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Cálculo I
Limites e Derivadas
Profª Marília do Amaral Dias
1
CALCULO I - Código200028
Ementa
Limites e continuidade de funções; derivadas; aplicações de derivadas;diferencial.
Conteúdo Programático
1. Limites e continuidade de funções
1.1. Noção intuitiva e definição do limite de uma função em um ponto
1.2. Limites laterais
1.3. Condição de existência e a unicidade de um limite
1.4. Propriedades operatórias
1.5. Limites de funções elementares e métodos para eliminação de indeterminações
1.6. Limites finitos e no infinito
1.7. Limites fundamentais
1.8. Estudo da continuidade de funções
2. Derivadas
2.1. Definição
2.2. Regra geral de derivação
2.3. Derivabilidade e continuidade
2.4. Significado geométrico da derivada
2.5. Propriedades operatórias
2.6. Derivadas de funções algébricas
2.7. Derivada da função composta - Regra da Cadeia
2.8. Derivada da função inversa
2.9. Derivadas de funções exponenciais e de funções logarítmicas
2.10. Derivadas de funções trigonométricas diretas e inversas
2.11. Derivadas de funções implícitas e de funções paramétricas
2.12. Derivação sucessiva
3. Aplicações de derivadas
3.1. Equações das retas tangente e normal à uma curva num determinado ponto.
3.2. Funções crescentes e decrescentes
3.3. Valores extremos de funções
3.4. Estudo de concavidade em gráficos de funções e pontos de inflexão
3.5. Regras de L'Hospital
4. Diferencial
4.1. Definição
4.2. Significado geométrico da diferencial
4.3. Cálculo de diferenciais de funções
4.4. Aplicações das diferenciais
2
Bibliografia Básica
ANTON, Howard; BIVENS, Iri; DAVIS, Stephen .Cálculo. V.1. São Paulo: Bookmann, 2007.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, MírianBuss. Cálculo A. São Paulo: Makron Books, 2010.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.8 . 6. ed. São Paulo: Atual, 2008.
Bibliografia Complementar
AYRES JR , Frank; MENDELSON,Elliott . Cálculo. Disponível
em:https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788565837446. 5. ed. Porto Alegre: Bookman,
2013.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.1. Disponível em:
http://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2539-1?q=curso+de+c%C3%A1lculo. 5.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
HOFFMANN, Laurence D. Et Al. Cálculo : um curso moderno e suas aplicações. Disponível
em:https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2909-2 . 11. ed. Rio De Janeiro: LTC,
2015.
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. 1. Porto: Lopes da Silva, 2002.
STEWART, James. Cálculo. São Paulo :Cengage Learning, 2008.
3
LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Vamos descrever o comportamento de uma função quando a variável independente tende para um
determinado valor.
1) Considerando a função ( )
definida para todo real.
Analisemos o comportamento da função ( ) quando está cada vez mais próximo de4, mas
diferente de 4.
1°) Atribuindo a valores próximos de 4, porém maiores que 4, ou seja, à direita de 4 , temos:
5 4,5 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001
( )
2°) Atribuindo a valores próximos de 4, porém menores que 4, ou seja, à esquerda de 4 , temos:
3 3,5 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999
( )
Fica evidente, a partir das duas tabelas e do gráfico abaixo que, à medida que tomamos valores de
cada vez mais próximos de 4 ( ), por qualquer um dos lados, os valores de ( ) tornam-se
cada vez mais próximos de _____, ou seja, ( ( ) ), independente da sucessão de valores de
usados.
Expressamos isso como “o limitede ( )
quando tende a 4 é igual a _________.”
Representamos por:
( )
( ) (limites laterais)
Então,
.
/ (Dizemos que “o limite de ( )
quando tende a 4 é igual
a _________.”
4
2) Seja a função
, definida
, vamos determinar o limite dessa função para
quando tende para o infinito:
1 2 3 4 100 500 1000 10000 100000
-1 -2 -3 -4 -100 -500 -1000 -10000 -100000
Temos:
. Portanto,
3) Seja a função
, definida vamos determinar o limite dessa função para
quando tende para 1:
Atribuindo a valoresmaiores que 1, ou seja, à direita de 1, temos:
3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001
Atribuindo a valores menores que 1, ou seja, à esquerda de 1, temos:
-1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 0,9999999
Temos os seguintes limites laterais:
_________(limite à direita)
(limite à esquerda)
Portanto,
5
4) Analisando o gráfico abaixo da função
( )
,definida podemos afirmar
que:
( )
_________(limite à direita)
( )
(limite à esquerda)
Portanto,
( )
Limites:Se os valores de ( ) puderem ser tomados tão próximos de quanto queiramos desde que
tomemos os valores de suficientemente próximos de (mas não iguais a ), então escrevemos
( ) . Dizemos: “o limitede ( )quando tende a é .
Limites Laterais: Se os valores de ( ) puderem ser tomados tão próximos de quanto queiramos
desde que tomemos os valores de suficientemente próximos de (mas maiores do que ), então
escrevemos
( ) (limite lateral à direita)
E se os valores de ( ) puderem ser tomados tão próximos de quanto queiramos desde que
tomemos os valores de suficientemente próximos de (mas menores do que ), então escrevemos
( ) (limite lateral à esquerda)
Existência do Limite: O limite de uma função existe em um ponto se, e somente se, existirem os
limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor. Então,
( )
( )
( )
Unicidade do Limite: o limite de uma função, seexiste, é único.
