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UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia Ajuste de Curvas Parte I: Introdução e Método dos Mínimos Quadrados ECT1303 – Computação Numérica • Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula; • Nunca atender o celular na sala de aula. Motivação Ceres é o menor planeta anão identificado no sistema solar. Foi descoberto por Giuseppe Piazzi, em 1801. Piazzi seguiu sua órbita por 40 dias, até perdê-la, devido ao brilho do sol. Ceres visto por um telescópio espacial da NASA em 2004 Motivação Piazzi observou um total de 24 vezes até 11 de fevereiro de 1801. Por volta do final daquele ano, Ceres teria se tornado visível novamente. Mas como reencontrá-lo? Como predizer a sua posição exata? O planeta só foi reencontrado devido às predições de Gauss, então com 24 anos! O método de Gauss Havia uma série de pontos dados pelas observações temporais de Piazzi. Gauss estimou uma função: posição = f(t) a partir destes dados, de modo que, para os pontos conhecidos, o erro fosse “o menor possível”. O método de Gauss Ajuste de Curvas ou Aproximação de Funções Dados discretos são obtidos por experimentos dentro de um intervalo contínuo. Pode ser necessário: Fazer estimativas em pontos que estão entre os valores discretos; Obter uma versão simplificada de uma função complicada. Existem duas abordagens: 1. Regressão pelo método dos mínimos quadrados 2. Interpolação Ajuste de Curvas ou Aproximação de Funções Aproximação pelo método dos mínimos quadrados Dados com alto grau de erro ou “ruído” Encontra-se uma única curva que represente a tendência geral dos dados e que pode não passar exatamente pelos pontos Aproximação por interpolação Dados são precisos Ajusta uma curva ou uma série de curvas que passam exatamente pelos pontos dados respectivamente Regressão pelo Método dos Mínimos Quadrados Regressão Aproximar uma função y= f(x) por uma combinação linear de funções conhecidas: de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a menor possível. f (x) a0g0(x) a1g1(x) ... amgm(x) F(x) Precisamos definir uma noção de distância entre duas funções. Caso discreto Inicialmente, vamos considerar o caso em que sabemos a função a aproximar em apenas alguns pontos: Por exemplo: Vemos que os pontos parecem uma reta. A pergunta é: qual a melhor reta? )(...)()()()( ... 321 321 n n xfxfxfxfxf xxxxx respectivamente Regressão Linear O ajuste de curvas usando uma equação linear é o processo pelo qual uma equação na forma: onde é usada para fornecer o melhor ajuste de um conjunto de pontos. Tarefa: escolher a1 e a0 de modo que o erro seja mínimo. a1 representa a inclinação da reta a0 representa a interseção com o eixo y Regressão Linear F(x) a0g0(x) a1g1(x) a1x a0 g0(x) 1 e g1(x) x Regressão Linear Qual a melhor reta se os dados compreenderem apenas dois pontos? y x Os coeficientes a1 e a0 podem ser obtidos de forma que a equação forneça os valores exatos nos pontos. Isto corresponde à linha reta que passa pelos dois pontos. Regressão Linear E quando temos mais de dois pontos? Pode não haver uma linha reta que passe por todos os pontos. Neste caso, os coeficientes a1 e a0 são determinados de forma a obter o melhor ajuste como um todo. É preciso definir “melhor ajuste”! y x Qualidade de um ajuste É importante para: Comparar