EngBas 2016 MEE001Estatistica P2 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia Ciclo Básico bimestre: 8o bimestre ano: 2018 | 1sem P2 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MEE001 - Estatística 
 
• Indique claramente as fórmulas utilizadas e os cálculos realizados 
• Utilize as tabelas “normal padronizada” e “t de Student” para obtenção dos valores necessários 
 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Uma linha de produção possui 2 máquinas. A máquina 1 produz 4% de unidades defeituosas e a máquina 2 
produz 8% de unidades defeituosas. A máquina 1 é responsável por 60% da produção e a máquina 2 por 
40%. Sabendo que um produto defeituoso foi detectado, qual a probabilidade dele ter sido produzido na 
máquina 1? 
a) 63,2% 
b) 51,4% 
c) 47,9% 
d) 42,9% 
e) 36,4% 
 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
As latas produzidas por uma indústria possuem em média 2 litros e desvio padrão de 0,5 litros. Qual a 
probabilidade de 1 lata selecionada aleatoriamente ter mais de 2,1 litros? 
a) 42,1% 
b) 51,2% 
c) 37,4% 
d) 31,6% 
e) 58,3% 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Uma pesquisa com 1500 eleitores revelou que 65% pretendem votar no candidato A. Qual o intervalo de 
confiança de 95% para a proporção de eleitores que pretendem votar nesse candidato? Considere a 
população normalmente distribuída. 
 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Uma amostra com 13 produtos resultou em tempo de médio de produção de 19 horas e desvio padrão de 1 
hora. Considerando um nível de confiança de 95%, pode-se afirmar que o tempo médio de produção nessa 
indústria é inferior a 20 horas? 
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
FORMULÁRIO 
 
 
Probabilidade 
Definição Probabilidade e Espaço Amostral 
𝑃𝑃 = 𝑀𝑀
𝑁𝑁
 
0 ≤ 𝑃𝑃(𝐸𝐸) ≤ 1 
𝑃𝑃(𝑆𝑆) = 1 
Operações com eventos 
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
Teorema do Produto 
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐴𝐴) 
Média e variância populacional 
𝜇𝜇 = 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥𝑖𝑖.𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) 
𝜎𝜎2(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)2 
Distribuição de Bernoulli Distribuição Binomial 
𝑃𝑃(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 𝑝𝑝 
𝑃𝑃(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 𝑞𝑞 = 1 − 𝑝𝑝 
𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝑘𝑘𝑞𝑞1−𝑘𝑘 𝐾𝐾 ∈ {0,1} 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = �
𝑛𝑛
𝑘𝑘� . 𝑝𝑝𝑘𝑘 .𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑘𝑘 
�
𝑛𝑛
𝑘𝑘� = 𝑛𝑛!𝑘𝑘! (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! 
Distribuição de Poisson Distribuição Normal 
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = 𝑠𝑠−𝜆𝜆𝜆𝜆. (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘
𝑘𝑘! 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇𝜎𝜎 
Média Amostral 
�̅�𝑥 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
 �̅�𝑥 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
 
Variância 
População 𝑠𝑠2 = � (𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)2
𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
 
Amostra 𝑠𝑠2 = � (𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)2
𝑛𝑛 − 1𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Intervalo de confiança para média com variância populacional conhecida 
𝑠𝑠0 = 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎
√𝑛𝑛
 𝑃𝑃(�̅�𝑥 − 𝑠𝑠0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ �̅�𝑥 + 𝑠𝑠0) = 1 − 𝛼𝛼 
Intervalo de confiança para proporção 
𝑠𝑠0 = 𝑧𝑧 ∝/2 �(1 − 𝑝𝑝)𝑛𝑛 𝑝𝑝(𝑝𝑝�−𝑒𝑒0≤𝜋𝜋≤𝑝𝑝�+𝑒𝑒0) = 1 − 𝛼𝛼 
Intervalo de confiança para média - variância populacional desconhecida 
𝑠𝑠0 = 𝜆𝜆𝛼𝛼/2 𝑆𝑆
√𝑛𝑛
 𝑃𝑃(�̅�𝑥 − 𝑠𝑠0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ �̅�𝑥 + 𝑠𝑠0) = 1 − 𝛼𝛼 
 