( )
( )
Observa-se pelo exemplo 1 que é possível tornar o valor de ( )tão próximo de 5 quanto desejamos,
desde que tornemos suficientemente próximo de 4, porém . A ideia de tornar o valor de ( )
tão próximo de 5 quanto desejarmos, é traduzida matematicamente pela desigualdade | ( ) |
sendo um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa imaginar.
A condição “desde que tornemos suficientemente próximo de 4” significa que deve existir um
intervalo aberto de raio e centro , tal que se variar nesse intervalo, ou seja, se
| | , então a desigualdade | ( ) | é válida.
6
DefiniçãoLimite (formal): Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o
número , exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de ( ) quando tende a
é e escrevemos
( ) se, para todo existe um , tal que | ( ) | sempre
que | | .7
PROPRIEDADES DOS LIMITES
1.Proposição
Se e são números reais, então
( )
Da proposição 1, decorre que:
1°) Se c é um número real qualquer, ou seja, c constante, então
( )
)
( )
2. Proposição
Se ( ) e ( ) existem, e é uma constante real, então:
Limites de Funções Polinomiais e de Funções Racionais
Se for uma função polinomial ou racional e estiver no domínio da , então:
( ) ( )
Para qualquer polinômio ( )
e qualquer constante real
( )
( )
Neste caso, o limite de uma função polinomial ( ) para tendendo para , é igual ao valor numérico
de ( ) para ( )
8
EXERCÍCIOS :LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Sejam f (x) as funções definidas pelos gráficos abaixo. Intuitivamente, determine os limites, se
existirem:
1) y a) lim f(x) d) lim f(x)
6 x → 4- x → - ∞
b) lim f(x) e) lim f(x)
1 x → 4 + x → + ∞
0 4 x
c) lim f(x) f) lim f(x)
x → 4 x → 8
2) y a) lim f(x) d) lim f(x)
5 x → -1- x → 4
b) lim f(x) e) lim f(x)
x → -1 + x → + ∞
-4 -1 0 4 x
c) lim f(x) f) lim f(x)
x → -1 x → - ∞
3) y a) lim f(x) d) lim f(x)
4 x → 0+ x → 1
b) lim f(x) e) lim f(x)
1 x → 0 - x → -3
-3 0 1 x
c) lim f(x) f) lim f(x)
x → 0 x → + ∞
9
4)
y a) lim f(x) d) lim f(x)
4 x → 2- x → - ∞
b) lim f(x) e) lim f(x)
1 x → 2+ x → + ∞
2 x
c) lim f(x) f) lim f(x)
-1 x → 2 x → 4
5)
y a) lim f(x) c) lim f(x)
x → -3+ x → -3
3 b) lim f(x) d) lim f(x)
x → -3- x → + ∞
-3 0 x
6)
y
4
a) lim f(x) d) lim f(x)
x → 0 + x → + ∞
b) lim f(x) e) lim f(x)
1 x → 0- x → - 2
-2
0 1 2 x c) lim f(x) f) lim f(x)
x → 0 x → 2
- 2
7)
y a) lim f(x) d) lim f(x)
x → 2+ x → + ∞
b) lim f(x) e) lim f(x)
1 x → 2 x → - ∞
2 x
10
8) Calcula o limite das funções:
a) lim (4 – 2x – 3x2)
x → -2
h) lim (- 3x
5
– 5x4 +4)
x → - 1 )
b) lim (3x
2
– x – 2)
x → 3
i) lim (2x + 7)
x → 1/3 )
c) lim
13
)4(
x
x
x → -1
j) lim
1
12
x
x
x → 1
)
d) lim(e
x
+ 4x)
x →0
)
r) lim
s
s
2
4
s → ½
e) lim(3x +1)
1/3
x → -3
)
s) lim
43
2
x
xx
x → 2
f) lim (3x - 2)
2/3
x → 6
m) lim
x
xx
3
2
x →
2
)
,( ) ( ) -
g) lim (2x +3)
1/2
x → 1/2
n) lim (2senx - 4cosx+3cotgx)
x → π/2
u) lim (sen2x - 5cosx+tgx)
x → π
9) Seja ƒ(x) = | x - 4|. Calcule os limites indicados, se existirem.
