1 - Lista de Exercícios sobre vetores no plano indicação dos vídeos- Engenharias

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Prof.: Adriana Carvalho Rosa Geometria Analítica CAPÍTULO 1: Coordenadas e vetores no plano (ℝ2) 
Prof.: Adriana Carvalho Rosa 
Disciplina: Geometria Analítica 
Turma: Engenharias 
 
 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA – N1 
 
 
L1 - Exercícios sobre distância entre pontos 
 
 
1. (V1)Marque os seguintes pontos no plano cartesiano: 
𝐴 = (−
5
2
, 3) , 𝐵 = (1, −
1
5
) , 𝐶 = (−√2,−4), 𝐷 = (2, 0), 𝐸 = (
5
4
,−6) , 𝐹 = (0, −4), 
 𝐺 = (−
3
7
, √5) , 𝐻 = (2, −2), 𝐼 = (−6,−
3
2
). 
 
2. (V1)Marque os pontos e determine a distância entre os pontos: 
a) A = (3, 1) e B = (5, 5) R: 2√5 
b) A = (-3, 2) e B = (3, -2) R: 2√13 
c) A = (
1
2
, 1) e B = (
−3
2
, −5) R: 
√65
6
 
d) A = (
2
3
,
−1
3
) e B = (
5
6
, 1) R: 2√10 
 
e) A = (1, √3) e B = (-1, 1) 
f) A = (-2, 0) e B = (0, √2) 
g) A = (0,
−2
5
) e B = (
7
4
,
−1
2
) 
 
3. (V1)Verifique se os triângulos, cujos vértices são dados, são equiláteros, isósceles ou escaleno. Determine 
o perímetro dos triângulos e represente graficamente: 
a) 𝐴 = (1, 3), 𝐵 = (7, 3) 𝑒 𝐶 = (7, 11) R: 𝑃 = 24 
b) 𝐴 = (0, 5), 𝐵 = (3, −2) 𝑒 𝐶 = (−3,−2) R: 𝑃 = 2√58 + 6 
c) 𝐴 = (0, 2), 𝐵 = (4, 0) 𝑒 𝐶 = (1, 2) R: 𝑃 = 2√5 + √13 + 1 
d) 𝐴 = (2, −2), 𝐵 = (−3,−1) 𝑒 𝐶 = (1, 6) R: 𝑃 = 2√65 + √26 
e) 𝐴 = (3, 2), 𝐵 = (1, −1) 𝑒 𝐶 = (−2, 1) R: 𝑃 = 2√13 + √26 
 
 
L2 - Exercícios sobre operações com vetores 
 
1. (V2)Represente no gráfico os pontos dados e o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, e calcule o módulo do vetor, nos seguintes casos: 
a) 𝐴 = (−1, 3), 𝐵 = (3, 5) c) 𝐴 = (−1, 4), 𝐵 = (4, 1) 
b) 𝐴 = (4, 0), 𝐵 = (0, −2) d) 𝐴 = (3, 1), 𝐵 = (3, 4) 
 
2. (V2)Calcule os valores de 𝑎 para que o vetor �⃗� = (𝑎, −2) tenha módulo 4. Represente graficamente. 
R: ±2√3 
 
3. (V2)Dados 𝐴 = (2, 𝑦) e 𝐵 = (3, 3), determine 𝑦 para que o módulo do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ seja √5. Represente 
graficamente. R.: 1 e 5 
 
4. (V3)Calcule e represente graficamente os vetores, sendo �⃗� = (2, 3), 𝑣 = (−1, 4) e �⃗⃗� = (−2,−1): 
a) 𝑥1⃗⃗ ⃗ = �⃗� + 𝑣 
b) 𝑥2⃗⃗⃗⃗ = �⃗� − 𝑣 
c) 𝑥3⃗⃗⃗⃗ = −�⃗� 
d) 𝑥4⃗⃗⃗⃗ = 3�⃗� − 2𝑣 + �⃗⃗� 
e) 𝑥5⃗⃗⃗⃗ = −�⃗� − 𝑣 + 2�⃗⃗� 
f) 𝑥6⃗⃗⃗⃗ = �⃗� + 2𝑣 
g) 𝑥7⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑣 + 2�⃗⃗� 
h) 𝑥8⃗⃗⃗⃗ =
5
3
�⃗� − �⃗⃗� 
i) 𝑥9⃗⃗ ⃗ = −3𝑣 +
2
5
�⃗⃗� −
4
5
�⃗� 
 
