1a LISTA DE EXERCICIOS ANALISE ESTATISTICA

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1ª) Lista de Exercícios 
 
 Profº Marcos Pinheiro
 
 (Espaço amostral, Eventos, Distribuições: Poisson, Exponencial e Normal)
Em uma indústria de marca-passos para coração, sabe-se que um lote de 120 tampas de baterias desses marca-passos contém certo número de tampas defeituosas por causa de um problema com o material de isolamento aplicado. Três tampas são aleatoriamente selecionadas sem reposição e cuidadosamente inspecionadas. Descreva o espaço amostral
A fábrica Ford fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é ordenado com ou sem transmissão automática; com ou sem ar-condicionado; com uma das três escolhas de um sistema estéreo; com uma das quatro cores exteriores. Descreva o espaço amostral.
Uma amostra de três disjuntores é selecionada de uma linha de fabricação para inspeção. Cada disjuntor é classificado como defeituoso ou aceitável. Expresse o espaço amostral. 
Em uma indústria, diodos de um lote são testados, um de cada vez, e marcados como defeituosos ou não defeituosos. Isso é feito até que dois itens defeituosos sejam encontrados ou cinco itens sejam testados. Descreva o espaço amostral. 
As duas questões seguintes são feitas na seleção de estagiário de Engenharia de Produção em uma empresa multinacional: “Você está disposto a ouvir e avaliar novas ideias?”, “Você censurará o trabalho de seus colaboradores?”. Cada resposta é escolhida a partir de uma escala de cinco pontos: 1 (nunca), 2, 3, 4 e 5 (sempre). Descreva o espaço amostral. 
Considere o experimento: em uma linha de produção fabricam-se fusíveis em série e conta-se o número de fusíveis defeituosos produzidos em um período de 24 horas. Descreva o espaço amostral. Formule um evento associado ao experimento.
Em uma indústria de cabos elétricos é medido a resistência à tração. Descreva o espaço amostral. Formule um evento associado ao experimento. 
Em uma fábrica formou-se uma comissão constituída de 5 engenheiros do setor de manutenção e 4 engenheiros do setor de produção para participarem de uma reunião onde será discutido assuntos técnicos. 
Considerando-se o experimento “ausência”, determine o espaço amostral.
Quantos resultados terá o evento: 4 engenheiros ausentes na comissão. 
Devido ao grande número de solicitações, uma empresa dispõe somente de dois geradores de energia. Interessa-nos saber quantos cada um dos dois vendedores venderá em uma semana. Descreva o espaço amostral. 
 Os currículos de dois alunos de Engenharia de Produção para a vaga de estagiário são colocados no mesmo arquivo dos currículos de duas alunas. Surgem duas vagas e a primeira, para estagiário assistente, é preenchida selecionando-se um dos quatro candidatos aleatoriamente. A segunda vaga, para estagiário instrutor, é então preenchida selecionando-se um dos três candidatos remanescente. Usando a notação M2F1, por exemplo, para denotar o evento no qual a primeira vaga é preenchida pelo segundo candidato do sexo masculino e a segunda vaga é preenchida pela primeira candidata do sexo feminino, liste os elementos do espaço amostral.
 Em um processo de manufatura, em que produtos de vidros são fabricados todos os dias, bolhas e defeitos ocorrem ocasionalmente, fornecendo uma peça indesejável para o mercado. Sabe-se que, em média, um de cada mil itens produzidos tem uma ou mais bolhas. Determine a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 8000, haverá menos de sete itens com bolhas.
 Em uma indústria, o estudo de um estoque mostra que, em média, as demandas por um produto em particular do depósito são feitas cinco vezes por dia. Determine a probabilidade de que, em determinado dia, esse produto não seja pedido nenhuma vez.
 Em uma fábrica de fios de cobre, sabe-se que, em média, ocorre 1,5 falha por milímetro. Assumindo que o número de falhas seja uma variável aleatória de Poisson, qual a probabilidade de que não ocorram falhas em certa porção do fio com comprimento de cinco milímetros?
