TENSOES NO SOLO

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TENSÕES NOS SOLOS
� CONCEITO DE TENSÕES NO SOLO
Aplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos →
conceito de tensões num meio particulado ⇒ os solos são
constituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula a
partícula e suportadas pela água dos vazios.
Transmissão de esforços entre as partículas
– Partículas granulares → transmissão de forças através do
contato direto grão a grão;
– Partículas de argila → pode ocorrer através da água adsorvida
A transmissão se dá por áreas muito reduzidas. Ao longo de um
plano horizontal no solo tem-se esforços decompostos em
componentes normais e tangenciais.
Conceito de tensão total em um meio contínuo
– Conceito de tensão normal:
– Conceito de tensão tangencial:
Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa)
→ áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total)
área
N∑
=σ
área
T∑
=τ
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
� TENSÕES NA MASSA DE SOLO
– Tensões devido ao peso próprio
– Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas ao
terreno.
Tensões devido ao peso próprio do solo
Caso geral - terreno inclinado
Semi-espaço infinito, solo homogêneo
acima do NA, elemento de solo de
espessura unitária.
Por equilíbrio:
Σ FH= 0 ⇒ Ee = Ed
Σ FV= 0 ⇒ W = R
W = peso do elemento unitário
de solo
σv = tensão atuante na base
do elemento de solo
Caso particular - terreno horizontal e plano, com constância
horizontal nas camadas e ausência de cargas externas -
tensões geostáticas →→→→ tensões cisalhantes nos planos horizontal
e vertical são nulas
solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2, ...,
com pesos específicos γ1, γ2, ...
TENSÕES NOS SOLOS
γ⋅⋅⋅=γ⋅⋅⋅= zicosb1zbW o
icosz
b
R
v ⋅⋅γ==σ
zv ⋅γ=σ
nn2211v z...zz ⋅γ++⋅γ+⋅γ=σ
σv
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
TENSÕES NOS SOLOS
– Exemplo de cálculo
– Pressão neutra (ou poropressão) - u ou uw
Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a carga
piezométrica da lei de Bernoulli.
Zw = altura da coluna d’água
– Tensões efetivas - σ’
Terzaghi → estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em
um plano qualquer → soma de duas parcelas:
• Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas →
tensão efetiva (σσσσ’) - extremamente difícil mensuração !
• Pressão na água dos poros (uw)
Num caso mais genérico (solo não saturado):
• Pressão no ar dos poros (ua)
ww zu ⋅γ=
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
TENSÕES NOS SOLOS
Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio:
para solo saturado:
σ = tensão total A = área total
σ’= tensão efetiva Ac = área de contato
uw = poropressão na água Aw = área de água
 (pressão neutra)
ua = poropressão no ar Aa = área de ar
Como Ac <<<<< A impossível mensuração → σ’ definido pelo
Princípio das tensões efetivas
• Princípio das tensões efetivas:
• A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por:
• Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões
(deformações e resistência ao cisalhamento) são devido a
variações na tensão efetiva - associados ao deslocamento
relativo das partículas de solo.
• Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva
aawwc AuAuA'A ⋅+⋅+⋅σ=⋅σ
wwc AuA'A ⋅+⋅σ=⋅σ
u' −σ=σ
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
• Implicações do conceito de tensões efetivas
– Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva
como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão,
respondendo pelas características de deformabilidade e
resistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de ser
calculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continua
sendo conceitualmente considerada a tensão no esqueleto
mineral;
– Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nos
solos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solo
pode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total,
basta que haja variação da pressão neutra;
– Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso,
sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestando
deformações lentas a tensão efetiva constante;
– A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido ao
atrito entre as partículas, função das tensões de contato entre
as partículas.
• Cálculo da tensão efetiva
TENSÕES NOS SOLOS
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
• Exemplo de cálculo
No caso geostático, as tensões horizontais associadas às tensões
verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no
repouso (K0).
• Relação entre tensões efetivas horizontal (σ’h) e vertical (σ’v)
No caso geostático as tensões horizontais associadas às tensões
verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no
repouso (K0).
O valor de K0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história de
tensões, plasticidade, ...
VALORES TÍPICOS:
Tipo de solo K0
areia fofa 0,50
areia densa 0,40
argila de baixa plasticidade 0,50
argila muito plástica 0,65
argila pré-adensada > 1
solos compactados > 1
TENSÕES NOS SOLOS
v
h
0
'
'
K
σ
σ
=
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
– Efeito da capilaridade
Por efeito da tensão superficial entre a água e a superfície das
partículas → a água consegue subir acima do nível freático a uma
altura maior quanto menor forem os vazios.
• Tensão superficial da água e tensões capilares
• Distribuição das poropressões
Exemplo de cálculo
TENSÕES NOS SOLOS
w
c
r
T2
h
γ⋅
⋅
=
T (água a 20oC)= 0,073 N/m2
uw=γw z
uw= - (γw z)
u= uw(?) + ua(?)
z
z
��������	
	���
����	���	�����	
	�����	�����	������
TENSÕES NOS SOLOS
Tensões devido a cargas externas - propagação e 
distribuição
– Tensões devido a cargas externas
Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem 
ser originadas por carregamentos externos.
A determinação das tensões devido a cargas externas e sua 
distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de 
deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são 
instaladas obras de engenharia.
– Distribuição das tensões
Experiências dos primórdios da Mecânica dos Solos:
• os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área 
de projeção da área carregada;
• o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em 
profundidade;
• como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais 
diminuem com a profundidade. 
–
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– Bulbos de tensões
Bulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de 
mesmo acréscimo de tensões.
Para efeito de projetos convenciona-se ∆σ = 0,1 σ0 como o bulbo de 
tensões mais afastado → superfície mais distante sob efeito da carga 
externa.
– Método do espraiamento das tensões
Simplificadamente o método considera as tensões verticais 
uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo 
de espraiamento de 30o.
Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito:
TENSÕES NOS SOLOS
o0v 30tgz2L2
L2
⋅⋅+⋅
⋅⋅σ=σ
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TENSÕES NOS SOLOS
O método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição 
dos efeitos.
– Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação 
e distribuição das tensões
Kögler e Scheidig (1927-1929) → experimentos com o carregamento de 
placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões 
verticais no interior de substratos de areia compactada.
Soluções propostas:
• Para cargas em faixas de largura 2B
• Para cargas aplicadas em placas 
circulares de raio R
• Para cargas aplicadas em placas
quadradas de lado A
• Para cargas aplicadas emplacas retangulares de lados A e B
θ = 30o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidos
θ = 45o para solos predominantemente granulares e compactos
θ⋅+
⋅⋅σ=σ
tgzB
B2
0z
2
2
0z
)tgzR(
R
θ⋅+⋅σ=σ
2
2
0z
)tgzA(
A
θ⋅+⋅σ=σ
)tgzB()tgzA(
BA
0z θ⋅+⋅θ⋅+
⋅⋅σ=σ
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TENSÕES NOS SOLOS
– Aplicação da Teoria da Elasticidade
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de 
solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são 
muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade →
relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de 
comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
• Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidade
A aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos 
solos é questionável, pois os mesmos não satisfazem os requisitos 
das hipóteses:
– Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) e
elástico (deformações reversíveis) → para que seja válida os 
acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas 
deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante 
da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos 
Efeitos;
– Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) →
foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo 
pela sua natureza e também apresenta relações tensão-
deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo 
variável com a profundidade;
– Isotropia → O solo é em muitos casos anisotrópico pela 
natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de 
isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém 
constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas 
vezes a menor dimensão da área carregada. 
Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também 
válido o Princípio de Saint-Venant → “Desde que as resultantes de 
dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa 
região suficientemente afastada da aplicação do carregamento 
independe da forma com que o carregamento é aplicado”.
– Soluções com base na Teoria da Elasticidade
• Solução de Boussinesq para carga concentrada
Boussinesq → determinou tensões, 
deformações e deslocamentos no 
interior de uma massa elástica, 
homogênea e isotrópica, num 
semi-espaço infinito de superfície 
horizontal, devido a uma 
carga puntual aplicada na superfície 
deste semi-espaço.
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– Acréscimo de tensão vertical
ou
onde
Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0)
– Acréscimo de tensão horizontal radial
– Acréscimo de tensão transversal
TENSÕES NOS SOLOS
θ⋅⋅π⋅
⋅=σ 52z cosz2
P3
B2z Nz
P ⋅=σ
2z z
P48,0 ⋅=σ
]
cos1
cos21(sencos3[
z2
P 23
2r θ+
θ⋅)ν⋅−−θ⋅θ⋅⋅⋅π⋅=σ
]
cos1
cos[cos
z2
P21(
2
3
2t θ+
θ−θ⋅⋅π⋅⋅)ν⋅−−=σ
2
5
2
B
z
r1
1
2
3N



