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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Este material é parte integrante da disciplina “Cálculo Diferencial e Integral II” oferecido pela UNINOVE. O acesso às atividades, as leituras interativas, os exercícios, chats, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente de aprendizagem online. 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Sumário AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)...........................................................5 Algumas regras de diferenciação ................................................................................................5 AULA 02 • REGRA DO PRODUTO .................................................................................................9 Regra do Quociente ..................................................................................................................10 Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) ..................................................10 Tabela de Derivadas .................................................................................................................12 AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL .................................14 Derivadas Sucessivas ...............................................................................................................14 Função Inversa (f 1 ) ...................................................................................................................15 Definição de Função Inversa .....................................................................................................15 Gráficos de algumas funções e suas inversas...........................................................................16 Como derivar a função inversa..................................................................................................16 AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA..............................................................................................18 Funções implícitas e explícitas ..................................................................................................18 Derivação implícita ....................................................................................................................19 AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA......................................22 Função na forma paramétrica....................................................................................................22 Derivada de uma função na forma paramétrica .........................................................................23 AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................26 Introdução .................................................................................................................................26 Função de várias variáveis ........................................................................................................27 Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:..........................................28 Gráficos.....................................................................................................................................28 AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS...............................................................................................31 Funções de várias variáveis ......................................................................................................31 Derivadas parciais .................................................................................................................31 AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................35 AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................39 1. Equação de Laplace..............................................................................................................39 2. Diferencial total (ou Derivada Total).......................................................................................41 AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................43 3. Vetor gradiente ......................................................................................................................43 AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (Inclinação).........................................................................47 AULA 12 • JACOBIANO ................................................................................................................51 AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS....................................54 Teorema do valor extremo.........................................................................................................54 Extremos ...................................................................................................................................54 Determinação dos extremos relativos........................................................................................55 Ponto de sela ............................................................................................................................56 AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) ...57 AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS...................................................................................................................................61 AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................66 AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................70 AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................74 AULA 19 • REGRA DA CADEIA ....................................................................................................78 Derivada total ............................................................................................................................78 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL.......................................................................82 Exercícios..................................................................................................................................84 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................86 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V) Incrementos ou acréscimos: O incremento, ou acréscimo, de uma variável x é a variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, dentro de seu domínio. Taxa Média de Variação Quando ® Dx 0 temos (x) f' Δx f(x) Δx) f(x 0 Δx lim Δx Δy 0 x lim = - + ® = ® Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 usando a definição pelo limite: Resolução: . 3 x 4 ) x ( ' f 3 x 4 x 4 lim x ) 3 x 4 x 4 ( x lim x x 3 x x 4 x 4 lim x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 4 x x 4 x 2 lim x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 ] ) x ( x x 2 x [( 2 { lim x ) 2 x 3 x 2 ( ] 2 ) x x ( 3 ) x x ( 2 [ lim x ) x ( f ) x x ( f lim x y lim ) x ( ' f 0 x 0 x 2 0 x 2 2 2 0 x 2 2 2 0 x 2 2 0 x 0 x 0 x + = Þ + + D = D + + D D = = D D + D + D = D + - - - D + + D + D + = = D + - - - D + + D + D + = = D - + - - D + + D + = D - D + = D D = ® D ® D® D ® D ® D ® D ® D ® D Algumas regras de diferenciação • Derivada de uma constante Δx f(x) Δx) f(x Δx Δy - + = • Taxa instantânea de variação. • Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x). • f’(x) = dx dy . 6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II • Regra da Potência Exemplos: a) f(x) = x 5 ® f’(x) = 5x 4 . d) f(x) = 3 x 1 = x 3 ® f’(x) = 3x 4 = 4 x 3 - . b) f(x) = x 9 ® f’(x) = 9x 8 . e) f(x) = x ® f’(x) = 1x 0 = 1.1 = 1. c) f(x) = x 6 ® f’(x) = 6x 5 . • Múltiplo Constante (c Î R) Exemplos: a) f(x) = 2x 3 ® f’(x) = 2.3.x 2 = 6x 2 . b) f(x) = 8x 5 ® f’(x) = 8.5.x 4 = 40x 4 . c) f(x) = 5x 2 ® f’(x) = 5.2.x = 10x. • Regra da Exponencial Se f(x.) = b, então f’(x) = 0 Se n Î R, se f(x) = x n , então f’(x) = n.x n1 , para x ¹ 0 f(x) = [ c.f(x) ] ® [ c.f(x) ]’ = c.f’(x) f(x) = e x ® f’(x) = e x .x’ = e x .1 = e x 7 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II • Algumas Derivadas de funções trigonométricas • Regras da Soma (e da Diferença) Exemplos: 1. Ache a derivada de f(x) = x 4 + 4x 2 6x . f(x) = sen x ® f’(x) = cos x.