2 
Prof.: Adriana Carvalho Rosa Geometria Analítica CAPÍTULO 1: Coordenadas e vetores no plano (ℝ2) 
5. (V3 e 4)Dados os vetores �⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 , 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 e �⃗⃗� = −2𝑖 + 𝑗 , lembrando que i = (1, 0) e j = (0, 1), 
determine e represente graficamente: 
a) 𝑥1⃗⃗ ⃗ = �⃗� + 𝑣 
b) 𝑥2⃗⃗⃗⃗ = �⃗� − 𝑣 
c) 𝑥3⃗⃗⃗⃗ = �⃗� + �⃗⃗� 
d) 𝑥4⃗⃗⃗⃗ = −�⃗� + 𝑣 + 2�⃗⃗� 
e) 𝑥5⃗⃗⃗⃗ = �⃗⃗� + 𝑣 
 
f) 𝑥6⃗⃗⃗⃗ = −�⃗⃗� − 3𝑣 
g) 𝑥7⃗⃗⃗⃗ = −2𝑣 − �⃗⃗� +
1
2
�⃗� 
h) 𝑥8⃗⃗⃗⃗ = 3�⃗� −
1
2
𝑣 −
1
2
�⃗⃗� 
i) 𝑥9⃗⃗ ⃗ = −3𝑣 +
2
5
�⃗⃗� −
4
5
�⃗� 
6. (V2)Dados 𝐴 = (−1,−1) e 𝐵 = (3, 5), determine e represente graficamente 𝐶 = (𝑥, 𝑦) tal que: 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
1
4
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
2
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
3
5
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
7. (V2)Dados os pontos 𝐴 = (−1, 3), 𝐵 = (2, 5), 𝐶 = (3, −1) 𝑒 𝑂 = (0, 0), calcule e represente graficamente: 
a) OA AB b) OC BC c) 3 4BA CB 
 
8. (V2)Determine a extremidade da seta que representa o vetor �⃗� = (3,−7), sabendo que sua origem é o ponto 
𝐴 = (2, 1). Represente graficamente. R: (5, -6) 
 
9. (V3)Dados os vetores �⃗� = (2,−4), 𝑣 = (−5, 1) e �⃗⃗� = (−12, 6), determine 𝑎 e 𝑏 tais que: 
a) w = 𝑎u + 𝑏 v R:𝑎 = −1 𝑒 𝑏 = 2. 
b) u = 𝑎 v + 𝑏 w R:𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −1. 
c) v = 𝑎u + 𝑏 w R:𝑎 = 𝑏 =
1
2
. 
 
10. (V3)Dados os pontos 𝐴 = (3, −4), 𝐵 = (−1, 1) e o vetor 𝑣 = (−2, 3), calcule: 
a) �⃗� = (𝐵 – 𝐴) + 2𝑣 b) �⃗� = (𝐴 – 𝐵) − 𝑣 
c) �⃗� = 𝐵 + 2(𝐵 – 𝐴) d) �⃗� = 3𝑣 − 2(𝐴 – 𝐵) 
 
11. (V5)Determine 𝑥 e 𝑦 para que se tenha 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝐴 = (𝑥, 1 − 𝑦), 𝐵 = (4, 𝑦 + 3), 
𝐶 = (𝑥 − 3𝑦, 𝑥 + 2) 𝑒 𝐷 = (2𝑥, 𝑦 + 6). R: 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 0 
 
12. (V5)Determine x e y, sendo �⃗� = (2𝑦 + 3,−3𝑥 − 1) e 𝑣 = (−𝑦 + 3, 5 − 5𝑥) para que �⃗� = 2𝑣 . 
 R: 𝑥 =
11
7
 e 𝑦 =
3
4
 
