EngComp e Prod 2018 2 Calculo I MCA501 P1 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 2º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P1 
 
 Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
 Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA501 – Cálculo I 
 
 É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥3𝑒3𝑥, determine a derivada segunda 𝑓′′(𝑥). 
 
a) 𝑓′′(𝑥) = 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 3𝑥 + 3𝑥2) 
b) 𝑓′′(𝑥) = 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 6𝑥 + 3𝑥2) 
c) 𝑓′′(𝑥) = 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 6𝑥 + 𝑥2) 
d) 𝑓′′(𝑥) = 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 6𝑥 + 6𝑥2) 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
Questão 2 (2 pontos) 
Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e neste processo 
está dilatando. Suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o 
raio da base r=r(t) vale 4cm, ele está aumentando a uma taxa de 3cm/s, e, neste 
instante, a altura vale 6cm e está aumentando a uma taxa de 3cm/s. Calcule a taxa 
de variação do volume do cilindro neste instante. Adote 𝜋 = 3. 
a) 288𝑐𝑚3/𝑠 
b) 432𝑐𝑚3/𝑠 
c) 576𝑐𝑚3/𝑠 
d) 144𝑐𝑚3/𝑠 
e) Nenhuma das alternativas. 
 
Questão 3 (2 pontos) 
Calcule ∫ 𝜋𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥2)𝑑𝑥
1
0
. 
 
Questão 4 (4 pontos) 
Considere a função 𝑓: ℝ\{1} → ℝ dada por 𝑓(𝑥) =
2𝑥−4
𝑥−1
. 
a) (1 ponto) Calcule os valores de lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥), lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥), lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) 
e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥). 
b) (1 ponto) Calcule 𝑓′(𝑥) e determine os intervalos de 
crescimento e decrescimento da função. 
c) (1 ponto) Calcule 𝑓′′(𝑥) e analise a concavidade do gráfico da 
função. 
d) (1 ponto) Faça um esboço do gráfico da função. 
 
 
GABARITO 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 2º bimestre P1 
 
Questão 1 
Resposta: 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 6𝑥 + 3𝑥2) 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥3𝑒3𝑥, temos 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2𝑒3𝑥 + 3𝑥3𝑒3𝑥 e 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥𝑒3𝑥 + 9𝑥2𝑒3𝑥 + 9𝑥2𝑒3𝑥 + 9𝑥3𝑒3𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥𝑒3𝑥 + 18𝑥2𝑒3𝑥 + 9𝑥3𝑒3𝑥 = 3𝑥𝑒3𝑥(2 + 6𝑥 + 3𝑥2) 
 
Questão 2 
Resposta: 576𝑐𝑚3/𝑠. 
O volume é dado por 𝑉(𝑡) = 𝜋𝑟2(𝑡)ℎ(𝑡) = 3𝑟2(𝑡)ℎ(𝑡). (usamos 𝜋 = 3) 
A taxa de variação é a derivada: 𝑉′(𝑡) = 6𝑟(𝑡)𝑟′(𝑡)ℎ(𝑡) + 3𝑟2(𝑡)ℎ′(𝑡). Usando os dados do enunciado: 
𝑉′(𝑡) = 6 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 6 + 3 ∙ 42 ∙ 3 = 432 + 144 = 576𝑐𝑚3/𝑠. 
 
Questão 3 
Fazemos a mudança de variável 𝑡 = 𝜋𝑥2. Temos 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑥𝑑𝑥, 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0, 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 𝜋 
Daí ∫ 𝜋𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥2)𝑑𝑥
1
0
= ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 =
1
2
(−𝑐𝑜𝑠𝑡)|
𝜋
0
=
1
2
(1 + 1) = 1
𝜋
0
 
 
Questão 4 
a) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 2, lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 2, lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = −∞ e 
 lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = +∞. 
b) 𝑓′(𝑥) =
2∙(𝑥−1)−(2𝑥−4)∙1
(𝑥−1)2
=
2
(𝑥−1)2
. 
 𝑓′(𝑥) > 0 em todo o domínio que é 𝐷(𝑓) = ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[ 
𝑓 é crescente em ]−∞, 1[ e em ]1, +∞[. 
Obs.: 𝑓 não é globalmente crescente em todo o domínio. 
c) 𝑓′′(𝑥) =
0−(2)∙2∙(𝑥−1)
(𝑥−1)4
=
−4(𝑥−1)
(𝑥−1)4
 
𝑓′′(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 < 1 ⇒ o gráfico de 𝑓 tem concavidade para cima em ]−∞, 1[. 
𝑓′′(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 > 1 ⇒ o gráfico de 𝑓 tem concavidade para baixo em ]1, +∞[. 
 
 
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
disciplina: MCA501 – Cálculo I