 As ligações para o centro de manutenção de uma indústria ocorrem de acordo com um processo de Poisson e, em média, 2,7 chamadas são recebidas por minuto. Determine a probabilidade de que não mais do que quatro chamadas sejam recebidas em um minuto qualquer.
 A empresa Siemens fabrica interruptores eletrônicos que falham ocasionalmente. Sabe-se que o interruptor Siemens é satisfatório se compete não mais de 0,2 erro por hora, em média. Um período de cinco horas é escolhido pela empresa para teste do equipamento. Se não mais de uma falha ocorrer, o equipamento é considerado satisfatório. Determine a probabilidade de que um interruptor satisfatório seja considerado insatisfatório com base nos outros interruptores.
 O fabricante de um triciclo para crianças recebeu reclamações sobre breques com defeitos nos produtos. De acordo com o projeto do produto e testes preliminares, determinou-se que a probabilidade de esse tipo de defeito ocorrer era de 1 em 10.000. Depois de uma investigação detalhada das reclamações, determinou-se que, durante um certo período, 200 produtos fossem escolhidos aleatoriamente da produção. Determine a probabilidade de que cinco ou mais apresentem defeitos nos breques.
 O número de falhas na superfície de painéis de plástico, usados no interior do carro Uno Vivace da Fiat, tem uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,05 falha por pé quadrado de painel plástico. O interior do Uno Vivace tem 10 pés quadrados de painel plástico. Qual a probabilidade de que não haja falhas na superfície do interior do veículo?
 Em testes de qualidade, ao longo de terreno acidentado, o pneu Pirelli fura uma vez, em média, por 3000 km percorridos. Os testes são efetuados sempre com o mesmo modelo de caminhão, calçados com seis pneus submetidos à carga máxima. Num teste em que 750 km deverão ser percorridos, qual a probabilidade de nenhum pneu furar? Suponha que o desempenho do pneu segue a lei de Poisson.
 Em uma indústria Têxtil, na fabricação de peças de determinado tecido aparecem não-conformidades ao acaso, uma a cada 250 m. Considerando-se a distribuição de Poisson para não-conformidades e sabendo que num período de 80 dias de trabalho a produção diária é de 625 m, determine em quantos dias haverá uma produção sem defeitos.
 Em uma fábrica de equipamentos elétricos, o número de disjuntores defeituosos, durante um período de 24 horas na linha de produção é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não houver disjuntores defeituosos for de 1/3, determine a probabilidade de pelo menos dois disjuntores defeituosos ocorram.
 As indústrias que fabricam discos ópticos de armazenagem enfrentam o problema de contaminação. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado de superfície é 0,1. A área do disco é 100 centímetros quadrados. Determine a probabilidade de que 12 partículas de contaminação ocorram na área de um disco.
 Na Companhia Siderúrgica Paulista (COSIPA) cada rolo de lâmina de aço de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Tal imperfeição prejudica o uso, no produto final, daquele segmento da lâmina. Determine a probabilidade de que um segmento de 100 m contenha no máximo uma imperfeição.
 A vida útil de certo equipamento tem taxa de falha anunciada de 0,01 por hora. A taxa de falha é constante e a distribuição exponencial se aplica.
Qual é o tempo médio até falhar?
Qual é a probabilidade de que 200 horas passarão antes que se observe uma falha?
 O tempo t, em minutos, entre as ligações para uma fornecedora de energia elétrica tem distribuição exponencial com a seguinte função de densidade de probabilidade:
 1/10 e-t/10 ; 0 <t < ∞ 
 f(t) = 
 0; caso contrário
Qual a probabilidade de que não haja ligações em um intervalo de 20 minutos?
Qual a probabilidade de que a primeira ligação aconteça dentro de dez minutos após a abertura?
 O tempo entre panes em um equipamento essencial de uma indústria de bebidas é importante para a decisão de se usar o equipamento auxiliar. O engenheiro da indústria entende que o melhor modelo para o tempo entre as panes é uma distribuição exponencial com média de 15 dias.