a) limƒ(x) = b)lim ƒ(x) = c) lim ƒ(x) =
x → 4+ x → 4- x → 4
10) Dada a função definida por
)(xf
,3
,34
ax
x
se
se
2
2
x
x
Determine , para que exista limƒ(x) =
x → - 2
11) Dada a função definida por
)(xf
,3
,
2
253
2
2
xax
x
xx
2
2
x
x
Determine , para que exista limƒ(x) =
x → 2
11
12) Dada a função f(x), calcular os limites indicados:
a)
,54
,52
)(
x
x
xf
se
se
3
3
x
x
lim ƒ(x) = lim ƒ(x) = lim ƒ(x)
x → 3+ x → 3- x → 3
b)
,1
,1
)(
2
x
x
xf
se
se
2
2
x
x
lim ƒ(x) = lim ƒ(x) = lim ƒ(x)
x → 2+ x → 2- x → 2
) ( )
| |
* +
lim ƒ(x) = lim ƒ(x) = lim ƒ(x)
x → 1+ x → 1- x → 1
) ( )
| |
* +
lim ƒ(x) = lim ƒ(x) = lim ƒ(x)
x → -1+ x → - 1- x → -1
) ( )
| |
* +
lim ƒ(x) = lim ƒ(x) = lim ƒ(x)
x → 2+ x → 2- x → 2
13) Determina os limites laterais e verifica se existe o limite de cada função, nos pontos indicados:
a)
2
2)(
x
x
xf
para
para
para
1
1
1
x
x
x
no ponto x = -1
b)
2
2
11
0
3
)(
t
t
xf
para
para
para
2
2
2
t
t
t
no ponto x = -2
c)
x
xx
xf
28
23
)(
2
se
se
3
3
x
x
no ponto x = 3
12
d)
1
3
)(
2
x
xxxf
se
se
1
1
x
x
no ponto x = 1
e)
52
52
)(
x
x
xf
se
se
3
3
x
x
no ponto x = 3
f)
22
3
3
)(
x
x
xf
se
se
2
2
x
x
no ponto x = 2
g)
1
|1|
)(
x
x
xf
no ponto x = -1
h) ( )
| |
no ponto x = 2/3
i)
|1|
45
)(
2
x
xx
xh
no ponto x = 1
) ( )
| |
no ponto x = 2
RESPOSTAS
1) a)1 b) 6 c)
d)1 e)6 f)6
2) a) 5 b) 5 c) 5 d)0 e)
f)
3) a) 4 b) 4 c) 4 d)1 e) 0 f)
4) a)-1 b) 4 c)
d) -1 e)4 f)4
5) a) 0 b) 0 d)
6) a) 0 b) 0 c) 0 d)
e) -2 f) 4
7) a)
b) 1 c)
d) 1 e)
8) a) -4 b) 22 c)-3/4 d) 1 e) -2 ) √
g) 2 h) 2 i) 23/3 j) 2 k) 0 l) 3/2
m)
3
12
n) 2
o) 10
p) 7
q) -1
r) 9/2
s)
2
2
t) 9 u) 5
9) a) 0 b) 0 c) 0 10) a = 1 11) a= - 4
12) a) 1, -11,
b)1, -3,
c) –3, 3,
d) 1, -1,
e) 7, -7,
13) a)
b) 7 c) 2 d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
13
CALCULE OS LIMITES DAS FUNÇÕES:
1)
x
x
2
4 2
= (4) 13)
12
453 2
x
xx
(-12)
2)
56
23
2
xx
x
(-8/3) 14)
38
96
3
3
xx
xx
(21/19)
3)
3
2
2
43
523
xx
xx (-1/8) 15)
1
1
x
x (1/2)
4)
√
(√
) 16)
x
x 11
(1/2)
5)
x
xx
46
232 2
(√
√
) 17)
1
23
x
x (1/4)
6)
1
12
x
x
(-2) 18)
x
xx 121 2 (-1)
7)
23
4
2
410
xx
xx
(11/2) 19)
1
12
x
xx
(√ /4)
8)
32
94 2
x
x
(6) 20)
45
432 2
x
xx
(√ /3)
9)
2
3
4
8
x
x
(3) 21)
6
34
2
2
xx
xx
(2/5)
10)
254
14
2
xx
x
(0) 22)
|2|
352 2
x
xx
(- ∞)
11)
252
352
2
2
xx
xx
(-7/3) 23)
253
14
2
xx
x
(0)
12)
1
1
2
3
x
x
(3/2) 24)
15
23
x
x
(-2/5)
14
25)
34
23
4
3
xx
xx
(1/2) 37)
1
42
x
x
(+ ∞)
26)
2653
43
23
2
xxx
xx
(0) 38)
2
4
2
3
x
x
(- ∞)
27)
3523
23 xxx
(- ∞) 39)
18
4
3
2
x
x
(0)
28)
2354
32 xxx
(- ∞) 40)
13
352
x
xx
(-3/5)
29)
47352
342 xxxx
(+ ∞) 41)
15
1152
2
23
xx
xxx
(-19/7)
30)
38 x
(+ ∞) 42)
208
187
2
2
xx
xx
(11/12)
31)
(+ ∞) 43)
- 5
1
2
2
x
x
(1)
32)
38
96
3
3
xx
xx
(21/19) 44)
6
152
x
xx (1)
33)
15
23
x
x
(3/5) 45)
3
3
23
5
18
xx
xx
(2)
34)
3
3
3
232
116
xx
x (-2) 46)
x
x
3
2sen
(2/3)
35)
x
x
55
( √ ) 47)
x
x
5
tan
(1/5)
36)
33 x
x
( √ ) 48)
x
x
2
1
1
( )
15
49)
x
x 535
( √ ) 60)
x
x
3
1
( )
50)
36
62
x
x
(12) 61)
x
x
2
4
1
( )
51)
x
x2sen
(2) 62)
x
x
3
2
1
( )
52)
x
x
2
3sen
(3/2) 63)
43
1
x
x
(
)
53)
x
x
7
5sen
(5/7) 64)
xx
2
1
( )
54)
x
x
tan
sen
(1) 65)
xx 3
1
1
(
)
55)
x
x
3tan
3sen
(1) 66)
xx
1
21
( )
56)
x
x
2sen
cos1(1/2) 67)
3
21
x
x
(- ∞)
57)
x
x
3
2tan
(2/3) 68)
100log
(2)
58)
45
23
log
2
2
3
xx
xx
(-1) 69)
xx
xxx
23
24
2
23
(1/2)
59)
xx
x
sen
cos1
(1/2) 70)
6
32 x
(1)
16
71)
14
3
x
(0) 83)
x
x
7
1
( )
72)
xxx
xxx
72
2154
23
23
(3) 84)
3
9sen 2
x
x
(6)
73)
8579
1253
23
22
xxx
xxx
(1/8) 85)
1238
257
245
35
xxx
xx
(7/8)
74)
7
125 23
x
xx
(+ ∞) 86)
x
x
4tan
5sen
(5/4)
75)
784
852
5
23
xx
xx
(0) 87)
x
x
2
5
1
(
)
76)
.