3 
 
Teste de Hipóteses 
1. Determinar o parâmetro de interesse (média, proporção ou variância). 
2. Definir a hipótese a ser testada H0. 
3. Definir a hipótese alternativa H1. 
4. Calcular o valor a ser comparado utilizando a estatística de teste apropriada. 
5. Delimitar a região de rejeição, valor crítico para comparar o valor anterior. 
6. Comparar os valores obtidos. 
7. Decidir pela rejeição ou aceitação da hipótese H0. 
8. Concluir, baseando-se na aceitação ou rejeição da hipótese H0. 
 
 
Teste de Hipóteses para a Média – Variância Populacional Conhecida 
Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 
𝐻𝐻0:𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 
 
𝜎𝜎2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �̅�𝑥 − 𝜇𝜇0𝜎𝜎/√𝑛𝑛 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 
|𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 
𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝑧𝑧𝛼𝛼 
𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 
 
 
Teste de Hipóteses para a Proporção 
Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 
𝐻𝐻0:𝜋𝜋 = 𝜋𝜋0 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑝𝑝 − 𝜋𝜋0�𝜋𝜋0(1 − 𝜋𝜋0)
𝑛𝑛
 𝐻𝐻1:𝜋𝜋 ≠ 𝜋𝜋0 
𝐻𝐻1:𝜋𝜋 < 𝜋𝜋0 
𝐻𝐻1:𝜋𝜋 > 𝜋𝜋0 
|𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 
𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝑧𝑧𝛼𝛼 
𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 
 
 
Teste de Hipóteses para a Média – Variância Populacional Desconhecida 
Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 
𝐻𝐻0:𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 
 
𝜎𝜎2 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓 𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �̅�𝑥 − 𝜇𝜇0𝑆𝑆/√𝑛𝑛 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 
|𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝜆𝜆𝛼𝛼/2,𝑛𝑛−1 
𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝜆𝜆𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 
𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝜆𝜆𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
6 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia Ciclo Básico bimestre: 8o bimestre P2 
 
Disciplina: MEE001 - Estatística 
 
Questão 1 
Resposta: d) 
 
Elaboração do Espaço Amostral – 1 ponto 
Espaço Amostral 
Máquinas Qualidade Resultado 
Máquina 1 0,60 
Bom 0,96 Máquina1 ∩ Bom 0,576 
Defeito 0,04 Máquina1 ∩ Defeito 0,024 
Máquina 2 0,40 
Bom 0,92 Máquina2 ∩ Bom 0,368 
Defeito 0,08 Máquina2 ∩ Defeito 0,032 
 
 
Identificação dos casos em que ocorreram defeitos – 1 ponto 
Detecção de Defeito 
Máquinas Qualidade Resultado 
Máquina 1 0,60 
Bom 0,96 Máquina1 ∩ Bom 0,576 
Defeito 0,04 Máquina1 ∩ Defeito 0,024 
Máquina 2 0,40 
Bom 0,92 Máquina2 ∩ Bom 0,368 
Defeito 0,08 Máquina2 ∩ Defeito 0,032 
 
 
Cálculo da probabilidade – 0,5 pontos 
 
 
 
 
 
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Questão 2 
Resposta: a) 
 
Cálculo de Z 
 
 
Busca de Z na tabela 
 
 
Cálculo da probabilidade 
 
 
 
8 
 
Questão 3 
Cálculo de Z – 1 ponto 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de e0 – 1 ponto 
 
 
 
 
Calculo do Intervalo 
 
Limite Inferior: 0,650 – 0,024 = 0,626 = 62,6% 
 
Limite Superior: 0,650 + 0,024 = 0,674 = 67,4% 
 
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Questão 4 
 
 
Busca de tα;n-1 = t0,05;12 = -1,782 – 1 ponto 
 
 
 
Cálculo de tcalc – 1 ponto 
 
 
Conclusão – 0,5 pontos 
t calculado = -3,61 < t crítico = -1,782 <– rejeito H0, existem evidências de que o tempo médio de 
produção nessa indústria é inferior a 20 horas