 
13. (V3)Dados os vetores �⃗� = (3, −1) e 𝑣 = (−1, 2), determine o vetor 𝑥 tal que: 
a) 
1
4( ) 2
3
u v x u x    R: 𝑥 = (−
15
2
,
15
2
) 
b) 3 (2 ) 2(4 3 )x v u x u    R: 𝑥 = (
23
5
, −
11
5
) 
 
14. (V3)Dados os vetores �⃗� = (2, −1) e 𝑣 = (1, 3), determine um vetor �⃗⃗� tal que: 
a) 3(�⃗� + �⃗⃗� ) − 2(𝑣 − �⃗⃗� ) = �⃗� R:�⃗⃗� = (
−4
5
,
9
5
) 
b)    
1
3( ) 4( ) 5 3 4(3 2 )
2
u w v w u w v w       R:�⃗⃗� = (
46
39
,
365
117
) 
 
L3 - Exercícios sobre vetor unitário, ângulo entre vetores e produto escalar 
 
1. (V3, 4, 6 e 8)Dados os vetores no plano ℝ2, �⃗� = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 , determine e represente graficamente:
a) o vetor soma �⃗� + 𝑣 . 
b) o módulo ‖�⃗� + 𝑣 ‖. 
c) o vetor diferença �⃗� − 𝑣 . 
d) o vetor 3�⃗� − 2𝑣 . 
e) o produto escalar �⃗� ∙ 𝑣 . 
f) o ângulo entre �⃗� 𝑒 𝑣 . 
g) a projeção ortogonal de �⃗� sobre 𝑣 . 
R: a) (3, 0), b) 3, c) (1, -2), d) (4, -5), e) 1, f) 71,6° e g)(
1
2
,
1
2
)
3 
Prof.: Adriana Carvalho Rosa Geometria Analítica CAPÍTULO 1: Coordenadas e vetores no plano (ℝ2) 
2. (V3, 6 e 8)Calcule �⃗� + 𝑣 , o módulo ‖�⃗� + 𝑣 ‖ e o produto escalar �⃗� ∙ 𝑣 e a projeção ortogonal de �⃗� sobre 𝑣 . 
Represente no gráfico os vetores: 
a) �⃗� = (−1, 3), 𝑣 = (3, 5) b) �⃗� = (−1, 4), 𝑣 = (4, 1) 
c) �⃗� = (4, 0), 𝑣 = (0,−2) d) �⃗� = (3,−1), 𝑣 = (3,− 4) 
 
3. (V5)Encontre o vetor unitário na direção de 𝑣 = (−3,−1) e represente graficamente. R: �⃗⃗� = (
−3
√10
,
−1
√10
) 
 
4. (V5)Determine o versor do vetor 3 2u BA BC  , sendo 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (−6, 2) 𝑒 𝐶 = (0, −4). 
 R: �⃗⃗� = (
3
5
,
4
5
) 
 
5. (V5)Determine o valor de n para que o vetor �⃗� = (𝑛,
2
5
) seja unitário e represente graficamente. R: 𝑛 = ±
√21
5
 
 
6. (V5)Calcule os valores de a para que o vetor �⃗� = (
1
2
, 𝑎) seja unitário e represente graficamente. R: 𝑎 = ±
√3
2
 
 
7. (V4)Seja o vetor 𝑣 = (𝑚 + 7)𝑖 + (𝑚 + 2)𝑗 . Calcule 𝑚 para que ‖𝑣 ‖ = √38 e represente graficamente. 
 R: 𝑚 =
−9±√51
2
 
 
8. (V2 e 3)Dados os pontos 𝐴 = (3,𝑚 − 1) e 𝐵 = (2𝑚 + 5, 1), determine m de modo que ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √20 
e represente graficamente. R: 𝑚1 =
6
5
 e 𝑚2 = −2 
 