/
√ ( ) 88)
57515
54
23
2
xxx
xx
(1)
77)
x7 (0) 89)
2
262
x
xxx
( √ )
78)
127
4472
23
23
xxx
xxx
(0) 90)
9
12
2
x
x (-1/24)
79)
(
xsen
+cosx) (√ ) 91)
6010log
2 x
(2)
80)
x
x
sen3
cos5
(4/3) 92)
16
82
2
x
x
(1/32)
81)
.
/ (-5/4) 93)
xx
xx
155
364218
2
2
(22/5)
82)
6
145
2
2
xx
xx
( √ ) 94)
54
835
2
2
xx
xx
(13/9)
17
DETERMINE OS SEGUINTES LIMITES:
1)
|2|
352 2
x
xx
( -∞) 16)
( +∞)
2)
23
32
x
x
( -∞) 17)
( +∞)
3)
21
31
x
x
( -∞) 18)
(+∞)
4)
(-1/6) 19)
( )
= (+∞)
5)
1
25
x
x
( -∞) 20)
√
√
(
)
6)
(0) 21)
√
( )
7)
24 xx
(0) 22) (
- ) (5)
8)
ax
ax
sensen
(cosa) )
√
(3)
9)
x
x2sen
(2) 24)
√
(-1/3)
10)
ax
ax
coscos
(-sena) 25)
√
(
)
11)
2
cos1
x
x
(1/2) 26)
√
√
(
)
12)
= ( ) 27)
√
√
( )
13)
(+ ∞) 28)
(
)
14)
.
/
= ( ) 29)
√
( )
15)
( ) 30)
√
√
(
)
18
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Intuitivamente falando, uma função é contínua se podemos traçar seu gráfico “sem tirar o lápis
do papel”, isto é, se o gráfico não apresenta interrupções nem saltos.
Definição:
Seja f(x) uma função definida em um intervalo D e seja
Da
. Dizemos que a função f(x) é
contínua no ponto
ax
se
( ) ( )
Da definição decorre que f(x) é contínua no ponto
ax
se, e somente se forem verificadas três
condições:
1ª) existe o valor de ( )
2ª) existem e são finitos os limites laterais
3ª) ( )
( ) ( )
Exemplos:
a) Para função
2)( 2 xxf
de D = R, no ponto “x = 1” temos:
y
3
→1← x
Se f(x) não é contínua em x = a, dizemos que f(x) é descontínua nesse ponto. Note, também,
que só se pode falar que uma função f(x) é contínua ou descontínua em x = a, se
Da
, isto é,
se existe f(a).
Classificação das descontinuidades:
a) Descontinuidade removível ou evitável – quando existe
( ),mas
( ) ( )
b) Descontinuidade essencial ou de salto – quando não existe
( )
)
( )
( )
1º) f(1) = 3
“Então f(x) é contínua no ponto x = 1”
19
b) Para a função abaixo, de domínio R, no ponto x = 1, temos:
y
6
1
→1← x
c) Para a função
3
9
)(
2
x
x
xf
de domínio – {3}, 6
temos ( )
mas não existe f(3). Então, não tem 3
sentido falar em continuidade ou descontinuidade em x=3.
0 → 3 ←
EXERCÍCIOS:
CONTINUIDADEDE FUNÇÕES
1) Examine a continuidade de cada uma das funções abaixo, nos pontos indicados.
a)
x
x
xf
1
)(
para
para
1
1
x
x
no ponto x = 1
b)
22
67
)(
x
x
xg
se
se
12
2
x
x
no ponto x = 2
c)
x
x
xh
1
)(
se
se
1
1
x
x
no ponto x = 1
5
3)(
x
x
xg
para
para
para
1
1
1
x
x
x
1º) g(1) = 3
2º)
( )
( )
}
( )
“Então g(x) é descontínua no ponto x = 1”
3
20
d)
0
1
)( 2xxg
para
para
0
0
x
x no ponto x = 0
e
xx
x
xf
3
1
52
)(
2 se
se
se
3
3
3
x
x
x
no ponto x = -3
f)
x
x
xh
2
)(
se
se
1
1
x
x
no ponto x = 1
2) Verificar se a função f é contínua no ponto indicado.
a)
1
3
1
)(
3
x
x
xf
se
se
1
1
x
x
b)
x
x
xf
210
2
103
)(
se
se
se
4
4
4
x
x
x
c)
12
1
2
65
)(
2
x
x
xx
xf
se
se
se
2
2
2
x
x
x
no ponto x = -1 no ponto x = 4 no ponto x = 2
3) Verifique se as funções abaixo são contínuas, caso contrário, classifique-as:
a)
0
12cos
)( x
x
xf
se
se
0
0
x
x
b)
x
x
x
x
xf
sen
2sen
0
2cos1
)(
2
se
se
se
0
0
0
x
x
x
c)
22
67
)(
x
x
xf
se
se
2
2
x
x
d)
0
1
1
23
)(
2
x
xx
xf
se
se
se
1
1
1
x
x
x
e)
12
2
8
)(
3
x
x
xf
se
se
2
2
x
x
f)
5
3
9
)(
2
x
x
xf
se
se
3
3
x
x
21
4) Determine “a” para que a função seja contínua no ponto especificado.
a)
a
x
x
xf
31
1
)(
se
se
1
1
x
x
b) ( ) {
√
c)
a
xx
x
xf sen
cos1
)(
se
se
0
0
x
x
no ponto x=1 no ponto x = 4 no ponto x = 0
RESPOSTAS:
1) a) A função f(x) não é contínua no ponto x = 1
b) A função g(x) é contínua no ponto x = 2
c) A função h(x) não é contínua no ponto x = 1
d) A função g(x) não é contínua no ponto x = 0
e) A função f(x) não é contínua no ponto x = -3
f) A função h(x) é contínua no ponto x = 1
2) a) D b) C c) D
3) a) C b) D c) C d) D.E. e) C f) D.R.