duas funções usadas no ajuste de um mesmo conjunto de dados Determinar os coeficientes da função que levam ao melhor ajuste. Para isso, usamos o cálculo do erro (resíduo) entre cada ponto do conjunto de dados e o valor da função aproximada. Em seguida, os resíduos são usados para calcular o erro total. Qualidade de um ajuste Resíduo em um ponto (xi,yi): y x r1 r2 r3 r4 (x1,y1) (x2,y2) (x4,y4) (x3,y3) F(x) = a1x+a0 ei yi F(xi) ei yi a1xi a0 Como calculamos o erro total de F(x)? Qualidade de um ajuste Critério 1: minimizar a soma dos resíduos individuais Este critério é ruim. Por quê? E ei i1 n (yi a1xi a0) i1 n y x Ponto médio Qualquer reta passando pelo ponto médio resulta em erro mínimo igual a zero. Qualidade de um ajuste Critério 2: minimizar a soma do valor absoluto dos resíduos individuais Este critério também não é bom. Por quê? E ei i1 n yi a1xi a0 i1 n Qualquer reta dentro das retas tracejadas minimiza a soma dos valores absolutos dos resíduos. Portanto, o critério não fornece um melhor ajuste único! y x Qualidade de um ajuste Melhor Critério: minimizar a soma do quadrado dos resíduos O erro global é sempre positivo. Maiores resíduos têm um efeito relativamente maior. Pode ser usado para encontrar os coeficientes da única reta que leva ao menor erro total. Este procedimento é chamado de regressão linear por mínimos quadrados. E ei 2 i1 n yi a1xi a0 2 i1 n Método dos mínimos quadrados Para um dado conjunto de n pontos, o erro total é dado por: Como os valores xi e yi são conhecidos, E é uma função não-linear de duas variáveis, a1 e a0. Do cálculo diferencial, se a função E tem mínimo, então as derivadas parciais em relação a a1 e a0 são iguais a zero: E ei 2 i1 n yi a1xi a0 2 i1 n E a0 2 y i a1x i a0 i1 n 0 E a1 2 y i a1x i a0 i1 n x i 0 Método dos mínimos quadrados Como , tem-se o seguinte sistema de equações lineares com incógnitas a1 e a0: cuja solução dá os valores procurados de a1 e a0. a0 i1 n na0 na0 x i i1 n a1 y i i1 n x i i1 n a0 x i 2 i1 n a1 x iy i i1 n Exemplo Obter a reta que melhos ajusta os dados: Solução: Como vimos, a reta F(x) = a1x + a0 que melhor se ajusta é aquela cujos coeficientes resolvem o sistema: x 0 1 2 3 4 f (x) 0.98 3.01 6.99 11.01 15 x i y i x i 2 x iy i 0.00 0.98 0.00 0.00 1.00 3.01 1.0 3.01 2.00 6.99 4.00 13.98 3.00 11.01 9.00 33.03 4.00 15.00 16.00 60.00 soma 10.00 35.03 30.00 110.02 02.110 03.35 3010 105 1 0 a a 9960.31 a 9860.00 a Exemplo - solução Logo: f(x) ≈ F(x) = -3.9960 x + 0.9860 Erro: e1 2= (f(0)-F(0))2 = 0.0000 e2 2= (f(1)-F(1))2 = 0.0000 e3 2= (f(2)-F(2))2 = 0.0003 e4 2= (f(3)-F(3))2 = 0.0001 e5 2= (f(4)-F(4))2 = 0.0000 ei 2 i1 5 0.0004 Exemplo • Resolvendo o sistema de antemão iremos obter: 𝑎1 = 𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 𝑥𝑖 2 − ( 𝑥𝑖) 2 𝑎0 = 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑎1 𝑛 onde 𝑛 representa o número de pontos utilizados. • Ex: Calcule a reta que melhor se ajsuta ao seguinte conjunto de pontos 𝑥 1,3 3,4 5,1 6,8 8 𝑦 2 5,2 3,8 6,1 5,8 Solução 𝑛 = 5 𝑥𝑖= 1,3 + 3,4 + 5,1 + 6,8 + 8 = 24,6 𝑥𝑖 2 = 1,32 + 3,42 + 5,12 + 6,82 + 82 = 149,5 𝑦𝑖 = 2 + 5,2 + 3,8 + 6,1 + 5,8 = 22,9 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 1,3 ∙ 2 + 3,4 ∙ 5,2 + 5,1 ∙ 3,8 + 6,8 ∙ 6,1 + 8 ∙ 5,8 = 127,54 𝑎1 = 5∙127,54−24,6∙22,9 5∙149,5−24,62 = 0,522 𝑎0 = 22,9−24,6∙0,522 5 = 2,01 𝑦 = 