 

+
⋅π⋅=
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– Tensão cisalhante
O coeficiente de Poisson → se relaciona ao coeficiente 
de empuxo no repouso
• Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de 
extensão infinita
Melan (1932) → integração em linha da equação de Boussinesq
ou de outra forma
Q em kN/m
• Solução de Carothers-Terzaghi para carga uniformemente 
distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita
A partir da equação de Melan.
β = ângulo entre a vertical e a 
bissetriz de 2α
2α =ψ - θ
β = θ + α
onde ν: coeficiente de Poisson e α é
expresso em radianos
Q em kN/m2
TENSÕES NOS SOLOS
θ⋅θ⋅⋅π⋅
⋅=τ sencos
z2
P3 4
2
z
x
ε
ε−=ν ν−
ν=
1
K0
222
3
z
)xz(
zQ2
+⋅π
⋅=σ 222
2
x
)xz(
zxQ2
+
⋅⋅π
⋅=σ
θ⋅⋅π
⋅=σ 4z cos
z
Q2
)22cos2(senQz α+β⋅α⋅π=σ )22cos2sen(
Q
x α+β⋅α−⋅π=σ
α⋅ν⋅π
⋅=σ Q4y
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Solução gráfica
TENSÕES NOS SOLOS
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• Solução de Osterberg para carga distribuída na forma de 
trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita
Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento:
A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por 
sobreposição dos efeitos:
onde no caso de um aterro: 
Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a 
solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Terzaghi.
TENSÕES NOS SOLOS
)II( direito ladoesquerdo lado0z σ+σσ=σ ⋅
aterro do espessuraaterro0 ⋅γ=σ
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• Solução de Carothers para carga distribuída na forma de 
triângulo em uma faixa de extensão infinita
Solução gráfica (ν = 0,45) para acréscimos de tensão vertical (σz= ∆σ1) e 
de tensão horizontal (σx= ∆σ3):
TENSÕES NOS SOLOS
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• Solução de Love para carga uniforme sobre superfície 
circular
A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução 
de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao 
longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular 
uniformemente carregada:
Soluções gráficas (para ν = 0,45)
TENSÕES NOS SOLOS
[ ] 





