 
OBSERVAÇÃO: A igualdade acima é conhecida como a 
1ª fórmula de Moivre. 
Se z = 0, então zn = 0. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Dado o número complexo z = √3 + i, calcular z4. 
Resolução: 
Escrevendo o número z na forma trigonométrica, 
temos: z = 2 ∙ (cos 30° + i ∙ sen 30°). 
Logo z4 = 24 ∙ [cos (4 ∙ 30°) + i ∙ sen (4 ∙ 30°)] = 16 ∙ (cos 
120° + i ∙ sen 120°) = – 8 + 8√3i 
Resposta: z4 = – 8 + 8√3i. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Dados os números complexos, faça os cálculos 
solicitados: 
a) z = 1 + √3i, calcule z³. b) z = 2 + 2i, calcule z4. 
c) z = 1 - √3i, calcule z8. d) z = √3+ i, calcule z6. 
e) z = 4i, calcule z². 
 
2) (PUCCAMP-SP) O módulo e o argumento do 
complexo (√3 + 𝑖)
8
 são, respectivamente: 
a) 44 e 
4𝜋
3
 b) 28 e 
8𝜋
3
 c) 48 e 
8𝜋
9
 
d) 38 e 
5𝜋
4
 e) n.d.a 
 
3) (Mack-SP) (
1+𝑖
1−𝑖
)
102
, i = √−1, é igual a: 
a) i b) – i c) 1 d) 1 + i e) – 1 
 
4) (Santa Casa-SP) Dado o número complexo z = 1 – i, 
tem-se que 
1
𝑧²
 é igual a: 
a) 2i b) i c) 
𝑖
2
 d) – i e) – 2i 
 
5) (ITA-SP) O valor da potência (
√2
1+𝑖
)
93
é: 
a) 
−1+𝑖
√2
 b) 
1+𝑖
√2
 c) 
−1−𝑖
√2
 
d) (√2)93i e) (√2)93 + i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
reforcandomatematica.blogspot.com P.Brockveld 
RESUMO 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
ℂ = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈ ℝ} 
Igualdade: (a , b) = (c , d) ⇔ a = c e b = d. 
Adição: (a, b) + (c , d) = ( a + c , b + d). 
Multiplicação: (a, b) ∙ (c , d) = (ac – bd , ad + bc). 
 
FORMA ALGÉBRICA 
a (parte real), b (parte imaginária) e i = √−1 (unidade 
imaginária). 
Igualdade: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d. 
Imaginário puro quando a = 0. 
Real puro quando b = 0. 
 
POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA 
i0 = 1 ; i¹ = i ; i² = - 1 ; i³ = -i 
Para as demais potências, é suficiente dividir o 
expoente por 4 e selecionar o resto da divisão. A 
potência resultante de base i e expoente r (resto) terá 
o mesmo resultado da potência inicial. 
 
OPERAÇÕES 
Adição: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
Subtração: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 
Multiplicação: : (a + bi) ∙ (c + di) = (ac – bd ) + (ad + bc)i. 
Conjugado de z = a + bi é 𝑧̅ = a – bi. 
Divisão: 
𝑧1
𝑧2
= 
𝑧1
𝑧2
 ∙ 
𝑧2̅̅ ̅
𝑧2̅̅ ̅
. 
 
FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 
Módulo (p): |z| = p = √𝑎2 + 𝑏² 
Argumento (θ): 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
ℎ
𝑝
 
cos 𝜃 = 
𝑎
𝑝
 
 
Forma trigonométrica: 
z = p(cos θ + i ∙ sen θ) 
 
Potência: 
zn = pn ∙ [ cos (𝑛 ∙ 𝜃) + i ∙ sen (𝑛 ∙ 𝜃) ]