4) a) a= -1/3 b) a = -47/4 c) a = ½
22
DERIVADAS DE FUNÇÕES
1) Calcule as derivadas das funções nos pontos dados.
a) f(x) = x
2
, x0 = 1 d) f(x) = 3 x , x0 = 0 g) f(x) = x
2
–6x, x0 = 4
b) f(x) =
x
, x0 = 1 e) f(x) = x
2
- 4, x0 = 5 h) f(x) = x
3
-1, x0 = 1
c) f(x) = x
2
–2x, x0 = 2 f) f(x) = 3x
2
, x0 = -3 i) f(x) = senx , x0 = 1
2) Determine, pela definição, a função derivada.
a) y = x
2
–6x – 9 e) y =
1x
i) y =
x
6
b) y = x
2
– 5 f) y = x3 –3x j) y =
x49
c) y = 3x + 5 g) y = senx
d) y = 2x +x
3
h) y = cosx
3) Determine as derivadas sucessivas de:
a) f(x) = x
3
+2x
2
+1
4n
b) f(x) = x
4
+ 5x + 1
5n
c) f(x) = -7x
6
+ 2x
4
+ 5x
3
+1
7n
d) f(x) =
1263
2
1 345 xxxx
6n
RESPOSTAS:
1) a) f’(1) = 2 b) f’(1) = ½ c) f’(2) = 2 d) f’(0) =
e) f’(5) = 10
f) f’(-3) = -18 g) f’(4) = 2 h) f’(1) = 3 i) f’(0) = 1
2) a) y’ = 2x – 6 b) y’ = 2x c) y’ = 3 d) y’ = 2 + 3x2 e) y’=
)1(2
1
x
x
f) y’ = 3x2-3 g) y’ = cosx h) y’ = -senx i) y’ =
2
6
x
j) y’ =
x
x
49
492
3) a) 0 b)0 c) 0 d) 0
23
Determine a derivada das funções abaixo:
Exercício Resposta
01) y = 7x
02)
03) y = 3x
42
04) y = x 3
05) y = -3x
37 25 xx
)
√
07) y =
8
7
4
2
5
3
2 23 xxx
08) y =
5713 xx
09) y = (2x+5)(3x-2)
10) y = (x
)32)(32 xx
11) y = (5x-3)(2x
)35 23 xx
12) y = (x
)183)(75 32 xx
13) y = (-3x
)3)(2 xx
14) y =
2
3
x
15) y =
4
5
x
16) y =
53
2
x
17) y =
x
1
18) y =
1
2
x
19) y =
72
53
x
x
20) y =
53
35
x
x
21) y =
18
37
x
x
22) y = (x-5) 3
23) y = (-3x+4) 6
24) y =
2
42
x
xx
25) y =
5 3
3 3 6
5
8
x
x
26) y =
33 2 xx
b
x
a
27) y =
3
6
10
x
x
01) y’= 7
02) y’= 5x
184 x
03) y’= 6x
04) y’=3x 2
05) y’=-15x
1144 x
06) y’=
5
3
4
x
07) y’=2x
452 x
08) y’=13x
612 7x
09) y’=12x+11
10) y’=6x
962 x
11) y’=
9609340 23 xxx
12) y’=15x
9366360 234 xxx
13) y’=9x2+16x - 3
14) y’=-
3
6
x
15) y’= -
5
20
x
16) y’= -
63
10
x
17) y’ = -
2
1
x
18) y’= -
2)1(
2
x
19) y’= -
2)72(
31
x
20) y’=
2)53(
34
x
21) y’=
2)18(
17
x
22) y’=3(x-5) 2
23) y’=-18(-3x+4) 5
24) y’=
2
2
)2(
64
x
xx
)
√
26)
√
√
27) y’ =
2
3 225
x
x
x
x
24
Determine a derivada das funções abaixo:
Exercício Resposta
01)
1)( xxf
02)
3)( 2 xxf
03)
xexxf 2)(
04)
xxxf cossen)(
05)
43)( xxf
06)
xxxf 53)( 2
07)
)2)(1()( 32 xxxxf
08)
xxxf cos.sen)(
09)
xxf 4sen)(
10)
7
3
5
7
)( 3 xxf
11)
235)( xxxf
12)
5)( 23 xxxxf
13)
34sen)( xxexf x
14)
52 )1()( xxxf
15) ( ) ( )( )
16)
52 )32()( xxxf
17)
51)32()( xxf
18)
xxexf x cos)(
19)
xxf 5cos)(
20)
xxxf 37 cos.sen)(
21)
2
)(
x
e
xf
x
22)
3 2 1)( xxxf
23)
1
1
)(
2
x
x
xf
24)
4
2
)(
x
xf
25)
11
)(
2
xx
xf
01) y’=1
02) y’=2x
03) y’=2x-e x
04) y’=cosx-senx
05) y’=12x 3
06) y’=6x+5
07) y’=5x
29 24 x
08) y’= cos 2x
09) y’= 4sen
xx cos.3
10) y’=
2
5
21
x
11) y’=1+ 6x
12) y’=3x
122 x
13) y’=e
212)cos(sen xxxx
14) y’= (10x+5)(x
42 )1x
15) y’=15x
1894 234 xxx
16) y’=(10x-15)(x
42 )23 x
17) y’=102(2x+3) 50
18) y’=(1+x)e
xx sen
19) y’= -5 cos