0,522𝑥 + 2,01 Qualidade do Ajuste • A qualidade da aproximação poderia ser dada pelo somatório do quadrado cada erro: 𝑒𝑖 2, contudo este não é um valor normalizado – dependendo do problema pode apresentar valores muito pequenos ou muito grandes • Por isso utilizamos o coeficiente de determinação 𝒓𝟐: 𝑟2 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑚 2 − 𝑒𝑖 2 𝑦𝑖 − 𝑦𝑚 2 Onde 𝑦𝑚 = 𝑦𝑖 𝑛 , ou seja, a média dos 𝑦’s • 0 ≤ 𝑅2 ≤ 1, e quanto mais próximo da unidade, melhor sera o ajuste Qualidade do Ajuste • Calcule a qualidade do ajuste do exemplo anterior Método dos Mínimos Quadrados Aproximação Genérico (Caso Discreto) Ajuste Linear Genérico • Se a curva que desejamos ajustar for uma combinação linear de várias funções 𝒈𝒊(𝒙) na forma 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑔0 𝑥 + 𝑎1𝑔1 𝑥 +⋯+𝑎𝑘 𝑔𝑘 𝑥 onde as constantes 𝑎𝑖 são desconhecidas, podemos utilizar o mesmo princípio dos mínimos quadrados • As funções 𝒈𝒊(𝒙) não precisam ser funções lineares, – Ex: 𝑔0 = 𝑒 𝑥, g1 x = 𝑥 2 • É necessário que o usuário informe quais os tipos de funções 𝑔𝑖(𝑥) – Isto pode ser feito se observando o diagrama de dispersão ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento Ajuste Linear Genérico • Aplicando a teoria dos mínimos quadrados, podemos concluir que a solução do problema se resume a solução do seguinte sistema de equações 𝑔0 𝑥𝑖 2 𝑔0(𝑥𝑖)𝑔1(𝑥𝑖) ⋯ 𝑔0(𝑥𝑖)𝑔𝑘(𝑥𝑖) 𝑔1(𝑥𝑖)𝑔0(𝑥𝑖) 𝑔1 𝑥𝑖 2 ⋯ 𝑔1(𝑥𝑖)𝑔𝑘(𝑥𝑖) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑔𝑘(𝑥𝑖)𝑔0(𝑥𝑖) 𝑔𝑘(𝑥𝑖)𝑔1(𝑥𝑖) ⋯ 𝑔𝑘 𝑥𝑖 2 𝑎0 𝑎1 ⋮ 𝑎𝑘 = 𝑦𝑖𝑔0(𝑥𝑖) 𝑦𝑖𝑔1(𝑥𝑖) ⋮ 𝑦𝑖𝑔𝑘(𝑥𝑖) Exemplo • Ache a função na forma 𝑎1𝑒 𝑥 + 𝑎0cos (𝑥) que melhor se ajusta ao conjunto de pontos: 𝒙𝒊 𝒚𝒊 0 3,18 1 3,9 2 6,5 3 17.82 Solução 𝑔0 𝑥𝑖 2 𝑔0 𝑥𝑖 𝑔1 𝑥𝑖 𝑔1 𝑥𝑖 𝑔0 𝑥𝑖 𝑔1 𝑥𝑖 2 𝑎0 𝑎1 = 𝑦𝑖𝑔0 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑔1 𝑥𝑖 (𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 ) 2 𝑒 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑒 𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑖 2 𝑎0 𝑎1 = 𝑦𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑒 𝑥𝑖 (𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 ) 2 = 2,445 𝑒𝑥𝑖 2 = 466,416 𝑒 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 = -20,491 𝑦𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑖 = -15,600 𝑦𝑖𝑒 𝑥𝑖 = 425,434 Resolvendo o sistema resultante, obtemos: 𝑎0 = 2 𝑎1 = 1 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 2cos (𝑥) Ajuste de curvas com polinômios de ordem superior Um determinado conjunto de dados contendo n pontos pode ser ajustado com polinômios de ordens diferentes até uma ordem n-1. No entanto, não se recomenda o uso de polinômios de ordem elevada no ajuste de curvas. Por quê? Ajuste de curvas com polinômios de ordem superior Quando muitos pontos estão envolvidos, o polinômio de ordem n-1 possui um grau elevado. Embora, este polinômio forneça os valores exatos nos pontos dados, geralmente ele apresenta um desvio significativo entre alguns pontos. Regressão Polinomial O método dos mínimos quadrados pode ser estendido para ajustar dados por um polinômio de grau mais alto. É um procedimento usado para determinar os coeficientes de um polinômio de segundo grau, ou de ordem maior, de forma que esse polinômio produza o melhor ajuste de um determinado conjunto de dados Regressão Polinomial Suponha que queremos ajustar por