Aula 2 (decomposição de um vetor em suas componentes; produto escalar de dois vetores; projeção ortogonal)

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 2: decomposição de um vetor em suas componentes; produto 
escalar de dois vetores; projeção ortogonal. 
Prof. Luciano Pedroso 
COMPONENTES DE UM VETOR 
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em 
um eixo. Na figura abaixo, ax
 é a componente do vetor em 
relação ao eixo x e ay
 é a componente do vetor em relação 
ao eixo y. 
 
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR EM SUAS 
COMPONENTES 
Posicionamos sua origem na própria origem do sistema e 
determinamos o ângulo formado entre o segmento 
orientado que o representa e a direção positiva dos eixos 
das abscissas. 
𝑣 
y 
x 
cosθ = 
𝑥
𝑣
 ∴ x = |𝑣 |cosθ e senθ = 
𝑦
𝑣
 ∴ y = |𝑣 |senθ 
𝜃 
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES 
Definição 
O produto escalar (também denominado produto interno 
euclidiano) dos vetores 𝑢 = (u1, u2, ..., un) e 𝑣 = (v1, v2, ..., 
vn) do ℝ
n, denotado 𝑢 ∙ 𝑣 (lê-se 𝑢 escalar 𝑣 ), é definido 
como 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (u1, u2, ..., un) ∙ (v1, v2, ..., vn) = u1v1 + u2v2 + ... + 
unvn 
 
A denominação produto escalar deve-se ao fato de se tratar 
de um produto entre dois vetores que resulta em um 
escalar (nesse caso, um número real). 
 
 
 
Propriedades 
Dados, em relação a uma base ortonormal B = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) os 
vetores 𝑢 = (x1, y1, z1), 𝑣 = (x2, y2, z2) e 𝑤 = (x3, y3, z3) tem-
se: 
 
I) u ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢; ∀ 𝑢 e 𝑣 (propriedade comutativa); 
II) 𝑢 ∙ (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤 e (𝑢 + 𝑣 ) ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 
𝑤; ∀ 𝑢, 𝑣 e 𝑤 (propriedade distributiva); 
III) α(𝑢 ∙ 𝑣 ) = (α𝑢) ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙ (α𝑣 ); 
IV) 𝑢 ∙ 𝑢 > 0 se 𝑢 ≠ 0 e 𝑢 ∙ 𝑢 = 0, se 𝑢 = 0 = (0, 0, 0); 
V) 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 ² 
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES 
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES 
Propriedades 
VI) 𝑢 ∙ 𝑣 > 0 ⇔ ângulo agudo 
VII) 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 ⇔ ângulo reto 
VII) 𝑢 ∙ 𝑣 < 0 ⇔ ângulo obtuso 
ângulo agudo ângulo obtuso 
∙ 
ângulo reto 
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES 
O produto escalar permite determinar facilmente o ângulo 
entre dois vetores. Vamos demonstrar que: 
𝑢 ∙ 𝑣 = |𝑢||𝑣 |cos θ, 
 
onde θ é o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 . 
 
 
 
 
θ = cos-1
𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 𝑣
 
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
Projeção de um vetor sobre outro 
 
Sejam os vetores 𝑢 e 𝑣 não-nulos e θ o ângulo entre eles. 
Pretendemos decompor um dos vetores, digamos 𝑣 , tal 
que 𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2, sendo 𝑣 1 // 𝑢 e 𝑣 2 ⊥ 𝑢. 
𝜃 
𝑣 2 
𝑣 1 
𝑣 
𝑢 
𝜃 
𝑣 1 𝑢 
𝑣 𝑣 2 
(a) ângulo agudo (b) ângulo obtuso 
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
O vetor 𝑣 1 é chamado projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑢 e 
indicado por 
𝑣 1 = proju→𝑣 (*) 
Sendo 𝑣 1 // 𝑢, temos 𝑣 1 = α𝑢 e como 𝑣 2 = 𝑣 − 𝑣 1 = 𝑣 − 
α𝑢 é ortogonal a 𝑢, vem 
(𝑣 − α𝑢) ∙ 𝑢 = 0 
ou 
𝑣 ∙ 𝑢 − α𝑢 ∙ 𝑢 = 0 
e 
𝛼 = 
𝑣 ∙ 𝑢
𝑢 ∙ 𝑢
 
Portanto, sendo 𝑣 1 = α𝑢, por (*) conclui-se que 
 
proju→𝑣 = 
𝑣 ∙ 𝑢
𝑢 ∙ 𝑢
𝑢 
REFERÊNCIAS 
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria 
analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2000. 
 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. 
SP: Bookman, 2009. 
 
CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2006.