9. (V6)Seja o triângulo 𝐴𝐵𝐶, calcule seu perímetro e determine os ângulos internos do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e 
represente graficamente, sendo: 
a) 𝐴 = (2, −3), 𝐵 = (−2, 1) 𝑒 𝐶 = (0, 1). R:𝑃 = 2(2√2 + √5 + 1), �̂� ≅ 18,4°, �̂� = 45° 𝑒 �̂� ≅ 116,6° 
b) 𝐴 = (1, 1), 𝐵 = (4, 0) 𝑒 𝐶 = (3, 4). R: 𝑃 = √10 + √13 + √17, �̂� ≅ 74,7°, �̂� ≅ 57,5° 𝑒 �̂� ≅ 47,7° 
c) 𝐴 = (−2, 3), 𝐵 = (−1, 1) 𝑒 𝐶 = (4, −1). R: 𝑃 = √5 + √29 + 2√13, �̂� ≅ 29,7°, �̂� ≅ 138,4° e �̂� ≅ 11,9° 
 
10. (V6)Calcule 𝑛 para que seja 60° o ângulo entre os vetores �⃗� = (1, 𝑛) e 𝑖 = (1, 0). Represente 
graficamente. Use: cos 60° =
1
2
 R: 𝑛 = ±√3 
 
11. (V6)Calcule 𝑛 para que seja 30° o ângulo entre os vetores �⃗� = (1, 𝑛) e j = (0, 1). Represente 
graficamente. Use: cos 30° =
√3
2
 R: 𝑛 = √3 
 
12. (V6)Sabendo que o ângulo entre os vetores �⃗� = (2, −1) e 𝑣 = (𝑚 + 2, −𝑚) é 𝜃 =
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑, determine 𝑚 
e represente graficamente. Use: cos 60° =
1
2
 R: 𝑚 =
−19+5√3
13
 
 
13. (V6)Determine o valor de 𝑎 para que seja 45° o ângulo entre os vetores �⃗� = (2,1) e 𝑣 = (1, 𝑎) e represente 
graficamente. Use: cos 45° =
√2
2
 R: 𝑎 = 3 e 𝑎 =
−1
3
 
 
14. (V6)Sabendo que o vetor 𝑣 = (−1, 2𝑥 + 1) forma um ângulo de 
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, determinado pelos 
pontos 𝐴 = (2, −2) e𝐵 = (0, 4). Calcule 𝑥 e determine um versor do vetor �⃗� = 𝑣 + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. Use: cos 45° =
√2
2
 
R: 𝑥1 =
−1
4
 e 𝑥2 =
−3
2
; 𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ = (
2
5√5
,
−11
5√5
) e 𝑤2⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
1
√65
,
−8
√65
) 
 
15. (V6)Provar que os pontos 𝐴 = (1, 1), 𝐵 = (1, −3) e 𝐶 = (5, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 
 
16. (V7)Determine os vetores perpendiculares ao vetor �⃗� = (−4,−3). R: 𝑣 = 𝑘(3, −4) , 𝑘 ∈ ℝ∗ 
 
17. (V7)Determine 𝑛 de modo que �⃗� e 𝑣 sejam perpendiculares e represente graficamente. 
4 
Prof.: Adriana Carvalho Rosa Geometria Analítica CAPÍTULO 1: Coordenadas e vetores no plano (ℝ2) 
a) �⃗� = (𝑛, 𝑛) e 𝑣 = (4, 𝑛). 
b) �⃗� = (𝑛 + 1, 1) e 𝑣 = (𝑛 − 1, −1). 
c) �⃗� = (𝑛, −2) e 𝑣 = (𝑛, −3). 
d) �⃗� = (𝑛 − 1, 0) e 𝑣 = (1, 𝑛).
R: a) 𝑛 = −4 b) 𝑛 = ±√2 c) ∄𝑛 ∈ ℝ d) ∄𝑛 ∈ ℝ 
 
18. (V7)Dado o vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦), mostre que os vetores 𝑣 = (−𝑦, 𝑥) e �⃗⃗� = (𝑦, −𝑥) são perpendiculares a 
�⃗� e que ‖�⃗� ‖ = ‖𝑣 ‖ = ‖�⃗⃗� ‖. 
 