(x)’ = cos x.(1) = cos x f(x) = cos x ® f’(x) = sen x.(x)’ = sen x.(1) = sen x f(x) = tg x ® f’(x) = x 2 cos 1 = sec 2 x. f(x) = cotg x ® f’(x) = x 2 sen 1 - = cossec 2 x. f(x) = sec x ® f’(x) = x 2 cos senx = sec x .tg x. f(x) = cossec x ® f’(x) = x 2 sen cosx - = cossec x .cotg x. f(x) = arcsen x ® f’(x) = 2 x 1 1 - . f(x) = arccos x ® f’(x) = 2 x 1 1 - - . f(x) = arctg x ® f’(x) = 2 x 1 1 + . f(x) = arccotg x ® f’(x) = 2 x 1 1 + - . Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: [ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) dx d + = + = + [ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) dx d - = - = - 8 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Resolução: f ‘(x) = (x4)’ + 4(x2)’ – 6(x)’ = (4x3)’ + 4(2x)’ – 6(1)’ Û f’(x) = 4x 3 +8x 6. 2. Ache a derivada de g(x) = 2 1 x 8 + 4x 2 – 2x + 7. Resolução: g’(x) = 2 1 .8x 7 + 4.2x – 2.1 + 0 Û g ‘(x) = 4x 7 + 8x 2 9 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 02 • REGRA DO PRODUTO Exemplos: f g 1. Derive y = (4x – 3x 2 ).(7 + 2x). Resolução: dx dy = (4x – 3x 2) ’. (7 + 2x) + (4x – 3x 2 ). (7 + 2x)’ = = (4 – 6x). (7 + 2x ) + (4x – 3x 2 ). (2) = 28 + 8x – 42x – 12x 2 + 8x – 6x 2 = = 12x 2 – 6x 2 + 8x – 42x + 8x + 28 Û dx dy = 18x 2 + 26x + 28. 2. Derive y = 3x.(x 3 + 2x). Resolução: dx dy = (3x)’. (x 3 + 2x) + (3x) . (x 3 + 2x)’ = 3. (x 3 + 2x) 3x . (3x 2 + 2) = = 3x 3 6x 9x 3 6x Û dx dy = 12x 3 12x Obs.: Podemos estender o conceito de derivada do produto para mais do que duas funções. Por exemplo: Sejam f(x), g(x) e h(x) deriváveis. Portanto: [ ] (x) ' h f(x).g(x). (x).h(x) ' f(x).g (x) (x).g(x).h ' f h(x) f(x).g(x). dx d + + = , e assim por diante . Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: [ ] (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f f(x).g(x) dx d + = 10 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Regra do Quociente Exemplo: Derive y = 6 4x 3 x + + . Resolução: Temos f = x1 e g = 2x + 3 Û + + - - + = + + + - + = + + + - + + = 36 48x 2 16x 12 4x 6 4x 36 48x 2 16x 3).4 (x 6) 1.(4x 2 6) (4x 6)' 3).(4x (x 6) 3)'.(4x (x dx dy Û 36 48x 2 16x 6 dx dy + + - = Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) Exemplos: 1. Derive y = (x 2 + 1) 3 . Resolução: Temos u = x 2 + 1 ® y = u 3 , portanto y’ = dx du . du dy dx dy = = 3u 2 .u’ = 3.(x 2 + 1) 2 . 2x = 3.(x 4 +2x 2 +1).2x Û y’ = 6x 5 +12x 3 + 6x ou Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: [ ] 2 g(x) (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f g(x) f(x) dx d - = ú û ù ê ë é Seja y = f(u) diferenciável em u . Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos: dx du . du dy dx dy = ou [ ] [ ] (x) .g' g(x) ' f f(g(x)) dx d = com g(x) ¹ 0 11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II y’ = [ (x 2 + 1) 3 ]’.(x 2 + 1)’ = 3.(x 2 + 1) 2 .2x Û y’ = 6x5 +12x3 + 6x 2. Derive y = (3x 3 +2x) 2 . Resolução: Temos u = 3x 3 +2x y = u 2 , portanto y’ = dx du . du dy dx dy = = 2u .u’ = 2.(3x 3 +2x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) Û y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x ou y’ = [(3x 3 +2 x) 2 ]’.(3x 3 +2 x)’ = 2.(3x 3 +2 x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) Û Û y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x 3. Derive y = sen 2x . Resolução:. y’ = [sen 2x]’.(2x)’ = cos2x . 2 Û y’ = 2.cos 2x NOTA: Pensando na regra da cadeia, podemos, então, ampliar nossos conceitos de derivação, uma vez que, ao derivarmos, por exemplo, cos x, temos que u = x, logo u’ = 1, portanto, (cos x)’ = [cos x]’.(x)’ = (sen x) . 1 Û (cos x)’ = senx . Muitas vezes nos esquecemos disso, o que acarreta em erros freqüentes e comuns, por exemplo, se a derivada de cos x é sen x, é natural pensarmos que a derivada de cos 2x é sen 2x; natural, porém absurdo, pois já vimos, pela regra da cadeia, que derivada de cos 2x é –2.sen 2x. Uma boa sugestão é nunca se esquecer de derivar a função u. Pensando nisso, preparamos uma tabela de derivadas onde a variável a ser operada não é “x”, mas sim “u” (como função), notamos, em sala de aula, que houve significativo aumento de compreensão das derivadas que usam regra da cadeia. Segue abaixo, essa tabela: 12 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Tabela de Derivadas Função Derivada c.x n n.c.x n1 x n n.x n1 e u u’e u a u u’.a u .lna u u 2 u' ln u u u' u a log u e a u'.log u.lna u' = e u u’.e u sen u u’.cos u cos u u’.sen u u cos u sen u tg = u 2 u'.sec u 2 cos u' = u cos 1 u sec = = u 2 cos senu u'. u’.sec u.tg u u sen 1 u cosec = = - u 2 sen cosu u'. u’.cosec u.cotg u cotg u = - u 2 sen u' u’.cosec 2 u arcsen u 2 u 1 u' - arccos u 2 u 1 u' - - arctg u 2 u 1 u' + 13 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II senh u u’.cosh u cosh u u’.senh u tgh u u 2 cosh u' cotgh u u 2 senh u' - arcsenh u 2 u 1 u' + arccosh u 1 2 u u' - arctgh u 2 u 1 u' - , |u| < 1 arccotg h u 1 2 u u' - - , |u| > 1 f(u).g(u).h(u) f’(u)g(u)h(u)+f(u)g’(u)h(u)+f(u)g(u)h’(u) y=f[g(x)]=f(u) f’[g(x)].g’(x) = dx du . du dy (Deriv. função composta) u+v u’ + v’ uv u’ v’ u.v u’v + uv’ u / v 2 v uv' v u' - uv ÷ ø ö ç è æ + v'.lnu u v u' . v u 14 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ** Exemplo: y = e5x ® y’ = e5x . (5x)’ = y’ = e5x . 5 Û y’ = 5.e 5x Derivadas Sucessivas Exemplo: • f(x) = 8x4 ® f’(x) = 32x 3 ® f’’(x) = 96x2 ® f’’’(x) = 192x ® f iv (x) = 192 ® f v (x) = 0. • y = x e a log x.lna 1 dx dy x a log = = ® . • y = x 1 dx dy lnx = ® . • y = x e dx dy x e = ® . • y = .u' e y' e u u = ® . ** • y = .lna x a dx dy x a = ® . Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida a partir da derivação de y = f(x); se derivarmos y’ = f’(x) obteremos y’’ = f’’(x) ou Segunda Derivada, e assim por diante, até y n = f n (x)possível. 15 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Função Inversa (f 1 ) Convém salientar que f 1 ¹ f 1 ,ou seja, não use propriedade de potenciação. Em linhas gerais, a função inversa f 1 desfaz o que a função f fez Exemplo: a) b) Definição de Função Inversa Seja f uma função Bijetora, ou seja, para cada y Î Imf existe um único x Î Df tal que y = f(x), chamamos de Função Inversa de f e denotamos f 1 aquela que leva y no único x de f tal que y = f(x), ou seja, f 1 (y) = x. (Veja os diagramas abaixo) f(x) = x 2 1 f 1 (x) = 1 2 x + , com x e f(x) ³ 1. 16 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Gráficos de algumas funções e suas inversas a) b) Como derivar a função inversa No nosso estudo, não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim a sua derivada. Sabemos que f 1 (x) o f(x) = x (função composta) Û f 1 (f(x)) = x Û [f 1 (f(x)) ]’ = x’ Û Û [f 1 (f(x)) ]’ = 1 Û [ f 1 (f(x)) ]’. f’(x) = 1(regra da cadeia) Û [f 1 (f(x))]’ = (x) ' f 1 como y = f(x), também podemos denotar [ f1 ]’(y) = (x) f 1 ' . 17 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Exemplos: a) Sendo f(x) = x 5 2x 3 + 2x 2 + 3, calcule (f 1 )’ (y) . Resolução: [ f 1 ]’(y) = 4x 2 6x 4 5x 1 (x) ' f 1 + - = b) Idem para f(x) = x5 + 2x3 + x, com y0 = 4. Resolução: Temos f(x) = y = 4 Û x5 + 2x3 + x = 4 \ x = 1 [ f 1 ]’(y) = 1 2 6x 4 5x 1 (x) ' f 1 + + = , logo, substituindo x = 1 em [ f1 ]’(y), temos: (f 1 )’ (4) = Û + + = + + 1 6 5 1 1 2 6.(1) 4 5.