5 - Fatoração e Produtos Notáveis

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
1º Caso: Quadrado Perfeito; é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o 
primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
 
 Quadrado da Soma: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2 
 
(𝑎 + 𝑏)2 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑎 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑏
𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 2 · 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 · 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
𝑎2 + 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2
 
 
 
 Quadrado da Diferença: (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2 
 
 
(𝑎 − 𝑏)2 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑎 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = −𝑏
𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 2 · 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 · 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
 𝑎2 + 2 · 𝑎 · (−𝑏) + (−𝑏2) =
= 𝑎2 − 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2
𝑜𝑢
𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 − 2 · 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 · 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 𝑂 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
= 𝑎2 − 2 · 𝑎 · 𝑏 + 𝑏2
 
 
 
 Também pode ser usado a distributiva: 
 
 
 (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
 
 
 (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 5 - Fatoração e Produtos Notáveis Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
(𝑥 + 8)2 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 8 + 82 = 𝑥2 + 16𝑥 + 64 
(𝑥 − 8)2 = 𝑥2 − 2. 𝑥. 8 + (−8)2 = 𝑥2 − 16𝑥 + 64 
 
 (2𝑥 + 3)2 = (2𝑥)2 + 2 · 2𝑥 · 3 + 32 = 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 
(2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 + 2 · 2𝑥 · (−3) + (−3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
 
 (𝑥2 + 5𝑦)2 = (𝑥2)2 + 2 · 𝑥2 · 5𝑦 + (5𝑦)2 = 𝑥4 + 10𝑥2𝑦 + 25𝑦2 
(𝑥2 − 5𝑦)2 = (𝑥2)2 − 2 · 𝑥2 · 5𝑦 + (−5𝑦)2 = 𝑥4 − 10𝑥2𝑦 + 25𝑦2 
 
 
 
 
2º Caso: Diferença de Quadrados; é igual ao produto da soma pela diferença. 
 
𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦) · (𝑥 − 𝑦)
𝐴 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 
 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦) · (𝑥 − 𝑦)
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑦2 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑥2 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑦2
(1º + 2º) · (1º − 2º) = (1º)2 − (2º)2
(𝑥 + 𝑦) · (𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2
 
 
 
 
 Também pode ser usado a distributiva: 
 
 
(𝑥 + 𝑦) · (𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
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 𝑎2 − 9 = 𝑎2 − 32 = (𝑎 + 3) · (𝑎 − 3) 
 
 
(𝑎 + 3) · (𝑎 − 3)= 𝑎2 − 3𝑎 + 3𝑎 − 32 = 𝑎2 − 92 
 
 
 
Exemplos: 
 
(𝑥 + 8)(𝑥 − 8) = 𝑥2 − 82 = 𝑥2 − 64 
 
(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) = (2𝑥)2 − 32 = 4𝑥2 − 9 
 
(𝑥2 + 5𝑦)(𝑥2 − 5𝑦) = (𝑥2)2 − (5𝑦)2 = 𝑥4 − 25𝑦2 
 
 
3º Caso: Cubo Perfeito; é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo 
ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo 
ao quadrado, mais o cubo do segundo termo. 
 
 Cubo da Soma: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 + 𝑏3 
 
(𝑎 + 𝑏)3 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑎 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑏
(1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)3 + 3 · (1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)2 · 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 3 · 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 · (2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)2 + (2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)3
𝑎3 + 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 + 𝑏3
 
 
 
 Cubo da Diferença: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 − 𝑏3 
(𝑎 − 𝑏)3 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 𝑎 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = −𝑏
(1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)3 + 3 · (1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)2 · 2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 + 3 · 1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 · (2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)2 + (2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜)3
𝑎3 + 3 · 𝑎2 · (−𝑏) + 3 · 𝑎 · (−𝑏)2 + (−𝑏3)
 𝑎3 − 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 − 𝑏3 
 
 
 
 
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 Também pode ser usado a distributiva: 
 
 (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 · (𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) · (𝑎 + 𝑏) = 
 = 𝑎3 + 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 + 𝑏3 
 
 Exemplo: 
 (𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8 
 
 
 
FATORAÇÃO 
 
1º Caso: Fator Comum; quando todos os termos de um polinômio têm um fator 
comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator 
comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo 
fator comum (volta da distributiva entre monômio e polinômio). 
 
𝑎𝑥 + 𝑥𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑥𝑦
𝑥
= 𝑥 · (𝑎 + 𝑦) 
 
Exemplos: 
 
3𝑥 + 15 = 3(𝑥 + 5) 
 
7𝑥 − 14 = 7(𝑥 − 2) 
 
 −2𝑥 − 8 = −2(𝑥 + 4) 
 
2𝑥2 + 16𝑥 = 2𝑥(𝑥 + 8) 
 
−6𝑥2 − 21𝑥 = −3𝑥(2𝑥 + 7) 
 
−20𝑥𝑦 + 5𝑥2 = −5𝑥(4𝑦 − 𝑥) 
 
𝑎𝑏 − 𝑏2 = 𝑏(𝑎 − 𝑏) 
 
2𝑎𝑦 + 4𝑏𝑦 = 2𝑦(𝑎 + 2𝑏) 
4𝑏𝑥3 − 16𝑏𝑥2 − 8𝑏2𝑥 = 2𝑏𝑥(2𝑥2 − 8𝑥 − 4𝑏) 
 
2𝑚2𝑦2 − 𝑚3𝑦5 = 𝑚2𝑦2(2 − 𝑚𝑦3) 
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2º Caso: Agrupamento; a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração; 
agrupamos os termos aplicando o fator comum e posteriormente os fatores comuns em 
evidência. Para verificar se a fatoração está correta, basta aplicar a distributiva, tendo 
como resposta o primeiro polinômio. 
 