19. (V7)Encontre o vetor 𝑣 de módulo 5, perpendicular ao vetor �⃗� = (2,−1) e represente graficamente. 
R: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (√5, 2√5) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (−√5,−2√5) 
 
20. (V7)Determine o valor de 𝑥 para que o vetor (2, 𝑥2 − 1) seja perpendicular ao vetor (−6, 4) e represente 
graficamente. R: 𝑥 = ± 2 
 
21. (V7)Verifique se os vetores �⃗� e 𝑣 são paralelos, perpendiculares ou nenhum. Represente graficamente. 
a) �⃗� = (1,−1) e 𝑣 = (2, 2). 
b) �⃗� = (−1, 2) e 𝑣 = (3,−6). 
c) �⃗� = (−4,−2) e 𝑣 = (1, −2). 
d) �⃗� = (5, 2) e 𝑣 = (2, 5). 
e) �⃗� = (−2, 3) e 𝑣 = (−4, 6). 
f) �⃗� = (6, 2) e 𝑣 = (2,−6). 
 
22. (V7)Para cada vetor 𝑣 , obtenha dois vetores perpendiculares a 𝑣 e dois vetores paralelos a 𝑣 e represente 
graficamente. 
a) 𝑣 = (3, 5) b) 𝑣 = (−1, 4) c) 𝑣 = (0,−2) d) 𝑣 = (3,−1) 
 
23. (V7)Obtenha os vetores unitários paralelos e os vetores unitários perpendiculares ao vetor �⃗� = −𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ +
3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo 𝐴 = (−1, 0), 𝐵 = (−1, 2) e 𝐶 = (2, −3). 
R: Paralelo unit.: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (
3
√10
,
1
√10
) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (
−3
√10
,
−1
√10
). Perpendicular unit: 𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ = (
−1
√10
,
3
√10
) e 𝑤2⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
1
√10
,
−3
√10
). 
 
24. (V6)Os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcule o produto 
escalar dos vetores AB e AC . Represente graficamente. R: 50 
 
25. (V7)Provar que os pontos 𝐴 = (−2,−1), 𝐵 = (2, 2), 𝐶 = (−1, 6) e 𝐷 = (−5, 3), nesta ordem, são 
vértices de um quadrado. Represente graficamente. 
 
26. (V9)Determine as componentes de cada vetor e represente graficamente: 
a) ‖𝑣 ‖ = 3, 𝜃 = 30° é o ângulo formado com o eixo 𝑥 positivo, no sentido anti-horário. R: 𝑣 = (2,5; 1,5) 
b) ‖𝑣 ‖ = 3, 𝜃 = 60° é o ângulo formado com o eixo 𝑥 positivo, no sentido horário. R: 𝑣 = (1,5;−2,6) 
c) ‖𝑣 ‖ = 4, 𝜃 = 45° é o ângulo formado com o eixo 𝑦 positivo, no sentido anti-horário. R: 𝑣 = (−2,9; 2,9) 
d) ‖𝑣 ‖ = 1, 𝜃 = 180° é o ângulo formado com o eixo 𝑥 negativo, no sentido anti-horário. R: 𝑣 = (1; 0) 
e) ‖𝑣 ‖ = 5, 𝜃 = 30° é o ângulo formado com o eixo 𝑦 negativo, no sentido anti-horário. R: 𝑣 = (2,5;−4,3) 
f) ‖𝑣‖ = √6, 𝜃 = 60° é o ângulo formado com o eixo 𝑥 positivo, no sentido anti-horário. R: 𝑣 = (1,2; 2,1) 
g) ‖𝑣 ‖ = √2, 𝜃 = 90° é o ângulo formado com o eixo 𝑥 positivo, no sentido horário. R: 𝑣 = (0; √2) 
h) ‖𝑣 ‖ = 5, 𝜃 = 30° é o ângulo formado com o eixo 𝑦 positivo, no sentido horário. R: 𝑣 = (2,5; 4,3) 
 
27. (V9)Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto 𝑂, na figura abaixo, sabendo que ‖𝐹1‖ = 3, 
‖𝐹2‖ = 1 e ‖𝐹3‖ = 2. 
 
R: 𝐹1 = (1,5; 2,6), 𝐹2 = (0,1), 𝐹3 = (−1,7;−1) e 
𝑅 = (−0,2; 2,6) 
 
 
Bons Estudos!!!