+
−⋅σ=σ
2
3
2
0z
)z
R(1
11
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TENSÕES NOS SOLOS
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• Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular
– Solução de Newmark
Newmark (1933) → a partir da integração da equação de
Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no 
interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por 
carregamento uniformemente distribuído numa área retangular.
Equação:
Solução gráfica:
entrada: m e n → tem-se Iσ
Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar 
as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela. 
TENSÕES NOS SOLOS
σ⋅σ=σ I0z
z
am =
z
bn =
[ ]







⋅−++
++⋅⋅⋅+++⋅⋅+++
++⋅++⋅⋅⋅⋅π⋅
σ=σ 2222
5,022
222222
225,022
0
z
nm1nm
)1nm(nm2arctg
)1nm()nm1nm(
)2nm()1nm(nm2
4
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– Solução de Steinbrenner
Tensões no vértice do retângulo a uma profundidade z.
Equação:
onde: e a > b
Solucão gráfica: entrada z/b e a/b → saída 
TENSÕES NOS SOLOS







⋅+
+⋅⋅+
⋅+


−⋅−−⋅+
−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅π⋅
σ=σ
R)za(
)zR(a
zb
zb
)zR(z)zR()ba(
)zR(za2)ba(a
z
barctg
2 22
22
22222
22
0
z
222 zbaR ++=
0
zi σ
σ=
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• Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer -
Método dos “quadradinhos” (Ábaco circular de Newmark)
Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da 
Superposição dos Efeitos. 
Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma 
superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao 
somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais
Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo 
acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma 
profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,.... da carga total 
aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ= 0,1. Da equação de 
Love:
Como Iσ = f(R/z) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela:
O ábaco é ainda dividido em 20 setores de igual área, originando 
trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência 
Iσ=0,005
TENSÕES NOS SOLOS
( )
2
3
2
0
z
z
R1
11I








+
−=σ
σ=σ( ) 













+
−⋅σ=σ
2
3
20z
z
R1
11
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Uso do ábaco
– É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de 
construção do ábaco (AB= z), sendo este centrado no ponto 
onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões;
– Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área 
de carregamento (devem ser contabilizadas de maneira 
fracionada os “quadradinhos” ocupados parcialmente);
– O acréscimo de tensão vertical será dado por:
sendo Iσ= 0,005
– É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade 
que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do 
desenho. 
Exemplo:
TENSÕES NOS SOLOS
σ⋅⋅σ=σ In0z
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• Soluções de Mindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para 
carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido 
na massa de solo
As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através 
do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo 
homogênea, isotrópica e semi-infinita.
Mindlin (1936) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pela ponta
Pp - parcela da carga transmitida pela ponta
Kp - coeficiente de influência (ábaco - lado 
direito)
Antunes Martins (1945) → parcela de acréscimo de tensão transmitida 
pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento da
estaca.
Pa - parcela da carga transmitida pelo fuste
Ka - coeficiente de influência (ábaco - lado 
esquerdo)
TENSÕES NOS SOLOS
p2
p
z K
C
P ⋅=σ
a2
a
z K
C
P ⋅=σ
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• Outras soluções
Soluções elásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos 
elementos finitos).
Bibliografia: Poulos e Davis “Elastic solutions for soil and rock
mechanics”.
• Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio 
de Saint-Venant
– Para uma área retangular carregada, para cotas z > 3 b, a 
influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual 
aplicada no centro de gravidade da área;
– A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da 
equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da 
superfície retangular;
– Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado 
menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. 
formulação de Carothers - Terzaghi). 
– Considerações sobre o emprego da Teoria da 
Elasticidade a solos não homogêneos
As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, 
indicam acréscimos de tensões verticais que independem do 
Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as 
simplificações quanto a isotropia e principalmente 
homogeneidade. 
Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por 
solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um 
único material apresentam tendência natural a valores de 
módulos crescentes com profundidade → necessidade de 
soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas 
(métodos computacionais) ⇒ uso difundido em Mecânica dos 
Pavimentos.
Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da 
Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido 
empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa 
para tal é o fato de conduzirem a resultados com razoável 
aproximação às medições experimentais.
TENSÕES NOS SOLOS
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