(1) 1 (f 1 )’ (4) = 12 1 Em resumo: A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. f(x) 18 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Funções implícitas e explícitas Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita: y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta (explícita) em termos da outra. Por Exemplo: Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, explicitamente. Muitas funções, porém, apresentamse na forma implícita, veja o exemplo abaixo: • Ache a derivada dx dy da função xy = 1 Resolução: Nessa equação, y está definida implicitamente como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciála. • xy = 2 (Forma implícita) • y = x 2 (Escrever a relação y em função de x) • y = 2x –1 (Escrever sob nova forma) • dx dy = 2x – 2 (Derivar em relação a x) • dx dy = 2 x 2 (Simplificar) y = 5x 9 s = 25t 3 3t 2 u = 4w 4 + 35w² dx dy Derivada de y em relação à x. 19 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Esse processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que não ocorre, por exemplo, com y 5 + 3x 2 y + 5lny 3 = 0. Para tanto, podemos utilizar um método chamado Derivação implícita (ou diferenciação implícita), que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitála. Derivação implícita Essa derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, uma vez que y é uma função de x. Exemplos: a) 3x + y 4 Resolução: Sendo y uma função de x, devemos aplicar a regra da cadeia para diferenciar em relação a x, daí : dx dy 3 4y 3 ) 4 (y dx d (3x) dx d ) 4 y (3x dx d + = + = + b) 2x 3y Resolução: dx dy 3 2 (3y) dx d (2x) dx d 3y) (2x dx d - = - = c) 3xy² Resolução: dx dy 6xy 2 3y dx dy 3x.2y 2 3y ) 2 (y dx d 3x. 2 3.y ) 2 (3xy dx d + = + = + = Regra da cadeia 20 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II d) 8x 3 12y² = 25 Resolução: y 2 x dx dy 24y 2 24x dx dy 2 24x dx dy 24y 0 ) 2 (12y dx d 2 24x 25) 12y² 3 (8x dx d = Û = Û - = - Û = - Û = e) x 4 y 4 + x² y² + x y = 2 Resolução: 1 y 3 4y 1 2x 3 4x dx dy 1 y 3 4y 1 2x 3 4x dx dy 1 2x 3 4x 1) y 3 4y ( dx dy 1 2x 3 4x dx dy dx dy y dx dy 3 4y 0 dx dy 1 dx dy y 2x dx dy 3 4y 3 4x 2) y x 2 y 2 x 4 y 4 (x dx d + + + + = Þ - - - - - - = Þ Þ - - - = - - - Þ - - - = - - - Þ Þ = - + - + - Þ = - + - + - f) x 3 y 5 = y + 2 Resolução: 1 4 5y 3 x 5 y 2 3x dx dy 5 y 2 3x 1) 4 5y 3 (x dx dy 5 y 2 3x dx dy dx dy 4 5y 3 x 0 dx dy dx dy 4 5y 3 x 5 y 2 3x 2) y 5 y 3 (x dx d - - = Þ - = - Þ Þ - = - Þ + = + Þ + = g) tgy = xy Resolução: y 2 x.cos 1 y 2 y.cos dx dy y 2 x.cos 1 y 2 cos y. dx dy y 2 cos y 2 x.cos 1 y dx dy x y 2 cos 1 y dx dy x y 2 sec y dx dy y x) y 2 (sec dx dy y dx dy x dx dy y 2 sec dx dy x y dx dy y 2 sec xy) (tgy dx d - = Þ Þ - = Þ - = Þ - = Þ - = Þ Þ = - Þ = - Þ + = Þ = 21 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II h) x 3 + 5y² = 8 Resolução: 10y 3x dx dy 3x dx dy 10y 0 dx dy 10y 3x 8) 5y² (x dx d 2 2 2 3 - = Þ - = Þ = + Þ = + i) sen x + cos y = 0 Resolução: seny cosx dx dy cosx dx dy 0 dx dy seny cosx y) cos (senx dx d = Þ = Þ = - Þ + 22 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA Função na forma paramétrica Sejam (I) duas funções da mesma variável t, com t Î [ a, b ]; a cada valor de t, temos x e y definidos. Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b, o ponto P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro. Exemplo: Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos escrever y = y[t(x)] e y definese como função de x na Forma paramétrica. Eliminamos t de (I) e obtemos y =y(x) na Forma Analítica Usual. Exemplos: a) Aplicando t em y, temos: 3 2x y + = Þ + - = + - = + - = ú û ù ê ë é 5 2 2x 5 2) 2.(x 5 2) .(x 3 1 6 y x = x(t) y = y(t) x = 3t + 2 y = 6t + 5 t em função de x 2) .(x 3 1 t - = 23 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II b) Aplicando t em y, temos: 35 3x y + = Þ + + = + + = + + = ú û ù ê ë é 8 27 3x 8 9) 3.(x 8 9) .(x 5 1 15 y Derivada de uma função na forma paramétrica Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas Exemplos: 1. Calcule dx dy da função y(x), definida na forma paramétrica pelas equações: a) î í ì + = + = 5 6t y 2 3t x b) î í ì - = - = 12t 2 18t y 2 6t x Resolução: a) 2 3 6 2)' (3t 5)' (6t (t) x' (t) y' dx dy = = + + = = x = x(t) y = y(t) ; t Î [a; b] temos dy = y’(t) dx x’(t) A fórmula que permite calcular a derivada sem conhecer explicitamente y como y como função de x. dy dx x = 5t – 9 y = 15t + 8 t em função de x 9) .(x 5 1 t + = 24 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II b) 2 6t 6 12 36t 2)' (6t 12t)' 2 (18t dx dy - = - = - - = ♣ OBS: Note, no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada dx dy em função de x,devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí, temos: x = 6t – 2 Û x + 2 = 6t Û t = 6 2) (x + ; substituindo t em ♣ , obtemos a seguinte expressão: 6. 6 2) (x + 2 = (x + 2) – 2 = x + 2 – 2 , portanto dx dy = x. 2. Idem para î í ì - = = t 3 5sen y t 3 5cos x ; 2 π t 0 £ £ Resolução: dx dy = = (t) x' (t) y' t)' 3 5cos ( t)' 3 (5sen - = Þ = cost sent t.sent 2 15cos t.cost 2 15sen = dx dy tg(t) com ï ï î ï ï í ì ¹ ¹ 2 π t 0 t OBS.: Temos que ter muita atenção quanto aos intervalos de validade das respostas obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da expressão acima, portanto, concluímos que, para fazermos as simplificações indicadas, temos que considerar t ¹ 0 e t ¹ 2 π pois sen 0 = 0 e cos 2 π = 0, note que, apesar de t pertencer ao intervalo 2 π t 0 £ £ , efetivamente estão excluídos os valores de t já mencionados. 25 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 3. Idem para ï î ï í ì = = 3t y 2t x ; +¥ < £ t 0 Resolução: dx dy = = (t) x' (t) y' +¥ < £ = Þ = t 0 com ; 2t 2 3t )' 2 (t )' 3 (t 2 3t dx dy . 4. Idem para î í ì = - = t 3 4cos y t 3 2sen x ; ú û ù ê ë é - Î 0 ; 2 π t Resolução: t sent 2cost t.cost 2 6sen t 2 12sent.cos t.cost 2 6sen sent) t.( 2 12cos t)' 3 2sen ( t)' 3 (4cos (t) x' (t) y' dx dy g 2cot dx dy = Þ = - - = - - = - = = com ï ï î ï ï í ì - ¹ Þ ¹ ¹ Þ ¹ 2 π t 0 cost 0 t 0 sent 26 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Analisando essas afirmações: 1. O volume V de uma pirâmide de base quadrada é dado por 3 .h 2 x V = , onde temos que x é o lado do quadrado e h a altura da pirâmide. 2. A equação da geratriz do tronco de cone é dada por 2 h 2 2 d D g + - = ÷ ø ö ç è æ , onde temos: Nessa análise, verificamos que as funções apresentadas requerem o uso de duas ou mais variáveis independentes. Em Graficamente: g: geratriz d: diâmetro da base menor D: diâmetro de base maior h: altura do tronco 1. Temos 3 .h 2 x h) V(x, : V = 2. Temos 2 h 2 2 d D h) d, g(D, : g + - = ÷ ø ö ç è æ 27 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II OBS.: O estudo das funções de três, ou mais, variáveis difere pouco do estudo de funções de duas variáveis, logo, trabalharemos mais com estas, salientando as diferenças. Função de várias variáveis Definição: Seja A um conjunto do espaço ndimensional ( A ÍRn ), isto é, os elementos de A são nuplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z Î R, temos a função, a qual está definida como f: A ÍRn ® R. Essa função é chamada de Função de n variáveis reais e denotamos: z = f(P) ou z = f ( x1, x2, x3, ..., xn ). O conjunto A é denominado Domínio da função z = f(P). As notações são, em geral, do tipo: • f ( x, y ) = x 3 + xy 2 • g ( x, y ) = e xy • (x, y, z) = 3x 5y 4 + 5z (Três variáveis) Terna ordenada (D, d, h) em R 3 = R x R x R Duas variáveis Par ordenado (x, h) no plano R 2 = R x R 28 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável: • f ( 2, 1 ) para f ( x, y ) = x 3 + xy 2 Þ ( 2 ) 3 – ( 2 )( 1 ) 2 = 8 – 2 Þ f ( 2, 1 ) = 6 • g ( 0, 1 ) para g ( x, y ) = e xy Þe 01 = e 1 Þ g ( 0, 1 ) = e • h ( 3, 2, 4 ) para h ( x, y, z ) = 3x 5y 4 + 5z Þ3( 3 ) – 5( 2 ) 4 + 5( 4 ) = 9 – 80 + 20 Þ Þ h ( 3, 2, 4 ) = 51 Gráficos Podemos representar graficamente uma função de duas variáveis como uma superfície no espaço, fazendo z = f (x, y). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, devemos lembrar que, embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos pontos do plano xy, para os quais a função é definida. Exemplos: a) Determine o domínio e a imagem da função f (x,y) = 2 y 2 x 36 - - . Resolução: ( ) { } 36 2 y 2 x : 2 R y x, f D 36 2 y 2 x 0 2 y 2 x 36 £ + Î = \ £ + Þ ³ - - Temos, pois: x² + y² £ 6² (círculo) logo, { } 6 z 0 : R z f Im £ £ Î = ou Imf ] 6 0, [ zÎ . Centro ( 0, 0 ) e raio £ 6 29 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II b) Determine o Domínio para g (x, y, z) = 2 z 2 y 2 x 25 - - - , e esboce o gráfico do domínio. Resolução: Condição de existência ( C.E ): 25 z y x 0 z y x 25 2 2 2 2 2 2 £ + + Û ³ - - - Portanto Dg ( ) { } 25 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, £ + + Î = . c) Determine o domínio da função w = Î + - + - - 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 5 R. Resolução: Para w pertencente a R, temos x1 x2 + x3 x4 + x5 ¹ 0, logo : Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) Î R5 | x1 x2 + x3 x4 + x5 ¹ 0 }. d) z = 2xy Resolução: Como não há restrições para a multiplicação 2xy, temos ( ) { } 2 R ou 2 R y x, D(z) Î " = Notase que o gráfico da função seria quadridimensional , não podendo portanto, ser esboçado. 30 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II e) w = 2 z 2 y 2 x 3 + + - Resolução: C.E: 0 2 z 2 y 2 x ¹ + + Portanto, Dw ( ) { } } ) 0 0, 0, ( { 3 R ou 0 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, - ¹ + + Î = . f) z = 4 2 y 2 x - + Resolução: C.E : 4 2 y 2 x 0 4 2 y 2 x ³ + Þ ³ - + Portanto Dw ( ) { } 4 2 y 2 x | 2 R y x, ³ + Î = . 31 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações de uma das variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras variáveis, como desemprego, etc. Analogamente, determinamos a taxa de variação de uma função f em relação a uma de suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em relação a uma de suas variáveis independentes. Esse processo chamase Derivada Parcial. Uma função de várias variáveis tem tantas “ parciais” quantas são suas variáveis independentes. Funções de várias variáveis Derivadas parciais Se z = f(x,y), então, derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y são funções x z ¶ ¶ e y z ¶ ¶ , definidas, como segue : ï ï î ï ï í ì - + ® = ¶ ¶ = ¶ ¶ - + ® = ¶ ¶ = ¶ ¶ Δy y) f(x, Δy) y f(x, 0 Δy lim y z y f Δx y) f(x, y) Δx, f(x 0 Δx lim x z x f y constante x constante Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, derivase em relação a uma variável, considerandose, as demais, constantes! 32 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Exemplos: a) Calcule x z ¶ ¶ e y z ¶ ¶ para a função z = 5xy + 3x 2 y 3 4x 3 y 2 . Resolução: x z ¶ ¶ = 5y + 6xy 3 12x 2 y 2 y z ¶ ¶ = 5x + 9 x 2 y 8 x 3 y b) Idem para h(x,y) = 5 4 y 3 x + + Resolução: x h ¶ ¶ = 5 4 y 3 x 2 2 3x 2 .3x 5 4 y 3 x 2 1 + + = + + y h ¶ ¶ = 5 4 y 3 x 3 2y 3 .4y 4 4 y 3 x 2 1 + + = + + c) Idem paraz = sen ( 5x + 8y 2 ) Resolução: x z ¶ ¶ = cos ( 5x + 8y 2 ) . 5 = 5. cos ( 5x + 8y 2 ) y z ¶ ¶ = cos (5x + 8y 2 ) . 16y = 16y. cos (5x + 8y 2 ) d) Idem para f(x,y) = 5x²y + 4x 2 y 2 + 4x Resolução: x f ¶ ¶ = 10xy + 8xy 2 + 4 33 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II y f ¶ ¶ = 5x² + 8x 2 y e) Idem para f(x,y) = ï ï î ï ï í ì = ¹ - (0,0) y) (x, 0; (0,0) y) (x, ; 2 5y 2 4x 3xy Resolução: PARA (x, y) ¹ ( 0, 0 ) 2) 2 5y 2 (4x 3 15y y 2 12x x f 2) 2 5y 2 (4x y 2 24x 3 15y y 2 12x 2) 2 5y 2 (4x (3xy).(8x) ) 2 5y 2 (3y).(4x x f - - - = ¶ ¶ Þ - - - = - - - = ¶ ¶ 2) 2 5y 2 (4x 3 12x 2 15xy x f 2) 2 5y 2 (4x 2 30xy 2 15xy 3 12x 2) 2 5y 2 (4x 10y) (3xy).( ) 2 5y 2 (3x).(4x x f - + = ¶ ¶ Þ - + - = - - - - = ¶ ¶ PARA ( x, y ) = ( 0, 0 ) x f ¶ ¶ ( 0,0 ) = 0 H L' x 0 2 5.0 2 4x 3x.0 0 x lim x f(0,0) f(x,0) 0 x lim = - - ® = - ® y f ¶ ¶ ( 0,0 ) = 0 H L' y 0 2 5y 2 4.0 3.0.y 0 y lim y f(0,0) y) f(0, 0 y lim = - - ® = - ® Resumindo: x f ¶ ¶ = ï ï ï î ï ï ï í ì = ¹ - - - (0,0) y) (x, 0; (0,0) y) (x, ; 2) 2 5y 2 (4x 3 15y y 2 12x 34 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II y f ¶ ¶ = ï ï ï î ï ï ï í ì = ¹ - + (0,0) y) (x, 0; (0,0) y) (x, ; 2) 2 5y 2 (4x 3 12x 2 15xy Notações: • Derivadas parciais de primeira ordem: Seja z = f (x,y): [ ] [ ] ï ï î ï ï í ì ¶ ¶ = = = ¶ ¶ ¶ ¶ = = = ¶ ¶ y) f(x, y y z y) (x, y f y z y) f(x, x x z y) (x, x f x z • Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( a, b ) ï ï î ï ï í ì = ¶ ¶ = ¶ ¶ b) (a, y f b) (a, y z b) (a, x f b) (a, x z 35 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Exemplos: 1. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 3x 2 y + 2xy 2 – 5x – 4y. Resolução: 6y * * 5x 2 2y 6xy * 2 x z 2 Þ - + Þ ¶ ¶ 4x * * 4 4xy 2 3x * 2 y z 2 Þ - + Þ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ x z x 2 x z 2 Derivada parcial de 2ª ordem em relação a x Derivada parcial de 2ª ordem em relação a y ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ y z y 2 y z 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ y z x y x z 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ x z y x y z 2 Derivadas parciais de 2ª ordem mistas (Derivar de trás para frente...) OBS.: Quando a função z = f(x,y) é contínua, então x y z 2 y x z 2 ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ 36 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 4y 6x *x * 4 4xy 2 3x y * y z x y x z 2 + Þ - + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 4y 6x *y * 2 2y 6xy x * x z y x y z 2 + Þ + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ 2. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y² ). Resolução: 2) 2 y 2 (x 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x 2 4x 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x 2x.2x ) 2 y 2 2.(x * * 2 y 2 x 2x * 2 x z 2 + + - = + - + = + - + Þ + Þ ¶ ¶ 2) 2 y 2 (x 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x 2 4y 2 2y 2 2x 2) 2 y 2 (x 2y.2y ) 2 y 2 2.(x * * 2 y 2 x 2y * 2 y z 2 + - = + - + = + - + Þ + Þ ¶ ¶ 2) 2 y 2 (x 4xy 2) 2 y 2 (x 2y.2x ) 2 y 2 0.(x *x * 2 y 2 x 2y y * y z x y x z 2 + - = + - + Þ + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 2) 2 y 2 (x 4xy 2) 2 y 2 (x 2x.2y ) 2 y 2 0.(x *y * 2 y 2 x 2x x * x z y x y z 2 + - = + - + Þ + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ 3. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = sen ( 2x 4 + 4y 2 ). Resolução: )] 4 2 ( . 4 ) 4 2 [cos( 16 ) 4 2 ( . 64 ) 4 2 cos( . 16 8 ). 4 2 ( . 8 ) 4 2 cos( . 16 ) 4 2 cos( . 8 8 ). 4 2 cos( 2 4 4 2 4 2 2 4 6 2 4 2 3 2 4 3 2 4 2 * * 2 4 3 3 2 4 * 2 2 y x sen x y x x y x sen x y x x x y x sen x y x x y x x x y x x z + - + = = + - + = = + - + Þ + = + Þ ¶ ¶ ) 2 4y 4 .sen(2x 2 64y ) 2 4y 4 8.cos(2x ).8y 2 4y 4 8y.sen(2x ) 2 4y 4 8.cos(2x ** ) 2 4y 4 8y.cos(2x ).8y 2 4y 4 cos(2x * 2 y z 2 + - + = = + - + Þ + = + Þ ¶ ¶ 37 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x 3 ).8x 2 4y 4 8y.sen(2x **x ) 2 4y 4 8y.cos(2x y * y z x y x z 2 + - = = + - Þ + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x ).8y 2 4y 4 .sen(2x 3 8x **y ) 2 4y 4 .cos(2x 3 8x x * x z y x y z 2 + - = = + - Þ + Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ 4. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 5x 3 y 2 8x 4 y3 + 10x 2 – 8y 2 . Resolução: 10) 3 y 2 48x 2 2(15xy 20 3 y 2 96x 2 30xy * * 20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x * 2 x z 2 + - = + - Þ + - Þ ¶ ¶ 8) y 4 24x 3 2(5x 16 y 4 48x 3 10x * * 16y 2 y 4 24x y 3 10x * 2 y z 2 - - = - - Þ - - Þ ¶ ¶ 16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x *x * 16y 2 y 4 24x y 3 10x y * y z x y x z 2 - = - Þ - - Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x *y * 20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x x * x z y x y z 2 - = - Þ + - Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ 5. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 2xy 3x 2y 3 + 5x 2 – 3y 2 . Resolução: 5) 3 3y 2( 10 3 6y * * 10x 3 6xy 2y * 2 x z 2 + - = + - Þ + - Þ ¶ ¶ 1) y 2 6(3x 6 y 2 18x * * 6y 2 y 2 9x 2x * 2 y z 2 + - = - - Þ - - Þ ¶ ¶ 2 18xy 2 *x * 6y 2 y 2 9x 2x y * y z x y x z 2 - Þ - - Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 38 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2 18xy 2 **y 10x 3 6xy 2y x * x z y x y z 2 - Þ + - Þ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ 39 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 1. Equação de Laplace Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 2 x z 2 ¶ ¶ , 2 y z 2 ¶ ¶ suas “parciais” de segunda ordem, chamamos de Equação de Laplace a seguinte expressão: Analogamente, para w = f(x,y,z), temos a Equação de Laplace: Nesses casos, dizemos que z e w (respectivamente) satisfazem a Equação de Laplace. Exemplos: Verifique se as funções dadas satisfazem a Equação de Laplace. a) w = 4x² + 8y² 4z² 0 2 y z 2 2 x z 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ 0 2 2 2 2 2 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ z w y w x w Obs. : Chamamos de Laplaciano a expressão ...2 z f 2 2 y f 2 2 x f 2 + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ devido a sua similaridade com a Equação de Laplace 0 ... 