xx sen.4
20) y’=sen
)sen3cos7(cos. 2226 xxxx
21) y’=
3
)2(
x
xe x
22)
( ) √( )
( )
23) y’=
12
12
2
2
xx
xx
24) y’= -
5
8
x
25) y’=
22 )1(
12
xx
x
25
26)
1
1
)(
x
x
xf
27)
2
13
)(
2
x
xx
xf
28)
xxf 2tan)(
29)
xxxf tan)1()( 2
30)
xxf )(
31)
3)( xxf
32)
23)1()( 2 xxxf
33)
x
x
xf
cos
sen1
)(
34)
x
xf
21
1
)(
35)
1
)(
2
x
x
xf
36)
22 51)23()( xxxf
37)
xxf sen)(
38)
xxf 5sen)(
39)
)1sen()( 2 xxf
40)
25cos2)( xxf
41)
22tan)( xxf
42)
4 )2
3
1()( xxxf
43)
xxxf 1)(
44)
xexf x ln)(
45)
x
x
xf
ln
)(
46)
175 23)( xxxf
47)
5)( 713 xxxf
48)
3ln)( xxxf
49)
)253cos()( 23 xxxxf
50)
xxxf tan)ln(cos)(
26) y’=
2)1(
2
x
27) y’=
2
2
)2(
74
x
xx
28) y’= 2 tan .sec
x2
29) y’=2 tan +(
x22 sec)1
30)
x
y
2
1
'
31) y’=
3 23
1
x
32) y’=
232
3815 2
x
xx
33) y’=
x
x
2cos
sen1
34) y’=
2)21(
2
x
35) y’=
22
2
)1(
1
x
x
36) y’=
2
3
51
1645
x
xx
37) y’=
x
x
sen2
cos
38) y’=5cos5
39) y’=2 .cos(
)12
40) y’=-20 .sen5 2
41) y’=4 .sec
22 2x
42) y’=
4 214
36
xx
x
43) y’=
x
x
12
23
44) y’= (
)
45) y’=
46) y’=(10 -7)ln3.3 175 2 xx
47) y’=13
62 7x
48) y’=
23
1
x
x
49) y’= -(9
)253sen()210 232 xxxx
50) y’= -
xx 2sectan
26
51)
xxf 23)(
52)
12)( xxaxf
53)
xxexf 53
2
)(
54)
)4(log)( 23 xxf
55)
)ln()( 42 xxxxf
56)
32
32
ln)(
x
x
xf
57)
223 )543ln()( xxxxf
58)
23 )14()35ln()( xxxf
59) 3
2
2
1
1
ln)(
x
x
xf
60)
3
4
)3)(2(
ln)(
x
xx
xf
61)
xxf cosln)(
62)
x
x
xf
cos1
sen
ln)(
63)
xxf tanln)(
64)
x
x
xf
cos1
cos1
ln)(
65)
xxxf 3)( 3
66)
x
a
a
x
xf )(
67)
baxxf )(
68)
22)( xaxxf
69) ( )
) ( )
51) y’=3
9ln.2x
52) y’=
aax xx ln.).12( 1
2
53) y’=
xxex 53
2
).56(
54) y’=
3ln).4(
2
2 x
x
55) y’=
42
3 124
xxx
xx
56) y’=
94
12
2
x
57) y’=
xxx
xx
543
101618
23
2
58)
51712
3160
'
2
xx
x
y
59) y’=
1
12
4
x
60) y’=
)4)(3)(2(3
1482
xxx
xx
61) y’=
62) y’=
63) y’=
xx cos.sen
1
64) y’= -
65) y’= 3(
)12
66) y’=
2
1
x
a
a
67) y’=
bax
a
2
68) y’=
22
22 2
xa
xa
69) y’=abe bt
70) y’=e
)5sen55(cos ttt
27
Nos exercícios de 1 a 18 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
EXERCÍCIO RESPOSTA
01)
5;23)( 4 nxxxf
02)
10;423)( 52 nxxxf
03)
2;3)( 2 nxxf
04)
4;
1
1
)(
n
x
xf
05)
4;
1
)( n
e
xf
x
06)
2;2ln)( nxxf
07)
7;sen)( naxxf
08)
5;
2
cos2)( n
x
xf
09)
2;tan)( nxxf
10)
2;1)( 2 nxxf
11)
6;183)( 25 nxxxf
12)
3;)( 2 nexf
x
13)
2);1)(48()( 2 nxxxf
14)
2;
2
)( 3 nx
x
xf
15)
2;)( 53
2
nexf x
16) ( )
17)
3;12 ney x
18)
01) y
0v
02) y
010
03) y”=
22 3)3(
3
xx
04) y
5)1(
24
x
iv
05) y
x
iv
e
1
06) y”=
2
1
x
07) y
axavii cos7
08) y
2
sen
16
1 xv
09) y”=
xx tan.sec2 2
)
√
11) y
0vi
12) y”’=
2
8
1
x
e
13) y”=48x-8
14) y’=
x
x
6
4
3
15) y’=36x 53532 22 6 xx ee
16) y”’= 6ª
17) y’”=
18) y”=
22 )1(
2
x
x
28
Determina a derivada das seguintes funções:
Função Derivada
1. y =
2)32( bxa
y’ =
)32(6 bxab
2. y =
3 22 )52( x
y’ =
)52(3
)52(20
2
3 22
x
xx
3. y =
22 xa
a
b
y’ =
)( 22
22
xaa
xabx
4. y =
xaxa )(
y’ =
)(2
)3(
xa
xaxa