um polinômio de segundo grau: Neste caso, o método dos mínimos quadrados dá o erro total: F(x) a0g0(x) a1g1(x) a2g2(x) a2x 2 a1x a0 com g0(x) 1, g1(x) x e g2(x) x 2 E ei 2 i1 n yi a2xi2 a1xi a0 2 i1 n Regressão Polinomial Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, obtemos: 02 02 02 2 1 01 2 2 2 1 01 2 2 1 1 01 2 2 0 i n i iii i n i iii n i iii xaxaxay a E xaxaxay a E axaxay a E Regressão Polinomial Temos então o sistema de três equações lineares em função das incógnitas a2, a1 e a0: A solução deste sistema fornece os valores dos coeficientes do polinômio de segundo grau que melhor se ajusta aos n pontos. n i ii n i ii n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i yx yx y a a a xxx xxx xxn 1 2 1 1 2 1 0 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 Regressão Polinomial Caso geral: os coeficientes de polinômios de ordem superior são deduzidos da mesma forma. Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, obtemos um sistema de m+1 equações lineares: n x i i1 n ... x im i1 n x i i1 n x i2 i1 n ... x im1 i1 n ... ... ... ... x i m i1 n x im1 i1 n ... x i2m i1 n a0 a1 ... am y i i1 n x iy i i1 n ... x i my i i1 n F(x) amx m am1x m1 ... a1x a0 Exemplo Considere a função f(x) definida conforme a tabela: Ao traçarmos o gráfico, vemos que os pontos se assemelham a uma parábola. Portanto, encontre o polinômio de segundo grau que melhor se ajusta aos pontos. x 2 1 0 1 2 3 f (x) 19.01 3.99 1.00 4.01 18.99 45.00 F(x) a0g0(x) a1g1(x) a2g2(x) a2x 2 a1x a0 com g0(x) 1, g1(x) x e g2(x) x 2 Exemplo - solução Temos o seguinte sistema de equações lineares: 6 x i i1 6 x i2 i1 6 x i i1 6 x i2 i1 6 x i3 i1 6 x i 2 i1 6 x i3 i1 6 x i4 i1 6 a0 a1 a2 y i i1 6 x iy i i1 6 x i 2y i i1 6 g2(xi)g2(xi) i=1 6 g0(xi)g1(x i) i=1 6 Exemplo - solução x i x i 2 x i 3 x i 4 y i x iy i x i 2y i 2.00 4.00 8.00 16.00 19.01 38.02 76.04 1.00 1.00 1.00 1.00 3.99 3.99 3.99 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 4.01 4.01 4.01 2.00 4.00 8.00 16.00 18.99 37.98 75.96 3.00 9.00 27.00 81.00 45.00 135.00 405.00 soma 3.00 19.00 27.00 115.00 90.00 134.98 565.00 565 98.134 90 1152719 27193 1936 2 1 0 a a a a2 5.0893 a1 0.0515 a0 1.1403Exemplo - solução Obtemos então: F(x) = 5.0893 x2 + 0.0515 x - 1.1403 Nenhuma outra função quadrática apresentará um menor erro quadrático para aqueles pontos segundo o método dos mínimos quadrados. Ajuste Linear Genérico • A solução do problema tambem pode ser calculada da seguinte foma: suponha o sistema dado por 𝑋𝑎 = 𝑦 𝑔0 𝑥0 𝑔1 𝑥0 ⋯ 𝑔𝑘(𝑥0) 𝑔0 𝑥1 𝑔1(𝑥1) ⋯ 𝑔𝑘(𝑥1) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑔0 𝑥𝑛 𝑔1(𝑥𝑛) ⋯ 𝑔𝑘(𝑥𝑛) 𝑎0 𝑎1 𝑎2 ⋮ 𝑎𝑘 = 𝑦0 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛 • Assim, resolver o sistema 𝑋𝑇𝑋𝑎 = 𝑋𝑇𝑦 é equivalente a resolver o sistema dos mínimos quadrados apresentado na transparência anterior • Este método é mais facil de implementar em linguagens que operam com matrizes (scilab, matlab…) • Se as funções 𝑔𝑖 = 𝑥 𝑖, a matriz 𝑋 será a matriz de Vandermonde Ajuste Linear Genérico • Ex: Ajuste a seguinte tabela a um polinômio do segundo grau, ou seja 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2, utilizando a matriz de Vandermonde 𝑋 e o formato 𝑋𝑇𝑋𝑎 = 𝑋𝑇𝑦 com o auxilio do scilab 𝒙𝒊 𝒚𝒊 −2 −30,5 −1,5 −20,2 0 −3,3 1 8,9 2,2 16,8 3,1 21,4 Solução Temos que 𝑔0 = 1, 𝑔1 = 𝑥 e 𝑔2 = 𝑥 2. Então