2 z f 2 2 y f 2 2 x f 2 = + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 40 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Resolução: 8 * * 8x * 2 x w 2 - Þ - Þ ¶ ¶ 16 * * 16y * 2 y w 2 Þ Þ ¶ ¶ 0 8 1 8 2 z w 2 2 y w 2 2 x w 2 = - + - = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ \ 8 z 8 z w * * * 2 2 - Þ - Þ ¶ ¶ b) z = e x .cosy Resolução: .cosy x e .0 x e .cosy x e * * .cosy x e .0 x e .cosy x e * 2 x z 2 = + Þ = + Þ ¶ ¶ .cosy x e .cosy x e 0.(seny) * * .seny x e .seny x e 0.cosy * 2 y z 2 - = - Þ - = - Þ ¶ ¶ 0 .cosy x e .cosy x e 2 y z 2 2 x z 2 = - = ¶ ¶ + ¶ ¶ \ c) z = 4x 3 y + 2x 2 y 2 + 5x – 8y Resolução: 2 4y 24xy * * 5 2 4xy y 2 12x * 2 x z 2 + Þ + + Þ ¶ ¶ Logo, w satisfaz à “ Laplace” . logo, z satisfaz à “ Laplace” . 41 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2 4x * * 8 y 2 4x 3 4x * 2 y z 2 Þ - + Þ ¶ ¶ 0 6xy) 2 y 2 4(x 24xy 2 4y 2 4x 2 4x 2 4y 24xy 2 y z 2 2 x z 2 ¹ + + = + + = + + = ¶ ¶ + ¶ ¶ \ 2. Diferencial total (ou Derivada Total) Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e x z ¶ ¶ , y z ¶ ¶ as “parciais” de z = f(x,y), chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão : Analogamente, para w = f(x,y,z), temos: Exemplos: Calcule a expressão do Diferencial Total de: a) z = 4x²y + ln ( x 3 y 2 ) Logo, z não satisfaz à “ Laplace” . y .Δ y z x .Δ x z z Δ ¶ ¶ + ¶ ¶ = dt dy . y z dt dx . x z dt dz ¶ ¶ + ¶ ¶ = ou z .Δ z w y .Δ y w x .Δ x w w Δ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ou t z . z w dt dy . y w dt dx . x w dt dw ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = 42 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Resolução: x 3 y 2 8x x 3 8xy 2 y 3 x 2 y 2 3x 8xy x z + = + = + = ¶ ¶ y 2 y 2 4x y 2 2 4x 2 y 3 x y 3 2x 2 4x y z + = + = + = ¶ ¶ dt dy y 2 y 2 4x dt dx x 3 y 2 8x dt dz ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + + = \ b) Idem para z = 2 2y 3 x 3xy + Resolução: 2) 2 2y 3 (x ) 2 y 3 x 6y( 2) 2 2y 3 (x 3 6y y 3 6x 2) 2 2y 3 (x y 3 9x 3 6y y 3 3x 2) 2 2y 3 (x 2 3xy.3x ) 2 2y 3 3y.(x x z + + - = = + + - = + - + = + - + = ¶ ¶ 2) 2 2y 3 (x ) 2 y 3 6x(x 2) 2 2y 3 (x ) 3 x 2 y 6x( 2) 2 2y 3 (x 4 6x 2 6xy 2) 2 2y 3 (x 2 12xy 2 6xy 4 3x 2) 2 2y 3 (x 3xy.4y ) 2 2y 3 3x.(x y z + - = + + - = = + + - = + - + = + - + = ¶ ¶ dt dy 2) 2 2y 3 (x ) 2 y 3 6x(x dt dx 2) 2 2y 3 (x ) 2 y 3 x 6y( dt dz ú ú û ù ê ê ë é ú ú û ù ê ê ë é + - + + + - = \ 43 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 3. Vetor gradiente Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e x z ¶ ¶ , y z ¶ ¶ as “parciais”de z = f(x, y). Seja P0 (x0, y0) um ponto do plano xy, a projeção de “ z” no plano dada por curvas de nível e 0 P x z ¶ ¶ , 0 P y z ¶ ¶ as derivadas calculadas no ponto Po, Î plano R 2 ,chamamos de Vetor Gradiente ao seguinte vetor: O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, y0). ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = Ñ 0 P y z , 0 P x z 0 P z 44 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente a uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R 3 , daí : Exemplos: Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto P0 Î plano R 2 . a) z = ln (x² + y²) em P0 (0, 1). Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po Î plano R2. Resolução: 0 1 0 2 1) ( 2 0 2.0 1) (0, x z 2 y 2 x 2x x z = = - + = - ¶ ¶ Þ + = ¶ ¶ 2 1 2 2 1) ( 2 0 2.1 1) (0, y z 2 y 2 x 2y y z = = - + = - ¶ ¶ Þ + = ¶ ¶ b) z = x.cos y em Po (3, 2 p ). Resolução: 0 2 π cos 2 π 3, x z cosy x.0 1.cosy x z = = - ¶ ¶ Þ = + = ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade. Obs.: Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal. ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = Ñ 0 P z z , 0 P y z , 0 P x z P z 0 2) (0, 1) (0, z = - Ñ \ 45 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 3 3.1 2 π 3).sen ( 2 π 3, y z x.seny x.seny 0.cosy x z = = - - = - ¶ ¶ Þ - = - = ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ c) z = 2x 3 y 2 + 5x –3y em Po ( 1, 2 ). Resolução: 29 5 6.4 5 2 .(2) 2 6(1) (1,2) x z 5 2 y 2 6x x z = + = + = ¶ ¶ Þ + = ¶ ¶ 1 3 2.2 3 .(2) 3 2(1) (1,2) y z 3 y 3 2x y z = - = - = ¶ ¶ Þ - = ¶ ¶ d) z = 2x 3 y 2 .e xy em Po ( 1, 1 ). Resolução: e 6 1 6.e 3) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[3 1).(1) ( .e 2 .(1) 2 1) 2( 1) 1, ( x z xy) .(3 xy .e 2 y 2 2x xy .e 3 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x xy .ye 2 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x x z - = - - = - - = - + - - = - ¶ ¶ Þ Þ + = + = + = ¶ ¶ e 4 1 4.e 2) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[2 1).(1) ( .(1).e .3 1) 2( 1) 1, ( x z xy) .(2 xy y.e 3 2x xy .e 2 y 4 2x xy y.e 3 4x xy .xe 2 y 3 2x xy y.e 3 4x y z = - = - - - = - + - - = - ¶ ¶ Þ Þ + = + = + = ¶ ¶ e) z = 3.ln ( x 3 + y² ) em Po ( 2, 3 ). Resolução: 17 36 2 3 3 2 2 3.3.(2) (2,3) x z 2 y 3 x 2 3x 3. x z - = + - = ¶ ¶ Þ + - = ¶ ¶ \ 3) (0, ) 2 π 3, ( z = - Ñ \ 1) (29, 2) (1, z = Ñ ÷ ø ö ç è æ - = - Ñ e 4 , e 6 1) 1, ( z \ 46 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 17 18 2 3 3 2 3.2.3 (2,3) y z 2 y 3 x 2y 3. y z - = + - = ¶ ¶ Þ + - = ¶ ¶ f) z = xy em P0 ( 2,1 ). Resolução: 4 2 2 2 1 2.1 2 1 (2,1) xy 2 y x z = = = = ¶ ¶ \ 2 2 2 1 2.1 2 2 (2,1) xy 2 x y z = = = = ¶ ¶ \ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = Ñ 2 2 , 4 2 (2,1) z ÷ ø ö ç è æ - - = Ñ 17 18 , 17 36 (2,3) z 47 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (INCLINAÇÃO) Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vetor unitário, então, a derivada direcional de z na direção de u é denotada por: Seja o vetor gradiente )0 y , 0 (x z Ñ temos que a derivada direcional é a direção assumida pelovetor gradiente quando “aplicado” no vetor unitário u, logo, para calcularmos a derivada direcional, temos o vetor decomposto em j 0 P y z i 0 P x z 0 zP ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ e, combinado com a equação (I), chegamos em: Exemplos: a) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 2x 3 y no ponto P0 (2, 1) na direção a = 3i + 4j. Resolução: Como a não é vetor unitário, temos que normalizálo, daí: u = j 5 4 i 5 3 u 25 4j 25 3i 2 4 2 3 4j 3i 2 2 a 2 1 a 4j 3i a a .a a 1 + = Þ + = + + = + + = = Logo: 16j 24i (1,2) z j 3 2.(2) 1)i .( 2 6.(2) j 1) (2, 3 2x i 1) (2, y 2 6x j 1) (2, y z i 1) (2, x z 1) z(2, + - = Ñ Þ + - = - + - = - ¶ ¶ + - ¶ ¶ = - Ñ Portanto: Duz = x z ¶ ¶ .u1 + y z ¶ ¶ .u2 (I) Duz = 0 P z Ñ .u1 Produto Escalar 48 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Duz = 0 P z Ñ .u = Þ + - = + - = + + - ÷ ø ö ç è æ 5 64 5 72 5 4 16. 5 3 24. j 5 4 i 5 3 16j). 24i ( Duz = 5 8 - b) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3xy 2 no ponto P0 (0, 3) na direção a = 2i 5j. Resolução: Como “a” não é vetor unitário, temos que normalizálo, daí: u = j 29 29 5 i 29 29 2 u 29 5j 29 2i 2 5) ( 2 2 5j 2i 2 2 a 2 1 a 5j 2i a a .a a 1 - = Þ - = - + - = + - = = Logo: 0j 27i 1,2) ( z 6.(0).(3)j i 2 3(3) j (0,3) 6xy i (0,3) 2 3y j (0,3) y z i (0,3) x z (0,3) z + - = - Ñ Û - - = - - = ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ Portanto: Duz = 0 P z Ñ .u Þ + - = - + - = - + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 0 29 29 54 29 29 5 0. 29 29 2 27. j 29 29 5 i 29 29 2 0j). 27i ( ÞDuz = 29 29 54 - c) Idem para z = x² + 4xy 2y² , P0 (3, 1) e u = 2i 5j. Resolução: Logo: 8j 10i z(3,1) 4)j (12 4)i (6 j (3,1) 4y) (4x i (3,1) 4y) (2x j (3,1) y z i (3,1) x z z(3,1) + = Ñ Û - + + = = - + + = ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ Portanto: 49 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Duz = 0 P z Ñ .u = Þ - = - + = - + 40 20 ) 5 .