Se o equipamento acabou de quebrar, qual a probabilidade de que ele quebrará novamente nos próximos 21 dias?
Qual a probabilidade de que o equipamento vai operar nos próximos 30 dias sem nenhuma falha?
 Uma fábrica de lâmpadas PL determinou que a vida média das lâmpadas de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo e que segue uma distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir uma lâmpada gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso?
 Uma fábrica produz óleo isolante para transformadores e anuncia que a distribuição do índice de impureza, x, do óleo segue uma distribuição exponencial com função de densidade de probabilidade dada por:
 
 2e-2x ; x ≥ 0
f(x) = 
 0; x < 0
É permitido o uso do produto nos transformadores se o índice de impureza for menor que 2. Determine a probabilidade de o produto ser impróprio para uso.
 A duração da vida útil de um dispositivo eletrônico é exponencialmente distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas. Determine o número de horas para se ter 90% de confiabilidade.
 Panes em equipamentos numa grande indústria Têxtil seguem uma distribuição exponencial. O engenheiro de manutenção afirma que o número de panes por hora é dado pelo parâmetro λ = 0,5. Se a indústria reinicia os trabalhos às 7 horas da manhã de segunda-feira, determine a probabilidade de não haver nenhum pane entre 7 e 11 horas.
 A Philips informa que o tempo de falha do tubo de imagem de suas TVs é uma variável aleatória T com distribuição exponencial. Determine a probabilidade de o tubo funcionar mais 1200 horas, sem falhar, supondo que já foi utilizado durante as primeiras 1200 horas e que P(T > 600) = p.
 Na Severstal, a maior fabricante de aço da Rússia, cada rolo de aço de 500 metros contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que, à medida que se desenrole um rolo, a primeira imperfeição apareça no primeiro segmento de 50 metros?
 O tempo de vida útil das lâmpadas Osram pode ser modelado por uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade exponencial dada por:
 ae-at; se t ≥ 0
 F(t) = 
 0; se t < 0
Examinando-se um grande numero de lâmpadas, observou-se que apenas 50% das lâmpadas duravam mais do que 100 horas. Determine:
O desvio padrão.
A probabilidade de uma lâmpada durar mais do que 200 horas.
 A fabricação de cabos de telecomunicação é uma variável aleatória contínua com respeito ao diâmetro do cabo. O diâmetro, x, pode ser modelado aproximadamente pela seguinte função de densidade de probabilidade exponencial
 (k + 44)
 ---------- e-2kx ; x ≥ 0 
 10 
 f(x) = 
; x < 0 
a) Qual a vida média do cabo?
Determine o desvio-padrão do processo de fabricação.
 O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos é distribuído exponencialmente com um tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. Determine:
A probabilidade de não haver chamadas dentro do intervalo de 30 minutos.
A probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos.
A probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5 a 10 minutos depois da loja aberta.
O comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual a 90% de haver no mínimo uma chamada no intervalo.
 Suponha que eletrodutos fabricados pela Pirelli têm comprimentos com distribuição normal de média igual 1,3 m e desvio padrão igual a 0,3 m. A exigência do consumidor é que pelo menos 95% dos eletrodutos tenham comprimento superior a 1,26 m. A exigência está sendo atendida?
 Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio padrão de 20 gramas. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos de 400 gramas?
 Um fabricante de materiais hidráulicos produz canos de PVC que apresentam um diâmetro médio de 1,5 polegadas e desvio padrão 0,1 polegadas. Um cliente faz um pedido de canos com diâmetro entre 1,4 e 1,6 polegadas de um lote de 400 canos. Quantos canos não poderão ser vendidos a este cliente?
 A duração das lâmpadas de vapor de sódio da Phillips é uma variável aleatória com distribuição estatística gaussiana. A duração média das lâmpadas e de 6000hs e o desvio padrão é de 1000hs. A Phillips deseja fixar uma garantia de horas de tal forma que se a duração da lâmpada for inferior à garantia, a lâmpada será trocada. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1% das lâmpadas sejam trocadas?