a matrix 𝑋 será dada por 𝑋 = 1 𝑥1 𝑥1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2 Utilizando o scilab podemos construir tal tabela e em seguida construir 𝑋𝑇𝑋 e 𝑋𝑇𝑦 Solução O sistema final então será 6 2,8 21,7 2,8 21,7 30,06 21,7 30,06 137,84 𝑎0 𝑎1 𝑎2 = −6,9 203,5 128,42 Resolvendo o sistema 𝑎0 = −2,02, 𝑎1 = 11,33 e 𝑎2 = −1,22 Portanto a função de segundo grau que melhor se ajusta ao conjunto de pontos dados será 𝑓 𝑥 = −2,02 + 11,33𝑥 − 1,22𝑥2 Método dos Mínimos Quadrados Aproximação Não-Linear (Caso Discreto) Linearização de equações não-lineares Diversas situações na engenharia, mostram que a relação entre as grandezas envolvidas não é linear nem polinomial. Linearização de equações não-lineares Um experimento no laboratório de física gerou os seguintes pontos de y = f(x) (-2; 0,05), (-1; 0,15) (0; 0,4) (1; 1,1) (2; 2,3) (3; 7,1) Um polinômio talvez não seja a melhor opção de aproximação para f (x)! Linearização de equações não-lineares Polinômios de graus 1 e 2 Linearização de equações não-lineares Polinômio de grau 3 Linearização de equações não-lineares Polinômio de grau 4 Linearização de equações não-lineares Uma função do tipo h(x) = abx parece ser uma opção mais adequada! Como encontrar a e b tais que h(x) “melhor” aproxime f (x) ? Linearização de equações não-lineares Há muitos tipo de funções não lineares. Por exemplo: Podemos ‘linearizar’ estas funções de forma a usar a regressão linear por mínimos quadrados. h(x) ax b (função de potência) h(x) abx (função exponencial) h(x) 1 a bx (função inversa) Ajuste Exponencial A função exponencial pode ser linearizada calculando-se o logaritmo natural de ambos os lados: xaaxF bxaxh abxh aa xF x 10 )( )( lnln)(ln )( 10 Aproximação Exponencial Dados n pontos de y = f(x), encontrar F(x) = a0 + a1x tal que h(x) = abx “melhor” aproxime f(x) e que F(x) = ln h(x), a0 = ln a e a1 = ln b. Ajuste Exponencial Se h(x) aproxima f(x), então F(x) aproxima ln(f(x)). Isto significa que uma regressão linear pode ser usada para fazer com que a equação h(x) = abx se ajuste a um conjunto de pontos (xi,yi). Para tanto, calcula-se a1 e a0 resolvendo o sistema linear: com a substituição de yi por ln(yi). Uma vez conhecidos a1 e a0, os coeficientes a e b na equação exponencial h(x) = abx são calculados com: b ea1 a ea0 n x i i1 n x i i1 n x i2 i1 n a0 a1 y i i1 n x iy i i1 n Ajuste Exponencial Um experimento no laboratório de física gerou os seguintes pontos de y = f(x) (-2; 0,05), (-1; 0,15), (0; 0,4), (1; 1,1) (2; 2,3) e (3; 7,1) y1 ln(0.05) 2.996 y2 ln(0.15) 1.897 y3 ln(0.4) 0.916 y4 ln(1.1) 0.0953 y5 ln(2.3) 0.833 y6 ln(7.1) 1.960 Ajuste Exponencial y1 ln(0.05) 2.996 y2 ln(0.15) 1.897 y3 ln(0.4) 0.916 y4 ln(1.1) 0.0953 y5 ln(2.3) 0.833 y6 ln(7.1) 1.960 x i ln y i x i 2 x i ln y i 2 2.996 4 5.992 1 1.897 1 1.897 0 0.916 0 0.000 1 0.095 1 0.095 2 0.833 4 1.666 3 1.960 9 5.880 soma 3 2.921 19 15.530 6 3 3 19 a0 a1 2.921 15.530 a0 0.972 a1 0.971 a ea0 0.38 b ea1 2.64 h(x) abx 0.38(2.64x) Ajuste Exponencial A função procurada é: Importante: Neste caso, o MMQ minimiza o erro total com relação à função linearizada! Um experimento no laboratório de física gerou os seguintes pontos de y = f(x) (-2; 0,05), (-1; 0,15) (0; 0,4) (1; 1,1) (2; 2,3) (3; 7,1) Ajuste Hiperbólico xba xh xF bxa xh aa 10 )( 1 )( 1 )( Aproximação Hiperbólica