( 8 2 . 10 ) j 5 i 2 ).( j 8 i 10 ( Duz = 20 d) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0 (4, 2 p ) , u = < 3, 1 > . Resolução: Logo: 0j 0i ) 2 π z(4, 0j 0i 8.1.0j i 2 0 j 2 π .cos 2 π 2.(4).sen i 2 2 π cos j ) 2 π (4, sy 2x.seny.co i ) 2 π (4, y 2 cos j ) 2 π (4, y z i ) 2 π (4, x z ) 2 π z(4, + = Ñ Þ + = - Þ - = = - = ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ ÷ ø ö ç è æ Portanto: Duz = 0 P z Ñ .u = Þ + = + = + + 0 0 1 . 0 3 . 0 ) j i 3 ).( j 0 i 0 ( Duz = 0 e) Idem para f(x,y) = e 3xy , P0 (2, 0) e u = 2i + 2j. Resolução: Logo: j i j i j e i e j e i e j e x i e y j x z i x z z xy xy z 6 0 1 . 6 0 . 6 . 0 ). 2 .( 3 ). 0 .( 3 . 3 . 3 ) 0 , 2 ( 0 0 ) 0 ).( 2 ( 3 ) 0 ).( 2 ( 3 ) 0 , 2 ( 3 ) 0 , 2 ( 3 ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( + = Ñ Þ + = + Þ + = + = ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ Portanto: Duz = 0 P z Ñ .u = Þ + = + - = + + - 12 0 6 . 2 0 . 2 ) j 6 i 0 ).( j 2 i 2 ( Duz = 12 f) Idem para z = 2x² + 5xy 2y² , P0 (2, 2) e u = 2 (i + j). Resolução: Logo: 50 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2j 18i z(2,2) 8)j (10 10)i (8 4.(2)]j [5.(2) 5.(2)]i [4.(2) j (2,2) 4y) (5x i (2,2) 5y) (4x j (2,2) x z i (2,2) x z z(2,2) + = Ñ =Þ - + + Þ - + + = = - + + = ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ Portanto: Duz = 0 P z Ñ .u = Þ + = + = + + 4 36 2 . 2 2 . 18 ) j 2 i 2 ).( j 2 i 18 ( Duz = 40 51 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 12 • JACOBIANO Estudando futuramente, em Cálculo III, as integrais múltiplas, verificaremos que um dos tópicos abordados é a chamada mudança de variáveis, em que, numa integral dupla, dada pela fórmula [ ] dv du ) v , u ( ) y , x ( . ) v , u ( y ), v , u ( x f dA ) y , x ( f S R ¶ ¶ = òò òò , é tratado um conceito muito importante denominado Jacobiano. Não faremos sua demonstração agora, porém, mostraremos o Jacobiano como sendo mais uma aplicação das derivadas parciais estudadas em Cálculo II. Sendo a mudança de variável, mencionada anteriormente, dada pela transformação T do plano uv no plano xy : T(u,v) = (x,y). Resultamos, sem maiores demonstrações, no produto vetorial: Onde ru e rv são vetores tangentes a uma superfície S pertencente ao plano uv. Chamamos, pois, de Jacobiano da transformação T com x = f(u, v) e y = g(u, v) à equação: OBS.: Se T for uma transformação de espaços, temos o Jacobiano w) v, (u, z) y, (x, ¶ ¶ análogo: Exemplos: Calcule os jacobianos v) (u, y) (x, ¶ ¶ a seguir: ru x rv = k v y u y v x u x k v y v x u y u x 0 v y v x 0 u y u x k j i ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ u y . v x v y . u x v y v x u y u x v y u y v x u x v) (u, y) (x, ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ 52 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II a) ï î ï í ì - = + = 2v u y 5v 2u x Resolução: ï ï î ï ï í ì = - ¶ ¶ = ¶ ¶ = + ¶ ¶ = ¶ ¶ - = - ¶ ¶ = ¶ ¶ = + ¶ ¶ = ¶ ¶ 1 2v) (u u u y 5 5v) (2u v v x 2 2v) (u v v y 2 5v) (2u u u x Portanto, [ ] 9 5 4 (5.1) 2) 2.( u y . v x v y . u x v) (u, y) (x, - = - - = - - = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ . b) ï î ï í ì - = + - = 3v 2 4u y 3 2v 3u x Resolução: ï ï î ï ï í ì = - ¶ ¶ = ¶ ¶ = + - ¶ ¶ = ¶ ¶ - = - ¶ ¶ = ¶ ¶ - = + - ¶ ¶ = ¶ ¶ 8u 3v) 2 (4u u u y 2 6v ) 3 2v 3u ( v v x 3 3v) 2 (4u v v y 3 ) 3 2v 3u ( u u x Portanto, [ ] 2 48uv 9 .8u) 2 (6v 3) 3.( u y . v x v y . u x v) (u, y) (x, - = - - - = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ Lembrando... u y . v x v y . u x v) (u, y) (x, ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ Lembrando... u y v x v y u x v u y x ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ . . ) , ( ) , ( 53 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II c) ï î ï í ì + = - = 2v 2e 3 3u y 4 5v u e x Resolução: ï ï î ï ï í ì = + ¶ ¶ = ¶ ¶ - = - ¶ ¶ = ¶ ¶ = + ¶ ¶ = ¶ ¶ = - ¶ ¶ = ¶ ¶ 2 9u ) 2v 2e 3 (3u u u y 3 20v ) 4 5v u (e v v x 2v 4e ) 2v 2e 3 (3u v v y u e ) 4 5v u (e u u x Portanto, [ ] ). 3 v 2 45u 2uv 4.(e 3 v 2 180u 2uv 4e ) 2 ).9u 3 20v [( ) 2v .(4eu e u y . v x v y . u x v) (u, y) (x, + = = + = - - = ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ Lembrando... u y . v x v y . u x v) (u, y) (x, ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ 54 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Teorema do valor extremo Da mesma forma estudada em Cálculo I, citaremos o Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis. Extremos No curso de Cálculo II, aprendemos a determinar Máximos e Mínimos de funções de uma variável. Nesta aula começaremos a aprender, utilizando técnicas análogas, a determinálos a partir de funções de duas variáveis. Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, podemos notar pontos altos e baixos em suas vizinhanças imediatas. Tais pontos são chamados de máximos e mínimos relativos de f, respectivamente. • O mais alto máximo dentro do domínio de f é chamado de máximo absoluto. • O mais profundo mínimo dentro do domínio de f é chamado de mínimo absoluto. Vamos definilos, portanto, da seguinte maneira: • Uma função f(x,y) possui máximo relativo num ponto P0 (x0, y0), caso exista um círculo com centro em P0 , de modo que f(x0,y0) ³ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f, no interior do círculo, analogamente, ela possui um máximo absoluto em P0 se f(x0,y0) ³ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f. Seja f(x,y) uma função contínua num conjunto fechado e limitado R, então, f possui tanto máximo quanto mínimo absolutos em R 55 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II • Uma função f(x,y) possui mínimo relativo num ponto P0 (x0, y0), caso exista um círculo com centro em P0 , de modo que f(x0,y0) £ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f, no interior do círculo, analogamente, ela possui um mínimo absoluto em P0 se f(x0,y0) £ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f. Obs.: Se a função possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo relativo no ponto, e se ela possui máximo ou mínimo absoluto, dizse que ela possui extremo absoluto no ponto. Determinação dos extremos relativos Para determinarmos os extremos relativos, verificamos que a função f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em (x0, y0) e que f(x0, y0) é extremo relativo de f, daí, tem se o plano tangente ao gráfico de z = f (x, y) em (x0, y0, z0) paralelo ao plano xy com equação z = z0. Os pontos críticos de f são aqueles em que as “parciais” de primeira ordem são zero ou f não é diferenciável, daí, temos a definição: Exemplo: · Seja f (x,y) = 3 + x² + y², com x² + y² £ 9. Ache os extremos de f . Resolução: Temos x² + y² £ 9 o disco fechado R de raio 3 e centro (0, 0) no plano xy. Daí, pela última definição: 0 ) , ( 0 0 = ¶ ¶ y x x f 2x = 0 Û \ (x, y) = (0, 0) , logo f(x,y) = f (0,0) = 3 O ponto (x0, y0) é chamado de crítico de uma função f(x,y), de duas variáveis, se 0 )0 y , 0 (x x f = ¶ ¶ e 0 )0 y , 0 (x y f = ¶ ¶ ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em (x0, y0). Único 56 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 0 y f ) y , x ( 0 0 = ¶ ¶ 2y = 0 Veja o gráfico... Ponto de sela Chamamos de Ponto de Sela, o ponto P (x0, y0, f(x0,y0)) onde = ¶ ¶ )0 y , 0 (x x f 0 )0 y , 0 (x y f = ¶ ¶ , todavia, a função não possui nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois, dependendo da direção, ele apresenta comportamento de máximo ou de mínimo. Veja o gráfico abaixo de uma função de duas variáveis no ponto P0 (0, 0), ele apresenta f (0, 0) = 0 comportandose como máximo na direção de x e como mínimo na direção de y, e note o formato do gráfico que lembra uma sela. Extremo Relativo 57 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) Exemplos: a) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y)=x² +xy+y²6x + 2. Resolução: • 2x 6 y 0 6 y 2x x f - = Û = - + = ¶ ¶ . • 0 2y x y f = + = ¶ ¶ . • Substituindo y da primeira derivada na segunda: 4 x 12 3x 0 4x 12 x 0 2x) 2(6 x = Þ - = - Þ = - + Þ = - + . Substituindo x em y da primeira derivada: 2 y 8 6 y 2(4) 6 y - = Þ - = Þ - = , portanto, temos P0 (x0, y0) = P0 ( 4, 2) Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais de segunda ordem, contínuas num círculo centrado num ponto crítico (x0,y0), temos o discriminante D... D = 2 )0 y , 0 (x y x f 2 )0 y , 0 (x 2 y f 2 . )0 y , 0 (x 2 x f 2 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ Se... D > 0 e 2 x f 2 ¶ ¶ > 0 então, f tem mínimo relativo em (x0, y0) . D > 0 e 2 x f 2 ¶ ¶ < 0 então, f tem máximo relativo em (x0, y0) . D < 0 então, f tem ponto de sela em (x0, y0) . 