 A quantidade de óleo de freio em cada lata fabricada pela indústria Delco tem peso distribuído normalmente, com média e desvio padrão 990g e 10g respectivamente. Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g. Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja primeira rejeitada?
 Um processo de fabricação produz fibras óticas para telecomunicações cuja dureza varia segundo uma distribuição gaussiana com média 65hrb e desvio padrão 4,5hrb. Se a especificação para a dureza é de 55hrb a 73hrb, determine a percentagem de material fora de especificação.
 Os depósitos efetuados no Banco do Brasil durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente com média de 10.000,00 u.m e desvio padrão de 1.500,00 u.m. Um depósito é selecionado, ao acaso, dos depósitos referentes ao mês em questão. Determine a probabilidade de que o depósito seja maior que 20.000,00 u.m.
 A produção de lâmpadas fluorescentes compactas Taschibra segue uma distribuição normal. Sabe-se que 29,12% das lâmpadas são superiores a 38 e 12,71% inferiores a 23. Determine a média e o desvio padrão do processo de fabricação.
 O tempo necessário em uma concessionária Ford para o conserto da transmissão de um Eco-Sport é normalmente distribuído com média de 45 minutos e desvio padrão de 8 minutos. O mecânico da oficina planeja começar o conserto do automóvel de um cliente 10 minutos após o automóvel ter sido deixado na oficina. O cliente recebe a informação de que o seu carro estará pronto em um tempo total de 1 hora. Qual a probabilidade de que o mecânico esteja enganado?
 Calibradores são utilizados para rejeitar todos os componentes nos quais certa dimensão não está dentro da especificação 1,5 ± d. Sabe-se que essa medição é distribuída com média 1,5 e desvio padrão 0,2. Determine o valor de d tal que as especificações cubram 95% das medições.
 Em um processo industrial, o diâmetro de um rolamento é uma parte importante do processo. O comprador determina que as especificações para o diâmetro sejam 3 ± 0,01 cm. A conseqüência é que nenhuma peça fora dessas especificações será aceita. Sabe-se que, no processo, o diâmetro do rolamento tem distribuição normal com média 3 e desvio padrão 0,005. Em média, qual o percentual de rolamentos fabricados que serão inutilizados?
 Uma empresa multinacional paga a seus funcionários um salário médio de $15,90 por hora, com desvio padrão de $1,50. Se os salários são distribuídos aproximadamentede maneira normal e pagos aos centavos mais próximos,
Qual percentagem de funcionários que recebe salários entre $13,75 e $16,22 inclusive, por hora?
Os 5% mais altos salários por hora são maiores do que qual quantia?
 A experiência indica que o tempo de desenvolvimento para um papel fotográfico de impressão tem variável aleatória contínua X distribuída normalmente com desvio padrão 1,1 segundos e média de 30 segundos. Determine a probabilidade de que X seja diferente de seu valor médio por mais de 2 segundos.
 Um transistor tem distribuição exponencial para o tempo de falha, com um tempo médio de falha de 20.00 horas. O transistor já durou 20.000 horas em uma determinada aplicação. Determine a probabilidade de que o transistor falhe em torno de 30.000 horas. 
 Na fabricação de chapas de aço pela indústria Aço Cearense, cada chapa medindo 4 m de comprimento por 1,5 m de largura aparecem nódulos à razão de 0,25/m2. O número de nódulos segue o processo de Poisson. O gerente de produção informou que 10% das chapas contém uma ou mais trincas, e o número de trincas é independente do número de nódulos. Na inspeção de qualidade, uma chapa é rejeitada se tiver mais de dois nódulos e/ou alguma trinca. Determine a probabilidade de que uma chapa qualquer seja rejeitada na inspeção.
 Uma indústria fabrica peças cúbicas formadas com chapas de aço de 10x10 cm. O setor de inspeção informa que em média aparecem 50 defeitos a cada metro quadrado de aço. Adotando a distribuição de Poisson no processo de inspeção das peças cúbicas determine a probabilidade da peça apresentar no máximo 2 defeitos. 