5. y =
xx 31)1( 3
y’ =
)31(2
31)3621( 23
x
xxx
6. y =
xa
xa
y’ =
2)( xax
xa
7. y =
xx
xx
cossen
cossen
8. y =
xxcot
y’ =
xxx 2csccot
9. y =
x
xsen
y’ =
2
sencos
x
xxx
10. y =
x3cos2
y’ =
xxsencos6 2
11. y =
x4tan5
y’ =
xx 23 sectan20
12. y =
x2sen 4
y’ =
xx 2cos2sen8 3
13. y =
x
x
2cos1
2sen
y’ =
x2sec
14. y =
21ln x
y’ =
12 x
x
15. y =
xa
xa
ln
y’ =
22
2
xa
a
16. y =
)1ln( 2xx
y’ =
2
2
1
1
x
x
17. y =
x
x
1
1
ln
y’ =
21
1
x
29
Função Derivada
18. y =
xx
xx
1
1
ln
2
2 y’ =
1
12
2
2
x
x
19. y =
x2cosln
y’ =
x2tan
20. y =
xe x ln
y’ =
x
xxe x
2
)1ln.(
21. z =
te t 2sen
z’ =
)2cos2sen( tte t
22. y =
)1ln( 2 xx
y’ =
1
1
2
2
x
x
23. y = arcsen
2
1
x
y’ =
)1(
12
4
4
xx
x
24. y =
xarccos
y’ =
)1(2
2
xx
xx
25 y = arctan 2x y’ =
241
2
x
26. y =
x
x
arc
1
1
cot
y’ =
21
1
x
27. y =
22 arccosarcsen xx
y’ = 0
28. y =
a
x
axa arcsen.22 y’ =
22
22)(
xa
xaax
29. y =
42
1
2
xx
x
y’ =
22
2
)42(
423
xx
xx
30. y =
xa
xa
y’ =
2)( xax
xa
31. y =
2
2
1
1
x
x
y’ =
42
22
1)1(
11
xx
xx
32. y =
x2cos3
y’ =
xx 2sen2cos6 2
30
Determinar y’ nas funções implícitas abaixo:
EXERCÍCIO RESPOSTA
)
16
22 yx
) 2
)
2
)
)
934 323 yxyx
)
2
1
2
1
2
1
ay
)
)
ye2
)
433 22 yxy
) ( )
)
12)
13)
14)
15)
)
)
18)
19)
20)
)
y
x
)
y21
1
)
x
y
)
1
1
x
y
)
2
2
33
338
yx
yxx
) √
)
y2
2
cos2
sec
2
)
ye
x2
)
yx
xy
63
103
)
)cos(1
)cos(
yx
yx
11)
( )
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
( )
ou
19)
20)
31
Determinar y” nas funções implícitas abaixo:
EXERCÍCIO RESPOSTA
01) x
2733 y
02)
102 xy
03) ( )
32 x
04)
1
23
22
yx
05)
333 ay
)
01) y” =
5
54
y
x
02) y”=
2
22
x
yx
03) y”=
)1(4
3
y
x
04) y”=
33
4
y
05) y”=
06) y”=
3
1
3
4
3
2
3 yx
a
32
Calcula a derivada ′ =
das seguintes funções definidas na forma paramétrica:
1)
= 2
= 3
( ′ =
3
2
)
2)
= 2
= 2
( ′ = 2 )
3)
= 3
= 4
( ′ =
4
3
)
4)
= 3
= 3
( ′ = )
5)
= 2 1
= 3 + 5
( ′ =
3
2
2)
6)
= 8 3
= 8 3
( ′ = )
7)
= 2
= 3
( ′ =
3
2
)
8)
=
= (
′ = )
9)
=
= (
′ =
)
10)
= 3
= 3
( ′ =
)
11)
= 3 1
= 9 2 6
( ′ = 6 2)
12)
=
3
1+ 2
=
3 2
1+ 2
( ′ =
2
1 2
)
33
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
1) Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de:
a) f(x) =
2092 x
no ponto (2,1) Resp.: m = -5
b) ( ) √
no ponto (8,1) Resp.: m =
3
1
c) f(x) = 2 + sen no ponto de abscissa =
6
Resp.: m =
2
3
d) f(x) =
24 x
no ponto de abscissa x = 1 Resp.: m =
3
3
e) f(x) = ln ( ) no ponto =
2
1
Resp.: m = 1
f) f(x) = e xx 52 no ponto . Resp.: m = 3e 4
2) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
562 x
no ponto de abscissa
x = 0. Resp.:
3) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
42 x
e que seja paralela à reta
(s) y = 2x-1. Resp.:
4) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = -3 cos x no ponto em que =
2
.
Resp.: y = 3( -
2
)
5) Escreva a equação da reta tangente e da reta normal à curva y =
x
no ponto de abscissa .