Exemplos: 
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 
= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = 
= (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) 
 
 𝑚𝑥 − 𝑛𝑥 + 2𝑚 − 2𝑛 = 
= 𝑥(𝑚 − 𝑛) + 2(𝑚 − 𝑛) = 
= (𝑚 − 𝑛)(𝑥 + 2) 
 
𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 + 1 = 
= 𝑎2(𝑎 + 1) + 1(𝑎 + 1) = 
= (𝑎 + 1)(𝑎2 + 1) 
 
2𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 10𝑎 − 5𝑏 = 
= 𝑥(2𝑎 + 𝑏) − 5(2𝑎 + 𝑏) = 
= (2𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 5) 
 
3𝑎𝑥 + 2𝑏2 + 𝑏2𝑥 + 6𝑎 = 
= 3𝑎𝑥 + 6𝑎 + 2𝑏2 + 𝑏2𝑥 = 
= 3𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏2(2 + 𝑥) = 
= 3𝑎(𝑥 + 2) + 𝑏2(𝑥 + 2) = 
= (𝑥 + 2)(3𝑎 + 𝑏2) 
 
 
 
 
 
 
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3º Caso: Trinômio do Quadrado Perfeito; o trinômio que se obtém quando se eleva um 
binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinômios 
(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) e (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) são quadrados perfeitos porque são obtidos 
quando se eleva (𝑎 + 𝑏) 𝑒 (𝑎 − 𝑏) ao quadrado respectivamente. 
Exemplos: 
 
1) (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 √𝑎2 √𝑏2 
 𝑎 + 𝑏 
 
 2 · 𝑎 · 𝑏 
2) (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 √𝑎2 √𝑏2 
 𝑎 − 𝑏 
 
 −2 · 𝑎 · 𝑏 
 
 
3) 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥 + 3𝑦)2 
 √4𝑥2 √9𝑦2 
 2𝑥 3𝑦 
 +2 · 2𝑥 · 3𝑦 
 
4) 4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥 − 3𝑦)2 
 √4𝑥2 √9𝑦2 
 2𝑥 3𝑦 
 −2 · 2𝑥 · 3𝑦 
 
 
5) 4𝑥2 − 48𝑥 + 144 = (2𝑥 − 12)2 
 
 
6) 𝑥2 + 18𝑥 + 81 = (𝑥 + 9)2 
 
 
7) 3𝑥2 + 12𝑥 + 3 = 3(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1)2 
 
 
3º Caso: Trinômio do Segundo Grau (Soma e Produto); são as fatorações envolvendo 
trinômios do tipo 𝑥2 + 𝑆𝑥 + 𝑃 , onde 𝑆 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 (𝑎 + 𝑏) e 𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 (𝑎· 𝑏) que 
podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (𝑥 + 𝑎) · (𝑥 + 𝑏) . 
 
Lembrando que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − 𝑥1) · (𝑥 − 𝑥2) , onde𝑥1, 𝑥2 são raízes da equação 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Exemplos: 
 
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1) 𝑥2 + 10𝑥 + 16 
Soma = 10 
Produto = 16 𝑠𝑜𝑚𝑎 = 8 + 2 = 10 
Os nº são 8 e 2, pois ∴ 𝑥2 + 10𝑥 + 16 = (𝑥 + 8)(𝑥 + 2) 
 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 = 8 · 2 = 16 
 
 
2) 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 5), pois −2 + 5 = 3 e −2 · 5 = −10 
 
3) 𝑥2 − 2𝑥 − 63 = (𝑥 − 9)(𝑥 + 7), pois −9 + 7 = −2 e −9 · 7 = −63 
 
4) 𝑥2 − 13𝑥 + 42 = (𝑥 − 6)(𝑥 − 7), pois −6 + (−7) = −13 e −6 · (−7) = −63 
 
 
 
Frações algébricas e Simplificação de frações 
 
São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. 
A simplificação de frações algébricas é um processo que facilita a resolução de equações 
algébricas, pois a redução da equação a outra equivalente simplificada torna o processo de 
resolução mais simples, evitando cálculos excessivos e diminuindo o risco de erros. Algumas 
simplificações, primeiramente, requerem o uso de técnicas, como por exemplo, fatoração e 
produtos notáveis. 
 
Exemplos: 
 
1) 
6𝑥2−3𝑥
3𝑥
=
3𝑥(2𝑥−1)
3𝑥
= 2𝑥 − 1 
CERTO! 
2) 
6𝑥2−3𝑥
3𝑥
=
6𝑥2−3𝑥
3𝑥
= 6𝑥2 − 1 
ERRADO! 
3) 
𝑥2−9
𝑥−3
=
(𝑥+3)(𝑥−3)
𝑥−3
= 𝑥 + 3 
 
4) 
𝑥2−5𝑥+𝑥𝑦+5𝑦
7𝑥+7𝑦
=
𝑥 (𝑥−5) + 𝑦 (𝑥−5)
7(𝑥+𝑦)
=
(𝑥+𝑦)(𝑥−5)
7(𝑥+𝑦)
=
𝑥−5
7
 
 
5) 
4𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦2
2𝑥+𝑦
=
(2𝑥+𝑦)2
2𝑥+𝑦
=
(2𝑥+𝑦)(2𝑥+𝑦)
2𝑥+𝑦
= 2𝑥 + 𝑦