Dados n pontos de y = f(x), encontrar F(x) = a0 + a1x tal que h(x) = 1/(a0 + a1x) “melhor” aproxime f(x) e que F(x) = 1/h(x), a0 = a e a1 = b. Ajuste Hiperbólico Considere a função f(x) tabelada nos pontos como segue: Determine uma função inversa h(x) que melhor se ajusta aos dados da tabela e calcule ei 2 i1 5 x 3 2 1 0.5 0.4 f (x) 0.13 0.20 0.49 2.01 4.99 Ajuste Hiperbólico Graficamente, temos: que tem o formato: h(x) 1 a bx Ajuste Hiperbólico Consideramos a função 1/f(x): E fazemos o ajuste linear para F(x) = a0 + a1x. Os coeficientes obtidos serão aqueles que aproximam da função original. h(x) 1 a0 a1x x 3 2 1 0.5 0.4 1 f (x) 7.6923 5.00 2.0408 0.4975 0.2004 Ajuste Hiperbólico 5 6.9 6.9 14.41 a0 a1 15.4310 35.4467 a0 0.9093 a1 2.8952 F(x) 0.90932.8952x h(x) 1 0.9093 2.8952x Erro: e1 2= (f(-3) – h(-3))2 = 0.0000 e2 2= (f(-2) – h(-2))2 = 0.0000 e3 2= (f(-1) – h(-1))2 = 0.0002 e4 2= (f(-0.5) – h(-0.5))2 = 0.0232 e5 2= (f(-0.4) – h(-0.4))2 = 0.9423 ei 2 i1 5 0.9657 Outro Tipo de Aproximação xbaxhxF bxaxh aa 10 )()( )( 2 Atividade • Usando o Scilab, simular dados medidos, fazendo uso das funções geométrica e hiperbólica, adicionando ruído e encontrar as funções que geram menor erro possível usando MMQ. Método dos Mínimos Quadrados Caso contínuo Caso discreto Vimos que o método dos mínimos quadrados pode ser usado para determinar a função: que melhor aproxima uma série de pontos (xi, f(xi)) de forma a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. F(x) a0g0(x) a1g1(x) ... amgm(x) Casocontínuo Vamos ver agora como usar o método para obter uma função que aproxima não apenas uma série de pontos, mas uma função contínua: Caso contínuo Nesse caso, o erro será dado pela área entre as curvas. Portanto, para determinar o erro necessitamos calcular: E, como antes, queremos encontrar os parâmetros a0, a1, …, am que minimizam o erro. O ponto de mínimo necessariamente satisfaz: E ( f (x) a0g0(x) a1g1(x) ... amgm(x)) 2 a b dx E a0 E a1 ... E am 0 Caso contínuo Logo, derivando a expressão do erro em relação a a0, temos: No caso geral, derivando em relação a ai: E a0 2 f (x)g0(x) akgk(x)g0(x)k0 m dx 0 a b E ai 2 f (x)gi(x) akgk(x)gi(x)k0 m dx 0 a b Caso contínuo Vamos denotar o produto escalar de duas funções por: Igualando todas as derivadas parciais a zero, temos, portanto o seguinte sistema de equações normais: f ,g f (x)g(x)dx a b fg fg fg fg a a a a gggggg gggggg gggggg gggggg mmmmmm m m m , , , , ,,, ,,, ,,, ,,, 3 2 0 2 1 0 10 21202 11101 01000 Caso contínuo Se o determinante do sistema de equações normais for diferente de zero, então há um ajuste único de parâmetros que minimiza o erro quadrático. Quando as funções escolhidas (g0, g1...,gm) forem linearmente independentes, o determinante será diferente de zero! Exemplo Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função f(x) = e-x no intervalo [1,3] por um polinômio de grau 1, da forma: F(x) = a0 + a1x. Solução: g0(x) = 1 e g1(x) = x O sistema de equações normais é dado por: 1,1 1,x x,1 x,x a0 a1 1,ex x,ex Exemplo Resolvendo as integrais: 2 4 4 26/3 a0 a1 0.3181 0.5366 1,1 1dx 1 3 2 1,x xdx 1 3 4 x,x x 2dx 1 3 26 /3 1,ex exdx 1 3 0.3181 x,ex xexdx 1 3 0.5366 Lembrete : xexdx (x 1)ex a0 0.45785 a1 0.1494 Exemplo Graficamente: f(x) = e-x e F(x) = 0.458 - 0.149x
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