58 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2 2 x f ¶ ¶ 2 * * 6 y 2x * Þ - + Þ . 2 y f 2 ¶ ¶ 2 * * 2y x * Þ + Þ . ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ y f x y x f 2 1 x * * 2y x y * Þ + Þ . \D = ( ) 3 D 2 (1) 2.2 2 2) (4, 2 2) (4, 2 . 2) (4, 2 2 2) (4, y x f 2 2) (4, 2 y f 2 . 2) (4, 2 x f 2 = Þ - = - - - - = - ¶ ¶ ¶ - - ¶ ¶ - ¶ ¶ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ • • Logo, f (4, 2) = (4)² + (4).(2) + (2) ² 6.(4) + 2 = 16 – 8 + 2 – 24 + 2 Þ Þ f (4, 2) = 12 , então, o ponto P (4, 2, 12) é Ponto de mínimo relativo de f(x, y). b) Idem para f(x, y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y Resolução: • ï î ï í ì = - = Þ = Þ = - Þ = - Þ = - = ¶ ¶ 1 1 x 1 1 x 1 2 x 0 1 2 x 0 1) 2 6.(x 0 6 2 6x x f • 1 y 8 8y 0 8 8y y f = Þ = Þ = - = ¶ ¶ . Único Ponto Crítico no plano D = 3 > 0 2 x f 2 ¶ ¶ = 2 > 0 Temos, portanto, Mínimo Relativo 59 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II • Portanto, temos os pontos críticos no plano ï î ï í ì - 1) (1, 0 Q e 1) 1, (0 P • 2 2 x f ¶ ¶ 12x 6 6x * * 2 * Þ - Þ . • 2 y f 2 ¶ ¶ 8 8 8y * * * Þ - Þ . • ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ y f x y x f 2 0 x * * 8 8y y * Þ - Þ . • Como temos mais do que um ponto crítico, montaremos uma tabela: Ponto crítico no plano ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ 0 y , 0 x 2 x f 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ 0 y , 0 x 2 y f 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ 0 y , 0 x y x f 2 D = . 2 x f 2 ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 2 y f 2 y x f ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ Conclusão P0 (1, 1) 12 8 0 12 . 8 0² = 96 < 0 Sela Q0 (1, 1) 12 > 0 8 0 12 . 8 0² = 96 > 0 Mínimo Relativo • Aplicando os pontos críticos na função z = f (x,y) = 2x3 + 4y2 – 6x – 8y , temos: P0 (1, 1) Þ z0 = f (1, 1) = 2 .(–1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (1) – 8(1) = 2 + 4 + 6 8 Þ z0 = 0 . Q0 (1, 1) Þ z0 = f (1, 1) = 2 .(1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (1) – 8(1) = 2 + 4 6 8 Þ z0 = 8 . Finalmente... NOTA: Vimos nos exemplos a e b que, ao determinarmos os pontos de máximo e mínimo relativos,encontramos pontos P0, Q0 etc Î R 2 (Plano Cartesiano). P (1, 1, 0) Ponto de sela. Q (1, 1, 8) Ponto de mínimo relativo. 60 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Na verdade, o que ocorre é que, para cada um destes (x0, y0) , associaremos pontos (x0, y0, f (x0, y0)) Î R 3 (Espaço Cartesiano), onde f (x0, y0) é o verdadeiro extremo máximo ou mínimo. Daí: No exemplo a, temos: f(x,y) = x² + xy + y² 6x + 2 Mínimo relativo = z0 = f (x0, y0) = f (4, 2) = 12 em P0 (4, 2) Î R 2 . Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (4, 2, 12) Î R 3 . No exemplo b, temos: f (x,y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y Sela = z0 = f (x0, y0) = f (1, 1) = 0 em P0 (1, 1) Î R 2 . Ponto de sela de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (1, 1, 0) Î R 3 . Mínimo relativo = z0 = f (x0, y0) = f (1, 1) = 8 em Q0 (1, 1) Î R 2 . Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (1, 1, 8) Î R 3 . 61 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis Conforme citado no teorema anterior, os pontos extremos absolutos de uma função ocorrem em pontos críticos localizados no interior do conjunto (Região) R, ou em pontos sobre a sua fronteira. Exemplo: Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f (x, y) = 4xy – 8x 8y + 2 sobre a região triangular R Î R 2 (Plano Cartesiano) com vértices A0 (0, 0) , B0 (5, 0) e C0 (0, 5). Veja a figura... Seja f uma função contínua de duas variáveis num conjunto fechado e limitado R, então, f possui extremo máximo absoluto e mínimo absoluto para algum ponto de R. Existem três procedimentos básicos para se determinar os máximos e mínimos absolutos em conjuntos fechados e limitados R : I. Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em R. II. Determinar todos os valores extremos de fronteira de R. III.O maior valor encontrado nos procedimentos I e II é o valor máximo absoluto; o menor valor encontrado nos procedimentos I e II é o valor mínimo absoluto 62 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Resolução: = ¶ ¶ x f 4y – 8 = 0 Þ y0 = 2 = ¶ ¶ y f 4x – 8 = 0 Þ x0 = 2 \D0 (x0, y0 ) = D0 (2, 2) é o Único Ponto Crítico no interior de R. Vamos determinar os pontos de fronteira de R onde poderão ocorrer valores extremos: • Para a fronteira ( 0, 0 ) até ( 5, 0 ) , temos [ ] ï î ï í ì \ = \ Î constante 0 y e variável 0,5 x u ( x ) = f ( x, 0 ) = 4.x.0 – 8.x – 8.0 + 2 = 8x + 2. u’ ( x ) = 8 ¹ 0 Portanto, não há ponto crítico em u (x) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e B0 ( 5, 0 ). • Para a fronteira ( 0, 0 ) até ( 0, 5 ), temos [ ] ï î ï í ì \ Î \ = variável 0,5 y e constante 0 x Logo, para determinar os pontos críticos, determinemos a equação da reta que contém o segmento que representa esta fronteira: 5 x y : r 25 5x 5y 0 5y 5x 25 0 1 5 0 1 0 5 1 y x : r + - = Þ + - = Þ = - - Þ = . w ( x ) = ( ) ( ) ( ) 38 20x 2 4x w(x) 2 5 x 8. 8x 5 x 4x. 5 x x, f - + - = Þ + + - - - + - = + - . w’ ( x ) = 8x + 20 = 0 Þ x0 = 2 5 , substituindo em 5 x y + - = temos y0 = 2 5 . Portanto, temos o ponto crítico E0 ÷ ø ö ç è æ 2 5 , 2 5 , além dos vértices B0 ( 5, 0 ) e C0 ( 0, 5 ). 63 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II O último procedimento agora é montar uma tabela para indicarmos os Extremos Absolutos: Aplicando, na função f ( x, y ) = 4xy – 8x 8y + 2, os pontos críticos encontrados no plano, obtemos: Ponto Crítico no Plano A0 B0 C0 D0 E0 ( x0, y0 ) ( 0, 0 ) ( 5, 0 ) ( 0, 5 ) ( 2, 2 ) ÷ ø ö ç è æ 2 5 , 2 5 z0 = f ( x0, y0 ) 2 38 38 14 13 Conclusão Máx. Abs. Mín. Abs. Mín. Abs. o o z0 = 2 : Valor ( ou Extremo ) máximo absoluto. Daí, temos ... z0 = 38 : Valor ( ou Extremo ) mínimo absoluto. Finalmente, temos os pontos no espaço como resposta: Qual a área máxima que um retângulo pode ter se seu perímetro é de 22 cm? Resolução: Esse exemplo é um clássico cuja metodologia de resolução auxilia em problemas práticos de otimização, como, por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas: Figura ilustrativa... Ponto de Máximo Absoluto A ( 0, 0, 2 ) Ponto de Mínimo Absoluto B ( 5, 0, 38 ) Ponto de Mínimo Absoluto C ( 0, 5, 38 ) 64 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Temos ï î ï í ì = ® = + = ® xy A máxima Área e 22 2y 2x P Perímetro Daí, Þ = + Þ = + Þ = + 11 y x 22 y) 2.(x 22 2y 2x y = 11 – x ☼☼ Substituindo y em A, temos 11x 2 x A x) x.(11 A xy A + - = Þ - = Þ = A partir desse momento, o problema limitase a encontrar o ponto crítico da função de segundo grau (com concavidade para baixo): A(x) = x 2 + 11x . Usando os conhecimentos adquiridos, temos 11 2x (x) A' 11x)' 2 x ( (x) A' + - = Þ + - = . Igualando essa derivada a zero, temos 2 11 x 11 2x 0 11 2x (x) A' = Þ = Þ = + - = . Substituindo x em ☼☼ temos 2 11 y 2 11 22 y 2 11 11 y x 11 y = Þ - = Þ - = Þ - = . Logo, a área máxima do “retângulo” é Þ = = = 4 121 2 11 . 2 11 xy A A = 30,25 cm 2 Figura final... 65 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Você deve estar confuso, pois a pergunta pede a área de um RETÂNGULO e a resposta final define um QUADRADO. A explicação é simples... Por definição, retângulo é todo quadrilátero que possui os quatro ângulos internos retos. Portanto, o QUADRADO também é um RETÂNGULO. 