 Um equipamento elétrico tem 80% de chance de ser reprovado em um teste. Três equipamentos são testados. Supondo que cada equipamento é independente do outro, estabeleça a distribuição de probabilidade do número de equipamentos que são reprovados.
 A vida útil dos motores que estão em operação em um setor de uma indústria é de 10 anos com desvio padrão de 2 anos e segue uma distribuição gaussiana. O fabricante dos motores substitui gratuitamente motores que falham enquanto estiverem na garantia. Se o fabricante deseja substitui somente 3% dos motores. Determine o tempo de garantia.
 Um fabricante de baterias para videogames, concluiu que a vida útil das baterias é o intervalo entre duas falhas sucessivas das baterias. Desse modo, o tempo médio entre falhas vem a ser a vida útil da bateria. No laboratório da fábrica inúmeras baterias foram usadas e anotou-se que a cada 7 dias havia necessidade de trocá-las, ou seja, a vida útil da bateria é de uma semana. As falhas das baterias são aleatórias, independentes e atendem as condições da distribuição exponencial.
Determine a probabilidade de uma bateria falhar dentro de 3 dias
Sabendo-se que uma bateria já durou 1 semana, qual a probabilidade de que dure pelo menos duas semanas.
 A contaminação é um problema na fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico segue a distribuição de Poisson. O número médio de partículas por centímetro quadrado de superfície é 0,1. A área do disco sob estudo é 100 cm2. Determine a probabilidade de que no máximo 1 partícula ocorram na área de um disco em estudo.
Suponhamos que T, o período para a quebra de um componente, seja Distribuído Exponencialmente com parâmetro λ = 1,5. Considere um sistema com dois componentes em paralelo. Determine a probabilidade de que a metade ou mais deles ainda estejam funcionando ao fim de t horas.
Um processo produtivo para fazer rolamentos de esferas resulta em uma população de rolamentos de esferas com diâmetros que têm média de 0,2497 polegada e desvio padrão de 0,0002 polegada. Suponha que o processo se comporta gaussianamente. As especificações exigem que os diâmetros fiquem dentro de 0,25 ± 0,0003 polegadas. 
Qual fração dos rolamentos fabricados sob essas condições são de defeituosos.
Se ajustes menores do processo resultam na mudança do diâmetro médio, mas não do desvio padrão, uma média deve ser alvo na situação do processo a fim de minimizar a percentagem de defeituosos. Determine a percentagem de defeituosos em tal situação.
Uma agência de digitação emprega dois digitadores. O número médio de erros por artigo é de 3 quando este é digitado pelo primeiro digitador e 4,3 quando digitado pelo segundo digitador. Se o seu artigo tem a mesma probabilidade de ser digitado por qualquer um dos digitadores e admitindo o processo de Poisson, determine a probabilidade de que ele não tenha erros.
O tempo em horas necessário para a manutenção de uma máquina é uma variável aleatória Exponencial Distribuída com parâmetro λ = 1/2. Determine a probabilidade de que o tempo de reparo dure pelo menos 10 horas, dado que a sua duração seja superior a 9 horas.
Um gerente de uma fábrica codifica os produtos de acordo com o fato deles terem ranhuras ou morsa (1 se tiverem ranhuras e 0 se tiverem morsa) e de acordo com a sua condição, que é classificada como boa, razoável ou séria. Considere que o experimento consiste em codificar um produto. 
Seja A o evento em que o produto está em condição séria, descreva os resultados de A.
Seja B o evento em que o produto não possui morsa, descreva os resultados do evento B.
Um sistema fabril é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou está quebrado. Considere um experimento que consiste em observar a condição de cada componente. Represente o resultado do experimento como o vetor (x1, x2, x3, x4, x5), onde xi é igual a 1 se o componente i estiver funcionando e igual a 0 se o componente i estiver quebrado. Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiveram funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se 1, 3 e 5 estiverem funcionando. Seja E o evento em que o sistema irá funcionar. Descreva todos os resultados de E.