Resp.: –
6) Determina a equação da reta tangente e da reta normal à curva y =
342 23 xx
no ponto (-2,5).
Resp.: –
7) Determina a equação da reta tangente à curva y =
x
que seja paralela à reta
Resp.:
8) Obter a equação da reta tangente à curva y =
1x
no ponto de abscissa 3.
Resp.: y =
4
9
4
11
x
34
Calcula os seguinteslimites aplicando a Regra de L’Hospital:
)
)
0
)
8
)
4
)
)
√
)
3
)
)
2
)
)
-3
)
( )
4
)
)
x
xx 121 2
-1
)
)
0
)
2
)
( )
)
0
)
( )
35
ANÁLISE DE FUNÇÕES
Em cada uma das funções abaixo, determine:
a) intervalos de crescimento e decrescimento
b) pontos de máximo e mínimo
c) intervalos com sentido de concavidade da curva
d) pontos de inflexão
e) gráfico
1) y =
2) y =
xx 753
3) y =
1
3
2
7 2 xx
4) y =
618 24 xx
5) y =
24 2xx
RESPOSTAS
1) a) cresce ]2,+
[
decresce ]-
[2,
b) Mín (2,-11)
c) C.P.C.:
[,]
d) não tem P.I.
2) a) cresce: ]-5,5[
decresce:
[,5][5,]
b) Máx (5,250) Mín (-5,-250)
c) C.P.C.: ]-
[0,
C.P.B.: ]0,+
[
d) P.I. (0,0)
4) a) cresce: ]-3, 0[
[,3]
decresce:
[3,0][3,]
b) Mín (-3,-75) Máx (0,6) Mín (3,-75)
c) C.P.C.:
[,3]3,]
C.P.B.:
[3,3]
d) P.I. (-
)39,3
P.I. (
)39,3
3) a) cresce: ]
[
21
1
,
decresce: ]
[,
21
1
b) Máx
63
62
,
21
1
c) C.P.B.: ]
[,
d) Não tem P.I.
5) a) cresce ]
[1,0][1,
decresce: ]-1,0[
[,1]
b) Máx (-1,1) Mín (0,0) Máx (1,1)
c) C.P.C:
[
3
3
,
3
3
]
d) C.P.B. ]-
[,
3
3
][
3
3
,
36
ANÁLISE DE FUNÇÕES
1)Encontrar os pontos demáximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem:
a) f(x) =
367 2 xx
b) g(x) = 4x-x 2 c) h(x) =
973
3
2
3
xx
x
d) h(x) =
844
3
5
4
23
4
xxx
x
e) y =
1014
2
9
3
2
3
xx
x
f) y =
1272 xx
g) y =
58 24 xx
h) y =
550
2
15
3
2
3
xx
x
RESPOSTAS: a) Mín (3/7, 12/7); b) Máx (2,4) c) Máx (-7, 272/3), Mín (1,16/3)
d) Mín (1, 79/12) e) Máx (2,68/3); Mín (7,11/6)
f) Mín (7/2, -1/4) g) Máx (0,5); Mín (-2,-11) e Mín (2,-11)
h) Máx (5,655/6); Mín (10, 265/3)
2) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das
seguintes funções:
a)
52)( xxf
b)
163)( 2 xxxf
c)
23 84)( xxxf
d)
56
2
1
3
)(
23
x
xx
xh
RESPOSTAS:a) crescente
);,(
b) decrescente
];1,(
crescente
);,1[
Mín (-1,-2)
c) crescente
);,3/4[]0,(
decrescente [0, 4/3]; Máx (0, 0); Mín (4/3, -128/27)
d) crescente
);,2[]3,(
decrescente [-3, 2]; Máx (-3, 37/2); Mín (2,-7/3)
3) Em cada uma das funções abaixo, determina: pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão e
intervalos com o sentido da concavidade da curva:
a)
xxxf 75)( 3
b)
618)( 2
4 xxxf
c)
748)( 3 xxxf
d)
422)( xxxf
e)
13/27)( 2 xxxf
f)
xxxxf 96)( 23
RESPOSTAS:a) Mín (-5/12, -461/240);P.I.:
; C.P.C. (
),
b) Mín (-3, -75), Máx (0,6); Mín (3, -75); P.I.: (-
3
, -39); C.P.B (
3,3
);
C.P.C
),3()3,(
c) Máx (4, 121), Mín (-4, -135); P.I.: (0, -7); C.P.C. (
)0,
; C.P.B. (0,
)
d) Máx (-1, 1), Mín (0,0), Máx (1,1); P.I.: (-
)9/5,3/3
e (
)9/5,3/3
e (
);9/5,3/3
C.P.C. (-
);3/3,3/3
C.P.B. (-
,3/3,
5/9) e (
,3/3
5/9); C.P.C. (-
);3/3,3/3
C.P.B. (-
),3/3()3/3,
e) Máx (1/21, -62/63); P.I.:
; C.P.B. (
),(
f) Máx (1,4), Mín (3,0); P.I.: (2,2); C.P.C. (2, +
);
C.P.B. (-
)2,
37
DIFERENCIAL
Determina o diferencial das seguintes funções:
Funções
Respostas
1) ( )
2) ( )
3) ( )
⁄ ( )
⁄
4)
(
)
5) √
√
6) √
7) ( )
8)
9) ( )
10) √
√
11)
12)
( )
13) y=
14) √
15)
( )
16)
17)
18) √
( )
√
19) ( )
20) √
√
21)
22) √
23)
24)
( )
25)
( )
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