66 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Determine o volume máximo que pode ter uma caixa retangular aberta no topo, cuja área total é de 20 cm². Resolução: Na aula 15, estudamos o problema de área máxima de um retângulo. Naquela oportunidade, comentamos que a metodologia de resolução auxiliaria em problemas práticos de otimização, como por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas. Acompanhe atentamente a resolução do primeiro exemplo, pois você resolverá o segundo... Figura Ilustrativa... Temos ï î ï í ì = ® = + + = ® xyz V máximo Volume e 20 xy 2yz 2xz A total Área Daí, 2y 2x xy 20 z xy 20 2y) z.(2x xy 20 2yz 2xz 20 xy 2yz 2xz + - = Þ - = + Þ - = + Þ = + + Substituindo z em V, temos: Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas presenciais, nos fóruns, chats ou através de email. ☼☼ 67 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2y 2x 20xy 2 y 2 x V 2y 2x 2 y 2 x 20xy V 2y 2x xy 20 xy. V xyz V + + - = Þ + - = Þ + - = Þ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ A partir desse momento, o problema limitase a encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis : 2y 2x 20xy 2 y 2 x V + + - = . Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos: . 2 2y) (2x 20) 2xy 2 x .( 2 2y 2 2y) (2x 2 40y 3 4xy 2 y 2 2x 2 2y) (2x 40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40y 3 4xy 2 y 2 4x 2 2y) (2x 20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20y).(2x 2 2xy ( 2 2y) (2x 2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( x V + + - - = + + - - = + - + + + - - = = + + - - + + - = = + + + - - + + - = ¶ ¶ Igualando essa derivada a zero, temos: Û = + + - - Þ = ¶ ¶ 0 2 2y) (2x 20) 2xy 2 x .( 2 2y 0 x V (*) 0 20 2xy 2 x 0 x V paraade possibilid Única : 0 20 2xy 2 x caixa. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x = + - - Þ = ¶ ¶ = + - - = ¹ Þ ¹ Þ ¹ ¹ + ï ï ï î ï ï ï í ì Analogamente: 68 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II . 2 2y) (2x 20) 2xy 2 y .( 2 2x 2 2y) (2x 2 40x y 3 4x 2 y 2 2x 2 2y) (2x 40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40x 2 y 2 4x y 3 4x 2 2y) (2x 20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20x).(2x y 2 2x ( 2 2y) (2x 2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( y V + + - - = + + - - = + - + + + - - = = + + - - + + - = + + + - - + + - = ¶ ¶ . Igualando essa derivada a zero, temos: Û = + + - - Þ = ¶ ¶ 0 2 2y) (2x 20) 2xy 2 y .( 2 2x 0 y V (**) 0 20 2xy 2 y 0 x V para ade possibilid Única : 0 20 2xy 2 y caixa. há não 0, x se pois, 0, x 0 2 x 0 2 2x quociente. do existência de Condição : 0 2y 2x = + - - Þ = ¶ ¶ = + - - = ¹ Þ ¹ Þ ¹ ¹ + ï ï ï î ï ï ï í ì Temos, então, o sistema formado pelas equações (*) e (**)... ï ï î ï ï í ì ï î ï í ì ï î ï í ì ï î ï í ì ® = Þ = - ® - = Þ = + Û = - + Þ = - Þ + = + - - = - + Þ = + - - - = + - - Þ zero. de diferentes y e x Com y x 0 y x negativas. medidas possui não caixa a pois , y x 0 y x 0 y) y.(x (x 0 2 y 2 x ) ( 0 20 2xy 2 y 0 20 2xy 2 x 0 20 2xy 2 y 1) ( . 0 20 2xy 2 x (**) (*) ABSURDO Logo, substituindo x = y em (*) [ Também poderia ser em (**) ], temos... 69 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II . 3 20 y 3 20 2 y 20 2 3y 20 2 2y 2 y 0 20 2.y.y 2 (y) (*) = Þ - - = ÞÞ - = - Þ - = - - Þ = + - - = Como x = y, temos . 3 20 y x = = Usando sua calculadora... 2,582 y x @ = . Substituindo x e y em ☼☼ , temos: ( ) 1,291 z 10,328 13,333 10,328 6,667 20 4.(2,582) 2 2,582 20 4x 2 x 20 2x 2x xx 20 2y 2x xy 20 z @ Þ @ - @ - @ - = + - = + - = . Logo, o volume máximo da caixa é Þ @ = 1 ,582).1,29 (2,582).(2 xyz V V @ 8,607 cm 3 Figura Final... AGORA É A SUA VEZ... 2. Determine a mínima quantidade de material utilizado na construção de uma caixa retangular aberta no topo, cujo volume é de 30 cm 3 . Resposta: 2 cm 45,94 A @ onde cm 1,96 z e cm 3,91 y x @ @ = Aqui vale o mesmo comentário sobre quadrados e retângulos do final da aula 15. 70 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 3. Um tanque de experimentos para análise de fluxo de fluidos líquidos deve ser feito de tal maneira que o seu perímetro frontal, somado ao comprimento, seja de 20 metros (Veja a figura). Determine o volume máximo desse tanque. Resolução: Temos ï î ï í ì = ® = + + ® xyz V máximo Volume e 20 y 2z) (2x inicial Condição Daí, 20 2z 2x y 20 y 2z 2x + - - = Þ = + + Substituindo y em V, temos: ( ) 20xz 2 2xz z 2 2x V 20 2z 2x xz. V xyz V + - - = Þ + - - = Þ = A partir desse momento, o problema limitase a encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis: 20xz 2 2xz z 2 2x V + - - = . Então... Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas presenciais, nos fóruns, chats ou através de email. 71 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 10) z 2x 2z( 20z 2 2z 4xz 20xz) 2 2xz z 2 2x ( x x V + - - = + - - = + - - ¶ ¶ = ¶ ¶ . Igualando essa derivada a zero, temos: (*) 0 10 z 2x 0 x V para ade possibilid Única : 0 10 z 2x tanque há não 0, z se pois, 0, z 0 2z 0 10) z 2x 2z( 0 x V = + - - Þ Þ = ¶ ¶ = + - - = ¹ Þ ¹ Û = + - - Þ = ¶ ¶ ï ï î ï ï í ì Analogamente... 10) 2z x 2x( 20x 4xz 2 2x 20xz) 2 2xz z 2 2x ( y y V + - - = + - - = + - - ¶ ¶ = ¶ ¶ . Igualando essa derivada a zero, temos: (**) 0 10 2z x 0 x V para ade possibilid Única : 0 10 2z x tanque há não 0, x se pois, 0, x 0 2x 0 10) 2z x 2x( 0 y V = + - - Þ Þ = ¶ ¶ = + - - = ¹ Þ ¹ Û = + - - Þ = ¶ ¶ ï ï î ï ï í ì . Temos, então, o sistema formado pelas equações (*) e (**)... 3 10 z 10 3z 0 10 3z ) ( 0 20 4z 2x 0 10 z 2x 2) .( 0 10 2z x 0 10 z 2x (**) (*) = Þ = Þ = - Þ + = - + = + - - Þ - = + - - = + - - Þ ï î ï í ì ï î ï í ì ï î ï í ì Logo, substituindo 3 10 z = em (**) [ Também poderia ser em (*) ], temos... . 3 10 x 3 20 30 x 3 20 10 x 3 20 10 x 10 3 20 x 0 10 3 10 2. x (**) = Þ - = Þ - = Þ Þ + - = - Þ - = - - Þ = + - - = ÷ ø ö ç è æ 72 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Logo, temos . 3 10 z x = = Substituindo x e z em ☼☼ , temos: 3 20 y 3 60 20 20 20 3 20 3 20 20 3 10 2. 3 10 2. y = Þ + - - = + - - = + - - = ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ . Logo, o volume máximo da caixa é Þ = = = 27 2.000 3 10 . 3 20 . 3 10 xyz V V = 74,074 m 3 Figura final ... Agora é a sua vez 4. Refaça o exercício anterior, só que, agora, isole “z” na equação ☼☼ . 73 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Temos ï î ï í ì = ® = + + ® xyz V máximo Volume e 20 y 2z) (2x inicial Condição Daí, = Þ = + + z 20 y 2z 2x Continue daqui... ☼☼ Resposta: V = 74,074 m 3 74 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 5. Um engenheiro projeta uma sala frigorífica em que o custo do material usado no piso equivale a quatro vezes o custo do material usado nas quatro paredes laterais. Determine o volume máximo da sala frigorífica em função do custo. Resolução: Temos ï î ï í ì = ® = + + ® xyz V máximo Volume e C 4xy 2yz 2xz total Custo Daí... 2y 2x 4xy C z 4xy C 2y) z.(2x 4xy C 2yz 2xz C 4xy 2yz 2xz + - = Þ - = + Þ - = + Þ = + + Substituindo z em V, temos ... 2y 2x Cxy 2 y 2 4x V 2y 2x 2 y 2 4x Cxy V 2y 2x 4xy C xy. V xyz V + + - = Þ + - = Þ + - = Þ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ A partir desse momento, o problema limitase a encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis ... 2y 2x Cxy 2 y 2 4x V + + - = . Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos : Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas presenciais, nos fóruns, chats ou através de email. ☼☼ 75 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II . 2 2y) (2x C) 8xy 2 4x .( 2 2y 2 2y) (2x 2 2Cy 3 16xy 2 y 2 8x 2 2y) (2x 2Cxy 2 y 2 8x 2 2Cy 2Cxy 3 16xy 2 y 2 16x 2 2y) (2x Cxy).2 2 y 2 4x ( 2y) Cy).(2x 2 8xy ( 2 2y) (2x 2y)' Cxy).(2x 2 y 2 4x ( 2y) Cxy)'.(2x 2 y 2 4x ( x V + + - - = + + - - = = + - + + + - - = = + + - - + + - = = + + + - - + + - = ¶ ¶ Igualando essa derivada a zero, temos : (*) C 8xy 2 4x 0 x V para ade possibilid Única : 0 C 8xy 2 4x sala. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x 0 2 2y) (2x C) 8xy 2 4x .( 2 2y 0 x V + - - Þ Þ = ¶ ¶ = + - - =
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